（概率论与数理统计专业论文）双边反射spdes的大偏差原理.pdf

中文摘要 在本文里，我们主要研究一类系数为非常数的时空白噪声驱动的双边 反射随机偏微分方程和一类系数为常数的、关于时间是分式的分式噪声驱动 的双边反射随机偏微分方程，而且双边反射壁为光滑函数九1 和h 2 。也就是 说，当u ( z ，) 落于( 九1 ( z ，亡) ，h 2 ( z ，t ) ) 内时，让( z ，t ) 满足方程；当u ( z ，亡) 等于边 界h 1 ( z ，亡) 或h 2 ( z ，亡) 时，我们通过外力使u ( z ，亡) 不会离开 1 ( z ，) ，h 2 ( z ，亡) 】。我 们给出了这两类方程的弱解的存在性和唯一性。进一步地，运用经典方法证 明了分式噪声驱动的双边反射随机偏微分方程解的分布满足大偏差原理。 关键词：障碍抛物问题；双边反射随机偏微分方程；弱解；大偏差原理。 a b s t r a c t i nt h i sa r t i c l e ，w es t u d yt w oc l a s s e so fs t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ( a b b r s p d e s ) w i t l lt w os m o o t hr e f l e c t e dw a i l sh 1a n dh 2 o n e i sd r i v e nb yas p a c e - t i m ew h i t en o i s ew i t han o n - c o n s t a n td i f f u s i o nc o e f f i c i e n ta n dt h eo t h e ri sd r i v e nb y af r a c t i o n a ln o i s e ，w h i c hi sf r a c t i o n a li nt i m ea n dw h i t ei ns p a c e r o u g h l ys p e a k i n g ， f o re a c h ( z ，t ) ，t h es o l u t i o nu ( x ，t ) o b e y st h ee q u a t i o nw h e ni ts t a y si nt h eo p e ni n 。 t e r v a l ( h 1 ( z ，亡) ，h 2 ( x ，亡) ) ，a n dw e a d df o r c e si no r d e rt op r e v e n ti tf r o me x i t i n gt h e i n t e r v a l 【h x ( z ，亡) ，h 2 ( z ，亡) 】w h e ni ts t a y si nt h eo p e ni n t e r v a l ( h i ( z ，亡) ，h 2 ( z ，亡) ) w ew i l ls h o wt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n f u r t h e r m o r e ，t h el a r g e d e v i a t i o np r i n c i p l e ( a b b r l d p ) f o rt h el a wo ft h es o l u t i o nt oas p d ew i t hr e f l e c - t i o n ，d r i v e nb ya f r a c t i o n a ln o i s e ，w i l lb ee s t a b l i s h e dt h r o u g hd e v e l o p i n gac l a s s i c a l m e t h n ( 1 k e y w o r d s ：p a r a b o l i co b s t a c l ep r o b l e m ；s t o c h a s t i cp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht w or e f l e c t e dw a l l s ；w e a ks o l u t i o n ；l a r g ed e v i a t i o np r i n c i p l e 南开大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解南开大学关于收集、保存、使用学位论文的规定， 同意如下各项内容：按照学校要求提交学位论文的印刷本和电子版 本；学校有权保存学位论文的印刷本和电子版，并采用影印、缩印、 扫描、数字化或其它手段保存论文；学校有权提供目录检索以及提供 本学位论文全文或者部分的阅览服务；学校有权按有关规定向国家有 关部门或者机构送交论文的复印件和电子版；在不以赢利为目的的前 提下，学校可以适当复制论文的部分或全部内容用于学术活动。 学位论文作者签名： 洳7 枸娲 年寻月干 经指导教师同意，本学位论文属于保密，在年解密后适用 本授权书。 指导教师签名：学位论文作者签名： 解密时间：年月日 各密级的最长保密年限及书写格式规定如下： 南开大学学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，进行研究工作 所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本学位论文的研究成果不包含 任何他人创作的、已公开发表或者没有公开发表的作品的内容。对本论文所涉 及的研究工作做出贡献的其他个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本学 位论文原创性声明的法律责任由本人承担。 学位论文作者签名： 才为郇 年 月叩日 c h a p t e r 1 i n t r o d u c t i o n t h ed i s s e r t a t i o ni sc o n c e r n e dw i t ht w oc l a s s e so fo n e d i m e n s i o n a lp a r a b o l i cs p d e s w i t ht w or e f l e c t e ds m o o t hw a l l sh 1a n dh 2 o n ei sd r i v e nb ys p a c e t i m ew h i t en o i s e 丽血an o n - c o n s t a n td i f f u s i o nc o e f f i c i e n tw h i l et h eo t h e ri sd r i v e nb yaf r a c t i o n a ln o i s e 。 w h i c hi sf r a c t i o n a li nt i m ea n dw h i t ei ns p a c e m o r e p r e c i s e l y , w ew i l lf i n dac o n t i n u o u s r a n d o mf i e l d u ( z ，亡) ，0 z 1 ，t o ) w h i c hi st h es o l u t i o no ft h es p d es a t i s f y i n g 九1 ( z ，t ) u ( x ，t ) h 2 ( z ，t ) s t r i c t l ya n dw h i c hi sc o n s t r a i n e dw i t hh 1 ( z ，t ) 钰( 茹，t ) 2 ( z ，t ) e v e r y w h e r e s p d e sw i t hr e f l e c t i o nc a l lb eu s e dt om o d e lt h ee v o l u t i o no fr a n d o mi n t e r f a c e s p a r a b o l i cs p d e sw i lt w or e f l e c t i o na r ei n t e r p r e t e x la sa ni n t e r f a c ef o r m e di nas m a l l r u b b e rh o s e ，t h a ti s ，t h ei n t e r f a c en e v e rs t i c k st ot h ew a l l sw h i c hr e p u l s et h ei n t e r f a c e t h es t o c h a s t i cp r o b l e mc a nb et r a n s l a t e dt oad e t e r m i n i s t i cp r o b l e mw i t hr e f l e c t i o na l o n g a ni r r e g u l a rb o u n d a r yf u n c t i o n s u c hd e t e r m i n i s t i cp r o b l e m sw i t hr e f l e c t i o na r ec a l l e d i n e q u a t i o n s a n dh a v eb e e nw i d e l ys t u d i e db ys e v e r a la u t h o r s ( s e e 【3 ，11 ，1 5 】) i nr e c e n t y e a r s ，t h e r ea p p e a r st ob eag r e a ti n t e r e s tt oi n v e s t i g a t ep a r a b o l i cs p d e sw i t hr e f l e c t i o n m o s to ft h e s ew o r k sa r er e l a t e dt ot h ee x i s t e n c ea n d u n i q u e n e s so ft h es o l u t i o n i nt h e c a s eo fac o n s t a n td i f f u s i o nc o e f f i c i e n t ，n a u l a r ta n d p a r d o u x 【1 6 】p r o v e dt h ee x i s t e n c e a n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nf o ras p d ed r i v e nb yaw h i t en o i s er e f l e c t e da t0 o t o b e 17 】o b t a i n e dt h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nt oad o u b l e dr e f l e c t e ds p d e d r i v e nb yaw h i t en o i s e i nt h ec a s eo fan o n l i n e a rd i f f u s i o nc o e f f i c i e n t , t h ee x i s t e n c e 2 o ft h es o l u t i o no ft h es p d ed r i v e nb yaw h i t en o i s er e f l e c t e da t0h a sb e e ns t u d i e db y d o n a t i m a r t i na n dp a r d o u x 【7 】t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h i sc l a s so fs p d eh a s b e e ne s t a b l i s h e db yx ua n dz h a n g 【2 0 a l s o ，v a r i o u sp r o p e r t i e so ft h es o l u t i o nh a v e b e e ns t u d i e db ym a n ya u t h o r s ( s e ee g 6 ，8 ，9 ，2 1 ，2 2 ，e t c ) w ew i l ls t u d yt h es p d eo ft h ef o l l o w i n gc l a s s 0 ta z 2 + s ( x ，t ，u ( x ，亡) ) + a ( x ，t ，u ( x ，t ) ) f v ( x ，亡) ( 1 1 ) w i t h ( z ，t ) q ：= ( 0 ，1 ) 苌+ w h i l eh 1 ( z ，t ) u ( x ，t ) h 2 ( z ，t ) h e r ew i s as p a c e t i m ew h i t en o i s ea n d 咖= 舞i fu ( z ，t ) h i t sh 1 ( z ，t ) o rh 2 ( z ，亡) ，w ea d d a d d i t i o n a lf o r c e si no r d e rt op r e v e n tuf r o me x i t i n g h 1 ， 2 】：s u c ha ne f f e c tw i l lb e e x p r e s s e db ya d d i n ge x t r at e r m a n d 叩i n ( 1 1 ) w h i c hp l a ya s i m i l a rr o l et ot h el o c a lt i m e i nt l i eu s u a ls k o r o k h o d - t a n a k ae q u a t i o nc o n s t r u c t i n gb r o w n i a nm o t i o n sw i t hr e f l e c t e d b o u n d a r i e s w ew i l lp r o v et h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h ew e a ks o l u t i o nb yu s i n g p i c a r di t e r a t i o np r o c e d u r e ，w h i c hi se a s i e rt h a nt h a to fx ua n dz h a n g 【2 0 i nt l l ec a s eo fd r i v e nf o r c eb e i n gaf r a c t i o n a ln o i s e t h e r ei sav a s tl i t e r a t u r eo nt h e s o l u t i o n so ft h es p d e sw i t h o u tr e f l e c t i o ns t u d i e d ( s e e 【2 ，4 ，1 0 ，1 2 ，18 】) w ea l s os t u d y t h es p d eo ft h ef o l l o w i n gc l a s s 丁o u ( x , t ) = 掣+ f ( x ，t 7 u ( 删+ ( 1 2 ) w i t h ( z ，亡) qw h i l eh t ( x ，亡) 乱( z ，t ) 0 t h e r ee x i s t s 国 0s u c ht h a t l ( x ，t ；) i + j a ( x ，；让) i c ( 1 + s u p i u ( v ，s ) 1 ) v e o ，1 1 ，s 【0 ，t 】 f o re v e r yz 【0 ，1 】a n dt 【0 ，卅 d e f i n t i o n2 1 1 at r i p l e to faf u n c t i o na n dt w om e a s u r e s ( 乱，叩，) d e f i n e do r laf i t - t e r e dp r o b a b i l i t ys p a c e ( q ，尸厂； 五) ) i sas o l u t i o nt ot h es p d ef 2 j ) d e n o t e db y ( u o ；a ，6 ；f ，矿；h 1 ，h 2 ) i f r 砂让= 让( z ，亡) ；( z ，t ) q ) i sac o n t i n u o u sa n da d a p t e dp r o c e s sf f 巴，u ( z ，t ) i s 兀 m e a s u r a b l ev 亡0 ，z f 0 ，卵，s a t i s f y i n gh i ( z ，t ) u ( x ，t ) h 2 ( z ，) ，铭( o ，t ) = 岛 a n d 让( 1 ，t ) = 6 ，a s f i i ) ，7 ( d z ，d t ) a n df ( d z ，d t ) a r ea d a p t e dp o s i t i v er f 巴r l ( b ) a n d ( b ) i sf t - m e a s u r a b l e i f bc ( 0 ，1 ) 0 ，咖m e a s u r e so nqs a t i s f y i n g 刁( ( 9 ，1 0 ) 【o ，卅) 0 ， ( i i i ) f o ，a l lt 0a n d c 酽( o ，1 ) ( t h es e to f f u n c t i o n s f r o m 他j ) i n t o 猥w h i c ha r e c h a p n i r2 矾1 | i t en o i s ed r i 、厄ns p d e s 咖t w or e f ie ( 1 e dw a i l s6 i n f i n i t e l yd i f f e r e n t i a b l ea n d w h o s e s u p p o r t 扛ac o m p a c t s u b s e to f 0 ，1 ) ) w eh a v e h ，妨一( 咖，妨一z 2 ( u 。，) d s 一0 2 ( ，( u 。) ，) d s z 0 1 ) 仃( ) w ( 如，d s ) = o 0 1 ( z ) 叼( 如，幽) 一0 2 0 1 砂( z ) ( 如，蛾们， i v ) qa n d 乏s a t i s f y z ( u ( z ，t ) 一九1 ( z ) 叩( 如，出) = 么( 2 ( z ，亡) 一u ( z ，t ) ) ( 如，班) = 。 t h e nw es t a t et h em a i nt h e o r e mo ft h i sc h a p t e ra sf o l l o w ( 2 2 ) t h e o r e m2 1 1 u n d e rt h eh y p o t h e s e s ( h 1 ) l h 4 ) 。( f 1 ) 一f 3 ) a n d e tu o - 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