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固态自旋系统中的量了纠缠和量了相变中文摘要 中文摘要 本文主要研究了一维固态自旋链系统中基态的量子纠缠特性。通过密度矩阵重整 化群的方法,我们研究了不同系统中的基态纠缠。利用基态纠缠和保真度判定系统中 的临界行为量子相变。 本文根据量子纠缠的不同度量方式,利用密度矩阵重整化群的方法,研究了自旋 为1 2 的一维固态自旋链系统中的基态的量子纠缠特性,例如畴壁中的一维反铁磁海 森堡链、交替磁场中的伊辛链和边缘掺杂的一维反铁磁海森堡链。对于畴壁中的一维 反铁磁海森堡链的基态纠缠的研究表明,奇数边的纠缠随着磁场的增加而下降,偶数 边的纠缠随着磁场的增加而上升。在一定值的磁场下,奇数和偶数边的纠缠相等。随 着磁场的进一步增大,偶数边的纠缠会大于奇数边的纠缠。纠缠熵随着子系统粒子数 的增大而增大,最后趋于稳定。奇数子系统的纠缠熵先减小,然后略有增大。对于交 替磁场中的伊辛链,所有的纠缠熵都随着交替磁场的增大而减小。我们利用密度矩阵 重整化群方法来研究熵的对数行为。研究结果表明对数行为没有随交替磁场变化而变 化。对于边缘掺杂的一维反铁磁海森堡链,纠缠熵随子系统的增大而增大,由于有限 系统的作用,纠缠熵将接近一个常数。当自旋为l 2 的链中加入自旋为1 的掺杂时, 自旋为1 的掺杂会增加纠缠熵。 本文根据量子信息论和量子多体理论的学科特点,利用基态纠缠判定系统中的临 界行为量子相变,研究了各向异性的相互作用对保真度和纠缠熵的影响,分析了 保真度和纠缠熵与量子相变之间的关系。首先,通过密度矩阵重整化群研究了反铁磁一 铁磁交替海森堡链中的保真度和纠缠熵。保真度和纠缠熵可以很好地判定该系统中的 量子相变。其次,我们讨论了自旋为1 的易磁化轴反铁磁海森堡链的量子相变。结果 表明,保真度可以很好地判定该系统中的量子相变。由于纠缠熵的单配性,纠缠熵却 不能很好判定该系统中的量子相变,而纠缠熵的一阶导数却可以判定该系统中的量子 相变。 同态自旋系统中的量子纠缠和量了相变中文摘要 关键词:量子纠缠、固态自旋链、密度矩阵重整化群、保真度 作者:任杰 指导教师:朱士群 固态自旋系统中的量了纠缠和量子相变 a b s t r a c t q u a n t u me n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n i ns o l i d s t a t es p i ns y s t e m s a b s t r a c t i nt h i st h e s i s ,t h eq u a n t u me n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so fo n e d i m e n s i o n a ls o l i d s t a t e q u a n t u ms p i ns y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d b y u s i n gt h e m e t h o do fd e n s i t ym a t r i x r e n o r m a l i z a t i o ng r o u p ,t h eg r o u n ds t a t ee n t a n g l e m e n ti nd i f f e r e n ts y s t e m si ss t u d i e d t h e g r o u n d s t a t ee n t a n g l e m e n ta n df i d e l i t ya r ea p p l i e dt od e t e c tt h eq u a n t u mc r i t i c a lb e h a v i o r - q w i i l t u mp h a s et r a n s i t i o n i nt h et h e s i s ,b a s e do l lt h ed i f f e r e n tm e a s u r e m e n to fe n t a n g l e m e n t ,t h eq u a n t u m e n t a n g l e m e n tp r o p e r t i e so fo n e d i m e n s i o n a ls o l i d - s t a t es p i n - 1 2s y s t e m sa r ei n v e s t i g a t e d b y m e a n so f d e n s i t y m a t r i xr e n o r m a l i z a t i o n g r o u p t h e s es y s t e m s i n c l u d et h e a n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gs p i nc h a i nw i t hd o m a i nw a l l s ,t h ei s i n gm o d e lw i t h a l t e r n a t i n gf i e l d ,a n dt h ea n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gs p i nc h a i nw i t hb o u n d a r yi m p u r i t i e s t h eg r o u n ds t a t ee n t a n g l e m e n ti nt h es p i n - 1 2i s o t r o p i ca n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r g c h a i ni ss t u d i e dw h e nt h ed o m a i nw a l l sa r eg e n e r a t e db yab o u n d a r ym a g n e t i cf i e l d i ti s f o u n dt h a tt h e p a i r w i s ee n t a n g l e m e n to fo d d b o n dt w oq u b i t sd e c r e a s e sa n de v e n b o n dt w o q u b i t s i n c r e a s e sw h e nt h em a g n e t i cf i e l di n c r e a s e s t h e p a i r w i s ee n t a n g l e m e n to f o d d b o n dc a ne q u a lt ot h a to fe v e n - b o n df o ras u i t a b l ev a l u eo ft h em a g n e t i cf i e l d w h e n t h em a g n e t i cf i e l di n c r e a s e sf u r t h e r , t h ee n t a n g l e m e n to fe v e n - b o n dc a l lb el a r g e rt h a nt h a t o fo d d b o n d t h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yi n c r e a s e sa n dt h e na l m o s ts a t u r a t e sa st h en u m b e r o fs p i ns i t e si n c r e a s e s t h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yo fo d d b o n dd e c r e a s e st oam i n i m u m v a l u ea n dt h e ni n c r e a s e sa st h em a g n e t i cf i e l di n c r e a s e s f o ra l lo p e n e di s i n gc h a i nw i t ha l l a l t e r n a t i n gm a g n e t i cf i e l d ,t h eb i p a r t i t ee n t a n g l e m e n te n t r o p yd e c r e a s e sw h e nt h es t r e n g t h o ft h ea l t e r n a t i n gf i e l di n c r e a s e s t h em e t h o do fd e n s i t ym a t r i xr e n o r m a l i z a t i o n g r o u pi s a p p l i e dt oo b t a i nl o g a r i t h m i cb e h a v i o ro ft h ee n t r o p y i ti sf o u n dt h a tt h el o g a r i t h m i c i i i 同态自旋系统中的量子纠缠和量子相变 a b s t r a c t b e h a v i o rd o e sn o tv a r yw i t ht h ev a r i a t i o no ft h ef i e l d w h e nt h eb o u n d a r yi m p u r i t i e sa r e i m p o s e do nt h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yi na na n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r go p e n e ds p i n - 1 2 c h a i n ,t h eb i p a r t i t ee n t a n g l e m e n te n t r o p yi n c r e a s e sw h e nt h el e n g t ho ft h es u b s y s t e m i n c r e a s e s i tw i l la p p r o a c ht oac o n s t a n td u et ot h ef i n i t es i z eo ft h es y s t e m w i t ht h es a m e i m p u r i t yi n t e r a c t i o n ,q u t r i t - i m p u r i t i e so fs p i n - 1c a n i n c r e a s et h ee n t a n g l e m e n te n t r o p y b yu s i n gt h ep r o p e r t i e so fq u a n t u mm a n y - b o d yt h e o r ya n dq u a n t u m - i n f o r m a t i o n t h e o r y , t h eg r o u n ds t a t ee n t a n g l e m e n ti sa p p l i e dt od e t e c tt h ec r i t i c a lb e h a v i o r - - - - q u a n t u m p h a s et r a n s i t i o n t h ee f f e c t so fa n i s o t r o p yo nt h ef i d e l i t ya n dt h ee n t a n g l e m e n te n t r o p ya r e i n v e s t i g a t e d t h er e l a t i o n sb e t w e e nt h ef i d e l i t y , t h ee n t a n g l e m e n te n t r o p ya n dt h eq u a n t u m p h a s e t r a n s i t i o na r e a n a l y z e d t h ef i d e l i t y a n dt h ee n t a n g l e m e n te n t r o p yi n a l l a n t i f e r r o m a g n e t i c - f e r r o m a g n e t i ca l t e r n a t i n gh e i s e n b e r gc h a i na r ei n v e s t i g a t e db yu s i n gt h e m e t h o do fd e n s i t y m a t r i xr e n o r m a l i z a t i o n - g r o u p i ti sf o u n dt h a tt h eq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o np o i n tc a nb ew e l lc h a r a c t e r i z e db yb o t ht h ef i d e l i t ya n dt h eg r o u n d s t a t e e n t a n g l e m e n te n t r o p yo ft h es y s t e m f u r t h e r m o r e ,t h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n i na l l e a s y - a x i sa n t i f e r r o m a g n e t i ch e i s e n b e r gs p i n - 1c h a i n i sn u m e r i c a l l ys t u d i e d i ti sf o u n dt h a t t h eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o nf r o mas p i nl i q u i dt os p i ns o l i dc a l lb ew e l lc h a r a c t e r i z e db y t h ef i d e l i t ys u s c e p t i b i l i t y t h ep h a s et r a n s i t i o nc a nb eh a r d l yd e t e c t e db yt h ee n t a n g l e m e n t e n t r o p yd u et ot h em o n o g a m yp r o p e r t yo f t h es y s t e mw h i l ei tc a nb ed e t e c t e db yt h ef i r s t d e r i v a t i v eo ft h ee n t r o p ys u c c e s s f u l l y k e y w o r d s :e n t a n g l e m e n te n t r o p y ;s o l i d - s t a t eq u a n t u ms p i nc h a i n ; d e n s i t y - m a t r i xr e n o r m a l i z a t i o n - g r o u p ;f i d e l i t y ;q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n s i v w r i t t e nb yj i er e n s u p e r v i s e db ys h i q u nz h u 苏州大学学位论文独创性声明及使用授权声明 学位论文独创性声明 本人郑重声明:所提交的学位论文是本人在导师的指导下,独立进行 研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外,本论文不含其 他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果,也不含为获得苏州大学或 其它教育机构的学位证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献 的个人和集体,均已在文中以明确方式标明。本人承担本声明的法律责 任。 研究生签名:j 曼查日期: 学位论文使用授权声明 苏州大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆、清华大学论文 合作部、中国社科院文献信息情报中心有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档,可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本 人电子文档的内容和纸质论文的内容相一致。除在保存期内的保密论文 外,允许论文被查阅和借阅,可以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分 内容。论文的公布( 包括刊登) 授权苏州大学学位办办理。 研究生签名: 导师签名: 固态自旋系统中的量子纠缠和量予相变第一章弓f 言 第一章引言 1 1 量子信息研究的历史背景 量子信息科学作为一种新兴的交叉学科,综合了量子物理、计算机通讯、信息处 理等多种学科的内容。量子信息科学主要是利用量子力学的方法对信息进行存储、传 输和处理。早在2 0 世纪7 0 年代,人们就提出以量子态作为信息存在的方式【1 ,2 】,设 想了几种可能的通讯方法,出现了量子信息理论的基本思想,但信息的处理仍然以经 典方式为基础。随后,人们提出了一些量子的处理方式,如长程的量子密码术【3 】、 量子隐形传态【4 】、量子计算【5 】等。这些全新的处理方法主要依赖于量子力学的基本 规律,突破了经典理论无法达到的极限。两种处理方式关键的区别主要是信息形式和 载体的不同。在量子信息科学中,人们认为信息不仅包含了经典意义上的信息,还有 相干特性的量子信息,其中最重要的就是量子纠缠。量子纠缠描述了量子体系之间非 定域的量子关联。从数学表达方式上看,纠缠态不能表示成两个子系统态的直积的形 式,在经典理论里没有相关的对应体。人们经常把纠缠和b e l l 不等式【l ,2 】联系起来, 实验上已经实现通过b e l l 不等式证明了量子非定域关联的存在。现在,量子纠缠作 为一种非常重要的物理资源,在量子信息和量子计算中有着巨大的应用前景。例如, 量子隐形传态【3 】( t e l e p o r t a t i o n ) 就是利用基于纠缠的e p r 态为通道;量子计算中的 s h o r 算法【4 】就是利用纠缠实现平行计算【5 】的。同时,量子纠缠还在密匙分配 6 】、量 子密集编码【7 】等量子通信中有着广泛应用。目前,对纠缠度比较公认的度量有三种: 形成纠缠度 8 】( e n t a n g l e m e n to ff o r m a t i o n ) ,提纯纠缠 8 ( e n t a n g l e m e n to fd i s t i l l a t i o n ) 和相对纠缠熵【9 】( r e l a t i v ee n t r o p yo f e n t a n g l e m e n t ) 。 近年来,由于人们渴望实现量子计算使得人们大大加强了对量子信息的研究。尽 管大规模的量子计算还未能够实现,但是量子多体理论和量子信息论的学科交叉产生 了许多新的研究领域和课题,量子纠缠和量子相变的关系就是其中之。量子纠缠在 判定量子相变过程中起着重要的作用。在量子多体理论中,量子相变是一种发生在绝 对零度,由量子涨落而不是热涨落导致的相变现象,它意味着系统在零温度下出现量 子波动。当一个可调控量接近临界点时,系统的很多性质都会发生剧烈变化f 1 0 】。利 固态自旋系统中的量子纠缠和量子相变第一章引言 用量子多体理论和量子信息论的学科交叉,纠缠可以用来判定系统是否存在相变 1 1 - 2 2 】。一个比较典型的例子就是o s b o r n e 利用j o r d a n w i g n e r 变换,精确解析了一 维无限长的伊辛链,得到的熵成功地判定了相变点【1 2 】。近来,量子信息论中的保真 度也被用来判定量子相变,并取得了成功 2 3 3 2 】。很多的研究表明,保真度和纠缠熵 在很多的系统中都具有判定相变的能力。 1 2 量子纠缠的度量 1 2 1s c h m i d t 分解和两体纠缠熵 复合系统纯态的s c h m i d t 分解定理适用于由子系统l 和2 组成的复杂体系,如果 它处于一个纯态p = j y ) 缈f ,那么相应的子系统的约化密度矩阵就为, p 1 ) - 矾p ,p 汹= 弘p ,则l y ) = 、石l 砖) l 簖) ,雠) ,l 非) 分别为p ,户2 的本征态,相应的本征值都为成。 该定理的证明过程如下:取子系统1 的态i 硝) 为夕( 1 ) 的本征态,相应的本征值成, p 1 l 以) = 成i 以) , 以) j 构成一组正交归一的基矢。设子系统2 的正交归一基矢 为 砖) ,如果这两个子系统存在共同的本征值成,就表明这样的纯态分解是可行 的,即定理是成立的。 i y ) = c 。渺) 拶) = l c 。矽) 归) ( 1 2 1 ) 我们定义:c 。l ) - - e c 小。l 酵) ,可以设i ) 归一。于是有,l y ) = c ,i 砖) f 格) 同时有,( 矽l 砖) = 石毒- c 二c 。 册一m 册 c 舢= ( 砝擀i 妙) 2 固态自旋系统中的量子纠缠和量子相变第一章弓i 言 c 二= ( 少彬) 拶) ( 澎) 砖) = 万 缈l 硝) l 以2 ) ( 矽纠( u 乎p ) = 万 似8 ( 0 2 h 以2 ) l | 站) 。肘o m h o m o m n 2 者( 删。2 毒。 我们可以得到共同的本征值以= i e l 2 ,复杂系统的纯态就表示成 i 少) = _ l 砝) 拶) ( 1 2 2 ) 对于更多粒子系统组成的纯态,我们可以扩展它的概念,将系统分成任意的两 个部分系统a 和系统b 的和,如图1 所示。 户心手黝燃 图1 将一个大的系统看成两个子系统 假设存在一对量子系统a 和b ,整体任意量子态可用密度矩阵几占来表示。对于 两粒子的纯态系统,纠缠度可以用系统的部分熵e 来表示,即:a 和b 任意一个子 系统的熵为 e = 一t r g l 0 9 2 凡) = 一t r c o bl 0 9 2p a ) ( 1 2 3 ) 其中矶( b ) 是几占对子空间b ( a ) 部分的迹,表示子系统a ( b ) 的约化密度矩阵。对于 两粒子的混合态系统,考虑对密度矩阵的各种可能纯态的分解,有 p 月日- - :c p ,i 仍) 协i ( 1 2 4 ) 式中,p 。指的概率,k ,j 纪) 捷p , t 口的任意一种分解形式。显然,对于一般的混合态, 固态自旋系统中的量子纠缠和量子相变第一章引言 其形成纠缠度可以定义为:各种可能分解的纯态纠缠度的最小平均值。 1 2 2 两量子位纠缠的度量方法 根据上述纠缠度量方式的定义,w o o t t e r s 提出并证明了可以用c o n c u r r e n c e 来精 确度量二粒子系统纠缠的方法【3 3 3 5 。设p 为2 - - q u b i t 系统的密度矩阵。首先得 到一个旋转后的密度矩阵 声= b y 圆o - y 加p y 圆o - ,) ( 1 2 5 ) 其中,盯。为泡利矩阵。于是,c o n c u r r e n c e 可定义为 c 彻= m a x 仇一如一如一厶,0 ) ( 1 2 6 ) 其中彳o = 1 , 2 ,3 ,4 ) 为算符五= 彦的本征值,且有如下关系: 五= m a ) 【轨,如,如,厶) ( 1 2 7 ) 当c o n c u r r e n c e = 1 时,表明系统达到最大纠缠,相反,当c o n c u r r e n c e = 0 时,系统不 存在纠缠。 对于两量子位的纠缠度量,v i d a l 3 6 】基于p e r e s 3 7 的可分离判据:即部分转置 正定是判定态是否为可分离态的充分必要条件,提出了一种比较通用的量子纠缠的度 量方式- n e g a t i v i 饥它的定义为 o ) :哔 ( 1 2 8 )o ) :掣 ( 1 2 8 ) 其中,p 乃是p 的部分转置,删为矩阵的迹。其实n e g a t i v i t y 就是p 毛负的本征值绝 对值之和。还有另一种l o g a r i t h m i cn e g a t i v i t y e a b ) = l o g :p 乃0 ( 1 2 9 ) n e g a t i v i t y 和l o g a r i t h m i cn e g a t i v i t y 不但适用于两粒子量子体系,而且对于多粒 子量子体系也可以有相应的推广。 4 固态自旋系统中的量了纠缠和量子相变 第一章引言 1 3 保真度和量子相变 在量子力学中,两种态的重叠通常表不一种态向另一种态的变化【3 8 4 0 】。从信思 论的角度去看的话,两种态的重叠可以描述两种态的相似程度,可以用保真度来描述 4 1 4 3 1 。两种态的量子保真度可以定义如下 f - ,p z ) 一乃d 心p z 纠坨 ( 1 - 3 1 ) 如果翻( z ) 2i y l ( 2 ) ) 缈( z ) i ,量子保真度则可以写成 ,2m 少- ) l ( 1 3 2 ) 保真度有一些比较特别的性质 f 6 0 。,n ) = 1 0 f c o l ,p 2 ) 1 f ( p l ,仍) = f 6 0 2 ,岛) ( 1 3 3 ) 对于两个单量子位的态l ( :) ) = c o s p l ( :) i o + s i n e , ( 2 ) 1 1 ) ,他们的保真度为 f 2 i c o s ( b 一岛) l ( 1 3 4 ) 量子相变是量子多体系统中一种现象,它是由该系统的基态性质所表征的。基态 的保真度可以用来判定量子相变。一个一般的量子多体系统可以表示成为 荆= 玩+ 饵 ( 1 3 5 ) q 是可以驱动变化的哈密顿量,五是其强度。假设i 嘲表示系统的基态。基态的l 叫砌 和基态的i 嘶+ 神的保真度为 f q ,6 ) = ( 岱q ) l 岱q + 万” ( 1 3 6 ) 存量子相蛮点卜基杰的傈直摩会有比较强烈的变化。 1 4 本文研究的意义及主要内容 从二十世纪的九十年代至今,无论是理论分析还是实验研究,量子信息处理和量 固态自旋系统中的量子纠缠和量了相变第一牵引言 子计算一直都是国际学术界研究的热点课题之一。而量子纠缠作为实现量子隐形传 态、量子计算和量子信息处理的核心资源,也成为人们研究的重点。人们虽然从理论 上证实了固态自旋系统中存在量子纠缠,但是如何实现纠缠的调控,进而将其应用到 量子隐形传态和量子计算中,实现优化的量子信息处理,就成为人们迫切需要解决的 科学和技术问题。 本文的第二章简单讨论了密度矩阵重整化群计算方法。 本文的第二章第- 4 , 节主要讨论了矩阵重整化群的发展背景,介绍密度矩阵重整 化群的精确对角化和数值重整化群。 本文的第二章第二小节主要讨论了矩阵重整化群的基本知识,介绍了密度矩阵重 整化群中的无限链和有限链的情况、周期性边界条件和开放性边界条件、奇数链和偶 数链的情况以及密度矩阵重整化群中的度量问题。 本文的第二章第三小节主要讨论了含时矩阵重整化群的基本知识。 本文的第三章主要讨论了一维固态自旋链系统中的量子纠缠特性。 本文的第三章第一小节主要讨论了畴壁中一维海森堡链中的纠缠特性。 本文的第三章第- d , 节主要讨论了交替磁场中一维伊辛链的纠缠熵特性。 本文的第三章第三小节主要讨论了边缘掺杂一维海森堡链中的纠缠特性。 本文的第四章主要讨论了自旋链系统中的量子纠缠、量子保真度和量子相变之间 的关联性。 本文的第四章第- d , 节主要讨论反铁磁铁磁交替自旋链系统的中的量子纠缠、 量子保真度和量子相变之间的关系。 本文的第四章第- d , 节主要讨论了高自旋链( s = 1 ) 的量子纠缠、量子保真度和量 子相变之间的关系。 本文的第五章是对自旋系统中量子信息处理的总结和展望。 6 同态自旋系统中的量子纠缠和量子相变第一章引言 参考文献 【1 j 1a a c i n ,d b r u 8 ,m l e w e n s t e i n ,a n da s a n p e r a ,c l a s s i f i c a t i o no fm i x e dt h r e e q u b i t s t a t e s ,p h y s r e v a ( 1 9 9 8 ) 5 71 6 1 9 【2 lvv e d r a l ,m b p l e n i o ,m a r i p p i n ,a n del k n i g h t ,q u a n t i f y i n ge n t a n g l e m e n t , p h y s r e v l e t t ( 19 9 7 ) 7 82 2 7 5 【3 1 3c h b e n n e t t ,gb r a s s a r d ,c c r 6 p e a u ,r j o z s a , a r p e r e s ,a n dw k w o o t t e r s , t e l e p o r t i n ga nu r l k n o w nq u a n t u ms t a t ev i ad u a lc l a s s i c a la n de i n s t e i n p o d o l s k y r o s e nc h a n n e l s ,p h y s r e v l e t t ( 19 9 3 ) 7 018 9 5 【4 1p w s h o ha l g o r i t h m sf o rc o m p u t a t i o nd i s c r e t el o ga n df a c t o r i n g ,i np r o c e e d i n go ft h e 3 5 ma n n u a ls y m p o s i u mo nf o u n d a t i o n so fc o m p u t e rs c i e n c e ( i e e ec o m p u t e r s o c i e t yp r e s s ,l o sa l a m o s ,19 9 4 ) 【5 1 5a k e k e r t ,e f f i c i e n tf a u l t - t o l e r a n tq u a n t u mc o m p u t i n g ,n a t u r e ( 19 9 9 ) 3 9 912 4 1 6 1 6a k e k e r t ,q u a n t u mc r y p t o g r a p h yb a s e do nb e l l st h e o r e m ,p h y s r e v l e t t ( 1 9 9 1 ) 6 76 6 1 【7 】7c h b e n n e t t ,p w s h o lj a s m o l i n ,a n da vt h a p l i y a l ,e n t a n g l e m e n t a s s i s t e d c l a s s i c a lc a p a c i t yo f n o i s yq u a n t u mc h a n n e l s ,p h y s r e v l e t t ( 1 9 9 9 ) 8 33 0 8 1 1 8 】8c h b e n n e t t ,d p d i v i n c e n z o ,j a s m o l i n ,a n dw k w o o t t e m ,m i x e d - s t a t e e n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u me r r o rc o r r e c t i o n ,p h y s r e v a ( 1 9 9 6 ) 5 43 8 2 4 1 9 1 9 vv e d r a la n dm b p l e n i o ,e n t a n g l e m e n tm e a s u r e sa n dp u r i f i c a t i o np r o c e d u r e s ,p h y s r e v a ( 1 9 9 8 ) 5 71 6 1 9 1 1 0 】s s a c h d e v ,q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n s ( c a m b r i d g eu n i v e r s i t yp r e s s ,c a m b r i d g e , e n g l a n d ,19 9 9 ) 【1 1 】a o s t e r l o h ,l u i g ia m i c o ,g f a l c ia n d r o s a r i of a z i o ,s c a l i n go fe n t a n g l e m e n tc l o s e t oaq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ,n a t u r e ( 2 0 0 2 ) 4 1 66 0 8 1 1 2 lt j o s b o r n ea n dm a n i e l s e n ,e n t a n g l e m e n ti nas i m p l eq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n p h y s r e v a ( 2 0 0 2 ) 6 6 ,0 3 2 11 0 【1 3 lg v i d a l ,j i l a t o r r e ,e r i c o ,a n da k i t a e v ,e n t a n g l e m e n ti nq u a n t u mc r i t i c a l 7 固态自旋系统中的量了纠缠和量子相变 第一章引言 p h e n o m e n a , p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 3 ) 9 0 ,2 2 7 9 0 2 【1 4 js q s u ,j l s o n g ,a n ds j g u ,l o c a le n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o ni n ao n e d i m e n s i o n a lt r a n s v e r s ef i e l di s i n gm o d e l ,p h y s r e v a ( 2 0 0 6 ) 7 40 3 2 3 0 8 il5 】h d c h e n ,t w o - p o i n te n t a n g l e m e n tn e a raq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ,j p h y s a : m a t h t h e o r ( 2 0 0 7 ) 4 010 215 【16 jj v i d a l ,r m o s s e r ia n dj d u k e l s k y , e n t a n g l e m e n ti naf i r s t o r d e rq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o n ,p h y s r e v a ( 2 0 0 4 ) 6 90 5 4 101 1 1 7 】j v i d a l ,gp a l a c i o s ,a n dr m o s s e r i ,e n t a n g l e m e n ti nas e c o n d o r d e rq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o n ,p h y s r e v a ( 2 0 0 4 ) 6 90 2 210 7 【l8 】t b a r t h e l ,s d u s u e l ,a n dj v i d a l ,e n t a n g l e m e n te n t r o p yb e y o n dt h ef r e ec a s e ,p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 6 ) 9 72 2 0 4 0 2 1 1 9 ls j g u ,h q l i n ,a n dyq l i ,e n t a n g l e m e n t ,q u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n ,a n ds c a l i n g i nt h ex x z c h a i n ,p h y s r e v a ( 2 0 0 3 ) 6 80 4 2 3 3 0 【2 0 】s j g u ,s s d e n g ,yq l i ,a n dh q l i n ,e n t a n g l e m e n ta n dq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o ni nt h ee x t e n d e dh u b b a r dm o d ep h y s r e v l e t t ( 2 0 0 4 ) 9 30 8 6 4 0 2 【2 1 】a k i t a e v ,a n dj p r e s k i l l ,t o p o l o g i c a le n t a n g l e m e n te n t r o p y , p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 6 ) 9 61 1 0 4 0 4 【2 2 l0 l e g e z aa n dj s 6 1 y o m ,t w o - s i t ee n t r o p ya n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n si n l o w - d i m e n s i o n a lm o d e l s ,p l a y s 。r e v l e r ( 2 0 0 6 ) 9 6 ,116 4 01 【2 3 lh q z h o u ,j h z h a o ,a n db l i ,f i d e l i t ya p p r o a c ht oq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n s : f i n i t es i z es c a l i n gf o rq u a n t u mi s i n gm o d e li nat r a n s v e r s ef i e l d ,a r x i v :0 7 0 4 2 9 4 0 ;h q z h o u ,r e n o r m a l i z a t i o ng r o u pf l o w sa n dq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o n s :f i d e l i t yv e r s u s e n t a n g l e m e n t ,a r x i v :0 7 0 4 2 9 4 5 1 2 4 lp z a n a r d i ,m c o z z i n i ,a n dp g i o r d a , g r o u n ds t a t ef i d e l i t ya n dq u a n t u mp h a s e t r a n s i t i o n si nf r e ef e r m is y s t e m szs t a t m e c h ( 2 0 0 7 ) l 0 2 0 0 2a r x i v :q u a n t p 彬 0 6 0 6 1 3 0 【2 5 1n o e l k e r sa n dj l i n k s ,g r o u n d - s t a t ep r o p e r t i e so f t h ea t t r a c t i v eo n e d i m e n s i o n a l b o s e h u b b a r dm o d e l ,p h y s r e v b ( 2 0 0 7 ) 7 5115119 8 同态自旋系统中的量了纠缠和量了相变第一章引言 【2 6 】l c v e n u t ia n dp z a n a r d i ,q u a n t u mc r i t i c a ls c a l i n go f t h eg e o m e t r i ct e n s o r s ,p h y s r e v l e t t ( 2 0 0 7 ) 9

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