（应用数学专业论文）自相似集的拟对称等价.pdf

摘要 在本文中我们证明了满足强分离条件下的自相似集是拟对称等价的并且 这个等价类包含了所有的c 1 ，n 双l i p s c h i t z 的迭代函数系统的吸引子而对于 部分c 1 双l i p s c h i t z 的迭代函数的吸引子并不在此类中，我们在本文中构造 了一个反例来说明全文共分为两个部分：在第一部分，我们证明了符号空间 之间的拟对称等价性，然后利用这个等价性来证明了满足强分离条件下的两 个自相似集合都是拟对称等价的并且由于c o o k i e c u t t e r 集具有近似自相 似性，我们将这个拟对称等价性推广到了一般的c o o k i e c u t t e r 集，即一般的 c 1 ，n 双l i p s c h i t z 的迭代函数系统在第二部分，我们给出了一个瓣中的c l 双l i p s c h i t z 的迭代函数系统，它具有不一致完全的吸引子，从而得出了拟对 称等价性是不包含此类迭代函数系统的 关键词 自相似集，c o o k i e - c u t t e r 集，迭代函数系统，拟对称等价 a b s t r a c t w e p r o v et h a ts e l f - s i m i l a rs e t sw i t ht h es t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o na r ea l lq u a - s i s y m m e t r i c a l l ye q u i v a l e n ti n t h i sp a p e r t h e nw es h o wt h a tq u a s i s y m m e t r i c a l l y e q u i v a l e n tc l a s so fs e t sc o n t a i n sa l la t t r a c t o r so fc 1 一b i l i p s c h i t zi f s s a l s ow ec o n - s t r u c ta ne x a m p l et os h o wt h a tt h ea t t r a c t o r so fs o m ec 1b i l i p s c h i t zi f s sm a yn o t b e l o n gt ot h i sc l a s s t h i sp a p e rh a v et w op a r t s ：i np a r to n e ，w ep r o v et h a ta l l s y m b o l i cs p a c e sa r eq u a s i s y m m e t r i c a l l ye q u i v a l e n t ，t h e nw ep o r et h a ta l l s e l f - s i m i l a r s e t sw i t ht h es t r o n gs e p a r a t i o nc o n d i t i o na r eq u a s i s y m m e t r i c a l l ye q u i v a l e n tb yt h i s c o n c l u s i o n b e c a u s et h ec o o k i e c u t t e rs e ti sa p p r o x i m a t e l ys e l f - s i m i l a r ，s ow ec a n t h a tt h eq u a s i s y m m e t r i c a l l ye q u i v a l e n tc l a s sc o n t a i n st h ec o o k i e c u t t e rs e t i n p a r tt w o ，w ep r o v et h et w oc o n c l u s i o n so ft h i sp a p e r ：w es h o wac lb i l i p s c h i t zi f s s w h oi sd e f i n e do n 蹰t h ea t t r a c t o r so ft h i sc 1b i l i p s c h i t zi f si sn o tu n i f o r m l yp e r - f e c t ，s ow ek n o wt h a tt h i st h eq u a s i s y m m e t r i c a l l ye q u i v a l e n td o e sn o tc o n t a i n st h i s c 1b i l i p s c h i t zi f s k e yw o r d s s e l f - s i m i l a rs e t ；c o o k i e - s e t ；i t e r a t e df u n c t i o ns y s t e m ；q u a s i s y m e t r i ce q u i v a l e n c e 湖北大学学位论文原创性声明和使用授权 说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下，独立进行研 究工作所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不含任何其他个 人或集体已经发表或撰写过的作品或成果对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明本声明的法律后果由本人承担 论文作者签名：浆岳新 签名日期：尹吵年多月歹日 学位论文使用授权说明 本人完全了解湖北大学关于收集、保存、使用学位论文的规定，即：按照 学校要求提交学位论文的印刷本和电子版本；学校有权保存学位论文的印刷 本和电子版，并提供目录检索与阅览服务；学校可以采用影印、缩印、数字化 或其它复制手段保存论文；在不以赢利为目的前提下，学校可以公布论文的部 分或全部内容( 保密论文在解密后遵守此规定) 论文作者签名： 杂长新 签名日期：刎年月，日 导师签名：炙比玖 导师签名：犬i ，n 、 签名日期：p 9 、年艿月，日 第一章引言 第一章引言 设x ，y 是度量空间，称嵌入映射f ：x _ y 为叩一拟对称映射，如果存在 同胚映射，7 ：【0 ，+ 。o ) _ 【0 ，+ o 。) ，对任意的z ，a ，b x ，都有 渊纠副xb ) ( 1 ) i ，( z ) 一，( 6 ) i ：叫、il r、7 我们称度量空间x ，y 是拟对称等价的，如果存在到上的拟对称映射，：x _ y ，并且记为x q 8y 从文献 4 】我们知道拟对称映射的逆映射依然是拟对称 映射，所以如果有x 一驴y 和y 驴z ，则有x q 5z 拟对称映射最早出现在b e u r i n g 和a h l f o r s 的文章中作者定义实直线上的 拟对称映射为上半平面的边界到自身的拟共形映射，这一事实使得拟对称映 射在很多空间中都很重要最后在文献f l o 里由t u k i a 和v i i i s i l i 对一般的拟 对称嵌入映射做了系统的研究在文献1 中a s s o u a d 证明了一个度量空间是 拟对称嵌入欧式空间的当且仅当它是加倍的从文献【4 】中，我们知道一致完 全性是拟对称映射下保持不变的而拟对称映射对于空间维数的影响在文献 【2 ，7 ，9 ，1 1 】中都有讨论和提及 现在我们回忆下自相似集的定义设n 为整数，并且n 2 ，厶是定 义在铲上的自相似映射，并且v x ，y 舻，有 ，i ( z ) 一 ( 秒) i = g i z 一! ，i ( 2 ) 其中c ”，岛是常数，c ( 0 ，1 ) 则存在唯一非空的紧子集e 满足 n e = u f i ( e ) ( 3 ) i - - - - 1 此时我们称集合e 为自相似集f 6 】为了方便和直观，本文中都将自相似集记 为e ( ，c 4 n ；1 ) 称自相似映射族 ，厶为迭代函数系统i f s 称自相似集e ( ，色) 鍪1 ) 是满足强分离条件s s c 的，如果v i ，j 1 ，2 ，n ， 都有 f i ( e ) n f j ( e ) = o ( 4 ) 1 湖北大学硕士学位论文 很显然，满足强分离条件的自相似集一定是全不连通的 如果自相似集e ( f i ，q ) 鍪1 ) 和e ( g i ，n 冬1 ) 都是满足强分离条件的，很显 然我们会有这两个自相似集是l i p s c h i t z l y 等价的但对于一般的自相似集之 间的l i p s c h i t z l y 等价就有一定的难度了在文献 3 】中f a l c o n e r 和m a r s h 给 出了自相似集e ( f i ，a ) 鍪1 ) 和e ( g i ，n ) 翟1 ) 是l i p s c h i t z l y 等价的必要条件 r a o ，r u a n ，x i 在文献【8 里证明了自相似集合( 1 ，3 ，5 ) 和( 1 ，4 ，5 ) 是l i p s c h i t z l y 等 价的这里的自相似集合( 1 ，3 ，5 ) 和( 1 ，4 ，5 ) 都是在【0 ，1 】上，定义如下， e = 吾eu ( 5 2 + 吾e ) u ( 5 4 + 昙e ) f = 丢fu ( 耋+ 丢f ) u ( 昙+ 言f ) 本文中主要研究了自相似集的的拟对称等价在这里我们证明了满足强分离条 件下的自相似集都是拟对称等价的，并且这个等价性包含了由c l , a b i l i p s c h i t z l y 迭代函数系统的吸引子而这个等价性在c 1 b i l i p s c h i t z l y 迭代函数系统的吸引 子上不一定成立，在这里我们给出了反例 2 第二章预备知识及本文主要结果 第二章预备知识及本文主要结果 2 1自相似集 定义2 1 1 自相似集设n 为整数，并且n 2 ，n 是定义在刚上的自 相似映射，并且v x ，y 剌，有 i ( z ) 一 ( 可) f = 色i z 一暑，1 其中c l ，c n 是常数，c ( 0 ，1 ) 则存在唯一非空的紧子集e 满足 n e = u ( e ) = 1 此时我们称集合e 为自相似集为了方便和直观，本文中都将自相似集记为e ( f i ，c 鍪1 ) 称自相似映射族 ，厶为迭代函数系统i f s 称自相似集e ( f i ，q ) 鍪1 ) 是满足强分离条件s s c 的，如果v i ，j 1 ，2 ，礼，都 有 ( e ) n 办( e ) = 0 很显然，满足强分离条件的自相似集一定是全不连通的 定义2 1 2符号空间给定礼z 且佗2 令由字符 1 ，2 ，佗】构成的单 边无穷序列的全体为q n 则有q n ，记z 的k 级柱集为z 七对于z ，y q n ，令 s ( z ，y ) 是使得z 。y 。的最小的整数，定义度量如下， l z y i = 2 - s ( 删) 我们称此时的为符号空间很显然我们可以看出，符号空间q 。是全不连通的 紧致空间在本文中，我们将会证明说有的符号空间都是彼此拟对称等价的 定义2 1 3 编码映射给定礼z 且n 2 设e ：= e ( ，c t 翟1 ) 是满足强分离 条件下的自相似集则存在从符号空间q 。到自相似集e 的编码映射丌很容易知 道编码映射丌是一同胚映射在此时，丌也是一拟对称映射，本文将会在后面给出 证明 3 湖北大学硕士学位论文 首先我们给出编码映射的定义令k z 且k 1 ，记 w k = n i k ：i j 1 ，佗) ，1sj 七) 这里w k 表示由字符 1 ，2 ，礼) 构成的长为k 的序列全体对于任意的序列盯= 仃l 盯七w k ，定义厶，如下 j o = i n0 0 口t ， c 口2c 口l c a k 其中符号。表示函数的复合则函数厶依然是一个自相似映射，并且妇，y 剌有 i 厶( z ) 一厶( 耖) i = i z 一可i 通过前面符号的定义，则从( 3 ) 可以得到 e = uf a ( e ) 口w k 当e ：= e ( f i ，色) 翟1 ) 满足强分离条件时，我们有，仃n 工，= 0 ，其中盯，t ，帆如果 盯q 。是一个无穷序列，则 厶i 。( e ) ) 是一列紧集套。并且当k o o 时，有 i 厶i 。( e ) l = i 。i e i _ 0 所以n 是l 厶l 。( e ) 是非空的单点集，我们记这个点为z ，即z ，= n 是l 厶i 。( e ) 这里 的盯l k = 盯l o k 表示前k 个字符有盯相同的字符序列全体在这里我们定义编码 映射丌如下 丌：q n e ，7 r ( 盯) = z 口 显然在e 在满足强分离条件时，这里的丌为双射 2 2 c o o k i e - c u t t e r 集 定义2 2 1c o o k i e c u t t e r 映射设x 是实数r 上的有界非空闭区间，x 1 ，恐 是x 上的不交闭子区间称映射，：x 1ux 2 _ x 是c o o k i e c u t t e r 映射。如果 i x , ：置_ x ( i = 1 ，2 ) 为c 2 微分同胚且对任意的z x lux 2 有i ( z ) l 1 定义2 2 2c o o k i e c u t t e r 集设x 为非空有界闭区间，x l ，拖是x 上的不交 闭子区间，映射，为c o o k i e c u t t e r 映射，我们称集合 e = n y - k ( x ) = 忙x iu 拖：，知x iux 2 惫2 0 为c o o k i e c u t t e r 集，其中，七是，的第k 次迭代，记为e ( f ， f 1 ，易) ) 4 第二章预备知识及本文主要结果 因为，是连续可导的，则存在反函数在这里我们定义它反函数的两个可微分 支， e l = 1 - 1 ( z ) n x l f 2 = f - i 0 ) nx 2 这样得到的函数f l ，最分别是从x 到x l ，尥的双射并且因为l ，( z ) i 1 ，则存在 0 c a n i 。眠 1 ，使得对于所有的z x 1ux 2 ，都有 1 c m - 蜮1i f ( z ) l c 。- i 1 。 o o 所以我们可以知道，对任意的z x ，有 c m i n l z y i i 最( z ) 一冠( z ) i c 缸a x i z y i ( z ，y x ) 此时的函数f 1 ，而显然是x 上的压缩映射故对于上面定义的c o o k i e c u t t e r 集 e 有 e = f ( e ) = f - 1 ( e ) = f 1 ( e ) u f 2 ( e ) 从而e 可以认为是由c o o k i e c u t t e r 映射，生成的斥子或者是由迭代函数系统 【f 1 ，f 2 ) 的不变集 例2 2 1 设日( z ) = z ；局( z ) = i x + ，则三分康托集为 毋，f 2 ) 生成的自相似 集对应有由，( z ) = 3 x ( m o d l ) 给出的映射，：【0 ， 】l j 【；，1 1 为c o o k i e c u t t e r 映射， 三分康托集为，生成的斥子，从而为c o o k i e c u t t e r 集 设盯，7 - w k ，其中o r = i l t 七，r = j 1 j i 七t ，j t 1 ，2 ) 记 b = r ，o 0 冠。，x 口= b ( x ) 映射，奄：x a x 为一个定义好的连续可微双射，则集族 ：盯w k 包含2 知个 不交闭区间，称为k 级基本区间由c o o k i e c u t t e r 集的定义的我们很容易看出 o o x a lux 仃2cx 。，e = nu k = l 口w k 因此每个k 级区间包含两个k + 1 级基本区间，并且这两个下级区间的间距可被不 依赖于七级区间的位置的常数控制，从这里我们可以知道c o o k i e c u t t e r 集是近似 自相似的 有界畸变原理存在常数b o ，b 1 ，对任意的盯= i l i k 帆， ( a ) 对任意的z ，我们有 b 0 1 i x ，i l ( ，南) 7 ( 。) i b o 5 湖北大学硕士学位论文 ( b ) 进一步对任意的y ，名如，有 b 1 1 f y z f i ，七( z ) 一i k ( z ) l i x ，i b l l y z 1 通过有界畸变原理，我们得出，七是可以由相似变换一致逼近的 结合c o o k i e c u t t e r 集的定义，以及有界畸变原理，得出了下面的一个推论 这个推论有便于我们讨论c o o k i e c u t t e r 集结构和对于定理二的证明在这里我们 引进一些记号，这些记号在后面也将会见到如果e ，f 表示集合，则俐表示其直 径，d i s t ( e ，f ) 表示e ，f 的间距如果e ，f 表示数，则旧表示其绝对值，exe 表示e ，f 在大小上是等价的，即存在常数c 1 ，使得c - 1 e f c e 推论2 2 1 设e 是由上面定义的c o o k i e c u t t e r 集，则对任意的k z ，任意的 盯w k ，任意的z 。x o ，任意的z x ，我们都有 i x 。i d i s t ( x a l ，2 ) xi 1 ixi 2 ixi ( ，2 ) 。( z ，) ixi 巧( z ) i 其中上式中各个隐藏的比例系数都是不依赖k ，口，z ，z 的选取 2 3驻上的c l f - 双l i p s c h i t z 迭代函数系统 定义2 3 1c 1 a 双l i p s c h i t z 迭代函数系统设映射，是从蹰到跄上的c 1 映 射，称，是c 1 一的，如果存在正常数l 使得对任意的z ，y 蹰，有 l ，( y ) 一，( z ) i l i y z i o 其中0 0 ，使得 对任意的x 0 e 以及任意的0 r d i a m ( e ) 都有 扛：c r i z 1 1 0 i s ( x ，可) 时 一8 ( f x ，f y ) + s ( f x ，f z ) 2 k ( n ) + 2 七( n ) ( 一8 ( x ，可) + 8 ( x ，z ) ) ， 所以 剃4 k ( n ) ( 一i * - , 。t 户“ 综上我们可以知道，是一个7 7 拟对称映射，其中 i 4 k ( “) 驴( 川，t 【0 ，l 】， 吼2 叱。m ；，吲描 到这里此引理的证明完成 引理3 1 2 设e ：= e ( ，q ) 翟1 ) 是满足强分离条件的自相似集则从q n 到e 的编码映射丌是拟对称映射 证明从前面丌的定义我们可以清楚的知道，l i k 帆有 7 r ( k 1 i k ) = r i ( e ) 这里的h i 训是在q 。中序列前后项为i l i k 的序列全体 在自相似集e 上，我们定义 ( 5 ) d = m ，i nd i s t ( f i ( e ) ，乃( e ) ) 1 l j 0 通过对d 的定义，于是1 i k w k 和1 i j n 我们有 d i s t ( y l f l i ( e ) ，乃1 仉j ( e ) ) q 1 i k d ( 6 ) 在预备只是里面知道编码映射丌是双射，下面我们来证明丌也是一拟对称映射 设盯，丁，u 是符号空间q 。中不同的三点，则有 l ! 二二l 一9 一。( 口，) + s ( 吼u ) l 口一u l 一 通过( 3 ) ，我们有x a , z ，厶| ( 1 ( 。) - 1 ) ( e ) ，再联系( 4 ) ，则可以得出 c 圳( 。( 口，卜1 ) d i z 盯一z r i c 仃l ( 。( 矿，) 一1 ) i e i ( 7 ) 9 湖北大学硕士学位论文 同样的 c a l ( 。( ，。) 一1 ) d i z ，一z u f c 口l ( 。( ，。) 一1 ) i e i ( 8 ) 于是我们可以得到 i 丌( 盯) 一丌( 丁) i i z ，一z ，i 一，c l ( 。( 。，) 一，) l e l 一= 一一 i 丌( 盯) 一7 r ( t ，) ll z 盯一z i c a i 。( 仉。) 一1 ) d 如果s ( 口，丁) s ( o ，u ) ，则有 矧旦d 墨h ( 刊盥d ( 矧) - 1 0 9 2 ；1 7 r ( 盯) 一7 r ( u ) i - ： 。“ _ ： 、l 盯一u i 7 而当s ( o ，7 ) s ( a ，u ) 时 矧孕c 妒和川孕( 矧) _ i 嘞c m - n ， 在这里c l n 觚= m a x e l ，) ，e m i n = m i n e l ， 通过上面的推断，可以得出编 码映射丌是一，7 拟对称映射， 机归博= 嚣 引理的证明完成 定理1 的证明：设m ，礼2 ，m ，礼z 令e ( f i ，q ) 冬1 ) 和f ( 夕i ，q ) 罂1 ) 都是满足 强分离条件下的自相似集q 。和q m 都是符号空间则根据引理2 1 和引理2 2 ，我 们有 e ( i i ，q ) 警1 ) 一口8q n 一9 。q m 一驴e ( g i ，q 翟1 ) 所以我们有e ( ，i ，q ) 冬1 ) 一q 8e ( g i ，色) 罂1 ) ，即定理1 得证 3 2 定理2 的证明 同样的为完成定理2 的证明，由于c o o k i e c u t t e r 集具有近似自相似的性质， 所以证明的方式与定理1 的证明类似 引理3 1 2 设x 为非空有界闭区间，x l ，是x 上的不交闭子区间，映射 ，为c o o k i e c u t t e r 映射，集合 e = n f - k ( x ) = z x 1u ：，七x 1u ) 为c o o k i e c u t t e r 集则从q n 到c o o k i e c u t t e r 集e 的编码映射7 r 是拟对称映 射 第三章主要定理的证明 证明类似于引理2 的证明，我们可以知道，v a w k 有 丌( 川) = 乃僻) 这里的m 是在q 。中序列前k 项为i z i 七的序列全体 同样的，我们定义 d = m i n ，d i s t ( f i ( x ) ，f j ( x ) ) 1 t j 0 因为对于任意的z x ，任意的i l ，n ) ，都存 在 o c m i 。，。 1 ) ，使得 c 抽i n i z y i l r ( z ) 一只( z ) l c 】【n 敝i z y l ( z ，y x ) 于是v a w k ，1 i j n 以及c o o k i e c u t t e r 集的近似自相似性， 的压缩因子不确定的，故我们有 d i s t ( f 。i ( x ) ，( x ) ) d 并且对于函数 ( 1 0 ) 显然编码映射丌是双射现在我们证明此时的编码映射丌是拟对称映射设盯，r ，u 是符号空间q 。中不同的三点，则有 ：2 - 8 ( a , r ) + “t ” 显然我们有z 口，z r b h 卜。) ( x ) ，则可以得出 c 矗i ，) 一。) d l z 口一z r i c ，i ( 。( ，) 一1 ) l x l ( 1 1 ) 同样的 c d i ( 。( 。一) 一1 ) d l z 口一z i c 盯i ( 。( 口，。) 一1 ) i x l ( 1 2 ) 于是我们可以得到 1 7 r ( 盯) 一7 r ( r ) i i z 。一z ，l ，c a i ( 。( 。，) 一1 ) i x l r 7 百2t _ _ t 3 一d 1 7 r ( 盯) 一7 r ( t ，) l i 茁一一z ”i - ：c i ( i ( 。，。) 一1 ) 如果s ( 盯，r ) s ( 盯， ) ，则有 矧s 幽d 礤州州) 盥d ( 矧v ) - l 吣一；1 7 r ( 盯) 一7 r ( u ) i - ： 。“ - ： 、j 盯一l 7 而当s ( a ，r ) 8 ( 以v ) 时 幽dt ，- 咖m i n 一叫州幽d ( 矧) _ l 嘞c m - n ，1 7 r ( 盯) 一7 r ( u ) i _ ： - 二 、l 口一u l 7 湖北大学硕士学位论文 通过上面的推断，可以得出编码映射丌是一 拟对称映射， 们，= 海：= ：。僦 引理的证明完成 定理2 的证明：通过引理3 1 2 ，引理3 1 1 以及引理3 1 3 ，可以很容易的知道 e ( f ， e l ，r ) ) 一9 8q n 一驴q 。一驴f ( g ， g l ，g 。】) 所以定理2 的证明完成 3 3定理3 的证明 定理3 的证明：为证明k ，s 是拟对称等价的，只需要证明k 与符号空间q 。是 拟对称等价就可以了而按照前面的证明思路和证明结果，只需要证明k 与符号 空间q n 之间的编码映射是拟对称映射 因为吸引子是k 满足 ( k ) n 办( k ) = d ，v i ，j 1 ，几 条件的，所以k 不是单点集根据定理2 3 1 我们可以得出k 是一致完全的并且 因为，t 是双l i p s c h i t z 的，则存在正常数0 c 1 ，c 2 1 ，使得对任意1si m 以及 任意的茁，y k ，有 c l i z y l i ( z ) 一 ( 暑，) l c 2 x 一暑i 设盯，7 帆，其中盯= i l 舐，7 - = j 1 九i ，j 1 ，礼) 记 如= 五，0 0 ，i 。，= 厅( k ) 则我们可以定义 d = m i nd i s t ( f i ( k ) ，办( k ) ) 1 i j n 。、 定义编码映射丌如下 7 r ：q n e ，7 r ( 盯) = 厶 显然此时的编码映射为双射 由于对于此迭代函数系统，其吸引子可以看成是全部压缩因子为c 1 和为c 2 的自 相似集的中间集故证明编码映射为拟对称映射的方式与前面的定理1 相同这样 我们就可以得到丌是拟对称等价的于是我们有 k 一驴q n q 8q m 一口5s 1 2 第三章主要定理的证明 则有k ，s 是拟对称等价的这样定理3 的证明完成 这样我们就完成了定理1 , 2 ，3 的证明但是对于某些定义在跪上的c 1 双l i p s c h i t z 迭代函数系统却不具有这种拟对称等价性，在下面我们给出了反例 3 4 c 1 反例 在文献【8 1 8 中证明了跄中的c 1 ，。双l i p s c h i t z 的迭代函数系统的吸引子如果不是 单点集，就一定是一致完全的并且构造一个定义在蹰上的c 1 双l i p s c h i t z 迭代函 数系统，其吸引子既不是一致完全的，也不是单点集并且构造如下， 首先取实数入，p ，并且满足0 p 入 1 一p 定义实数列q n ，风 q 。= 一 一1 p e 墨“，风= 然后假定 p 噼 则可以定义函数，( o ) = 0 对任意的n z + ，定义 ，( 口竹) = 口。+ 1 ，( p ，1 ) = 熊+ 1 其中，在【q n ，风】上是线性的在根据文献【8 】存在函数g n c 1 ( 【阮+ 1 ，q n 】) ，使得 鲰( 风+ 1 ) = 风4 - 2 ，鲰( q n ) = a ，i + 1 1 i 罂丛害等亟生：札莉1 ， z 一反1 z 一h + l l i m 丛生，逃生：札南， 希札南 “) 姚 半，譬卷掣) 对于任意的z ( 风+ 1 ，q 。) ，令f ( x ) = 鲰( z ) 并且， 他，= ra 霉u 篡 则我们定义了一个在蹰上的c 1 双l i p s c h i t z 映射并且对任意的z ，y 蹰，有 扣5 1 x - 可| l m ) - ，( 删字l x - y 现在开始构造c 1 双l i p s c h i t z 迭代函数系统对于任意的z 跪，定义 ( z ) = ，( z ) ，f 2 = 1 一p + z x 湖北大学硕士学位论文 对于c 1 双l i p s c h i t z 迭代函数系统 ，l ，2 ) ，存在唯一的非空紧子集 a = f l ( a ) uf 2 ( a ) 这里的a 既不是一致完全集，也不是单点集 这样我们就构造了一个c 1 双l i p s c h i t z 迭代函数系统，具有不一致完全的不变 集但是一致完全是在拟对称映射下保持不变的，故此类的迭代函数系统是不能与 强分离条件下的自相似集拟对称等价的 1 4 第四章有待进一步研究的问题 第四章有待进一步研究的问题 4 1 可以进一步考虑的问题 在本文的写作过程中，我们遇到了很多问题，其中一些在本文中得到了解决，但 还有一些尚未得到答案在这一节中，我们把尚未解决的问题阐述一下，以便进一 步地深入研究 问题： 对于有向图集，是否也具有于此相似的拟对称等价性? 1 5 湖北大学硕士学位论文 参考文献 【l i p a s s o u a d ，p l o n g e m e n t sl i p s c h i t z i e n sd a n sr n b u l l s o c m a t h f r a n c e l l l ( 1 9 8 3 ) ： 4 2 9 - 4 4 8 【2 i n a h a k o b y a n ，c a n t o rs e t sm i n i m a lf o rq u a s i s y m m e t r i cm a p s ，j o u r n a lo fc o n t e m p o r a r ym a t h e m a t i c a la n a l y s i s ，4 1 ( 2 0 0 6 ) ，n o 2 ，5 - 1 3 【3 k f a l c o n e r ，f r a c t a lg e o m e t r y ：m a t h e m a t i c a lf o u n d a t i o na n da p p l i c a t i o n s ，j o h n w i l e y , 1 9 9 0 【4 j h e i n o n e n ，l e c t u r e so na n a l y s i so nm e r i cs p a c e s ，s p r i n g e r ，2 0 0 0 f s f w g e h r i n ga n dj v h i s a l 5 ，h a n s d o r f fd i m e n s i o na n dq u a s i c o n f o r m a lm a p p i n g s ， j l o n d o nm a t h s o c ，6 ( 1 9 7 3 ) ，5 0 4 - 5 1 2 【6 k f a l c o n e r ，曾文曲，王向阳，陆夷译东北大学 出版社。1 9 9 9 【7 a f p o m m e r e n k e ，t h ep o i n c a r em e t r i co fp l a n ed o m a i n s ，l o n d o nm a t hs o c 1 9 7 8 1 8 ：4 7 5 - 4 8 3 【8 h u ir a o ，h u o - j u nr u a n ，l i - f e n gx i ，l i p s c h i t ze q u i v a l e n c eo fs e l f - s i m i l a rs e t s ， c r a c a d s c i p a r i s s e r i3 4 2 ( 2 0 0 6 ) 1 9 1 1 9 6 【9 p m l k i a ，h a u s d o r f fd i m e n s i o na n dq u a s i s y m m e t r i c a lm a p p i n g s ，m a t h s c a n d 6 5 ( 1 9 8 9 ) ，1 5 2 - 1 6 0 【1 0 p t u k i aa n dj v t i i s t i l i i ，q u a s i s y m m e t r i c a le m b e d d i n g so fm e t r i cs p a c e s a n n a c a d s c i f e n n s e r a im a t h 5 ，1 9 8 0 ，9 7 - 1 1 4 【1 1 j a n g - m e iw u ，n u l ls e t sf o rd o u b l i n ga n dd y a d i cd o u b l i n gm e a s u r e s ，a n n a c a d s c i f e n n m a t h 1 8 ，1 9 9 3 ，7 7 - 9 1 【1 2 x i ef ，y i ny ，u n i f o r m l yp e r f e c t n e s so fs e l f - a f f i n es e t s p r o ca m e rm a t hs o c ，2 0 0 3 ，1 3 ：3 0 5 3 - 3 0 5 7 【1 3 】阮火军，孙业顺，尹永成双l i p s c h i t z i f s 吸引子的一致完全性，中国科 学数学，2 0 0 6 ，3 6 ( 2 ) ：2 3 2 2 4 0 】6 参考文献 【1 4 m e i d a nh ua n ds h e n g y o uw e n ，t o p o l o g ya n di t sa p p l i