（应用数学专业论文）带参数的二阶常微分方程边界值问题的正解存在性.pdf

山东大学硕士学位论文 中文摘要 微分方程边值问题是微分方程理论研究中的一个基本问题随着科技的发 展，在数学、物理学、化学、生物学、医学、经济学，工程学、控制理论等许多科 学领域中出现了各种各样的非线性问题。在解决这些非线性问题的工程中，逐渐 形成了现代分析学中的一个非常重要的分支一一非线性泛函分析，它主要包括半 序方法、拓扑度理论、锥理论和变分方法等内容，为当今科技领域中的许多非线 性问题提供了富有成效的理论工具，尤其是在处理应用学科中提出的各种非线性 微分方程中发挥着不可替代的作用 2 0 世纪以来，泛函分析逐渐成为研究微分方程边值问题的重要理论基础事 实上，常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都可以得出 新的函数，可以将这些运算统一抽象为算子，泛函分析正是在算子概念的基础上 发展起来的3 0 年代中期法国数学家勒雷( j l e t a y ) 和绍德尔( s c h a u d e r ) 建 立了l e r a y s c h a u d e r 度理论他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方 程时，取得了巨大成功，尤其是这种理论对常微分方程边值问题的应用，形成了 常微分方程拓扑方法或泛函分析方法泛函分析方法的核心是不动点定理的建立 和应用 提到泛函分析的方法，不得不提到g r e e n 函数g r e e n 函数是研究非线性 常微分方程边值问题的重要工具借助g r e e n 函数将微分方程边值问题解的存 在性转化成算子不动点的存在性，便于给出边值问题的有解性、多解性以及唯一 性条件对于边值问题解的存在性讨论，只有正解的存在性才有意义很多作者 已经对以下边值问题的正解存在性进行了广泛讨论； l t ”( t ) = s ( t ，t ( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) iq u ( o ) 一触( 0 ) = 0 ，7 u ( 1 ) + 6 u ( 1 ) = 0 其中，c ( i o ，l 】x 【0 ，+ o 。) ，f 0 ，+ o o ) ) y l i 在文献【5 】中对s t u r m l i o u v i l l e 边值问题一般形式进行讨论，得到 正解存在性对于特殊情况，r m a 和b t h o m p s o n 在 6 】研究了下列边值问 题s i t l ”( t ) = a ( t ) f ( t ，仳( t ) ) ，t ( 0 ，1 ) tu ( o ) = u ( 1 ) = 0 且建立了关于多解性的结论 山东大学硕士学位论文 上述所涉及的参考文献都有一个共同的条件t ，是非负函数因为厂的非 负性保证相应的积分算子把锥映射到锥上，锥上不动点定理才能被应用本文在 受到文献【9 】9 的启发。在不要求f ( t 仳) 非负的情况下，通过把边值问题转化为积 分方程系统，应用不动点定理，研究下列带参数的二阶常微分边界值问题的正解 存在性本文的主要内容如下t 第一章介绍了微分方程边值问题的一些背景和预备知识 第二章讨论了带参数的二阶r o b i n 问题 l 一，“”( ) + 入，u = f ( t ，u ( ) ) ，( 0 ：1 ) l u ( o ) = 乱( 1 ) = 0 并且得到上述r o b i n 问题的正解存在性 第三章讨论了带有两个参数的二阶常微分边值问题 i u ”o ) + a u + b u = f ( t ，u ( f ) ) ，t ( o ，1 ) it ( o ) = 缸( 1 ) = 0 并得到正解存在性结论 关键词：正解，g r e e n 函数，不动点定理，锥，边值问题 山东大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r ef u n d a m e n t a lp r o b - l e m si nt h er e s e a r c ho ft h ed i f f e r e n t i a le q u a t i o n st h e o r i e s w i t ht h eg r e a td e v e l - o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , a l ls o r t so fn o n l i n e a rp r o b l e m sh a v er e s u l t e d f r o mm a t h e m a t i c s ，p h y s i c s ，c h e m i s t r y , b i o l o g y , m e d i c i n e ，e c o n o m i c s ，e n g i n e e r i n g ， c y b e r n e t i c sa n ds oo n d u r i n gt h ed e v e l o p m e n to fs o l v i n gs u c hp r o b l e m s ，n o n - l i n e a rf u n c t i o n a la n a l y s i sh a sb e c o m eo n eo ft h em o ! ；ti m p o r t a n tr e s e a r c hf i e l d s i nm o d e r nm a t h e m a t i c s i tm a i n l yi n c l u d e sp a r t i a lo r d e r i n gm e t h o d ，t o p o l o g i c a l d e g r e et h e o r y , c o n et h e o r ya n dt h ev a r i a t i o n a lm e t h o d a l s oi tp r o v i d e sav e r y e f f e c tt h e o r e t i c a lt o o lf o rs o l v i n gm a n yn o n l i n e a rp r o b l e m si nt h ef i e l d so f t h es c i - e n c ea n dt e c h n o l o g y a n dw h a ti sm o r e ，i ti sa ni m p o r t a n ta p p r o a c hf o rs t u d y i n g n o n l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sa r i s i n gf r o mm a n ya p p l i e dm a t h e m a t i c s f u n c t i o n a la n a l y s i sh a v eb e e nt h ei m p o r t a n tt h e o r yb a s i sg r a d u a l l yo nt h e s t u d i e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ss i n c e2 0 t hc e n t u r y i nf a c t ，t h ec o m m o nc h a r a c t e r i s t i co fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a lo p e r a t i o na n di n t e g r a l o p e r a t i o ni st h a t ，a f t e ro p e r a t i o n so naf u n c t i o nw ec a ng e tan e wf u n c t i o n w e c a l lt h et w ok i n d so fo p e r a t i o n so p e r a t o r sc o n s i s t e n t l ) ：f u n c t i o n a la n a l y s i sd e v e l o p so nt h eb a s i so fc o n c e p to fo p e r a t o r i nt h em i d1 9 3 0 s ，f r e n c hm a t h e m a t i c i a n j l e r a ya n dj s c h a u d e re s t a b l i s h e dl e r a y - s c h a u d e rd e g r e et h e o r y t h e i rm e t h o d s a r ev e r y8 u c c e d s s f u lo i lt h er e s e a r c ho fl i n e a rd i f f e r e n t i a l ，i n t e g r a la n df u n c t i o n a l e q u a t i o n s e s p e c i a l l y , t h et h e o r ya p p l i e so nt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i - n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o a sa n db e c o m e st o p o l o g i c a lm e t h o do rf u n c t i o n a la n a l y s i s m e t h o do fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n t h ec o r ei st h ee s t a b l i s h m e n ta n dt h e a p p l i c a t i o no ft h ef i x e dp o i n tt h e o r e m w bh a v et ot a l ka b o u tg t e e nf u n c t i o nw h i l et h ef u n c t i o n a lm e t h o d sa r e m e n t i o n e d g r e e nf u n c t i o ni sa ni m p o r t a n tt o o lo ns t u d y i n gt h eb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m so fn o n l i n e a ro r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s w i t ht h eh e l po fg r e e n f u n c t i o n ，w ec a nt r a n s f o r mt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n so fb o u n d a r yv a l u e p r o b l e m si n t ot h ee x i s t e n c eo ft h ef i x e dp o i n t so ft h eo p e r a t o r s ，a n dp r o v i d et h e c o n d i t i o nt ot h ee x i s t e n c eo fs o l u t i o n s ，m u l t i p l i c i t ys o l u t i o n sa n du n i q u e n e s so f b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s a sd i s c u s s i n gt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o n sf o r b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，o n l yt h e i rp o s i t i v e i i i 山东大学硕士学位论文 s o l u t i o n sa r es i g n i f i c a n t m a n ya u t h o r sh a v ee x t e n s i v e l ys t u d i e dt h ee x i s t e n c eo fp o s i t i v es o l u t i o no f t h ef o l l o w i n gb v p ( b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m ) ： 裂蕊黑二篇驴。 w h e r e ，c ( o ，1 】【0 ，+ o 。) ， 0 ，+ 。o ) ) i nr e c e n tp a p e r1 5 】，y l ig e n e r a l i z e st h ea b o v eb v pt os t u r m l i o u v i u e b o u n d a r yv a l u ep r o b l e ma n do b t a i n sr e s u l t so ni t se x i s t e n c e i nt h es p e c i a lc a s e ， r m aa n db t h o m p s o ni n 【6 i n v e s t i g a t et h ef o l l o w i n gb v p ： ，一u ”( t ) = n ( ) 邢，u ( ) ) ，( o ，1 ) 、缸( o ) = 牡( 1 ) = o a n de s t a b l i s ht h er e s u l t so ni t sm u l t i p l i c i t ys o l u t i o n s i n t h er e f e r e i l c e sm e n t i o n e da b o v e ，ac o m m o nc o n d i t i o nh a sb e e na s s u m e d ：， i s 氆n o n n e g a t i v ef u n c t i o n s i n c et h en o n n e g a t i v i t yo ns a s s u r et h a tc o r r e s p o n d i n g i n t e g r a lo p e r a t o rm a p st h ec o n ei n t ot h ec o n e ，t h ef i x e dp o i n tt h e o r e mo nt h e c o n ec a nb ea p p l i e d i n s p i r e db y 【6 】，i nt h ee a s eo fn o tr e q u i r i n gf ( t ，u ) t ob en o n n e g a t i v ei nt h e p a p e r ，b yt r a n s f o r m i n gt h eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e mi n t ot h ei n t e g r a le q u a t i o n s y s t e m ，a n da p p l y i n gt h ef i x e dp o i n ti n d e xt h e o r y t h ea u t h o rs t u d i e st h ee x i s t e n c e o fp o s i t i v es o l u t i o n sf o rs o m eb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sw i t hp a r a m e t e r s i ti sm a d eu po ft h r e ec h a p t e r sa n d t h em a i nc o n t e n t s a r ea sf o l l o w s ： c h a p t e r1i n t r o d u c e ss o m eb a c k g r o u n d sa n dp r e l i m i n a r i e sa b o u tb o u n d a r y v a l u ep r o b l e m so fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s c h a p t e r2d i s c u s s e ss e c o n do r d e rr o b i np r o b l e m sw i t ho n ep a r a m e t e r ： j ，一t ”( ) + a u ( ) = ，乱( t ) ) ! ( o ，1 ) l 让( o ) = t t ( 1 ) = o a n do b t a i n st h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fi t sp o s i t i v es o l u t i o n i v 山东大学硕士学位论文 c h a p t e r3d i s c u s s e ss e c o n do r d e rb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m so fo r d i n a r yd i f - f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t ht w op a r a m e t e r s ： f 一让”( ) 4 - a u ( ) + 阮( ) ：f ( t ，u ( ) ) ，( o ，1 ) 、t 正( o ) = u ( 1 ) = o a n do b t a i n st h er e s u l t so nt h ee x i s t e n c eo fi t sp o s i t i v es o l u t i o n k e yw o r d s ：p o s i t i v es o l u t i o n s ，g r e e nf u n c t i o n ，t h ef i x e dp o i n t t h e o r e m ，c o n e ，b o u n d a r yv a l u ep r o b l e m v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进 行研究所取得的成果除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含 任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果对本论文的研究 作出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本声明的 法律责任由本人承担。 敝储躲熟避 日期：趟! 必 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意学校 保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存 论文和汇编本学位论文 ( 保密的论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名鑫 j 墅笙导师签名： 日期：硝塑 山东大学硕士学位论文 第一章引言 1 1 背景知识介绍 常微分方程与微积分是同时产生的，从一开始就是人类认识世界和改造世界 的有力工具。随着生产实践和科学技术的发展，常微分方程逐渐演变发展为数学 学科中的理论联系实际的重要分支 常微分方程的一个核心而又基本的问题，是确定一个常微分方程满足定解条 件的解是否存在，即定解问题一般的，给定一个常微分方程 z m ) = ，( ，z ，z 7 x n - 1 )( 1 ) 其中f ：，r ”一r ，当需要寻找满足特定条件 u ( x ) = 0 ( 2 ) 的解时，就得到常微分方程定解问题，它由微分方程( 1 ) 和定解条件( 2 ) 构成， 其中u ：c 俨1 一r 与z 及z 的直到他一l 阶导数在t 的某些给定点上的取值有 关根据定解条件( 2 ) 的不同，常微分方程定解问题主要有初值问题，边值问题 和特征值问题边值问题就是定解条件( 2 ) 中对解及其相关导数在自变量t 的至 少两点处取值进行限定，称常微分方程边值问题中的定解条件为边值条件 二十世纪以来，泛函分析逐渐成为研究微分方程边值问题的重要理论基础 事实上，常微分运算和积分运算的共同特征是，它们作用到一个函数后都得出新 的函数，可以将这些运算统一抽象为算子泛函分析正是算子概念的基础上发展 起来的3 0 年代中期法国数学家勒雷( j l e r a y ) 和绍德尔( j s c h a u d e r ) 建立了 l e r a y - s c h a u d e r 度理论他们的方法用于研究线性微分、积分、泛函方程时，取 得了巨大成功尤其是这种理论对常微分方程问题的应用，形成了常微分方程拓 扑方法或泛函分析方法，其核心是各类不动点定理的建立和应用 在泛函分析理论以及实际问题的推动下，常微分方程边值问题的研究在近 半个世纪里发展十分迅速除了传统的二阶常微分方程两点边值问题之外，开始 研究高阶微分方程的边值问题，并且随着新问题的出现，形成了许多新的研究方 向 非线性常微分方程边值问题可分为非奇异边值问题和奇异边值问题两类在 最近3 0 年中，奇异常微分方程在气体动力学，流体力学，边界层理论等实际问 题中有着广泛而重要的应用，成为非线性常微分方程边值问题研究领域中的热 山东大学硕士学位论文 点对于奇异边值问题，有实际意义的解一般都是正解，因此正解的存在性和多 解性，是奇异边值问题研究的重要课题，j r a c h u n k o v a 【1 5 】用上下解和拓扑度 方法研究奇异周期边值问题取得了很多重要成果近几年，对奇异非线性边界值 问题的研究更加广泛和重视【3 4 ，3 5 ，3 6 ，3 7 ，3 8 】目前二阶边值问题的研究主要 集中在以下几方面； ( 1 ) 非线性项可以变号的边值问题； ( 2 ) 非线性项奇异的边值问题； ( 3 ) 非线性项既变号又奇异 对于二阶微分方程边值问题 i u ”= f ( t ，仳，u ) ，t ( 0 ，1 ) ia u ( o ) 一p u ( o ) = 0 ，7 u ( 1 ) 4 - 6 u ( 1 ) = 0 ， 其中，c ( 0 ，1 】【0 ，+ o 。) ，【0 ：+ o 。) ) e r b e ，h u ，w a n g 在文献 1 】对其正解存在性首先进行研究y l i 在文 献【5 】5 中一般化s t u r m l i o u v i u e 边值问题得到了存在性结论 r m a 和b t h o m p s o n 在文献【6 】中对下列边值问题进行研究t i 一乱”= n ( ) ，( 札) ，t ( 0 ，1 ) i 札( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 并且得到多解性结论 2 0 0 0 年黄春朝在文献【1 1 】中，应用打靶法，研究边值问题： 正解的存在性问题，其中，p 2 为常数，a 0 为参数 g c h a i 在文献【9 】中研究边值问题； 矗0 答( o 1 ) 其中，c ( 【o ：l 】【0 ，+ ) ，( 一。，+ ) ) ，入为参数，利用g r e e n 函数、不动点 定理等理论和方法，得到正解存在性 2 p - ! 卜0 + = u ) 2 l 入“ ，= 剐 t 0 一 以 ，-，、-一， 山东大学硕士学位论文 在文章【l o 】中，葛渭高谈到，二阶线性算子l 通常取为l x = z ”，这是 l x = z ”+ a l ( ) z + a 2 ( t ) x 当口l ( ) = a 2 ( t ) = 0 的特殊情况，即使对常系数的 情况也未得到充分讨论对非常系数情况l x = 0 的两个线性无关解不易求出。 g r e e n 函数不易表示 从文【9 】出发，在本文中作者欲讨论 i u ”+ a 乱= f ( t ，n ，u ) ，( 0 ，1 ) iu ( o ) = 礼( 1 ) = 0 ， 但是在利用【9 中方法进行讨论时遇到困难于是将( t ，u ，札) 形式作变换，考虑 下列问题 i u ”+ 洲7 + 乩= f ( t ，u ) ，( 0 ，1 ) lu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 进一步，由于g r e e n 函数的形式与边值问题有关，本文讨论带参数的r o b i n 问 题正解的存在性： i t ”+ a u = ( t ，札) ，t ( 0 ，1 ) iu ( o ) = u ( 1 ) = 0 ， 本文在第二章中利用g r e e n 函数、不动点定理等理论和方法。讨论上述 r o b i n 问题，并给出正解存在性定理 1 2 预备知识 下面先给出讨论带参数二阶微分方程边值问题需要用到的一些预备知识，首 先给出非线性泛函分析中的几个基本定义和定理 在后面的讨论中，我们约定i i i i 为c o ，1 】空间中的范数，即忆i i2 o m 0 ，使得对一切，t = u ( t ) m ，都有i 札( t ) i k vt j ； ( i i ) 集合m 中的函数等度连续，即对任给e 0 ，存在石( ) 0 ，使 得当t l j ，t 2 j ， i t l t 2 i 6 时，对任给的u = u ( ) m ，都有 i u ( h ) 一乱( 2 ) l 0 ，并且 c ( 1 r + ，r + ) ，i = 1 ，2 为方面起见，我们引入以下记号。 厶o2 1 恕。i n + f 曾( ( u ) u ) ， r o o = 1 翌警搿( ，- ( ，u ) 乱) ，“ 十o 。 ”、- ，加= l i m sup学(，2(t|)，u-*0+ i ，z o 。= 1 粤恕学k - ( 肫仳) 让) t 十。 令c ( t ，8 ) 为下列线性边值问题的g r e e n 函数 一u ”( ) + a u ( t ) = 0 ，u ( 0 ) = u 7 ( 1 ) = 0 ， 仃2 其中，参数满足a 一 从而我们可以得到以下的引理s 引理2 1 1 令u = 、，那么c ( t ，s ) 可以表示为： 当入 o 时， 8 = 0 8 1 ， 0 t s 1 ， g c t ，s ，= ： ：主；妻：主： 当一萼 。时，g = l j2 话了干害褊；当a = 。时，c = 1 ，6 = 1 ； 当一军 入 。， 一 u _ j 2 1 u k o ， i s , n i c o sy ，a o 令仃：罢，我们容易得到0 盯 0 ，- 2 0 = 口 + o o ，7 1 = c + o o ，7 ：。：d r ，c v f _ 3 广- 一1 仃r ，d v f 3 。- 1 0 2 r ，那 山东大学硕士学位论文 么边界值问题存在一个正解 证明：令妒( z ) = m a x 0 ，z ) ，z r 在e 中定义算子a = ( a 1 ，a 2 ) 如下： 月t ( ? t ，1 ，) ( t ) = g ( ，s ) ( s ，妒( t z ( s ) 一1 j ( s ) ) ) d s ，t ，t = 1 ，2 ( 1 0 ) 我们可以得到：以如c 吩 事实上，由引理2 1 2 ，可以得到 a t ( 孔，t ，) ( t ) g ( ，) cf o g ( z ，s ) ( s ，妒( u ( s ) 一t ，( s ) ) ) d s = g ( ，t ) - 万“a t ( 扎，u ) ( z ) ，vt ，z f 0 ，1 】，i = 1 ，2 由a ( t 正，u ) ( ) 。，tei , 且a ( 钳，( ) 之训a ( u ，u ) 1 1 ，t 言，封，因此 a ( u ，u ) p ，a p ec 如 接下来，我们分以下四个步骤证明定理： 步骤2 2 1 取0 r ，那么厶o a o ，7 2 0 0 ，使当0 a o x ，2 ( 厶z ) 0 ( 如果l o = 0 ，由下面的证明知，定理正确) ( 1 5 ) 式与引理2 1 3 联合推得u o t o h ，v o 满足边值问题( 9 ) ，分别对应于 g ( t ) = ( t ，o o o , o ( t ) 一咖( ) ) ) ，g ( t ) = a ( t ，妒( u o c t ) 一( ) ) ) 于是有 - ( u o 一幻 ) “+ a ( 钆。一t o h ) = ，l ( t ，妒( u o ( t ) 一t ，0 ( ) ) ) ，t ( 0 ，1 ) ( 1 6 ) 一+ a v o = a ( t ，妒( 咖( ) 一u o ) ( ) ) ，t ( 0 ，1 )( 1 7 ) 且蜘一t o h ，u o 都满足r o b i n 边值条件珏( o ) = 让7 ( 1 ) = 0 用s i n 三分别乘以( 1 6 ) ，( 1 7 ) 在【o ，l 】上积分，那么左边用分部积分，可以 得到： rz 1 ( u o - t o h ) s i n 乏( f = 0 1 ，t ：够( u 。( t ) 一t 幻( ) ) ) s i n 三d 0 s ) rz 1 咖( t ) s i n 三疵= 0 1 ，2 ( ，妒( u 。( t ) 一咖( ) ) ) 8 i n 三如( 1 9 ) 记，+ = t ，：u o ( t ) 一珈( ) o ) ，j f 一= t j f ：蜘( ) 一蜘( ) 0 得。 r z 1 咖( ) s i n 三d j ： ( ，妒( 咖( ) 一咖( ) ) ) s i n 三d a o 詹妒( 伽( ) 一伽( ) ) s i n 等以 ( 2 0 ) r z lt i o ( ) s i n 三班玩z 1 妒( u 。( ) 一珈( ) ) s i n 三d ( 2 1 ) 由( 2 0 ) ，( 2 1 ) 可以推出 r l + ( 伽一均) 8 i n 虽t 毗 r 丘u l ( 一v o ) s i n 薹。出 ( a o 一协) 止u j 一妒( ，“o 一伽) s i n ld t = ( 月。一玩) 止( 口幻一v o ) s i n 号t 班 因此，我们得到t r l + ( 蜘一如) s m 互7 r 砒 ( 山一玩) 丘( 一v o ) s i n 三d 山东大学硕士学位论文 如果丘( u o t f 0 ) s i n 芸以；0 ，那么可以得到0 0 ，矛盾；如果t ( u o v o ) s i n 兰- t d t 0 ，那么r a o 一民，与r a o 一假设矛盾 故( 1 4 ) 成立，从而根据不动点指数定理【8 】，可以得到 i ( a ，q ，魄) = 0( 2 2 ) 步骤2 2 2 由假设c d ， 使得 下v f 3 - 1 仃r ，仇 掣仃r ，故7 1 。 g ，- 2 0 。 0 ，使得当z ，t 【0 ，l 】时，f z ( t ，z ) 令q r = ( 钆，u ) 尸b ：i f ( u ，v ) l i 0 j c 旧。 由t 的p 可知，蛳刈协0 1 1 咖刈，t 睁孙 帆t e 酬 竿胁一r 肛弘 曩 j ； 三 g o ff o l 。u 。( ) s i n 等纰 = j 厂0 1 ( ，妒( u 。( ) 一咖( t ) ) ) s