（应用数学专业论文）小波框架的理论与应用.pdf

摘要 小波框架的理论与应用 余泽红 摘要：小波变换是一种时频局部化或称为时频定位的工具，它克服了傅立叶 分析方法表示信息时能够清晰地揭示信号的频率特性但不能反映时问域上局部信 息的缺陷，而局部性质的描述无论是理论上还是在实际应用方面都是十分重要的。 因此，小波被誉为“数学显微镜”。 小波变换包括连续小波变换和离散小波变换。而离散小波变换的主体部分是 关于小波框架的理论。作为离散小波变换的一种重要组成部分，小波框架己在一 些领域得到了成功的应用；但还有许多理论基础、应用潜能需要进一步完善和开 发。 为了更进一步地理解和应用小波框架，本文先对小波变换及框架的基本理论 进行了必要介绍，然后探讨和推广了小波框架的构造方法，最后给出了框架在信 号消噪方面的应用。 本文着重讨论r ( j r ) 上小波框架，共分为六章： 第一章是绪论，说明了小波框架的思想来源，特点及发展前景。框架理论最 初来源于信号处理，1 9 5 2 年，d u m n 和s c h a f f e r 在研究非调和傅立叶级数时提出 了h i l b e r t 空间框架的概念，后来d a u b e c h i e s ，g r o s s m a n 年1 m e y e r ”1 把小波变换的理 论和框架理论相结合定义了仿射框架( 或称小波框架) 。它的冗余性在信号分析， 图象处理等应用领域有着独特的优势，有待进一步的探索。 第二章介绍了多分辨分析( m r a ) 和小波。多分辨分析是构造和应用小波的基 础。随着多分辨分析的出现，构造小波的困难得到了较圆满的解决。多分辨分析 的公式是在实际应用中逐渐产生的，这些实际应用促进了小波理论的发展。以多 分辨分析为基础构造出来的小波框架可以有快速稳定的分解和重构算法。 对称性，高消失矩，插值性等不同特性的尺度函数和小波函数往往可形成”好” 的小波系统，尽管这些属性之间可能有冲突，不能兼得。有不同特性的小波系统在 不同的实际应用中有着特定的作用所以，小波的对称性，高消失矩，插值性等 在小波的研究中占有重要地位，本章也介绍了有这些方面特点的小波的应用价值。 第三章综述了小波框架的基本性质。讨论了与小波紧框架相联系的滤波器组 理论。所谓小波框架是指：把一个函数妒l 2 ( r ) 通过膨胀变换 ( d 。，a r ，a o ，j z ) 和平移变换( ，b r ，k z ) 后，得到的序列如果构成 三2 ( 只) 的框架，则称 d 。瓦。妒 似。：是上2 ( 月) 上的小波框架。上t # 4 h 同的小波框架 称为小波紧框架。小波紧框架易于实现信号的完全重构，它的构造和应用律律与 _ | | 苟要 滤波器组相联系。小波框架是框架理论中欠发展的领域，同时它也是最具有应用 价值的框架之一。一些调和分析和小波分析的专家，学者对此进行了广泛深入的 的研究，得到不少的结果。 第四章探讨小波框架的构造方法，对某些已有的的结论做了进一步的推广。 本章主要以三种方式构造小波框架：时域，频域，框架的摄动。其中频域中以多 分辨分析为基础利用酉扩张原j 里( u e p ) 构造满足各种优良特性的紧小波框架能保 证信号的完全精确重构和快速稳定的算法。在小波框架的构造中占据着举足轻重 的地位。它是共轭镜像滤波器组构造正交小波的推广。 第五章研究了小波框架在数值信号处理中的应用。小波框架的冗余可导致鲁 棒性，意思是说冗余可以在使得低精度下获得的小波系数 ，却可以在相 对高的精度下重构，。这在消噪、图像融合、数字水印、加密、编码等信号处理 中有着独到的优势。本章主要论述了消噪方面的应用。给出了框架消噪的算法。 框架越冗余，小波系数的误差越减少，消噪的效果就越妤，但同时也加大了计算 量。小波框架在各个应用领域的算法有待迸一步的开发和完善。 第六章给出了全文的总结和展望。 关键词：多分辨分析；小波框架；扩张原理 t h e o r ya n da p p l i c a t i o no fw a v e l e tf r a m e s z e h o n g s h e a b s t r a c t ：w a v e l e tt r a n s f o r mp r o v i d e sat o o lf o rt i m e f l e q u e n c yl o c a l i z a t i o n i t o v e r c o m e st h ef l a wo ff o u r i e ra n a l y s i s ，w h i c hc a nc l e a r l ys h o wt h ef l e q u e n c y c h a r a c t e r i s t i co fs i g n a lb u tc a n tr e f l e c ti t sl o c a li n f o r m a t i o ni nt i m ed o m a i n h o w e v e ri t i si m p o r t a n tt od e s c r i b et h el o c a lp r o p e r t yo fs i g n a lb o t hi nt h e o r yr e s e a r c ha n di n a p p l i c a t i o nf i e l d s s ow a v e l e ti sd e n o t e da s “m a t h e m a t i c a lm i c r o s c o p e ” w a v e l e tt r a n s f o r mc o n s i s t so ft l l ec o n t i n u o u sw a v e l e tt r a n s f o r ma n dt h ed i s c r e t e w a v e l e tt r a n s f o r m i nt h ed i s c r e t ew a v e l e tt r a n s f o r m ，w a v e l e tf r a m e sa r et h em a i np a r t w a v e l e tf l a m e sh a v eb e e ns u c c e s s f u l l ya p p l i e di nm a n yf i e l d s ；t h e r es t i l l a r em a n y t h e o r yb a s i sa n da p p l i c a t i o np o t e n t i a lp o w e r s ，w h i c hn e e dt ob ep e r f e c t e da n de x p l o i t e d f o rf u r t h e rc o m p r e h e n d i n ga n da p p l i c a t i o no fw a v e l e tf l a m e s t h i sa r t i c l ef i r s t i n t r o d u c e st h eb a s i ct h e o r yo fw a v e l e tf r a m e s t h e n ，i ts u m m a r i z e sa n de x t e n d st h e c o n s t r u c t i o no fw a v e l e tf r a m e s a tl a s t ，t h ef r a m e s a p p l i c a t i o n si ns i g n a ld e n o i s i n ga r e g i v e n t h ed i s s e r t a t i o ni sd i v i d e di n t os i xc h a p t e r s ： c h a p t e r1 i sp r e f a c e ，w h i c he x p a i nt h eo r i g i no ft h o u g h t ，t h ec h a r a c t e r i s t i c sa n dt h e p r o s p e c t sf o rd e v e l o p m e n to nw a v e l e tf r a m e s i n19 5 2 ，d u f f i na n ds c h a f f e rp r o p o s e d c o n c e p t i o na b o u tf l a m ei nt h eh i l b e r ts p a c e l a t e rd a u b e c h i e s ，g r o s s m a na n dm e y e r u n i f i e dt h et h e o r yo ft h ew a v e l e tt r a n s f o r ma n df r a m et od e f i n et h ea f f i n ef l a m e ( o rc a l l w a v e l e tf l a m e ) i t sr e d u n d a n c yh a st h eu n i q u es u p e r i o r t ya n dw a i t sf o rt h ef u r t h e r e x p l o r a t i o ni na p p l i c a t i o nd o m a i n s ，s u c ha st h es i g n a la n a l y s i s ，i m a g e r yp r o c e s s i n ga n d s oo n i nt h ec h a p t e r2 ，w ei n t r o d u c et h em u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sa n dw a v e l e ts y s t e m c o n s t r u c t i o n sa n da p p l i c a t i o n so fw a v e l e ta r eb a s e do nm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s a l o n g w i t ht h ee m e r g e n c eo fm u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ，t h ed i f f i c u l t yi nc o n s t r u c t i n gw a v e l e t o b t a i n sap e r f e c ts o l u t i o n t h em u l t i - r e s o l u t i o na n a l y s i sf o r m u l ai sg r a d u a l l yd e v e l o p e d i nt h ea c t u a la p p l i c a t i o n s t h e s ep r a c t i c a la p p l i c a t i o n sp r o m o t et h ew a v e l e tt h e o r y d e v e l o p m e n t w a v e l e tf r a m e s b a s e do nm u l t i r e s o l u t i o n a n a l y s i sg u a r a n t e et h e e x i s t e n c eo ff a s ta n dn u m e r i c a l l ys t a b l ea l g o r i t h m st h a ti m p l e m e n tt h ed e c o m p o s i t i o n a n d 山er e c o n s t r u c t i o n g o o d w a v e l e ts y s t e m sa r ec h a r a c t e r i z e db yd e s i r a b l e p r o p e r t i e s s u c h a s 摘要 s y m m e t r y ，h i g hn u m b e ro fv a n i s h i n gm o m e n t sa n di n t e r p o l a t i n gt h a tm a yc o m p e t e w i t h e a c ho t h e r t h ed i f f e r e n tp r o p e r t i e so fw a v e l e ts y s t e m sf u n c t i o nh a v et h es p e c i f i c f u n c t i o ni nt h ed i f f e r e n ta c t u a la p p l i c a t i o n s t h e r e f o r e ，t h es y m m e t r y ，t h eh i g hn u m b e r o fv a n i s h i n gm o m e n t sa n di n t e r p o l a t i n ga n ds oo nh o l dt h ei m p o r t a n ts t a t u si nt h e w a v e l e tr e s e a r c h t h i sc h a p t e ra l s oe l a b o r a t e st h e s ep r o p e r t i e sa n dt h e i rv a l u e sf o r a p p l i c a t i o n s i nt h et h i r dc h a p t e r ，w es u m m a r i z e sa n a l y z es o m eb a s i cp r o p e r t i e so fw a v e l e t f r a m e sa n dd i s c u s st h ef i l t e rb a n kt h e o r yw h i c hr e l a t e sw i t ht i g h tw a v e l e tf l a m e s t h e s o c a l l e dw a v e l e tf l a m er e f e r st oa s e q u e n c eo b t a i n e db yd i l a t i n ga n dt r a n s l a t i n ga f u n c t i o ni nl 2 ( r ) ，i ft h es e q u e n c ef o r m saf r a m ei nl 2 ( r ) i ft h et w of l a m eb o u n d s a r ee q u a l ，t h e nw ew i l lc a l lt h ef r a m eat i g h tf l a m e t i g h tw a v e l e tf l a m e sa r ee a s yt o r e a l i z et h ep e r f e c tr e c o n s t r u c t i o n t h e i rc o n s t r u c t i o n sa n da p p l i c a t i o n so f t e nr e l a t ew i t h t h ef i l t e rb a n k t h ew a v e l e tf r a m e sa r eu n d e r - d e v e l o p m e n ti nf l a m et h e o r y ，b u tt h e ya r e t h em o s tv a l u a b l ei na p p l i c a t i o nf i e l d s t h e r ea r es o m ee x p e r t s ，s c h o l a r so nh a r m o n i c a n a l y s i s a n dw a v e l e ta n a l y s i sw h oh a v ec o n d u c t e dt h ew i d e s p r e a dr e s e a r c ha n d o b t m n e dm a n yr e s u l t s t h ef o u r t hc h a p t e rd i s c u s s e sc o n s t r u c t i o na b o u tt h ew a v e l e tf l a m e s ，f u r t h e r m o r e ， w ee x t e n ds o m er e s u l t s t h i sc h a p t e rm a i n l yc o n s t r u c t st h ew a v e l e tf l a m e sb yt h r e e d i f f e r e n tm e t h o d s ：i nt i m ed o m a i n ；i nf r e q u e n c yr a n g e ；b yf l a m ep e r t u r b a t i o n a m o n g t h e s em e t h o d s ，i nf l e q u e n c yf i e l d st i g h tw a v e l e tf l a m e sv i au e pc a ng u a r a n t e eap e r f e c t r e c o n s t r u c t i o na n daf a s ta n ds t a b l ea l g o r i t h m s ot h i sm e t h o do c c u p i e sap r o m i n e n t p o s i t i o n i ti st h ee x t e n s i o no fm e t h o dt h a ti su s e dt oc o n s t r u c to r t h o g o n a lw a v e l e tv i a c o n j u g a t e - m i r r o rf i l t e rb a n k c h a p t e r5s t u d i e st h ew a v e l e tf r a m e s a p p l i c a t i o n si nd i g i t a ls i g n a lp r o c e s s i n g f r a m e sc a nb ev e r yr e d u n d a n t t h i sr e d u n d a n c ym a yl e a dt or o b u s t n e s s ，i nt h es e n s e t h a ti tc a na f f o r dt os t o r et h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t s w i t hl o wp r e c i s i o n ，a n d s t i l lr e c o n s t r u c tfw i t hc o m p a r a t i v e l ym u c hh i g h e rp r e c i s i o n t h i sr e d u n d a n c yh a st h e o r i g i n a ls u p e r i o r i t yi nd e n o i s i n g ，i m a g ef u s i o n ，d i g i t a lw a t e r m a r k ，e n c r y p t i o n ，c o d ea n d s oo n t h i sc h a p t e rm a i n l ye l a b o r a t e ss i g n a ld e - n o i s i n gb yw a v e l e tf l a m e sa n dg i v e si t s a l g o r i t h m s t h em o r er e d u n d a n tf r a m ei s ，t h el e s st h ew a v e l e tc o e f f i c i e n t se r r o ri s ，s o d e 。n o i s i n gr e s u l ti st ob eb e t t e r b u ti ts i m u l t a n e o u s l ye n l a r g e st h ec o m p u t a t i o nq u a n t i t y b e t t e ra l g o r i t h m si ne a c ha p p l i c a t i o nd o m a i nn e e dt ob ee x p o i t e d s i x t hc h a p t e ri sc o n c l u s i o na n d p r o s p e c t v l 5 要 k e yw o r d ：m u l t i r e s o l u t i o na n a l y s i s ；f r a m e s ；e x t e n s i o np r i n c i p l e v 学位论文独创性声明 y9 0 0 1 6 0 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体。均己在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：盒瀣红 日期：迦2 = ! 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版：有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅：有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：盒溘三 日期：劲p 彳上 绪沦 第一章绪论 小波分析是上世纪八十年代年发展起来的新兴学科，对当前的理论科学，应 用科学，尤其是信息科学产生了重要影响，对非线形科学，智能计算，网络与信 息安全研究有很好的推动作用，被誉为科学发展的w i n d o w s 台，具有牵一发而动 全局的影响。小波框架是离散小波变换的主体部分。近几年来倍受数学家和工程 学家们的关注，得到了迅速的发展和应用。 1 1 小波框架的思想来源 框架理论最早是d u f f i n 巾和s c h a e f f e r i l l 在由非正则样本值 厂( ，。) ) m 重构带限信 号，时提出的。当厂的傅# - p t 变换支集含于卜7 r t ，刀t 】时，可证得 1 厂( f 。) = 圭 ， 其中h r u ) ：掣 这促使d u f f i n 和s c h a e f f e r 建立了框架成立的一般条件： 定义1 1序列碱o r 是h i l b e r t 空间h 中框架，若存在两个常数 0 a ，b 0 得到离散小波变换： ，一卅( ，) 2 2 一j 上_ 二彤( f 抄似( f ) ( 1 - 2 ) 显然，口，b 取 也不适合于计算 口o ，b = k b o o o ， 虽然小波函数) f ，和口0 ，b o 做特殊的选择，伊。可构成工2 ( 月) 的正交基，但满足正交， 紧支，对称条件的小波只有h a a r 小波。为得到对称性等好的属性，需要放宽正交， 线性无关的条件，引入冗余性。l 司时也要获得从 构造( ，) f ( r ) 的数 绪沦 值稳定的重构算法，因此要求能构成框架，称之为小波框架。 1 2 小波框架的特点 小波框架作为一种特殊的框架，它具有框架的优点： ( 1 ) 完全性：l 2 ( r ) 空间中任意信号都可用l 2 ( r ) 中的一组框架 以 。来刻 画。即任意f ( t ) l 2 ( r ) ，存在c = ( c n ) w l 2 ( r ) ，使得 厂= c 。丸 j l e r ( 2 ) 稳定性：框架算子u ：厂h - - k r 是单射算子。在无穷维i j ， 单射算子的拟逆不一定有界，当试图从l ，厂重构厂时，这导致数值计算的不稳定性，但 框架算子有有界拟逆，就能确保数值稳定的重构算法。我们可以通过预算对偶框架 向量或应用拟逆到框架数据的方法，从框架系数w i n - 重构信号厂。 若预先算得对偶框架向量无= ( u + u ) 1 丸，我们可通过和式，= 无恢 e r 复每一个厂。在有些应用中，框架算子可能依赖于信号厂，在这种情况下，对偶 框架向量庐。不能预先算得，更直接的方法是应用拟逆于l 矿。即可通过式子 厂= u “够= ( u + 。( u + u ) f = l l f ， 其中z u = u + u f = 丸恢复每一个，。这里不论采用哪一种方法，都要 e r 求对某个g h 有效地计算，= l - 1 9 ，可用外推r i c h a r d s o n s 算法 3 1 币 1 g r o c h e n i g l 4 1 的 共轭梯度算法来实现，因为这两种算法描述了两个按指数收敛的迭代算法。 ( 3 ) 冗余性：框架不仅能确定一个完全而稳定的信号表示，它还可能是冗余的， 即线性相关性。冗余度由框架界a ，b 度量。冗余性可导致鲁棒性，意思是说： 冗余性可以使得低精度下获得的小波系数 却可以在相对高的精度下重 建，_ 。这使得框架分解具有独特的容错能力和消噪能力，被有效的应用于图像融 合，信号处理等工程和物理领域中。我们可以按如下方式来理解这种王见象。 设( 庐，) 。为h i l b e r t 空间h 的某种框架，若这一框架是正交基，则 u ：h 寸，2 ( l ，) ，( 矿) ，= 是一个单射映射，而且在u 下的象是整个，2 ( i ，) 。但如果该框架是冗余的，即 是线性相关的，那么u h 的元素将是一些其构成成分满足某些关系的序列，且 u h = r a n ( h ) 仅为f 2 ( l ，) 的一个真子空间。框架愈冗余，r a n ( h ) 就愈“小”。重建 公式 厂= f ，驴刃 ，e ， 含有在r a n ( h ) 上的投影，可以将它重写为 f = u + u f 当c 上r a n ( u ) 时，u c = 0 。如果在每个系数 上掺入一个参数口，( 例如舍 绪论 入误差) ，则重建函数将会是 ，二，。= u ( 可+ 口) 由于( ，含有在r a n ( u ) 上的投影，序列d 中正交于r a n ( h ) 的分量将不起作用，而 且我们也希望| | ，一_ 0 。l i | l 口o 这种效果在r a n ( u ) “愈小”，即框架愈冗余时， 更显著。 同时，小波框架也具有小波的特性：良好的时频局部化的能力。即小波 妒= 一i 妒( ! ! ) 具有适应频率变化的可变窗宽，高频时i f ，“的时窗较窄，低频时 则时窗较宽，因此，小波变换对短时高频现象，如信号传输有更好的“显微”效 果。 1 3 发展前景 近年来 ，j 、波框架越来越引起人们的重视，原因是它兼具小波和框架的优良特 点以及更大的设计自由度。 很多专家，学者致力于小波框架理论及应用的研究，特别是小波紧框架的设 计与应用，及向其他空间如b a n a c h 空间的延伸。小波框架在去噪，图像融合等方 面有很大应用潜力，但好的算法，应用模式很欠缺，有待进一步的深入研究。可 以预计，小波框架将会有更大的理论突破和更广泛的应用 ! 量坌壁坌堑型尘鲨 第二章多分辨分析和小波 2 1 多分辨分析 多分辨分析可非常自然地引出对函数小波系数的一种逐级地快速计算格式。 如果对于已经给定的小尺度，己计算出了函数厂与妒。的内积，那么，利用多分 辨分析可对给定函数的小波系数进行系统且快速的计算。下面给出多分辨分析的 定义。 定义2 1空间r ( r ) 的多分辨分析是指构造l z ( r ) 空间的一个子空问列或链 矿，：z ) ，使它具备以下性质： ( 1 ) 包容性 cv 2c l 亡仁h 亡k 或简写为v ，c 矿川，w z ( 2 ) 逼近性 蕊形= r ( r ) ： 氅_ 荆 ( 3 ) 伸缩性 s ( t ) 矿，s ( 2 0 y ， ( 4 ) r i e s z 基存在性：存在一个函数妒( f ) ，其平移 伊( f 一) ，k z ) 构成 参考子空间k 的r i e s z 基 注：1 ) 口被称为尺度函数。 2 ) 在( 4 ) 中若妒( f ) k ，其平移 p 0 一) ，k z ) 构成的正交基，则称 ( ) ，p ) 为正交多分辨分析。那么存在小波：k = o ，使得 渺0 一女) ：k z 是的正交基。从而渺( 2 。t 一七) ：j ，k z ) 是三2 ( r ) 的正交基”1 。 3 ) 在( 4 ) 中若妒( f ) v o ，其平移却( t 一) k z ) 构成的框架，则称 ( 矿) 。，妒) 为框架多分辨分析叫。框架多分辨分析的构造相对容易些。以它为基础 也可构造某些小波框架”“。很多专家学者研究了由框架多分辨分析构造小波框架 的条件”。” 4 ) 由伸缩性和包容性可得双尺度方程： 一! 妒( f ) = 2 芝：h o ) 妒( 2 t k ) ( 2 - 1 ) 4 2 多丹辨分析和小波 其频域表示为： 庐( w ) = h ( i w ) 妒( i w ) ( 2 2 ) 其中h ( w ) 是周期为2 口的函数，定义为 h ( w ) ：艺掣e t k 序列 h ( 】 ) ) 被理解成一个离散滤波器 5 ) 为了使尺度函数的频谱庐( w ) 有规范化的解，我们令 妒( o ) = ic p ( t ) d t = 1 ( 2 3 ) 称之为尺度函数的容许条件这样以来( 2 2 ) 就可化为： 庐( w ) ：i l 爿( 百w ) = l 二 这表明，尺度函数妒( f ) 的频谱乒( w ) 完全由滤波器h ( w ) 所决定。一旦h ( w ) 给 定，频谱也就唯一确定，其f o u r i e r 反变换，即尺度函数妒( f ) 也就唯一确定。因此， 一个合适的尺度函数的产生归结为滤波器h ( w ) 的设计。在很多情况下，尺度函数 没有显式表达，然而，双尺度关系( 2 1 ) 式在快速小波分解中占有极为重要的地位。 在很多应用中，我们不用尺度函数本身而是直接使用尺度系数h ( 一) 。 6 ) 尺度函数构成r i e s z 基的一个重要的充分条件是： 0 a 6 ( w ) = i ( w + 2 k r c ) 1 2 b 0 ，使得： i 厂( x ) 一厂( y ) i c iz y 2 我们称妒( z ) 的l i p s z h i t z 指数是丑，l i p s c h i t z 指数的上确界称作它的正则度a 易知，如果一个尺度函数对应的尺度系数h 是v 阶正则的，则 何( w ) ：( 毕) “q ( 。) z 并且尺度函数的正则度不小于n - l o g ：b ，其中b = s u p q ( w ) l 。由于尺度函 w e ” 数经常在不同的点具有不同的l i p s c h i t z 指数，也可通过局部l i p s c h i t z 指数的分布 更精确的描述尺度函数的光滑性。 ( 3 ) 正交性 ，厶正交是指： = 0 正交性函数的线性组合对信号的分解和重构带来方便。无论采用哪一类具有 正交性的基函数作线性组合，这种形式的近似函数在许多学科中都有着广泛且方 便的应用。以多分辨分析为基础构造的正交尺度函数和小波函数可通过共扼镜像 滤波器实现信号的完全分解和重构。 ( 4 ) 紧支性 所谓某函数是紧支的，就是指该函数的定义域是有限范围的。用紧支基函数的 线性组合可以描述快速衰减的近似模拟信号，也因为紧支集才会使小波变换的计 算量减少且计算精度提高；若采用非紧支的基函数，则不便于实际应用。具有紧 支集的尺度函数有如下的特点： 2 多分辨分析羊u 小波 定理2 1 若紧支集尺度函数妒( f ) = h 。口o ( 2 t 一尼) ，则其支集区间一定为 【o ，】。 ( 5 ) 对称性 若函数满足： 一，) = 0 + f ) 则称函数妙关于点d 对称。 对于偶( 或奇) 对称的模拟函数，用偶( 或奇) 对称的线性组合形式作近似模拟 有时会方便些，在信号处理中，常常用具有对称性的基函数作卷积，因为 丢( ，( f ) + 妒( 嘞= 鲁，( 。+ p ( f ) = ( f ) + 丢妒( ，) 于是基函数的对称性可以表现信号，( ，) 的突变性和局部对称性。在图像处理中可以 有效地避免移项。当尺度函数和小波对称时，相应的滤波器是广义线性相位的， 缺乏该性质将会引起相位失真。这对一些应用是很重要的，如，奇异性检测。 ( 6 ) 消失矩 高阶消失矩小波的小波变换能表现低阶光滑信号的导数突变的细节，这是消 失矩概念的应用目的之一。下面给出小波消失矩的定义： 定义2 2 称小波函数p ( f ) 具有 阶消失矩，如果 【t k 妒( f ) d t = o ，女= 0 ，l ，n 一1 其在滤波器上的反映等价于： 1 ) g k = 0 ，= 0 ，l ，m 1 关于小波函数q ( t ) 的支集长度与其消失矩指标阶之间的关系，有下面的定 理 定理2 2 若小波函数( f ) 具有阶消失矩，则其支集长度至少为2 n 一1 。 综上所述，一个基函数可能同时具有多项良好性质，应选择具有恰当性质的 基函数，其线性组合作近似模拟和计算分析，如果信号是低阶光滑和局部对称的， 选用较高阶消失矩的对称小波进行小波分析效果较好，只有这样才能在不同目的 的实际应用中取得满意的效果。 3 小波框架和滤波器组理沦 第三章小波框架和滤波器组理论 3 ，1 小波框架的定义 函数空问的框架是函数空间“基”的一种推广概念，若这种“基”还是由小 波函数构成，则它就称为小波框架。所以，结合一般框架的定义，有以下小波框 架的定义。 定义3 1 一个函数缈( f ) l 2 ( r ) 生成l 2 ( r ) 的一个小波框架，如果存在两个正 数0 a ，b o 。，有 a f 川2 f 2 兰b i i fh 2 推广到一般情况，一个函数族甲= 渺， - 4 、波框架 ，：i = 1 ，2 ，r ；，k z 2 ，g , - ，) l 2 ( r ) 生成上2 ( 只) 的 如果存在两个正数0 a ，b o 。，有 ， 2 彳厂f f 2 f f 口f f f l l 2 ， v 厂l 2 ( 曰) i = 1 ，女e z 定义3 2 设甲= p i ，2 ，妒，) l 2 ( r ) ，甲5 = i ，5 2 ，。， l 2 ( r ) 是 两个母小波族。令 x ( 甲) 2 妒u 女：l - 1 ，2 ，r ；j ，k z ) ，x u e 。) = 渺 ：i = 1 ，2 ，r ；j ，k z 若z ( 甲) ，( 甲。) 分别为l 2 ( r ) 的一个b e s s e l 列，且满足完全重构公式 f = 蚧肿， v 厂r ( r ) ，t 则( z ( 甲) ，( v ) ) 叫做双小波框架。 3 2 小波框架的性质 小波框架具有一般框架的性质： 性质3 1 设 仇k ，c h 为一个上下界分别是a ，b 的框架，若a = b ，则该框 架是紧框架，这时v f h ，都有 l 1 2 = a l l f l l 2 k e ， 由极化恒等式知在弱收敛意义下，上式蕴含着 9 3 小波框架和滤波器组理论 厂= a 纯 毋 其中g 。= 纯，该式给出由( f ，吼) 恢复厂的基本方法，即由紧框架可以精确重 构函数。当a = b = l 时 p 。) 。，构成的正交基。 陛质3 2 ： 设 吼k ，亡h 为一个上下界分别是a ，b 的框架，则框架算子 u ：( 吵) ，= 是h 到 ( c ，) ，i c ， o s u p i 驴( 嘞w ) i o ) 一样地衰减，那么存在6 + 0 ，使得对于所有6 0 口+ 1 ，则关于的条件和式( 3 一1 ) 满足。 在过去的近十多年里，很多关于小波系统构成框架的条件”1 “。( 包括必要 条件和充分条件) 被发现。 3 3 滤波器组理论 构造紧支集小波在算法上与构造满足精确重构条件且具有有限脉冲响应的镜 像共轭滤波器组等价。 双通道多速率滤波器组将信号和低通滤波器i 川= h 一” 、高通滤波器 季 n 】- g - n 做卷积，并对输出做因子为2 的子采样： a l 【拧 _ + h 2 n 和 一【行】= 。g 2 h 】 用对偶低通滤波器i 和对偶高通滤波器喜对零扩充信号滤波，可得到重构信号瓦， 如图( 1 ) 所示。 下面把两通道小波分析推广到m 通道，讨论mj 恿n 情况下的完全重构滤波器 3 小波框架和滤波器组理论 组的性质与设计方法，并把它与紧框架联系起来。 每次离散小波变换d w t 分解总是把_ 分成两个子空间一一对应地把 频率【o ，2 i 万】分解成【0 ，2 川万 和。万，2 i ，r 卜实际上，在每层的分解都可以推 广到分解成m 个通道的情况，令彬，代替带限于j i m 7 ，( “1 ) m 的函数空间 对所有的_ ，可以把 分解成m 个通道。，w + 。，阡0 。相应地滤 波器 ( 盯) ，i = 0 ，1 ，m 一1 把与彬联系起来。 输入信号x ( n ) 通过m 个分析滤波器h ( h ) ，i = 0 ，l ，m l ，然后每个 通道输出进行m 减抽样。输出信号经适当的编码，在信道中传输。在综合部分， 每个通道分量经过吖增抽样，然后经过综合滤波器g ，( ”) ，江0 ，l ，m 一1 ，再 重新合成y ( ) ，我们给出吖通道分析综合系统示意图，如图( 2 ) 所示。 嘶叫一旷电一。 d l 【n 图( 1 )用低通和高通滤波器对输入信号进行滤波和子采样。 插入零并用对偶滤波器石和季进行滤波而实现重构 以研 d ( ” 吖( 门) 图( 2 )m 通道分析综合系统 在进行信号处理时，常把经过分解滤波器组后抽取的m 个子带信号 h ( n ) ) 。一根据不同的需要做相应的处理，通过这个过程就可以有效的达到 刊 3 小波彬架和昭城器组理i 仑 加密或消噪等目的。 滤波器组处理信号中首要的问题实际上是消除交叉干扰以及幅度和相位失 真，满足这个条件的滤波器组就称为完全重构的滤波器组。即是否存在线性时不 变多输入m i m o 系统的问题。为了分析