（计算数学专业论文）解非线性发展方程的一种函数展式法.pdf

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e x p a n s i o ne x p r e s s i o nw i t ht h ec o n s t a n tc w ec a no b t a i nd i f f e r e n te x a c t n e ws o l u t i o n so fm k d v e q u a t i o na n dk d ve q u a t i o n s e c e n d ，w em o d i f yf e x p a n s i o ne x p r e s s i o nb ya d d i n gt h et e r mw i t hn e g a t i v ei n d e xw ed i s c u s st h es p e c i a lc a s e so fs o l i t a r yw a v e s o l u t i o n sa n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n sf o rac l a s so fn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ， o b t a i nt h en e ws o l i t a r yw a v es o l u t i o n sa n dp e r i o d i cw a v es o l u t i o n so ft h ed a v e y - s t e w a r t s o n e q u a t i o n s ，t h eg e n e r a l i z e dz a k h a r o ve q u a t i o n sa n dt h en o n l i n e a rs c h r s d i n g e re q u a t i o n k e yw o r d s ： n o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s o l i t a r yw a v e ；p e r i o d i cw a v e s d u t i o n ；t h eh o m o g e n e o u sb a l a n c ep r i n c i p l e ；f e x p a n s i o nm e t h o d ；j a o b ie l b p t i cf u n c t i o n 2 第一章 绪论 1 1 引言 随着科学技术的发展，在自然科学和社会科学中非线性作用的影响越来越重要对于非 线性问题的关注也越来越多，而且许多非线性问题都归结为非线性演化方程来描述在非线 性科学中，混沌、分形和孤立子成为了三个最基本的分支自从孤立子被发现以来孤立子已 渗透到许多自然科学领域，在一些领域还相当深入，例如光纤孤立子传输，等离子体和磁性的 非线性问题等所以寻找非线性方程的精确解一直是一件有意义的工作 1 2 方法总结 近些年来，已经有许多方法求解非线性演化方程比如：反散射方法，双线性算子方法， b i i c k l u n d 变换( b t ) ，齐次平衡法【1 ，2 ，3 】，双曲函数法 4 ，5 】，截断展开法【6 1 等而且获得r 广泛的应用齐次平衡方法是一种有效方法，相对其它方法齐次平衡方法是比较简单可行 的齐次平衡方法实际上是求非线性偏微分方程精确解的一种指导原则而又发现的建立 在j a c o b i 函数法【7 l - 【1 6 】的基础上的f 展开式方法【1 7 】_ 2 1 】对求解非线性偏微分方程是一个有 效的方法，该方法建立了周期波解与孤立渡的联系，是齐次平衡原则的新应用，概括了j a c o b i 椭圆函数，三角函数，双曲函数展开法等，本文对最新发展起来的f 一展开式方法利用齐次平 衡原则进行了讨论，并对这种方法进行变化，以期得到更多形式的解下面叙述f 一展开式方 法 考虑非线性偏微分方程： 日( u ，u l ，u 。2 一，“t ，u z n ，z t 蛇t ，) = 0( 1 21 ) 5 第l 章绪论 确州土晕研究生晕位静文 若形波解为u = u ( ) ， = k x + 地一c t ，其中k ， 为波数c 为波速，将其代a ( 1 2 1 ) ， 将( 12 1 ) 化为常微分方程 h ( u ，u ，2 矿”，) = o( 1 2 2 ) 假设方程具有如下形式的解 u ( f ) = a i f ( 123 ) i = 0 f “= q o + q a f + + g 。f ”( 12 4 ) 这里n 。0 = 土1 ，土2 ，士m ) ，q j ( j = 1 ，2 ，n ) 为待定系数 利用齐次平衡原则，平衡u 的最高导数项和非线性项的阶数，得到1 3 2 和m 的关系式，由 此可确定m 与n 的值对每组取定的值，将其代人到( 1 2 2 ) 式中，由f 的线性无关性，得到 f 。的代数方程组，解非线性代数方程缰，得到要确定的系数，就可以得到非线性偏微分方程 的各种精确解和新解 用f 展开式方法可获得非线性耦合s c h r s d i n g e r 方程、k d v 方程等多个非线性偏微分 方程和非线性偏微分方程组的多组新的j a c o b i 椭圆函数解，跟其它结果比较，最大的进步 是将解表示为两个函数的多项式的形式，得到了别人没有得到的结果此方法可部分借助于 m a p l e 或m a t h e m a t i c 或其它计算机代数系统，能部分地在计算机上实现，减少计算量 但现在的f 展开式方法还存在许多问题，如解的形式比较单调等虽然有人已推广f 一 展开式方法到含有负指数的形式，但本质上是一元的且求得的解会出现奇性，给应用带来了 一些不便 1 3 本文安排 在本文第二章中，f 展开式中增加了c 常数，部分的解决了解函数的奇性问题，获得了 性质更好的解的形式，而且部分的包含了改进的双曲函数法的解的形式在某些情况下c 可 以取任意常数，对这些方程我们获得了大量新解在本文第三章中，修改f 一展开式，附加负 指数项，讨论了一类重要的非线性偏微分方程组的周期解和孤立渡解在本文第四章中，总结 了求鳃j e 线性偏微分方程的精确解的f 展开式的方法，提出下一步的打算和想法并讨论了 应用谱方法模拟非线性偏微分方程的数值解，初步探讨了单孤波解稳定传播的参数值变换范 围，讨论了模拟数值解的难点和问题 6 第二章 一元分式的f 一展开式方法 2 1引言 本章在f _ 展开式方法的基础上给出了一个修正的f 展开式方法，并对一类经典的非 线性方程求解，比如m k d v 方程，k d v 方程，得到了一些新的结果本章利用齐次平衡原则 和f 展开式方法，得到方程的精确孤波锵且可以看出解的形式中增加了c 常数，部分的 解决了解函数的奇性问题，获得了性质更好的解的形式，而且部分的包含了改进的双曲函数 法2 2 1 的解的形式在某些情况下c 可以取任意常数对这些方程我们获得了大量新解 本章的按排如下：第一部分：介绍修正的n 展开式方法；第二部分：我们选取m k d v 方 程和k d v 方程来说明修正的几展开式方法的有效性，对其他的非线性方程也是适用的 2 2 修正的f 展开式方法 考虑如下形式关于z ，t 的非线性偏微分方程 设行波解 u ( x ，) = ，( ) ， = z 其中u 是待定常数，岛是任意常数 代入( 2 2 1 ) ，可得关于，( ) 的常微分方程： n ( f ，f ”，) 7 ( 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) 岛 0 u 一 第2 章一元分式的f 展开式方法 旃州土警研究生晕位静文 其中，7 = 莲，而，”是豁 假设方程式( 2 2 3 】具有如下形式的解： 一l ，1 0 ，( f ) = n ，( f ( f ) + c ) 。+ 啦f 2 ( f ) ， ( 224 ) 一m = 0 其中p ( ) 满足如下形式的常微分方程： n f , 2 ( ) = 哦p ( f ) ， ( 225 ) j = 0 其中n 。i = m m ，q j ，j 0 7 7 , 为待定常数由于t t 4 时：( 2 2 5 ) 经过变换可以化为 n 4 的情形，所以我们一般限定n 4 在n 4 的情形下，我们仅取一些特殊的情形如 ( 2 25 ) ，来说明修正的f _ 展开式方法的有效性而且我们已经知道这个方程的j a c o b i 函数 解和组合的j a c o b i 函数解，可得到不同的j a c o b i 函数解和组合的j a c o b i 函数解注意，由于 eo 。( f ( e ) + c ) 。可以展开为毗p ( e ) ，所以我们把解的形式设为( 2 24 ) 根据齐次平衡原则平衡( 2 23 ) 中的最高阶导数项和最高阶非线性项，得到m ，n 的关 系式确定m ，n 来确定( 2 24 ) 和( 22 5 ) 的形式然后代人( 2 2 3 ) 中，得到关于f ( f ) 的多项 式，由f ( ) 的线性无关性，令f ( ) 的各项系数为0 ，得到关于吼，u 的非线性方程组，辫 此方程组，确定未知量，就可得到非线性偏微分方程新的精确解和孤波解 注：当c = 0 时，修正的f 展开式方法转化为f 一展开式方法，所以在下面的计算中，都 在假设c 0 的前提下，求得方程的解 2 3m k d v 方程 1 收缩解的表示 m k d v 方程f 2 3 】的形式为： 其中q ，口为常数 将( 2 2 2 ) 代入( 23 1 ) 可得 积分一次可得 u + 3 u 2 u i + 卢u 一= 0 u j f 七q p i + $ i = 0 一i 七旺p 七8 l = a 8 ( 2 3 1 ) ( 2 , 32 ) ( 233 ) 苎! 主二垄坌苎竺! 二墨要墨查兰 垫型圭! 堕壅! 兰垡堡苎 其中a 为积分常数 利用齐次平衡原则，平衡，和声得：2 。：n 一2 在此我们取m = 1 ，n = 4 讨论，则( 2 33 ) 解的形式为： ，幢) = d 一1 ( f 嬉) + c ) 1 + o + o l f ( ) f 。( ) = q o + q 2 f 2 ( ) + q 4 f 4 ( f ) 将( 2 3 4 ) ，( 2 3 5 ) 代入( 2 3 3 ) 可得关于n 。，u ，a 注：由于一1 = 0 或c = 0 时，( 2 24 ) 变为f ， 的时候，假定a 一1 0 ，c 0 ( 234 ) ( 23 5 ) c 的非线性方程组： 展开式方法，所以我们求解非线性方程组 2 p a l q 4 + i = 0 ， 3 c q d i + 6 c , o a l q 4 + 3 c 眦o = 0 ， 6 c 2 f l a l q 4 一。口l + f l a , q 2 + 3 c 2 a 8 + 9 c 赴a o a j + 3 0 一1 + 3 n 3 口l = 0 ， 一 + 3 c 口a l q 2 2 触一l 吼c + 。0 3 a o a l 十2 c 3 , 臼a l q 4 十9 c 2 a a o a + 6 a a l 口 c + 6 0 0 l a o a l w o o + c 3 0 r a + 9 c 既0 3 0 1 = 0 ， 3 a a l n 3 + 3 c 血0 3 一叫一l + p 8 l q 2 3 c 2 u n l + 1 2 c e a1 n o n l c + 9 c 2 a 碚口l + 3 c 2 f l a l q 2 3 a , , a o 一3 c a + 3 c 3 。o a i + 3 a a l 。 c 2 + 3 0 。三1 0 1 = 0 ， 一p d l 口2 c + 6 a a l 碚c + 3 c “- c m o + 3 a a 2 - l o + c a r l a l 9 2 十3 c 3 血碲o l + 6 a a 一1 a o c 2 a l 一2 w a 一1 c 一3 c 2 u o o 一3 c 2 a + 3 c t j _ 1 t 1 1 c c 3 “j ( t 1 = 0 ， 一u o i c 2 + 3 a a 一1 3 c 2 + c a a - l + 2 p 一l q o c 3 a c 3 u o + c 3 a 碲+ 3 n n ! 解此非线性方程组，可得 o 】20 ，c = c ， 一土番攀 。一1 = 士 p ( 一c 2 q ；+ 2 c 4 q 2 q 4 + 1 2 q o c 2 q 4 + 2 q o q 2 ) “2 可两i 矗砭干而一 ( 23 6 ) ( 2 37 ) ( 2 38 ) ( 2 39 ) ( 2 3 1 0 ) ( 2 3 1 1 ) 1 0 0 c = 0 ( 2 , 3 1 2 ) ( 2 31 3 a ) ( 2 31 3 b ) ( 2 3 1 3 c ) ( 2 3 1 3 d ) 舶 聃 “ 椭 三! 融 舢 第2 章一元分式的f 一展开式方法 麓州大摹研竟生摹位鸯文 ：千! 生( ! ! ! ! 亟二! ! 堡垒三! 堡坠塑! i ! ( 2 3 1 3 c ) o r ( c 2 q 2 + c 4 q 4 + 伽、坐盥半警删) 注：c = 0 时，我们可以求出方程的具有正指数的解，在此，我们不一一列出，下面的方 程也是如此 由方程组的解知，c 可以是任意常数，我们就得到了方程不同的新解 所以方程( 2 3 1 ) 的解的形式为： ，托) = 士、二生丝! ! 竺l 生j ；。型( f 幢) 十c ) 一1 土：i 万i c f l 重( 蚕q 蚕2 茎+ 蚕2 i c 蚕2 q 面4 ) ( 2 31 4 ) 其中f = 一w t + 岛 2 周期波解 我们取定不同q o ，q 2 ，q 4 的对应不同的j a c o b i 函数和组合的j a c o b i 函数解，从而获得方 程不同的双周期解的形式 例如：取定q o = 1 q 2 = 一( 1 + m 2 ) ，q 4 = m 2 ，则f ( ) = s n ( ) ，则( 2 3 1 4 ) 化为： ，( 。= 士、二生三生兰基三! ：；! ! 幽( s n ( ) + c ) 一l 士：j ；! ! i i 兰蓦 “ ( 231 5 ) 我们考虑极限情形时：当m 一1 时：s n ( ) 一t a n h ( f ) ，所以( 23 1 5 ) 化为： ，任) = 士 ! ! 曼二警( t a l l h ( 9 + c ) 一l 士：拳( 。1 6 ) 当m 一0 时：s n ( ) 一s i n ( ( ) ，则( 2 3 1 5 ) 化为： ，托) ：土浮( s i 。嬉) + 。) 一- 士 。、掣 ( 2 3 1 7 ) 取定q o = 1 一m 2 ，9 2 = 2 m 。一1 ，q 4 = 一m 。时，则f ( ) = c n ( f ) ，则( 23 1 4 ) 化为： 聪) = 士、丝生生竽堕塑( c n 十c ) 。1 士；丝! ! 望! 三! ! 三丝竺1 2 1 8 ) n 士型垫型号业盟必 。 极限情形时：当m 一1 时：c n ( ) 一s e c h ( e ) ，则( 2 3 1 8 ) 化为： ，c 。= 土、一! 学c s e c n 嬉，+ c ，一1 土j 弓晕c 2 3 1 9 ， 第2 章一无分式的f 一展开式方法 简州上謦靖竞生晕位垮文 当m 一0 时：c n ( f ) 一c o s ( ) ，则( 2 3 1 8 ) 化为： 他m 犀c 砌删舞口蚴。， 当蚰= ( 1 一m 2 ) ，仍= ( 1 + m 2 ) ，和= ( 1 一m 2 ) 时： 方程f 。= q o + q 2 f 2 + q 4 f 4 有如下形式的解： 所以( 2 3 1 4 ) 化为 ，( f ) = 士 士 极限情形时 账) = 羔 印( ( 1 + m 2 ) 十2 c 2 ；( i m 2 ) ) 二! ! 丛! 竺：2 生基! = 苎：2 i 型! = ! ! n ( 2 3 2 1 ) ( 2 32 2 ) 眷热一磊丽再1 确，则( 2 3 2 2 ) 化为： 小犁c 征蕊忐丽埘。1 鹰( 2 3 2 3 ) 当r n 一0 时：毒端一雨硒写1 鬲而则( 2 3 2 2 ) 化为 瓜犁乎c 丽刊薄仁。a ， 在此不做过多的讨论 2 4 k d v 方程 考虑如下形式的k d v 方程 2 3 ，2 4 将( 2 22 ) 代人( 2 4 1 ) 可得 积分一次可得 u t + 2 c m u z + 口u = 0 七2 e l f f t 七0 r i = 0 ( 2 4 1 ) ( 2 4 2 ) 第2 5 一元分式的f 展开式方法 蔺州大晕研窀生晕位静文 其中a 为积分常数 利用齐次平衡原则，平衡，“和，2 得：m = t , 一2 下面分两种情形讨论： 第一种情形：m = 2 ，n = 4 第二种情形：m = 1 ”= 3 讨论第一种情形： 当m = 2 ，n = 4 时： 则( 2 , 43 ) 的解的形式为： ，幢) = n 一2 ( f ( ) + c ) 一2 + a _ 1 ( f ( ) + c ) 一1 + 。o + 。1 f 妊) + n 2 f 2 瞳) f 。( f ) = q o + q 2 f 2 ( ) + q 4 j ：1 4 ( ) ( 24 4 1 ( 245 ) 将( 2 4 4 ) ，( 2 4 5 ) 代人( 2 42 ) 可得关于f ( ) 的多项式。令f ( ) 各项系数为0 ，得到关于 m ，u ，a ，c 的非线性方程组： 注：因为n 一1 = a 一2 = 0 ，( 2 44 ) 即为f 展开式方法，所以我们假定c 0 且。一1 ，d 一2 不同时为o f 8 ：q o ；+ 6 p a 2 q 4 = 0 ，( 24 6 ) f 7 ：2 触l q 4 十2 c y a 2 a l 十2 4 b a 2 q 4 c + 4 0 0 ；c = 0 ， ( 2 4 7 ) f 6 ：4 声h 2 q 2 十8 a a l 0 2 c + 6 0 d l c 2 + 8 卢口1 q 4 c u n 2 + 2 a a o 。2 十d n i + 3 6 f l a 2 q , t c 2 = 0 ，( 2 ，4 8 ) f 5 ：4 ；c 3 4 w a 2 c + 8 a n 0 0 , 2 c + 1 2 ，a l q 4 c 2 + 1 2 0 e a l a 2 c 2 + 2 口一l a 2 + 4 a a c + 2 c t a o a l 一“0 1 + 2 4 ) a 2 q 4 c 3 + f l a l q 2 十1 6 加2 q 2 c = 0 ， ( 2 49 ) f 4 ：一a + 8 a 0 1 c 3 0 2 + 4 p o l 口2 c + 6 口。2 q 4 c 4 + 2 血。一l o l 一4 “n l c + 8 0 。o a l c + 2 4 口8 2 q 2 c 2 2 z a 一1 驰c + 2 c x a 一2 d 2 + 1 2 c e a o a 2 c 2 一f m a o + 2 ；3 a 2 q o + t l a 2 c 4 + 2 p 一2 q 4 + a n 3 6 w a 2 c 2 + 6 , 2 c 2 十8 f l a l q 4 c 3 + 6 n o l a 2 c = 0 ，( 241 0 ) f 3 ：6 零】现c 2 + 4 口一2 眈c + 牟8 1 啦+ 2 q 乱奶c 44 - 6 0 g 一1 g 2 c 2 + 4 。c 3 + 1 2 a o o q c 2 2 卢口一1 q 4 c 2 4 “0 2 c 3 + 1 6 9 a 2 q 2 c 3 6 w a l c 2 一u n 一1 + 4 j c + 2 a a 一2 0 , 1 4 w a o c 一4 j 4 c + 6 n n l o l c 十2 c t a 一1 0 0 一4 卢口一2 q 4 c + 2 p 0 1 q 4 c 4 + 8 z a 2 q o c + 8 c e a o q 2 c 3 = 0 ， ( 24 1 1 , ) f 2 ：4 v t a _ 2 n l c + 6 a a 2 c 2 3 w a l c 一4 a a l c 3 + 4 z a 一2 q 2 + 4 z a 2 q 2 c 4 + 6 a a l a o c + o n 三1 1 2 苎! 主二垄坌墨塑! = 垦堑墨查生 垫! ! ! 圭兰曼童! ! 坚 f 1 一甜0 2 c 4 + 2 a a - 1 c 3 口2 6 a c 2 + 口 c 4 6 w a o 孑一u 口一2 + 2 a a 一2 a 2 c 2 + 6 c m l a l c 2 + 4 宙。l q 2 c 3 + 1 2 f l a 2 q 0 c 2 + 2 0 t a o a 2 c 4 十8 a a o c 3 a l + 2 a a 一2 m 】= 0 ， ( 241 2 ) 一u d l c 4 2 一a - 2 c + f n l q 2 c 4 一口口一1 q 2 c 4 一卢。一l q 2 c 2 4 u a o c 3 4 a c 3 十4 0 n 扩+ 2 口n 。q o + 6 a a l d o c 2 + 2 a a 一2 。一l + 2 d n 苎l c + 2 吐一2 a l c 2 3 w o l c 2 2 f l a 一2 口2 c + 2 a a o c 4 a i4 - 8 卢一2 q o c 3 + 4 a a 2 f z o c + 2 a a l c 3 a l = 0 ， ( 2 4 1 3 ) 2 0 她一2 0 l c + 0 0 1 2 一u n 一2 c 2 + a 0 2 一l c 2 一u 8 1 c 3 + “。；c 4 一c _ d a o c 4 + 2 卢n l q o c + 6 p o 一2 q o 一 c 4 十2 a a 一2 0 0 c 2 十2 f l a 2 q o c 4 十2 旺n 一1 c 3 a o = 0 ， ( 2 4 - 1 4 ) 解此非线性方程组，得到如下两组解 第一组解： o5 0 0 ，a l20 ，0 2 2 0 ， a i 。士 6 f ，( q 2 + 2 q 4 冉 6 口( 啦署+ 2 q o ) “2 5 一一 c = 士( z 石q o 、t ! ， 一石南陋2 吼俺一! i q 0 擂蜘a 据 + 2 4 砌4 q 刮詈+ a 2 a 3 q 2 + c t a o 卢q 2 2 + 9 6 q 2 伊删0 + 3 融印阻训 第二组解 a o = a o o1 = 土 o , 1 = o 0 , 25o n 一2 = o ， 翌正歪耍递三巫 2 q a a ( 2 ，4 ，1 5 a ) ( 24 1 5 b ) ( 2 4 1 5 c ) ( 2 4 ，i s d ) ( 2 4 1 5 e ) ( 2 4 1 5 f ) ( 2 4 ，1 6 a ) ( 24 ，1 6 b ) 一 二垫二丛! 亟2 ( 24 ，1 6 。) q 4 一一= 塑丝二矗2 竺雯虹递三亟坚筮塑堂旺堕唑 躲 压一 第2 章一元分式的f 一展开式方法 楠州土摹研究生孽位鹭文 w = 2 0 t a o + p 9 2 3 卢( q 2 一q ；一4 q o q 4 ) ( 2 41 7 a ) 所以k d v 方程的解为： 他) - 掣( 球) ( 黔 土! 旦! ! 兰! 丛竺上二二! i ；至亘亘坚( f 瞎) 士( 一q o ) ；) 一，+ ( 2 4 1 8 ) 2 驰o 、 、q 4 7 ” 、7 其中：f = z u t + o ，詈0 ，(。：土!堡l!二翌丛竺l二二!i；i；ii盟(f瞎)土t-2q4(q2-x弘2-4qoq4)一+。 ( 2 4 1 9 ) 其中：= 。一w t + f o ，q l 4 q o q 4 同m k d v 一样，我们取不同的q o ，q 2 ，9 4 对应不同的j a c o b i 函数和组合的j a c o b i 函数解， 就得到方程不同形式的解 讨论第二种情形 当m = 1 ，n = 3 时： 再分两种情形讨论： ( 1 ) 设( 2 4 3 ) 的解的形式为： ，幢) = c t _ 1 ( f ( ) + c ) 一1 + 口。+ a i f ( ) f 2 ( f ) = q l f ( f ) 十q 2 f 2 ( f ) + q 3 f 3 ( f ) ( 24 2 0 ) ( 2 42 1 ) 方程f “( ) = 口l f ( ) + q 2 f 2 ( ) + q 3 f 3 恁) 的解形式为j a c o h i 函数的平方的形式将( 2 4 2 0 ) ，( 24 2 1 ) 代人( 2 4 2 ) 可得关于f ( ) 的多项式，令f ( ) 各项系数为0 得到关于o ；，u ，a ，c 的非线性方程组： f 6 ：2 卢d l q 4 十a o = 0 ，( 2 42 2 ) f 5 ：3 c a a i + 6 c f l a l q 4 + 3 a a o = 0 ，( 2 4 2 3 ) f 4 ：6 c 2 触1 q 4 u n l + 芦n l q 2 + 3 c 2 a a 十9 c a a o a + 3 a a l i + 3 a a 3 a 1 = 0 ， ( 24 2 4 ) f 3 ：一 + 3 c 妃1 q 2 2 口一l q 4 c + n d 蠹一3 a z a l + 2 c 3 届a l q 4 + 9 c 2 0 e a o a ； + 6 a a l o ；c + 6 a a l a o a l 一u d o + c 3 0 d + 9 0 q 0 2 0 l = 0 ， ( 2 4 2 5 ) f 2 ：3 a a 一1 罐+ 3 c a a 3 一u n l + 卢。一l q 2 3 c 2 w a l 十1 2 a a l a o a l c + 9 c 2 0 0 3 n l 1 4 第2 章一元分式的f 一展开式方法 楠州上譬研竟生譬位瞥文 f 1 + 3 c 2 卢n l q 2 3 a u a o 一3 c a + 3 c 3 “。o ；+ 3 a a 一1 0 j c 2 + 3 d 兰l l = 0 ，( 242 6 ) 一f l a l q 2 c + 6 a a 1 0 3 c + 3 c 2 荫+ 3 a 三l a o + c 3 卢口l q 2 + 3 c 3 吐n 3 。1 + 6 a a l a o c 2 a l 一2 w a 一1 c 一3 c 2 w a o 一3 c 2 a 十3 a o 苎l o l c c 3 u n l = 0 ，( 24 2 7 ) 一0 2 a 一1 c 2 + 3 a a 一1 n 3 c 2 + n 。兰l + 2 卢一l q o c 3 a c 3 l o a o + c 3 0 e a 3 + 3 a o 三l o o c = 0 ( 2 4 2 8 ) 求解此方程组，得到如下两组解为： 第一组解： 由于方程的解过于复杂，我们记 a o j 。_ 。_ _ 。_ _ _ _ 。，。 - - 1 。h 。一 w l = 、1 3 芦2 畦一1 6 a a 一4 s f l 2 q l q a + 1 2 w o ：圭逊! 圭。：o a 一2a2a2q,z-613qlqaaao+q2aa+aaopq2 1 o l q a ( - 4 v z a 8 + 2 f l q o ) 。：二! ! ：垡! 竺塑生! ! ! 墨罢二! 壁! ! 塑丝堑 - 4 ( 1 a o + 口2 c = 一2 a 2 a 2 0 + 丽2 ( a 再a o 卢五q 2 面- 2 了a 瓦a - r 3 , 6 2 q l q 3 ) 这里w o = 川砀丽五百= 万西石了叨瑶万j 两函面碉 第二组解： 记： 知：- 卢q 2 iw 2 ，n lc 。，n l a n 一1 = 3 f l q 3 2 a ! 生! ! ! 塑! 墨竺! 重! ! ! 望塑 1 0 b q 3 a 4 a 2 + 4 a o 。f 1 ，q 2 + 4 ，、a 。a + 3 3 卢2 q 1 q 3 1 5 口2 q 2 q 3 u = 土= 2 在此，我们取不同的q 1 ，q 2 ，q 3 得到不同的j a c o b i 函数的平方的解的形式 ( 2 42 9 ) ( 2 4 3 0 a ) ( 2 4 3 0 b ) f 2 43 0 c 1 ( 2 , 43 0 d ) ( 243 1 ) ( 24 3 2 a ) ( 2 43 2 b ) ( 2 43 2 c ) ( 24 3 2 d ) 第2 章一元分式的f 一展开式方法 楠州土摹研究生晕位鸯文 ( 2 ) 我们所取的解的形式为 ，代) = a - 1 ( f ( ) + c ) 一1 + a o + a l f ( f ) f 2 ( f ) ；驰+ q l f 德) 十q 3 f 3 ( ) ( 243 3 ) ( 2 4 3 4 ) 方程f 。( ) = q o + q l f ( ) + f 3 ( ) 的锵形式为w e k s t r a s s 函数的形式 将( 2 4 2 0 ) ，( 2 4 2 1 ) 代入( 2 4 2 ) 可得关于f ( f ) 的多项式，令f ( f ) 各项系数为0 ，得到 关于口 ，u ，a ，c 的非线性方程组： f 5 ：3 肋l q a + 2 d = 0 ， f 4 ：一u 口1 + 2 0 f a o a l + 3 吐n c + 9 卢a l q a c = o ， f 3 ：一3 u 。- c + i l p 8 一- 驰十；p a l q i + 9 3 。q 3 c 2 + 2 a n 一- 。+ 。3 一。8 0 一a + 6 a a o a l c + 3 a a 2 c 2 = 0 ， ( 2 43 5 ) ( 24 3 6 ) ( 243 7 ) f 2 ：一： 3 a - l q a c + ；f i a l q a c 3 一u 一1 + 4 。一l n i c + 6 n “。l c 2 + 3 a n 3 c 3 u 。c +2 c t a 一1 a o a c 一3 w a l c 2 a 8 + 昙口a i q l c ：0 ，住，4 3 8 ) f 1 ：4 a a l a o c 一3 a c 2 十；口一l q l + 2 0 e a o c 3 l + 。n 芝l + 2 a a 1 0 1 c 2 十；p n l q l 一 一2 w a l c + 3 a a 3 c 2 3 w a o c 2 一u n l c 3 = 0 ，( 24 3 9 ) f o ：一u o n c 3 一点c 3 + 2 c x a 1 b o c 2 一。n 一：c 2 + 2 伽一l 驰+ 血碚一+ 互1 卢吼q l c 3 = o 求解此方程组，得到如下两组解为：第一组解 第二组解： l q i c + d 8 二】c a t ) 。o o ，a l20 ， 3 卢( 3 q 3 c + q 1 ) o 一1 一一五一 u = 一3 , b q 3 c + 2 c f a o c = 为三次方程式( 口3 + q l z + q o ) 的根) ， d ：! 壁堡竺! 筮! ! ! ! 竺：! i 二! ! 竺塑堡塑1 3 p q 3 劬2 0 0 ，0 1 。一1 了 f 24 4 0 ) ( 244 1 a ) ( 2 4 4 1 b ) ( 244 1 c ) ( 2 44 1 d ) ( 2 4 4 1 e ) ( 2 4 4 2 a ) 第2 章一元分式的f 一展开式方法稿州土辱两竟生謦经瞬文 。一l = - 3 b ( 3 瓦q 3 _ c + q 1 ) “j = 2 a a o ， c = 为三次方程式( z 3 q 3 + q l 。+ 啦) 的根， a ：二! ! 芝癌! 二! ! 壁塑! ! ! ! ! i 4 ( 2 44 2 b ) f 24 4 2 c 1 ( 24 4 2 d 1 ( 2 4 4 2 e ) 在此，我们取不同的q o ，q l ，q 3 得到不同的w e i e s t r a s s 函数的解的形式 总之，修正的f 一展开式方法对许多非线性方程都是有效的修正的f 一展开式方法对许 多非线性方程都可以求得新解，并且在极限的情形下，获得方程的孤波解例如：物理学中的 非线性s c h r s d i n g e r 方程，b o u s s i n c s q 方程，k p 方程，非线性k e l i n g o r d o n 方程等 1 7 第三章 二元带负指数f 展开式方法 3 1 引言 本章讨论下面一类常系数非线性偏微分方程组 i u t + p ( u z + a l u 删) + b 1 | u 1 2 u 斗c a u n = 0 a 2 n 拉+ ( n i # 一b 2 珏v ) + i ( 1 让1 2 ) 。= 0 其中p ，a 。b i ，戗( i = 1 ，2 ) 是实常数且 p 0 ，b 1 0 ，c 1 0 ，c 2 0 ( 3 ，11 ) ，( 3 1 2 ) 是一类重要的方程组当有下列关系时 方程组( 3 11 ) ，( 3 1 ，2 1 表示d a v e y s t e w a r t s o n ( d s ) 方程组【2 5 如有下列关系 i u t + ；口2 ( 。十口2 u ) + 口l u l 2 u u n = 0 z 2 一c y 2 n v 一2 口i “l ：z = o n = n 扛，t ) ，b = 0 p = l ，a 1 = 0 ，b 1 = 一2 a ，c 1 = 2 a 2 = 一1 ，仍= 一1 ， ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) ( 3 1 3 ) ( 3 1 4 ) ( 3 1 5 ) ( 3 - 1 6 ) ( 3 17 ) o ， = 她警 嘞 州 舢 b ， q h一仁扛 第3 章= 元带负指数f 一展开式方法蔺州太簪研竟生摹位格文 那么方程组( 3 1 1 ) ，( 3 1 2 ) 变成g e n e r a l i z e dz a k h a r o v ( g z ) 方程组【2 6 叉假设 。u + u z z 一2 a | j 2 u + 2 u n = 0 r l “一n 。+ ( i u l 2 ) 。= 0 ( 3 18 ) ( 3 1 9 ) = 0 ，e 。= 0 ，p = l ，a l = p b 1 = q ，( 3 1 1 0 ) 那么( 311 ) ，( 3 1 2 ) 是非线性s c h r 6 d i n g e r 方程 2 7 1 i u + p u v + q u 1 2 让= 0 f 3 ，1 1 1 ) 在文献f 2 6 1 中我们用f 一展开式法讨论了( 3 11 ) ，( 3 1 2 ) ，包括( 3 1 5 ) ，( 31 6 ) ( 3 1 8 ) ，( 31 9 ) 和( 3 1 1 1 ) ，求得了一些新结果本章对f 一展开式法进行修改，附加二元负指数项对上述 方程组重新讨论，获得了一些新结果其详细过程通过本文的方程来阐述解释本章如_ f 安 排，在第二节，用修改的f 一展开式法讨论了( 3 11 ) ，( 3 12 ) 的一般行波解，在第三节，用第二 节中得到的结果对g z 方程组进行讨论，获得了用j a c o b i 椭圆函数表示的新的周期波解和孤 立波解，关于d s 和n l s 方程的相应结论分别在第四节和第五节中讨论 3 2 行波解和周期波解的一般形式 由于u 是复函数，敌我们假设 u = e p ( x ，y ，t ) ，叼= k l x + k 2 y + w t + 可o ， ( 3 2 t ) 其中妒( z ，y ，) 是实函数，k h k 2 , u ，r i o 是待定常数把( 3 2 1 ) 代人方程组( 3 1 1 ) ，( 31 2 ) 消去 e t 钉，得到妒和n 的偏微分方程组( p d e s ) l p t 十2 p ( k l 妒。十a l k 2 妒”) 一0 ， p ( 1