（应用数学专业论文）成败型串联系统可靠性近似置信下限.pdf

摘要 摘要 成败型数据在工程中非常常见，且成败型系统的可靠度置信限对诸如指数、正态、 w p i b u l l 等寿命型系统可靠度置信限具有参考价值。本文对国内外推祟的几种常见的 成败型串联系统可靠度近似置信下限方法进行了评定和初步的研究。 m m l 方法、l m 方法、s r 方法、删l s r 方法就是将单元成败型数据( 门，s ，) ， j _ 。_ - 。- 。_ _ _ _ 。一 ，= 1 ，聊折合为单部件系统伪成败型数据r 协j 1 ，再将该伪成败型试验数据折合成 伪定时截尾指数分布试验数据f 历，并求出系统可靠度舱非随机化最优置信下限。 对周源泉的b a y e s 方法应用了其b a y e s 限第二通用公式求系统可靠度置信下限。分别 抽取了大量数据，并按上述几种方法对各组数据用m o n t e c a l o 方法各进行了i 0 0 0 0 次的随机模拟。所编制的程序都在v i s u a lc + + 6 0 编译器上运行调试。然后根据模拟 结果对这几种近似方法进行了评定，指出目前国内广为流行的m 几方法在试验数据满 足其应用条件时仍是偏冒进的：且删l s r 方法也是偏冒进的。经综合分析，认为s r 方法优于上述常用的方法，是保守的方法中最不保守的方法，从而推荐了s r 方法。 【关键词】成败型；系统可靠度；m o n t e - c a l o 方法：近似置信下限 a b s b a c t a b s t r a c t i ti sc o m m o no fp a s s f a i lc o m p o n e n tt e s td a t ai nt h ep r o j e c t s r e li a b i l i t y o f p a s s f a i l s e r i e s s y s t e m s h a sr e f e r e n c et os u c h s y s t e m s a s e x p o n e n t i a l ，n o r m a l ，w e i b u l l t h i sp a p e re s t i m a t e s t os o m eo fc o m m o nm e t h o d s o b t a i n i n ga p p r o x i m a t el o w e rc o n f i d e n c ef o rr e l i a b i l i t yo fs e r i e ss y s t e m sf r o m i n d e p e n d e n t l yb i n o m i a l ( p a s s f a i l ) c o m p o n e n tt e s t d a t a t os u c hm e t h o d sa s 札，m m l ，s r ，删l s r ，w ec o n v e r t eb i n o m i a l ( p a s s f a il ) c o m p o n e n t st e s t d a t a ( 乃，s j ) j = 1 ，m i n t oo n ec o m p o n e n tp s e u d ob i n o m i a l ( p a s s f a i l ) d a t a ( 埔j ) ，a n dc o n v e r t i ti n t op s e u d oe x p o n e n t i a lt e s t e dd a t aw i t h t y p eic e n s o r i n g ，( 磊j ) t h ea p p r o x i m a t el o w e rc o n f i d e n c ef o rr e l i a b i l i t yo f s e r i e s s y s t e m si sd e r i v e d a p p r o x i m a t e l o w e rc o n f i d e n c ef o r t e l i a b i l i t yo f s e r i e ss y s t e m si so b t a i n e db yu s i n gt h es e c o n dg e n e r a lb a y e sf o r m u l ad e r i r e d b yz h o uy u a n q u a n i nt h el a s t ，al a r g es a m p l e isa b s t r a c t e dt os i m u l a t et h e p r o c e s sw i t hm o n t e c a r l ot e c h n i q u e e v e r ys e r i e si s t r i e df o r1 0 0 0 0t i m e s t h ep r o g r a m m e sa r ec o m p i l e dw i t hv i s u a lc + + 6 0 i ti sp r e s e n t e dt h a tt h em m l m e t h o di sb o l db ya n a l y s i s i n gt h er e s u l ts i m u l a t e dw h e nd a t am e e tt h e s p e c i f i e a t i o n a n dt h em m l s rm e t h e o di sb o l da l s o t h es rm o t h e di sv e r i f i e d t ob et h el e a s tc o n s e r v a t i v ea m o n gt h ec o n s e r v a t i v e l ya p p r o x i m a t em e t h o d s a f t e ra n a l y s i s i n g s ot h es rm e t h o di sr e c o m m e n d e d k e y w o r d s ：p a s s f a i l ：s y s t e mr e l i a b i l i t y ：m o n t e c a l ot e c h n i q u e a p p r o x i m a t el o w e rc o n f i d e n c e 附录d ： 学位论文独创性声明： 本人所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取 得的研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论 文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同事 对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 如不实，本人负全部责任。 论文作者( 签名) ： ( 注：手写亲笔签名) 年月日 学位论文使用授权说明 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1 ) = 兀( 1 一吩) l = l 是服从渐近均值为足和渐近方差为d ( 只1 的渐近正态分布。e a s t e r l i n g ( 1 9 7 2 ) 对此 进行了修正，修正的极大似然法估计所得的结果比用极大似然法估计的渐近正态近似 得到的r 。的置信下限略高。 当失效数一很小时，无论是否修正的极大似然估计方法，导出的系统可靠度置信 下限都是很保守的。当不是每个予系统的失效数都比较大时，由于极大似然比方法依 赖于极大似然估计量的渐近性质，且对串联系统需要迭代，故所达到的置信限没有近 似最优置信限好。 r o s e n b l a t t ( 1 9 6 3 ) 对求系统可靠度置信限的另一方法作了详细的理论论证。该方 法是建立在系统可靠度的无偏模拟估计量的渐近正态性上的( 常等价于极大似然估计 量) 。e a s t e r l i n g ( 1 9 7 2 ) 对该方法进行了进一步研究，即用系统可靠度的极大似然估 计量的渐近方差估计确定伪系统试验数和成功数，然后导出非随机化最优置信限。 e a s t e r l i n g 的这个近似方法比他建立在m l e 的渐近正态性上的近似方法要好，效果可 以比得上建立在对数似然比函数基础上且难以计算的的渐近z 2 分布的近似方法。 m u r c h l a n d 和w e b e r ( 1 9 7 2 ) 应用切比晓夫不等式提出了类似r o s e n b l a t t 求复杂 系统可靠度的置信限的方法，即用了r 估计量的精确方差而非渐近方差或其它。但当 系统复杂性增加时，该方法的计算非常复杂而不易实现。 所有依赖于系统可靠度的极大似然估计或模拟估计置的方法都有类似的缺陷，即 串联系统都不考虑无失效单元的影响。因此，极大似然估计和模拟估计量方法对求高 可靠性系统的置信限是不适宜的。 l i p o w 和r i l e y ( 1 9 5 9 ) 的非随机化最优置信下限与由m y h r e 和s a u n d e r s ( 1 9 6 8 ) 计 算的似然比( l r ) 和极大似然( m l ) 的近似值，还有e a s t e r l i n g 的修正极大似然估计 2 第一章绪论 ( m m l i ) 近似值，这些方法有个共同点，就是每个单元的试验数据至少有一次失效。对 无失效数据单元，用m l e ( 等价于模拟估计量的情况) 方法得到的置信下限比按b u e h l e r 方法得到的非随机化置信下限大得多。而用m m l i 方法得到的置信下限虽比非随机化 置信下限大，但非常接近。 g a r n e r 和v a i l ( 1 9 6 1 ) ，c o r n e r 和w o l l s ( 1 9 6 2 ) ，a b r a h a m ( 1 9 6 2 ) ，l i n d s t o r m 和 m a d d e n ，l l o y d 和l i p o w ( 1 9 6 2 ) 导出了二项型串联系统可靠度足小子样近似置信限。 前两种方法通过合并子系统可靠度置信限的各种方法求系统可靠度的置信限，后两种 方法则对某些统计量应用了二项或泊松近似。8 c h i c k 和p r i o r ( 1 9 6 6 ) 发现对2 个子系 统构成的串联系统的置信下限，这些方法中只有l i n d s t o r m 和m a d d e n 方法得到的置 信下限比l i p o w 和r i l e y ( 1 9 5 9 ) 的非随机化最优置信下限好。但除特殊情况外，其置 信限还是趋于保守。 对k 个单元组成的系统，可用单元可靠度足，= l ，k 的先验密度函数求出系统 j 一 可靠度的b a y e s 限，因此，若给定单元失效数据就可以模拟( 用m e l l i n 变换的方法 得到) 系统可靠度的后验分布。z i i i 珂a e r ，p r a i r i e 和b r e i p o h l ( 1 9 6 5 ) 以及s p r i n g e r 和 t h o m p s o n ( 1 9 6 8 ) 建议令单元的可靠度的先验密度为u ( o ，1 、。m a s t r a n ( 1 9 6 8 ) 和 p a r k e r ( 1 9 7 2 ) 也将系统的先验密度定为均匀分布。 m a n n ( 1 9 7 4 ) 指出具有二项子系统数据的串、并联系统可靠度其随机和非随机化最 优置信限是与包含失效数据的先验密度相联系的。 盛骤( 1 9 8 7 ) 曾以超出s u d a k o v 不等式的上界排除了m m l 方法并推荐了l m 方法， 但因忽略s u d a k o v 不等式上界反例而使被否定。 周源泉提出的m m l s r 方法实际上是用s r 方法克服m m l 方法的缺陷。廖炯生( 1 9 9 0 ) 对其进行了分析，认为可能偏保守，并将其应用到国防项目上。该法目前在我国应用 得相当广泛。 在二项串联系统可靠度的近似限方法中目前公认较好的方法有e a s t e r l i n g 的 m m l ( 修正极大似然估计) 方法，l m ( l i n d s t r o m m a d d e n ) 方法，m a n n 的方法， p r e s t o n ( 1 9 7 6 ) 的s r ( 逐次简化) 方法，以及周源泉的m m l s r 方法。 本文的创新点在于通过对随机模拟结果的分析，指出了m m l 方法在试验数据符合 其应用条件时是偏于冒进的；同时指出删l s r 方法也是偏于冒进的。 第二章参数的区间估计理论 第二章参数的区间估计理论 对于统计估计理论中的点估计，若不指出其精度，则意义不大。表达精度的方法 中最简单常用的的就是指出一个区间，此区间以相当大的概率包含未知参数秒，这就 是区间估计。 1 置信区间( c o n f i d e n c ei n t e r v a l ) 方法，又称为经典方法，是目前应用最广 的区间估计方法。该方法认为待估参数是固定的，而置信区间是随机的。该方 法在理论上可完全纳入k o l m o g o r o v 公理体系下的概率论格局内，实用上可作 为一种频率解释。 2 b a y e s 方法：自w a l d ( 1 9 5 0 ) 发表统计决策函数一书以来，该方法各受学 术界重视。其优点是可以综合利用当前的试验信息与先验信息，而且分析方法 程序化。其缺点是不易选择合适的先验分布。 3 f i d u a i a l ( 信赖) 方法不涉及参数的先验分布，它根据观测样本确定参数的分 布。该分布有概率分布的一切性质，但这个分布并非困参数具有随机变量的特 征而带来的，而仅表示由于所得样本的信息、参数落在种种范围内的“可信程 度”，故称之为f i d u c i a l 分布。f i d u c i a l 区间不允许作任何频率解释。 由于二项及指数串联系统的f i d u c i a l 近似限己在实践和理论上被否定( m a n ne t a 1 1 9 7 4 ) ，且在美国早有定论，因此这里就不予介绍了。 2 1 置信区间方法 置信区间方法和理论是n e y m a n 在1 9 3 4 1 9 3 8 年的工作中系统地发展起来的。 其特点是完全基于k o l m o g o r o v 公理体系下的概率论，且只要求样本分布的信息，尤 其要求关于未知参数的先验信息。但在寻求区间估计时知道有关统计量的精确分布， 故而改方法对常见分布是比较成功的，对更复杂的分布族可能就须要依赖近似解法。 定义2 1 ：设样本x 的样本空间为( k ，瓦) ，分布族( 另，0 o ) ，o 是r 2 或 其个b d r “子集；g ( o ) 是定义在。上的有限实值函数，若g 。( p ) 和& ( 秽) 为两个 定义在k 上的有限氐一可测函数，则称 ；，( x ) ，；：( x ) 为g ( o ) 的一个置信区间( 估 4 第= 章参数的区间估计理论 计) 。对任一给定的数y ，0 s y 1 ，满足条件 i 。n f p o ( g ，( 石) g ( 吕) 9 2 ( x ) ) ， ( 2 1 则称y 为置信区间屠。，g ：】的置信水平，( 2 1 ) 式左边称为置信区间岳，；： 的置信系 ( c o n f i d e n c e c o e f f i c i e n t ) 。区间的端点圣，( x ) 、；：o ) 则称为置信限。 式( 2 1 ) 中臼不是一个随机变量，而；。( 工) 、；：( x ) 与样本x 有关，都是随机变 量，也就是说 ；，( x ) ，g ：( x ) 是随机区间。 从定义2 1 可以看出置信水平及置信系数所反映的是区间估计的可靠度的一面， 另一方面是区间估计的精确度。精确度一般以“包含错误值的概率”刻划，也就是说， 当参数真值为臼，而护7 曰时，要求b ( ；，g ( 臼7 ) ) 尽可能小。 区间长度是一种更直观的对精度的刻划。即在一定的置信水平下，置信区间的平 均长度越小越好。下述引理揭示了上面两种对精度的刻划方法存在着的联系。 定义2 2 所谓p 的集估计，是指一个定义于k 上的映射s ( z ) ，且s ( z ) 是 的 子集。 其意义是对样本x ，把口估计在s ( x ) 内；实用上只考虑s ( z ) 取常见的规则的 形状。 引理1 设s x ) 为p 的置信集，假定对任何x ，s ( x ) 岛，这里b o 为。的 b o 阳，集构成的盯一域。设聊是上的一个测度，则 p s ( 工) ) 织( z ) = d ( s ( x ) ) d m ( o ) ( 2 2 ) 特别，若由任一点目o 所构成的集 曰) 的m 测度为o ，则有 i r a s ( x ) 犯( x ) = b ( s ( x ) ) 锄( ) ( 2 3 ) “ l f 卸j 注意到式( 2 3 ) 左边为置信集s ( x ) 在m 一测度下的平均大小，即为玛 脚 s ( x ) ) ， 而式( 3 ) 右边为s ( x ) 包含错误值的概率在m 一测度下的积分值。 引理的证明田r 5 1 第二章参数的区间估汁理论 由此可见在引理引述的条件下，以上两种刻划精确度的方法是等价的。而在此讨 论的问题满足上面引理所述的条件，因此我们将用置信区间的平均长度来刻划置信区 间的精确度。 在许多场合下只需关心参数0 的某一方向的界限，两端都有限的区间估计不适用 或不必要。例如对产品的失效率等只需关心其上限，而对产品的强度和寿命等只需关 心其下限。 定义2 0 。称为参数0 的具有置信度，的置信上限，若 i 蛐n f b ( 色- o ) - z ， 称为参数0 的具有置信度y 的置信下限，若 i 。n 曲f 忍( 眈o ) - r ， 若样本为连续型随机变量，则上面两式应改成： 戆b ( 目晓) 2 t 与璐局p 或) = ， 因此区间估计就是要充分利用样本信息，作出尽量可信与精确的估计。 2 2b a y e s 方法 b a y e s 方法的基本出发点是把伊与x r 4 e 例, d - i ( 0 1 分布的随机变量，分 n d h ( o 、总结了试验前( 取得样本x ) x 寸0 的了解，因而称之为0 的先验分布。整 个统计问题的b a y e s 理论的完整描述是段上的概率测度嘏( 臼) 如弓o ) ，其中 另( x ) 为给定臼时x 的条件分布，该条件分布的作用在于当给定样本x 后，它把原 来的先验分布掰( 臼) 变成后验分布掰( 伊b ) ，该后验分布总结了试验前对 d h ( 0 1 的认识，和取得试验x = x 的对目的新信息，& p x 寸0 的全部了解及一切关于 口的推断都是依据这个分布作出的：对b a y e s 论者而言，在得到擅( 臼l x ) 后，擅( 臼) 就丧失了其意义。因此对b a y e s 论者而言“一个随机区间包含某个固定的参数值o o ” 这样的事件根本就毫无意义。 6 第二章参数的区间估计理论 用在区间估计上，就是在选取参数的先验分布后，由b a y e s 定理求得参数目的后 验密度厂( 口卜) ，并籍此对参数目作出推断。 参数口的b 缈甜区间 岛，岛】为 r ，( 目i x 炒= y 目的b a y e s 下限眈定义为 f 2 ( o l x _ 目= 1 一， 目的b a y e s 上限乱定义为 f 2 ：( o l x k 护= ， 眈的频率解释为：从许多批同类的产品中各抽取相互独立且大小相等的样本，则 在所取样本恰好x = x 的约有，x 1 0 0 的批次p 眈。其中从 的分布中抽取的 随机样本一一各批的臼是一堆毫无规律可言的未知量，而并不象n e y m a n 的置信区 间那样。 b a y e s 方法尚存在着几个有争议的问题： b a y e s 假设：若未知参数为连续型随机变量，则假定它服从某一区间上的均匀 分布；若未知参数为取有限个值的离散型随机变量，则假定取这些值的概率相等。这 就涉及到假设的合理性问题。而这也一直为非b 砂卵学派所诟病。 假定先验分布存在，如何确定这个分布，至今仍没有令人满意的结论，因而在 这方面不够完善。 般来说，确定先验分布的方法主要有4 种： 无信息先验分布。 共轭型先验分布。 用经验b a y e s 方法确定先验分布。 由专家经验确定先验分布。 7 第二章参数的区间估计理论 2 。3 构造置信区间的3 种方法 设x 的概率密度函数为f ( x ，矽) ，或概率函数为p ( x = x k ) = p a e ) ，0 为未知参 数。记善= ( 五，置，k ) 表示的观测值的随机向量，故以维随机向量f 服从含 参数目的分布。设日( 善) ，幺( p 是f 的两个函数，具有最( 掌) 包( f ) a 岛( 孝) ，岛( 多 都是随机变量，故区间 岛( f ) ，岛( f ) 是一个随机区间，即其两个端点与长度都是 与0 有关的随机变量。 设置信度y 为一给定的数，且0 y 1 ，若 尸f 岛( 掌) s p 岛( f ) y ( 2 1 ) 成立，则 b ( 孝) ，晚( 孝) 为参数伊的置信区间。若岛( 芋) ，岛( p 是连续型随机变量， 则上式应为 p q ( f ) 曰岛( 善) = y 定义2 3 矗( 五，瓦) 为样本五，五，五和参数口的一个函数，若其概率分布 与参数目无关，则称之为枢轴量。 构造置信区间的方法； 1 枢轴量法。初等统计学中常见的置信区间即由此法导出，由于点估计最有可 能接近真参数目的值，因此，其基本思想是在参数的点估计的基础上找它的区间估计。 从概率分布求出 ，吃，使得 p 囊五 墨，也 j = y 成立。再找出事件 矗也的等价事件“最( 孝) 曰睦( 参) ”，即 p 岛( 掌) 曰岛( 善) = y ， 则区间 q ( f ) ，岛( 孝) 就是参数p 的置信度为，的置信区间。 2 统计量方法。设，( 墨，五) 为待估参数目的点估计( 一般为极大似然估计) ， 其样本的观测值为f 7 = f ( 五，矗) 。设密度函数为g ( r ，口) 或概率函数为p ( f ，0 ) ，则 对连续型随机变量，0 的置信度为y 的置信区间 只，岛 由下式确定： 8 第= 章参数的区间估计理论 f g ( 州皿= 孚，“净= 孚； 置信度为y 的置信下限吃满足 f g ( e o d t = l 一，r 置信度为y 的置信上限吼满足 g ( e o ) d , = l - z ， 对离散型随机变量，护的置信度为，的置信区间【岛，睦】由下式确定： z p ( t ，最) = 半，p ( 岛) = 毕； f r r g - 置信度为y 的置信下限馥满足 p ( f 0 0 = 1 一，。 置信度为，的置信上限包满足 p ( f ，e 。) = l - r 。 为得到一般情况下精确且是一致无偏最精确置信限，必须产生( 0 ，1 ) 区间上的 均匀随机数，使得置信限依赖于这个服从均匀分布的随机变量，则称该置信限为随机 化的，否则称为非随机化的。上面给出的即非随机化最优置信限。 3 根据区间估计与假设检验的联系，给出区间估计的方法 ( 陈希孺，1 9 8 1 ) ； ( h a n ne t8 1 ，1 9 7 4 ) 。该方法利用由j n e y m a n 与e s p e a r s o n 建立的假设检验理论 给出置信区间。 2 4 可靠度的近似置信下限精度的评价依据 前面讨论了几种导出参数置信区间的方法。由于经典方法在理论上可完全纳入 勋胁2 碰p 加v 公理体系下的概率论格局内，在实用上允许作一种频率解释，较为简 明、直观。故经典方法确定的参数的置信区间( 即咖z 口玎意义下的置信区间) 是目 前应用最广泛的。通常评价近似置信限的冒进或保守一般都是基于经典方法的。 前面已指出可用区间长度来刻划置信区间的精确度。对置信度为y 的可靠度置信 9 笙三童兰垫笪垦塑笪生里笙 f 限屹有如p 关糸式： e r r 0 y 从上式不难得出刻划可靠度近似置信下限优劣的原则： 在只 r r 大于或等于y 前提下，均值e r 】越大，近似置信下限r 就越好。 若p r r l 比y 小，我们就可以说这个近似置信限是冒进了。 设母体x 的分布函数为f ( x ，移) ，给定参数目的值为岛，用随机模拟方法产生 分布f ( x ，目) 的组独立的随机样本 吒 ，”= f 百。设旦( x ) 为目的近似置信下 限，由强大数定律可知 艺垒( 薯) 与e ( 旦e ) ) ，- - - ，o o垒( 薯) ! ：! ，e ( 旦e ) ) ， c 0 l = l 故当很大时，可取e ( 旦( x ) ) 的近似值为丢壹旦( _ ) ，越大误差就越小。为 方便起见，这里将土罗口f 薯、称为近似置信下限旦( x ) 的第一指标值a - j 7 五 。，岛，( 旦( z ) ) ) = p 壁( x ) ( o ，岛b = p 岛旦( x ) ) ， 由强大数定律知 寺喜岛- ( 堡( t ) ) 与p ( 0 0 旦( x ) ) ，一 同理可知当很大时，可用i , _ - 7 。- - l ，i ( 。，岛，( 曼( 薯) ) 近似p 岛旦o ) j 且越 大，精度越高，误差越小。 同样为方便起见，这里称艺仉岛】( 旦( t ) ) 为近似置信下限旦( x ) 的第二指标 n - 0 l - i 值。显然旦( x 1 的第二指标值是来自组独立同分布的样本中满足岛旦( x ) 的频 率。 于是评价参数目的近似置信下限旦( x ) 优劣的原则又可表述为： 1 0 第二章参数的区间估计理论 取一正整数值使得后乒够大，在旦( x ) 的第二指标值大于置信度y 的前提下， 旦( z ) 的第一指标值越大，则参数目的近似置信下限旦( x ) 越好，且认为该置信下限 是保守的。若旦( x ) 的第二指标值比置信度y 小，即使其第一指标值较大，我们也认 为该置信下限是冒进的。 本文衡量保守与否的客观标准其实也就是： 1 覆盖可靠度真值的频率应该始终大于或等于所给定的置信水平，并且越接近越 好。 2 在不冒进时，置信下限的平均值应越大越好。 第三章系统可靠度的精确置信限 第三章系统可靠度的精确置信限 由单元信息确定系统可靠性下限的问题，也称作可靠性综合。解决这个问题的先 决条件是要了解系统及其单元间的关系，要分析各单元的性状对系统性状的影响，即 须事先确定系统的可靠性结构。 定义3 1 当系统的状态与组成系统的n 各单元状态都有关，可将系统可靠性r 表 示为各单元可靠性置，i = 再的函数墨= 宠( 焉，毛) ，称为系统可靠性函数。当系 统可靠性函数足为b ，i ：e 磊的非降函数，称此系统为关联( c o k ，g 玎r ) 系统。 3 1 成败型串联系统精确置信限 勘g 矗切( 1 9 5 7 ) 讨论了二项并联系统可靠性置信上限问题。此法可平行地用于二 项串联系统。设第个单元的二项试验结果为( 乃，o ) ，_ = 乃+ s ，- ，= i 忑，记失 败向量的观测值为( 石，厶) ，则置信度为，的系统可靠性的非随机化最优置信下 限如( f ，y ) ，应满足下述三个条件： ( 1 ) 精确性：p r 恐，) ) ，对一切0 与 2 b u e h l e r 方法。b u e h l e r ( 1 9 5 7 ) 提出。令乃= ) ，”，j = 1 ，m ，可求出置信度 为乃的骘的置信下限弓 t ，叶。( 一厶，厶+ 1 ) = 1 乃 令也，。：f i r 灿 则矗按墨。的递减序列排序。 3 最大可能性方法( l p 方法) ( w i n t e r b o t t o m ，1 9 7 4 ) 。w i n t e r b o t t o m 令 e = ( q o ，0 ) ，当e 已知时，e 是给出最大的吃( e ，y ) 的向量f 。b ，依次 类推。 由式( 3 1 ) 知，确定r 是一个非线性规划问题。特别当z 较大时，难以实现。 用这三种排序方法计算r l ，计算量依次增加，而r 的大小是依次非降的，但当 出现台阶现象时，情况则相反。 周源泉( 1 9 8 3 ) 指出用u m v e 排序方法、b u e h l e r 方法计算r l 值时，若某些抽取 的样本的大小增加而其它试验结果不变，系统可靠性置信下限r z 本应非降，但在某 些情况下却出现了r z 随之突然下降的台阶现象， 范大茵( 1 9 8 6 ) 也指出了l p 方法的不合理处，并作了改进，提出了l d l p 方法。 黄金柏、金振宏( 1 9 8 7 ) 指出m l d 方法也会出现台阶现象。 由于z 是随机变量，在采用排序法求精确解时，出现台阶现象似乎是在所难免的。 因此解决问题的思路之一就是寻求u a z 4 u 置信限这样具有最优性质的区间估计。 第三章系统可靠度的精确置信限 w e a v e r ( 1 9 6 9 ) 提出了关键试验结果的概念，此时司将求系统司靠性f 限转化为 求单元可靠性下限的问题。 定理3 1 设串联系统的第，个单元的二项试验结果为( 乃，o ) ， _ = 乃+ 0 ，= r i ，若j ，= 刀川，= 巧再= i ，则系统相当于进行了二项试验 ( s ，n ) = ( s 。，n 。) 证明： 对上述三种排序方法，r 的取值范围均满足： 厂7 垒厶= o ，1 ，2 ，。) ，五。) 垒乃 则有 喜4 = 缶f ( m ) 危l j e l l 几s l k 。 、。s 础m _ 矸响( ，一r 1 ) 屯 霹讥嘶( 1 一是) 缸蝣( 1 一心) 世 j = 万兹而 砰也砑叫t 也h 磷v ( 1 一置) 允( 1 一r ) 厶( 1 - 最) = r ( 1 一墨) m ( 蜀一r i r 2 ) 如( 墨坞如_ 一月) 血 由多项式定理 喜4 = 警若静 荟苁( 1 - r 1 ) m ( r 一墨忍) 厶( 墨是k 。一尺) “ = 篓( ：1 r n l c ，一r ，= ，一y 因此系统相当于进行了二项试验：门= 啊，厂= ，j ；n a 一乃= s m 。 定理3 2 设串联系统的第j 个单元的二项试验结果为f 工，s j ) ， 1 4 、， 墉 触 j s ，r、 、 女崎 ，f、 第三章系统可靠度的精确置信限 吩= 乃+ j ，j = 1 ，m ，若z = 0 ，j = i ，m ，则系统等效于进行了二项试验 ( 厂，胛) = ( o ，m m _ ) ) 。 证明：对三种排序方法均有= 0 ，j = 1 ，m ，故 i n frr1 。= = 兀帆r ? l ，。1 i j = lo 记恕( 1 ) 皇叩，则 丌r 7 = r 兀r 夕。= 1 一y 。 j = l产1 仅当r j 一1 ，歹( 1 ) 时，r 取最小值( 1 一y ) 丽1 ，即 r = 1 一y 。 将之与单元的非随机化最优置信下限比较，即得系统的等效试验数据 ( ，n ) = ( o ，训 该定理表明，当各单元都无失效时，串联系统与试验次数最小的单元的非随机化 可靠性最优置信下限相等。 定理3 3 设两单元的串联系统的单元试验结果为( ，玛) ，( 是= 伤，慢) ，且也j ：， 则相当于系统有( j ，2 ) = ( s 1 碍) 。 证明：由于 则 r 。= i n r r = 五，r ：f 喜 j z r 夕一厶( 1 - r ，) 靠 。 r - i n f 3 置恐陪驵l z j r 夕吨) 靠 。 若取r = 1 ，计算r 时仅当工女= 0 ，4 才不为0 ，相应地石i 的取值从0 到石， 善i 以= 薹( 弘1 “( ，一r ) 1 = z 式中r 恰为羁，l ，故吼= i n f r ) r 。，。 由于吃( 曩，y ) 关于啦非降，故当吃降至s ，时，也变为聪：而r 砭，且 第三章系统可靠度的精确置信限 定理3 ，1 指出r ：= r i ，故吃r 1 l 。 t & r = r t a 3 2 有替换定时截尾指数单元的可靠度置信限 从寿命服从指数分布j ( j 2 1 一e 的母体中抽样，作姐个部件的有替换定时截尾 试验，截尾时间为f = n t 7 。可证明在区间【o ，】内的总失效数( r ) j 艮从p o i s s 0 1 1 分布 p 肌) = 七) = 普e m ，矧，1 ，2 ，。 通常将失效数的实现值记为：，则 r f = 委等p ， 由 r 协) 2 南t z - l e - a t = f ( f ， 故 萎掣e = 南p p 。艄水) 五的非随机化最优置信上限屯。满足 毫学吨k h 。 故有，巩。( z + 1 ) = y ，五，。= 应咄，2 亿 则 皖c = 莨：，r 。0 0 ) = e b k ，t r , l , c = 西：l n 去。 五的非随机化最优置信下限气。满足 薹掣e 啦q 玑 故 乙，仁) = l y ， 第三章系统可靠度的精确置信限 鼹 c = 鑫h | h 。 r ( 乇) = 8 “。的非随机化最优置信下限也。满足： t 咖凡。( z ) = 1 一，即 r 。c = 8 一吐n 向。 1 7 第四章成败型串联系统可靠度近似置信下限方法 第四章成败型串联系统可靠度近似置信下限方法 4 1 系统可靠度的b a y e s 近似限 迄今为止，由于试验向量的排序仍然存在困难，不便于工程应用，且现有的各种 排序方法都会台阶现象，且求精确解的方法在计算上也过于复杂，因此求解近似解就 较有实际意义。 近似限方法实质是用一种近似分布来拟合精确分布，近似分布应满足某种要求， 并尽可能接近精确分布，这种接近程度一般用二者的1 一，分位数之差度量。 周源泉先后用分布拟合二项分布、负二项分布、有替换定时截尾指数单元的可 靠性分布及有成败型、指数型与其它型单元组成的复杂系统的可靠性分布，可靠性增 长时产品的可靠性等分布，总结出了第一近似限：用l f 分布拟合解决二项分布的可 靠性，环境因子等问题，总结出了第二近似限的通用公式；用r 分布拟合区间( o ，) 上广泛类型的概率密度。 下面不加证明地引述定理4 1 。 定理4 1有界随机变量的分布函数由各阶矩的无穷序列唯一确定。 分布拟合的出发点就是定理4 1 。由于l f 分布只有2 个待定参数，因此只取前 二阶矩分别与精确分布前二阶矩相等。 令厂( r ) = 上r i z ，7 7 ) ，g ( 尺) 为系统可靠度的后验密度，则 f r 。厂( 尺瑚= f r g ( r ) a r ，k = l ，2 ， 通过 r 厂。皿= 1 一y 可以求得r l 。 s ：r ( x l z ，坪) 的k 阶矩为 e ( ) = 禹1 ( _ h 矿k ( 焘) 2 蔓堕皇堕堕型圭壁墨堕里童壁堑型里堕! 堕立堕一 凇) = ( 莉，e ( 斗( 寿 2 由下列关系： = e ( r ) ，v - - e ( r 2 ) ， f 呻皿= b 卜， ( r 皿= ( 袅 ：= 1 ， 可导出 l n 型l n 唑：。， 刁 即+ 1 = 曲h 字， 由r 厂( r 皿= 1 一，可知 y 5 鼽r 皿= 丘南州山r ) ”1 搬 2 南驴驴l ( - l 1 搬 2 南胁”加。k 协“ 2 南f 和“加。少e “砌 2 南广( 叩z - 1 e _ ”d ( 嘲 5 南r l l n r t y z - l e - y 咖凡( z ) 根据盯近似 刁：( 3 一c ) 2 ( c 一1 ) 一o 3 3 5 ( c 一1 ) 3 ， 1 9 一 兰婴至盛堕型皇壁墨蔓旦苎壁堑型里焦工竖堕鲨一 代入即可求出r 。 4 2 系统可靠度的经典近似限 设系统的可靠性函数为 r = ( 足，足) 。 根据e a s t e r l i n g ( 1 9 7 2 ) 的想法，为确定r 的经典近似下限，必须先建立下述两 个方程： 1 系统可靠度函数的极大似然估计蠡方程，即 轰= a ( 秘。，露) 2 根据盖的渐近方差d ( 盖) 的极大似然估计西( 五) ，建立另一方程。 再根据以上两个方程进行折合得出第一、第二近似限： 第一近似限 将单元试验数据折合为二项试验数据( s ，胛) 。r 的极大似然估计及其方差为 盖= 咖d ( 蠢) = r ( 1 一r ) 加 d ( 五) 的极大似然估计为 d = 西( j i ) = 盖( 一灸) 办 由此即可得第一近似限的通用公式： 胛= j i ( ，一五) d ，= 五( 1 一五) 2 d s = r a 2 1 一轰) d ，弛= 矾s + ( 厂+ 1 ) ，2 坤m ， 式中的肠，可用p a u l s 。n _ t a k e u c h i 近似计算。 二第二近似限 将单元试验数据( 九，) ，f = 1 ，2 ，聊折合为系统的有替换定时截尾指数分布 寿命试验数据( 玎，z ) 。 第四章成败型串联系统可靠度近似置信下限方法 此时，r 的极大似然估计及其渐近方差为：盖= e 一珈，d ( 五) = r 2 矿2 五e 而d ( 五) 的 m l e 为d = 西( 五) = 五2 躬2 。 由此可得经典近似限公式： ， 7 7 = - rl n r d ， z ：一r li n 蠢， 瓦萨e x p _ 砬+ ：2 叩 。 二项系统可靠住函数为r = r ir ，其脚方程为 五= h ( 几) ， j i = 礼+ 步百f k 婴o r j 0 ( j i ，一砒) 1 + 如( ( j i 广鼬。) 甜钆p 画 躏噶陶o ( j l 广圳 式中偏导数的下标“0 ”，表示求导结果在其数学期望处取值，0 善 i 。 故盖的渐近方差为： 。( 盖) 2 芸酬 由于对二项试验的成败单元有： e ( 0 ) = 鸣，d ( _ ) = ，屿( 1 一弓) ， 故 d ( 盖) = d ( o _ ) = 弓( 1 一吩) 乃， 2 1 第四章成败型串联系统可靠度近似置信下限方法 蝌汁锄研 = ( e u