（机械电子工程专业论文）空间不同几何条件下螺旋系相关性的研究.pdf

摘要 摘要 随着空间并联机器人理论、技术与应用的发展，空间少自由度并联机 器人由于相对具有结构简单、控制容易和造价低等特点，而成为机器人研 究领域的新热点。在分析国内外空间少自由度并联机器人的研究与应用发 展状况的基础上，对少自由度并联机器人运动分析中不同几何条件下螺旋 系的线性相关性进行了研究。 本文首先对机器人的发展与应用，少自由度并联机器人的研究现状作 了简单的介绍，并且总结了已有的螺旋系线性相关性的判别方法。详细阐 述了螺旋理论，k l e i n 映射的概念。采用射影几何中的k l e i n 映射，将在3 维空间中的力线矢和力偶映射到5 维射影空间下，形成一个4 维2 次流形， 在此基础上应用几何公里研究了混合螺旋系的相关性判别。给出了3 个力 偶和3 个力线矢，2 个力偶和4 个力线矢，1 个力偶和5 个力线矢在不同几 何空间下的线性相关性理论判据。然后利用得出的结论研究了3 - r r u r 并 联平台机构，4 - u p u 并联平台机构，5 - r r u r 并联平台机构在初始位形下 及任意位形下的主动输入，同时也验证本文理论的正确性。并总结了运动 螺旋与其相连的运动副的几何关系。 最后利用u n i g r a p h i e s ( u g ) 软件对上述3 种少自由度并联机构进行了运 动仿真，对所获取的数据进行分析，得到了3 种机构的运动性质，进一步 验证了本文的理论，并为利用该软件进行运动仿真做了有益的尝试。本课 题的研究工作为进一步研究少自由度并联机器人奠定了一定的理论基础。 具有一定的实际应用价值。 关键词少自由度；并联机器人；螺旋理论；射影几何；k l e i n 映射；运动 螺旋 燕山大学工学硕士学位论文 a b s t r a c t w i t ht h ed e v e l o p m e n to ft h e o r y , t e c h n o l o g ya n da p p l yr e s e a r c ho f p a r a l l e l r o b o t ，s p a t i a ll o w e r - m o b i l i t yp a r a l l e lr o b o t sh a v ea t t r a c t e dm u c ha t t e n t i o nd u e t ot h e i rs i m p l ei ns t r u c t u r e ，e a s yc o n t r o l ，l o wc o s ta n ds oo n i tb e c o m e st h e n e wh o t s p o to fr o b o tr e s e a r c hd o m a i n b a s e do nt h ea n a l y s i so ft h ec u r r e n t s i t u a t i o no ft h el o w e r - m o b i l i t yp a r a l l e lr o b o t sa th o m ea n da b r o a d ，s o m ei s s u e s o fk i n e m a t i ca n a l y s i so nt h es p a t i a lp a r a l l e lm e c h a n i s m sa r ei n v e s t i g a t e da b o u t t h el i n e a r l yd e p e n d e n c yo fs c r e ws y s t e mw h i c hi sc o n s t i t u t e do nd i f f e r e n t g e o m e t r i c a lc o n d i t i o n si nt h i sd i s s e r t a t i o n t h ed e v e l o p m e n ta n d a p p l i c a t i o no fr o b o t , t h es t u d ya c t u a l i t y o f l o w e r - m o b i l i t yp a r a l l e lr o b o t s ，a n dt h em e t h o do fj u d g i n gt h el i n e a r l y d e p e n d e n c yo fs c r e ws y s t e mw h i c hh a sb e e nc o n s t i t u t e da r es i m p l yi n t r o d u c e d i nt h ep a p e r t h ec o n c e p to fs c r e wt h e o r ya n dk l e i nm a p p i n ga r ea l s o e x p a t i a t e d b yu s i n gt h ek l e i nm a p p i n go fp r o j e c t i v eg e o m e t r yt h e o r y , f o r c e l i n ev e c t o r sa n df o r c ec o u p l e si nt h r e es p a c eo r em a p p e di nf i v ep r o j e c t i v e s p a c e ，a n daq u a d r a t i cm a n i f o l do ff o u r - d i m e n s i o n a ls p a c ei sf o r m e d o nt h e b a s eo f t h a t ，t h e j u d g e m e n to f d e p e n d e n c yo f m i x e ds c r e ws y s t e mi ss t u d i e db y u s i n gt h eg e o m e t r ya c k n o w l e d g e dt r u t h t h et h e o r yj u d g m e n tb a s i so fl i n e a r l y d e p e n d e n c yo ft h r e el i n e a r l yi n d e p e n d e n tf o r c ec o u p l e sa n dt h r e el i n e a r l y i n d e p e n d e n tf o r c el i n ev e c t o r s ；t w ol i n e a r l yi n d e p e n d e n tf o r c ec o u p l e sa n df o u r l i n e a r l yi n d e p e n d e n tf o r c el i n ev e c t o r s ；af o r c ec o u p l ea n df i v el i n e a r l y i n d e p e n d e n tf o r c el i n ev e c t o r si nd i f f e r e n tg e o m e t r ys p a c ea r eg i v e n i n p u t s e l e c t i n gu n d e ri n i t i a lp o s i t i o no rg e n e r a lp o s i t i o no f3 - r r u rp a r a l l e lp l a t f o r m m e c h a n i s ma n d4 - u p up a r a l l e lp l a t f o r mm e c h a n i s ma n d5 - r r u rp a r a l l e l p l a t f o r mm e c h a n i s ma r es t u d i e db yu s i n gt h e o r yc r i t e r i o n t h ec o r r e c t n e s so f t h e o r yi nt h i sp a p e ri sv a l i d a t e d ，t o o o t h e r w i s e ，t h eg e o m e t r yr e l a t i o n s h i po f i i a b s m a c t t w i s ta n dt h er e l a t e dj o i n t si sa l s os u m m e du pi nt h ep a p e r a tl a s t ，k i n e m a t i c ss i m u l a t i o no ft h ea b o v et h r e el o w e r - m o b i l i t yp a r a l l e l m e c h a n i s m sa r er e s e a r c h e db yu s i n gt h eu n i g r a p h i c s ( u g ) s o f t w a r e k i n e m a t i c c h a r a c t e r i s t i co ft h r e ep a r a l l e lm e c h a n i s m sa r eo b t a i n e db ya n a l y z i n gt h e s ed a t a ， a n dm o r et h et h e o r yo ft h ep a p e ri sv a l i d a t e d t h er e s u l t se s t a b l i s ht h et h e o r y b a s i st of u r t h e rs t u d yo fl o w e r m o b i l i t yp a r a l l e lr o b o t si nf u t u r e i th a sa p r a c t i c a la p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d sl o w e r m o b i l i t y ；p a r a l l e lm e c h a n i s m ；s c r e wt h e o t y ；p r o j e c t i v e g e o m e t r y ；k l e i nm a p p i n g ；s c r e ws y s t e m i i i 燕山大学硕士学位论文原创性声明 本人郑重声明：此处所提交的硕士学位论文空间不同几何条件下螺 旋系相关性的研究，是本人在导师指导下，在燕山大学攻读硕士学位期间 独立进行研究工作所取得的成果。据本人所知，论文中除已注明部分外不 包含他人已发表或撰写过的研究成果。对本文的研究工作做出重要贡献的 个人和集体，均已在文中以明确方式注明。本声明的法律结果将完全由本 人承担。 作者签字妯拉铁日期：删年钼孑日 燕山大学硕士学位论文使用授权书 空间不同几何条件下螺旋系相关性的研究系本人在燕山大学攻读 硕士学位期间在导师指导下完成的硕士学位论文。本论文的研究成果归燕 山大学所有，本人如需发表将署名燕山大学为第一完成单位及相关人员。 本人完全了解燕山大学关于保存、使用学位论文的规定，同意学校保留并 向有关部门送交论文的复印件和电子版本，允许论文被查阅和借阅。本人 授权燕山大学，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文，可以公布 论文的全部或部分内容。 保密口，在 本学位敝属于 不保缸 ( 请在以上相应方框内打“4 ” 作者签名：刽枷够i 年解密后适用本授权书。 ) 日期：二啪压# 节月孑日 导师签名：劾士哗 日期：勋。辟月孑日 第1 章绪论 1 1引言 第1 章绪论 并联机器人( p a r a l l e lr o b o t ) 一般是指与具有串连结构的工业机器人 f s e r i e sm a n i p u l a t o o 相对的具有并联结构的机器人操作手( p a r a l l e l m a n i p u l a t o r ) ，其机械结构实质是一个空间并联机构( s p a t i a l p a r a l l e l m e c h a n i s m ) 。并联机器人具有结构刚度大、承载能力高、运动精度好以及 位置逆解简单和方便力反馈控制等许多串连机器人所没有的优点，近十多 年来已成为机器人研究领域的主要热点之一。 1 2 并联机器人机构的应用与研究现状 并联机器人与串联机器人相比具有一些独特的性能，如刚度高、承载 能力高、速度高、驱动电机在机架上而使活动构件的质量轻，它早已引起 了国际上长期的关注，并给予了大量的研究。 由于没有关节误差的累积，并联机器人往往被认为是高精度的机器人， 因此并联机器入一般在高精度高刚度的领域应用。欧洲同步加速器辐射研 究所研制的一台并联机器人，它能够在边长4 分米的立方体工作空间内以 l m m 的精度放置5 0 0 k g 的载荷。在一些需要高精度、高刚度或者高速度而 无须很大工作空间的应用领域，并联机器人机构越来越受到人们的青睐。 飞行模拟器：把并联机器人机构应用为飞行模拟器，是并联机器人较 早的应用。在并联机器人领域，“s t e w a r t g o u g h 1 】平台机构”几乎就是“飞行 模拟器”的代名词。国际上有很多公司研制并联机构的飞行模拟器，如 f r a s c a 国际公司研制的m b bb 0 1 0 5 型综合飞行训练装置，就是采用并联机 构作为运动实现主体。德国跨国公司d a i m l e r - b e n z 公司制造的 d a i m l e r - b e n z 超大型6 - 6 六自由度s t e w a r t 型多媒体全真动态驾驶模拟器， t 燕山大学工学硕士学位论文 在多媒体全真驾驶模拟器方面主导了世界领先水平的潮流。 虚拟轴数控并联机床：虚拟轴六自由度数控机床【2 卅是并联机器人在制 造业中的一个重要应用。与传统的数控机床相比，并联式加工中心结构简 单，传动链短，刚度大，质量轻，切削效率高，成本低，特别是很容易实 现六轴联动，因而能加工复杂的3 维曲面。g i d d l i n g s & l e w i s 公司在1 9 9 4 年美国芝加哥i m t s 9 4 博览会上推出的v a r i a x 虚拟轴机床，引起广泛的 关注，被称为“2 1 世纪的机床”，它在国内外已经成为研究热点。 图1 - 1东北大学研制的虚拟轴机床 f i g 1 - 1v i r t u a l a x e sm a c h i n e t o o l sm a d e b yn o r t h e a s tu n i v e r s i t y 图1 - 2 哈尔滨工业大学研制的虚拟轴机床 f i g 1 - 2v i r t u a l - a x e sm a c h i n e t o o l sm a d eb yh a r b i ni n d u s t r yu n i v e r s i t y 瑞士技术院机床与制造技术院和机器人院联手研制出了名为i w f 的 h e x a g l i d e 虚拟轴机床。国内外还有很多公司和院校在研究虚拟轴数控机 2 第1 章绪论 床，in g e r s o l l 铣床公司、h e x e l 公司、英国的g e o d e t i c 公司、意大利的 c o m a u 机床公司和瑞典的n e o s 机器人公司以及国内的清华大学、天津 大学、哈尔宾工业大学和沈阳自动化所、东北大学等等。如图1 - 1 与图1 - 2 所示就是东北大学和哈尔滨工业大学研制的虚拟轴机床。 虚拟轴数控机床的可能应用前景还有：以蚂蚁啃骨头方式对大型构件 进行加工或最后精整，灵活布置进行测量或装配和对实体模型进行数据采 集或精修等等。 六维力和力矩传感器：由于智能化机器人的“触觉”和“力觉”可以借助 于力传感器来实现，因此自七十年代以来，机器人关节( 主要是腕关节) 用 的六维力与力矩传感器成为国内外学者研究的热点。 微动机器人：在精密机械领域，如精密加工、医学和微电子机械等等， 对多自由度精微运动的要求越来越多，这促使了机器人另一个新的应用领 域微动机器人口叫的发展。微型组织、微型机械、微电子和微型光学领 域促进了微系统、集成光学元件的发展，这些微小的高科技产品要求机器 人能够以很高的精度( 如典型的0 1 l t m ) 来操作并且装配微小元件。同时这些 微动机器人机构必须是高精度机构，不仅要无摩擦和无滞后作用，而且需 要结构紧凑、重量轻、刚度好。1 9 6 2 年，e l l i s 就建议采用并联而不是串联 的压电陶瓷驱动微动机器人，之后，为了适应不同的应用领域，如生物工 程学和微外科等，许多并联结构的微动机器人样机相继诞生。 s t o u g h t o n 介绍了由两个并联结构组成的微型机器人，每个并联机构由6 个压电式元 件组成；h u d g e n s 和t e s a r 提出了一种并联的s t e w a r t 平台微型机器人； l e e l l 0 采用一个移动和两个转动的并联机构来作为微动机器人的机构：哈 尔滨工业大学用六自由度的并联机构研制成了压电陶瓷驱动六自由度并联 微动机器人；燕山大学研制了并联式六自由度误差补偿器】：北航提出了 一种由一个平面3 - r r r 丰n - - 个空间并联3 - r p s 机构串联而成的微动操作的 机器入l l 刭和d e l t a 型微动机器入。瑞士e p f l 研制了并联六自由度微动机 器人，该微动机器人由2 自由度或多自由度的球面微电机通过压电式微传 送器驱动，用于在集成光纤底片上定位单模光纤。 在六维力传感器研究中，力敏感元件的结构设计是力传感器的关键核 3 燕山大学工学硕士学位论文 心问题，因为力敏感元件的结构决定力传感器的性能优劣。国内外有许多 学者把并联机构的思想引用到六维力传感器的力敏感元件结构设计上来， 图1 - 3 燕山大学研制的六维力与力传感器 f i g 1 - 3f i g 1 - 3s i x - s p a t i a lf o r c ea n df o r c e - s e n s o ro f y a n s h a nu n i v e r s i t yd e v e l o p 如k e r r 、n g u y e n 和f e r r a r e s i 以及国内北大的陈滨、华中理工大学熊有伦【”q 4 】 分别研究了s t e w a r t 平台结构六维力传感器的设计。燕山大学首次提出用 弹性铰链来替代球面副，使s t e w a r t 平台机构可设计成小尺寸，从而可使 s t e w a r t 平台机构适用于机器人手腕和手指上的六维力传感器该设计思想 实现了力传感器力敏感元件的一体化，即力敏感元件是非组装结构，从而 提高了力传感器的灵敏度和精度。图1 3 是燕山大学研制的六维力与力传 感器i i 1 。 i 3 少自由度并联机器人机构的研究 近2 0 年来，并联机器人的研究一直吸引着大量学者的注意，研究最多 的就是六自由度的并联机器人。然而并联机器人的发展如串连机器人一样， 当实际工作不需要6 个自由度时，为了经济的原因，应该能提供适合需要 的自由度低于6 的并联机构。这就是为什么要研究2 、3 、4 乃至5 自由度 的并联机器人的原因。 在这类少自由度并联机构家族中，结构简单而又有特点的3 自由度并 联机构是讨论最多的一种，也是很有使用前景的一类。3 自由度并联分为3 4 第1 章绪论 类：一类是t h o m a s1 9 8 5 年提出的3 自由度平面并联机构 1 6 1 第2 类是c o x 1 9 8 1 年提出的3 自由度球面并联机器人 1 ”，后来g o s s e l i n 发表了不少文章 对各种形式的平面和球面并联机器人进行了深入的研究口聃q 。此外还有著 名学者m e r i e t t 2 1 1 ，a n g e l e s 2 2 埘1 ，e l l i s 2 4 1 等。第3 类也是最有重要应用前景的 是空间3 自由度并联机器人。其中3 r p s 机构是h u n t e 2 5 最早提出的，由 于它能实现两个转动和一个移动而得到了广泛的应用。如l e e 等1 2 7 1 提出 以此机构直接作为3 自由度机器人操作器的主臂，或构成机器人3 自由度 手腕；w a l d r o n 、r o t h 等【2 8 】应用此机构具体设计了a r t i s a n 系统，它再与 3 个串联的转动副构成具有串并联手腕的十自由度机器人；p f r e u n d s c h u h l 2 9 】 提出将它用作气动柔顺手腕；l e e 3 0 1 还设计了3 自由度并联微型机器人以 实现微米级运动；还有人研究将若干个相同的3 一r p s 再串联起来，形成 并串联机构后作为冗余机器人柔性手臂以实现更复杂的运动，执行对汽车 内壁喷漆等高难任务。最近毕树生等【3 l 】结合3 - - r p s 和平面3 一i u 汛构成 满秩的六自由度微动机构。近两年又有对3 自由度并联机器人机构研究的 新进展。s o n g 提出用它作为机器人力补尝等等【3 2 l 。并且上述那些作者对这 些3 自由度并联机构作了大量研究，讨论了位置分析正反解、速度求解、 奇异问题、动力学建模，以及具体结构设计、机型研制和控制研究等等。 在空间3 自由度并联机构中还有一种重要的机构- d e u a 机构口”， 它是能实现空间3 维移动的并联机构。它最初是由瑞士的e p e l 的c l a v e l l 3 4 】 于1 9 8 8 年设计的，由于这种机构的动平台相对于固定平台具有3 个移动自 由度，该机器人能够在一定的3 维空间区域内定位一平台，并且总是使该 平台平行于一特定的参考平面。c o d o u r e y 于1 9 9 6 年研究了该机构位置正 反解、位姿约束条件、运动约束条件、运动分析以及机构的设计问题口5 1 。 从理论上说六自由度机器人能适应任何情况，3 自由度机器人就非常 有限了。为了满足众多的不同的要求，就要创新出各种各样的空间型机构。 新一类3 自由度并联机构的出现，自然丰富和发展了这类机构，拓宽了少 自由度并联机构应用的前景。我国在这一方面已做了许多工作，如黄真教 授在1 9 9 5 年i e e e 会议上提出了一种3 自由度立方型并联机器人机构【3 6 1 ， 1 9 9 6 年他又提出了数种新型的3 自由度角台机构，如3 - - c s 、3 - - p r s 角 5 燕山大学工学硕士学位论文 台机构、3 一r r s 、3 - - t p t 、3 - - p s p 等【3 7 】，近年他又提出了并联3 自由度 转动机构3 一砒氓h 、3 一r 砌 及3 一r r c 等数种以及它们的变形，在结 构上它们都较以前简化了许多。 对于空间4 自由度和5 自由度机构的研究文献是相当少的，如g o s s e l i n 等提出的4 自由度和5 自由度机构3 8 瑚】。但是我们用反螺旋理论分析这些 机构的瞬时运动，发现存在的某些运动却是瞬时的，而且这些机构又是不 对称的，因此不能作为机器人来应用。 1 4 并联机器人理论的综述 并联机器人是一类全新结构的机器人，并联机器人机构问题属于空间 多自由度多环机构学理论的新分支，这个分支是随着对并联机器人的研究 而发展起来的。由于空间并联机构较复杂和具有很大的特殊性，不建立并 联机构自己的理论体系就不可能深刻认识它的特殊机构学问题，所以研究 并联机器人机构学理论对掌握和研制新的并联机器人有着特殊重要的意 义，可见这种结构全新、复杂的机器人是不可能在对其机构学理论无深刻 认识下单靠仿制就能正确设计出来的。此外并联机器人机构学的重要性还 表现在随着机器人高技术发展起来的多机器人协调、特殊要求或危险环境 应用的多足步行饥、新一代的灵巧的多关节多指手爪，也都有共同的空间 多自由度并联机构学问题，这些都是我们研究的对象。 螺旋理论在并联机构运动学研究中得到广泛的应用。利用螺旋理论可 以建立机构的运动学与影响系数矩阵之间的联系。从而解决运动学问题。 在确定机构主动输入时，存在输入选取不合理的问题。这个问题的解决也 可以利用螺旋理论判别由约束螺旋系所组成的约束矩阵的秩，若矩阵满秩， 说明选取是合理的，否则就需重新选取【4 0 】。决定刚体运动的所有螺旋组成 螺旋的集合称为螺旋系，螺旋系的最高阶数是6 。在螺旋系的研究中，螺 旋2 系是最为基础的，而螺旋3 系是最为重要也是最为复杂的。对4 阶和 5 阶螺旋系可以通过研究它的相应的反螺旋系2 系和3 系。在对2 系和3 系螺旋的研究上，张文祥【4 1 1 通过两螺旋主矢的模之比用代数法对螺旋2 系 6 第1 章绪论 进行了重新研究，得出了一些重要结果，他又在此基础上用代数法由任意 给定的3 条线性独立的螺旋构造了螺旋3 系 4 1 , - 4 6 】。方跃法和黄真 4 7 4 8 1 首先 把机构的一阶影响系数矩阵与主螺旋联系起来，讨论了3 阶螺旋系的平面 表示，用2 次曲线分解理论识别了螺旋3 系的主螺旋。王晶在她的博士课 题中应用主螺旋理论对欠秩少自由度并联机器人的运动学特性进行了较系 统研究，并取得重要进展， 并联机器人研究的理论基础【4 9 l ，机器人运动的c 一空间描述方法，最 早、c 一空间是用来描述刚体运动的一种抽象空间，近年来成为机器人运 动规划和控制的最通用描述方法。通常用与刚体上固定的坐标系相对于某 一参考坐标系的位姿代表刚体的形位，而把刚体所有形位的总体称为它的 形位空间( c 一空间) 。把刚体映射为c 一空间的一个点( 缩小) 、而把环境障 碍物映射为c 一空间障碍物( 放大) ，这样刚体的运动可以看成在c 之间中 点的运动，因而刚体的运动规划问题变换为c 一空间中点的运动规划问题。 并联机器人工作空间的是以李群和李代数的概念给出了较深入的解 释。用旋量，运动螺旋和力螺旋来描述刚体运动学问题有两个主要优点。 第一，可以从整体上来描述刚体的运动，这样可以避免用局部坐标系描述 时所造成的奇异性，如用欧拉角来描述旋转时这种奇异性就不可避免；旋 量理论可以对刚体运动进行几何描述，从而可大大简化对机构的分析。 对于并联机器人奇异性的研究，将充分利用旋量的几何特性，尤其是 射影几何理论，例如对于6 - s p s 平台式并联机构，其形位完全由其杆长决 定、即由这6 个杆的轴线所代表的6 个线矢量l 决定的。在奇异形位附近， 这6 条线矢量都十分接近某一线性丛，即这6 个线矢量间很好地拟合为一 个线性丛。利用线矢量空间的逼近理论可以处理这一问题。 并联机器人理论是一门综合的理论。由上所述，可以看出新的数学理 论是推动并联机器人理论发展的巨大动力。 7 燕山大学工学硕士学位论文 1 5 论文选题意义与研究内容 1 5 1 课题的提出 随着并联机器人的发展及在实践中的应用，人们对并联机器人的研究 也逐渐的深入。少自由度并联机构不像简单的单自由度机构，运动的确定性 是肯定的，也不像6 自由度机构运动可以完全任意给定的。这类具有多自 由度又非完全自由的机构是一个重要研究领域。 对于少自由度机构的研究理论，目前还不像满自由度并联机构那样完 善，螺旋理论对于并联机器人的研究具有重大的意义。空间不同几何条件 下螺旋系相关性的研究，在少自由度并联机器人的机构自由度的判别、输 入选取是否合理，机构的奇异性位姿稳定性，以及在并联机器人机构 跳滑现象的判别等应用上具有重要的意义。 目前对空间不同几何条件下螺旋系相关性的研究，存在两种方法，一 是通过判断螺旋系组成的矩阵是否满秩，2 是反螺旋的定义。在特殊情况 下应用这两种方法很容易得出结论，但是在空间任意位形下这两种方法就 出现了弊端。本课题就是在此基础上提出的。 1 5 2 论文选题意义与研究内容 近年来，有关机器人的概念及其应用已经从作为科幻电影的素材发展 到在工业领域广泛应用的计算机控制的机电装景，它的出现引起了很多学 科和技术的变革，特别是对于设计和控制领域的影响是难以估计的。并联 机器人研究的历史比串联机器人要短，但是近几年来发展迅速，发表了大 量的研究论文，研制了大量不同类型、不同用途的样机，有些在实际应用 上发挥了重要的作用。然而，由于并联机器人的复杂性，有些基础理论和 技术还未成熟，严重阻碍了并联机器人的研制和应用。 本文主要研究了少自由度并联机器人在空间不同几何条件下螺旋系的 相关性。在并联机器人家族中，少自由度特别是2 到5 自由度并联机器人 占了很重要的位置，是并联机构中很有前景的一类。我们通过研究支链的 8 第1 章绪论 运动特性，找出了单个支链的末端的约束，然后通过分析约束的线性相关 性，进一步组合出了各种并联机构，可以实现型的综合，并联机器人的机 构输入选取是否合理，机构的奇异性位姿稳定性，以及并联机器人机 构跳滑现象的判别等。这对少自由度并联微动机器人、多维力与力矩传感 器、并联机床等高科技产品的研究和开发具有重要的意义。这些内容主要 包括： ( 1 ) 第1 章介绍了当前并联机器人的主要应用和发展，同时综述了并 联机构的研究现状。 ( 2 ) 第2 章主要介绍了螺旋理论，螺旋系的线性相关性，反螺旋理论， 以及射影几何中的k l e i n 映射，基本的几何公里，下面几章的研究是在这 些理论准备的基础上进行的。 ( 3 ) 第3 章研究了由3 个力偶和3 个力线矢组成的混和螺旋系的相关 性问题，给出了在不同的几何空间下该螺旋系的相关性的理论判据，并应 用该理论对3 - r r u r 并联平台机构的主动输入进行了分析。并对各种运动 副的反螺旋的几何关系进行了详细的总结。 ( 4 ) 第4 章研究了由2 个力偶和4 个力线矢组成的混和螺旋系的相关 性问题，给出了在不同的几何空间下该螺旋系的相关性的理论判据，并应 用该理论对4 - u p u 并联平台机构的主动输入进行了分析。 ( 5 ) 第5 章研究了由1 个力偶和5 个力线矢组成的混和螺旋系的相关 性问题，并给出了在不同的几何空间下该螺旋系的相关性的理论判据，并 应用该理论对5 - r r u r 并联平台机构的主动输入进行了分析。 ( 6 ) 第6 章最后本文对几种少自由度并联机器人机构进行了运动学仿 真。在满足正常运动的隋况下，通过运动仿真，应用本文理论对这几种并 联机构进行分析选取合理的主动输入，也是对本课题研究理论应用正确性 的判断。 最后，总结本文的工作以及未来的研究方向。 9 燕山大学工学硕士学位论文 2 1引言 第2 章基本理论 螺旋理论是分析少自由度机构运动学的有力工具。随着并联机构的发 展与应用，射影几何等理论与螺旋理论相结合，丰富了并联机构理论的研 究。本章基于螺旋理论对少自由度并联机器人运动中的约束问题作了分析。 2 2 螺旋理论 2 2 1 运动螺旋和力螺旋的互逆 在螺旋理论中，如果空间一个矢量被约束在一条空间位置确定的直线 上，则这个被直线约束的矢量称为线矢量，定义如下 ( j ；s o ) = ( s ；r 5 ) ( 2 - 1 ) 螺旋的定义为 苗= ( j 。) = ( s ；s r + p s )( 2 2 ) 若螺旋的两个矢量部分表示为标量，即，m ，n ；p ，q ，r ) ，则称之为 p r i c k e r 坐标。螺旋的两部分也可以以对偶标记结合起来，记为嚣= # ，。 当螺距为零时，螺旋就退化为线矢量。当螺旋表示刚体的瞬时运动时，称 之为运动螺旋；当螺旋表示力或力偶时，称之为力螺旋，在本文中主要用 螺旋表示动平台受到的约束力或力偶，因此又称力螺旋为约束螺旋。 两个螺旋嚣= ( s ；s o ) 和= ( s r , s o ，) 满足下列关系时被称为是互逆的，即 占。嚣7 = j + 耳s o = 0( 2 - 3 ) 其中“。”表示螺旋的互易积。从物理意义上看，互易积为零的两个螺旋， 一个表示物体运动，一个表示物体受到的约束力，则互易积就是力螺旋对 运动螺旋所作的瞬时功，如两个螺旋的互易积为零，则表示力螺旋不能约 1 0 第2 章基本理论 柬运动螺旋代表的瞬时运动。由以上运动螺旋和力螺旋的互逆定义可知， 如果嚣与墨和最互逆，则苫也与墨和是任意线性组合所得的螺旋互逆。 一组线性无关的螺旋s t ，墨，鼠及其所有线性组合构成的矢量空间成 为螺旋系，可记为墨，墨，最，玎6 。称这组线性无关的螺旋墨，墨，墨 为生成该螺旋系的一组基，”称为该螺旋系的最大线性无关数或维数。刚 体在空间的所有瞬时运动可以由一个六维螺旋系表示，即 s l = ( 1 0 0 ；0 0 0 ) 墨= 10 1 0 ；0 0 0 ) 墨= ( 0 0 1 ；0 0 0 ) 8 4 = ( 0 0 0 ；1 0 0 ) 墨= 0 0 0 ；0 10 ) 瓯= ( 0 0 0 ；0 0 1 ) 上式中的六个螺旋也称为螺旋系的标准基。 对于最大线性无关数为h 的运动螺旋系墨，墨，最，与其互逆的约束 螺旋系的最大线性无关数为6 一 ，反之亦然。 2 2 2 螺旋的线性相关性 当一组螺旋线性相关时，必可找到一组不全为零的数，i = l ，2 n ， 使得 q 墨= 0 ，墨= 墨+ 筇，f = 1 ，2 h ( 2 4 ) 按螺旋的加法法则，有 ( o s t = o 和q = o ( 2 - 5 ) 当坐标系由0 点移至一点，各螺旋变为夥= ( s ，；s ? ) 其中s ? = s ? + o a s 分析经坐标系变换后螺旋的线性组合有 峨= 丑+ q 一= q 置+ 【峨j ? + 一a o z o , ，】 ( 2 6 ) 将式( 2 5 ) 代入式( 2 6 ) 有 燕山大学工学硕士学位论文 q = 0 ( 2 - 7 ) 月 上式表明在原坐标系下为线性相关的螺旋系，在新坐标系下仍保持线 性相关。容易证明本问题的对称命题，即在原坐标系下为线性无关的螺旋 系，在新坐标系下仍保持线性无关。所以，螺旋系的线性相关系和坐标系 的选择无关，这使得在下面的分析中，可以选取最方便的坐标系，从而可 以最大程度地将螺旋的表达式简化。 螺旋的p l u c k e r 坐标有六个分量，显然3 维空间线性无关的螺旋最多 有六个。雨线矢量是螺旋的特例，当组成螺旋的两个对偶矢量的点积为零 时，即5 s 。= 0 时，螺旋退化为线矢量。线矢量的p l u c k e r 坐标也有六个分 量，所以3 维空间线性无关的线矢量也有六个。表2 1 给出了不同几何条 件下的线矢和螺旋的最大线性无关数【5 ，表中带( ) 号者表示在该几何空间 下的线性组合可能超出该空间，表中的螺旋具有不同的节距。 表2 - 1 线矢和旋量在不同几何空间下的最大线性无关数 t a b 2 - lm a x i m u ml i n e a ri n d e p e n d e n tn u m b e ro f s c r e w su n d e rd i f f e r e n tg e o m e t r i c a l c o n d i t i o n s 序号几何特点图示线矢最大线性无关数旋量最大线性无关数 1共轴条件 12 2 共面平行呖 23 ! j 3平面汇交 岫 24 乙 4 空间平行 切j 34 5 共面 | q | 35 1 2 第2 章基本理论 续表2 - 1 序号几何特点 图示 线矢最大线性无关数 旋量最大线性无关数 6空间共点*3( 6 ) 汇交点在两面交线上的 醪 ( 3 ) 7 两平面汇交线束 共面共点，汇交点在平 陶 ( 4 ) 8 面上 44 ( a ) 有一公共交线，且交 4 ( 5 ) 角为直角 5 ( 6 ) ( b ) 有一条公共交线，且 4 交角一定 93 ( c ) 有一条公共交线 ( d ) 有2 条公共交线 ( e ) 有3 条公共交线 1 0 平行平面且无公垂线55 无公共交线，空间交错 1 l55 ( 如6 - s p s 转h i 2 位形) 1 23 维空间任意情况66 2 2 3 反螺旋理论 两个矢量的对偶结合s ( s ；s o ) 可用表示物体的运动螺旋或物体的力螺 旋。旋量的一种特殊情况线矢量，在几何是表示直线在空间的方向和 位置；在物理上用来表示物体的转动或作用力。 n 个螺旋组成的螺旋系d = s ，s ：l ，5 。) 的相关性，可以用 6 胛的矩阵的秩r 来表示。串连机器人的自由度数w 则为w = ，( d ) 。当 w 3 的空间，本文将应用 结合公理来讨论，将线矢量和力偶投影到5 维射影空间进行研究其相关性。 2 4p l i i c k e r 坐标与k l e i n 映射 2 4 1p l t l c k e r 坐标 任何空间直线都由线上一点a ( a ) 和其方向完全决定h 9 1 。 ，= 口+ ；l ，a 飒( 2 - 1 1 ) 通常令方向矢量为单位矢量恻i = 1 ，并将单位方向矢量记为5 。为了 得到线矢量# 的p l u c k e r 坐标，首先求单位矢量s 相对原点的距矢量( 简称为 线距) j 。= a x s ( 2 - 1 2 ) 定义：( p l n c k e r 坐标) 线矢量三用其5 和s 。的六元数表示，记为 = ( s ；s 。) ，s = ( l ，m ，n ) 和，= ( p ，o ，r ) 。l r 这六个坐标称为的归一化 p l i l c k e r 坐标。 显然，孵中定义的线矢量集合是孵6 中的4 维流形，因为这6 个p l u c k e r 坐标满足两个约束关系。 1 5 燕山大学工学硕士学位论文 ( 1 ) 归一化条件：l i s l i _ 1 。 ( 2 ) 根据线距的定义得出p l u c k e r 关系 j s 。= 0 ( 2 - 1 3 ) p r i c k e r 关系的几何意义在于s 与s 。相互垂直。反之，任何六元数 ( s ；s 。) ，z ! l l s l j = 1 和p l i i c k e r 关系j ，= 0 ，都代表孵中的一条直线。 在3 维射影空间p ，点的齐次坐标一般可表示为 x = ( x 1 ，x 2 ，x 3 ，x o ) = ( x ，x o ) ，x 孵3 ，x o 吼，相应的直角坐标是 ( x 1 i x o ，x 2 1 x o ，x 3 1 x o ) 用x 9 1 表示。无穷远点用= 0 标志，相当于吼3 中的 方向矢量。p 中的平面可以表示成线性齐次方程形式 “l x l + 屿屯+ u 3 x 3 = 0 ( 2 1 4 ) 矢量u = ( u 1 “2 ，u 3 ，“。) = ( “，“。) ，u 卯，u 。孵称为平面的齐次坐标矢 量，该平面用9 1 u 表示，所在无穷远点x o = 0 构成的平面称为无穷远平面， 用矢量( o ，1 ) 表示。对于其他平面，u 代表其法矢量。 因此在p 中，点和平面的表示形式完全一样，式( 1 4 ) 可以看成是点 ( x ，x o ) 9 1 和平面9 1 ( u ，u 。) 重合的关系式，它对于两者是对称的。这一关系是 射影几何理论中对偶原理的基础。重合关系式( 1 4 ) 即可用于平面，也可用 于直线，还可用于导出相应的对偶性。 为了表示p 中的直线，可以暂时放弃线矢量p l i i c k e r 坐标的归一化约 束，因为在无穷远的直线三，作为两平面的交线，不再具有矢量方向。对 于一般情况，两点x 孵，y 9 1 ( 可能在无穷远处) 的连线用齐次p l i i c k e r 坐标 表示为 s = x u r ：= ( x 。y y o x ，x x y ) = 0 ，5 。) = ( ，m ，n ；p ，q ，r )( 2 - 1 5 ) 该坐标同样满足p r i c k e r 关系j r = 0 ，无穷远直线l 的特征为s = 0 ，无穷 远直线可以认为是由过去的两个平行平面决定的，平面的法线为s 。若嚣不 为无穷远直线，它可由9 t 3 中的点x = ( x ，y ) 和无穷原点y = ( y ，0 ) 张成( z 代 表线嚣上的一点，y 代表苫的方向) 。由式( 1 5 ) 可得苫的方向矢量s = y ( 并非 归一化) 和位于嚣上的j 对原点的距矢量石s 。 苫不仅可视为x 9 1 ，y 9 1 的连线；也可作为两平面9 1 u = ( “，“。) 与 1 6 第2 章基本理论 9 t v = ( v ，v o ) 的交线，这两种解释相互对偶。作为两平面的齐次p l i i c k e r 坐 标 嚣= 孵【，n 吼矿= x v ，“。v - - v o u ) = 0 ，s 。) ( 2 - 1 6 ) 若苫= 9 t u n 吼矿不在无穷远处，“v 是岳的方向矢量，对偶原则是， 在公式中，点与平面的坐标调换后，在p l l l c k e r 坐标中也调换矢量s 和s 。， 就得出正确的对偶公式。 2 4 2k l e i n 映射 线矢量在3 维现实空间中可以表示为一条直线。由于线矢量的归一化 表示，将3 维现实空间孵与3 维射影空间p 相重合。通过p r i c k e r 坐标将 3 维射影空间p 3 中的直线，即3 维现实空间孵中的直线映射为5 维射影空 间p 5 中的点。 把p 3 中一直线尸的坐标作为| p 5 中一点户的齐次坐标，则由于基本恒等 式： s s 。= 勿+ m g + f i t = 0 ( 2 1 7 ) 推出点p 总在p 5 中一个二次超曲面( 称为克莱茵的二次超曲面) 上。这里的 二次超曲面事实上是尸5 中的一个一般的二次曲面，因为引用变换： p = x 1 + i x 4 ，= x 1 一i x 4