（应用数学专业论文）环形区域上helmholtz方程混合边值问题的研究.pdf

摘要 本文主要研究了环形区域上具有n e u m a n n r o b i n 混合边值问题的h e l m h o l t z 方 程的解的适定性，即存在性、惟一性和稳定性，并且对数值解进行了初步讨论。 令d 、9 t cr m ( m = 2 ，3 ) 是有界区域，满2 = o c n ，假设a q 和a j d 都是光滑的( 例如c 2 ) 。 考虑以下混合边值问题： u + k 2 u = 0 ，z q d ， 爱+ i a u = 9 ( z ) ，x o d ， 雾= ，( z ) ，x a q 其中k 0 是波数，常数a 0 是边界阻抗系数，z ，是相应边界的外法向导数。 关于上述问题的惟一性可由格林公式和惠更斯原理得到；如果我们知 道u 在a q 和o d 上的c a u c h y 数据，解的存在性便可以得到，基于此，参考【3 】利用 单双层位势理论，把解的表达式化为一个以u i o d 并u u l a a 为未知量的2 2 的第二类边 界积分方程，如果这个积分方程的解存在，则( 书) 式的解也是存在的。解的稳定性可 由解的表达式和边界积分算子的性质得到。 在数值解的初步讨论中，我们将第二类边界积分方程离散化为一个有限维的 方程组，由5 1 中的讨论可以得到该方程的数值近似解的收敛性。 化 关键词：h e l m h o l t z 方程；混合边界值；环形区域；第二类边界积分方程；离散 i 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，w ed i s c u s st h ew e l l - p o s e dp r o b l e ma n dn u m e r i c a ls o l u t i o n so f h e l m h o l t ze q u a t i o nw i t hn e u m a n n r o b i nc o n d i t i o n so na n n u l a rr e g i o n l e t d ，q ，c r m ( m = 2 ，3 ) b eab o u n d e dr e g i o ns a t i s f y i n g 西c q ，w ea s s u m et h a tb o t ho f 2 a n d o d a r es m o o t he n o u g ha 8i nc 2c l a s s c o n s i d e rt h ef o l l o w i n gm i x e db o u n d a r yv a l u e p r o b l e mf o rt h eh e l m h o l t ze q u a t i o n 锄q d ， a na d o na q ( 术) w h e r ek o i sw a v e t h ec o n s t a n t a 0i sb o u n d a r yi m p e d a n c ec o e 伍c i e n t f o r m g r e e n sf o r m u l aa n dh o l m g r e nu n i q u e n e s st h e o r e m ，w ec a ng e tt h eu n i q u e n e s so f a b o v ep r o b l e m ；i fw ek n o wt h ec a u c h yd a t ao fo q a n d o d ，w ec a ng e tt h ee x i s t e n c e o ft h ep r o b l e m ，f o rt h i s ，r e f e rt o 【3 】，b ys i n g l e a n dd o u b l el a y e rp o t e n t i a lt h e o r i e s ，w e f i r s tr e f o r m u l a t et h ee x p r e s s i o no ft h es o l u t i o na sa2 x 2s y s t e mo fb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o n a lo ft h es e c o n dk i n da b o u tu l o d a n d u l o q ，i ft h es o l u t i o no fb o u n d a r yi n t e g r a l e q u a t i o ne x i s t ，t h e ( , ) e x i s tas o l u t i o n w ec a ng e tt h es t a b i l i t yf r o mt h ee x p r e s s i o n o ft h es o l u t i o na n dt h ep r o p e r i t i e so ft h eo p e r a t o ro ft h es e c o n dk i n d w ed i s c r e t et h es e c o n dk i n db o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o ni n t oaf i n i t ed i m e n s i o n s y s t e m ，a n dw ec a ng e tt h en u m e r i c a ls o l u t i o no ft h es y s t e m w ek n o wt h ec o n v e r - g e n c eo ft h en u m e r i c a ls o l u t i o nb yt h es t a n d a r da r g u m e n tf r o m 5 1 k e yw o r d s ：h e l m h o l t ze q u a t i o n ；m i x e db o u n d a r yc o n d i t i o n s ；a n n u l a rr e g i o n ； b o u n d a r yi n t e g r a le q u a t i o n a lo ft h es e c o n dk i n d ；d i s c r e t i z a t i o n i i ，力0 畎 = i ， 卜 = 九 t e 衲溉他 r 卜 = h + = 乱钆一劬c苦一肋 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i $ 华中师范大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师指导下，独立进行研究工作 所取得的研究成果。除文中已经标明引用的内容外，本论文不包含任何其他个人或 集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本声明的法律结果由本人承担。 作者签名：拉 日期：纠年月1 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权 保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文被查阅和借 阅。本人授权华中师范大学可以将本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。同意华中 师范大学可以用不同方式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容。 1 作者签名：董0 蔓导师签名：夕扣 日期：力听年石月f 日 日期：加7 年月日 本人已经认真阅读“c a m s 高校学位论文全文数据库发布章程”，同意将本人的 学位论文提交“c a l i s 高校学位论文全文数据库 中全文发布，并可按“章程 中的 规定享受相关权益。园童途塞握窑卮溢卮! 旦坐生；旦二生；旦三生筮查! 一1 作者签名：童杰导师签名：乡，寸。 日期：卅年6 月，目日期：2 印年f 月j 日 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第一节绪论 声波和电磁波的散射和逆散射理论在二十世纪数学物理领域占有重要的地 位。此类问题的研究主要分为两个方面：一是正散射问题，即通过给定区域d 及其 边晃条件来研究解的存在与惟一性以及解在无穷远处的性质，主要利用位势理论 和f r e d h o l m 定理等知识：另一方面是逆散射问题，即由解的部分已知信息来确定定 解问题中的某些未知量。由于声波散射理论特别是逆散射理论在雷达、声纳、地球 物理等领域有着重要的作用，所以逆散射问题的理论及其计算有着广泛的应用前 景。d c o l t o n ，r k r e s s 和k i r s c h 等人利用积分方程方法对逆散射问题做了很深刻的 研究，得到了一些漂亮的结果( 见参考文献f 1 1 ，2 1 ，f 6 1 ) 。 在散射理论中，h e l m h o l t z 方程u + k 2 u = 0 ，i m k 0 是研究的比较多的方程， 对于这个方程的单一边值问题的研究也相当深刻。例如d c o l t o n 和r k r e s s 在2 1 中 讨论了如下# d i r i c h l e t 边界条件的h e l m h o l t z 方程的求解问题： a u + k 2 u = 0 ，z q d ， u = ，( z ) ， z o d ， ，1 i r a 。r ( 赛一i k u ) = 0 ， 7 = i z l 作者利用位势理论构造了如下单双层位势结合的形式的解： 出) = z 。 帮咱咖黼) d s ( y ) ( 2 ) 其中7 7 0 是实耦合参数。密度函数妒满足第二类边界积分方程 妒+ k 妒一i t l s l ，v = 2 f ( 3 ) 这里k ，s 是基本的边界积分算子，相关定义见第二节。 对于( 3 ) 式来说，f 1 3 r i e s z f r e d h o l m 定理可知，算子，+ k i 叩s ：c ( a d ) 一c ( o d ) 是双射的并且逆( ，+ k i 叩s ) _ 1 ：c ( o d ) 一c ( a d ) 是有界的，所以( 3 ) 式的解存在并 且连续的依赖于所给的边界值，从而( 1 ) 式的解存在。上述问题解的惟一性和稳定 性详见f 2 】 d c o l t o n 和r k r e s s 还利用类似的方法讨论了h e l m h o l t z 方程的# - n e u m a n n 问 题和外r o b i n 问题( 1 】，【2 1 ) ，得到了解的存在性和惟一性。 但是对于一般的边界条件，如混合边界条件下h e l m h o l t z 方程解的存在性 及惟一性，还有许多问题值得进一步探讨。这也是当前这类问题研究的热 点。2 0 0 1 年，f c a k o i n ，d c o l t o n 和p m o n k 对d i r i c h l e t r o b i n 内混合边界值问题， 证明了解的存在性与惟一性( 【6 ) 2 0 0 5 年，刘继军对环形区域上的混合边值问题进 行了研究，得到了解的存在性、惟一性和稳定性，并且对数值解进行了讨论【3 1 。本 文就是在3 1 的思想上，讨论了环形区域上h e l m h o l t z 方程的n e u m a n n r o b i n 混合边 值问题。 相应问题的形式如下： 令d ，qcr m ( m - - _ 2 ，3 ) 是一个有界区域，( g ，) c ( o d ) c ( o a ) a u + k 2 u = 0 ，x q d ， 券+ i a u = 9 ( z ) ， 。3 d ， 象= 厂( z ) ， z a q 其中七 o 是波数，常数a 0 是边界阻抗系数。 我们在第二节详细讨论了此问题解的存在、惟一和稳定性，得到了几个重要结 论( 详细证明见第二节) 。 利用格林公式和惠更斯原理，我们得到了惟一性结果： 定理1 ：对盯 0 ，问题( 4 ) 至多存在一个解。 存在性的证明过程中，利用位势理论将解的表达式化为一个2 2 的第二类边 界积分方程，此边界积分方程的解是存在的，从而原问题的解存在。 定理2 ：对盯 o ，当夕( z ) c ( o m ) ，( z ) c ( a q ) 时，问题( 4 ) 的解是存在的。 稳定性可以由边界积分算子的性质得到： 定理3 ：设问题( 4 ) 的解为u ，则存在c 0 ，使得 i lu | i c ( n d ) c ( i f ，l i v ( o n ) + i igi i c ( o d ) ) 在第三节中，我们利用离散化的方法讨论了数值解，把边界积分方程( 1 8 ) ( 具 体形式见第二节) 化成了有限维的方程组，并由 5 】中类似讨论可得到解的收敛性( 详 细过程见第三节) 。 2 整篇论文的安排如下： 第一部分介绍了声波和电磁波散射理论的相关情况以及h e l m h o l t z 方程相关问 题的研究，在回顾前人工作的基础上叙述了本文的主要问题。 第二部分证明了所给问题的解的存在性，惟一性和稳定性。惟一性的证明可以 由格林公式和惠更斯原理得到；存在性的证明利用位势理论和f r e d h o l m 可以得到； 稳定性从解的表达式和边界积分算子的性质可以得到。 第三部分给出了把第一部分中得到的2 2 的第二类边界积分方程数值化的方 法。把边界积分方程转化为有限维的方程组，并利用f 5 1 中的类似讨论得到了数值解 的收敛性。 3 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第二节问题的适定性 2 1 预备知识和惟一性 在这一节中，我们会用到以下一些预备知识。 在解的惟一性的证明过程中，我们用到了惠更斯原理( 见参考文献【2 】) 。 引t i l l ( 惠更斯原理) 设d 是一个有界区域，令t i 俨( r 2 d ) nc 1 ( r 3 d ) 是h e l m h o l t z 方程u + k 2 u = 0 在d 的外部的一个解，如果满足u 在a d 上的c a u c h y 边值为0 ，则在d 的外 部仳三0 对所给的区域d ，q ，边界阻抗系数a 0 ，我们想证明问题( 4 ) 的解是存在的，需 要用到以下的相关知识： 对所给的光滑闭弧r ，定义基本的边界积分算子( 见参考文献 2 】) ： ( 酬= 2 z 帮删s ( 并矽) ( 。) = 2 圣( z ，y ) 砂( 影) 幽( ) ( 6 ) ，r 这里 吣川： 磐引l 篡 l4 7 r i z 一可i ” 是h e l m h o l t z 方程的基本解 其中硪1 是零阶的第一类h a n k e l 函数。( h a n k e l 函数的相关性质见附录) 若r 7 是满足r 7 n r = 彩的光滑闭弧，则对z r ，上面的积分算子是正则的， 对z r ，上面的奇异积分仍然有定义并且具有如下性质( 见参考文献【2 】) ： 引理2 ：令i 、c 2 ，则算子坼，研从c ( i 、) 到g ( r ) 是有界的 事实上，在本文中，r 和r 7 将按照需要由a q 或o d 代替。 对任意具有c 2 类边界a d 的区域d ，定义由所有复值函数c 2 ( d ) nc ( 西) 组 成的空间为勿( d ) ( 见参考文献【1 】) 引理3 ：令u 勿( d ) 是h e h l l h o l t z 方程 u + k 2 u = 0 的解，则 小帮一粼咖黼) = 功 x 6d 叩, ( 8 ) 位势理论在存在性的证明过程中也起着重要的辅助作用( 见参考文献 2 】) 。 对于可积函数妒，定义单层位势 u ( z ) g ：e l 圣( z ，可) i ，口( 可) d s ( y ) ，z r 3 0 d ( 9 ) 双层位势 出) 掣z 。帮的川珐z 引羽 ( 1 0 ) 则有如下结论： 引理4 ：令a d 是光滑的( 例如c 2 ) ，函数妒是连续的，则具有密度妒的单层位 势u 在r 3 上连续并且在边界上我们有 u ( z ) = 中( z ，y ) q a ( y ) d s ( y ) ，z o d ( 1 1 ) 等一n裂删咖托1jo o u ( x 2 蹴删d一= 一f ，7 i t ，j ， 一it ，j + 一l ，i ：，j ：j ，t l ，上， 劬 d) 驯川” 这里， 豢箩”( ) 一r a d u ( , l i r a xq r a c l uz 士r t 1 ( 2 7 ) )- =ij z 士 ij j d h - - - , o + 而具有密度妒的双层位势秽可以从d 连续到d ，从冗3 d 连续到r 3 d 嘶) = f o d 帮咖士烈1 吐z 肋 ( 1 2 ) ( 1 3 ) 这里 w - ( z ) 型恕t ，( z 士幼( z ) ) 基于以上的讨论，下面我们考虑问题( 4 ) 解的惟一性。 定理1 ：对口 o ，问题( 4 ) 至多存在一个解。 证明：若要证明问题的解惟一，也就是说如果，( z ) = g ( x ) = o ，则让( z ) = o 考虑u 的共轭面，则面满足方程 由格林公式可以得出 i n q d ， o no d ( 1 4 ) o na q z 、。陋面一面叫如 z q 【u 雾一面舅 如( z ) 一z 。【缸雳一面笔( z ) 因为在a d 上，我们有器= i 口证，器= 一t 仃u 从而可得2 i 仃厶d 川2 如( z ) = o 因此l a d = o ，所以，由让在a d 上的边界条件可得 对z o d ，巩u = u = o ， 由惠更斯原理可知在q b _ l = u 三0 6 口 筹l 心b q 讲施加一一一 ，-ii-，、-ii_， 2 2解的存在性及稳定性 从定理1 的结果司知，如果问题( 4 ) 存在一个解，则解司由( g ，) 惟一确足，也就 意味着训a d 和札l 鲫是惟一的。下面我们就证明( 4 ) 的解是存在的。 定理2 ：对盯 o ，当9 ( z ) ec ( o d ) ，( z ) g ( a q ) 时，问题( 4 ) 的解是存在的。 证明：对z q d ，在q d 上应用引理3 得 出) = 厶【锱咖h 帮】d s 一z 。【搿咖h 帮蚓 出) = j 扣妒沪仳帮】d s a nv ”y ， + 。 帮抽咖m d s ( y ) ( 1 5 ) 一圣( z ，y ) g ( y ) d s ( y ) j o d 在q d 内引入平行于a q 的曲面 a q = z = z + h d z ) ，z a q ，h 0 ) q d i 司样地在( 1 5 ) 式中令z s2 d ，z z a d 从单层位势的连续性和双层位势 的跳跃性，我们可以得到，当z _ z a d 时 z 芸厶错咖川= z 。帮比) d d 卅烈1 z ) z 。l 。i r a ，+ j o oi a , p ( z ，y ) 乱( 矽) 出( ) 2j o o i a e ；( z ，剪) u ( y ) 如( 秒) 舢l 柚i m 埘以。垂( 删) 9 ( y ) 幽( ) 20 00 ( 刎) 9 ( ) d s ( 秒) 从( 1 5 ) 式我们可以得到对z a d 心) - 2 j “帅m d s ( 沪2j “) 帮d s ( 秒)a q a q【，y ， + 2 z 。帮u 烈卅2 z 。硼蜘冲 ( 1 7 ) 一2 圣( z ，y ) g ( y ) d s ( y ) j a d ( 1 6 ) 和( 1 7 ) 组成一个以牡i 鲫，u l a d 为未知量的第二类边界积分方程，可以写成如下形 式： ， 一 2 ( + k o q ) 乱a n 一( 硒n + 盯岛。) 让a 。2 ( 岛q ，一岛。9 ) ( z )( i 8 ) 【k o n u o n + ( i a o 一畅d i a s o o ) u a o = ( 岛q ，一d 9 ) ( z ) 其中第一个方程对所有的z a q 成立，第二个方程对所有的z a d 成立。 官的铒阵形式是 ，( 讯- k o q r t 这里i 是一个2 x 2 的单位矩阵。 由引理2 ，( 一娲n ，k o o - 1 - i a & o ) 是从( c ( a q ) ，c ( a d ) ) 到( c ( a q ) ，c ( a d ) ) 的紧算 子，( & n f s o o g ) ( z ) l o n c ( a q ) ，( ，一& v g ) ( z ) l o o c ( o d ) ，我们已经证明 t ( u o ，u o d ) c ( o a ) x g ( o d ) 是惟一的，所以r i e s z 定理，算子方程( ，一a ) 矽= x 存 在惟一解。这里a 是c ( a q ) c ( a d ) 上的紧算子。 口 8 、l - 、 c = d a c 6 z z 夕9 d d易鼢 一 一 ，踮 = 、1、 c ： d 御 枷 、 d d 岛岛 矿+ + d d 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 下面我们给出解对初值的连续依赖性，也就是解的稳定性 定理3 ：设问题( 4 ) 的解为u ，则存在c o ，使得 岫q d ) c ( i l 川c ( a n ) + 0gi i c ( a o ) ) ( 1 9 ) 证明：由引理( 2 1 ) 知，算子研，所是从c ( r ) 到c ( r ) 的紧算子，因此，( 1 8 ) 式定 义的算子( ，一4 ) 存在有界逆，设界为c ，0 ( ，一a ) 一1i l c j ju a qi i c 铀) c ( i if 惭a n ) - f0gf i c ( a d ) ) i iu a d 慨a d ) c ( i i 川g ( 砚) + 0gi i c ( a o ) ) 由格林公式得到解得表示为 出) = z q 叭咖( 删h 帮川y ) + z 。 帮佃咖肌d s ( y ) 一圣( z ，y ) g ( y ) d s ( y ) 所以 u ( z ) i l e ( 吼西) c l ifi i c ( m ) + cl iu a qi l c ( a n ) + cl lu a di i c ( a d ) + cf igi i c ( a d ) sc ( i lfi j c ( a n ) + i i1 9i i g ( a d ) ) 9 口 硕士学位论文 m a s t e r st h e s i s 第三节问题的离散化 对方程( 1 8 ) 来说，我们现在的任务是求这个边界积分方程的数值解，为了方便 书写，我们定义u 1 , t ：e lu l a n 坳a ：e fu i a d 在方程( 1 8 ) 中， ( j 0 q 牡1 ) ( z ) i a q ，( s o a f ) ( x ) l o a ，( k o o + i 仃岛d ) 锄( z ) l a d ，( s o v g ) ( = ) l o d 在对应的边界上是奇异积分； ( 南岛d + i a s o o ) u 2 ( z ) l 铀，( s o o g ) ( = ) l a ，( k o n u l ) ( = ) l o o ，( $ n ，) ( z ) i a d 在对应的边界上是正则积分。 在这一部分中，因为对积分方程和圣( z ，) 的参数化依赖于空间的维数，所以我 们只考虑dc 铲。三维的情况可以类似对待。 假设闭的光滑曲线f r 2 的参数方程表示为 r 全 y = a - r ( 1 - ) = ( 3 1 ( 7 - ) ，伪( 7 - ) ) r 2 ，丁【0 ，2 丌】)( 2 0 ) 其中7 1 ( 7 ) ，仡( 7 - ) 是以2 7 r 为周期的函数，我们定义砂( y ) = 砂( 7 ( 7 ) ) 全妒( 丁) ，y f 并 且有1 7 7 ( 7 ) i = 1 7 i ( 7 ) 1 2 + i ( 丁) j 2 0 。 首先考虑( 1 8 ) 中的反常积分，对z r 我们将给出算子( 并砂) ( z ) ，( 所矽) ( z ) 的 参数表达形式，这里r 可由o d 或a q 替代，表达式的具体计算参考 4 1 和【1 6 】。 利用h 1 ) = ( 一硪1 ) 7 可以得到算子踯，所的表达式 ，2 丌 一 ( 踯矽) ( z ) = m ( t ，7 ) 矽( 7 - ) 1 7 ( 7 ) i d l ( 2 1 ) 其中核函数： ，2 丌 ( 所矽) ( z ) = 日( 7 - ，t ) 矽( 丁) 打 ( 2 2 ) ，0 m ( t ，丁) 全三捌1 ( 尼) 7 ( ) 1 ) 聊) 全刊i km 刊】锋擀 1 0 硕士学位论文 h l a s t e r st h e s i s 佗( ) = ( ( ) ，一嘶( ) ) = 1 7 7 ( t ) j ( 7 ( t ) ) 分解基本解硪u = 而+ o ， 对零阶b e s s e l 函数五，j o ( z ) = 墨o 等( ；) 2 n 对零阶n e u m a n n 函数o ，n o ( z ) = 熹( 1 n ；+ c ) 如( z ) + ；2 墨1 三：l 击 c = 0 5 7 7 2 1 是欧拉常数 由上述级数，核日就可以写成如下形式 胃( 纠= 儡( t , - r ) l n ( 4 s i n 2 丁t - - t ) + 琶( ( 2 3 ) 其中 晰) = 侍邮) h 竹) - 们) 】 ，t 丁 t = 7 晰) = 羹茹，玩。，m h 咖2 兽l2 f y ( ) f 2 一 ( 这里 = 一以表示一阶b e s s e l 函数) 同理核m 可以写成如下形式 m ( 纠= m t ( t , r ) l n ( 4 s i n 2 丁t - - t ) + 尥( 纠 ( 2 4 ) 其中 呲川= 1 掣咖) - 你) j ) 旧t # r 晰) = m ( t , r ) - m l ( t 一, r ) ，l 岣n 2 字) t = t 丁 下面我们把边界参数化： 令a q 和a d 有参数表示 a q = a z = 他( ) ，t f 0 ，2 7 r 】) ，o d 全 z = 7 d ( t ) ，t f o ，2 万】) 硕士学位论文 m a s t e r st h 【e s i s 定义 ， j 面l ( ) = u 1 ( 仇( t ) ) = t ( 恤( ) ) 【面2 ( ) = u 2 ( 仰( ) ) = u ( 佃( ) ) 由表达式( 2 1 ) 一( 2 2 ) 奇异积分 ( k a n u d ( = ) l 鲫，( s a a f ) ( x ) l a a ，( 硒d + i , ，s a d ) u = ( = ) l a o ，( s o d g ) ( z ) i o d 可以分别写成如下形式： ，2 7 r ( 硒q u l ) ( 他( ) ) = ( 丁，t ) c z l ( r ) d t ( 2 5 ) ( 2 6 ) 1 2 _ ，r ( s a a f ) ( t a ( t ) ) = m a ( t ，丁) ，( 7 ) i ( t ) l d r ( 2 7 ) j 0 r 2 1 r ( k a d + i o s a o ) u , ( - r o ( t ) ) = ( h d ( 7 ，t ) + i ( r m o ( t ，丁) 1 7 台( 丁) 1 ) 面2 ( 7 ) d 1 - ( 2 8 ) ，0 ( 岛| ) 9 ) ( 加( ) ) = m d ( t ，丁) 雪( 7 ) 1 7 厶( 丁) i d 7 ( 2 9 ) j 0 这里： ( 7 - ，) ，m a ( t ，7 ) 表示在h ( t ，) ，m ( t ，下) 中令( 7 ( 7 - ) ，7 ( t ) ) = ( 仇( 7 - ) ，恤( ) ) dt ，) ，m n ( t ，7 - ) 表示在日( 丁，) ，m ( t ，丁) 中令( ，y ( 7 ) ，y ( ) ) = ( 佃( 7 ) ，佃( ) ) 现在考虑( 1 8 ) 中的四个正则积分，经过直接计算可以得到 k o d u z ) ( ( ) ) = 后丌譬盟鬻糟群r i d ( 丁) ( ( ) - t o ( 丁) ) 牡z ( ( r ) ) 打 岛d 妒) ( 伽( t ) ) = 后”；硪u ( 后i 伽( ) 一，y 口( 7 ) i ) i ( 丁) i 矽( ( 7 - ) ) 打 k o n u l ) ( ，y d ( ) ) = 后丌h 1 ) c k l v l ) ( t ) - 3 a ( r ) 1 ) 咖( 7 - ) ( 佃( ) 一( 7 ) ) u l ( 7 d ( 7 ) ) 打 s a a f ) ( t o ( t ) )= 后”；硪( k 1 4 r o ( t ) 一伽( 7 ) f ) j ( r ) l ( y n ( r ) ) d r 1 2 硕士学位论文 n 【a s t e r st h e s i $ m ( 2 5 ) 一( 3 0 ) ，我们可以将算子方程转化成个具有未知量面l ( t ) ，面2 ( ) 0 ，2 7 r 】的 线性积分方程。但是，对奇异积分( 2 6 ) 一( 2 9 ) 我们要另作处理，由( 2 3 ) ( 2 4 ) ，可以 把( 2 6 ) 一( 2 9 ) 化为如下形式 ，2 7 r一 ( u 1 ) ( 伽( ) ) = 巩。( 丁，t ) l n ( 4 s i n 2 ；) ，0 + 凰：t ，) 】面l ( t ) d 1 _( 3 1 ) ( 岛q 似( ) ) ： 打【。( t , - r ) 4s i n 2 下t - - t m n l n ( 4 s i n ) ( 岛q 似( ) ) = 【。)下) j 0 二 + ：( ，7 - ) ，( 7 ) i 喃( r ) l d t( 3 2 ) ( 。+ 。) 忱( 佃( ) ) ：厂2 ”4s in2wso l n ( 4s i n 旱) 【如。( 7 ，t )( d + d ) 忱( 佃( ) ) = 寻) 【如。( 7 ，) ，0 + i a m o 。( t ，7 ) i ( 7 - ) i 】白1 ( ) ，2 7 r + 上( h d z ( 7 _ ，亡) + 盯m d 。( t , r ) l t b ( 7 - ) 恻7 - ) 打( 3 3 ) ( ) ：斯 m o ，( 训n ( 4z 下t - - t s o o g ) ( y o ( t ) m o s i n ) ( ) = ，( 亡，7 ) l n ( 42 下) j 0 + m d ：( 幻) 】雪( r ) i ( 7 - ) l 打( 3 4 ) 在( 3 1 ) 一( 3 4 ) 中，具有核l n ( 4 s i n 2 字) 的积分是反常的，其他的都是正则的，由参考文 献 4 】，可以得到反常积分可以由下式逼近 小n ( 4 咖2 字m 打2 善r l - 1 踟川 ( 3 5 ) 柏o 斯( 晰渺= 三篆地) ( 3 6 ) 删= 一等薹扣邮_ ) 一扣哗呐) 1 3 ( 3 7 ) 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 通过上回的计算，我们司以得剑如f 的结论： 结论：积分方程( 1 8 ) 可以由下面的方程组逼近 w l ( t f ) + 【2 丌碍竹凰，( t j ) + 三巩。( 勺 ) m 岛) 一三 ，n ( t j c 1 ) + l a m p ，a ( t l ) 幻) = 【2 丌砂( ) m n 。( 屯岛) + 三鼽如) 】，( 巧) i ( 幻) 一三，n ( t j ) 雪( 屯) 面z ( 赴) + 元7 1 凰比，啪( 岛) 一【2 丌砖n ( ) 日。( 如，如) + 三日。( 岛，白) 沈( 如) = 三，。( t j ，蝴岛) 一【2 丌砖n ( 如) 且幻，岛) + 三慨( 白，如煽( 岛) i ( 屯) 其中z = 0 ，l ，2 死一1 ，函数互( ) = 9 ( 忉( ) ) ，f ( t ) = ，( 傀( ) ) 日 幻。( t j ，t ) = 月r d 。( 岛，t ) + i a m o 。( ，t 3 ) l t 2 ) ( t j ) l ，m = l ，2 由( 3 7 ) n - - j 知碍( t 1 ) = 砩- l l , j = 0 ，1 ，2 ，2 n 一1 因为我们已经证明t ( 1 8 ) 有惟 一解，并且通过参考文献 5 】中的讨论可知，上述有限维系统的数值解当钆_ 。时 趋向于精确解。所以我们可以由上面的方程组解出解u 1 ( z ) b q = u 1 ( 伽( ) ) = 0 1 ( t ) 和钍2 ( z ) = 眈( 佃( ) ) = 沈( ) 。 但是，对相关的正则化情况我们未作讨论，相关问题可以参考文献f 3 】，f 1 2 】和【1 3 1 。 在上面的讨论中，我们多次用到了h a n k e l 函数的相关性质，具体内容见附录。 1 4 硕士学位论丈 m a s t e r st h e s i s 附录 本附录的相关内容主要来自一些经典数学文献，其中性质和定理的证明我们 略去，证明过程可参考相应的文献。h a n k e l 函数及其部分性质( 见参考文献【1 0 】) 定义1 ：设厶，k 分别表示礼阶b e s s e l 函数和佗阶n e u m a n n 函数，且 们，= 蚕揣c 妒 k ( t ) = ；2 ( i n 吾t + 王，) 厶( ) 一孑1 厶p n ：- 。1 止二! p ，二! 坐、r 呈t 、n 一卸 + 鼻器。p ! ( ( - n + 1 ) p p ) f f t 2 ，、n + 印妒0 + n + 1 ) + 妒( p + 1 ) 其中，妒( o ) = o ，妒) = 焉：1 鬲1 ，p = l ，2 ，= l i m p 。妒( p ) 一l n p 0 5 7 7 2 1 5 7 # a e u l e r 数，则称- - n 1 ) ：厶+ k 为第一类n 阶h a n k e l i 豕i。 疋土墨2 ：如上还足义阴h a n k e l 函数有f 列性质： 性质1 ：栅与k 有相同的奇异性质； 性质2 ：毹1 的渐近公式一：当t _ o 。时， h 0 1 ) = 丢e 酬t 百7 1 ) 1 + 。( 争 嘏，叫掣( 扣n 1 性质3 ：毹1 的渐近公式二：当一。时， 毹1 ) ( 0 ) 1 + t 罢l n 耋 h ( n i ) ( 0 ) 一川掣( 扣几 1 性质4 ：肼1 ) ：( 一毹1 ) ， ：一以 参考文献 【1 】d c o l t o n ，r k r e s s i n t e g r a le q u a t i o n m e t h o d si n s c a t t e r i n gt h e o r y w i l e y - i n t e r s c i e n c ep u b l i c a t i o n ，n e wy o r k ，1 9 8 3 【2 】d c o l t o n ，r k r e s s i n v e r s e a c o u s t i ca n d e l e c t r o m a g n e t i c s c a t t e r i n g t h e o r y s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 9 8 【3 】j j l i u d e t e r m i n a t i o n o fd i r i c h l e t t o - n e u m a n nm a pf o ram i x e db o u n d a r y p r o b l e m ，a p p l m a t h c o m p u t ，1 6 1 ( 2 0 0 5 ) 8 4 3 - 8 6 4 4 】r k r e s s o nt h en u m e r i c a ls o l u t i o no fah y p e r s i n g u l a ri n t e g r a le q u a t i o ni ns c a t t e r i n gt h e o r y j c o m p u t 。a p p l m a t h ，6 1 ( 3 ) ( 1 9 9 5 ) 3 0 1 3 1 0 【5 】r k r e s s ，l i n e a ri n t e g r a le q u a t i o n s s p r i n g e r - v e r l a g ，b e r l i n ，1 9 9 8 【6 】f c a k o i n ，d c o l t o n ，p m o n k t h ed i r e c ta n di n v e r s es c a t t e r i n gp r o b l e mf o rp a r - t i a l l yc o a t e do b s t a c l e s i n v e r s ep r o b l e m s ，1 7 ( 2 0 0 1 ) 1 9 9 7 2 0 1 5 【7 】j j l i u ，j