（应用数学专业论文）时滞系统的鲁棒h∞控制.pdf

时滞系统的鲁棒风。控制 王寒梅 摘要时滞是自然界中广泛存在的一种物理现象，在实际生活中许多系统都 含有时滞，而且时滞是系统不稳定的根源，所以时滞系统的鲁棒稳定性分析和控 制器设计一直是控制理论研究的主要课题近年来，奇异系统和中立系统由于在 实际控制问题中发挥着越来越重要的作用。受到了众多学者的广泛关注，许多正 常系统的有关结论被相继成功的推广到了奇异系统和中立系统但由于它们自身 结构的复杂性，使得对奇异系统和中立系统鲁棒稳定性分析及鲁棒日0 控制问题 的研究相当复杂时滞奇异系统和时滞中立系统的鲁棒稳定性分析及鲁棒三k 控 制的研究仍处于初级阶段本论文针对当前风。控制理论的研究现状，在已有结 论的基础上。进一步探讨了多时滞奇异系统、时变时滞奇异系统、不确定中立系 统及不确定中立型奇异系统的日。控制问胚，基于l y a p u n o v 稳定性理论，运用线 性矩阵不等式( l m i ) 方法，得到了所考虑系统存在日。控制器的充分条件主要 内容如下 ( 一) 综合多时滞线性系统和时滞奇异系统风。控制问题的研究成果，运用 处理时滞系统的一般方法，阐述了不确定多时滞奇异系统的风。控制问题用线 性矩阵不等式给出了点k 控制问题可解的充分条件，算例表明，把研究多时滞线 性系统和时滞奇异系统的上k 控制理论的方法推广到研究多时滞奇异系统是切实 可行的 ( 二) 讨论了把非脆弱控制进一步应用于奇异系统风。控制理论的研究，针 对不确定时变时滞奇异系统，同时考虑对象和控制器本身的不确定性，探讨了非 脆弱鲁棒风。控制问题，并考虑到结果的保守性问题，选取了适当的l y a p u o v 函 数，给出了存在时滞依赖鲁棒玩。控制器的充分条件基于线性矩阵不等式的设 计方法，数值算例进一步验证了方法的有效性 ( 三) 探讨了具有时变时滞不确定中立系统的时滞依赖和时滞独立的鲁棒日。 控制问题通过l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函理论及线性矩阵不等式的方法，建立了 时滞依赖和时滞独立的有界实引理( b r l ) 在新的有界实引理的基础上，进一步 得到了存在时滞依赖和时滞独立的风。控制器存在的充分条件 ( 四) 研究了包含混合时滞的中立型奇异系统的鲁棒日0 控制问题，在l i h o n g 提出的算子口( 观) = e x ( t ) 一g z ( t h ) 稳定性的基础上，对既含有范数有界 不确定参数又含有未知常时滞的奇异系统，得到了存在无记忆状态反馈使所考虑 系统是稳定的且具有凰。性能，y 的充分条件所得结论以l m i 形式给出，方便求 解 关键词：奇异系统；中立系统；时滞；不确定性；风。控制；有界实引理 l i r o b u s th c o n t r o lf o rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y s w a n gh a n - m e i a b s t r a c td e h yi su s u a l l yp r e s e n t e dt ol o t so fp r a g m a t i cs y s t e m s ，i ti sa p h y s i c a l p h e n o m e n o nt h a ：te x i s t e dw i d e l yi nn a t u r e ，f u r t h e r m o r e ，d e l a yi st h er o o ti n d u c e di n s t a e b i l i t y s ot h er e s e a r c ho fr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i sa n dc o n t r o h e r 8d e s i g n i n gf o rd e l a y e d s y s t e m si si m p o r t a n t i nr e c e n ty e a r s ，s i n g u l a rs y s t e ma n dn e u t r a ls y s t e ma r ef o c u s e d o nw i d e l yb ym a n yr e s e a r c h e r sb e c a u s et h e ya r ep l a y i n g 柚i m p o r t a n tr o l ei np r a c t i c a l c o n t r o lp r o b l e m sg r a d u a l l y , l o t so fr e s u l t so fl i n e a rn o r m a ls y s t e mh a v eb e e ng e n e r a l - i z e dt os i n g u l a rs y s t e ma n dn e u t r a ls y s t e mo n ea f t e rt h eo t h e r w h e r e a s ，t h e i rc o m p l e x m e c h a n i s mm a k ei td i f f i c u l tt or e s e a r c hr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i sa n dr o b u s t 日c o n t r 0 1 p a r t i c u l a r l y , t h es t u d yo fr o b u s ts t a b i l i t ya n a l y s i sa n dr o b u s t 如c o n t r o lf o rs i n g u l a r s y s t e ma n dn e u t r a ls y s t e mw i t ht i m e - d e l a y sa l eo l lj u n i o rm o m e n t t h e r e b y , a c c o r d i n g t ot h ec o m p l e x i o na tt h ep r e s e n tt i m e ，t h i sp a p e ri n v e s t i g a t e st h ep r o b l e m so fr o b u s t 如 c o n t r o lf o ru n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e mw i t hm u l t i p l et i m e - d e l a y s ，u n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e m w i t ht i m e - v a x y i n gd e l a y , u n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e mw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a ya n du n c e r t a i n n e u t r a lt y p ed e s c r i p t o rs y s t e mw i t hm i x e dt i m c - d e h y s b a s e do nal y a p u n o vf u n c t i o n a l m e t h o d ，s u f f i d e n tc o n d i t i o n sf o rd e s i g n i n g 如s t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e r sa x ee s t a b l i s h e d i nt e r m so fl i n e a rm a t r i xi n e q u a l i t y ( l m i ) t h em a i nc o n c l u s i o n si nt h i sp a p e ra r e ： ( 1 )a c c o r d i n gt ot h er e s u l t so fl i n e a ra n ds i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y , 王k c o n t r o lp r o b l e mo fu n c e r t a i ns i n g u l a rs y s t e mw i t hm u l t i p l et i m e - d e l a y si sc o n s i d e r e du s i n g t h em e t h o dd e a l i n gw i t hn o r m a ls y s t e m sc o n t a i n i n gt i m e - d e l a y as u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r t h ee x i s t e n c eo fam e m o r y l e e s 如s t a t e - f e e d b a c kc o n t r o l l e ri so b t m n o db a s e do nt h e d e s i g n i n gm e t h o do fl m i ，an u m e r i c a le x a m p l e i sa l s og i v e nt oi l l u s t r a t et h e 印p l i c a b i l i t y o ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e st h a te x t e n d e db yl i n e a ra n ds i n g u l a rs y s t e m sw i t ht i m e - d e l a y ( 2 ) s o m er e s u l t so fn o d f r a g i l ec o n t r o la r eg e n e r a l i z e dt o 如t h e o r yo fs i n g u l a r s y s t e mu l t e r i o r l yi nt h i sp a p e r c o n s i d e r i n go b j e c t i v eu n c e r t a i na n dt h ec o n t r o l l e r su n - c e r t a i ns y n c h r o n o u s l y , n o n - f r a g i l er o b u s th c o n t r o li sd e s c r i b e df o ru n c e r t a i ns i n g u l a r s y s t e mw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y b yt a k i n gap r o p e rl y a p u n o v - k r u s o v s k i if u n c t i o n a l ， d e l a y - d e p e n d e n tc o n d i t i o n sf o rt h ee x i s t e n c eo fn o n f r a g i l er o b u s t 如c o n t r o l l e r sa r ep r e - s e n t e di nt e r m so fl m i n u m e r i c a le x a m p l e sa r eg i v e nt oi l l u s t r a t et h ev a l i d i t yo fo u r m e t h o d ( 3 ) t h ep r o b l e mo fd e l a y d e p e n d e n ta n dd e l a y i n d e p e n d e n tr o b u s th o oc o n t r o li s i i i i n t r o d u c e df o ru n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s b a s e do nal y a p u n o v - k r a s o v s l 【j if u n c t i o n a lm e t h o d ，d e l a y - d e p e n d e n ta n dd e l a y - i n d e p e n d e n tb o u n d e dr e a ll e m m a ( b r l ) f o rt i m e - v a r y i n gd e l a yu n c e r t a i nn e u t r a ls y s t e m si se s t a b l i s h e di nt e r m so fal i n e a r m a t r i xi n e q u a l i t y u s i n gt h eo b t a i n e db r l ，ad e l a y - d e p e n d e n ta n dd e l a y i n d e p e n d e n t s u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o rt h ee x i s t e n c eo fas t a t ef e e d b a c kc o n t r o l l e r ，w h i c he n s u r e sa s y m p - t o t i cs t a b f l i t ya n dap r e s c r i b e d 日p e r f o r m a n c el e v e lo ft h ec l o s e d - l o o ps y s t e mf o ra l l a d m i s s i b l eu n c e r t a i n t i e s ，i sp r o p o s e d ( 4 ) r o b u s t 乩c o n t r o li sp r e s e n t e df o ra c l a s so fu n c e r t a i nn e u t r a lt y p ed e s c r i p - f o rs y s t e m sw i t hm i x e dt i m e - d e l a y s t h ec l a 8 8d e s c r i b e sl i n e a rs t a t em o d e l sw i t hi l o r m - b o u n d e du n c e r t a i ns y s t e mp a r a m e t e r sa n du n k n o w nc o n s t a n tm i x e dd e l a y s as u 佑c i e n t c o n d i t i o nf o rd e s i g n i n gam e m o r y l e s 8s t a t e - f e e d b a c kc o n t r o d e ri se s t a b l i s h e db yt h es t a b i b i t yo ft h eo p e r a t o r 口( t ) = e x ( t ) 一g z ( t h ) b r o u g h tf o r w a r db yh o n gl i a l lt h er e s u l t s i sg i v e nb yl m i ，i ti sc o n v e n i e n tt os o l v e k e y w o r d s ：s i n g u l a rs y s t e m ；n e u t r a ls y s t e m ；t i m e - d e l a y ；u n c e r t a i n t y ；如c o n t r o l ； b o u n d e dr e a ll e r n m a 学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研 究成果。尽我所知，除文中已经注明引用的内容外，论文中不包含其他个人已经 发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得陕西师范大学或其它教育机构的学位 或证书而使用过的材料。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中 作了明确说明并表示谢意。 作者签名：日期： 学位论文使用授权声明 本人同意研究生在校攻读学位期间论文工作的知识产权单位属陕西师范大 学。本人保证毕业离校后，发表本论文或使用本论文成果时署名单位仍为陕西师 范大学。学校有权保留学位论文并向国家主管部门或其它指定机构送交论文的电 子版和纸质版；有权将学位论文用于非赢利目的的少量复制并允许论文进入学校 图书馆、院系资料室被查阅；有权将学位论文的内容编入有关数据库进行检索； 有权将学位论文的标题和摘要汇编出版。 作者签名：1 4 勉日期：孕 第一章绪论 1 1 系统不确定性概述 众所周知，在经典的反馈控制系统设计中，往往要求知道被控对象的精确数 学模型，但实际的工程应用中，从理论上讲要获得某种实际生产过程中被控对象 或环节的精确模型几乎是不可能的，测量环节的不精确，传动机构的老化以及一 些非线性，参数时变等特性均会导致建模的不确定性模型的不确定性通常可以 分为参数不确定性和非结构不确定性以系统 e x ( t ) = ( a + a a ( t ) ) z ( t ) + ( b + a b ( t ) ) u ( t ) + d w ( t )( 1 1 1 ) 为例，来说明对参数不确定性通常有以下几种描述形式，其中z ( ) ，“( t ) ，u ( t ) 分别是 系统的状态，输入及干扰向量；a ，b ，d ，e 为适当维数的已知矩阵且r a n k e = r 0 ，a ，a d ，p 。“ 1 将系统变为 ( t ) = ( a + a d 净( t ) 一a d 【a z ( s ) + a d z ( s f ) 】d s( 1 2 2 ) ，i j t t 3 k h a x i t o n o v 和m e l c h o r a g u i l a r ，g u 和n i e u l e s c u 已证明当时滞较大时，系统( 1 2 2 ) 和( 1 2 1 ) 并不等价，因此基于( 1 2 2 ) 所做的稳定性分析保守性很大 2 通过引入差分算子口= z ( t ) + a dj 三，z ( s ) 以，将系统变为中立型系统 ：阶) + 山，小) 酬= ( a + 也) 荆， ( 1 2 3 ) 由于附加了差分算子口的稳定性条件，也将给结果带来一定的保守性 3 由p a r k ，m o o n 等提出，将系统变为 一 ( t ) = ( a + a d ) x ( t ) 一 d ( s ) 幽，( 1 2 4 ) 当t r 时，系统( 1 2 4 ) 与( 1 2 1 ) 等价 4 2 0 0 1 年，由h i d m a n 引入的奇异系统方法，首先将系统变为奇异系统 x ( t ) = p ( t ) ，u ( t ) = a z ( t ) + a d x ( t r ) 然后利用第一个方程，把第二个方程变成关于的分布时滞方程 f t 0 ) = ( t ) ，0 = ( a + 山) z ( t ) 一”( ) 一b ”( s ) 幽 ( 1 2 5 ) 则当t2r 时，系统( 1 2 5 ) 与( 1 2 1 ) 等价 方法4 始终把z ( t ) ，圣( t ) 看成独立的变量，比方法3 保守性小，但这种方法用 于广义系统的研究在计算上可能存在一定的困难本文对时滞独立的稳定性条件 和时滞依赖的稳定性条件匀有研究，其中对时滞依赖的稳定性条件采用了方法3 1 3 如控制问题的发展历史、研究现状及发展方向 在古典控制理论中，主要考虑输入输出和误差信号，控制系统的主要设计方 法是用测得的被控对象的频域特性曲线、b o d e 图、n y q u i s t 图来确定补偿器的参 数，然后加以调试，使系统满足设计指标它不依赖于被控对象的数学模型，但 只用于单输入单输出系统 一 进入上个世纪六、七十年代，随着计算机、计算机技术、数学的发展和工程 实际的需要，产生了基于状态空间法的现代控制理论，将系统的研究范围推广到 多变量系统，这种控制方法完全依赖于描述被控对象动态特性的数学模型但在 实际中要得到受控对象和外界干扰的精确模型是不可能的，因此，在设计控制系 4 统时，要考虑各种不确定因素基于此问题的出现，加拿大学者z a m e s s 首次提 出以控制系统内某些信号的传递函数的风。范数作为优化指标的设计思想，并在 此基础上发展成风。控制理论这是凰。理论发展的第一阶段1 9 8 9 年d o y l e 等人在全美控制会议上发表了著名的d g k f 论文【9 1 ，将 k 控制器设计归结为 两个r i c c a t i 方程的解。至此，日。控制理论的框架基本形成，标志着日o 。控制理 论的发展进入了新阶段进入9 0 年代后，研究者积极地同美国t h em a t hw o r k 公 司合作，开发了m a t l a b 鲁棒控制工具箱，把l m i 技术引入到风。鲁棒控制，这不 但降低了凰。控制的限制条件，而且扩展了风。控制的研究领域，如一奇异系统 1 0 - 1 3 1 时滞系统 1 4 - 1 8 ，中立型系统 1 9 - 冽、非线性系统，矧等，使凰。控制 理论的研究收获颇丰【2 5 2 7 1 虽然既。控制理论日趋成熟，但仍存在一些有待解决的理论问题，从应用的 角度看，必需解决的问题主要有以下几个方面： 1 王k 控制器的复杂结构和较高阶次制约了它在实际中的应用从某种意义 上讲，研究降阶风。控制器的设计方法是目前日。控制理论最重要的课题之一 2 目前的不确定性主要假设范数有界，广义模有界和顶点多项式族的形式， 需要解决的主要矛盾是不确定性描述应该符合工程实践而同时又易于设计出满意 的控制器 3 自1 9 9 4 年韩国学者j ，h l e e 在时域中基于状态空间模型，利用r i c c a t i 方 法，提出时滞系统的无记忆上r o o 控制器设计问题以来，时滞系统的矾。控制得到 了长足发展，取得了许多优秀成果，但随之而来的保守性问题一直困扰着众多学 者，至今没有令人满意的结论 4 尽管对系统的分析和综合已建立了严格的理论体系，使问题的求解大大简 化，但使用的数学工具仍然让工程人员难以理解，因此，理论的简化应该是风。 控制研究的一个重要方向 5 线性时变系统、离散系统、奇异系统、中立型系统及模糊系统的矾。控制 理论研究，特别是中立型奇异系统也。控制和大系统风。控制应该是进一步的研 究方向 综上所述，线性系统的风。控制已被广泛推广，奇异系统和中立型系统的f r a o 控制也相应地得到了一定的发展，但由于奇异系统和中立型系统自身结构中的复 杂性，使得这一发展进行缓慢，现在仍处于发展的初级阶段近年来l m i 方法在 k 控制问题的理论与设计中已得到广泛发展，但在时滞系统领域中的应用还有 待进一步推广基于此，本文探讨了用l m i 来设计时滞奇异系统和时滞中立型系 5 统的鲁棒日。控制器问题 1 4 本文的主要工作及结构安排 本文主要研究了时滞奇异系统和时滞中立系统的鲁棒风。控制问题通过选 取适当的l y a p u n o v - k r a s o v s k i i 泛函，利用l m i 方法，对所考虑的系统及给定的，y ， 找到了存在一个状态反馈控制律，使得闭环系统是鲁棒稳定且具有日。干扰抑制 度1 的充分条件，并用数值算例验证了结论的可靠性全文共有以下五个部分组 成t 第一章，绪论r 首先根据现存的问题和实际应用的需要对系统的不确定性和 时滞的概况作了简要分析，然后阐述了而k 控制的历史、研究现状和发展方向 第二章，不确定多时滞奇异系统的鲁棒占k 控制：研究了含有匹配不确定性 和多个状态常时滞的奇异系统的鲁棒且k 控制问题利用l m i 方法，把设计一个 无记忆状态反馈控制器使对给定的干扰抑制度，y ，闭环系统是鲁棒稳定的问题转 化为求满足条件的线性不等式解的问题 第三章。奇异系统时滞依赖的非脆弱鲁棒比。控制。探讨了所考虑系统的非 脆弱鲁棒矾。控制问题，利用矩阵不等式给出了时滞依赖非脆弱鲁棒日o 。控制器 存在的充分条件 第四章，中立系统的时滞依赖和时滞独立的鲁棒凰。控制：考虑了时变时滞 不确定中立系统时滞依赖和时滞独立的鲁棒如控制，对所研究的系统建立了 新的有界实引理，在新的有界实引理的基础上得到了存在时滞依赖和时滞独立的 如控制器存在的充分条件 第五章，不确定中立型奇异系统的鲁棒k 控制：讨论了含有混合时滞中立 型奇异系统的k 控制问题，得到了所考虑系统鲁棒镇定的充分条件利用所定 义新算子的稳定性和线性矩阵不等式，给出了风。控制问题可解的充分条件 6 第二章不确定多时滞奇异系统的鲁棒控制 2 1 引言 自l m i 技术被引入到月0 鲁棒控制中，线性系统日o 。控制理论日趋成熟和完 善，并迅速被推广到其他领域由此产生奇异系统的上k 控制理论由于奇异系 统自身结构中的脉冲特性，使得对奇异系统鲁棒稳定性的研究比线性系统复杂和 困难。以鲁棒稳定性为基础的凰。鲁棒控制理论进展相对迟缓，由此吸引了一批 学者从事这方面的研究并取得了一定成果l 篮矧 文献【1 0 】给出了具有状态时滞和控制时滞奇异系统的无记忆状态反馈日矗控 制器的设计方法文献【3 0 l 通过代数r i c c a t i 方程的正定解提出了具有单个状态时 滞的线性系统的无记忆状态反馈风。控制器的设计，从而建立了时滞系统王k 性 能的状态空间描述文献 1 5 ，1 4 1 分别对线性和非线性系统多时滞玩。控制问题进 行了探讨，但多时滞奇异系统的日。控制问题还未涉及，本文运用线性矩阵不等 式研究了不确定多时滞奇异系统的鲁棒风。控制的问题 考虑系统 e 2 0 ：e ( ) = z ( t ) = z ( ) = 2 2 系统描述和预备知识 ( a + a ) z ( t ) + ( 如+ a a d 。) x ( t 一盔) + 玩u ( t ) i = 1 c t ( t ) + d 二u ( ) ， ( t ) ，t 【一d ，0 1 其中x ( t ) r 严是状态向量；u ( t ) r p 是干扰输入，z ( t ) r q 是被调输出； 妒( t ) r “是从【- d ，0 】到r “的连续初始向量值函数，d = m a x d d ，d f o ；a ，a 血， 玩，c ，巩，e ，i = 1 ，2 ，l 是已知的具有适当维数的常数矩阵，r a n k e 0 我们称满足上述条件的不确定性 是容许的 7 定义2 2 1 系统e 2 0 是鲁棒稳定的，如果当u ( t ) = 0 时，系统所确定的泛函 微分方程的平衡解z ( t ) = 0 对所容许的不确性a 和a d 是渐近稳定的 定义2 2 2 对给定的正常数1 ，对所有容许的不确定性，如果系统e 2 0 具有以 下性质 ( 1 ) 系统是鲁棒稳定的 ( 2 ) 从外部扰动u ( t ) 到被调输出z ( ) 的传递函数矩阵g k ( 8 ) 的三k 范数不超 过给定的常数1 ，即在零初始条件x ( t ) = 0 ( t i - d ，o l ，d = m a x d k ，i = 1 ，2 ，z ) ) 下 j 2 7 怕眩忱，l 2 0 ，0 0 ) 则称系统e 2 0 具有鲁棒矾。性能1 引理2 2 1 【3 1 l 给定适当维数的矩阵y ，d 和f ，其中y 是对称的，则 y + d f e + e t f t d r 0 使得 y + e d d t + - 1 e t e 0 引理2 2 2 ( s c h u rc o m p l e m e n to f 【3 2 ) 给定的矩阵 s = s 现n 髭 ， 其中岛1 = 靠，岛2 = 岛，则下列两个条件等价 ( 1 ) s 0 ， ( 2 ) s z 2 0 8 0 ，可逆对称矩阵 p r n ”和正定矩阵s r n “，使得 e t p = p e 20 ， 则系统e 具有鲁棒巩。性能1 证明从不等式( 2 3 1 ) 可以推出 9 0 ，若存在可逆对称矩阵p l q t y xz 和 正定矩阵s r n n ，使得 p a + 解p + t s 矿p ：p e 0 p b 。c n p a h 一1 2 ，d r0 一jo 一s 则系统2 1 具有鲁棒风。性能1 2 4 状态反馈鲁棒日。控制 0 ，寻找一个状态反馈控制 律u ( t ) = k z ( ) ，使得闭环系统是鲁棒稳定的，且具有凰。干扰抑制度，此时我们 称系统2 2 是鲁棒可镇定的，且具有日。干扰抑制度1 由 7警。q = = = 0 0 勖 z z 嚣 定理2 4 1 对系统e 2 3 和给定的常数1 0 ，若存在e 0 ，对称可逆矩阵x ，正 定矩阵q 和y 使得 玩 一7 2 1 x e l = e x o ( a x + v v ) ta d 。x a 山x ( n x ) t 1 e m 班0 o 00 一jo - 000 一q 0( 1 x ) t 0 一q ( f x ) r 0 t - e l0 - e l 其中= a x + b y + ( a x + b y ) r + f q ，则系统e 2 2 存在无记忆状态反馈日。控制 律特别地，若( 贾，矿，囝) 是矩阵不等式( 2 4 2 ) 的一个可行解，则 t i ( ) = 矿j 一1 z ( t ) 是所考虑系统的一个状态反馈风。控制器 证明根据定理2 3 1 ，系统2 3 具有风。性能，y 的充分条件是存在e 0 ，可逆 对称矩阵p 和正定矩阵s 使得 9p b 。 一1 2 1 e r p = p e o ， p a d i p a d f n re p m 0000 0000 s 0 n t 0 n 0 - e l0 - e l 0 ，如果存在对称可逆矩阵x ，正定 矩阵q 和l 厂使得 x 矿= e x 0 ， ( a x + b y ) ta d ，x 山x d 5 0 j j-0 0 一q0 ； ! 一o 0 ( 2 4 4 ) 其中e = a x + b y + ( a x + b y ) t + t q ，那么系统2 4 存在无记忆状态反馈日o 。控 制律特别地，若( 贾，穸，o ) 是矩阵不等式( 2 4 4 ) 的一个可行解，则 u ( t ) = p 贾一1 z ( ) 数值算例对下列系统 点蠢( ) = ( a + a a ) z ( t ) + ( a a ，+ a 也) z ( t d 1 ) + ( a 出+ 钆净( 一也) + 1 0 u 0 ) + b t 上( t ) ， 4 t ) = a z ( t ) + d “，u ( t ) + d ( t ) ， z ( t ) = 矿( t ) ，t 【- d , 0 】 其中 a = 茹ji 1 。兰j 。 ，b = i 三， ，a = 三釜量 詈。； ， 也。= ；。1 ；量。 ，a 出= ；1 ；兰。 ，乩= 量：；至i 。 ， r0 a 0 0 1ro 2 00 1fo 0 1 o 1o 0 11 炉k 0 0 1 ：ml 肚一：舢i 肚l 。0 。0 叫0i m = ；：。主：0 1 ； ，飓= ! t ；b ； ，e = j ； ， d = 10 1 1 】，【a a , a a j 心】_ m f ( t ) n ln 2 】，f r ( ) f ( ) = j ， 既中。，e 。 设7 = 1 ，通过m a t l a b 中的l m i 工具箱解线性矩阵不等式( 2 4 2 ) ，从而可得所求的 无记忆状态反馈风。控制器为 u ( t ) = 【0 0 0 6 6 0 0 3 2 6 一o 0 0 4 7 z ( t ) 2 4 小结 本文在文献【1 0 ，1 5 】的基础上讨论了不确定多时滞奇异系统的风。性能及三k 控制问题利用线性矩阵不等式这一有力工具得到了所有使系统具有风。性能的 状态反馈控制器存在的充分条件及设计方法，且所得条件以线性矩阵不等式的形 式给出，可以用m a t l a b 软件方便求解，最后用一算例验证了结论的有效性 1 4 第三章奇异系统时滞依赖的非脆弱鲁棒控制 3 1 引言 目前，关于鲁棒性的研究主要是基于所设计的控制器能够精确实现的前提下 进行的，而对控制器本身的。鲁棒性。的研究较少但鲁棒控制的实际效果还依赖 于控制器的精确实现，事实上，控制器数字实现时受到诸多因素的影响( 如字长 限制、数模( d a ) 转换和模数( a d ) 转换精度及数值运算中断误差，以及由于 环境温度的变化引起元器件老化或失效等原因造成电子元件参数的变化等) ，控 制器的参数会发生一定程度的变化，影响了控制器的精确实现。因此既使控制器 对于系统对象的不确定性是鲁棒的。但对于其本身的不确定性却是脆弱的鲁棒 控制理论进一步的发展，要求设计的控制器系数必须能够承受某种程度的变化， 有足够的调节余地以满足不同的性能要求，这样非脆弱控制应运出现删。并迅 速被运用到p i d 控制l 洲，观测器设计例及保性能控制【删等领域中 近年来，奇异系统的凰。控制问题是众多学者所关心的课题，获得了许多成 果1 1 肛1 2 i ，但不确定奇异系统时滞依赖的鲁棒王k 控制的研究却很少本文进一 步把非脆弱控制应用于奇异系统e k 控制器的设计中 3 2 问题描述和预备知识 考虑下列不确定时变时滞奇异系统 e 3 0 ：e 圣( t ) = a ( t ) z ( t ) + a l ( t ) z ( t 一，l ( ) ) + b u ( t ) + b j u ( t ) 2 ( ) = c x ( t ) + d u ( t ) + z ) “，u ( ) ， z ( t ) = ( t ) ，t 【- - h m ，o 】 其中z ( t ) r n ，“( ) r m ，。( t ) r q ，分别是系统的状态、控制输入和被调输 出，, 4 t ) r p 是系统的干扰输入且u ( f ) l 2 0 ，) ；h ( t ) 是系统的时滞且满足 0 h ( t ) sh m ，h ( t ) h d 1 ，h m 和幻是已知的常数；a ( t ) = a + a a ( t ) ， a 1 ( t ) = a 1 + a 1 ( t ) ；e ，a ， 1 ，b ，既，c ，d ，仉是具有适当维数的实常数矩阵； r a n k ( e ) 0 1 5 埘埘埘 2 卫 卫 似 p 本章的目的是设计一个具有下列形式的状态反馈控制器 口( t ) = ( k + k ( t ) ( t ) ，( 3 2 3 ) 使得对给定的正常数1 ，对系统所有容许的不确定性和满足0 0 ，系统的非受迫系统( “( t ) = 0 ) 是鲁棒 稳定的。且具有巩。干扰抑制度1 ，如果此系统在定义3 2 1 意义下是鲁棒稳定 的，且在零初始条件下，对任意的非零u ( t ) l 2 【0 ，m ) 和所有容许的不确定性a 和a a l ，有f 2 刊“恢 下面我们来处理鲁棒控制问题： 1 鲁棒镇定对系统( 3 2 1 a ) 寻找个状态反馈控制律( 3 2 3 ) ，使得闭环系统 是鲁棒稳定的，此时我们称系统( 3 2 1 a ) 是鲁棒可镇定的 1 6 2 鲁棒日啬控制对系统e 3 0 和给定的常数7 0 ，寻找一个状态反馈控制律 ( 3 2 3 ) ，使得闭环系统是鲁棒稳定的，且具有月0 干扰抑制度1 ，此时我们称系 统是鲁棒可镇定的，且具有风。干扰抑制度，r 引理3 2 1 i s t 给定的适当维数的矩阵c k 彬和m ，其中m 是对称的， m + u y w + w t v t u t 0 使得 m + e u 旷+ e - 1 w r w = m + e 一1 ( e u ) ( e u t ) + s 一1 w t w 0 和具有适当维数且可微的向量z ( t ) 则 有 【厂( 。) d 卅r p 【，( 。) d 。】h f ，。( 。) t p 士( 。) d 。sh f 厂( 。) t 尸( 。) d o j t 一 ( t ) j t h ( 0 j t h ( oj t 一 ” 3 3 时滞依赖的有界实引理 首先考虑当“( t ) ；0 时的系统e 3 0 ，即 e 3 1 ：历( ) = ( t ) z ( t ) + a 1 ( t ) z 一h ( 0 ) + 晟。u ( t ) ，( 3 3 1 a ) z ( t ) = c z ( t ) + 现u ( ) ，( 3 3 1 b ) z ( t ) = 妒( t ) ，t 【- h m ，0 1 ( 3 3 1 c ) 定理3 3 1 对给定的常数1 0 和h m 0 若存在对称可逆矩阵x 彤“，两 正定矩阵o ，r 酽x n 和标量f o 0 ，使得 其中 x 驴。= e x 0 ， l 1 1 1a 1 xr 鼠，x c rf 1 1 6x 丁 x a t r 1 2 2一r 00 x a lx 孵 一r r h 君r 0000 毋0 0 一 一7 2 j 刃b ，0 c x 一0 0巩一100 ；6a i x0 玩，0 1 1 6 6 0 1 xn 2 x 0000 - e o l ( 3 3 2 ) 0 ，( 3 3 3 ) 1 1 1 l = a x + x a r + 国+ x e r + e x + 印m m r ，f 1 1 6 1 x a r + e o m m r 1 7 1 1 2 2 = 一( 1 一h d ) 国一x e r e x ，= 一h 吾兄+ e o m m t ，亩= x q x ，p = x 一1 ，t r o y ( z t ) = z ( t ) 丁矿n ( t ) + j t - h ( t ) z ( n ) r ( n ) 出+ - - h mj t + p 童( q ) 7 矿r 一1 e ( q ) 如印， j 矿( z t ) = 2 x ( t ) r e t p ( t ) + z ( t ) t q x ( t ) 一( 1 一元0 ) ) z ( t 一_ l l ( t ) ) t q x ( t 一 ( t ) ) + h m ( ) r e t r e ( t ) 一士( o ) t e t r 一1 e k ( a ) d a +