（课程与教学论专业论文）高中生数学观现状的调查与分析.pdf

摘要 一个学生的数学观支配着他的数学学习活动，决定着他用数学处理实际问题的能力， 影响着他对数学乃至整个世界的看法。王梓坤院士指出，数学对整个科学技术( 尤其是 高新技术) 水平的推动与提高，对科技人员的培养与滋润，对经济建设的繁荣，对全体 人民的科学思维的哺育，这四方面的作用是极其巨大的，也是其它科学所不能比拟的。 本文在己有文献的基础上，探讨了高中生数学观的现状及数学观对其数学学习的影 响程度。 研究的原始资料和数据是通过问卷调查，从长春市四所普通高级中学中抽取三个实 验班和五个普通班作为样本班，2 4 0 名学生中收集。问卷数据全部用e x c e l 进行了处理、 分析。 研究发现，高中阶段学生的数学观还是比较正确的。其对待数学学习的态度还是比 较认真的，对数学本质的认识也比较好，并且也能从广义的角度理解数学所含的内容。 而且大部分学生认为数学能促进人思维的发展，认为数学在生产、生活及各行各业中都 得到广泛的应用，但仍然有些人在对上述问题的认识上还存在着一定的偏差。同时研究 还发现，对数学本质的认识与数学学习成绩的相关系数较大，也就是说认识数学本质的 程度与数学学习成绩的相关程度较大，即认识数学本质的程度对数学学习的影响也比较 大。所以学生怎么认识数学的本质很重要。 研究的结论是，成绩好的实验班的学生和成绩一般的普通班的学生的数学观差异较 为明显，男生和女生的数学观也同样存在显著的差异，这就需要教师通过教育来纠正学 生数学观上的偏差。 关键词：数学观；数学的本质；数学的价值；相关程度 a b s t r a c t as t u d e m sm a t h e m a t i c sv i e 、p o i n td e c i d e sh i sl e 蛐i n ga c t i v a t i o n ，a n dh i sa b i l i t yw h e n h eu s et h em a t h e m a t i c st od e a lw i t ht h ef k tq u e s t i o n s i ta l s oe f f e c th i so p i n i o nt om a t h i n d e e dt h ew o r l d a c a d e m i c i a nw a n gz i k 吼p o i n to u tt h a tm a t h e m a t i c sh a st h em o s ta c t i o nt o t h ed e v e l o p m e n to fs c i e n c e ，的t h es c i e m i s t sc u l t i v a t i o n ，t ot h ep r o s p e r i t yo fe c o n o m y c o n s t m c “o n ，t ot h es c i e n c et h o u g h to ft h ew 1 1 0 l ep e o p l e a n do t h e rs c i e n c ei si nn e r i e rt o m a t h e m a t i c s t h ep 印e ri si nv i e wo f t t l ed o c n e n t s ，a 1 1 dm a k e sa 1 1i n q u i r yi n t o 廿1 ep r e s e ms i t u a t i o no f t h eh i 曲s c h 0 0 1m a t h e m a t i c sv i e w p o i n ta n dt h ea f r e c t i o no f t h em a t h e m a t i c ss t u d y t h eo r i g i n a l i n f o 肌a t i o na 1 1 dd a t aa r eg o t 疔0 mt h es u r v e yt e s t st h a tc o l i e c t e df r o mt h e 2 4 0s t u d e m si nt 1 1 r e ee x p e r i m e n tc i a s s e sa i l df i v ec l a s s e so ff o u rl l i 曲m i d d l es c h 0 0 1 si n c h a i l g c h u n t h es t u d ys h o w st h a t 也em a i h e m a t i c sv i e w p o i n to f t h es t u d e n t si nh 砷s c h o o li sc o r r e c t t h e ya r es e r i o u st ot h em a t h e m a t i c ss t u d y ，a n dr e c o g n i z et l l em a m e m a t i c sn a t u r ew e l l t h e y a l s oc a j lu n d e r s t a n dt h em a t h e m a t i c si nt h eb r o a ds e n s e t h em o s ts t u d e n t st h i n kt l l a t m a t h e m a t i c sc 肌d e v e l o pp e r s o n sm o u g h t ，a n di s 印p l i e di np m d u c t i o n ，l i f ea n da 1 1w a l k so f l i f e b u ts o m eo n es t i l ih a sd o u b ti nt h eu n d e r s t a n d i n gt ot h eq u e s t i o n su p o n a t t h es a m et i m e ， t h es t u d ya l s os h o w st h a t 血er e l a t i o nn u m b e rb e t w e e nt h ea t t i t u d et om a t h e m a t i c ss t i l d ya n d t h em a m e m a t i c sa c h i e v e m e n ti sm t h e rl a r g e i nt h es 锄em e a n i n g ，t l l ea t t “u d et om a t h e m a t i c s s t u d yi sc l o s e l yr e l a t e d t ot h em a t h e m a t i c sa c m e v e m e n t i naw o r d ，出ea t t i t u d et o m a t h e m a t i c ss t u d ye 、e c t sm em a t l l e m a t i c s 咖d ys e r i o u s l y s ot h ca m t u d eo ft 1 1 es t u d e n t st o m a t h e m a n c ss t u d yi sv e r yi m p o r t a n t t h er e s u l to f t h es t u d yi st 1 1 a tt h ed i s p a r i t yo f t l em a t h e m a t i c sv i e w p o i m so f t h es t u d e n t s i ne x p e r i m e n tc l a s s e st 0t h em a 上h e m a t i c sv k w p o i n t so fm es t u d e n t si uo r d i n a r yc l a s s e sh o b v i o u s i t ss i m i l a rt l l a tt 1 1 ed i s p a r i t yo fm ef b m a l es t u d e n t s m a t h e m a t i c sv i e w p o i n t st ot h e m a j es m d e m s i so b v i o u s s ot 1 1 ed i s p a r i t yo ft h es t u d e n t s m a t h e m a t i c sv i e 、v p o i n t sn e e d st h e t e a c h e r se d u c a t i o nt or e d r e s sj t k e y w o r d ：m a m e m a t i c sv i e w p o i m ；t l l en a t u r eo f m a t h e m a t i c s ； t 1 1 ev a l u eo f m a t h e m a t i c s ：r e l a t i o n i i 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得东北师范大学或其他教育机 构的学位或证书而使用过的材料。与我同工作的同志对本研究所做的任何贡献 均已在论文中作了明确的说明并表示谢意。 学位论文作者签名：幽日期： z 6 毫f o 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解东北师范大学有关保留、使用学位论文的规定，即： 东北师范大学有权保留并向国家有关部门或机构送交学位论文的复印件和磁盘。 允许论文被查阅和借阅。本人授权东北师范大学可以将学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其它复制手段保存、汇编学 位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) b 学位论文作者签名：盈姓指导教师签名：! 坌邀垒 日 期：趣! ：塑 日 期：三 型6 1 兰：彤 学位论文作者毕业后去向 工作单位： 通讯地址： 电话： 邮编： 第一章问题的提出 一、研究背景 数学是一门逻辑性、严密性比较强的学科，也比较抽象，是一门基础学科，但大部 分学生觉得学起来比较枯燥，对数学不感兴趣。进入大学以后，数学变得更加抽象，学 起来也就更加困难了，这就需要我们对数学有一个新的认识，来激发学习数学的兴趣。 在不同的历史时期，随着数学本身的发展与人们对数学认识的深入，对“数学是 什么”这一问题的回答有各种论述，数学是模式的科学；数学是科学，数学更是一门创 造性的艺术：数学是种语言；数学是一种文化，数学文化是一种数字文化、量的文化 和计算机文化。美国数学教育家克莱因指出：如同音乐用符号来代表和传播声音一样， 数学也用符号表示数量关系和空问形式；思格斯曾经断言，数学是关于现实世界的空 间形式和数量关系的科学。 柯朗在其名著数学是什么? 一书中深刻而义简明地回答了“w h a ti sm a m e m 耐c s ” 这一问题：数学，作为人类思维的表达形式，反映了人们积极进取的意志、缜密周详的 推理、以及对完美境界的追求；它的基本要素是逻辑和直观、分析和构造、一般性和个 别性。虽然不同的传统可以强调不同的侧而，然而正是这些互相对立的力量的互相作用 以及它们综合起来的努力才构成了数学科学的生命、目途和它的崇高价值。 数学是科学的语言，计算的方法和人类思维与认识世界、改造世界的重要工具。 对计算机做出重大贡献的数学家冯一诺依曼说，“数学处于人类智能的中心领域。” 作为一种先进的文化，数学不仅在人类文明的进程中起着积极的推动作用，而且是 人类文踢的一个重要支柱。由于数学是从量的方面去探索和研究客观世界的，而客观世 界的任何对象( 或事物) 都是质和量的对立统一体，都有量的一面，这就从根本上决 定了数学在各门学科中有其特殊的普遍性和麻用上的广泛性，决定了数学对入和社会 的发展，对人的世界观的影响，对促进入的思维的发展，对开发入的智力等等都有其不 可替代的作用。 作为一种精确的科学语言和一个有力的工具，数学在人们认识世界和改造世界的过 程中一直发挥着重要的作用；作为各门科学的重要基础，数学的影响和作用已深入到人 们的日常生活：如今各行各业都在数量化、数学化，用到的数学知识越来越多。数学科 学在科学研究、生产、服务和管理等方面，已发挥着关键性，甚至决定性的作用。数学 技术已经成为高科技的本质，成为先进生产力的一个突出标志和重要组成部分，成为国 家磬济竞争力的关键。 数学观就是对“数学是什么”的看法和认识，数学观是数学信念的个重要组成部 分，信念( b e l i e f ) 一词在汉语大词典上的解释是“坚信不疑的想法”在牛滓英汉 词典上的解释是“被认为是正确或真实的东两”，而且还把它和宗教信仰联系起来解 词典上的解释是“被认为是正确或真实的东西”，而且还把它和宗教信仰联系起来解 l 释：而如果从心理学的意义上来看，信念则被理解为是个体对于有关自然和社会的某种 理论观点和思想见解的坚信不疑的看法，它是人们认识世界和改造世界的精神支柱，是 从事一切活动的激励力量。由此可见，信念对于一个人的生命活动有多么重要的意义。 那么，数学信念对于一个人的数学学习活动是相当重要的，学好数学首先要树立学生学 习数学的信念，不少研究指出，学生对数学的信念会影响他们的学习和学习成果，包括 他们对数学的认识、理解和表现。例如学生认为数学是真理的集合，学生会倾向于采取 较机械化的学习方式，而假如学生对学习及问题解决缺乏自信，甚至讨厌数学，认为自 己不是“学习数学的材料”，他们会渐渐减低学习数学的动力，削弱在数学上的表现， 数学观是数学信念的一个重要组成部分，数学观不只是“学习”与“数学表现”的中介 因素，它本身亦可被视作一种学习成果。换言之，纵使学生解数学题如何的快速、准确， 但没有一个完好的数学观，亦可以说是学习的一个缺失。当他进入高层学习和遇到“非 常规题”，也许会荆棘满途，数学观既是数学教育的一个“过程”( 学习与解数学题的中 介物) ，也是一个“学习成果”。学生对“数学是什么? ”( 本质) ，“数学是如何习得的? ” ( 学) ，及“数学应怎样教授”这些问题的认识直接影响他们学习数学和解决数学问题 的方式，也影响着他们学习数学的动机和兴趣。进而直接或间接地影响学生数学方面的 学习表现。 本研究拟通过实证的方法研究高中生所具有的数学观，以及数学观与其自身数学成 绩之间的关系，以此来对我们的数学教育做一些有意义的探索。 二、问甄阐述 本研究关注的是数学领域的数学观问题。总体的研究问题是“高中生数学观的调查 与分析”。 具体而言，此研究旨在探讨如下三个问题： 1 高中生数学观的现状如何? 事实上，有关学生数学观的调查研究已有不少，但大 多研究的是小学生的数学观或研究初中生的数学观，对高中生数学观的研究还是比较 少。基于此，本研究试图通过问卷调查，展现高中生数学观的现状。 2 高中生数学观与其自身数学成绩之间的相关程度。已有很多研究中说明数学观对 学生数学学习有影响，但具体影响程度有多大，至今还没有研究。本研究将计算高中生 数学观与其自身数学成绩之间的相关系数，进而得出其相关程度，可为其他相关研究提 供数据支持。 3 对高中生而言，如何有效的改善其数学观? 教师如何帮助学生形成正确的数学 观? 具体的实施策略有哪些呢? 本文在最后将予以说明。 三、研究意义 数学观是人们对数学的基本看法。高中生数学观则特指他们对所学习的数学学科的 看法。学生数学观的形成与课程、教材及教育宏观管理有关，也与学生本人的学习经验 2 及其数学思维发展有关。 为了培养面向新世纪的具有良好科学素质的人才，各国都重视培养高中生正确的数 学观并把它作为数学课程的重要目标，假若学生对数学学习及问题解决缺乏自信，甚至 讨厌数学，认为自己不是“学习数学的材料”，他们就会渐渐减低学习数学的动力，慢 慢削弱他们在数学上的表现。不正确的数学观，不持续的学习动机往往导致学生不正确 的数学态度和行为：对数学概念、公式、定理的死记硬背，在数学问题解决中盲目套题 型、凑答案、以解题为目的，不重视数学思想方法的讨论等。因此要改进学生学习数学 的方法，提高他们解决问题的数学意识和数学能力，首要的问题是要改进学生的数学观， 而改进数学观的前提是了解学生数学观的现状。 本文笔者首先对高中生的数学观现状做了小范围的调查，在此基础上提出了改进高 中生数学观的策略。 第二章有关数学观的理论研究 一、有关高中生数学观的研究 高中阶段的学生对数学有了自我见解，他们的这种见解支配着他们对数学的态度和 选择。在他们看来，如果数学是抽象的、困难的，那么他们就会选择对数学要求不太高 的文科方向。他们认为数学运算和数学证明是复杂的，对难题不愿下手并非常厌烦，而 选择题是他们所喜欢的。如果认为数学就是运算、证明、做题，则他们一定沉溺于题海 之中，对数学考试情有独钟且每每得手，但诸如应用数学解决实际问题、操作等方面的 能力则明显滞后，这就是通常提及的高分低能现象。只有他们认为数学既是重要的、有 用的，又是有趣的，他们才会具有来自自身的动力，并且轻松地、主动地、自觉地、高 效率地学习数学。但高中生的数学观带有较明显的功利目的直接指向高考，这也是 数学课程标准下，数学教育所要改革的观念。 ( 一) 高中生数学观现状 根据调查，我国高中生目前主要存在的数学观如下： 1 数学对象观 调查显示，我国学生对数学的对象有不同程度的初步认识，他们中多数不会把数学 等同于计算，而认识到数与形是数学的两大对象。随着数学经验的丰富，高中生逐渐体 会到思维与推理在数学中的地位。部分高中生能指出概念、推理和计算之问的关系，他 们说：“数学是逻辑性很强的学科，计算只是数学的一部分。”有的学生说：“数学是思 维训练的科学，推理指导计算，计算的依据是概念和法则。” 2 数学价值观 数学在我国高中生心目中占重要地位，我国高中生的数学价值观表现为： ( 1 ) 多数高中生对数学感到兴趣。 ( 2 ) 认识到数学的重要性。有的学生指出：“数学是基础学科，是学好其它学科的 桥梁。” ( 3 ) 从数学学习中得到乐趣与满足，有的学生说：“几何提高我们的抽象思维，代 数使我们变得有有条理。”一些学生被数学的奥妙与魅力所吸引，他们赞叹到：“数学 是一个谜! ”“数学变化无穷! ” ( 4 ) 外部原因促使他们重视数学，有个学生坦率的说：“听爸爸说数学重要，所以 我爱学。” 调查显示，随着高中生年级升高，学习上遇到困难增多，他们对数学的兴趣有所减 少。 3 数学问题观 ( 1 ) 我国高中生对数学问题的多样性与层次性有初步了解。他们中大多数人不同意 4 “数学问题能在几步之内得到解决”的观点。 有的学生说：“数学问题有深有浅，有些问题连老师也要经过努力才能解决。”有个 初三学生指出：“哥德巴赫猜想就是一个数学问题，至今尚未完全解决。” 学生是以上观点说明，在当前数学教学中，单靠代公式的练习，或纯粹模仿性的练 习，已经不那么受到强调了。 ( 2 ) 学生的解题动机，不再单为求得正确答案。 当前学生解数学题的动机主要是：a 、作为复习、巩固知识的手段；b 、总结数学学 习题类型，寻找解题规律；c 、作为思维能力自我训练的途径；d 、作为应试训练的必须 步骤。 4 数学学习观 ( 1 ) 大部分高中生存在希望学好数学的内外动机，己在前面论述。 ( 2 ) 大部分学生已习惯于“接受式”的被动学习模式，我国学生表现更为明显。 ( 3 ) 我国多数高中生，把学好课本知识，视为学好数学的主要原因。 ( 二) 高中生应具备的数学观 数学具有广泛的应用，无论是自然科学或社会科学，处处都有数学的身影；数学具 有育人功能，数学是一种文化，其崇尚理性、弘扬人性也是不争的事实；同时数学是模 式的科学，数学在不断地发展变化，完善自身。 诚然，一个人的数学观的形成并不是一蹴而就的，他随着学习活动的深入和数学视 野的开拓而逐步完善的。同时，由于认识结构的差异，每个人的数学观在层次上不尽相 同。 因此高中生至少应具备如下的数学观： 数学与客观世界有密切的联系，数学有广泛的应用，数学是一门反映理性主义、思 维方法、美学思想，通过数与形的研究揭示客观世界秩序、和谐和统一美的规律的学科， 数学是在探索、发现的过程中不断发展变化的，在学习数学过程中包含尝试、错误、改 正与改进的一门学科。总之，学生应从现实主义、文化主义、动念的易谬主义、静态的 绝对主义四种数学观的不同侧面去全方位、立体地认识数学这门与人们日常生活紧密联 系的学科。需要具有这些数学观的原因主要是：数学的广泛用途和社会发展的需要，数 学自身是不断发展、完善的，数学是人类抽象思维的产物，数学是一种文化。 二、影响学生数学观形成的因素 大量调查表明，学生数学观的形成，与学生个人的学习经验以及认识水平的发展有 关，也与教育的宏观管理及数学教学的内容、方法有关，数学观亦能影响数学学习效果。 影响高中生数学观形成的因素主要有以下几点： ( 一) 数学学习经验和认识水平对数学观形成有决定作用 随着学习年限的增长，数学视野逐步扩展，思维能力和认识水平的提高，学生的数 学观也有所发展。 1 年级间存在差异。高年级学生在数学观方面的片面性，比之低年级明显减少。 2 学校之间，班级之间存在差异。例如在中国，重点学校学生，比之一般学校学生， 其数学观的片面性，就整体而言就少一些。在一般学校，数学加强和一般班之间，亦存 在这种差异。 3 男女之间存在差异。男女生由于各自特点，他们的数学经验存在差异，女生更重 视记忆，而男生更重视推理， ( 二) 教育的宏观管理的指导作用 我国教育部门能给某学科的价值予以某种导向。 1 课程的设置决定了数学在高中的地位。数学被列为中小学的重要课程，教学时数 最多，且各教研部门亦以较多人力和精力投入数学教学的研究，这就树立了数学科的重 要地位。 2 统考中所占的权重指示了学科的重要性。数学在会考和升学考试中都占有较大权 重。各级学校招生时，考生的数学成绩受到较多关注。这就加强了数学的重要地位。 3 各级数学竞赛提高了数学的价值。8 0 年代以来，国内外各级数学竞赛种类繁多， 此起彼伏。国际高中生数学竞赛( i m 0 ) 连年不断。上述竞赛备受我国各级教育部门关注。 竞赛优胜者及其指导教师得到多方奖励及各种殊荣。这就提高了数学的价值。 4 各方重视程度相互影响。教育部门、学校、家长都重视学生的数学学习，它( 他1 们相互影响，促进了学生学习数学的外部动机。 ( 三) 教学思想对应用意识的影响作用 我国学生的应用意识较薄弱，应从课程教材、教学、考试等指导思想探究原因。 1 教材内容限制了应用意识。我国当前数学教材，无论是概念和定理的引入，或者 例题与习题的编写，在联系实际方面，所下的功夫仍不够。特别是综合性、实践性的作 业仍不多见，这就限制了学生应用数学意识的形成。 2 考试命题淡化了应用意识。8 0 年代以来，历届统考和升学数学试题少从应用方向 设问。这是数学教学与学习的指挥棒。在它的作用下，广大师生对于数学的应用就会不 多注意。 3 教学思想约束了应用意识。多年来，在我国数学教学中，重视课本知识传授，忽 视理论联系实际；重视常规考题训练，忽视实践应用能力培养。这与教学思想有关，它限 制了学生数学应用能力的健康发展。 ( 四) 教师的教学观与学生学习观相互作用 1 传统的教学法培养学生被动学习观。 我国多数高中生形成了“教师讲授，学生接受”的被动学习观，究其原因，就是传 统的教学模式至今仍主宰我国数学教学。 中国受到传统教学模式的影响较深，这就导致了学生在数学学习中的被动观点，对 于形成创造性思维能力是不利的。 2 改革意识在师生中相互作用。 传统的教学方式妨碍学生正确数学观的形成，制约学生素质能力的健康发展，然而， 6 部分教师的改革精神，对学生的学习观起了良好的导向作用，诱发了学生学好数学、学 活数学的强烈愿望。 根据学生实际，灵活选取教法。低年级学生“希望老师讲课生动有趣。”高年级学 生“希望老师突出重点，讲清难点，多给我们练习机会。多给我们练习机会”。中下生 要求“老师要了解我们学习困难的原因。” “不要只对答案，不了解我们学习的具体情 况。”总的来说，学生希望教师针对他们实际进行教学。 多让学生思考，引导探索规律。学生对满常灌的做法表示不满。他们希望：老师不 要光自己说，要多引导我们如何思考，“不要只顾写黑板，讲例题。”一些学校、班级进 行教改试验，师生共同探索规律的做法，受到学生的热烈欢迎。学生还说，这些教师的 经验值得推广。 改变教学观点，师生平等讨论。不少学生看到，教师并非总是正确。他们对教师在 数学教学中的偶然失误表示理解，希望“教师应站在和学生相互讨论问题的角度进行教 学，”他们认为“解数学题时，有时学生的解法比老师的还好。”“师生要互相学习”。 由此可见，教师在教学上的创新意识能诱发学生数学学习的自觉性，而及时了解学 生学习观方面的积极因素，亦能促进数学教学改革的深入与发展。 三、数学观的界定 在数学史上，数学现的内容可谓丰富多彩，表现形式千姿百态。下面是国内外一些 知名学者对数学观的诊释。 郑毓信教授1 9 9 2 年指出：问题解决、建构主义的学习观数学的文化研究，“可以看 成是一种新的数学观的反映。”1 9 9 5 年进一步提出，数学是关于模式的科学。 邬振明通过赋予数学诸多解释，来描述数学的特征，从而阐明“什么是数学观”。 他对数学的解释有七个方面：数学是思维、数学是猜想、数学是比喻、数学是语言、数 学是文化、数学是艺术、数学是可用的最好的知识之典范。 张克敏认为数学观有基础主义的数学观和建构主义数学观之分。基础主义的数学观 认为数学是某些规则组成的体系，或者说是某些结构，人们相信这些结构是建立在某个 基础之上的，只要掌握了这个基础，就从根本上掌握了数学从而一劳永逸圭电解决了数学 的可靠性问题。也就是说，这种观点把数学看成是从某个静止的基础演绎而来的东西。 建构主义数学观认为数学知识不是对客观现实的本质的发现，数学是一种人类的活动： 它反对认为数学是静态的，由一系列常规程序组成的世界，而强调数学是在活动中根据 主体需要建构起来的，是拟经验的、可误的。 前苏联数学教育家斯托利亚尔，他把数学看作是种发展中的活动，并且认为这种 活动就是去建立数学模式。他从这神数学观出发，提出数学活动应包括三个方面，即经 验材料的数学化，数学材料的逻辑组织化、数学理论的应用。 与斯托利亚尔一致，荷兰数学教育家弗赖登塔尔( hf r e u d e n _ c 1 1 a 1 ) 也是在数学是一种 发展中的活动这一基础上，依据对数学发展历史和现代数学特征的分析和概括，提出数 学教育的三个原则，即数学现实原则、数学化原则和再创造原则。他的著名论点是：“与 其说让学生学习数学，还不如说是让学生学习数学化；与其说让学生学习公理系统，还 不如说是让学生学习公理化；与其说让学生学习形式体系，还不如晚是让学生学习形式 化。”弗赖登塔尔的这种“数学化”观点实质上是模式论的数学观，它对我国数学教育 界影响很大。 英国学者e m e s t 把教师的数学观分成三类：问题解决的观点( t h ep r o b l e m s o l v i n g v i e w ) 、柏拉图主义的观点( t 1 1 ep 1 a t o 茄s t e w ) 、工具主义的观点( t l l e i l l s 仃u m e n t a l i s t v i e w ) 。 问题解决的观点是把数学看成是一个动态的、由问题而推动发展的学科。数学是体现人 类的发明与创造，它不是一个一成不变的成品，因为它的结果是开放的，仍然会发生变 化的。柏拉图主义的观点是把数学看成是一个静态的永恒不变的学科。它通过逻辑而将 知识组织成一个彼此联系的结构。数学是发现而不是发明。工具主义的观点则把数学看 成是由事实、法则、技巧构成的一套工具。受过训练的工匠熟练地利用它达到一些外在 的目的。数学是一堆彼此无关但却很有用的事实和法则。 尽管对数学观给出一个明确的定义十分困难，人们还是从不同的角度发展和使用了 关于“数学观”的各种界定或者理解，以确定“数学观”的涵义。 在探讨数学观问题的过程中，研究者对数学观涵义的界定主要有如下几种： ( 1 ) 数学观是人们对数学的本质，数学思想以及数学与周围世界联系的根本看法 和认识。( s c h o e n f e l d ，1 9 8 3 ) ( 2 ) 数学观是学生对自己或他人数学行为理解和感知的观念建构。( s c h o e n f c l d ， 1 9 9 2 1 ( 3 ) 数学观是关于对“什么是数学? ”的问题的认识。 ( 4 ) 数学观是人们对数学的总的看法和认识，其内容主要涉及数学的研究对象、 数学的特点、数学的地位和作用等。 对上述定义稍作分析，我们可以发现，这些定义多是对“数学观是对数学的根本( 总 的) 看法”这一笼统界定的解析和发展。 应当注意到的是，不同于其他的认知，数学观的认知主体虽也是人类，但客体却是 数学这样一个本身存在着本体论问题( 即数学对象的实在性问题) 和认识论问题( 即数学 的真理性问题) 的对象。换言之，如同对绝对主义数学观的质询那样，或许并不存在“绝 对的”数学观，任何数学观都是人们通过某些活动或过程形成的对数学的理解与感悟。 由此，我们可以将数学观界定为： 数学观是人们在做数学的过程中形成的对“什么是数学? ”这一问题以及数学的基 本特性的根本看法或认识。 在此界定中： ( 1 ) “主体”是“人们”，而不限于数学哲学家、教师和学生，或与数学紧密相关 的人群。事实上，现代社会，数学已渗透到几乎所有的领域，任何一个人，不论他“做” ( 学) 过多少数学，他与数学的关联是无所不在的，因而他对数学的看法是无条件存在的。 ( 2 ) 主体达成“数学观”认知结果的认知过程是“做数学”。根据已有的一些研究 8 ( 例如，m gj o n e s & v e s i l i n d ，1 9 9 6 ；m c d i a m i d ，1 9 9 0 ) ，观念的外部“灌输”并不会 实质性地改变主体的数学观，“做数学”才是数学观形成与发展的“载体”。在这里，“做 数学”包括了学数学、教数学( 含教育实习) 、数学问题解决( 包括数学研究) ，以及在现 实中应用数学的活动。 ( 3 ) “客体”强调了对数学本质的信念。与一些研究模糊的界定不同，我们明确将 “数学教学观念”和“数学学习观念”排除在“客体”之外。 事实上，根据雷曼德的研究，教师自身希望教好学生的强烈愿望极有可能导致其持 有的关于数学本质的信念与其持有的关于数学教学的信念不一致。 这也正如赫斯( h e r s h ，1 9 7 9 ) 所指出的：“人们关于数学是什么的观念影响到数学 应当如何被教的观念。而教数学的方式又往往表明了人们对什么在数学中最重要的 信念。因而，问题并不在于教学的最好方式是什么，而在于数学到底是什么。” ( 4 ) 数学观作为一种认知的结果，未必是一种系统的理论观点，而也可能是一些 素朴的认识，其持有者更未必对此具有清醒的自我意识。基于此，我们将数学观表述为 “对的根本看法或认识”。因为“看法”往往是浅表的、零碎的( 分裂的) 、感性的， 而“认识”则一般是深入的、系统的f 整体性的) 、理性的。 另外，应当指出的是，对数学观的“客体”作一个明确的界定是极为困难的，本文 所给出的界定对此只是作了一个相对狭窄的限定，即强调关于数学本质的信念，同时对 主客体交互的过程作了一个简单的刻画，为的是突出强调以下两点：数学观问题的核 心在于关于数学本质的信念，其他的观念则在很大程度上由数学本质观所决定；“做 数学”的行为过程是我们理解师生数学观的重点所在。进一步说，“数学教学观”和“数 学学习观”并不能与“数学观”混为一谈，虽然它们在很大程度上由“数学观”决定， 但同时它们也在一定程度上折射了别的因素的干扰。 第三章高中生数学观调查结果与分析 一、问卷设计 数学观是一个复杂的信念系统，因此，“应该从微观和实证的角度”去拓展学生信 念的研究。本研究主要采取问卷调查的方式采集原始数据。 问卷调查表由3 2 个问题组成，可见附录a 。为了避免问卷受研究者主观认识的左 右，以及保证所给问题能被明确地回答，问卷设计过程中，还向数名专家和高师数学系 学生作了技术性的咨询。 在理念上，整个问卷设计以对数学观作出的界定为基础，将数学观分成了1 对待数 学学习的态度；2 对数学本质的认识；3 对数学所含内容的认识；4 对做数学的认识； 5 对数学价值的认识；6 对数学问题及数学问题解决的认识；7 对数学学习的认识等七 个调查度向。具体说来，第1 部分( 问题1 至4 ) 是为了获得有关的背景资料，以帮助理解 和分析被调查者对问卷的回答；第1 i 部分( 问题1 至2 4 ) 为选择题，度的数学观，利用高 中生的回答来分析高中生数学观，其中1 至2 2 题为单选题，而2 3 、2 4 题为不定项选择 题，学生可多项选择；第1 i i 部分( 问题2 5 至3 0 ) 为问答题，用于调查学生目前所持有的 后两个维度的数学观。需要指出的是第1 i 部分的问题1 到7 是为了了解高中生对待数学 学习的态度：问题8 到1 4 是为了调查高中生对数学本质的看法；问题1 5 到1 7 是为了 了解高中生对数学所含内容的看法：问题1 8 到1 9 是为了了解高中生对做数学的看法： 问题2 0 到2 2 是为了了解高中生对数学价值的看法。第1 i i 部分的问题2 5 至2 6 是为了 了解高中生对数学问题及数学问题解决的认识；问题2 7 至2 8 是为了了解高中生对数学 学习的认识。 根据第二章给出的界定，本问卷尽量避免将数学观与数学学习观混为一谈，但同时 应当指出的是，由于对“做数学的内容和方式”的理解在很大程度上与关于数学教与学 的观点相重叠，因此，本问卷仍可能不可避免直接或间接地涉及被调查者关于数学教与 学的观点。在我看来，刻意避免涉及师生关于数学教与学的观点，不如深入分析他们这 些观点是否折射了其他因素的干扰。 需要指出的是，问卷测量只能帮助我们了解学生数学观的大致轮廓和整体情形。 二、调查对象及方式 ( 一) 调查对象 本研究的总体耿自长春市四所普通高级中学，从中抽取三个实验班和五个普通班作 为样本班，每班又随机抽取了3 0 名同学作为问卷调查对象。其中包括男学生1 1 1 名， 占总人数的4 6 2 5 ，女学生1 2 9 名，占总人数的5 3 7 5 。 ( 二) 调查方式 采用发放问卷式调查。调查问卷于2 0 0 5 年9 月初发出，累计发放问卷2 4 0 份，1 0 月下旬丌始收回，回收问卷共2 3 0 份，有效问卷表共计2 2 4 份，有效回复率为9 3 3 3 。 其中实验班发放9 0 份，收回8 7 份，有效问卷表为8 5 份，有效回复率为9 4 4 4 ：普通 班发放1 5 0 份，收回1 4 3 份，有效问卷表为1 3 8 份，有效回复率为9 2 0 0 。 三、数据处理与分析 问卷第l i 部分的数据分析是依次按照以下步骤来进行的： 1 对问卷作如下处理：将a 赋值为2 ，b 赋值为l ，c 赋值为0 。 2 求出每位被调查对象问卷得分，然后求出与成绩间的相关系数。 3 将问卷按实验班与普通班进行分组。求出每位被调查对象问卷得分，然后求出与 成绩间的相关系数。 4 再将问卷按性别进行分组。求出每位被调查对象问卷得分，然后求出与成绩间的 相关系数。 ( 一) 高中生数学观现状的调查统计结果与分析 1 高中生数学观现状调查统计结果 表3 1 ：高中生数学观现状的调查统计结果 选 项 内容、 a ( )b ( )c ( ) 1 你对这次期中考试表现满意吗? 7 3 66 5 3 72 6 4 1 2 你的学习态度如何? 2 2 0 81 6 0 2 6 1 0 4 3 相对其他学科来说，你对数学兴趣如何?4 1 ，5 61 6 。0 2 4 2 4 2 4 你对待数学有信心吗? 5 6 2 81 5 5 82 8 1 4 5 从不抄袭数学作业? 3 2 4 72 3 8 l4 3 7 2 6 上课能听懂老师讲课吗? 4 8 0 59 5 24 2 4 2 7 参与课堂教学如何?2 9 4 4 1 1 6 95 8 4 4 8 数学是创造和再创造的活动。5 3 6 89 0 93 6 8 0 9 数学足从公理和原始定义出发，根据形 式逻辑演绎推理。 6 8 8 38 32 1 2 l 】0 数学是由现实问题或数学自身的问题推 动的，其结果并不可预见。 2 5 1 l4 0 2 63 4 2 0 1 】数学是一堆绝对真理的总集。 1 8 1 85 4 1 12 7 2 7 1 2 数学是在学习者的环境中动态的探索规 5 6 7 18 2 33 5 0 6 律和秩序的过程。 1 3 数学是一种美的，有创意的和有用的人 5 4 5 51 6 4 52 8 5 7 类认知和思考的方法。 1 4 数学是研究现实世界中数量关系和空间 形式的科学。 6 1 9 08 6 6 2 8 1 4 1 5 数学课本有的内容便是数学，其它的便 不是数学。 l o 3 97 4 4 61 4 7 2 1 6 数学就是学校数学课程。 1 6 8 87 3 ，1 69 5 2 1 7 数学就是计算。 1 2 1 27 8 3 59 0 9 1 8 有特定数学内容的才是做数学。 1 1 6 96 9 2 61 8 6 1 1 9 估算、测量及决定本身也为做数学。 5 9 3 11 5 ，1 52 5 1 1 2 0 数学是漫无目的的游戏，它塞给人的是 1 7 3 26 1 0 42 】2 1 与现实无任何紧密联系的东西。 2 1 数学能解决日常问题。 6 6 2 31 7 3 21 6 0 2 2 2 数学促进思维的发展。 8 8 7 42 6 08 2 3 注：a 表示对问题的肯定。b 表示对问题的否定。c 表示对问题的不确定。 从总体调查显示，比较认可的是以下一些方面。为了清晰，把统计结果绘制成图3 1 。其中a i 表示问卷中的第1 个问题。只就a 项选择进行探讨，从图表中我们可以清 晰看到： 对待数学有信心高达5 6 2 8 ；上课能听懂老师讲课占4 8 0 5 ；认为数学是创造和 再创造的活动的占5 3 6 8 ；赞同数学是从公理和原始定义出发，根据形式逻辑演绎推理 的占6 8 8 3 ；认为数学是在学习者的环境中动态的探索规律和秩序的过程占5 6 7 1 ；赞 同数学是一种美的，有创意的和有用的人类认知和思考的方法的占5 4 5 5 ；认为数学是 研究现实世界中数量关系和空间形式的科学的占6 1 9 ；认为估算、测量及决定本身也 为做数学的占5 9 3 1 ；认为数学能解决日常问题的占6 6 2 3 ；认为数学促进思维的发 展的高达8 8 7 4 。 燕 求 血 图3 1 赞同比例较大的题目 其综合概括，就是1 对待数学的态度不太认真，而对数学学习还上比较有信心的， 并且上课也能听懂老师讲课。2 对数学本质的认识教好，认为数学是一种活动、是一种 动态的过程属于动态的、经验主义的数学观，我们可以发现大部分高中生所持的是动态 的、经验主义的数学观。3 。对数学所含内容的认识方面，大部分人对“数学所含内容” 的理解都能站在广义的角度上，但仍有少部分人对此问题的理解只能站在狭义的角度 上，说明仍有些人在对“数学所含内容”的认识上存在着偏差。4 。对做数学的认识方面， 我们可以看出只有少数人赞同“有特定数学内容的才是做数学”，多数人赞同“估算、 测量及决定本身也为做数学”。可见，大部分高中生认为除了有特定数学内容的为做数 学以外，估算、测量及决定本身也为做数学，而只有少数人认为估算、测量及决定本身 不是做数学。5 对数学价值的认识还是比较正确的，大部分高中生都认为数学不论在社 会发展还是人的发展过程中都起着非常重要的作用，但仍有一少部分人认为数学的用处 不是很大。大部分都认为数学能促进人思维的发展，认为数学在生产、生活及各行各业 中都得到广泛的应用，但仍然有些人在对此问题的认识上还存在着一定的偏差。 2 实验班与普通班学生数学观的对比分析 上面是针对2 4 0 名全体学生的数学观的一些体现。下面我们就四所学校的实验班9 0 名学生，与普通班学生1 5 0 名学生做比较。前者统称为实验生，后者统称为普通生。 表3 2 ：实验班与普通班学生数学观的调查结果对比 选项 a ( )b ( )c ( ) - 内容 实验生普通生实验生普通生实验生普通生 1 你对这次期中考试表现满 8 0 56 2 9 5 6 3 27 1 3 33 4 4 8 2 2 - 3 8 意吗? 2 你的学习态度如何? 4 0 2 31 0 4 98 0 52 2 3 85 1 7 26 7 1 2 3 相对其他学科来说，你对 4 9 4 33 6 3 61 3 7 91 7 4 83 6 7 84 6 1 5 数学兴趣如何? 4 你对待数学有信心吗? 6 3 2 25 1 7 59 2 0 1 9 5 82 7 5 92 8 6 7 5 从不抄袭数学作业? 3 9 0 82 7 9 71 1 4 93 1 4 74 9 4 3 4 0 5 6 6 上课能听懂老师讲课吗? 6 4 3 73 7 。7 61 。1 51 4 6 93 4 4 8 4 7 5 5 7 参与课堂教学如何? 3 6 7 82 4 4 89 o1 3 2 95 2 8 7 5 5 9 8 数学是创造和再创造的活 6 0 9 2 4 8 9 55 7 51 1 ，1 92