（载运工具运用工程专业论文）连续体结构拓扑优化方法及其应用研究.pdf

摘要 结构拓扑优化是结构优化技术中最具挑战性的研究领域，是一种创新性的设 计方法。本文针对连续体结构拓扑优化设计问题，研究和分析了国内外在结构渐 进优化法方面的发展状况。 本文根据载运工具及工程结构的受力特性及其材料的性能要求，引入了适用 于各向同性和各向异性所有材料情况的i s h a i 应力优化准则，并给出了基于该准则 的双方向e s o 算法。为了解决带预应力的组合结构拓扑优化问题，提出了组合结 构优化算法的基本思想。同时，结合结构单元应力水平和相对差商，对于带有尺 寸和拓扑变量的连续体组合结构优化问题，导出了其应力灵敏度公式，建立了一 套优化准则，形成了一种新的拓扑优化方法。 研究了三维连续体结构拓扑优化方法，并基于法国研制的结构有限单元模型 的前、后置处理软件平台，开发了一套三维连续体结构拓扑优化设计软件。 本文利用上述方法和软件进行了大量汽车构件的仿真设计。结果表明了本文 研究的方法是正确和有效的，具有很广泛的工程应用前景。 关键词：结构优化，拓扑优化，组合结构，机械结构 a b s t r a c t s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nh a sb e e nt r e a t e da so n eo ft h em o s tc h a l l e n g i n g t a s k si ns t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o nd e s i g n ，a n di sa ni n n o v a t i v ea p p r o a c h f o rt h ep r o b l e m o ft o p o l o g yo p t i m i z a t i o nd e s i g n so fc o n t i n u u ms t r u c t u r e s ，t h i sp a p e rs u m m a r i z e sa n d a n a l y z e s t h e p r e s e n t s t a t u sa n dt h e d e v e l o p m e n to fe v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a l o p t i m i z a t i o nm e t h o d a ni s h a is t r e s s o p t i m i z a t i o nc r i t e r i o ni si n t r o d u c e dt os o l v et h eo p t i m i z a t i o n d e s i g n so fs t r u c t u r e sm a d eo ft h ea l l i s o t r o p i co ra n i s o t r o p i cm a t e r i a l b a s e do n v e h i c l ea n d e n g i n e e r i n g s t r u c t u r e l o a d i n g f e a t u r ea n dm a t e r i a l p e r f o r m a n c e r e q u i r e m e n t s a n di t sb i d i r e c t i o n a le v o l u t i o n a r ys t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ( b e s o ) c r i t e r i aa n dc o r r e s p o n d i n ga l g o r i t h ma r eg i v e n i no r d e rt od e a lw i t ht h ep r o b l e mo f c o m b i n e ds t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，ab a s i ca l g o r i t h mi d e ai sp r o p o s e d a tt h e s a m et i m e ，c o m b i n e ds t r u c t u r a le l e m e n ts t r e s sl e v e lw i t ht h er e l a t i v ed i f f e r e n c e q u o t i e n t s ，f o rt h ec o m b i n e dt o p o l o g yo p t i m i z a t i o np r o b l e mo fc o n t i n u u ms t r u c t u r e s w i t hs i z ea n dt o p o l o g yv a r i a b l e s ，as e to fs t r e s ss e n s i t i v i t yn u m b e r sf o rb e a ma n dp l a t e s t r u c t u r e sa r ed e r i v e d ，as e to fo p t i m u mc r i t e r i aa r es e tu p ，a n dan e wt o p o l o g y o p t i m i z a t i o np r o c e d u r ei sg i v e n t h r e e d i m e n s i o nc o n t i n u u ms t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o nm e t h o dh a sb e e n r e s e a r c h e di nt h ep a p e r b a s e do nt h es t r u c t u r a lf i n i t ee l e m e n tm o d e lp r e p r o c e s sa n d p o s t p r o c e s ss o f t w a r ed e v e l o p e db yf r a n c e ，a n das e to ft h r e e d i m e n s i o nc o n t i n u u m s t r u c t u r a lt o p o l o g yo p t i m i z a t i o ns o f t w a r eh a sb e e nd e v e l o p e di nt h i sp a p e r b a s e do nt h em e n t i o n e d a b o v em e t h o d sa n ds o f t w a r e ，a1 0 to fs i m u l a t i o n e x a m p l e so fd e a l i n gw i t ha u t o m o b i l ec o m p o n e n t sa r eg i v e n r e s u l t so b t a i n e ds h o w t h a tt h ep r o p o s e dm e t h o d si nt h i sp a p e ra r ec o r r e c ta n de f f i c i e n t ，a r eo fg o o d e n g i n e e r i n ga p p l i c a t i o nv a l u e k e y w o r d s ：s t r u c t u r a lo p t i m i z a t i o n ，t o p o l o g yo p t i m i z a t i o n ，c o m b i n e ds t r u c t u r a l ， m e c h a n i cs t r u e i n r e i i 长沙理工大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所 取得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任 何其他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡 献的个人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的 法律后果由本人承担。 作者签名： 停史杯日期：j 瓣月7 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权长沙理工大学可以将本学位论文的全部或部分内 容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存 和汇编本学位论文。 本学位论文属于 l 、保密口，在年解密后适用本授权书。 2 、不保密吼 ( 请在以上相应方框内打“4 ”) 作者签名： 傅虿q 争日期：御p 月7 日 新签名：知罕日期嘴年争月2 7 曰 1 1 工程背景 第一章绪论 随着计算机技术和数值方法的发展，复杂的工程阅题可以采用离散化的数值 计算方法并借助计算机得到满足工程要求的数值解。有限单元法作为结构分析的 一个熏要的数值计算方法，这一理论的基本思想从2 0 世纪4 0 年代提出，经过6 0 多年的发展和完善，其理论已相当成熟，而且已经开发了一批使用有效的通用和 专用有限元软件，使用这些软件已经成功地解决了机械、水工、土建、桥梁、机 电、冶金、造船、宇航、核能、地震、物探、气象、水文、物理、力学、电磁学 以及工程领域中众多的大型科学和工程计算难题。有限元方法已经成为推动科技 进步和社会发展的生产力，并且取得了巨大的经济和社会效益。当今，国民经济 的飞速发展和交通运输体系的全面建立，汽车及机械工业得到了飞速发展。特别 是电子技术和计算机技术的广泛应用为现代汽车的科技进步，提供了两种有力的 手段。产品开发和科学管理中，都已开始采用计算机辅助设计。而优化设计又是 其灵魂和核心。根据近十几年来的机械优化设计研究的发展状况表明，汽车优化 设计理论和方法已应用于汽车的很多子系统的设计，如汽车整车动力传动系统优 化和匹配，汽车的发动机、底盘、车身各主要总成的优化设计等，使汽车产品的 性能和水平得到提高。其中，结构优化设计应用于产品设计与开发中，更容易取 得显著的经济效益。因此，进一步研究结构优化设计方法，既有理论价值，又有 现实意义。 人们在开展汽车及机械构件或工程结构设计时，总希望在满足一定环境袈件 和一些使用要求下达到方案最佳，这就是所谓的结构优化设计。结构优化设计大 体上可分为三步：第一步是建立数学模型，把一个工程结构的设计问题转变为一 个数学问题：第二步是选择一个合理有效的计算方法；第三步是基于该计算方法 及相关计算机软件，完成设计计算。结构优化包括尺寸优化、形状优化和拓扑优 化“1 。对于桁架结构的典型尺寸优化问题是寻找各杆件的最佳截面积，使其某些物 理量最小化( 或最大化) ，如：平均柔度、峰值应力、变形、重量等，同时其设计 变量和状态变量满足各种约束条件。设计变量是杆件的截面积，状态变量为结构 的变形、应力等。尺寸优化的主要特点是结构模型的设计域是己知的，并且在整 个优化过程中保持不变。而形状优化是寻找模型的最佳设计域形状，也就是说模 型的设计域是其设计变量。拓扑优化主要探讨结构构件的相互联接方式，结构内 有无孔洞、孔洞的位置、数量等拓扑形式，使结构能在满足有关平衡、应力、位 移等约束条件下，将外载荷传递到支座，同时使结构的某种性态指标达到最优。 结构拓扑优化能在工程结构设计的初始阶段为设计者提供一个概念设计，使结构 在布局上采用最优方案，所以与截面优化和形状优化相比，拓扑优化更具有应用 价值和经济效益，也易被工程技术人员所接受。拓扑优化已经成为研究热点。 随着工程结构的功能增强，工程结构( 如汽车结构、机械结构、桥梁、建筑 结构等) 变得越来越复杂。目前，工程结构的大型化、复杂化以及高度柔性化， 使结构的工作环境日益复杂，结构静、动强度问题普遍存在。有关统计表明，在 众多结构发生的重大事故中，主要与其强度有关。如何解决材料利用率( 提高经 济效率) 与结构强度之间的关系，是当前迫切需要解决的问题，这就使得运用结 构优化手段研究工程结构安全与经济性问题成为必要。 在结构优化设计问题提出之前，结构在传统上都是由先验知识确定，然后再 用静力、动力试验或验算对其修改。这是一种落后、费时，且欠优的设计方法。 随着结构优化技术的出现，结构静力问题的尺寸参数优化技术逐步引入结构设计， 从而缩短了结构的设计和建造周期，提高了结构的性能及降低了工程结构建造成 本。结构优化的目的在于以最少的材料，最低的造价和最简单的工艺实现结构性 能最佳。结构优化分为尺寸、形状、布局和拓扑以及选形优化。结构优化最初采 用经典解析方法求解，所用方法是变分法或微分法。对无约束优化问题， e u l e r l a g r a n g e 方程构造极值存在的充要条件，然后用梯度向量搜索优化方向； 约束优化问题则采用l a g r a n g e 乘子构造辅助函数来考虑约束条件的影响。虽然解 析方法可以解决一些简单构件，如桁架和墩式码头桩基布置等优化问题“1 ，但涉及 的复杂的数学推导阻碍了它在实际结构中的应用。近年来，计算机技术及其在结 构分析中的普遍应用，促进了结构优化的数学规划法( m p 法) 和优化准则法( o c 法) “4 。”的发展。显然，在一定环境下，结构尺寸、形状和拓扑构形能控制结构 强度与振动响应水平。因此，在给定静力、动力学性能要求下，进行结构优化设 计，“主动”地确定最优静、动力特性的结构成为近年来一个活跃的研究分支。自 从s c h m i t ”1 于1 9 6 0 年提出采用结构有限元分析和非线性数学规划优化结构以来， 结构尺寸优化已趋成熟n 4 。”。 结构拓扑优化包括了离散结构拓扑优化和连续体结构的拓扑优化。1 。在离散结 构中，桁架结构的拓扑优化在文献中研究得最多。1 。由d o r n 等人“”提出的基结构途 径是桁架结构拓扑优化的主要方法。基结构法的思路是从基本结构出发，按照某 种规则或约束，将一些不必要的杆件从基本结构中删除，认为最终剩下的构件决 定了结构的最佳拓扑。因此，应用基结构，可将拓扑优化当作截面优化来处理。 后来d o b b s 与s h e n 等人采用最速下降法与分枝定界法求解了在应力与位移两类约 束条件下桁架结构在多工况作用下的最优拓扑。我国王光远及k i r s c h “”等人又 陆续提出结构拓扑优化的两相法，两阶段法以及优化准则类推法，使求解拓扑优 2 化的能力有较大提高。此外，段宝岩、谭中富与孙焕纯等人“川提出采用内力作 为设计变量构造了非线性规划，求解了多工况拓扑优化问题。应该指出，当采用 基于截面积为拓扑变量的，且涉及应力性能要求的结构优化模型时，由于其实质 是将拓扑优化转化为尺寸优化来处理，会出现所谓奇异最优解现象。为获得奇异 最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的e 一放松模型及算法“1 。近年来，适 合于并行计算的全局搜索法并结合仿生学的各种方法( 基因遗传算法，模拟退火 算法，神经元网络法，以及极大熵原理法) “”1 开始被应用于拓扑优化上，取得 了瞩目的进展。虽然这些方法搜索全局最佳解有定的优势，但由于计算量大， 目前无法在大型工程结构中应用。目前，连续体结构拓扑优化较成熟的方法主要 是均匀性方法、变厚度法、变密度方法o ”和结构渐进优化法( 简称e s o 法) o “。均 匀化方法( h o m o g e n i z a t i o nm e t h o d ) 是连续体结构拓扑优化中应用最广的方法，属 材料描述方式，其基本思想是在拓扑结构的材料中引入微结构( 单胞) ，微结构的形 式和尺寸参数，决定了宏观材料在此点处的弹性性质和密度，优化过程中以微结构 的单胞尺寸为拓扑设计变量，以单胞尺寸的消长实现微结构的增删，并产生由中间 尺寸单胞构成的复合材料，以拓展设计空间，实现结构拓扑优化模型与尺寸优化模 型的统一和连续化。目前这一方法已用于处理多工况的二维、三维连续体结构拓 扑优化，热弹性结构拓扑优化，考虑结构振动、屈曲问题的拓扑优化，并被用于复合 材料的设计中。然而，该方法常常产生带有一些无限小孔的材料结构，使得结构 不可制造，再者，数值的不稳定性使得设计对载荷的变化非常敏感。变厚度法亦是 较早采用的拓扑优化方法，属几何描述方式，其基本思想是以基结构中单元厚度 为拓扑设计变量，以结果中的厚度分布确定最优拓扑，是尺寸优化方法的直接推 广。优点是方法简单，但不能用于三维连续体结构拓扑优化，一般用于处理平面弹 性体、受弯薄板、壳体结构的拓扑优化问题。结构拓朴优化中另一常用方法是变 密度法，属材料( 物理) 描述方式，其基本思想是人为地引入一种假想的密度可变的 材料，材料物理参数( 如许用应力，弹性模量) 与材料密度间的关系也是人为假定 的。优化时以材料密度为拓扑设计变量，这样结构拓扑优化问题被转换为材料的最 优分布问题。该方法在多工况应力约束下平面结构、三维连续体结构、结构碰撞、 汽车车架设计等问题上得到成功应用。但问题是对中间密度材料无法解释，另外受 均匀化方法的影响，目前变密度法模型中普遍采用结构柔顺度作为目标函数影响 了实际工程的应用。结构渐进优化法( 简称e s o 法) 通过将无效的或低效的材料一步 步去掉，获得优化拓扑，方法通用性好，可解决尺寸优化，还可同时实现形状与拓 扑优化( 主要包括应力，位移刚度和临界应力等约束问题的优化) 。最近q u e r i n 0 m 等人发展了双方向结构渐进优化法，并通过应力灵敏度来考虑全局应力的影响，减 缓了e s o 法基于局部应力的限制，提高了探索全局优化解的能力。但该方法还缺 乏较强的数学基础，而且具有较大的计算工作量。称之为“逆自适应性( r e v e r s e 3 a d a p t i v i t y ) ”的方法是一种类同于e s o 法的“硬杀”方法1 2 2 1 ，在优化过程中，该方 法通过不断细化边界网格达到增加分辨率和减少计算代价。另一种称之为“气泡 ( b u b b l e ) 法”的方法1 2 3 j 是在优化的结构部位采用应力、应变和位移特性函数来确定 己知形状的孔洞的插入或插入的方位，然后，以一种指定的方式修改结构拓扑。对 于该种情况，在拓扑迸一步变化前，实质上是一给定拓扑的设计。 因此，进一步发展组合结构和三维连续体结构拓扑设计方法，并与汽车及机 械等工程结构具体特点相结合，开展结构拓扑优化设计，即有理论意义，又可提 高汽车及机械等结构的安全性和制造的经济性。 1 2 本文的工作 为了进一步发展结构优化方法和开展车辆工程中构件或结构的优化设计应用 研究，本文主要从以下几方面进行了研究： n ) 传统的基于应力准则的e s o 方法采用v o n m i s e s 应力作为评价单元应力水 平的参数，因而没有考虑到材料的不同拉、压特性。本文针对载运工具及工程结 构的受力特性及其材料的性能要求，引入了i s h a i 应力准则并给出了基于该准则的 双方向e s o 算法，并将该方法应用到了汽车静态承重台和桁架结构的优化设计中。 ( 2 】本文研究了带预应力的组合结构双方向渐进优化方法，导出了结构的应力 及其灵敏度公式，给出了组合结构优化算法的基本思想及性能评价指标公式。同 时，结合结构单元应力水平和相对差商，对于带有尺寸和拓扑变量的连续体组合 结构优化闯题，建立了一套优化准则，形成了一种新的拓扑优化算法。并进行了 典型工程组合结构及门座起重机组合门架的优化设计。 f 3 ) 本文基于法国研制的结构有限单元模型的前处理和后处理软件平台，开 发了一套三维连续体结构拓扑优化设计软件。 ( 4 ) 基于一种沿结构边界和孔洞周围附加人工材料单元的思路，结合e s o 方 法，本文建立了一套三维连续体结构拓扑优化设计准则，给出了三维连续体结构 拓扑优化算法。同时开展了轴承支座结构、车架及车门等一些工程结构的优化设 计。 4 第二章基于i s h a i 应力的渐进结构拓扑优化设计 2 1 渐进结构优化方法简介 2 。1 1e s o 方法的特点 无论是载运工具、桥梁或重要框架结构等，为达到其最佳性能，都需进行结 构优化设计。而结构优化聚合了工程、数学和科技领域中的重要原理与方法，是 一种非常复杂的综合技术。 近年来，计算机在结构分析中的普遍应用促进了结构优化数值方法的发展。 数学规划法和优化准则法瞳5 。1 是广泛采用的两种方法。d o r n 等人于1 9 6 4 年提出 了基结构法( g r o u n ds t r u c t u r ea p p r o a c h ，简称g s a 法) “，将数值方法引入 拓扑优化领域，拓扑优化研究开始活跃。g s a 方法的思路是从基本结构出发，按 照某种规则或约束，将一些不必要的杆件从基本结构中删除( 如刚度接近零，柔 度极大的杆件可从结构中删除) ，认为最终剩下的构件决定了结构的最佳拓扑。应 该指出，当采用基于截面积为拓扑变量的且涉及应力性能要求的结构优化模型时， 由于其实质是将拓扑优化转化为尺寸优化来处理，会出现所谓的“奇异最优解” 现象。为获得奇异最优解，程耿东等提出了桁架拓扑优化问题的一放模型及算法 0 1 。连续体结构拓扑优化方法还有两相法、内力法、均匀化( h o m o g e n i z a t i o n m e t h o d ) 法、变厚度法、变密度法、人工材料和线性规划法等”l 。最近，适合于 并行计算的全局搜索法并结合仿生学的各种方法( 遗传算法、模拟退火算法、神 经网络法以及极大熵大原理法) 开始被应用于拓扑优化上“”3 ，取得了瞩目的进 展。这些方法虽可解决各类结构的尺寸，形状及拓扑优化，但方法的通用性与计 算效率并不理想。渐进结构优化方法( e v o l u t i o n a r ys t r u c t u r eo p t i m i z a t i o n ， 以下简称e s o ) o “”。“就是在这种要求下发展起来的。 e s o 方法是根据一定的优化准则，将无效或者低效的材料一步步去掉，从而 使结构逐渐趋于优化。在优化迭代中，该方法采用固定的有限元网格，对存在的 材料单元，其材料数编号为非零数，而对不存在的材料单元数编号为零。当计算 结构刚度矩阵等特性时，不计材料数编号为零的单元特性，通过这种零和非零模 式实现结构拓扑优化。该方法采用已有的有限元分析软件，通过迭代在计算机上 实现，通用性较好。e s o 方法自1 9 9 3 年提出后，在国际上引起很大反响，它不仅 可解决各类结构的尺寸优化，还可同时实现形状和拓扑优化，无论应力，位移 刚度优化，或振动频率、响应，临界压力优化。”，都可遵循e s o 的统一原则和 简单步骤进行。 5 2 1 2 基于v o nm is o s 应力准则的e s o 方法 对于静力设计问题，e s o 方法通常采用基于应力准则的优化方法。该准则认 为结构中应力低的部分是没得到充分利用的，可以从结构中删除，从而使剩余 部分的应力接近于同一应力水平。 结构潜在的失效形式通常是过大的应力或应变，相反，结构中的低效材料则 是低应力或低应变部分。理想的情况是结构中各部分的应力处于同一应力水平。 由此，结构的优化准则是基于局部应力水平的，也就是说低应力部分的材料被认 为是没有充分利用的，故可从结构中删除。每个单元的应力水平是通过该单元的 v o nm is e s 应力与结构的最大应力的比较来决定的。在每一轮有限元分析结 束后，所有满足以下条件的单元将从结构中删除： 盯。r r fx 盯嚣( 2 1 ) 式中，o r 。- 畦+ 盯刍一盯。+ 3 瑶，赋是当前的材料删除率。通过使用相同的 腿值，重复执行有限元分析与单元删除，直到达到稳定状态，也就是在当前步 已不能迸一步删除材料。这时，在材料删除率中引入进化率( e r ) ： 尼心“一r r f + e r i - 0 2 ， ( 2 2 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析与单元删除，直到达到一个新的稳定状 态。如此的一个进化过程继续，直至获得期望的最佳结构。 2 2 基于ls h ai 应力准则的e s o 方法 2 2 1is h a j 应力准则 对于各向同性材料，e s o 方法通常采用y o n m i s e s 应力( 盯。) 作为优化准则， 即从满尺寸结构中系统地删除口。较低的材料来优化结构。许多实例口“”3 也证 明了该方法解决实际问题的有效性。而后，对于许多实际材料如混凝土、岩石、 组合材料根据其受拉与受压的特性情况，文献 2 5 ，3 1 发展了基于主应力的e s o 方法。为了改进e s o 方法对工程结构的广泛适用性，本节提出了一种基于i s h a i 应力“”的e s o 方法。 一般来说，对于拉压特性不同的材料应有不同的失效准则。例如，脆性材料 我们考虑用主应力准则。这里，定义吼、盯：、吒为主应力，当材料不满足下列 不等式时则发生失效： 一c 墨o k t ( k t l , 2 ，3 )( 2 3 ) 这个主应力准则对脆性材料( 像玻璃) 是十分理想的，但是，它不适用于塑 性材料。所以，我们希望能找到一个适用于大多数材料的光滑准则，这个准则能 考虑到各向同性和各向异性的所有材料情况。因此，本文基于具有描述许多不同 6 类型材料特征的i s h a i 应力准则，开展结构拓扑优化设计工作。对平面应力问题， 其主应力分别为盯；一0 ， 然后，应力不变量i ，和应力偏量，：。可给出如下： j 1l 盯1 。+ 口2 。+ 盯3 。( 2 5 ) j 2 d ，虹蔓l 睦善止趟( 2 1 6 ) 应力偏量，2 d 与扭转剪应力f o 和y o nm i s e s 应力盯。有直接的联系： 3 ：。m t 。2 一口。2 ，它概括了各向同性材料的应力状态情况。应力不变量- ，。的引入 也是非常必要的，因为它反应出了应力的正负号。综合以上的描述，i s h a i 的应 力准则为： 。一。业迪掣 ( 2 7 ) 式中，s t c ，t 和c 分别为拉应力与压应力的绝对值。一般来说，一个 理想的结构，其每一部分的应力应该接近于相同的安全水平。这个概念导得基于 局部应力水平的删除准则：在某一局部，假设低应力的材料处于没有充分利用的 状态，于是将该局部材料删除。如此逐渐地删除低应力的材料，逐渐更新设计， 使经过优化后的结构应力水平变的更均匀。首先，将一块足够大的能够覆盖最终 设计区域的材料分成细小的有限元网格。施加荷载和边界条件后，用有限元程序 进行分析。常常发现，与结构的其余部分相比较，一部分材料处于相对的低废力 状态。采用i s h a i 应力准则，可以消去无效材料。因为已将结构分成了许多小单元， 从结构中删去材料，能方便地用从有限元模型中删去单元来代替。具体的实现方 案是：将单元的i s h a i 应力盯。椰与整个结构的i s h a i 应力盯。删进行比较，便可确 定每个单元的应力水平。在每一次有限元分析完后，从模型中删除满足下列条件 的所有单元： n l s h _ 丽 r r j ( 2 8 ) o m “ 式中r r ；是当前的删除率( r r ) 。 采用相同的r r i 值，重复执行有限元分析与单元删除，直到达到稳定状态， 也就是在当前步已不能进一步删除材料。这时，在材料删除率中引入进化率( 积) ： r r ft r r f + e r ，f 。0 , 1 2 一( 2 9 ) 通过增加删除率，再一次进行有限元分析与单元删除，直到达到一个新的稳 焉 董： 定状态。然后继续如此的进化过程，直至获得期望的最佳结构。 上述进化过程要求给定两个参数。第一个是初始删除率r r 。，第二个是进化 率e r 。在许多实例中采用舰。s l 和e r ；1 的典型值。对于一个具体的优化模 型，参数的大小可通过试算来确定。例如，若在一迭代之内或一个稳态，从该结 构中删除太多的材料，则应采用较小的r r 。和e r 值。 2 2 2 性能评价指标 在拓扑优化设计中，最关心的问题之一是优化效率的评价。换而言之，有必 要用一个“指示器”比较进化设计的性能，可通过该“指示器”来确定最佳拓扑。 基于无量纲化设计概念，用i s h a i 应力表示的性能指标( p i ) 公式如下： 当完成设计时，设计域的体积可相对于应力进行约束无量纲化处理。结果， 初始设计域的相关体积。可表示为： “，。一( p 。，脚) 加盯此，。( 2 1 0 ) 式中，圪。和p 。”) 。分别是原始设计域的体积和最大i s h a i 应力，o 是最大应 力限。在迭代优化过程的第i 步，当前设计的相关体积。也可表示为； 以。一( p 一”) “盯此f ( 2 儿) 式中，圪。和p “) 。j 分别是在第i 次迭代的当前设计域的体积和最大i s h a i 应力。 在第i 次迭代的性能指标可写为： 用。一巧。巧- “。”) 。m 。) ，( ( 。“) 。j ) ( 2 1 2 ) 在优化过程中，当满足应力约束时，用性能指标公式能测量拓扑设计的效率。 性能指标能反映设计域的体积变化和i s h a i 应力水平。 2 2 3 基于is h ai 应力的双方向e s o 算法 双方向进化方法“”是对e s o 方法的突破性进展。传统e s o 方法仅允许删除 单元，由于在某些迭代步错误地删除单元，而后又不能恢复，相对来说影响了方 法求解最佳拓扑结构的可信度，其进化方式限制了它的应用。对于基于应力的双 方向法，q u c r i n 开展了详细研究，其原理是：在删除低应力单元的同时，在高应 力单元周围增加单元。该方法中，在每迭代步，采用与单元删除率和单元进化率 类似的单元增加率( 较大的值) 和相应的单元进化率( 负值) ，以及振荡数，以进 化方式增加单元。在该算法中，主要存在多次振荡和过多的迭代步和计算时间， 甚至某迭代步存在刚度矩阵条件数差的构形，导致求解的困难。本节发展了一种 8 基于l s h a i 应力的双方向e s o 算法，以求在考虑材料受力特性的同时，克服目前 双方向e s o 方法的一些缺点。 假设需要获得一最佳结构，使其应力水平变得更均匀，材料或体积最小。基 于高应力单元周围增加单元和删除低应力单元的原理。建立双方向渐进算法步骤 如下： ( 1 ) 定义结构能占有的最大允许物理区域，并作为初始设计结构；给定初始删 除率和进化率； ( 2 ) 用有限元网格离散结构； ( 3 ) 指定连接支承、载荷和单元特性及单元特性值( 存在的材料单元，其材料 编号为非零数，而对不存在的材料单元，其材料数编号为零1 ； ( 4 ) 完成结构线性静力有限元分析； ( 5 ) 实现元素增添和删除操作； ( a ) 用式( 2 8 ) 删除一定数量( n ) 的单元( 对称结构有对称性要求) ； ( b ) 在优化迭代几步后，围绕结构边界或洞穴，确定当前结构满足式( 2 1 3 ) 的 单元和单元个数( 坍) ，并按式( 2 1 4 ) 确定最大应力的，个单元，然后确定与该最大 应力的f 个单元邻接的材料数编号为零的所有单元和单元个数k ；如果式f 2 1 5 ) 成 立，则增加该七个邻接单元，否则不增加任何单元； f ，h h 气百2 艘t ( 2 1 3 ) o m 娃 f 一r m i n ( m ，n )( 2 1 4 ) k j r x i i l i n ，n )( 2 1 5 ) 式中，豫为需增添的单元比例数( 一般在0 3 0 5 间取值) ，j r 为度量结构边界或洞 穴周围最大应力单元密集程度的一个临界比例数( 一般在0 8 0 9 间取值) 。 ( 6 ) 如果在当前结构中不存在满足式( 2 8 ) 的单元，则达到一个稳态。稳态数增 一，并按照式( 2 9 ) 增加删除率。用这个增加的删除率重复步骤( 4 ) ； ( 7 ) 重复步骤( 4 6 ) ，直至达到性能指标最大或达到指定的应力限或准则限； 应该注意，如果式f 2 1 4 ) 不成立，表明当前结构的边界或洞穴周围许多单元具 有非常接近的最大应力，即结构的边界或洞穴周围具有比较均匀的应力分布。此 时不增添单元能避免优化迭代中解的振荡现象。 2 3 算例分析 2 3 1 四杆桁架结构的拓扑优化设计 图2 1 显示一板结构。其四个角被固定，在中心处作用有一个单位荷载的力， 板的厚度是l m m 。假定弹性模量为e = 1 0 0 n m 2 和泊松比u = o 3 。图2 1 所示的设 9 计区域为正方形，其边长为l m ，分成4 0 4 0 四节点等尺寸的平面应力单元。 以图2 1 所示结构为初始优化结构，分别采用等拉压应力强度( y o nm i s e s 应 力) 和非等拉压应力强度进行的双方向渐进结构优化设计。在两种情况下，初始删 除率都取为r r 。= l ，进化率e r 设置为0 5 。图2 2 ( a c ) 是采用v o nm i s e s 应力 准则进行等应力强度( 应力约束上限值盯0 0 2 m p a ) 拓扑优化设计的体积进化历 程；图2 3 ( d f ) 是压应力强度为拉应力强度的4 倍( 应力约束上限值, o r i o 0 3 8 m p a ) 时进行拓扑优化设计的体积进化历程；图2 4 ( g i ) 是拉应力强度为压应力强度的4 倍( 应力约束上限值盯+ t o 1 5 m p a ) 时进行拓扑优化设计的体积进化历程；图2 5 、 图2 6 分别给出了四杆桁架结构最大应力及p i d 性能指标进化历程，采用等应力 强度材料得到的最佳结构拓扑的最大应力为0 0 1 7 m p a 、p i d = 3 4 7 ，而用非等应力 强度材料得到的最佳结构拓扑的最大应力分别为o 0 3 7 m p a 、0 1 4 7 m p a ，p i d 值都 为6 2 2 。综上所述，在最大应力限范围内，采用本文方法能得出各种不同特性材 料结构的优化拓扑，因此本文方法具有较广泛的适用性。 图2 1 四角固支的板结构固定网格有限元模型 ( a ) v v o 一7 0 ( b ) v v o - 3 0 ( c ) v v o 。1 2 ( a ) 体积比为0 7 0 ，最大应力为o 0 1 6 6 0 m p a ，性能指标为1 2 3 ；( b ) 体积比为0 3 0 ，最大应力为 0 0 1 6 6 3 m p a ，性能指标为1 7 6 ；( c ) 体积比为0 1 2 ，最大应力为o 0 1 7 0 0 m p a ，性能指标为 3 4 7 ： 图2 2 各向同性材料( t = c ) 的结构拓扑优化的进化历程 ( d ) v v o ；7 0 ( e ) v v o 。3 0 ( o v l v o 26 1 0 ( d ) 体积比为0 7 0 ，最大应力为o 0 2 1 5 6 m p a ，性能指标为1 2 0 ；( e ) 体积比为0 3 0 ，最大应力 为0 0 3 5 3 1m p a ，性能指标为1 4 6 ；( f ) 体积比为0 0 6 ，最大应力为o 0 3 7 m p a ，性能指标为 6 2 2 ； 图2 3 非等应力强度材料( c = 4 t ) 的结构拓扑优化的进化历程 ( g ) v v o 一7 0 ( h ) v v o 一3 0 ( i ) v v 0 6 ( g ) 体积比为0 7 0 ，最大应力为0 0 8 2 7 8 m p a ，性能指标为1 2 1 1 ( h ) 体积比为0 3 0 ，最大应力 为0 1 4 1 2 m p a ，性能指标为1 4 8 ；( i ) 体积比为0 0 6 ，最大应力为o 1 4 7 0 m p a ，性能指标为 6 2 2 ； 图2 4 非等应力强度材料( t = 4 c ) 的结构拓扑优化的进化历程 叻 o h u 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9 0 0 0 0 8 0 0 0 0 7 0 0 0 0 6 0 0 0 0 5 0 0 0 0 4 0 0 0 0 3 0 0 0 0 2 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 。，l _ l 一，i ，。l 。1 。j 02 0 4 06 08 01 0 01 2 01 4 01 6 01 8 0 n u m b e ro fi t e r a t i 0 1 1 图2 5 四杆桁架最大v o nm i s e s 、i s h a i 应力进化历程 一j。一一j_一j一 卜 1 0 8 0 6 0 4 0 2 0 体积比 图2 6 四杆桁架p i d 性能指标进化历程 2 3 2 汽车承重台结构优化设计 承重结构在载运工具中到处可见，它们在结构形式上有明显的特点，即由压 力占优结构部件构成。故下面以这种结构为例进一步来说明i s h a i 应力准则的可 行性与有效性。承重结构优化初始模型如图2 7 所示，其两端下部圃支，台面作 用一均布荷载p 一1 0 0 k n m 。承重台初始尺寸为1 5 0 5 m ，厚1 0 朋。其中，承重台 面0 0 4 m 厚的受载部分为非设计区域。整个结构采用钢材料，杨氏模量 e 一2 1 0 g p a ，p 一7 8 0 0 k g m 3 ，泊松比u 一0 3 。由于承重台各部分主要承受压应力， 故采用本文的e s 0 方法对其进行优化设计，进化参数取：r r 。- 1 ，e r 1 ，结 构划分为7 8 2 6 的有限元网格。图2 8 、图2 9 显示了用各向同性材料( 应力约 束上限值d 。一1 7 m p a ) 和非等拉、压应力强度材料( 应力约束上限值盯。4 4 m p a ) 的两种结构进行优化时，体积比分别为0 7 0 ，0 5 0 ，0 1 8 的拓扑结构。图2 1 0 、 图2 1 l 给出了两种不同材料结构设计的最大应力及性能指标进化历程，当 v v 一1 8 时，各向同性材料获得的最优结构的最大应力为1 6 6 8 1 m p a ，p i d 值 为3 。3 8 ，而非等拉、压应力强度材料结构设计时的最佳结构拓扑的最大应力为 4 3 3 5 0 m p a ，p i d 值为5 2 3 ，优化效果得到了改善。同时，也可以看出本文方法 能根据工程结构的材料特性进行优化设计，得出与实际结构类似的拓扑构形。 趔自h ( f 5 4 3 2 l o 图2 7 承重台的初始优化模型 ( a ) 体积比为0 7 0 ，最大应力为1 1 7 9 3 m p a ，性能指标为1 2 7 ；( b ) 体积比为0 5 0 ，最大应力为 1 1 9 1 2 m p a ，性能指标为1 8 5 ；( c ) 体积比为0 1 8 ，最大应力为1 6 6 8 1m p a ，性能指标为3 3 8 ； 图2 8 采用各向同性材料获得的承重台拓扑进化历程 图2 9 采用非等拉、压应力强度材料获得的承莺台拓扑进化历程 ( d ) 体积比为0 7 0 ，最大应力为3 1 6 7 8 m p a ，性能指标为1 3 3 ：( e ) 体积比为0 5 0 ，最大应力为 3 1 8 5 2 m p a ，性能指标为2 2 8 ；( f ) 体积比为o 1 8 ，最大应力为4 3 3 5 0 m p a ，性能指标为5 2 3 ； 5 0 0 0 0 0 0 4 5 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 青3 5 0 0 0 0 0 e3 0 0 0 0 0 0 2 5 0 0 0 0 0 ：2 0 0 0 0 0 0 西1 5 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 5 0 0 0 0 0 0 05 01 0 0 1 5 0 n u m b e ro fi t e r a t i o n 图2 1 0 承重台最大v o nm i s e s 、i s h a i 鹿力进化历程 1 4 0 8o ，60 ，40 20 体积比 6 5 4 s 詈 2 凸_ 1 o 图2 1 1承熏台p i d 性能指标进化历程 2 4 结论 本章结合传统的基于应力的e s 0 方法，针对拉压特性不同的材料给出了种 i s h a i 应力准则的双方向渐进结构优化方法，解决了各向同性和各向异性所有材料 的优化情况，且成功的将该应力准则应用于四杆桁架结构的拓扑优化设计以及汽 车承重台结构优化设计。两个实例的优化结果充分显示了该方法的正确性和具有 较广泛的工程应用价值。 第三章带预应力的组合结构拓扑优化设计 3 1 引言 相对截面优化问题，拓扑优化问题的研究难度更大。从结构的经济造价角度 来讲，拓扑优化能获得更大的实际效益，所以对拓扑优化问题的研究更具有实用 意义。同时，拓扑优化可以为设计人员提供一些新的结构布局而且易被工程技术 人员所接受。另一个方面，由于在实际结构工程的结构拓扑优化设计中需要设计 结构部分的横截面尺寸和拓扑形状，即包括横截面尺寸设计变量4 和拓扑设计变 量q i ，这里4 可以是一连续变量，或者离散变量。而q 。可能是0 ( 代表删除的单元) 或者1 r 代表保留的单元) ，因此这是一个非常具有挑战性的问题。 在结构拓扑优化领域已经进行了广泛的研究。较新的方法有；优化准则法“， 均匀化方法“蜘和遗传算法“。其它的方法还有仿生学和进化方法。 x i e 和s t e v c n 发展了一