（计算数学专业论文）分数阶扩散方程的时域自适应算法.pdf

大连理工大学硕士学位论文 摘要 分数阶偏微分方程在流体力学、粘弹性、生物学、金融、物理等领域有着广泛的应 用，分数阶偏微分方程的求解一直为许多学者所关注。由于分数阶偏微分方程的解析解 一般很难得到，所以研究行之有效的分数阶偏微分方程数值方法显得尤为重要。 本文主要研究了两类分数阶偏微分方程的数值解。一类是时间分数阶扩散方程，其 中关于时间的导数为口( o 口 1 1 阶。本文在这类方程的数值解研究中，首先将变量在 时域上分数阶幂级数展开，将时空耦合的初边值问题转化为一系列空间边值问题，再在 空间上采用二阶中心差分格式进行求解。另一类方程是空间分数阶扩散方程，其中有关 空间的导数为( 1 2 ) 阶。本文在这类方程的数值解研究中，应用时域自适应精细 算法，将时空耦合的初边值问题转化为一系列的空间边值问题；然后在空间上借助分数 阶方程的超线性收敛技术，构造出空间方程的离散格式，从而得到各个离散时间节点处 的数值解。一个对时间步长或展开项数的自适应过程很好地保证了上述两种数值方法的 计算精度。本文给出两个数值算例，通过将数值解与精确解进行比较，验证了两种方法 的有效性。 法 关键词：分数阶微分；时间分数阶扩散方程；空间分数阶扩散方程；时域自适应算 分数阶扩散方程的时域自适应算法 a d a p t i v ea l g o r i t h m si nt h et i m ed o m a i nf o rs o l v i n gf r a c t i o n a ld i f f u s i o n e q u a t i o n s a b s t r a c t w i t ht h ee x t e n s i v ea p p l i c a t i o no ft h ef r a c t i o n a l d i f f e r e n t i a le q u a t i o ni nh y d r o d y n a m i c s ，v i s c o e l a s t i c i t y , b i o l o g y ，f i n a n c ea n dp h y s i c s ，c o n s i d e r a b l ea t t e n t i o nh a sb e e ng i v - e l lt ot h es o l u t i o n so ff r a c t i o n a l0 r d e l p a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n s i ng e n e r a l a n a l y t i c a ls o l u t i o n so ff r a c t i o n a lo r d e rp a r t i a ld i f f e r e n t i a l e q u a t i o n sa r ed i 伍c u l tt og e t s oi t i sv e r yi m p o r t a n tt od e v e l o pe f f e c t i v en u m e r i c a lm e t h o d sf o rf r a c t i o n a lo r d e r p a r t i a ld i f - f u s i o ne q u a t i o n s i nt h i sp 印e r n u m e r i c a ls o l u t i o n sf o rt w oc l a s s e sf r a c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o na r er e - s e a r c h e d n ef i r s tc l a s si st h et i m e - f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hat i m e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e 口( 0 口 1 ) b ye x p a n d i n gv a r i a b l e sw i t hf r a c t i o n a lp o w e ra td i s c r e t i z e dt i m e i n t e r v a l s ，at i m e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hi n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n si sc o n v e t t e di n t oas e r i e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m sw h i c ha r es o l v e db vf d 坛t h ec o m p u t i n ga c c u r a c yi sm a i n t a i n e dv i aa na d a p t i v ep r o c e d u r ef o rd i f f e r e n tt i m es t e ps i z e s ；1 1 1 es - e c o n dc l a s si st h es p a c e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t has p a c e f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e8 ( 1 2 ) b ye x p a n d i n gv a r i a b l e sw i t hf r a c t i o n a lp o w e ra td i s c r e d i t e dt i m ei n t e r v a l s ，a s p a c e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o nw i t hi n i t i a la n db o u n d a r yc o n d i t i o n si sc o n v e r t e di n t o as e r i e so fb o u n d a r yv a l u ep r o b l e m s ，a n dt h e yc a l lb es o l v e dw i t has p a c ed i f f e r e n c es c h e m ew h o s ec o n v e r g e n to r d e ri ss u p e rl i n e a ri ns p a c ed o m a i n t h ec o m p u t i n ga c c u r a c y i sm a i n t a i n e dv i aa na d a p t i v ep r o c e d u r ef o rd i f f e r e n tt i m es t e ps i z e s t w oi l l u s t r a t i v ee x a m p l e sa r e g v e i lt od e m o n s t r a t et h ee f f i c i e n c yo ft h ep r o p o s e da l g o r i t h m s k e yw o r d s ：f r a c t i o n a ld e r i v a t i v e ；t i m e f r a c t i o n a ld i f f u s i o ne q u a t i o n ；s p a c e f r a c t i o n a l d i f f u s i o ne q u a t i o n ；a d a p t i v ea l g o r i t h mi nt i m ed o m a i n i i 大连理工大学学位论文独创性声明 作者郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下进行研究 工作所取得的成果。尽我所知，除文中已经注明引用内容和致谢的地方外， 本论文不包含其他个人或集体已经发表的研究成果，也不包含其他已申请 学位或其他用途使用过的成果。与我一同工作的同志对本研究所做的贡献 均已在论文中做了明确的说明并表示了谢意。 若有不实之处，本人愿意承担相关法律责任。 学位论文题目： 作者签名： 甍努啪静擎秀聋芝钠毽 试鸭注荔；：曩 互爹t 屯 大连理工大学硕士学位论文 大连理工大学学位论文版权使用授权书 本人完全了解学校有关学位论文知识产权的规定，在校攻读学位期间 论文工作的知识产权属于大连理工大学，允许论文被查阅和借阅。学校有 权保留论文并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，可以将 本学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印、或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 学位论文题目：方名矽担彩移黟矽锣印卿 作者签名：至垩兰鱼日期：兰! 1 2 年月二三日 导师签名 大连理工大学硕士学位论文 引言 分数阶微积分不是求分数的微积分，也不是传统微积分的一部分，而是指求任意阶 导数和积分的- - f - j 学科。l e i b n i z 在1 9 6 5 年给l h o s p i t a l 的一封信中首次对二分之一导 数定义的可能性做了一些说明语注解，从而打开了分数阶微积分理论研究的大门。三百 多年来，许多数学家在数学的纯理论领域做了很多分数阶微积分理论的基础性工作，早 期具有突出贡献的数学家有l i o u x i l l e 、r i e m a n n 、h o l m g r e n 等。然而由于长期没有实际 应用的促进，分数阶微积分理论发展较为缓慢。直到h e a v i s i d e 在对传输线路理论的研 究中引进了分数阶微分，并用它求解某些电磁理论方面的问题，分数阶微分在实际应用 发展中才迈出了具有重要意义的一步。在1 9 8 2 年b b m a n d e l b r o t 首次指出自然界与许 多技术科学中存在大量分数维的事实，并在整体与部分之间存在相似现象之后，分数阶 微积分成为当前国际上的热点研究课题，得到了飞速的发展。近几十年里，众多学者研 究发现分数阶微积分非常适合于刻画具有记忆和遗传性质的材料与过程，而这些性质在 经典方程中往往是被被忽略的。例如，当一种微粒的扩散传播速率与古典的布朗运动模 式不一致时，分数阶导数比整数阶导数能更好的模拟其物理过程与动态系统过程。凭借 其具备的良好的记忆与遗传性质，分数阶微积分在工程计算、数理方程、电化学、分形 几何、随机扩散、电子场理论、随机游走、混沌映射等多个领域得到了广泛的应用 卜5 。 对于分数阶偏微分方程的解析解的研究，国内外的学者提出了很多不同的方法，比 较典型和常用的方法是借助于各种积分变换和特殊函数的方法，如拉普拉斯变换法，傅 里叶变换法等 1 ，6 ，7 ，也出现了a d o m i a n 分解法和变分迭代法 8 1 2 等来求解分数阶 微分方程的近似解析解。a d o m i a n 分解法和变分迭代法一般不适用于求解非齐次边界条 件的分数阶微分方程初边值问题；而通过变换法得到的近似解析解，通常由形式复杂的 无穷级数构成或含有某些特殊函数，求解过程比较困难，在实际计算中不易被应用。因 此，发展行之有效的数值方法显得尤为重要。许多学者在这方面作了大量工作，目前常 见的数值方法有行方法、显式有限差分格式、隐式有限差分格式、外推的有限差分格式 f 1 3 - 1 6 3 等。这些数值方法在时域上大多是基于f d 方法的，往往不能精确地描述变量随 时间的变化，特别是当合适的时间计算步长无法预先给定时 1 7 。 为此，本文提出了一种在有界区域求解两类c a p u t o 型分数阶扩散方程的新的有效 计算方法，即通过时域展开技术，将时空耦合的初边值问题转化为一系列的空间边值问 题，可根据具体情况采用不同的空间求解策略，并通过自适应技术来调整时间步长或展 开项数来保证计算精度。 分数阶扩散方程的时域自适应算法 本文内容共分为三章，第一章是预备知识，介绍分数阶微积分的相关知识、两类分 数阶扩散方程的模型建立以及国内外研究概况；第二章讨论了一种求解时间分数阶扩散 方程( 即将古典波动扩散方程中的时间一阶导数用口( o 口 1 ) 阶导数代替) 的时域自 适应算法。在时域上利用分数阶幂级数展开技术，将一个带有时间分数阶导数的时空耦 合初边值问题转化为一系列的空间边值问题，然后在空间上采用二阶中心差分格式进行 求解。通过一个特定的收敛准则，使各个离散时间段步长大小自行调节，从而实现时域 的自适应计算。本文给出了一个数值算例来说明方法的有效性，并将该数值解与隐式有 限差分解和精确解析解进行了比较，数值结果令人满意；第三章讨论了应用时域精细算 法求解空间分数阶扩散方程( 即古典波动扩散方程中空间二阶导数用p ( 1 0 ，g 0 ( 1 2 ) 在应用中经常出现，它们统称为欧拉积分，其中前者又称为g a m m a 函数( 或写作 r 函数) ，后者称为b e t a 函数( 或写作曰函数) 。下面我们分别讨论这两个函数的性 质。 1 1 1 g a m m a 函数 g a m m a 函数是阶乘概念的推广，它可以写成如下两个积分之和： r ( j ) = r x s - ! e - x d x + r x , - l e - , , d x = 砸) + j ( s ) ， ( 1 3 ) 其中，( s ) 当s 1 时是正常积分，当0 0 时收敛，即g a m m a 函数的定义域为s 0 。 g a m m a 函数有如f 三个性质： 1 f ( s ) 在定义域s 0 内连续且可导； 2 f ( n ) = ( n - 1 ) ! ，v n z + ； 3 f ( s + 1 ) = s f ( s ) 在应用上，r ( s ) 也常以如下形式出现。j z n 4 - x = y 2 ，则有 r ( s ) = 。f 。o m x s - l e - x d x = 2 r 少2 州p 一户砂，( s o ) 令x = p y ，则有 r ( s ) = f 广1 p 。d x = p 。$ t y - l e - w d y ，( s 0 ，p o ) ( 1 4 ) ( 1 5 ) ( 1 6 ) ( 1 7 ) ( 1 8 ) 分数阶扩散方程的时域自适应算法 1 1 2 b e t a j 函数 b e t a 函数是二项式系数倒数的推广，它当p 0 时两个无界函数反常积分都收敛，所以函数b ( p ，q ) 的定义域为p o ，q 0 。 b e t a 函数有如下三个性质： 1 b ( p ，g ) 在定义域p o ，q 0 内连续； ( 1 9 ) 2 b ( p ，q ) = b ( q ，夕) ； ( 1 1 0 ) 3 召( 川2 万q - 五1 b ( p , q - i ) ，p o ，g 1 ( 1 1 1 ) b ( 圳= p p + - g i l b ( p - l , q ) ，p l ，g o ( 1 1 2 ) b ( p ，g ) = 而( 再p - 1 翮) ( q - 1 ) b ( p - l , q - 1 ) ，p l , q l ( 1 1 3 ) 在应用上，b e t a 函数也常以如下形式出现。如令x = c o s 2 妒，则有 b ( p ，g ) = 2 f s i n 2 q - 1 ( 7 c o s 2 p - i 矽却 ( 1 1 4 ) 令x ：j l ，则有 l + v 帆) = 需净 n 1 。1 3 g a m m a 函数和b e t a 函数之间的关系 g a m m a 函数和b e t a 函数有下述关系成立： 对于任何正实数p ，q ，均有 帆) = 榭，( p o ，删) 一4 一 ( 1 1 6 ) 大连理工大学硕士学位论文 1 2 几种分数阶微积分的定义和性质 1 2 1 分数阶微积分的定义 分数阶微积分是指求任意阶次( 可以是分数、无理数甚至是复数) 导数和积分的理 论，它是整数阶导数和，2 重积分定义的推广。在不同的科学技术领域的应用问题中，分 数阶微积分所采用的定义方式也有所不同，常用的有g r u n w a l d - l e m i c o v 型分数阶微积 分、r i e m a n n e l i o u v i l l e 型分数阶微积分、c a p u t o 型分数阶微积分。下面给出每种导数 和积分定义 1 ，3 ，4 。 定义1 1g r u n w a l d - l e m i c o v 型 1 分数阶积分 m = 燕圹静卜训 2 而1 f ( ) 叫弛) 办，口 o ( 1 1 7 ) 其中 f，口、1：ct(a+1)-(a+r-1) ( 1 1 8 ) l ， r1 2 分数阶导数 假定导数( ，) ，七= 1 ，2 ，z 在区间 口，嵋上是连续的，且有0 m - 1 仃 a ，则有 等鲜们) = 衍d _ l 。( f ) = 广协 ( 1 2 0 ) 定义1 2r i e m a n n e l i o u v i l l e 型 1 分数阶积分 饨) 2 志f 叫纠m ) 丸口 o ( 1 2 1 ) 目有下式成立 分数阶扩散方程的时域自适j 电算法 2 分数阶导数 只刀厂( ，) = 厂( f ) 。r q a 饨) = 而鬲1 万d mf ( ) 一1 m ) 如， 其中m 一1 口 a ，贝0 有 ：睇邝) = 嘉饨m ( 1 2 2 ) ( 1 2 3 ) ( 1 2 4 ) 定义1 3c a p u t o 型 1 分数阶积分 ：f 们) 2 志f ( 广1 m ) 妣口 0 ( 1 2 5 ) 2 分数阶导数 c 。q ( x ) = 志r 一f ) ”q 。1 嘉厂( f 矽f ， ( 1 2 6 ) 其中m 一1 0 ( 1 2 9 ) 性质1 3 胖辨= 端广口渺- 1 ，口 o ( 1 3 0 ) 性质1 4l e i b n i n 规则 设函数厂( ，) 在区间 口，r 】内连续，函数伊( r ) 在【口，幻区间内n + l 阶连续可导，则缈( ，) 厂( f ) 的口次分数阶导数 口睇湫d 厂伽= 耋( 二 矿) ( f ) 。睇以( d e 4 ( 咦 ( 1 3 1 ) 其中l r l 口+ 1 且 群( f ) 2 而鬲1 【( h ) 一厂( f ) 咖f ( f 一孝) ”( 孝) d 孝 ( 1 3 2 ) 如果厂( f ) 和够( r ) 具有任意阶连续导数，则 性质1 5 性质1 6 性质1 7 口睇( 舛) 几) ) = 兰k = o ( ：p 。睇拟吐 ，j 。j ：f q 、) = d j p y ，q 、) ，j l 0 ，y 0 。j t u t r = 揣，+ ，1 1 , 7 - 0 f c 鲜厂( d = 厂( d 一荟m - - | 厂似( o + ) 乞，m - l a m ( 1 3 3 ) ( 1 3 4 ) ( 1 3 5 ) ( 1 3 6 ) 1 2 3 三种分数阶导数定义间的相互关系 r i e m a n n e l i o u v i l l e 型分数阶导数、g r u n w a l d - l e t n i c o v 型分数阶导数和c a p u t o 型分 数阶导数三种定义间有下列相互关系 1 ，3 ，4 ： 1 r i e m a n n e l i o u v i l l e 型分数阶导数和g r u n w a l d - l e m i c o v 型分数阶导数 若函数厂o ) 在区间 口，丁 上有n - 1 次连续导数，且f 帕( ，) 在区间 口，刀内可积，则对 任意a ( o 口 玎) ，r i e m a n n e l i o u v i l l e 型分数阶导数和g r u n w a l d - l e t n i c o v 型分数阶导 数两者等价。 如果0 m 一1 口 m n ，a f t ，则下式成立 。r 聊o t 归薹祭鬻孚+ 志肛矿一p 以3 7 ) 分数阶扩散方程的时域自适应算法 其中 2 r i e m a n n e l i o u v i l l e 型分数阶导数和c a p u t o 型分数阶导数 m - 1 ：d f f f ( t ) = c 。彬c t + 唬1 ( t - a ) f ( 口) ，m 一1 口 m ， ( 1 3 8 ) k = 0 舭，= 融如 ( 1 3 9 ) 1 3 两类分数阶扩散方程的模型建立 分数阶扩散方程( 时间、空间或时间一空间分数阶) 是传统整数阶扩散的方程的推 广。由于分数阶微积分具有记忆和遗传的特性，与整数阶模型相比，分数阶模型具有更 为坚实的实用背景和物理解释。 1 3 1时间分数阶扩散方程的模型建立 分数阶扩散方程近年来在许多领域受到越来越多的关注，例如生物系统、地下水动 力学、化学和生物化学应用 1 8 ，1 9 ，2 0 等。当传输是扩散的时候或者连续时间随机游走 模型带有短暂记忆和初始过程的时候，我们就能够从一个连续的时间随机游走模型推导 出一个时间分数阶扩散方程，以用来模拟许多非正常扩散现象。 传统的多孔介质中的对流一扩散方程可以用来描述溶质在多孔介质内部的各种位移 行为 2 0 。在这个模型中，位于空间x 点处和时间f 时刻处的溶质浓度函数u ( x ，f ) 是下面 二阶对流一扩散方程的解 o u i ( x , 一t ) ：v 叫“( x ，f ) + d v 甜( x ，f ) ， ( 1 4 0 ) 其中1 1 表示对流速度，d 为扩散系数。对于稳定流速问题，上式中的扩散系数d 为一常 数，与溶质位移过程的尺度无关。而在实际问题中，扩散系数随着位移距离的增加而增 大。不考虑对流项，文献 2 1 提出了一个改进的时间分数阶扩散方程： 0 u ( x - , t ) ：d 芸善出力，o 口 l ( 1 4 1 ) a t魂卜aa 皆、一j 由分数阶导数的性质1 7 ，可得 大连理工大学硕士学位论文 妄r _ “( x ，f ) = d 妄，- 甜( x ，) ，0 口 l ( 1 4 2 ) 研o x 这样就得到了未考虑对流项的时间分数阶扩散方程，与传统的对流一扩散方程相比，在 此方程中，对时间的导数被分数阶导数所代替，且求导阶口满足0 口 1 。 本文讨论了一种基于分数阶幂级数展开的时域自适应算法来求解上述时间分数阶 扩散方程模型，在第二章中对算法进行了详细具体的描述。 1 3 2 空间分数阶扩散方程的模型建立 经典的一维反应一扩散方程对于模拟入侵种群的蔓延是非常有效的 2 2 。在这个模 型中，位于空间x 点处和时间，时刻处的种群密度函数u ( x ，) 是下面一维反应一扩散方程 的解 、 _ o u ( - x , t ) ：d 暨笋+ m ( 彬) ) ， ( 1 4 3 ) o ta x 方程右端第一项是扩散项，用来模拟生物种群的移动，d 为扩散系数；第二项是反 应项，用来模拟生物种群的增长。因为边缘带有幂定律的典型入侵种群的种群密度比时 间f 扩散的更快 2 3 ，所以在实际应用中，经典的一维反应一扩散方程模型最大的缺陷在 于不合实际的缓慢扩散。不考虑反应项，文献 2 4 考虑了一个改进的空间分数阶扩散方 程 1 0 u ( x 广, t ) = d 可a p u ( x , t ) ， ( 1 4 4 ) 一= ? 一 i j a t a 妒 其中1 2 ，扩散系数d 为常数1 。 与传统的对流一扩散方程相比，在方程( 1 4 4 ) 中，对空间的二阶导数被求导阶为 ( 1 2 ) 的分数阶导数所代替，且当= 2 时，方程( 1 2 8 ) 就变为经典的二阶扩 散方程。 本文将时域自适应精细算法与空间超线性收敛格式相结合，来求解上述空间分数阶 扩散方程模型，在第三章中对算法进行了详细具体的描述。 1 4 国内外主要研究概况 近十几年来，分数阶微分方程问题在计算生物学、材料科学、化学动力理论、电磁 理论、传输( 扩散) 理论、控制理论、多孔渗水介质等许多现代科学技术领域获得日益 广泛的应用 1 - 2 0 。由于其毋庸置疑的重要性，国内外对于分数阶微分方程及其解法的 研究正蓬勃兴起。 分数阶扩散方程的时域自适应算法 目前，许多学者致力于空间分数阶微分方程和时间分数阶微分方程的研究。它们的 基本理论是由凡胞，在1 9 5 2 年提出的。在1 9 8 9 年，s c h n e i d e r 和w y s s 研究了时间分数 阶扩散波动方程，相对应的格林函数通过h 函数闭形式表示出来，它们的性质也给予了 一定的研究 2 5 。在1 9 9 9 年，p o d l u b n y 研究了时间分数阶扩散方程，应用l a p l a c e 逆 变换反演复围的理论求出了其基本解 1 。在2 0 0 0 年，b e n s o n 等考虑了空间分数阶反应 扩散方程，并给出了该方程的解析解。在2 0 0 1 年，f m a i n a r d i 、y u l u c h k o 和g p a g n i n i 利用l a p l a c e 变换和f o u r i e r 变换研究了时间一空间分数阶扩散方程的解析解，并给出其 格林函数的显式表示 6 。在2 0 0 3 年，f l i u 和k v a n h 利用变量替换，m e l l i n 变换，l a p l a c e 变换和函数的性质，得到时间分数阶对流扩散方程的完全解 7 。在2 0 0 5 年，f h u a n g 和f l i u 研究了无界和半无界内两个时间分数阶扩散方程的不同定解问题的基本解之间 的关系，并得到了其显式表达式 2 6 。同一年，s h a h e r m o m a n i 和k a m e l a l - k h a l e d 通过 利用a d o m a i n 分解法得到了分数阶偏微分方程初值问题的近似解析解 1 0 ；而在2 0 0 7 年，a b d u l - m a f i dw a z a z 利用变分迭代法求解了线性和非线性扩散波动方程 1 1 。在同一 年，s h a h e r m o m a n i 和z a i do d i b a t 将变分迭代法与广义泰勒公式相结合，求解得到了一 类非线性分数阶偏微分方程的解析解 1 2 。 在分数阶扩散方程数值解的研究方面，在2 0 0 2 年，r g o r e n f l o 考虑了时间分数阶扩 散方程，利用c a p u t o 分数阶导数与g r u n w a r d 分数阶导数的关系，用g r u n w a r d 分数阶 导数的标准离散公式对c a p u t o 分数阶导数进行离散化处理，从而构造了一类显式差分 格式，并对该格式给予质点非马尔科夫随机游走的模型解释 1 3 。在2 0 0 4 年，f l i u 等 提出了分数阶的行方法，将分数阶偏微分方程转化为常微分系统空间分数阶扩散方程并 用来模拟地下水的传送过程 2 7 。同年，沈淑君和刘发旺提出的一种有效数值方法解分 数阶b a g l e y - t o r v i k 方程，b a g l e y - t o r v i k 方程是b a g l e y 和t o r v i k 在研究材料的性态时提 出的，文章给出了b a g l e y - t o r v i k 方程解的存在性和唯一性，利用r i e m a n n e - l i o u v i l l e 定 义和g r u n w a l d - l e t n i c o v 定义之间的关系，提出了求解b a g l e y t o r v i k 方程的一种有效的 数值方法，最后给出了一些数值例子 2 8 。在2 0 0 5 年，f l i u 等研究了时间分数阶扩散 方程，通过对分数阶导数项进行直接离散，并利用离散后各项系数的关系提出该问题的 一个显式差分格式，并证明该格式是条件稳定和条件收敛的 1 4 。同年，陈春华和卢旋 珠考虑分数阶扩散方程初边值问题的数值解法时，提出该问题的一个无条件稳定和条件 收敛的隐式有限差分格式，该方程的差分格式是通过分数阶导数g r u n w a l d - l e t n i c o v 型 和c a p u t o 型的转化关系，用g r u n w a l d - l e t n i c o v 标准数值近似公式对时间分数阶导数离 散而建立的，最后给出了数值例子 1 5 。在2 0 0 6 年，m e e r s c h a r e tm 和t a d j e r a nc 分别 大连理工大学硕士学位论文 有限差分方法求解了空间分数阶扩散方程的两点边值问题 2 9 。在2 0 0 7 年，章红梅和 刘发旺利用c a p u t o 型与r i e m a n n e - l i o u v i l l e 型定义之间的相互关系与性质，提出了求解 空间分数阶扩散方程的超线性收敛格式 2 4 。在2 0 0 8 年，na m u r i o 提出了求解c a p u t o 型定义的时间分数阶扩散方程的隐式差分格式，并证明该格式是无条件稳定的 1 6 。 分数阶扩散方程的时域自适应算法 2 时间分数阶扩散方程 2 1 控制方程与收敛准则 时间分数阶扩散方程对时间采用分数阶求导，与经典的整数阶扩散方程相比，它可 更好地模拟反常慢扩散及带记忆传导过程中的子扩散现象 2 5 ，3 0 。由于方程本身的复 杂性，加之边界形状、条件的复杂性，其解析求解一般较为困难 3 1 ，3 2 ，因此发展行 之有效的数值求解方法十分必要。 数值求解主要涉及空间与时域两个方面，空间方面可采用f d 或f e 等方法，时域上 主要采用f d 技术，如有条件稳定的显式差分格式 1 1 、r 一三定义下的无条件稳定的隐 式差分格式 2 1 、c a p u t o 定义下的无条件稳定的隐式差分格式( i f d a ) 1 6 等，这类基于 f d 的方法可能存在的一个问题是：对变量随时间的变化描述的不够精确，甚至导致计算 不收敛，特别是当合适的计算步长无法预先确定时 1 7 。为此，本章提出了一种求解一 维时间分数阶扩散方程的时域自适应算法，通过将各变量在离散时段上按分数阶幂级数 展开，可更精确描述变量随时间的变化；同时将一个带有时间分数阶导数的时空耦合初 边值问题转化为一系列的空间边值问题，并采用二阶中心差分格式进行求解；通过一个 特定的收敛准则，各个离散时间段的时间步长可自行调节，从而实现了时域上的自适应 计算。文中对所提算法，进行了数值验证，与解析解相比，结果令人满意。 2 1 1控制方程 考虑下述有界区域上的一维时间分数阶扩散方程： d t u ( x ，于) = z o ( x ，于) ，0 x z ，0 口 1 初值条件为 u ( x ，o ) = ( x ) ，0 x ， 边值条件为 u ( o ，f ) = w ( f ) ，u q ，f ) = v ( f ) ，f 0 其中w ( o ) = 厂( o ) ，v ( o ) = 厂( ，) 且( f d 7 ) w ) ，( f d 尸) 1 ，( f ) c o ，佃) ，f ，孝0 在上述时间分数阶扩散方程( 2 1 ) 中，睇u ( x ，f ) 为c a p u t o 型分数阶导数， 下 1 ，3 ，4 ( 2 1 ) ( 2 2 ) ( 2 3 ) 其定义如 大连理工大学硕士学位论文 蟛u ( x ，f ) = l 志聒”矿口掣 o u ( x ，f ) o t d r ，0 口 0 ，m 一1 一1 ，c a p u t o 型分数阶微积分有下列性质 闭肛考蒜”吨， ( 2 5 ) 。j ( x 一口) 7 = 揣( x 一口) 。+ ， ( 2 6 ) 于c a p u t o 型分数阶微积分的更多性质，可参见文献 1 ，3 ，4 。 2 1 2 算法买现 对空间有界区域进行等距分割，令薯2 i h ，扛1 ，k 一1 ，其中办。去。在空间上采 用截断误差为2 阶的中心差分格式，则方程( 2 1 ) 可写成 删彬) = 亟业等掣， ( 2 7 ) 其中h = 专，而= i h ，i = 1 ，k 一1 。 a 特别地，当w ( t ) = v ( t ) 詈0 时，方程( 2 1 ) 的矩阵形式为 d t a ( x ，f ) = d a ( x ，f ) ， ( 2 8 ) 其中a ( x ，f ) 代表u ( x ，) 的节点向量，彳代表如下的3 一对角矩阵 1 a = 百 一 办2 2 1 1 21 1- 21 1 - 2 1 l l 12j 。( k - 1 k - 1 ) 现将整个时间域划分为若干离散时段，记时间节点为0 = t o 乙 1 ) ， 代入展开式( 2 1 7 ) 可得 簖( t ) = n - 1 ( 一) ( 乙一l - t 一：) m = u ( x t ，乙一：) ，i = 0 ，1 ，k ( 2 2 6 ) 将展开式( 2 1 7 ) 代入边值条件( 2 3 ) ，根据广义的t a y l o r 公式，第n 个离散时问段 的初值条件变为 垂线(。)o一乙一。)”口=m=o旦!=j群t o 一乙一。) 撇， ( 2 2 7 ) 肌2 0 1 , m c 正t 1 ， 薹弼u ) o 一乙一。) 撇= m = o ! 生群。一乙一。) 船 ( 2 2 8 ) m = o1 ，f 【zt1 ， 2 1 3 收敛准则 当每个纯( t ) 计算完成，将按以下准则进行收敛性检查， 口夙i 鼻燮丝 i 伤n 、t 疗一弦 j = o ，n = 1 ，2 ， ( 2 2 9 ) 其中是误差限，t 表示第f 个空间节点。 如果空间所有的节点当m 较大仍不能全部满足准则( 2 2 9 ) ，则可减小时间步长；如 将当前的时间步长减半，并退回到上一个时间段的起点重新计算，直到所有的空间节点 大连理工大学硕士学位论文 都满足收敛准则( 2 2 9 ) 。也可根据实际计算的情况，适当地加大时间步长，以加快整个 计算进程。 2 2 数值算例 2 2 1 控制方程 本节考虑如下有界区域上的一维时间分数阶扩散方程： v o u ( x ，f ) = “搿( x ，f ) ，0 x 万， 初值条件为 u ( x ，0 ) = s i n x ，0 x 万 边值条件为 u ( o ，f ) = u ( x ，f ) = 0 ，f 0 其中p 芦“( x ，f ) 为c a p u t o 型分数阶导数，u ( x ，t ) c 3 ( o ，万】 o ，) ) 该问题的精确解析解为 甜( 五f ) = e r f c ( 4 t ) s i n x ，0 x 万，t 0 ( 2 3 0 ) ( 2 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 3 3 ) 2 2 2 计算结果 对上述有界区域上的一维时间分数阶扩散方程初边值问题，应用本章给出的时域自 适应算法，取定= 1 1 0 - 2 ，r = 3 ，记& 为时间步长。 图2 1 a 给出在时间步长a t = 1 1 0 的等步长情况下，本文解与i f d a 解及精确解析解 在f = 0 2 和r = 0 5 两个不同时刻处的比较；一 图2 1 b 给出在时间步长a t = l 8 的等步长情况下，本文解与i f d a 解及精确解析解 在f = 0 3 7 5 和f = 0 5 两个不同时刻处的比较。 由图2 1 a 和图2 1 b 所示的计算结果可以得到以下结论： 与i f d a 解相对比，当初始步长的大小无法与献给定时，本文自适应算法解对步长 大小变化的适应性更强，可以较好的保持其计算精度。 分数阶扩散方程的时域白适应算法 耖，(穆 鸸缸；? 一，二：*b 。粼巍? 涨“7 j 。乱。# 。二廊 一一? 二j 。? j j 。| m o ：+ ? t ? ， ，i 一，i ，西i ? 锄， 图2 1 a 当a t = 1 1 0 时，在f = 0 2 和，= 0 5 两个时刻处的计算结果比较 f i g u r e2 1 an u m e r i c a lc o m p a r i s o na tr = 0 2a n df = 0 5w i t ha t = 1 1 0 蓍，c 铺 “庐。、“。，。；。；巍# * 。7 i ，f i ? ? ：，i ij ? 一? j i i，_ i ，7 图