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曲阜师范大学硕士学位论文 一类二阶超线性微分方程的振动性研究 摘要 微分方程的振动性理论是微分方程理论中的一个十分重要的分支，它具有 深刻的物理背景和数学模型近年来，这一理论在应用数学领域中已取得了迅 速的发展和广泛的重视有大批学者从事这方面的理论研究，取得了一系列较 好的结果研究微分方程的振动性理论，有较好的发展前景，并有较高的实用 价值微分方程解的振动性也是微分方程解的重要性态之一随着自然科学和 生产技术的不断发展，在许多应用问题中均出现了是否微分方程有振动解存在 或者是否微分方程的一切解均为振动解的问题特别是近几十年，微分方程解 的振动性研究发展得相当迅速，其中以二阶超线性微分方程最受人们的关注， 因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型上还是从研究的方法上 均有长足的发展( 部分结果可参见文【1 】_ 【3 51 ) 本文利用推广的r i c c a t i - 变换及积分平均技巧，函数的单调性对几类二阶 超线性微分方程进行了进一步的研究，得到一些新的结果 根据内容本文分为以下三章： 第一章概述本论文研究的主要问题 第二章在这一章中，我们分三节研究几种二阶超线性微分方程的振动性 其主要结果如下：第一二节我们主要考虑了如下带阻尼项的二阶超线性微分 方程的振动性 ( a ( t ) u ( t ) ) + p ( t ) 矿( t ) + g ( t ) ，白( t ) ) = 0 ， t t o ( 2 1 1 ) 在第一节中，主要利用了平均积分方法和r i c c a t i 变换将俞元洪在文【1 7 】 中的结论推广和改进到更一般的超线性阻尼微分方程( 2 1 1 ) 中，得到了一些 新的振动性准则 在第二节中，引进了积分算子a ：，并且对方程( 2 1 1 ) 利用此算子将上述结 果做了进一步的推广和改进，最后得到了一些应用更广泛的新的振动性准则 曲阜师范大学硕士学位论文 在第三节中，我们考虑了如下二阶超线性微分方程的振动性 ( a ( t ) u ( t ) ) 74 - g ( ) ，( ( t ) ) = 0 ，t t o ( 2 3 1 ) 这节的主要目的是在上述已有结论的基础上，应用了一些新的方法，得出了关 于超线性微分方程( 2 3 1 ) 的一些新的振动性准则 第三章在这一章中，我们主要研究二阶非线性时滞微分方程的区间振动 性我们考虑了下面的二阶非线性时滞微分方程的区间振动性 ”0 ) + 口( t ) ，( z ( f ( ) ) ) = 0 ，t t o 0 ( 3 1 1 ) 这节我们将得到方程( 3 1 1 ) 在f t o ，m ) 的子区间上的一些区间振动的结论我 们的结论也包含函数，( 。) 的次数并不影响振动性，并且推广和改进了文【3 1 】 中的结论，从而得到了一些新的振动性结果 关键词：二阶微分方程；超线性；振动性；阻尼项；r i c c a t i 一变换；积分平均 曲阜师范大学硕士学位论文 s t u d i e so no s c i l l a t i o nf o ro n ec l a s ss u p e r l i n e a r s e c o n d o r d e rd i f i e r e n t i a le q u a t i o n s a b s t r a c t t h eo s c i l l a t i o nt h e o r yo fd i f f e r e n t i a le q u a t i o ni so n eo fi m p o r t a n tb r a n c h o fd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s i nt h ef i e l do fm o d e r na p p l i e dm a t h e m a t i c s ，i th a s m a d ec o n s i d e r a b l eh e a d w a yi nr e c e n ty e a r s ，b e c a u s ea l lt h es t r u c t u r e so fi t s e m e r g e n c eh a v ed e e pp h y s i c a lb a c k g r o u n da n dr e a l i s t i cm a t h e m a t i c a lm o d e l s m a n ys c h o l a r st a k eo nt h er e s e a r c ho ft h i sf i e l d ，t h e yh a v ea c h i e v e dm a n y g o o dr e s u l t s w i t ht h ei n c r e a s i n gd e v e l o p m e n to fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g y , t h e r ea r em a n yp r o b l e m sr e l a t i n gt od i f f e r e n t i a le q u a t i o nd e r i v e df r o ml o t s o fr e a la p p l i c a t i o n sa n dp r a c t i c e ，s u c ha sw h e t h e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sa o s c i l l a t i n gs o l u t i o no rn o t ，a n dw h e t h e ra l lo fi t ss o l u t i o n sa r eo s c i l l a t o r yo rn o t i nv e r yr e s e n ty e a r s ，g r e a tc h a n g e so ft h i sf i e l dh a v et a k e np l a c e e s p e c i a l l y , t h e s e c o n do r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o nh a sb e e np a i dm o r ea t t e n t i o n s a n di n v e s t i g a t e di nv a r i o u sc l a s s e sb yu s i n gd i f f e r e n tm e t h o d s ( s e e 【1 】【3 5 】) t h ep r e s e n tp a p e re m p l o y sag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t m n ，i n t e g r a l a v e r a g et e c h n i q u ea n dt h em o n o t o n eo ff u n c t i o n st oi n v e s t i g a t et h eo s c i l l a t i o n c r i t e r i af o rs o m ec l a s so fs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，t h er e s u l t so fw h i c h g e n e r a l i z e da n di m p r o v e ds o m ek n o w no s c i l l a t i o nc r i t e r i a t h et h e s i si sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n sa c c o r d i n gt oc o n t e n t s i nc h a p t e r1 ，p r e f a c e ，w ei n t r o d u c et h em a i nc o n t e n t so ft h i sp a p e r i nc h a p t e r2 ，t h ec h a p t e ri sd i v i d e di n t ot h r e es e c t i o n st oi n v e s t i g a t et h e o s c i l l a t i o nc r i t e r i af o rs o m ec l a s so fs u p e r l i n e a rs e c o n do r d e rd a m p e dd i f f e r e n - t i a le q u a t i o n w es t a t et h em a i nr e s u l t sa sf o l l o w s ：f i r s t ，w ea r ec o n c e r n e d w i t ht h es e c o n d - o r d e rs u p e r l i n e a rd a m p e dd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ， ( a ( t ) y ( t ) ) + p ( t ) y ( t ) + g ( t ) ，白( t ) ) = 0 ，t t o ( 2 1 1 ) i nt h i ss e c t i o n ，w em a m l ye m p l o y e dag e n e r a l i z e dr i c c a t it r a n s f o r m a t i o na n d 曲阜师范大学硕士学位论文 i n t e g r a la v e r a g et e c h n i q u ei nt h es t u d yo fo s c i l l a t o r yp r o p e r t i e so fm o r eg e n e r a l s e c o n d - o r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 2 1 1 ) w js h a l lf u r t h e rt h e i n v e s t i g a t i o na n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fy u 【1 7 】w jo b t a i n e ds e v e r a l n e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do ft h i ss e c t i o n s e c o n d ，w ee m p l o yai n t e g r a lo p e r a t o r 钨o fs e c o n d o r d e rs u p e r l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 21 1 ) i nt h i ss e c t i o n a n d ，w eo b t a i n e ds e v e r a ln e w o s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do ft h i sp a p e r t h i r d ，w ec o n m d e rt h eo s c i l l a t o r yb e h a v i o ro ft h es e c o n do r d e rs u p e r l i n e a r d i f i e r e n t i a le q u a t i o n ( a ( t ) y ( t ) ) + 口0 ) ，白( t ) ) = 0 ，t t o ( 2 3 1 ) i nt h i ss e c t i o n ，s e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa r ee s t a b l i s h e du n d e rq m t eg e n - e r a la s s u m p t i o n so fs e c o n d o r d e rs u p e r l i n e a rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ( 2 3 1 ) o u r m e t h o d o l o g yi ss o m e w h a td i f f e r e n tf r o mt h a to fp r e v i o u sa u t h o r s w eo b t a i n e d s e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i aa tt h ee n do ft h i ss e c t i o n i nc h a p t e r3 ，w es t u d yt h ei n t e r v a lo s c i l l a t i o no fs e c o n do r d e rn o n l i n e a r d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hd e l a y e da r g u m e n t ， $ ”o ) + q ( t ) ，( z ( 1 ( t ) ) ) = 0 ( 3 1 1 ) i nt h i sc h a p t e r ，o u rr e s u l t sa s l oi n c l u d i n gt h a tt h eo r d e ro ft h ef u n c t i o nf ( x ) d o n ti n f l u e n c et h eo s c i l l a t i o no fe q u a t i o n ( 3 1 1 ) w es h a l lf u r t h e rt h ei n v e s - t i g a t i o na n di m p r o v et h em a i nr e s u l t so fd c a k m a ka n da 。t i r y a k i 3 1 】a n d o b t a i n e ds e v e r a ln e wo s c i l l a t i o nc r i t e r i ai nt h es u b i n t e r v a lo f ，) a tt h ee n d o ft h i sc h a p t e r k e yw o r d s ： s e c o n d - o r d e rd i f f e r e n t i a le q u a t i o n ；s u p e r l i n e a r ；o s c i l l a - t i o n ；d a m p i n gt e r m ；r i c c a t it r a n s f o r m a t i o n ；i n t e g r a la v e r a g e 第一章绪论 自然科学中的许多一般规律，用常微分方程、差分方程的语言来表达最为 自然现在随着科学的发展，常微分方程应用的领域日益扩大不但对于理、 工各科应用逐渐增多，而且已经渗透到医学，经济学领域中例如计算培养细 菌问题、人口增长问题，市场经济，流行病的传染等实际问题中，都需要应用 常微分方程然而在十九世纪四十年代以前，人们一直致力于研究各种类型方 程的求解问题，在积累不少经验的同时，也遇到了越来越大的困难这是由于 常微分方程并不是都能求出函数解的，于是研究他们的定性理论如振动性就有 非常大的意义，也有很好的发展前景特别是近几十年，常微分方程解的振动 性研究发展得相当迅速，从线性到半线性超( 次) 线性、非线性，从一阶到高 阶，从纯量微分方程到矩阵微分方程，都有非常丰富的成果其中以二阶微分 方程最受人们的关注，因此也被研究得比较深入和广泛，无论是从方程的类型 上还是从研究的方法上均有长足的发展( 部分结果可参见文【1 卜 3 5 1 ) 目前人们常用的方法有r i c c a t i 技巧，变分原理及积分平均等，而积分平 均方法又广受研究者们的青睐，这是因为它巧妙地避免了对微分方程系数函数 的限制，从而大大推广了结果的应用范围 本文也应用上述方法在第二章中讨论了一类带阻尼项的二阶超线性微分 方程形如 ( o ( t ) 矿( t ) ) + p ( t ) y ( t ) + 口( ) ，( ( t ) ) = 0 和二阶超线性微分方程形如 ( a ( t ) y 俅) ) 7 + 口( t ) ，( 可( ) ) = 0 解的振动性 第三章中讨论了一类二阶非线性时滞微分方程形如 解的区间振动性 ( t ) + g ( t ) ，( z ( 下( t ) ) ) = 0 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 2 1一类二阶超线性阻尼微分方程解的振动性判别i 2 1 1 引言 现在我们考虑带阻尼项的二阶超线性微分方程 ( 口( t ) 矿( t ) ) + p ( t ) u c t ) + 口( t ) ，0 ( t ) ) = 0 ，t t o ，( 2 1 1 ) 其中a ，p ，g c ( t o ，o o ) ，r ) ，c ( n ，r ) ，且总是满足如下条件t ( 肌) y f ( y ) 0 ，( ) 0 ，对y o ； c 飓，厂高 0 对所有 的t 瓦 定义2 1 2 方程( 2 1 1 ) 的一个非平凡解称为振动的，如果该解有任意大 的零点，否则，称其为非振动的方程( 2 1 1 ) 称为振动的，如果它的每个解都 是振动的 方程( 2 1 1 ) 的特殊形式有e m d e n f o w l e r 方程 和超线性一般方程 旷( f ) + q ( t ) l y ( t ) l o s g n 轳( ) = 0 ，口 0 ，( 2 1 2 ) 矿( t ) + 口( t ) ，( f ( t ) ) = 0 ( 2 1 3 ) 2 曲阜师范大学硕士学位论文 不久前，w o n g 在文【2 】中通过一般的积分方法得到了一些关于e m d e n - f o w l e r 方程( 2 1 2 ) 的振动准则，并且p h i l o s 【3 】得到了一些方程( 2 1 3 ) 的所 有解振动性的结论最近，俞元洪在文f 1 7 】中利用p h i l o s 【3 】的结果推广到更 般的超线性阻尼微分方程( 2 1 1 ) 中，并得到了一些类似的振动性准则，读者 可参考文【1 - 1 7 】中的振动性结果本节主要目的是利用平均积分法和r i c c a t i 变换将上述结果推广和改进到更一般的超线性阻尼微分方程( 2 1 1 ) 中 2 1 2 主要结果 在本章中，为了主要结果证明的方便我们引入以下记号和定义， 记d = ( t ，s ) ：t o 8st 为r 2 的一个子集 定义2 1 3 称函数h = h ( t ，3 ) 属于函数类p ，记为日p ，如果满足下 列条件： 黼i i 笔d 。兰黧耋掉掣掌印刈； ( ) 日在上具有偏导数三 ，：兰，使得 筹扣讹s ) 归丽，丽o h 扣响s ) 徊丽， 其中h i ，h 2 工k ( d ，r ) 黯：驾巍虬眨，+ 南z 6 洲一南蜘，卜。，一j m 3 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 其中 西。( s ，n ) = h l ( s ，口) + a 。( 8 ) 、i 石_ 砚西。( 6 ，s ) = h 2 ( b ，s ) 一a 。0 ) 、，i 西j i 证明不等式( 2 1 4 ) 两端同乘以g ( 8 ，t ) 并且对8 从t 到c 同时积分，其 中t ( a ，c 】，得到 t c h ( s , t ) a o ( s ) d s 一。， ( 2 1 1 0 ) 成立且 ( t ) 0 ，f ( ) 0 ，t t o ， r 。帕) d s 嘲 5 ( 2 1 1 1 ) ( 2 1 1 2 ) 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 顼1 ，+ 。h ? 如卜叼1 味叫，卜 偿。， + 志! 协一黜一赤咖s ，卜。，u 1 j 训 圣z ( 6 ，s ) = h 2 ( 6 ，s ) 一f ( s ) 叩( s ) 胡币丽 邮( t ) 黼( 2 1 1 4 ) 似牡刊蝴) 州t ) 者一丽1 丽以町佻) ) ( 2 1 1 5 ) 仰( t ) = ( 蝴一石妒( s ) g ( s 胁+ 石如) 7 教薪幽一r 咖) 叫2 ( s ) ，( 咖) ) 幽 胁，龋拈 。，e 龋幽 啪r ”( o 而d u 啪) 高地 2 1 1 7 6 曲阜师范大学硕士学位论文 其中k 0 是一常数因此，对t 之t o ，我们得到 婶) s l r ) 如) d s f 帕) ( s ) ，( 小) ) d s ( 2 1 1 8 ) 其中l = k + w ( t o ) 下面我们分三种情况来讨论： 情况1 ，假设可) 是振动的，此时存在序列 t 。) 。：l ，2 在区间 t o ，o o ) 内，使得l i m r n - ，o o t 。= 0 0 且矿( t 。) = 0 ，仇= 1 ，2 ，故由( 2 1 1 8 ) 给出 ，仇，m ，7 ( s ) 叫2 ( s ) ，7 ( g ( s ) ) d s l 一妒( s ) g ( s ) d s ，n = 1 ，2 ， 注意到( 2 1 1 0 ) ，我们得到 7 叩( s ) t j 2 ( s ) ，。( ( s ) ) d s 0 ，使得 叩( s ) 训2 ( s ) ，( 可( s ) ) d s m ，t t o ( 21 1 9 ) 有s c h w a r z 不等式和( 21 1 9 ) ，我们有 l f 龋厕d s l 2 = 眨俪( 瓣( s ) 瓜丽) d s l 2 ( 胁汹) ( 胁肌似圳d s ) mfn ( 8 ) d 8 ，t t o ( 2 1 2 0 ) 利用条件- 4 ，我们有 厕n 需i 1 砒狐纠。，协地， 7 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 其中l 是正常数令 = 需乩 。 八如雌研阮需d 钍 - 2 = 研 2 一蔗需砒 - 2 = 研 2 - 淼厕d s 飓+ l 光扔确s 将( 2 1 2 0 ) 代入上式，得 ，c v c t ，呼 - 也+ ( f 。( ：叩c s ，d s ) 5 j 一2 因此。存在常数d 0 和t o t o 使得 ，( 掣( t ) ) 2 。 石 7 ( s ) d s 一1 ，t 而( 2 1 2 2 ) 将( 2 1 2 2 ) 式代入( 2 1 1 5 ) 可得 w 7 ) 一妒( t ) 口( t ) 4 - f ( f ) ，7 ( t ) 训( t ) 一d v t ，t o w 2 ( f ) ，t t o ( 2 12 3 ) 对于任一给定的t o2t o ，存在a ，b 和c 使得t o 口b c ，比较不等式 ( 2 1 4 ) 和( 2 1 2 3 ) ，我们定义如下t a o ( t ) = 妒( t ) g ( t ) ； a l ( t ) = f ( 咖7 ( t ) ； 8 曲阜师范大学硕士学位论文 南rh 如卜南吼。，卜 眨m 。， + 志z 6 卜s 川如卜赢吼s ，卜。u l 鹊 厂叩。)”2(s)，7(可(s”ds 黼，獍( 2 1 2 8 t t 2128jti )工1 + ，7 ( s ) 叫2 ( s ) ，( ( s ) ) d s 毛甓号美竿， 2 ) j 、y ， 联合( 2 12 6 ) 和( 2 1 2 8 ) ，我们有 y l ( t 1 0 ，t t o 矛盾定理2 1 1 证毕 定理2 1 2 设条件( 凰) 一( 风) 成立，假设存在函数妒c 1 【t o ，o o ) ，( 0 ，o 。) 】， 使得( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 满足，且存在日p ，使得 l i m s u p 耶 f ) ) g ( s ) 一硐1 味叫d s 。，( 2 1 2 9 ) 和 r tr11 1 1 攀p 眇8 ) 妒( 啪) 一瓦南吼s ) j 幽 o ， ( 2 工3 0 ) 对任意的z 【t l ，o o ) 成立，其中西1 ，圣2 ，d 和定理2 1 1 中定义的一样则方 程( 2 i i ) 是振动的 1 0 曲阜师范大学硕士学位论文 证明假设对所有的t f t 2 ，0 0 ) ，t 2 t l ，都有耖( t ) 0 在式( 2 1 2 9 ) 中 设f = n t 2 显然，在式( 2 1 2 9 ) 中存在c o 使得 z 。 j ，( s ，。) 妒( s ) a ( s ) 一i 硐1 圣 ( s ，。) d s 。 同样，在式( 2 1 3 0 ) 中设2 = c t 2 ，则存在b c 使得 f c b p ( 6 咖( s ) 如) 一i 万而1 嗍啪) d s 。 ( 2 1 3 1 ) 从( 21 , 3 1 ) 和( 2 13 2 ) 可以看出( 2 1 1 3 ) 满足因此，根据定理2 1 1 ，我们可 以得到方程( 2 11 ) 是振动的定理得证 如果我们选择h ( t ，8 ) 如下： h ( t ，8 ) = ( t s ) 1 ，t 8 t o 兵中a 1 为一常数，我们司以得到下面推论 推论2 1 1 设条件( h 1 ) 一( 凰) 成立，假设存在函数妒c 1 【t o ，o o ) ，( 0 ，o 。) 】， 使得( 2 1 1 0 ) ，( 2 1 1 1 ) 和( 2 1 1 2 ) 满足，使得 l i n l s u p 嘉， ( s _ 矿s ) - 蕊南( ，_ f ) 卜2 ( a 州咖( s ) ( s - f ) ) 2 d s 和 l i m s u p 击。卜) 如) 一蕊网1( 卜。2 ( a 州咖( 8 ) ( t 刊) 2 d s 对任意的f t o ，a 1 成立，则方程( 2 1 1 ) 是振动的 注2 1 1 当，( 鲈) = 引o s g n y ，口 1 时，定理2 1 1 和定理2 1 2 中的条件 ( 马) 一( 凰) 自动满足 注2 1 2 本文结果即使对方程( 2 1 1 ) 的特殊情况，即对文【2 】中的方程 ( 2 1 ) 和文【3 】中的方程( 2 2 ) 也是新的 注2 1 3 在本文结果中，我们不要求积分厂”高是收敛或发散，也不 要求阻尼系数p ( t ) 是个”小”函数因此，对o ( t ) 和p ( t ) 的限制较宽 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 2 1 3 应用 ( 南州) 一新t ) + 删删n 绯) = 。，。 l ， ( z 1 3 3 ) 们j 半 击+ 半 2 ，( 6 n _ 4 ) 删 0 ，( p ) 20 ，对y 0 ； c 也，”高 o o ，一高 。o ； e 风，厂需如 。 定义2 2 1 方程( 2 21 ) 的解即函数y ：阢，o o ) - r ，乃t o ，使得y ( ) 和r ( t ) 似) 都是连续可微的，并且对t 咒满足方程( 2 21 ) 我们主要研究 方程( 22 1 ) 的非平凡解( t ) ，即解剪( t ) 满足s u p t l y ( t ) l ：t n 0 对所有 的t l 定义2 2 2 方程( 2 21 ) 的一个非平凡解( t ) 称为振动的，如果它有任 意大的零点，反之称为非振动的方程( 2 2 1 ) 称为振动的，如果它所有的解 都是振动的 下面是方程( 2 2 1 ) 的一些特殊形式有e m d e n f o w l e r 方程 矿( t ) + q ( t ) l y ( t ) l o s g n y ( t ) = 0 ，a 0 ， ( 2 2 2 ) 和超线性一般方程 ! ，”( 0 + 口( t ) ， ( t ) ) = 巧( 2 2 3 ) 不久前，w o n g 在文【2 】2 中通过一般的积分方法得到了一些关于e m d e n - f o w l e r 方程( 2 2 2 ) 的振动准则，并且p h i l o s 【3 】得到了一些方程( 2 2 3 ) 的 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 所有解振动性的结论最近，俞元洪在文【l7 】中利用p h i l o s 【3 】的结果推广到 更一般的超线性阻尼微分方程( 2 2 1 ) 中，并得到了一些类似的振动性准则， 读者可参考文【1 1 7 】中的振动性结果这节的主要目的是推广和改进上述已有 的结论，得出关于方程( 2 2 1 ) 的解振动的判别方法并且本节引进了积分算 子匙，并且利用此算子将上述结果推广和改进到更一般的超线性阻尼微分方 程( 2 2 1 ) 中 2 2 2 主要结果 为了讨论我们的主要结果，我们引进一个文f 2 9 】中的算子及其性质，这些 将有助于我们的结论证明 定义2 2 3 设d ( a ，b ) = u c 1a ，6 】：u ( t ) 0 ，“( o ) = u ( b ) = o ) ，其 中【o ，6 】是f t o ，o o ) 的一个任意子区间，并且设p c 1 ( 【t o ，) ) ，在【t o ，。o ) 上 p ( t ) 0 ，我们定义一个关于h d ( a ，b ) 和p ( t ) 的积分算子雠如下， a ：( ；t ) = h 2 ( t ) h ( t ) p ( t ) d t ，o t b ， ( 2 2 4 ) 其中h c ( ，o 。) ) 很容易得知铫是线性的并且大于零，还有下列性质： a ：( 0 1 h 1 + 0 2 h 2 ；t ) = a l a ：( h l ；t ) + a 2 a ：( h 2 ；t ) ， a ：( 。；t ) 0 ，h 0 ， a d b ，。i ，d = 一a ：( z 等+ 告 ；t ) 一a ：( 1 z 等+ 告il l ；t ) c 。z s ， 这里h l ，h 2 c ( t 0 ，o o ) ) ，h c 1 ( 扛o ，o o ) ) ，并且口1 ，o z 2 都是实数 对于方程( 2 2 1 ) 解的振动性研究，我们得到以下结果： 定理2 2 1 设条件( 日1 ) 一( 上 ) 成立，假设存在函数妒c 1 【如，o o ) ，( 0 ，o o ) 】， 使得( 2 1 1 0 ) 满足，且 f ( t ) 0 ，( t ) 0 ，t t o ，( 2 2 6 ) 1 4 曲阜师范大学硕士学位论文 o o r ( s ) d 8 = o o ，( 2 2 7 ) 如果对任意的t t o ，存在口，b 满足t a 0 使得 蜘 硒1a ：( 珊等+ 外) ， z 邮( t ) 黼 ( 2 29 ) 叫7 ( t ) = 一妒( t ) g ( t ) + ( t 7 毛篆i _ 一：i 万1 石两叫2 。) ，( 可( t ) ) ( 2 2 1 。) 伽= 叫( 埘一r 妒( 咖( s ) 幽+ r ) 7 欲斋d s r 叩( s 旷( s ) ，b ( s ) ) d s 胁) 蒜如 。，i t o 煞jx ux 。 d s = 篡高鲥，高瑙 仁2 1 2 ， 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 其中k 0 是一常数因此，对t t o ，我们得到 t n c t ) l - t ：妒c s ，q ( s ) d s - ：叩c s ，叫2 c s ，c c s ，d s ， c z z ，s ， 其中l = k 4 - w ( t o ) 下面我们分三种情况来讨论 情况1 ，假设矿( t ) 是振动的，此时存在序列 k ) 。：1 ，2 在区间【t o ，0 0 ) 内，使得l i m 。_ + 。o t 。= 0 0 且”他。) = 0 ，m = 1 ，2 ，故由( 2 2 1 3 ) 给出 z 叼( s ) 叫2 ( s ) ，( ( s ) ) d s 0 和t o t o 使得 ，( v ( t ) ) 。 ：q ( s ) d s 一1 ，t 孔( 2 2 1 7 ) 将( 2 2 1 7 ) 式代入( 2 2 1 0 ) 可得 ( t ) 一妒o ) g o ) + f ( t ) 可( t ) 埘( t ) 一d v t ，t o w 2 ( t ) ，t t o ( 2 2 1 8 ) 由假设，我们可选择口，b t o ，和b 玩即对于任一给定的t t o ，存在o ，b 使 得t 0 ，t t l t o ，此时w ( t ) 0 ，t t l ，故由( 2 2 1 3 ) 式可得 ( 邢) 以坝出) ) d sl - t 出m 姚t t l j j 7 ( s ) t ，2 ( s ) ，国( s 妒( s ) 口( s ) d s ， t 1 注意到( 2 1 1 0 ) 式，我们有 f 水肌) ，s ) ) d 8 o o ( 2 2 2 1 ) 余下的证明与第一种情况相同故略去 曲阜师范大学硕士学位论文 情况3 ，假设y l ( t ) 1 ( 2 2 2 3 ) 从( 2 2 2 2 ) 和( 2 2 2 3 ) ，我们有 伽( t ) 0 使得 a ：c 吼d 硒1a ：( ；( 1 。筹+ 告l 一：) 2 ；t ) c z z 。s ， 则方程( 22 1 ) 是振动的 注2 2 1 当，( g ) = 旧r s g n y ，a 1 时，定理2 2 1 中的条件( 风) ( 三) 自动满足 注2 2 2 本文结果即使对方程( 2 2 1 ) 的特殊情况，即对文【2 】中的方程 ( 21 ) 和文【3 1 中的方程( 2 2 ) 也是新的 注2 2 3 在本文结果中，我们不要求积分i 是收敛或发散，也不 j a t s ) 要求阻尼系数p ( t ) 是一个”小”函数因此，对a ( t ) 和p ( t ) 的限制较宽 2 2 3 应用 例2 2 1 考虑下面的二阶超线性阻尼微分方程 ( t x - l y ( t ) ) 一t x - 2 y ( t ) + k t l l y c t ) 1 4 s g n y ( t ) = 0 ，t 1 ，( 2 2 2 6 ) 其中o 1 ，a 0 ，并且k = ( 2 + a ) 2 c 都是常数设h ( t ) = s i n t ，妒( t ) = t ， 且p ( t ) = t - ( 1 + 对任意的t 1 ，选择充分大的竹满足仰= 2 k t r 芝t ，并且 曲阜师范大学硕士学位论文 攀s i n 2 娼c o st 叫。中叶嘉p 1 咽l 。面卜阱”出 1厂( 2 + l p s 壶上。 ( 2 ) 2 出 2 3一类二阶超线性微分方程解的振动性准则 2 3 1 引言 在这节中我们考虑如下的二阶超线性微分方程的振动性 ( n ( t ) g 他) ) 74 - 口( t ) ，( 妙( t ) ) = 0 ，( 2 3 1 ) 其中0 口吲毗吼l e g ( 踟) ，且郇) o g ( t ) o i 厂斋= o o ， t t o 0 并且总是满足如下条件 第二章一类二阶超线性微分方程解的振动性 ( 岛) 厂而d u o o ，一高 o 。； c 凰，厂帮如 0 对所有 的t 咒 定义2 3 2 方程( 2 3 1 ) 的一个非平凡解u ( t ) 称为振动的，如果它有任意 大的零点，反之称为非振动的方程( 2 3 1 ) 称为振动的，如果它所有的解都 是振动的 下面是方程( 2 3 1 ) 的一些特殊形式