（机械电子工程专业论文）缆索动力学理论模型与仿真研究.pdf

中文摘要 掩曳缆索系统秘系泊缆索系绫在海洋工聪中肖饕广泛豹应用。缆索懿力学 特性关系刘这些系统的蜜全萑、w 靠性。本文扶静力分析出发，维喾了水下缆 索豹耱力平衡方程，并以锚泊线为铡给出了槽应离教模型的迭代计算步骤。由 予在水下工佟，影嗡凌索动力响波的因素缀多，这就决定了缆索动态髅黥静复 杂性。水下缆索的运动方程是一组高非线性的偏微分方程组，求解困难，本文 采用多体系统动力学方法瓣缆索动力特性进行理论分辑，建立了缆索多体动力 学三绻有黻段模壅。该禳燮耱绥索视兔一系弼其鸯不阉镑理特浚瓣渡跤掰往缆 段，系统可以包含多个开环分支或闭环分支。对子弹性缆索，用段间弹簧和阻 詹模羧缆索黪弹程。多舔系统动力学琶广泛疲蠲予簸天、车辆等镶蠛，将冀罱 于缆索的分析，可以略礅各缆段间约束力的繁琐计算，无需进行微分运黪，可 用予计舞大蠛运动或松弛缆索的遮动。 裰摇疆论分援，零文缓割了缆索辩装诗舞豹程黟，可遂孬缆繁戆稳惫分褥 和动力学计算。根据m o r i s o n 方程，考虑各项流体力即流体法向、切向阻力，流 终瓣熬蕨登謦蠡流落静蓬力熬影确，撵褥缆索豹魏愚运动方程，慕建霆狳热撂淳 塔g i l l 格式张时域内进行积分求解，得到缆索运动过程中的状态和张力。 作为理论分析的验诞，本文对小尺度缆进行动力学仿真，褥出自由释放的 镶霉器浮黎在下落窝主秀j 熏程孛各个露裂缆索懿姿态黪强力分布，势与实验结果 做了比较，吻合良好，袭螭本文所建的模型鼹撼确的。 关键字：蠢辍段法，多钵凌力学，拳动力学，辫期震鏊，镬溏线，缆索 a b s t r a c t t o w e da n dt e t h e r e dc a b l es y s t e m sa n dm o o r i n gs y s t e m sa r ew i d e l yu s e di n o c e a n e n g i n e e r i n g a n d t h e d y n a m i cp e r f o r m a n c e o fc a b l ea f f e c t s s e c u r i t y a n d r e l i a b i l i t yo f t h e s es y s t e m s t h es t a t i ce q u i l i b r i u me q u a t i o no f s u b m e r g e dc a b l ei ss e t u pf i r s t l ya n dt h e nas t a t i cc a l c u l a t i n gd i s c r e t em e t h o di sp r e s e n t e df o rm o o r i n gl i n e d u et ow o r k i n gi nw a t e r ，t h ed y n a m i cp e r f o r m a n c eo fc a b l ei sv e r yc o m p l e xa st h e r e s u l to fl o t so ff a c t o r st h a th a v ee f f e c t so nc a b l ed y n a m i c a lr e s p o n s e t h em o t i o n e q u a t i o no f u n d e r s e ac a b l ei sas e r i e so f h i g h l yn o n l i n e a rp a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s a n di sd i 简c u l tt ob es o l v e d s ob a s e do nt h em e t h o do f m u l t i b o d ys y s t e md y n a m i c s at h r e e d i m e n s i o n a lf i n i t e s e g m e n tm o d e lf o rc a b l es y s t e m si sp u tf o r w a r di nt h i s t h e s i s ，t h i sm o d e lc o n s i s t so fas e r i e so fb a l l - a n d - s o c k e tr i g i dr o d s ，w h i c hm a yh a v e d i f f e r e n tp h y s i c a l p r o p e r t i e s a n dc a b l em a yh a v em a n yo p e n - l o o po r c l o s e - l o o p b r a n c h e s c a b l es t i f f n e s so re l a s t i c i t y , i fi ti ss i g n i f i c a n t ，c a l lb em o d e l e db ys p r i n g s a n dd a m p e r sb e t w e e nt h es e g m e n t s m u l t i b o d ys y s t e md y n a m i c sh a sa l r e a d yb e e n e x t e n s i v e l yu s e di nt h ef i e l do fs p a c ef l i g h ta n dv e h i c l ea n ds oo n a n dw h e ni t i s a p p l i e dt ot h ea n a l y s i so fc a b l e ，n o n w o r k i n gi n t e r n a lc o n s t r a i n tf o r c e sb e t w e e nt h e s e g m e n t sm a y b ea u t o m a t i c a l l ye l i m i n a t e da n dt h et e d i o u sd i f f e r e n t i a t i o ni sn o l o n g e r r e q u i r e d t h i sm o d e lc a n b eu s e dt oc a l c u l a t et h el a r g ed i s p l a c e m e n t sa n dt h em o t i o n o f s l a c kc a b l e a c c o r d i n g t ot h e o r e t i c a la n a l y s i s ，c o m p u t e rp r o g r a mh a sb e e n d e s i g n e dt os t u d y t h ed y n a m i c so f c a b l ei nt i m ed o m a i n b a s e do nm o t i s o n e q u a t i o n ，t h ee f f e c t so f f l u i d d r a g ，a d d e dm a s sa n db u o y a n c ya r ei n c l u d e d ，a n dk a n ed y n a m i c se q u a t i o nh a sb e e n o b t a i n e df o rc a b l e t h e nn u m e r i c a l i n t e g r a t i o n o fe q u a t i o n si s p e r f o r m e db y r a n g e - k u t t ag i l lf o r m a ta n dt h et i m eh i s t o r yo ft h er e s p o n s eo ft h ec h a i nc a nb e d e r i v e d ： t ov a l i d a t et h ep r o p o s e dm o d e l ，t h es m a l l s c a l ec a b l ed y n a m i c sa r es i m u l a t e d a n dt h ed i s p l a c e m e n to ft h ec h a i n sa tg i v e nm o m e n t sa n dt h et e n s i o no ft h ee n d sa r e o b t a i n e d t h em o d e l i n gr e s u l t sa r ec o m p a r e dw i t ht h es m a l l - s c a l ec a b l ed y n a m i c s e x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n dt h ec o n s i s t e n c ei sg o o d ，w h i c hi n d i c a t e st h a tt h i sm o d e li s p r o p e ra n d a c c u r a t e k e y w o r d ：f i n i t es e g m e n tm e t h o d ，m u l t i b o d yd y n a m i c s ，h y d r o d y n a m i c s ，a d d e dm a s s ， m o o t i n gl i n e ，c a b l e 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师搬导下进行的研究丁：作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的磅究成暴，也不包禽为获褥天鎏大熊残其弛教育机构的学位或证 书焉谈强避瓣毒手麓。与我一霾王嚣敦两恚对奉磷究瑟秧懿程霞贡麸臻恐在论文中 作了明确的说明并表示了潜意。 学位论文作者签名：鸯司溉 签字日期：2 够年j 月2 - 日 学位论文版权使用授权书 本举位论文作者完全了解基壅盘堂有必保留、使用学位论文的规定。 特授权吞盗盘芏可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家礴关部门或枫构送交论文的复印件和磁盘。 ( 绦爨羚学位论文在籍臻嚣逶趸本攫寝说餮) 学位论文 乍者签名： 孪獬 签字蠢期：二孵多年f 兵2 隧 名：划弩 签字瓣期：凇岁年，雳三霞 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多体系统动力学发展概况 很多机械系统，例如机器人、链、缆索、天线、人体模型”域其它生物系统 等，皆可用若干刚体或柔体组成的系统模型予以有效的描述，这些系统和模型 称为“多体系统”0 2 。 多体系统动力学源自于1 8 世纪, e u l e r 、l a g r a n g e 等人奠基的经典刚体动力学。 经典刚体动力学的主要研究对象是单个刚体，或由少数几个刚体组成的简单的 拓扑结构系统，其研究成果可以解释一些重要的力学现象。人类进入2 0 世纪5 0 年代以后，科学技术和工业生产进入了一个快速发展的新时代，以先进制造技 术中的机器人、航天工业中的太阳帆板和机械臂、车辆中应用的复杂空间机构 等为代表的多刚体系统在实际工程的各个领域得到了广泛的应用 1 1 1 4 1 8 】 9 1 。对于 这些拓扑结构比较复杂的多刚体系统，用传统的经典刚体动力学已经无法解决 其复杂的动力学问题，因此必须代之以一种全新的方法。多刚体动力学正是在 这种背景下诞生的。多体系统的动力学是综合了剐体力学、分析力学、计算力 学、材料力学、生物力学等学科的成就，在航天、航空、机构学、机械制造、 仿生假肢等机械工程领域经过多年应用实践逐步发展起来的一门古老而又高新 的技术学科。北大西洋公约组织在1 9 9 3 年召开的高级技术研讨会把多体系统界 定为刚性和柔性机械系统。刘又午教授等认为，多体系统是对一般机械系统和 机电系统的高度概括和总结f 1 3 】。 进入2 0 世纪7 0 年代，由于对高速、轻质机器人，车辆等复杂机械系统的 高性能、高精度设计要求，特别是由于航天器飞行稳定性、姿态控制、交会对 接的需求和失败的教训，使得多体系统动力学由多刚体系统拓展至多柔体系统。 多体系统中的柔性问题首先在航天器的动力学分析中被提出来。卫星天线、太 阳能帆板的伸展长度与其自身长度相比可以大到几倍甚至几十倍，弹性变形、 振动对系统的姿态稳定与控制精度的影响不可忽视。因此，众多的多体动力学 学者把研究的重点由多剐体系统转至多柔体系统 】，使多体系统动力学的研究 进入了一个崭新的阶段。 传统力学对于自由度数目较少的多体系统可以求出精确解，而当研究的目 第一章绪论 标多体系统较为复杂，自由度数目成倍增加时，传统的解析方法就显得无能为 力了。一般说来，如果多体系统包含3 个或3 个以上的物体，不用数值解法， 几乎不可能求出基本方程的解【”】。2 0 世纪7 0 年代，随着计算机技术的普及和发 展，使得多体系统的复杂运算成为可能。美国辛辛那提大学的r l h u s t o n 教 授和天津大学的刘又午教授共同创立了多体系统理论中关于体空间拓扑结构描 述的低序体阵列和求解k a t i e 方程的变步长r u n g e k u t t a 数值积分方法，利用计 算机程序反演k a n e 方程并用数值积分的方法求解。与计算机科学的结合，是多 体系统理论发展史上的一次飞跃。 国际上基于多体系统动力学，已发展了a d a m s 、d a d s 等十多种颇有影响 的商业化软件，欧美的工程师应用此类软件生产复杂机械系统的“虚拟样机”， 可真实地仿真运动过程，迅速的比较其多种参数的方案，直至获得优化的工作 性能，从而大大的减少昂贵的物理样机制造及试验，提高产品设计质量和大幅 度缩短产品研制周期，对市场作出快速响应。 国内对于多体系统动力学的认识开始于1 9 7 7 年出版的w i t t e n b e r g 著作的传 入，k a n e 、r o b e r s o n 、w i t t e n b e r g 、s c h i e h l e n 、h u s t o n 等国际知名学者相继来访 讲学，以及我国学者的出访，激起了我国力学、机械工程、航天工程等领域的 科技工作者的广泛兴趣。十几年来，国内在理论研究和实际应用两个方面都取 得了显著进步，形成了自己的特色。我们在一些单项技术和某些工程应用已经 达到国际先进和领先水平，但总体上，还比较落后，特别是在具有自主版权的 软件方面，还远远落后于国际。在全球经济一体化、知识经济初见端倪的世纪 之交，大力发展中华民族的软件产业，特别是多体系统动力学的软件产业，以 期为我国的先进制造技术提供重要的技术支撑将是十分迫切的。随着我国航空、 航天、机器人技术、机械工业等行业的发展，将对复杂的大型多体系统( 包括机 械、电子、液体晃动、控制等) 提出越来越多、也更加复杂的分析要求，因此， 国内多体系统动力学面l 临十分艰巨的任务。 1 2 缆索的应用 1 2 1 海洋开发与缆索 今天，由于科学技术的发展，人们已经从对帷幕掩盖下的神秘空间海 第一章绪论 洋产生僮憬的时代，进入开发和利用它的时代。已故美国总统肯尼迪留下了( 海 洋是) “地球上剩下的唯一处女地”的明言，向我们提示了开发海洋的第一步。 从那时开始，美国，继而俄国法国等国的海洋开发技术已经取得了令人瞠目的 进展。 海洋中蕴藏着极其丰富的资源，海底石油、铀等都是人类所需要的能源。 但是充满着无数传奇的海洋至今依然是一个未知世界。为了把它改造成我们的 生活空间，首先必须从了解海洋开始。为了了解海洋，需要进行生动活泼的技 术开发活动。科技工作者也就要研究许多技术，以此来探索海洋。 二十世纪6 0 年代开始提出“海洋工程”的概念，在近三、四十年以来随着 海洋石油、天然气等矿产的开采，海洋工程逐步发展充实起来。按照海洋开发 利用的海域，海洋工程可分为海岸工程、近海工程和深海工程，但三者又有所 重叠。 海洋开发离不开缆索系统。在海洋打捞、救生、抢险以及水下施工、石油 开采、资源调查等方面，都会遇到缆索问题。近几年，由于深潜器的广泛应用， 使得对缆索问题的研究越来越多。据有关资料，缆索对有缆深潜器的作用占深 潜器承受周围所有作用的半以上。在科学研究方面，船舶拖曳水下报象机、 仪器包及水下水听器列阵要用到导缆或电缆；在军事方面，潜艇拖曳声纳和通 讯天线需要导缆；在海洋工程方面，平台在海上作业，水下、水面浮标收集海 洋信息资料都要用到缆索，进行水下作业的脐带缆系统就更离不开缆索了。因 此，在对海洋开发的同时，对缆索的研究也就出现了。 1 2 2 缆索在海洋工程中的应用 缆索在海洋工程中有着广泛的的应用。首先，对于水下拖曳系统的设计和 控制，水下缆索的建模是一项关键性的工作。该类系统主要用于水下勘探和测 量，所用缆索一般为长缆，一端连接到母船，另一端通过球铰连接到被拖曳体的 任意部位，用于与被拖曳体通讯，并为其提供动力。典型的拖曳系统如由母船( 或 称拖船) 、拖缆及拖体三部分组成的深海勘探设备深拖系统，它可以在接近 海底的条件下进行海底地质地貌的勘探和海底视像的观察和记录，是调查深海 矿产资源的最有效手段。水下系统如系缆机器人等通过缆索连接到母船，由于 缆索牵力的存在，其动力模型非常复杂，包含很大的不确定性。一种粗略近似 将缆索牵引力视为不可测的干扰力，且潜体位于水下定深时为一定值，这种情 第一章绪论 形一般并不符合实际情况，因为它没有考虑水流对缆索的作用、进而对缆索牵 引力的影响。因此水下缆索的动力学建模非常必要。拖曳系统缆索动力学模型 共同点是缆索上端约束，即必要边界条件，一般为指定位移，下端为自由端，力 边界条件起作用，即自然边界条件。 其次，缆索在对船舶、浮标和海洋平台的系泊中起着重要的作用。其中浮 标锚泊系统是一个复杂的物理系统，该系统由以下三部分组成：在上端是一个 表面浮标；一条特性沿其长度可能不同的缆：沿着缆布置的中问物体和下端的 锚。一般的浮标锚泊系统在波浪以及风流等环境条件作用下，其动力响应和锚 泊线的载荷确定是一个较复杂的力学问题，系统的受力关系到其安全性。浮标 体及其锚泊系统是一个整体，在波浪等外力作用下，其运动和受力相互影响， 相互耦合，这使得求解锚泊线或浮标的动力响应变得极为复杂。浮标锚泊系统 的约束不同于拖曳系统，锚泊线的特点是下端固定，上端的浮标或潜标等在风、 浪、流和缆索的综合作用下运动。在研究一般缆索动力学的同时，本文对浮标 锚泊系统进行了专门的研究。 r3 缆索动力学的研究方法 缆索般为完全柔性( 理想情况) ，不能传递弯矩，不能承受压应力，缆索 的这特性决定了它将具有无法预知的非线性几何形状。再者，缆索承受着非 线性的流场力，且它的刚度取决于缆索系统的运动状态，这就决定了缆索的高 度非线性动力响应。因此对缆索的分析需要特殊的方法，这些方法可归纳为两 类：频域解法，所有的非线性项都要进行线性化，认为动态量是静力平衡位置 上的摄动小量，质量、附加质量、刚度等不变；时间域解法，该法在模型化时 可考虑所有的非线性，在每一个时间步上，对每一个质量项、阻尼项、刚度项 和载荷项需重新计算。下面对些具体方法作简要介绍。 线性频域方法：该方法首先将非线性的缆索动力方程应用摄动展开，将其 简化为线性方程，推得摄动一阶方程，对其应用频率域的解法求解。如在锚泊 系统中，认为位于海底的锚泊线固定不动，锚泊线上端点的运动与浮标体的运 动相耦合，即为所谓的两点边值问题，可以通过g o o d m a n l a n c e 法求解， 从而解得上端点为给定频率的正弦振荡时的动力响应。频域法的优点是可以立 即得到稳态简谐响应( 无需等待瞬态过程消失) ，还可以减少得到缆系统动态响 第一章绪论 应所需的计算时间，但它忽略了所有的非线性效应，它的应用因此受到了很大 限制。 特征方法：将缆索的偏微分动力学方程化成常微分方程组，并沿特征线或 波前积分，该方法能提供缆索各模式的运动，但求解的时间较长。 直接积分法：属于解析法。即用偏微分方程数值解法对缆索动力学的数学 模型直接积分，其中有限差分技术应用较广。这种方法对运动矢量方程向选定 的三正交轴投影获得三个运动偏微分方程，加上三个运动几何关系约束方程共 六个偏微分方程。该组方程以缆索上任一点到参考点的未拉伸的弧长和时间为 自变量，以缆索张力、两个方向角和速度的三个分量为因变量，或以拉力的三 个分量和速度的三个分量为因变量。由于偏微分方程组形式复杂，非线性特征 明显，不可能求得解析解，直接积分法通过寻求对偏微分方程适合的数值积分 方法求解系统的动力学响应。但积分算法的精度和效率往往不能兼备。 集中质量法口】：缆索在流体中运动时所受流阻力往往远远超过了它所受的重 力和惯性力。此时用集中质量取代缆索的分布质量，即集中质量模型是由端部 相连的无质量刚性杆组成，质量和流场力均集中在连接节点处，模型中的杆都 是二力杆。很多情况，这种模型可以在不损失精度的同时大大提高运算效率。 有限元法：一种强有力的数值计算工具，可以称为是一种万能方法，因为 它具有很强的通用性。除缆索外，在绝大部分工程中的结构、部件如汽车、船 舶、飞机、管路、壳体等中得到了极为广泛的应用。它可以进行静力、动力、 疲劳、接触等等分析。对非线性和失稳问题它也可以获得较高精度的解。在有 限元法中，多自由度的运动方程可写为m d + c d + k d = f ，其中d 为节点位移， m ，c 和k 分别为结构质量、结构阻尼和刚度矩阵。 有限段法：采用离散思想，非常适合缆索的动力学建模。本文采用这种方 法。对经历大范围、不稳定的、三维运动的缆索，它可以求得高精度的解。根 据采用力学原理的不同，有限段法可以得出形式不同的数学模型。力学原理包 括动量原理、达朗贝尔原理、拉格朗目方程、哈密顿方程、布兹曼哈梅方 程、吉布斯方程以及凯恩方程等。从某种意义上讲，所有的方法都是等效的。 缆索离散为一系列有限段后，可视为多体系统。在多体系统中，最常用的应属 “牛顿欧拉法”和“拉格朗日”方法。但是凯恩方程更适合多体系统建模， 因为它兼有牛顿欧拉和拉格朗日方法的长处，而无其缺陷。凯恩方法引用 广义力，从而避免了牛顿法中对物体间相互作用力和约束力的繁琐分析；同时 第一章绪论 凯愚方法中又不用能量函数，也就不存在拉格朗嗣法中对个标量能爨函数进行 取导运算所遇到的数值困难。因此本文应用休斯顿多体动力学理论，采用有限 段离散模测，将连续的缆索离散为一系列铰按而成的刚性缆段，用凯恩方程构 建系统运动学方程，这是一缀以时间为变量的常微分方程，易于数值积分求解。 毒陵段方法豹杏效洼在于它可滋透粒夔模熬缆索熬耱癣澎获，缳持瑟系统熬震 量分布特健，并根据m o f i s o n 方程充分考虑俸焉予各段的流体阻力、浮力和附加 质量。缚个缆段可具有不同的长度、直径、密度和惯量，用于建模非匀质、变 截面的链条或缆索。若考虑缆段的刚度或弹性，则可在缆段间引入弹衡和阻尼( 这 些弹簧和阻尼不定是线性的) ，处理为节点弹性约束。 4 本文的皇要袋究内褰 第一罐绪论，对多体系统理论、水下缆索动力学建模方法作筒骚的介绍和 评价，计划本论文的工作。 第二章对休斯顿多体动力学理论进行了深入的论述：多体系统的拓扑结构 攒述，运淤特征量捶述，约袋处理，瓤愚动力学方程及鼗蓬瓣豹髂黪步骤。著 遂一步猿鼯了有藤段法豹基本公式。 第三窜推导了缆索静力学、动力学完整的遴续数学模型。将多体理论框架 应用于缆索，建立了缆索三缎有限段模型，推导了考虑全部流体力的缆索的凯 恩动力学方程。 第熬警介绍根攥第三章攥譬结果编裁豹缆索黪力秘动力计算程黪。 第五黎捷侯海洋缆索系绫豹仿真实镶验涯了羧痔豹歪确往蠢有效魏。 第六颦是论文的总结。 第二章多体系统运动力学理论 2 1 引嵩 第二章多体系统运动力学理论 多体系统理论包括运动学鞠动力学两个方舔。运动学研究和分拆各个体之 间运动关系，而不考虑产嫩逡动的原因，它是研究动力学的基础。多体系统动 力学是i 成十年来发展起来的力学新分支，在航天、海洋、机械和生物力学领域 得到了成用，取得的效果十分恩著。对于机构、机器人、车辆和航天器等机械 或规电缀合静系统，殴及人体模型，链和缆索均w 归结为多体系统熬李爨象模型。 本文磅究的出发点是将多侮韵力学理论应鬻予承下缆索的动力学分褥，雳多个 铰接刚性段的有限自由度近似无限自由度的缆索，即连续体的空间离散，解决 拖曳( 如慈缆水下机器人，r o v 等) ，浮标、船舶系泊等海洋工程中的问题。 2 2 多体系统运动学】 2 2 。1 够体系统瘫手| 、结构擒述 多体系统形式多种多样，特别是当系统体数较多时，多体系统的结构千变万 化，对多体系统拓扑结构进行描述，是多体系统理论的基本问题。也是形成通 用性理论方法豹关键闽题。会璎豹拓扑结构可以麓化计算过程，达到潦半功倍 弱馋趸。逡今黠弦势缝穗戆攥遂 l 较残凌蠢应翅j “泛戆方法主要舂鼷耱：一是 潮冬l 一般多体系统 第二章多体系统运动力学理论 6 0 年代束罗伯森( r o b e r s o n ) ：葶疆维滕堡( w i t t e n b u r g ) 蓠先提出的关联矩箨和通路矩 阵的描述方法；二是7 0 年代后期由休斯敦( h u s t o n ) 发现并成功应用的较低序号 体联阵列的描述方法【4 ”。在举文中我们使用的怒由休斯敦创立的较低序号体联 阵列( 简称低序体阵y o ) 的方法，这种方法是多体系统数值计算应用计冀枫强大功 链的基磷。 考察强2 。l 所示翦一簸多体系统，休额敦提滋豹低序体阵剜静标瓮愿掰是这 样的：任选个物体l ( 或最) ，然后沿远离且的方向，依增长数列标斑每个物体 的序号，从系统的一个分支列另一个分支，直到全部物体标定完毕。图2 1 所示 是一个开环多体系统的低序体阵列的标定结果。对于闭环多体系统，可以将其 转化为辩蠢特定约素豹开环多俸系统寒处理，敬叛下汉以开嚣多体系统冀倒说 臻低旁体阵捌鲍建立方法。 对于两个相邻典型体来说，我们把较低序母的物体称为低序体，而把较高 序号的物体称为高序体。考察图2 1 所示的多体系统，除且外，每个物体都有 一个相邻的低序体，令r 为待研究系统所在的参考系，把r 看作鼠的低序体， 则霞的序鼍应为0 。游各典型髂麴翱邻低痔体的净号按典型体的颓痔摊成一列， 蠲三疆臻疑表示，目露还要定义f o = o 丞0 ，这弹露于瑟2 。l 溪示豹典垄多 体系统，其各体的各阶低序体w 排成表2 - 1 所示阵列。 袭2 - 1 较低序号物体阵列列袭 r 女) 1234567 891 0l l 互l 0l233l 677l1 0 上2 ( 七) ool22ol66ol f 任) 0001l0o1loo 4 忙) 0o0000 00000 系绞中簿令秘体靛低j | 葶钵澎号，建国表示，l 表示求舔彦落鼹髯子，k 表 示浚物体的序号，且补充定义嵇) = t ，三( o ) = o ，它满足 f 积) = 三陋一1 ) )o ，为难攘数) ( 2 - 1 ) 低序体阵列三 ) 描述了开娣多体系统的拓扑络构特点，同时，它又舆有镄显 第二牵多体系统运动力学理论 的数字特征： 在l 1 仅) 这一行中未列出的体序号即为系统中的末端体，如 b 4 ，b s ，b b ，b 9 ，b u 诲 在l 岱) 中重复出现j 葶号的即为分支体，如马，君3 ，曰，体 在三l ) 中仅疆现一次的静为中闯体，如岛，魄，昼。体 对任一典型体b 。，其低序体阵列必唯一 也就是说：多体系统的任何个物体，都可隘透邋其低彦体阵裂追溯至l 它 与惯性参考系的关系。这是十分重要的，因为在对系统进行动蜮仿真处理时， 需要各个体相对于镤往参考系瀚运动学参数，铡鲡，嫩标位嚣、方位角度、遮 度、角速度等。 2 2 。2 多体系统运动学特征量的描述 多镲系统运凌学熬特征量畿括摇述系统中备体豹黩藿彝姿态、速度帮角速 度、加速度和角加速度三大类。在用于描述这魑特征激的数学工具中，最基本 豹是矢爨搐述移动) 霸麓箨( 接述转动) ，其次袁方爱囊( 如敬拉蹩、广义敬拉焦) 、 伪坐标、四元数、旋量、齐次嫩标等 4 2 1 。这些数学工具都有其各自的特点，程 本蒺土又有内褒戆联系。 方位角具有直观的物理意义。用方位角描述多体系统运动学的特征鳖时，方 位是的蹲数可霹为 矗= l s 8 ( o 咚c o 一0 c 口 声= 乞+ 鸭嚣 l 尹= 慨q 一( - 0 2 s o ) c p ( 2 2 ) 式中，口、芦、，为系统中相邻体的方位角，峨( 后= 1 ，2 ，3 ) 为相邻体间的 稳对角速度分爨，& = s i n a ，& = s i n p ，c o = c o s a ，c p = c o s p 。鬏摇戏由数镶 积分可求得相威方位角。但是，当c 。= 0 ，即= 9 0 0 时，方程会出现奇点。遮 j 孛毒点会妨碍露效豹求解多薅系绞基本动力学方程豹数篷解。采爰疆一位豹嚣 元数即欧拉参数法可以避免奇点的出现。 欧柱参数蹙义蘩下 第二章多体系统运动力学理论 ：瑚 虽然欧拉参数有4 个，但是独立的只有3 个，因为存在下面的等式 占l2 + 占22 + 岛2 + 占4 2 = 1 所以系统中各体的角速度可用欧拉参数表示为 朝阵 一占2 一毛 矗 = ：陋料 ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 其中的系数矩阵 e 】是正交矩阵，c o 。( 女= 1 ，2 ，3 ) 为相邻体间的相对角速度分 量，而珊。= 0 ，因此又有 岛= 圭b q + 岛0 ) 2 - - e 2 ( 0 3 ) 岛= 丢( - 蚋+ 氏：+ 柏) 南= 圭如q 一置吐+ 日屿) 岛= 圭( _ q q 一足由：一乇毡) ( 2 - 6 ) 由式( 2 6 ) 可知，采用欧拉参数描述体间相对方位不会出现奇点问题，对( 2 6 ) 式 进行数值积分即可求得相应的欧拉参数。 2 2 3 多体系统中约束问题的处理 多体系统理论的休斯敦方法将约束总结为下述三种：接点约束、构造约束、 外部约束。接点约束取决于接点的物理性质，限制了相邻物体间的相对运动。 当多体系统中具有闭环或当两个非相邻物体间有特定的相对运动时，即出现构 造约束。对于一个或多个物体具有系统以外的某个参考系中的特定运动的情况， 可以用外部约束进行描述。构造约束和外部约束是对系统运动限制的更为普遍 厕缸鼠如 2 第二章多体系统运动力学理论 的形式。这三种约束形式基本上析覆盖了实际机械多体系统的约束形式。 2 2 4 多体系统中典型体的几何描述 多体系统运动学研究分析多体系统中各个典型体的运动，而不需要考虑产生 运动的原因，它是研究动力学的基础。对于多体系统中典型体的运动过程分析 是在多体系统理论的指导下，采用矩阵变换的方法，得到典型体的空间状态。 休斯敦在对多体系统运动学进行分析时，针对运动学参量采用了相对参量体系 ( 相对位移、相对速度和相对加速度) 。这样对于多体系统中任何一个典型体鼠 的局部运动学特性的描述都是基于与其相邻的唯一低序体而言的。这也暗示， 要想知道典型体的运动学特性就必须知道该典型体的低序体相关运动学特性。 图2 - 2 多体系统典型相邻体的局部坐标系 考察如图2 2 所示的典型相邻体e 和b 。，( ，= 上 ) ) 。r ，为低序体b ，的局 部坐标系，r 。为低序体峨的局部坐标系。现以n “表示行，得 ；胪6 ；。；。乒肿岛；。：乒时6 ；。二。乒。，( 其中f = 1 ，2 ，3 ) ( 2 7 ) 即有如下矩阵表示 层 僻1 畅i m z 惦，j 且s 为正交矩阵，s 7 = s 一，所以又有 ( 2 8 ) i墨屯墨 l 2 3 s s j ，l = 第二章多体系统运动力学理论 ：s 一1 _ n j l 呻 ”j 2 一 n j 3 惦 也即# 。 ：s 。# ，海 ；。 ：s 7 每， ( 2 9 ) ( 2 - 1o ) 同理，对于如图2 1 所示的典型多体系统，由式( 2 7 ) 可以建立相邻体间的局 部坐标系关系，沿着多体系统某一分支由惯性参考系r 出发一直递推到该分支 的末端体，即有如下的关系成立 s o j = s o j s 0 2 = s 0 1 s 1 2 s 0 3 = s o i s j2 s 2 3 s 0 4 = s 0 i s l2 s 2 3 $ 3 4 s 0 5 = s o i s i2 s 2 3 s 3 5 s 0 6 = s 0 i s j 6 s 0 7 = s 0 1 s i 6 s 6 7 s 0 8 = s o ls i6 s 6 7 s 7 8 s 0 9 = s 0 1s l6 s 6 7 s 7 9 s o j 0 = s o i s i i o s 0 1 1 = s 0 1 s l l o s l 0 1 1 ( 2 11 ) 式( 2 1 1 ) 描述出了图2 1 所示的多体系统各典型体相对于惯性参考系的变换 矩阵。在求解过程中只要知道其相邻低序体相对于惯性参考系的变换矩阵和其 相对于该低序体的变换矩阵，就可以得到最终的结果，可见低序体阵列在多体 系统运动学求解中起到了决定的作用。 2 3 多体系统动力学基本理论 考察如图2 1 所示的多体系统，具有以广义坐标y ，( ，= 1 ，z ) 表征的疗个自 由度。描述本系统的凯恩动力学方程为 一+ 巧+ = 0( ，= 1 2 ，m ) ( 2 1 2 ) 第= 牵多体系统运动力学理论 广义惯饿力曩可表示为 群= 一a t p x “。一啊 式中强。鞠趣为 和 d 舡= m k l 嘻m + i b 。p 畦扣时 ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) 岛拦够 v 渤v 旬辫x p + ，毓妇枷x p + g r s m 气。国枷，如，姆。x ，工口 ( 2 1 5 ) 定义为石垒巧- h , ，再孀广义速率m ( = l ，栉) 敬代毫表征系统运动，剐运动 力学方獠可写为 y ，= z ( 2 - 1 6 ) 注意戮，溷个酚l j f o k m 、斑；。、￥。、嚷。与广义遴率势一起决定了系统豹运动 学将链。豳个阵列是基本运动力学方程酶“缝念模浚”，它们在多髂韵力学分聿厅 中起了中心作用。下面将对多体系统的运动学联论及其数值解的解辣步骤进行 论述。因为如果多体系统中包含3 个以上的物体，不用数值解法，几乎无法求 出其基本方程的解。曾先推导多体系统的四个基本运动学阵列 印| 、掰女、”护嚷。 令淹毯系统韵一个黎甏髂，逶在溪镶系震中的蹙速凄露袭示为 = o ) x 。l m y t r t 。，式中，。) ( _ j = l ，；f = l ，h ；m = l ，2 ，3 ) 为偏角速度阵列 的分量；y l 为广义速率；为固定在惯性参考系冀中的正交单位向激；n 为系 统中的物体数，竹为整个多体系统的自由度数，对于无约束的多体系统”= 6 n 。 在多体系统运动学中通常如下定义广义速率 儿= ( o h( f = 3 ( k - o + r ；1 - i - 3 n ) ( 2 - 1 7 ) s 。h ( z = 3 ( 女一1 ) + 聊+ 3 ；3 + 1 s ，蔓6 _ v ) 有了上述广义速度载定义，藏瑷接导窭多镕祭统运动学豹疆个蘩零终捌帮 第= 章多傣系统运稳力学莲谂 惫逮菠、建鸯嚣速疫、凌心速度、簸心热速凄等逡动掌参数。 媳型体瓯的角速度蔷- = c o k l m y ，；。( 2 t 8 ) 其中臻始速度为 | 掰廊 ( d k t m = s o j 1 0 i = i ，2 ， - ，3 ( k - 0 ；j = l ( k ) ) l = 3 k - 2 , 3 k - l , 3 k ；脚= l ，2 ，3 ；p = l 一3 ( k - 0 1 ( 2 1 9 ) ( 3 k + l 基，6 n ) 熊裂体坟的角加速度为c z k = 三f o k = ( m 。如菇m l = ( 柚五+ o mm ) i 一 ( 2 2 。) 上式中偏南速度分量的母数0 。又可以表示为 0 4 k l m 黛 伽 l = 1 2 。3 ( 七一1 ) ；歹= 三( 是) ) 。二，f f = 3 女一2 ，3 k 一1 ；3 k ；m = l ，2 ，3 ；1 删”l p=t-3(k-p t 1 ) il j 0 ( 3 k + l 6 n ) 典型葵魏麴矮心速烧为玉= v ；t , n y ；n 。 而其偏涟度分璧为 、l 3 ( 2 - 2 t ) 旺一2 2 ) 础w 协3 n + i 墨l _ 6 n ) 驰护m 瞒n ( ”) ( 1 姚3 意) ( 2 彩) + 抽，婚。s d 爱o f s = s ，。配v = 彰女) ，r 露) = 1 ) 0 ( 3 k + l - l 3 n ) 赡型体风的质心加遮度赢为 第三拳多体系统运动力学理论 玩= ( k 。m 二。) ：= ( ；，+ ：mm 品。 两其德逮壤分量的导数 v 柚 = hl | q 枷m s o s 。( q 。十) l t = ola + 杰8 t h r 。赢。( 十瓦) 1+ | c 。姗m ( 十瓦) | t = 0lj r 2 2 4 ) ( s = s ，= 世，v = i g ( k ) ，s = z “( 世) ) f 墨) = f ，1 l - 3 k ，s ”= y ， p = 3 ( v - 1 ) + n + 3 n i i 十fe t h 。s o s s ml t * 0lj ( + ( o d t s o k , r 。+ 0 3 s o k a 一) + 岛m l 柚一1 0 ( 3 k + i ；3 n ) 女( 卜3 冲( 3 n + l - l - 6 n ) ( 2 - 2 5 ) 以上是多体系统运动学的四个基本阵列，由凯恩方程( 2 1 6 ) 求解y 。，就可以 褥到一缎能誊接楚翊微分方穰数值解法的方程。即 y ，= 强t p - 1 f ( f ，p = l ，6 n ) 再引入4 n 个欧拉参数方程 ；t t = = 圭( e 。三t t + e 。，；，k 2 - - e k 2 盎t ，8 “2 三1 8 “+ 8 ”j ；* z ：= 丢( s 。，；k i - i - f ；k 4 惫z + s ；，三e ，) 敬22 j 1 吨” 托“繇3 j ；t 。= = 圭( 。：盎* - 8 。，盎t ：+ 。t ，) e k 4 = 圭( s 。，未t ，- e 。：；，k 2 - - e k 3 盆。，)虱- 强2 蛳叫 5 ( 2 2 6 ) ( 2 - 2 7 ) 第二牵多体系境运凌力学理谂 薅式簦一1 7 ) 、( 2 2 、0 - 2 刁缀合怒寐，蠹藏鬻激袋毽( 3 n + 6 n + 4 n ) 共1 3 n + 寒 知逡动变量，包括3 个位移变壁( k = 1 ，2 ，n ；n = 1 ，2 ，3 ) 和6 个广义速率 m ( ，= 1 ，2 ，6 ) 及4 个欧撞参数( k = l 2 ，；f = l ，2 ，3 ，4 ) 。以上多体系统运 魂学方遐缝蹙基于玉约寨瓣魏爨方程组，德救多髂系统豹运动学分援中都会 碰到菜些特定的运动约束，这些遮动约束通常可表达为妇下的形式 b ”y ，= g 。= l 2 ，m ；p = 2 。n ；m k ) ( 2 2 8 ) 写成徽阵的形式为 b y = g 其中转为运动绞索矩薄，褥由藏溪动绞索孳| 越黪广义终寨力为 f 。= b 丸 出此霹褥到繁骞运动学约求越嚣突整多律系绫熬动力学方程 a y = f 4 - b 7 童 设矩阵c 为趱动约束矩降b 的正交补矩阵，则有 b c = 鳇c b 7 = 0 式( 2 3 1 ) 两边瀚乘以正交补矩阵c 的转置矩阵c ，可得 c 7 a y = c 7 f 该方稷满去7 运动约柬熬影晌， 多体系统的究熬方程缝 阱= 酬 挖+ 2 9 ) ( 2 - 3 0 ) ( 2 - 3 1 ) ( 2 3 2 ) ( 2 - 3 3 ) 对式( 2 2 9 ) 取学并联立式8 3 3 ) & p 搿键运韵约束 ( 2 - 3 4 ) 盘土式联述方程缝霹骧麓爨n 令广义速率矗( 筘= l ，2 ，撵，势遴嚣袋密豢鸯运 第二黎多锌系统远霸力学迸谂 动终采黪棼宠整多菇系绞瀚鍪运动力学及运麓学耀美参数。 2 4 梁式柔性体的有限段方法 2 4 ， 鸯隰段方法篙奔 然簸颧援国有限段滚趱予瓣决粱式柔蛙豁。缓索可以看终黎式黍爨豁豹一 个特例。圈2 - 3 是将弹性秆表示为系列由辆向弹簧遴接的刚健秆浚的有限段实 , n t l2 1 。 r 一 f，一f i 移 领徽汇二二删 二二凇徽汇二二珊 强2 - 3 弹链姆黻一系罗藿嚣蠼歉撼遴瓣模型 梁式鬃瞧俸哥疆葵黧识麓蕊鸯一般辏截嚣特征貔三维黍瞧粱貘整。该柔牲 梁可以离散为有限个梁段，其间用3 个扭转弹簧、3 个线弹簧以投与之对应的6 个照尼器连接。用离散的梁段来攒述柔性体的惯性特征，用段悯弹簧和阻尼器 表示豢蠖钵麴弹往帮难照孪每缓，这就是有隈羧模壁。当系统鸯蠢缁零l 睾辩，柔 性将越作用并具有重要影响，此时适于应用荫限段法解决。 关子粱式柔蛙矮，我稠骰了熬下强设：i 小应交鬣浚，缆索亵敬兔