（凝聚态物理专业论文）多模系统量子纠缠的可分性判据.pdf

兰州理丁大学硕十学位论文 摘要 量子信息学是近几年迅速发展起来的一门新兴交叉学科，它是量子 力学和信息科学相结合的产物。量子态具有非经典的量子纠缠现象，这 就使得量子信息能够实现经典信息不可能实现的新功能。可以说，量子 信息研究的目的在很大程度上就是开发和利用纠缠，因而对量子纠缠态 的研究是一件十分有意义的事情。 量子纠缠是一种重要的物理资源，量化纠缠成为量子信息理论研究 中的一个重要的课题。近年来纠缠的量化虽然引起了广泛的关注，但是 仅仅低维量子体系的纠缠量化得到了较好的解决，高维量子体系尤其是 多体量子体系的纠缠量化仍旧是个悬而未决的问题，因此本论文主要研 究多体量子态的可分性。 本论文主要包括以下几个方面内容： 第一，回顾了量子纠缠发展历程，如著名的e p r 佯谬，s c h r 6 d i n g e r 猫态等，介绍了几个典型的量子信息处理任务说明量子纠缠作为一个重 要物理资源在量子信息理论中的应用。并且给出了量子纠缠中常用的一 些基本概念和纠缠态。 第二，详细介绍了两体量子体系的可分性判据，纠缠度量。本论文 利用海森堡不确定关系和柯西一施瓦兹不等式，通过对算符方差的不同运 算的研究，得到了多模连续变量系统的两个可分性判据，违背该可分性 判据的则为纠缠态。并且对于推导出来的两个可分性判据在算符分别取 坐标，动量算符的情况下进行了对比说明。在参数满足一定条件下，其 中的一个判据强于另外的一个。以上两个可分性判据在探测纠缠方面操 作性更强。 关键词：量子纠缠；可分性；海森堡不确定关系；柯西一施瓦兹不等式； 纠缠度量 多模系统量子纠缔的可分件判摒 a b s t r a c t q u a n t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c ei sb r a n d - n e wi n t e r d i s c i p l i n a r ys c i e n c e s u b j e c tr a p i d l yd e v e l o p e dr e c e n ty e a r s ，i ti s t h ec o m b i n a t i o no fq u a n t u m m e c h a n i c sa n di n f o r m a t i o ns c i e n c e q u a n t u ms t a t eh a v i n gn o n c l a s s i c a l q u a n t u me n t a n g l e m e n tp h e n o m e n o n ，q u a n t u mi n f o r m a t i o nc a na c h i e v em a n y n e wf u n c t i o n ss u r p a s s i n gc l a s s i c a li n f o r m a t i o n ，i tc o u l db e s a i dt h a t i na l a r g ep a r t ，t h ep u r p o s eo fq u a n t u mi n f o r m a t i o nr e s e a r c h i n gi st oe x p l o i ta n d a p p l yq u a n t u me n t a n g l e m e n t ， s oi tm a k e ss e n s et or e s e a r c h q u a n t u m e n t a n g l e m e n t q u a n t u me n t a n g l e m e n ti s a ni m p o r t a n tp h y s i c a lr e s o u r c ea n di t s q u a n t i f i c a t i o nb e c o m e sav i t a ls u b j e c to fq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y i n r e c e n ty e a r s ，q u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n th a sa t t r a c t e dg r e a ta t t e n t i o n h o w e v e r ，o n l yt h ee n t a n g l e m e n to fl o w d i m e n s i o n a lq u a n t u ms y s t e m s ， e s p e c i a l l yt h a to fm u l t i p a r t i t eq u a n t u ms y s t e m s ，r e m a i n sa no p e nq u e s t i o n t h em a i nc o n t e n to ft h i sd i s s e r t a t i o ni sa sf o l l o w s ： f i r s t ，t h ee v o l u t i v ec o u r s eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n ti sd e s c r i b e d ，s u c h a se p rp a r a d o xa n ds c h r 6 d i n g e rc a ta n ds oo n s e v e r a lt y p i c a lq u a n t u m i n f o r m a t i o np r o t o c o l sa r ea l s oi n t r o d u c e di no r d e rt od e m o n s t r a t et h a t q u a n t u me n t a n g l e m e n t i sa n i m p o r t a n tp h y s i c a l r e s o u r c e t h eg e n e r a l c o n c e p to fe n t a n g l e m e n ta n de n t a n g l e m e n ts t a t e sa r eg i v e n s e c o n d ， t h es e p a r a b i l i t yc r i t e r i ao fb i p a r t i t eq u a n t u ms y s t e m sa n d e n t a n g l e m e n tm e a s u r eo fb i p a r t i t eq u a n t u ms y s t e m sa r ed e s c r i b e di n d e t a i l t w os e p a r a b i l i t yc r i t e r i ab a s e do nd i f f e r e n tc a l c u l a t eo fv a r i a n c eo f o p e r a t o r si so b t a i n e df b rc o n t i n u o u sv a r i a b l es y s t e n n sb yu s i n g e i s e n b e r g u n c e r t a i n t yr e l a t i o n a n dc a u c h y s c h w a r zi n e q u a l i t y i ft h e s e p a r a b i l i t y c r i t e r i ai sv i 0 1 a t e d ，t h eq u a n t u ms t a t ei se n t a n g l e d a n dt h et w os e p a r a b i l i t y c r i t e r i a sv ，e r ed i s c u s s e d c o n t r a s t i v e l y w e r e o p e r a t o r s w e r e p o s i t i o n ， m o m e n t u mo p e r a t o r w h e nt h ec o n d i t i o nw a ss a t i s f i e d ，o n ec r i t e r i ai sd e t e c t s t r o n g e rt h a nt h eo t h e rc r i t e r i a t h et w os e p a r a b i l i t yc r i t e r i a sa r eo b v i o u s l y s t r o n g e rt h a nm a n yo t h e r si nd e t e c t i o nq u a n t u ms t a t e s 1 1 兰州理t 大学硕十学位论文 k e yw o r d s ：q u a n t u me n t a n g l e m e n t ；s e p a r a b i l i t y ；h e i s e n b e r gu n c e r t a i n t y ； c a u c h y s c h w a r zi n e q u a l i t y ；m e a s u r eo fq u a n t u me n t a n g l e m e n t l i i 兰州理工大学学位论文原创性声明和使用授权说明 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的论文是本人在导师的指导下独立进行研究所取 得的研究成果。除了文中特别加以标注引用的内容外，本论文不包含任何其 他个人或集体已经发表或撰写的成果作品。对本文的研究做出重要贡献的个 人和集体，均已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律后果 由本人承担。 作者签名：社彩蒡日期：功年月日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，即：学 校有权保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允许论文 被查阅和借阅。本人授权兰州理工大学可以将本学位论文的全部或部分内容 编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存和汇 编本学位论文。同时授权中国科学技术信息研究所将本学位论文收录到中 国学位论文全文数据库，并通过网络向社会公众提供信息服务。 作者签名：椭秀 导师虢声参们 日期：b 矽年 日期：五扣厂年 月彳日 与只 兰小h 理工大学硕十学位论文 曼曼曼曼曼曼曼皇曼曼! 曼! 曼曼! ! ! ! ! ! 曼曼曼曼! ! ! 曼! ! 鼍皇曼曼曼曼曼曼曼蔓皇曼曼曼曼曼曼曼曼量曼曼曼! 曼曼曼曼曼舅曼曼! ! ! ! ! 曼! 曼曼曼! ! 曼! ! 曼曼 第1 章引言 1 1 量子纠缠发展的历程回顾 量子纠缠【l 】是存在于多粒子系量子系统的一种奇妙现象，也就是对 一个子系统的测量结果无法独立于其它子系统的测量参数。自量子信息 诞生开始，鉴于量子纠缠在量子通讯和量子计算领域中的核心作用，不 论是在理论分析中，还是在实验探测中，量子纠缠都成为人们重点研究 的对象之一。“纠缠”这一名词的出现可以追邂到量子力学诞生之初。因 为量子力学描述的物理实在具有无法消除的随机性，所以从它诞生之日 起，围绕量子力学的争论就从未间断过。其主要表现为以爱因斯坦为代 表的经典物理学家和波尔为代表的哥本哈根学派之间的冲突。自从19 2 7 年在第五届索尔雅会议上爆发的两位科学巨人的第一次论战开始，到爱 因斯坦逝世的3o 年间，爱因斯坦不断地给量子力学挑毛病。 l9 35 年，爱因斯坦( e i n s t e i n ) ，波多尔斯基( p o d o l s k y ) ，罗森( r o s e n ) 为了说明量子力学波函数描述物理现象时的不完备性提出了著名爱因斯 坦波多尔斯基一罗森佯谬，即e p r 佯谬【2 1 。爱因斯坦等人在e p r 的论文 中提出如下一个量子态： 妒( _ ，x ：) = e x p l ( 五一t + ) p 切， ( 1 1 ) 其中五，分别表示2 个粒子的坐标，这样一个量子态的基本特征是它 不可以写成两个子系统量子态的直积形式： 妒( ，x 2 ) 庐( 薯) ( 而) ( 1 2 ) 将这样的量子态称为纠缠态，爱因斯坦等人提出纠缠态的目的意在 说明在承认定域性和实在性的前提下，量子力学的描述是不完备的。波 尔虽然对此做出了相应的回答，然而波尔的助手说，e p r 的文章对波尔 的影响是极为重大的。因为波尔从中看到了在考虑多粒子时量子理论会 导致纯粹的量子效应。然而，无论是波尔还是爱因斯坦都没有洞悉他们 所讨论的纠缠态的全部含义，在经过了数十年的努力之后，这些含义才 逐渐被发掘出来，将量子力学纳入经典决定论的框架。 多模系统量子纠缠的可分性判据 在爱凶斯坦等人提出e p r 佯谬的i 司年，薛定谔提出丫薛定谔猫态的 假想实验。实验过程如下：一只可怜的猫被关在一个地狱般的小屋中， 屋r f l 有一台盖革计数器，一个放射性原子和一个装有剧毒氰化钾的小瓶。 若该原子的半衰期为t ，即原子经过时间t 之后，以1 2 的概率衰变。当 原子衰变时，所发出的射线被盖革计数器纪录并放大，然后，启动一个 小锤击破装有氰化钾的小瓶，于是毒药溢出，猫被毒死。如果原子没有 衰变，则猫是活的【3 4j 。 当实验结束时，小屋中的猫处于死与活的状态的概率皆为1 2 ，而见 到的结果却不是死猫就是活猫。那么猫所处的量子态为既非死也非活， 它与原子衰变前后的状态纠缠在一起。若原子衰变前后的状态分别为io 与l1 ，则猫和原子的纠缠态为： 1 i y ) = 去( i 活) i o ) + l 死) | 1 ) ) ( 1 3 ) v 二 这个实验的结果在现实的宏观世界中简直难以让人接受，恰恰就是 统计诠释得出了量子力学中纠缠的非经典特性。 从2 0 世纪5 0 年代以来，人们提出了一个又一个隐变量理论1 5j 。引 入这些隐变量的目的，就是希望将量子力学中不能对某些测量作出精确 预言的事实归结为还不能精确知道的隐变量。而一旦这些隐变量决定后， 就可以精确地给出任何可观测量。作为一个有价值的隐变量理论其结果 必须在一定条件下回到量子力学给出的结果，同时又能预言某些新的与 量子力学不同的东西。这样才能通过新的实验来检验隐变量理论是否正 确。到目前为止，只有决定论的隐变量理论可以做到这一点。 19 6 4 年，爱尔兰物理学家b e l l 在其发表的一篇文章中提出一个不等 式，这就是著名的b e l l 不等式【6 】。在b e l l 所设计的实验中，局域隐变量 理论得到的结果满足b e l l 彳 等式，而量子力学的预言将超出b e l l 不等式 的限制。这样，b e l l 的理论同波尔的争论从哲学范畴提升到可以为物理 实验所验证的范畴。 19 6 9 年，c l a u s e r ，h o r n e ，s h i m o n y 和h o l t 推广了b e l l 不等式，得到 了更易于为实验验证的b e l l 不等式，现称为c h s h 型b e l l 不等式1 7j 。 l9 9 6 年，m o n r o e 【8 】等成功的在介观尺度上实现了薛定谔猫态，这表 明了有可能实现宏观尺度的叠加。 l9 9 7 年，t i t t e l 将两个处于纠缠态的光子通过光纤分开1o 千米以后， 对其中的一个光子进行局域测量，结果验证了局域测量确实影响另一粒 子量子态【9j 的正确性。 近3 0 年来，实验物理学家为检验b e l l 不等式进行了不懈的努力，为 2 兰州胛1 = 大学硕十学位论文 此，在19 9 9 年，a s p e c t 在著名杂志n a t u r e 上发表文章，对近几十年 的实验进展专门做了回顾，奥地利的z e i l i n g e r 小组以及旅美华人科学家 史研华，区哲宇等人，在b e l l 不等式的实验检验方面都开展了卓有成效 的工作。2 0 0 3 年，潘建伟等通过实验成功制备出国际上纠缠光子数最多 的薛定谔猫态，为量子计算机的物理实现迈进了重要一步【iu 。 然而，纠缠态的功用不仅仅在于检验基本理论的完备性。以后的科 学家围绕e p r 佯谬做出了许多工作，将它推广为说明客观事物同时既在 此又在彼，或者你中有我，我中有你的纠缠特性，从而提出量子纠缠是 量子力学现象所特有的特性之一，将其发展成为量子信息，量子计算等 学科建立和发展最基本的概念。随着科学技术的发展和对量子纠缠的认 识进一步加深，以量子纠缠为基础，与信息学相结合，人们发展了量子 信息学这一新的学科。2 0 世纪9 0 年代末期以来，量子纠缠理论的研究不 论是在深度还是在广度上都有突破性的进展，研究热潮不断升温，尤其 是光子纠缠实验在最近取得了很大的进展，实验上能实现五光子纠缠， 而理论上表面五光子纠缠及中级器可以克服退相干。 量子纠缠不仅是量子信息处理的主要组成部分，实际上也是量子力 学区别于经典力学的一个重要的特征之一。量子纠缠的研究主要包括以 下三个方面：纠缠的制备：纠缠的量化；纠缠的利用。纠缠的制备主要 是指通过不同的量子体系，如腔q e d ，离子阱，nmr ，b o s e e i n s t e i n 凝 聚体等，根据不同的方案来制备纠缠态，共享纠缠等等。纠缠的量化主 要是研究量子态的可分性，纠缠度量。纠缠的分类以及对量子纠缠的理 解等。纠缠的利用主要是考虑量子纠缠的奇妙特性如非局域性等，来实 现不同的量子信息的应用。本论文主要研究多体量子态纠缠的量化问题。 1 2 量子纠缠在量子信息中的应用 量子纠缠是一种重要的物理资源，许多量子信息处理过程都需要量 子纠缠。下面主要介绍量子纠缠在量子信息处理任务中的一些应用。 1 。2 1 量子隐形传态( qu an t u mtele p orta tio n ) 19 9 3 年，b e n n e t t 等人】在题为“经由经典和e p r 信道传输未知量 子态 的开创型文献中提出了量子隐形传态。之后，隐形传态成为量子 信息领域中最重要的研究对象之一，无论是在理论方面还是在实验方面 都取得了令人瞩目的成就，并得到了一系列有意义的应用。 量子隐形传态的基本思想是：为实现传送某个物体的未知态，可将 原物的信息分成经典信息和量子信息两个部分，它们分别由经典信道和 3 多模系统帚r 纠绵的可分性判据 量子信道米传送给接收者。经典信息是发送者对原物进行测量而扶得， 量子信息是发送者( a l i c e ) 在测量中未提取的信息。接收者( b o b ) 在获得 这两利- 信息后，就可以制备出原物的完美的复制品。在此过程中，原物 并未被传给接收者，它始终留在发送者处，被发送的仅是原物的量子态， 发送者甚至可以对这个量子态一无所知，而接收者是将别的物质单元变 换成处于和原物相同的量子态，原物的量子态在发送者进行测量及提取 经典信息时遭受破坏。其原理示意图为： e p r 源 图1 1量子隐形传态的原理图 态 b e n n e t t 等人的开创性论文发表之后，关于量子隐形传态的各种方案 相继出现，如基于b e1 1 基联合测量和广义测量的量子态传送方案【l 2 。1 4 j ； g b r a s s a r d 等人利用量子受控非门和单个量子比特操作所构成的量 子回路实现量子隐形传态f1 5 】；l v a i d m a n d 等人用非局域测量实现子态的 隐形传送【1 6 ，1 7j ；a b a r e n c o 等人提出量子态交换方法实现量子隐形传态 【1 8 l 。近年来，人们提出了一系列基于腔量子电动力学的量子隐形传态方 案f l 9 ，20 1 ，研究了用原子与光腔相互作用来实现量予态传送【21 ，22 1 、离子 阱【23 1 、核磁共振【2 4 】等方案。量子隐形传态方案中，利用最大纠缠态作为 量子通道可以使量子隐形传态的成功率达到l0 0 【25 。但是，在实际中由 于量子态和周围环境的耦合是不可避免的，所以我们在实验上制备的纠 缠态基本上都是非最大纠缠态，因此，利用非最大纠缠态量子通道来实 现量子隐形传态就变得具有非常重要的实际意义。李万里等人利用非最 大纠缠态作为量子通道，理论上给出了一种途径来实现单粒子量子态的 概率隐形传送。在传送过程中，发送者只需做一个满足纠缠匹配的测量， 就会以最大的成功概率进行隐形传送f 26 】；路洪等人利用纠缠交换的方法 4 兰州理下大学硕士学位论文 在理论上实现j ，曲粒子和三粒子纠缠态概率隐彤传态，并且成功的概率 只决定于作为量子通道的纠缠态的较小的迭加系数2 7 ，2 8 】；史保森等人在 理论上给出了两种通过非最大纠缠态量子通道实现两粒子纠缠态概率隐 形传态的方法【2 9 ，3 0 】；尤为惊喜的是n i e ls e n 提出了通过非最大纠缠态实现 决定性隐形传态的定理1 3 。 1 2 2 量子稠密编码( quan tu mde nseco ding ) 一个比特( q u b i t ) 的信息和一个经典比特信息是完全等价的，量子稠 密编码实现了用一个比特来完成两比特信息的通信。之所以具有如此强 大的功能，关键在于它利用了量子关联特性。实验过程表述为：假设a l i c e 和b o b 共享一个最大纠缠态i 妒+ ) 爿口= 击( 1 0 0 ) + 1 1 1 ) ) ，其中下脚标a 表示在 a l i c e 一边的粒子，b 表示在b o b 手中的粒子。a l i c e 可以对她手中的粒子 做4 个幺正变换，即f ；d ，操作；仃，操作和仃：操作。通过这些操作alice 可 以将l + ) 爿丹对应地转变为四个b e l l 基之一，即i + ) 月b ，h + ) 彻，修一) a 占，l 妒一) 月8 。然 后，a 1 i c e 将她的粒子送给b o b ，b o b 接收到粒子之后对他原来的粒子和 接收到的粒子所组成的两粒子体系做b e l l 测量。测量结果可以将a l i c e 所作的4 中操作一一区分开来。这样就实现了a l i c e 传送一个比特( q u b i t ) ， 但是进行了两比特信息的通信。 实际上，a l i c e 传给b o b 两个粒子，因为第一个粒子的传送用来建立 量子通道。但第一个粒子的传送可以发生在很久以前，这样，在紧急时 刻，不像经典通信a 1 i c e 必须同时传送两个粒子，而只需要传送一个粒子 即可，这在经典信息传输中是不可能实现的。量子稠密编码有如下优点： 首先，保密性强。说传送的量子比特不携带任何信息，窃听者即使截获 此量子比特，也无法破译，所有信息均编制在粒子a 与b 之间的关联上， 局域测量无法提取传递的信息。其次，量子通道可以在使用前就制备好， 在紧急使用时，就可以更有效地传递信息。 量子编码的目的就是为了纠正或防止这些量子错误。虽然量子编码 和经典编码的基本想法类似，即要以合适的方式引进信息冗余，以提高 信息的抗干扰能力。量子编码用于解决可靠性，纠错，避错问题。量子 信息论中，信息的载体不再是经典比特，而是一个一般的二体量子体系， 这二态量子体系，可以是个二能级的原子或离子，也可以是一自旋为 的粒子或具有两个偏振方向的光子，所有这些体系，均称为量子比特。 5 多模系统量r 纠缔的可分性判据 区别十经典比特，量子比特可以处于o ，1 两个本征态的任意叠加态，而 且在对量子比特的操作过程中，两态的叠加振幅可以相互干涉，也就是 所谓的量子相干性。当受环境的影响，量子状态十分不稳定，不管是外 部噪音还是观测都会形成对量子状态的干涉，使存储在量子计算机内的 信息崩溃，导致计算错误。比如，当观测一个量子状态时，该状态会立 即塌陷为某个确定传值( 0 或1 ) 这种现象在量子物理上叫做脱散，是量 子的同有性质。由此可见，量子计算非常脆弱，非常容易出错，并且随 着机器规模的增大，计算的可靠性急剧下降，使制造规模大的量子计算 机变得十分困难，研究人员必须设计一种方法，将脱散和其它潜在错误 源控制在可接受的水平。这就是困扰整个量子信息论的消相干问题。因 此，要使量子计算成为现实，一个核心问题就是克服消相干。而量子编 码是迄今发现的克服消相干最有效的方法。主要的几种量子编码方案是： 量子纠错码，量子避错码和量子防错码。量子纠错码是经典纠错码的类 比，是目前研究的最多的一类编码，其适用范围广，但效率不高。量子 避错码和量子防错码有别于量子纠错编码，这些方案防错而不纠错，它 们本质性地利用率量子比特消相干过程中的合作效应。量子编码是信息 论领域一个激动人心的进展。通过量子编码，人们看到了克服消相干的 希望，从而使得量子计算机和量子传输等可以从梦想变为现实。 关于量子稠密编码的理论方案很多【3 2 34 1 ，山西大学光电所【35 】提出了 利用明亮压缩去实现量子稠密编码的理论方案。实验上，19 9 6 年奥地利 的in n s b r u c k 小组完成了稠密编码，最近山西大学的实验小组完成了连续 变量的稠密编码p 引。 1 2 3 量子密钥分酉己( q u an tu mke ydis tribu tio n ) 1 ) 实验过程 密码通信，通常称发送者，接收者和窃听者分别为a l i c e ，b o b 和e v e 。 假定a l i c e 和b o b 要进行保密通信，a l i c e 使用她手中的密钥( 经典随机 数) k 将可读的明文m 变换成为不可读的密文c ，然后在公开信道上将 密文c 还原为可读的明文m 。设a l i c e 的加密算法记为色，b o b 的解密算 法记为q ，那么上述过程可表示为c = & ( m ) 聊= q ( c ) ，按照a l i c e 的密钥 k 与b o b 的密钥七是否相同，密码体制可分为对称密码( 七= 七) 和非对称密 码( 后七) 两类。任何窃听者e v e 都可以在公开信道上接收到密文c ，她的 任务是破译出明文，以达到窃听的目的。而a l i c e 和b o b 这对合法用户要 6 兰州砰工大学硕士学付论文 想方设法1 能让e v e 达到她的目的。这就是密码学中的攻防对抗，人类 历史上由此上演过许许多多惊心动魄的精彩故事。 目前广泛应用的密码体系有私钥( 对称) 和公钥( 非对称) 两种。 私钥体系中a l i c e 和b o b 的密钥是保密的。19 2 6 年么丁& 丁公司的g i l b e r t v e r n a m 提出“一次一密 密码体系。l9 4 9 年s h a n n o n 证明，只要密钥长 度与明文长度相同，而且只使用一次，该密码系统是绝对安全的，即只 要e v e 手中没有密钥k ，便完全无法从密文c 中获取明文的信息。这种 v e r n a m 密码虽然具有绝对安全性，但要求通信双方必须共享庞大的密钥 库，这使密钥的生成，保管和传送等及其困难，实际上很少使用。而且 私钥体系中的密钥分配本质上是不安全的，原则上可以复制密码本而不 被发现。为了克服这个缺陷，人们发明了公开密钥体制。公开密码系统 是非对称体制，a l i c e 若要与b o b 进行保密通信，只要查询到b o b 公开指 定的密钥k ，然后经由加密算法将明文变为密文，b o b 拥有的密钥尼。是保 密的，因此，除他之外，没有人能从密文经由解码算法获取明文。这种 公开密钥体制避开私钥体制中密钥分配不安全的困难。但这种体制本身 的安全性却得不到严格的证明。例如，严格地讲，这个体制是不安全的， 然而求解大数的因子所需消耗的资源随大数的位数指数增加，因此是个 “雉解 的数学问题。所以，r s a 密钥体系实际上是不易被攻击的。当 人们拥有更强的计算能力时，b o b 便将大数的位数进一步增加，使之无 法在使用期间内被破译。这就是目前人们在网络，银行等广泛使用r s a 公钥体系的原因。 2 0 世纪9 0 年代s h o r 提出一种量子并行算法，利用量子计算机可以 轻而易举地求解大数因子这类数学难题。因此，一旦量子计算机研制成 功，现有的密钥体制全部会将被破译。这显然对保密通信提出了严峻的 挑战。当量子信息技术到来之际，人类那个时候还能保住自己的隐私? 答案是肯定的，量子信息技术提供了一种不可窃听，不可破译的新一代 密码技术一量了密码! 量了密码利用的物理原理有：海森堡测不准原理 也就是两个不可对易的物理量不能被同时精确测量。另个，还利用了量 子不可克隆定理即在不知道量子状态下复制单个量子态不可能。 2 )量子密钥分配方案( b b8 4 协议) b b 8 4 协议i ”j 是由b e n n e t t 和b r a s s a r d 于l9 8 4 年提出来的，该协议 是利用两组正交的量子基进行密钥的分配： ( a ) 无噪声的b b 8 4 协议 b b8 4 协议是在量子密钥分配中使用范围最广的方案，它可使发送方 及接收方在两个不同的地点得到完全相同的任意排序的比特流，并且可 7 多梗系统帚+ f 纠缚的可分忡判摒 以察觉期间存在的任何窃听行为。在b b8 4 协议中，密钏分配的通信过程 实际上是由两个阶段完成的。第一阶段通过量子通道进行量子通信，进 行密钥的通信；第二阶段是在经典信道中进行的，进行密钥的协商，探 测窃听者是否存在，然后确定最后的密钥，这样就完成了密钥的分配， 如图1 2 所示。 厂珊一 l l a l i c e i 一一阶段啼 双向通道 单向通道 一瑚段 固 一段j 图1 2b b8 4 协议的通信示意图 在一般情况下，bb8 4 协议采用单光子的偏振态进行编码，偏振态是 由同一个二维希尔伯特空间的两组正交基制备得出的： 线性基：e 三 1 个) ，l _ ) ) ；旋转基：岛兰 i ) ，i ) ) ( 1 4 ) 这个方案中唯一的必要条件是制备量子态选用的两组测量基，在二 维希尔伯特空间中相互必须是非正交的，用同一个测量基制备出的每一 个态矢量都是等长的。若测量系统时选用的测量基与系统原先选用的基 不同，那么得出的结果是完全随机的，并且测量之后系统原先的量子态 也会随机改变为测量后的态。结合以上所述，偏振态应满足条件： l 伽掣小) ：学w ) ：( 小) _ o ， ( 一i 一) = ( 个1 个) = ( i ) = ( i ) = 1 ， ( 卜5 ) k l 专) 1 2 = l ( 1 个) 1 2 = i ( l j ) 1 2 = i ( 1 个) 1 2 = 若是用旋转基测量由线性基制备的偏振态，将以等概率得出随机的 结果，反之亦然。另一方面，若选用的测量基与原先制备量子态时选用 的基完全一致，那么将会得到确定的结果。 ( b ) 有噪声的b b8 4 协议 8 兰：州胛丁大学硕士学位论文 有噪声的b b8 4 协议在量子信道通信部分与无噪卢的b b8 4 协议是完 全一致的，但是由于在有噪声的环境中，b o b 和a li c e 将无法区别错误是 有e v e 的窃听引起的还是由噪声引起的，因而在经典信道的通信中将做 出相应的改变： ( 1 ) 原始密钥的生成 这一部分也与无噪声的情况一致，由于b o b 和a l i c e 无法区分e v e 的干扰，所以在通讯过程中，e v e 的干扰可以等效为噪音处理。 ( 2 ) 评估误码率 b o b 和a l i c e 公布他们原始密钥的一部分，进行比较，得到误码率r 。 b o b 和a l i c e 需要预先设定误码率的上限氏。，如果r 心。，则进行下一 步骤：否则，说明误码率过高，通讯过程不一定安全，取消本次通讯。 ( 3 ) 密钥的再协商 在本步骤中，b o b 和a l i c e 去除原始密钥中的错误，得到无错误的协 商后的密钥。下面的方法是b e n n e t t 提出的。首先，b o b 和a l i c e 公布一 个随机的置换方案，对原始密钥进行置换；然后，他们把原始密钥分成 若干长度为l 的小段，l 的选择要使得每一块中尽可能只有一个错误。 对于每一块b o b 和a 1 i c e 公布其奇偶性，并丢弃这一块的最后一位。如果 奇偶性相同，则说明这一块可能没有错误或有偶数个错误否则，说明其 中至少有一个错误。如果确认有错误，b o b 和a l i c e 对这一块分成更小的 小块，对每一小块进行上述类似的操作，直到最后发现错误的位置，并 删除之。b o b 和a l i c e 重复上面的操作，直到确定可能没有错误位置。 ( 4 ) 检验 b o b 和a l i c e 为了检验协商后的密钥是否确实没有错误，他们把密钥 随机的分成l 段，每一段的长度是随机的，然后公布每段的奇偶性进行 比较。如果奇偶性都相同说明协商后的密钥有效，进行下一步：否则， 取消本次通讯。 ( 5 ) 保密放大 b o b 和a l i c e 拥有一致的密钥，但是由于误码率的存在和上述的过程 是公开的，e v e 肯能得到部分的信息。保密放大就还是从这部分保密的密 钥中提取完全保密密钥，作为最后密码通讯的密钥。记协商后的密钥长 度为n ，双方设定保密放大后密钥的长度为m 。b o b 和a l i c e 公开的把协 商密钥分成m 块，每一块的长度是随机的；然后b o b 和a l i c e 把每一块 的奇偶性作为最后完全保密的密钥。通过这一步骤，密钥的长度从n 缩 减到m ，可以证明e v e 得到密钥的信息随m 的减小是指数递减的。由以 上步骤，b o b 和a l i c e 可得到最终通讯用的密钥序列。 9 多模系统黄了纠绵的可分性判据 1 2 4 量子安全直接通信( q u an tu mse c uredirec t commu nica tion ) 量子安全直接通信是直接将信息通过量子通道安全的传给接受者。 量子安全直接通信是由b e i g e 等人【3 8 1 提出米的，后来b o s t r 6 m 等人【3 9 1 义 利用纠缠态作为量子通道提出一个“p i n g p a n g ”方案，不但可以实现量 子密钥分发也可以实现量子安全直接通信。其过程为：假设a 1ice 与b o b 进行秘密通信，b o b 首先将两个光子制备在一个最大纠缠态l 妒+ ) ，然后将 一个光子留下，将另一个发送给a l i c e ，a l i c e 接收到光子之后对其进行仃： 变换或者什么都不做，然后再将这个光子返还给b o b ，b o b 接收到光子后， 对这个光子以及他原来保留的光子进行b e l l 测量，测量结果可以区分 a l i c e 是否已经进行了仃：操作，这样就实现了确定的信息传递。 1 2 5 坌q 匀童交换( en ta ngie m en ts w ap pin g ) 量子信息学的核心是利用量子态所具有的非局域量子纠缠特性完成 量子信息的处理与传送。纠缠交换的目的是通过某些物理过程，使从未 发生直接相互作用的量子系统之间产生量子纠缠【40 1 。利用纠缠交换可以 在非常远的空间距离上形成非局域量子关联，因而在远程量子通讯与量 子信息网络中有很人的应用前景【4 1 ，4 2 1 。 图1 3量子纠缠交换的基本方法 图1 3 为实现纠缠交换的原理示意图。初始时刻，a l i c e 和b o b 各自拥 有一个独立的纠缠光源( e p r ) 。a l i c e 拥有的纠缠光束a l 和a 2 ，与b o b 拥 l o 兰州珲下大学硕十学伊论文 有的纠缠光束b 。和b ：之间没有任何量子关联。然而，如果a l i c e 和b o b 将他 们各自的纠缠光束的一半，如a l 和bl ，发送给c l a i r e ，c l a i r e 对他得到的两 个纠缠子系统进行联合b e l l 基测量。之后，由于测量导致的纠缠塌缩，将 使没有直接相互作用的另外两束光a 2 和b 2 ，产生纠缠。为了确证纠缠交 换是否成功，检测者v i c t o r 对a 2 和b 2 的量子念执行联合关联测量，当a 2 与b 2 正交振幅与正交相位的关联方差均低于相应的标准量子极限时，则 说明两束光具有量子纠缠特性，即已完成了纠缠交换。 1 3 本文内容和章节安排 我们的研究内容主要有以下几个方面： 第一，对量子纠缠理论的基本概念做了系统的全面的总结，介绍了 量子纠缠的发展历程，在量子信息处理中的应用等问题， 第二，详细的介绍了几种常用的两体量子纠缠的可分性判据和纠缠 度量的方法。另外，在定义多模连续变量系统的条件下，利用了柯西一施 瓦兹不等式和海森堡不确定关系推导出可分性判据。 本文共分为3 章，各章节主要内容如下： 第1 章，引言。在第一章里我们首先介绍了量子纠缠的历史发展历 程，量子纠缠在量子信息处理中的一些应用，以及国内外对量子纠缠理 论的研究现状。 第2 章，量子纠缠的基本概念。在第二章里我们介绍量子力学系统 中的基本概念，接着引入介绍了纯态，混合态，最后介绍了纠缠态与可 分离态的定义，常用的一些纠缠度量。 第3 章，量子态纠缠的可分性判据。在第三章里我们介绍了著名的 两体量子纠缠可分性条件。同时我们研究了多模连续变量系统，利用柯 西一施瓦兹不等式和海森堡不确定关系得出了十分有用的较强的纠缠判 据。并且，对于以上得到的可分性判据在算符分别选取坐标，动量算符 的情况下进行对比说明，得到了在参数满足一定条件的情况下，哪种可 分性判据探测更强的结论。 最后，对全篇论文做出结论与展望。 兰州理r 大学硕十学伊论文 第2 章量子纠缠的基本概念 自量子力学的基本理论形成以来，对于纠缠现象的研究就一直是量 子力学基本问题的重要课题。量子纠缠也是量子力学区别于经典物理学 的重要特征之一，是量子信息学的重要组成部分。用来描述量子力学系 统的矢量( 即量子态) 显得比较重要，那么哪种情况下的量子态是纠缠的， 哪种情况下的量子态不是纠缠的呢? 这些都是我们本章要解决的问题。 本章我们首先对量子力学系统中态空间进行了描述，引入了常用的 密度算符，密度矩阵等概念，然后，随之详细的介绍了态的概念及分类， 最后引入了本章重点要介绍的可分离态和纠缠态的概念以及常用的一些 纠缠度量。 2 1 态空间 量子力学系统中态是由希尔伯特( h i l b e r t ) 空间中的矢量描述，称表示 量子态的矢量为态矢量。h 订b e r t 空间就是念矢量张成的空间，在量子力 学中称为态空间。严格来说，量子力学中的态空间是扩充了的h i l b e r t 空 间，因为在量子力学中除去包括有限矢量外，还包括长度无限的矢量， 而这些矢量在数学h i l b e r t 空间中是没有的。 由于量子态从数学上讲可以用h i l b e r t 空间的复矢量表示。狄拉克 ( d i r a c ) 引用一个称为右矢的符号表示态矢量：i 伊) 。伊是表征具体态矢的 特征量或符号，i ) 表示向量。d i r a c 还引入符号( i 称为左矢。左矢( 缈l 是矢 量f 缈) 的共轭向量。引入共轭向量后，态矢空间两矢量l 仍) ，i 仍) 的内积记为 ( 仍i 仍) 。量子态的内积满足下面的性质： | ( 1 ) 线性的 ( 妒l 谚) = ( 妒i 谚) ( 2 ) ( 仍l 仍) = ( ( 仍l 仍) ) ( 3 ) ( 伊l 伊) o 等号成立当且仅当i 缈) = o ( 4 ) l l = 丽 最简单的量子力学系统为一个量子位即二维希尔伯特( h i l b e r t ) 空间。 彩榄系统帚子纠缠的可分件判据 记二维h i l b e r t 空i 日j 的两个相互独立的态分别为l o ) 和1 1 ) 。一个量子位可以 处在叠加态i 缈) = 口i o ) + 6 1 1 ) 中，其中a 和b 是复数。条件i 妒) 是一个单位向量， ( 妙l 妒) = 1 ，等价于h 2 + ”= l 。( 缈i 妒) = 1 称作念矢量的归一化条件。 2 2 密度算符和密度矩阵 l9 27 年v o nne u m a n n 【4 3 】提出了密度算符，并将描写混合系统和纯粹 系综统一起来了。 当系统的状态用一个归一化的态矢量l 口) 描述时，则某一可观测量q 的期望值可以表示为： ( q ) 。= ( 口i 壶i 口) ， ( 2 1 ) 下标p 表示在该状态中求得的平均值。 假设 k ) 是某一具有分立本征值谱的厄密算符户的正交完备归一的 本征矢集，那么 户i n ) = ci 拧) ， ( 聊i 朋) = ，l 疗) ( n l = 1 矢量i 口) 可按 h ) ) 展开，表示为： 口) = gi e = ( 玎l 口) ， 其中e 是系统处于户的本征态i ，z ) 的几率振幅。 将( 2 4 ) 式代入( 2 1 ) 式，可以得到 ( q ) p = e ( 朋闻，z ) 如果 k ) ) 就是算符壶的本征矢集，数学表述为： 壶l 甩) = 以i 甩) ， 则( 2 6 ) 式可以表示为 1 4 ( 2 2 ) ( 2 3 ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 7 ) 兰州理t 大学硕十学伊论文 ( q ) p = i e l 2 乃 ( 2 8 ) 2 2 1 密度算符 我们如果将( 2 5 ) 式代入( 2 6 ) 式，可以得到以下的关系式： ( q ) p = ( 聊坩( 刀i 口) ( 聊蚓刀) ， = ( ，z i 口) ( 口i m ) ( 聊嘲甩) ， ( 2 9 ) 另外，引入密度算符 砟= i 口) ( 口| ， ( 2 1o ) 则有( q ) p = ( 刀俐朋) ( ，z 吲行) ( 2 11 ) 根据矩阵乘法规则，上式表示为 ( q ) ，= 0 院盎i ，z ) = 乃( 砟q ) ( 2 12 ) 上式中乃是矩阵的迹，即矩阵对角元素之和。 2 2 2 密度矩阵 密度算符对基 h ) 的矩阵元表示为 ( 刀i 砟i m ) = ( ，z i 口) ( 口i 聊) = ( 咒j a ) (