（微电子学与固体电子学专业论文）太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究.pdf

中文摘要 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 米贤武( 微电子学与固体电子学) 指导导师：曾俊诚研究员 摘要 太赫兹场作用下的低维半导体的带间和子带间的相干动力学过程是当前理论和 实验研究的热点。在太赫兹场作用下，低维半导体器件表现出许多有趣的物理现 象。本学位论文用密度矩阵理论研究了太赫兹场作用下量子阱的带间和子带间光学 特性；研究了超晶格半导体在太赫兹场作用下的光吸收谱及带间动力学过程。研究 结果对深入理解外场作用下低维半导体中载流子相干动力学过程以及光吸收谱特性 具有重要的学术价值。本论文主要内容和结论包括： 1 、用密度矩阵理论研究了太赫兹场作用下量子阱的光吸收谱。当量子阱受到 太赫兹场作用时，激子峰出现分裂，光吸收谱上出现多个复制峰。复制峰的强度和 位置主要由太赫兹的强度和频率决定，它们与实验光谱中的边带相对应。研究结果 表明，这些复制峰主要是由太赫兹场和局域激予作用的非线性效应产生的。增加量 子阱宽度，激子峰降低并向低能端漂移。另外，增加载流子密度能抑制激子峰。 2 、推导了外加光场作用下的量子阱子带跃迁时载流子运动方程；分别研究了 g a a s a i g a a s 和i n a s a l s b 量子阱中多体效应对子带跃迁的影响；研究了不同阱宽对 子带跃迁光吸收的影响。研究表明，量子阱子带跃迁的光吸收谱主要是两种集体激 发效应费米边奇性( f e s ) 和子带间等离子体激元( i s p ) 竞争的结果；随着阱宽减 小，f e s 逐渐占主导作用，光吸收谱主要表现为f e s 的特性。 3 、基于激子基，研究了直流电场和太赫兹场作用下半导体超晶格的光吸收谱 和带间动力学过程。计算结果表明，在太赫兹场作用下，超晶格光吸收谱出现卫星 峰结构，这些结构是由太赫兹场与万尼尔激子作用产生的。太赫兹场驱使带问极化 作布洛赫振荡，其振荡时间远远超过带间解相时间。 关键词：太赫兹，量子阱，子带跃迁，超晶格，吸收 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一i i i 奎墅塑堑堡里! 堡丝兰量竺些兰篁竺矍窒 o p t i c a lp r o p e r t i e so fl o w d i m e n s i o ns e m i c o n d u c t o rd r i v e nb ya t e r a h e r t zf i e l d m ix i a n - w u ( m i c r o e l e c t r o n i c sa n ds o l i ds t a t ee l e c t r o n i c s ) d i r e c t e db y ：p r o f c a oj u n c h e n g a b s ”a c t r e c e n t l y , c a r d e r c o h e r e n td y n a m i c si nl o wd i m e n s i o ns e m i c o n d u c t o rd r i v e nb yat h e r a h e r z ( t h z ) f i e l dh a sa t t r a c t e dc o n s i d e r a b l ei n t e r e s t w h e nal o wd i m e n s i o ns e m i c o n d u c t o ri sd r i v e nb y at h zf i e l d ，t h e r ea r em a n yi n t e r e s t i n gp h e n o m e n a i nt h i st h e s i s ，t h ei n t e r b a n da n di n t e r s u b b a n d t r a n s i t i o n ( i s b t ) o p t i c a la b s o r p t i o ns p e c t r ai naq u a n t u mw e l l ( q w ) a r en u m e r i c a l l ys i m u l a t e d b yu s i n gd e n s i t ym a t r i xt h e o r y , t h eo p t i c a la b s o r p t i o na n di n t r a b a n dd y n a m i c so fas u p e r l a t t i c e ( s l ) a r ei n v e s t i g a t e d b yu s i n ge x e i t o n b a s i sm e t h o d t h e r e s u i t sa r ei m p o r t a n tf o rs t u d yo f c a r d e r c o h e r e n td y n a m i c sa n dt h ed e s i g no f p o t e n t i a lt h zd e v i c e s t h em a i nc o n t e n t sa n dc o n c l u s i o n s a r ea sf o l l o w s ： 1 t h ei n t e r b a n ds p e c t r ai naq wd r i v e nb ya 他f i e l da r ei n v e s t i g a t e dw i t h i nt h et h e o r yo f d e n s i t y m a t r i x w h e n a q w i s d r i v e n b y a t h z f i e l d ，s p l i t t i n g i ss h o w n u p i ne x c i t o n i c p e a k sa n d r e p l i c a sa r ef o r m e da r o u n dt h i sp e a k t h ei n t e n s i t ya n dp o s i t i o no f t h er e p l i c a sc a nb ec o n t r o l l e d b yc h a n g i n gt h ei n t e n s i t ya n d o rf r e q u e n c yo f t h e 他f i e l d t h e s er e p l i c a sa r ec o r r e s p o n dt o t h es i d e b a n d si ne x p e r i m e n t a ls p e c t r a w i t hi n c r e a s i n gt h eq ww i d t h ，e x c i t o n i cp e a k ss h i f tt o l o w e n e r g y i na d d i t i o n ，t h eh i g hc a r d e rd e n s i t yc a ns u p p r e s st h ee x c i t o n i cp e a k s 2 t h ei n t e r s u b b a n dm o t i o ne q u a t i o n sf o raq wd r i v e nb yao p t i c a lf i e l da r ed e r i v e d t h e d e p e n d e n c eo ft h ei s b to nq ww i d t ha n dm a n y - b o d ye f f e c t s ，s u c ha sf e r m i e d g es i n g u l a r i t y ( f e s ) a n di n t e r s u b b a n dp l a s m o n ( i s p ) ，i ss t u d i e db yu s i n gt h ei n t e r s u b b a n dm o t i o ne q u a t i o n s t h ei s b to p t i c a ls p e c t r ao f aq wi sd e t e r m i n e db yi s p a n df e sa n dt h ef e sb e c o m ed o m i n a n t w i t hd e c r e a s i n gt h eq ww i d t h 。 3 t h eo p t i c a la b s o r p t i o ns p e c t r aa n di n t r a b a n dd y n a m i c si nas lu n d e rt h ed ca n dt h z f i e l d sa r es t u d i e db yu s i n ge x c i t o nb a s i sm e t h o d i nt h ep r e s e n c eo fd ca n dt h zf i e l d s ，t h e s a t e l l i t es t r u c t u r e si nt h es p e c t r as h o wu pw h i c ha r et h er e s u l t sf r o mt h et h zn o n l i n e a rd y n a m i c s o f e x c i t o n s t h en 乜f i e l dm a i n t a i nt h es t r e n g t ho f t h ee x c i t o n i cb l o c ho s c i l l a t i o n s t h e r e f o r e t h eo s c i l l a t i n g t i m eo f i n t r a b a n d p o l a r i z a t i o n i s m u c h l o n g e r t h a n t h e i n t r a b a n d d e p h a s i n g t i m e k e yw o r d s ：t e r a h e r t z ，q u a n t u mw e l l ，i n t e r s u b b a n dt r a n s i t i o n ，s u p e r l a t t i c e ，a b s o r p t i o n 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 - - i v 第一章文献综述 1 1 太赫兹波及相关技术 第一章文献综述 太赫兹波( t h z ) 通常指的是波长在1n l l n 一3 0 p m ( 3 0 0 g h z - 1 0 t h z ) 区间的电磁波， 其波段位于微波和红外光之间，如图1 1 所示。近十多年来，世界科学工作者对太 k i l o m e g ag i g a 把m p e t a b z s t t a y o l t a f 嘲l n c y z ) l t h z - 3 0 0 u m - 0 3 0 e r r 一4 f i n o v 一4 l e k 图11太赫兹波在电磁波谱中的位置图 赫兹技术的研究已经取得了显著的成就，对太赫兹技术的研究涉及到电磁学、光 学、光电子学、半导体物理、材料科学以及微加工技术等多个学科，在物理学、信 息科学、生物学、医学、天文学、环境科学等诸多领域有着重要的应用前景【1 】。但 是这些应用一直为没有合适的太赫兹源以及相关的太赫兹探测器所困扰。太赫兹 波可以通过自由电子激光器、黑体辐射、负有效质量振荡器【州以及量子级联激光 器 7 闱等方法产生。但是，这些方法都还存在这样或那样的技术问题，要得到真正 实用、方便的太赫兹源仍待努力。限制太赫兹技术发展和应用的另一个瓶颈是没有 合适的太赫兹探测器。现在用的太赫兹探测器主要有辐射热测定器和热电探测器、 光导偶极天线、电光晶体以及量予点单光子探测器等 9 - ”】。但这些方法同样存在很 多不足，有待进一步研究。要真正解决太赫兹技术的两个关键问题一太赫兹源和探 测器，有必要弄清与太赫兹波发射相关的物理机理和太赫兹场与半导体相互作用的 动力学过程。 1 2 太赫兹场作用下量子阱的光学特性 在现代光通信中，需要各种各样的光子器件，如：光开关、调制器及波分复用 器等。当通讯波长推进到太赫兹波段时，同样需要相应的太赫兹光子器件。随着半 导体外延生长技术进步，半导体量子阱可以用来实现太赫兹光子器件。为了得到合 适的太赫兹光子器件，有必要对半导体量子阱光学性质进行改变。改变半导体量子 阱的光学性质方法有多种，常用的主要有两种。一种是通过能带工程，生长出预先 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一1 一 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 设计好量子阱器件。另一种方法是给量子阱施加不同的外加电场和磁场来控制器件 能带结构 1 4 - 1 7 。通常是将两种方法结合起来使用。在本论文中，我们着重研究后一 种改变量子阱器件光学特性的方法。这种方法主要是利用在外场作用下，量子阱器 件产生的各种效应，如量子约束斯塔克效应( q c s e ) 和弗伦兹一凯尔迪什效应等， 来改变量子阱光学特性。 考虑一直流电场作用下的量子阱，电场沿量子阱生长方向，由于量子约束斯塔 克效应量子阱光吸收谱明显改变，光吸收谱强度降低并出现红移。量子阱光学性质 改变的大小主要由两个因素决定。首先，与三维材料比较而言，二维电子气在能带 边沿状态密度变化非常快。其次，由于量子束缚作用使得量子阱子能带非常接近， 从而即使在很弱的直流偏压下也可以改变吸收边。如果量子阱受到太赫兹场作用， 由于太赫兹场与量子阱子带间的强烈耦合，同样产生各种物理现象，如：交流斯塔 克效应、弗伦兹一凯尔迪什效应等d s a g 。近年来，太赫兹场作用下多量子阱的光吸 收实验引起人们广泛兴趣 2 0 - 2 ”。 相关实验主要采用双色光方案，通常用太赫兹作为泵浦光，近红外光( n i r ) 作 为探测光。太赫兹源为自由电子激光器。太赫兹场与量子阱子带激发耦合，而近红 外光与量子阱带问激发耦合，如图1 2 所示。实验结果表明，当量子阱受太赫兹场 s u b b a n d s 图12太赫兹场耦合子带问激子，n i r 场耦合带间墩子。 作用后，在吸收边上出现红移。同时，发射出光信号，这些光信号在光吸收谱中表 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一2 一 第一章文献综述 现出边带( s i d e b a n d s ) ，边带的频率由红外光及太赫兹场频率决定 2 0 - 2 3 1 u m d e b d2w n i r + t g ) t h z 其中u n i r 为近红外光频率，u t h ：为太赫兹场频率，n = 土1 ，2 ，( 如图l3 所示) 。最 图1 3受太赫兹场调制n i r 探测光上产生太赫兹光吸收边带。 近研究还发现( 2 4 】，对于给定的太赫兹场频率，随着n i r 频率的变化，n = 士1 边带 强度出现两个共振峰。不同的太赫兹场产生不同的共振，共振的强度与直流偏压和 太赫兹场频率紧密相关。当直流偏压为零时，n = ：k l 边带强度为零；随着直流偏压 增加，边带强度迅速增强。即使在较低的太赫兹场频率下，如果太赫兹场与子带间 共振时，边带也较强。 对于对称量子阱，由于线性对称关系，只能得到偶数边带。为了能得到奇数边 带人们开始研究非对称量子阱 1 6 , 1 7 1 。与对称量子阱相比，非对称量子阱具有独特的 优势，它可以通过改变单个量子阱的宽度来调整带隙宽度，也可以通过改变势垒大 小来改变子带能级宽度。这样就可以与不同频率太赫兹波产生共振。另外，通过改 变各个量子阱的宽度可以得到不同的非线性效应以及通过施加外加电场来改变半导 体异质结的光学特性。 与外加直流场一样【2 5 ，在实验中，外加太赫兹场也有两种取向。一种是太赫兹 场沿量子阱平面方向 2 0 0 2 2 。在这种情况下，产生和体材料一样的弗伦兹一凯尔迪什 效应1 1 8 。另一种情况是太赫兹场沿量子阱z 轴方向 2 3 】，即量子阱生长方向，主要产 中国科学院上海微系统与传尽技术研究所博士学位论文 一j 一 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 生量子约束斯塔克效应。在后一种情况中，光激发产生的电子和空穴仍然相隔很 近。这种约束使得电子空穴对与光场产生较强的作用。正因为如此，这种几何结构 对作为光器件具有更大的优势，因此在以后的讨论中我们主要研究太赫兹场沿量子 阱生长方向的光吸收特性。 在实验取得巨大进步的同时，理论研究也取得了长足进步。人们用从原子光学 发展起来的少量能级( f e w l e v e l ) 模型研究了外光场对带间 2 6 1 和子带间光吸收的影 响。s a d e g h i 等人用激子基和自由基研究了包括激子效应的半导体光吸收特性 t 4 , z s , 2 9 i 。 在考虑多个子带时，理论模拟的主要困难在于要考虑各个子能带间的库仑作用。而 且对于不同的材料，要重新计算库仑势，这对于器件模拟十分不利。最近，m a s l o v 等入用时域差分技术研究了量子阱的光吸收谱【1 5 】。此外，用非微扰的f l o q u e t 公式 计算边带强度也非常有效【1 7 ： 1 3 量子阱子带间跃迁研究 由于在通讯、传感、图像以及分子学中的应用，近年来，子带间( i n t e r s u b b a n d ) 光学现象是理论和实验研究的一个重点和热点1 3 2 】。子带间的跃迁只依赖一种载流 子，电子在不同的导带子带间跃迁，如图1 4 所示。基于子带间跃迁的激光器和探测 声囊 盈 叠k 1 9 酬“ 帆， e 1 2 e n 目甜 e 徨 图1 4 量子阱中的子带间跃迁和带间跃迁( a ) 为子带间跃迁带间跃迁 器与传统的激光器和探测器相比具有独特的优势d o , 3 3 。传统的半导体激光器利用导 带的电子和价带的空穴复合而发光，激射波长受材料带隙决定，另外，由于电子和 空穴分别在导带和价带广泛分布，满足赞米统计，以至于增益光谱很宽。而子能带 间跃迁具有与带隙无关，偶极矩阵元大以及超快动力反应的优点d ”。另外，利用 子带间跃迁激光器可以做成独特的“级联”形式。电子从一个周期到下一个周期， 不断循环运动，在每个周期激射一个光子，虬个周期激射眠光子，因此光场强度 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 4 一 澎乱 第一章文献综述 正比于虬。目前，量子级联激光器的激射波长已经从中红外覆盖到太赫兹波段，在 光通信，超高分辨率频谱仪，超高灵敏度气体探测系统等领域都有了很好的应用。 正是基于子带间跃迁，近年来，太赫兹量子级联激光器取得巨大进步。2 0 0 2 ， 意大利r t i d g e r k 6 h l e r ( p i s a ) 等人研究成功世界上第一个太赫兹范围内的激光器。2 0 0 2 年，r o c h a t ( n e u c h a t e l ) 等人研制成功世界上第二个太赫兹量子级联激光器【3 8 1 。2 0 0 3 年，g s c a l a r i ( n e u c h & t e | ) 等人报道了由束缚态向连续态跃迁的太赫兹量子级联激光 器【3 9 】。注入区的电子注入到一个孤立的电子子能级，该能级由接近注入区的一个窄 阱产生，电子再斜跃迁到连续的微带，激射太赫兹波。同年，w i l l i a m s ( m r r ) 等人利 用声子共振散射和双面金属波导层结构，得到激射频率约3 0 t h z ( a = 9 8 1 0 2 “m 1 的量子级联激光器【4 们。接着，w m i 锄s ( i v i t ) 等人【4 l 】在上述激光器的结构基础上， 增大了有源区某个势垒的宽度( 从原来的2 4 a 增加到3 0a ) ，使得最低的两个能级的 能量差减小，增大了耦合强度。 子带间跃迁不但是半导体器件技术进步的物理基础，而且也是研究固体多体 效应的一个理想平台h 2 川】。从单粒子角度看，子带间跃迁只是两个子带间的偶极 许可下的跃迁。然而，子带问跃迁还受到各种集体激发效应影响，如费米边奇性 ( f e s ) 和子带间等离子体激元0 s l , ) 等。近年来，库仑作用在子带间共振中产生的集 体激发现象得到了广泛研究 4 s - s s 。如果用自恰场方法来调查子带间共振，研究发现 振荡强度坍塌为一个明显的集体模式，即相对于自由粒子光谱出现篮移，这就是 去极化效应。在这种平均场方法中，只有i s p 对子带间跃迁产生影响。与之相比， 通过直接处理顶点项，f e s 和i s p 可以用同一方法处理。用到的方法有格林函数方 法 5 3 , 5 4 1 或密度矩阵理论1 4 s , 5 9 1 。计算结果表明如果包括顶点项，多体效应使吸收峰出 现红移，这一点与平均场方法显然不同。另外光谱峰值处于自由载流子峰和去极化 峰之间，光谱线形主要由f e s 确定。最近，“等人认为吸收谱的线形和峰值位置不 但与多体效应相关而且与系统的载流予浓度、阱宽和带结构的非抛物性相关【4 ”。 另外，基于子带跃迁的量子相干现象，如r a b i 振荡等，也得到广泛研究【6 2 。 半导体量子阱中的子带跃迁是一个研究用光来控制极化的理想模型 6 3 , 6 4 1 。在量子阱 中，子带间的光跃迁频率由量子阱宽度决定。由于各个子带平面色散近乎平行，这 使得子带间跃迁几乎与平面波矢无关，从而可以得到较窄的吸收线形。如果用外光 场驱使系统相干，比如通过光与予带间耦合使得几个子带包络波函数产生叠加，这 样就可以控制极化 6 5 1 。最近，l u o 等人通过观察r a b i 振荡来证实可以通过非线性相 干来控制光极化和载流子分布【6 l l 。 1 4 电场作用下超晶格的动力学过程 近年来，外场作用下的半导体超晶格引起人们广泛兴趣。在外场作用下，超晶 格表现出许多有趣的物理现象。这些现象包括布洛赫振荡( b o ) 6 6 1 ，万尼尔一斯塔 中国科学院上海徽系统与信息技术研究所博士学位论文 一5 一 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 克阶梯t w s l ) 6 77 3 ，动力局域化u 4 , 7 5 1 以及太赫兹波发射f q 等。研究这些现象不但有 可能实现可调的太赫兹源而且对研究半导体相干动力学物理本质有着重要意义。 1 9 2 8 年，布洛赫从理论上证明，当处于周期势中的电子受到外电场作用时，会 在实空间和动量空间形成周期性振荡【6 6 】，这种振荡叫做布洛赫振荡。布洛赫振荡周 期r 日与外加电场f 和晶格周期d 成反比。这个理论概念经历了数十年的争论，争 论的焦点在于对无限固体描述其电子运动理论是否正确，是不是存在离散万尼尔斯 塔克阶梯。同时，人们也一直希望从实验上取得突破，但是从体材料中，一直未能 观察到布洛赫振荡和万尼尔斯塔克阶梯。观察布洛赫振荡必须满足一定条件，一是 布洛赫周期一定要小于解相时间 r c i 口1 。带间隧穿是决定下d 的重要因素，特别是随着 外加电压增加，其影响越来越大。相比体材料，超晶格的晶格周期要大得多，因此 在相同电压下其布洛赫周期要比体材料的要小。因此超晶格是观察布洛赫振荡和 w s l 的理想材料。 布洛赫振荡很容易用半经典理论来解释，如图1 5 所示。在电场f 作用下，准 圈1 5布洛赫振荡的半经典i 虱t l t ：( a ) 色散关系e c k ) 和实空间群速度w ，实空间中的振荡 动量改变的速率为 h k = e f 因此有 k = k o 十e f t t , 、 布洛赫周期为t b 。超晶格的微带色散关系为 e = 岛一i a c o s ( d ) ( 1 2 ) ( 13 ) ( 14 ) 群速度( a e o k ) h 和位置z 上的波包分别为 吣) = 丽a d s i n ( 等) ， ( 1 5 ) 中国科学院上海微系统与曼璺技术研究所博士学位论文 第一章文献综连 和 邢) 一z o “翕) c o s ( 等) 0 6 ) 从以上两式可以看出电子既在动量空间又在实空间上作周期性运动，时间周期和空 问周期分别为 t b = h e 2 d ，( 17 ) l = e f d ng 、 粒子作布洛赫运动的相位主要依赖初始条件但是在半经典理论中所有与时间相关 的物理量都由加速定理变换而来，这使得描述初始条件非常困难，因此有必要用其 他理论来描述系统动力学过程。 星寺名寮型鬻罐裂罾? 耀乏警暴尊器去磬鼋者妥馨翟甏臂盘形成微带；当f 为中等大小，形 在实际理论研究中，布洛赫振荡往往用万尼尔斯塔克图象来描述。在万尼尔 一斯塔克图象中，描述系统动力学过程的基为包括电场的哈密顿量的本征值，稚洛 赫振荡的基本性质可以用紧束缚方法推导出来。万尼尔斯塔克态皿。表述为t 6 7 , t s l ： 荆= 如一。( 丽a j ) 垂( 。一j d ) ， ( 19 ) 其中n 一0 ，土1 ，士2 ，方程中只考虑最近邻耦台而忽略与其他带间的耦合l 硼。圣( z ) 为孤立量子阱的波函数以为j 阶贝赛尔函数e 从贝赛尔函数自变量可以得出局域 眭度l = = a 2 s f ，局域眭度使得我们可以区分外场作用下的三种不同的物理机制， 如图1 6 所示。当f 0 时，形成微带；当f 很大( e f d 】时，局域长度小于超晶 格周期，系统行为类似于单量子阱：当f 为中等强度时波函数扩展到几个晶格周 中国科学院上簿微系统与! 璺技术研究所博士学位论文 奎墅苎丝堡里! 堡丝兰量竺兰兰塑竺堡窒 期，此时微带能级变成离散的能级即形成万尼尔一斯塔克阶梯 e = e o + 札e f d n 1 0 ) 其中n = 0 ，土1 ，士2 ，。 如果在超晶格的直流偏压上再加上一个交流场，表出的物理现象更为丰富。 我们设外加电场为f ( t ) = 如+ f o 。c o s d 。t ) ，通常交流场的频率为太赫兹频率范围 内。研究发现当e d f d 。= n 舰。如果厶( q ) = 0 ，会出现动力局域化1 8 0 。用激子基 计算出的光吸收峰出现漂移，这些漂移与太赫兹场频率相关【8 l l 。此外，带问动力学 过程和太赫兹发射也得到广泛研究1 7 6 ，嘲。 中国科学院上海徽系统与信息技术研究所博士学位论丈 一8 一 第二章半导体量子阱栽流子动力学微观理论 第二章半导体量子阱载流子动力学微观理论 超短时间尺度下，半导体量子阱的载流子动力学过程不能再由经典半经典理论 来解释。因为这些现象往往与粒子的波动性相关，因此必须用量子动力学理论来解 释这类物理现象m 。对载流子的动力学研究，主要有两种理论，一种是非平衡格 林函数理论【8 “8 9 1 ，另一种是密度矩阵理论 8 3 - 9 0 - 9 3 。这两种理论都属于量子动力学理 论，它们都是通过分布函数这个基本物理量来计算实验观察量，如平均电流和极化 等。用量子动力学理论可以研究些经典动力学理论不再适用的实验现象，如四波 混频口o 9 s 、量子拍 9 6 1 和太赫兹发射等。在这一章，我们主要介绍用密度矩阵理论 来研究外场作用下低维半导体器件的载流子动力学过程的基本方法。首先给出系统 的哈密顿量，然后根据哈密顿量用海森保方程推导出系统的载流子运动方程，通过 解运动方程得到实验观察量。本章具体安排如下，第一节给出系统的哈密顿量及运 动方程；第二节详细阐述了一些数值计算方面的技巧和方法：几种计算量子阱波函 数的方法放在第三节介绍；最后作一个小结。 2 1 光场作用下量子阱中载流子的哈密顿量及运动方程 考虑一个处于光场作用下的半导体量子阱，其光学及输运特性由系统的啥密顿量 确定。半导体嚣子阱中的载流子哈密顿量包括载流子的动能项，载流子与光场的作 用项，载流子之间的库仑项以及载流子与声子的相互作用项。在这里我们忽略载流 子与声子之间的作用项，总哈密顿量由前三项组成： h = h o 十h i + h ( 2 1 ) 其中，嚣。为自由载流子的哈密顿量，片f 表示载流子与光场的作用哈密顿量，凰 是库仑作用项的哈密顿量。 在一次量子化理论框架下，凰表示为： 凰= e ；t 哇如 + 畦。喀而，。 t kj ，k ( 22 ) 其中 e c h 仆) 为电子( 空穴) 在子带i ( j ) 上的动能，x ( e k ) = e 知( e 知) + i 熹目r 平面 波矢为k ，e ：o ( e 2 0 ) 为电子( 空穴) 第t 0 ) 个子带上的本征能量，m 。( m 曲是导带( 价 带) 电子( 空穴) 的有效质量。c 矗和岛。分别为电予的产生和湮灭算符，c & 表示在第l 子带上产生一个波矢为k 的电子，岛 是嚷的共轭算符，表示湮灭一个电子。礁 和d ，。分别为空穴的产生和湮灭算符，d 氟表示在第j 子带上产生一个波矢为k 的空 穴，同样，d n 是d 气的共轭算符，表示湮灭一个空定。 穴，同样，d d ，t 是嚷的共轭算符，表示湮灭一个空穴a l l 目科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一9 一 第= 章半导体量子阱栽漉子动力学微观理硷 第二章半导体量子阱载流子动力学微观理论 超短时间尺度下，半导体量子阱的载流子动力学过程不能再由经典半经典理论 来解释。因为这些现象往往与粒子的波动性相关，因此必须用量子动力学理论来解 释这类物理现象 8 3 3 。对载流子的动力学研究，主要有两种理论，一种是非平衡格 林函数理论【8 4 _ 8 9 l ，另一种是密度矩阵理论【8 3 ，船蝴。这两种理论都属于量子动力学理 论，它们都是通过分布函数这个基本物理量来计算实验观察量，如平均电流和极化 等，甩量子动力学理论可以研究一些经典动力学理论不再适用的实验现象，如四波 混频1 9 0 ，”9 s 】、量子拍 9 5 1 和太赫兹发射等。在这一章，我们主要介绍用密度矩阵理论 来研究外场作用下低维半导体器件的载流子动力学过程的基本方法。首先给出系统 的哈密顿量，然后根据哈密顿量用海森保方程推导出系统的载流子运动方程，通过 解运动方程得到实验观察量。本章具体安排如下，第一节给出系统的哈密顿量及运 动方程；第二节详细阐述了些数值计算方面的技巧和方法；几种计算量子阱波函 数的方法放在第三节介绍；最后作一个小结。 2 1 光场作用下量子阱中载流子的哈密顿量及运动方程 考虑一个处于光场作用下的半导体量子阱，其光学及输运特性由系统的哈密顿量 确定。半导体量子阱中的载流子哈密顿量包括载流子的动能项，载流子与光场的作 用项，载流子之间的库仑项以及载流予与声子的相互作用项。在这里我们忽略载流 子与声子之间的作用项，总哈密顿量由前三项组成： h = h o + h i + h 。m 【 ( 2 1 ) 其中，日。为自由载流子的哈密顿量，所表示载流子与光场的作用哈密顿量，日c 。f 是库仑作用项的哈密顿量。 在二次量子化理论框架下，协表示为： z b = e ；皿c 氛q ，t + e 珏d 氧略 i , k j , k ( 2 2 ) 其中e 氛( e i 。) 为电子( 空穴) 在子带 ( j ) 上的动能e 乏k ( 哇- ) = e i o ( e i o ) + 丽h 而2 k 2 丽，平面 波矢为k ，e ；o ( e i o ) 为电子( 空穴) 第t 0 ) 个子带上的本征能量，m 。( m h ) 是导带( 价 带) 电子( 空穴) 的有效质量。c 基和盘，k 分别为电子的产生和湮灭算符，嚷表示在第i 子带上产生一个波矢为k 的电子，岛，k 是嚷的共轭算符，表示湮灭一个电子。d 氧 和d k 分别为空穴的产生和湮灭算符，d 氧表示在第j 子带上产生一个波矢为k 的空 穴，同样，d k 是d 氮的共轭算符，表示湮灭个空穴。 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一9 一 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 在偶极近似下，光与系统相互作用项表示为 毋= 萋嚎t e e 最吣一e d f k t e e 旷盖蜘 一e - ( t ) ( 峨切畦，。x + 峨血瞄，。) 一e ( t ) ( 坞略蛙一。+ 峨吗，舶，t ) ， ( 2 3 ) 在方程中，与子带间耦合的电场分解成两个方向，一个是自由方向上的分量目i 另一个是局局域方向上的分量f l 。子带偶极矩阵元为 m ：1 2 = - - efd r - 蟒( r - ) r 上嚷( r - ) m ；l j 2 = e d r - 蝣( n ) r - 黩( r - ) ( 2 4 ) ( 2 5 ) 对无限势垒的量子阱，其波函数的包络函数为喧璺的三角函数，当t 为奇数时， 戎“, 、= 、f - 芒- c d s ( i t r z l ) ，当i 为偶数时，咖；“= 兰s 轨( t 丌。l ) ，其中上为量子阱 宽度。其子带间偶极矩阵元可以直接求出2 = 萨1 6 l ，4 = 一提m l 。，尬3 = 一凳尬2 ，m 1 4 = 。5 。4 m 1 2a 导带与价带间偶极矩阵元为 m 玎= 一e d 3 r u ”( r ) 弛“( r ) d r 上烈r - ) r 上霹( r 上) ， ( 2 6 ) 同样对无限势垒量子阱，可以通过近似求出带间偶极矩阵元。将量子阱导带近似为 体材料中类p 态，价带看成是类s 态，则导带和价带间偶极矩阵元为蚝= e ( 7 以) a 。在后面的计算中考虑系统与光场耦合时，对于光场对予带问跃迁的贡献，只考虑 光场在受限方向上与子带间的耦合，即只考虑e i 与子带间的作用部分。 库仑作用项是由系统内的带电粒子相互作用引起的。在双带模型下，库仑势可 以分为两种不同的类型。一部分是保持每个子带的载流子数守恒，其中包括电子一 电子，空穴一空穴以及电子一空穴之间的相互作用。另一部分描述导带一价带之间 的跃迁，主要有碰撞离化和恶歇复合。碰撞离化要求载流子有较高的能量，而恶歇 复合要求载流子浓度较高。一般情况下，高能量高浓度实验条件难以达到所以通 常忽略后一种库仑势。库仑作用项是一个复杂的多体问题，直接从其哈密顿量不做 任何近似来求解是很困难的，通常是在一定近似下求解多体闻题。目前常用的近似 很多，如均匀电子气( h o m o g e n e o u se l e c t r o n g a s 或j e l l i u m ) 模型、紧束缚( t i g h t b i n d i n g ) 模型以及h u b b a r d 模型等。在均匀电子气模型下，载流子一载流子相互作用哈密顿量 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一1 0 第= 章半导体量子阱裁流子动力孝微观理论 表示为 如“= ；w i i 2 i i l 2 ( q ) 瞄k + 。呓f 一。帕拈 。“2 南，丸，k ，f q + i 昭访融( q ) 咳k + 。一。 j 1 ，2 ，3 ，4 k ，k l q 一 w 2 ( q ) 畦 + 。咳k ，一。d j 2 , k k ， ( 2 7 ) l ，i 2 ，j 1 j 2 ，k ，k t , q 其中，库仑矩阵元为 w “”“4 = v 。a d 蹬“蹬s m n f 。m ”2 ：d r l 蝣。( n ) r i 咖。( r i ) e q m 瑶= 丽4 1 - e 2 蕊1 ( 28 a ) ( 2 8 b ) f 2 ，8 e ) 将( 2 8 a ) 一( 2 8 c ) 式中的对q 上求和进一步展开，可以得到多子带量子阱的库仑矩阵元 w “m n “q = k 出d z 如。( z ) 咖。( z ) e - q l z - z l 咖。：。 ( 2 1 9 ) k 是二维库仑势的傅立叶变换 k = 瓣e 2 是材料的介电常数，a 为二维系统的面积。 ( 2 1 0 ) 半导体中大量电子的相互作用导致明显的等离子屏蔽效应。随着等离子体密度 增加，屏蔽效应使库仑作用范围减小。另外，随着等离子体密度的增加，等离子体 中聚集的激子形成的等离子激元，它使得介电函数增大，从而有效降低库仑作用的 强度。因此，在计算库仑作用时，以上裸露库仑势应该用动态屏蔽库仑势代替。在 随机相位近似( r a n d o m p h a s e a p p r o x i m a t i o n 即心a ) 下，屏蔽库仑势表示为： w = k t e ( q ，u ) ， ( 2 1 1 ) 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一l l 一 奎墅茎丝堡里! 堡堡兰量堡堂耋篁丝堑窒 其中动态介电函数g ( q ，u ) 在静态极限下近似为： s ( q ，u ) = 1 + ；， ( 2 _ 1 2 ) 一2 孬墨品，k = 。= 夏善晶( ，一e - a “州h 吖“) ， ( 2 1 3 ) ”丽，2 赢【卜”“”“”“) ， ( 2 1 3 ) 其中k 是二维屏蔽波数，n 为电子浓度，为玻耳兹曼常数。 根据以上公式得出的系统哈密顿量，我们可以求出实验观察量，如：载流子密 度，电子极化以及吸收光谱等。这些实验观察量可以用单粒子密度矩阵表示出来。 在密度矩阵理论中最基本的变量是电子和空穴的子带间( i n t r a b a n d ) 密度矩阵( 即分布 函数和子带间极化) 蜀。k 一 c 去，k c f 。k ) ，盎。，k = ( 站，k 屯，t ) ( 2 1 4 ) 以及带间( i n m r b a n d ) 密度矩阵( 带间极化) ： p j l i l ，k = ( 由。，一k c a l ，k ) ，鼽1 扎k = ( g 1 k 略，一k ) ( 2 1 5 ) 将以上密度矩阵代入海森保运动方程，可以推导出有关载流予分布，子带问极化和 带间极化的运动方程。海森保运动方程为 i 五兰) = 。删 ( 2 1 6 ) 其中，p 【t ) 为海森堡表象中的任意操作算符a 将式( 2 1 4 ) 和式( 2 1 5 ) 代入方程( 2 1 6 ) 中，并对相关的费米算符作相应运算就得到载流子的运动方程： 危堡秀半= 吨r e i l _ + - ；e i i - 未 + t e 上( t ) ( m e 2 如嚣k m 毛t ，最乜k ) + 诬( t ) ( 盹：j 。壤 1 k 一峨j 。功。，k ) 一i i 毛垴。文。+ 吃。如t 。】璧。 一i 盼啦醇沌。一蟾扎国，咄t j 1 一夏= 1 ( 1 一) m ( 2 1 7 ) 中国科学院上海微系统与信息技术研究所博士学位论文 一1 2 托竺! 竺三盟：一。( 喙一。h ，。) 聩缸，一。( t ) + ；e | | 最吐扛一n 以 + i e 。( t ) ( 魄，。盎扭一。一m 凳。穗。x )- ( t ) ( 魄，。盎扭一t m 捌x j 3 + 诬( t ) ( 鸭。，。p 蕊k m 粕功z m x ) “ 一 i s 羔“一t 吩。j 。十s 盖扎一。岛。j 4 】盎“一n j 3 j 4 一 弘慨西山粤一j l 妒饥 l ) f h ：一。0 ) ， ( 2 1 8 ) 危生萼粤：一i ( 。矗 十e j l h ，一。一) 肺小( t ) 十i 即最，t 出 + t e o ) 匹m 埘h 。跗小一嘴t 。p j 她，k ) + i e ( t ) ( m 郇。一盹。j 。援一m 讹一k ) 一t 忙一k + e 矗站屯m 。，。 一i _ 。血 蛾。赴6 盎j 2 6 n j 2 坛h k 一最- t 。菇，一k l 一鬲1 一蛳汕( t ) ， ( 2 1 9 ) 其中，由电子一电子和空穴空穴相互作用产生的自能矩阵毛t ， k ( h ：，t ) 为： e 嗡锄幽h n 焉3 1 4 , q 溉f 一以 ( 2 2 0 ) 。：一瞄捌。”n + 笋。鼬一壤脚， ( 2 2 1 ) + 三，瓶。一，协“ 卜4 i i 。k j 3 j 4 ，“ 中国科学院上海微系统与要梦术研究所博士学位论文 太赫兹场作用下低维半导体光学特性研究 由电子一空穴相互作用产生的内场矩阵巩l 儿k 为 阮“k 一w l j 2 j l i 2 p j ：咄k 十q t 2 j 2q 另外，在方程( 21 7 ) 一( 2 1 9 ) 中，引入唯象的衰减时间常数噩，乃来描述非相干碰撞 项。这些阻尼效应来源于一些以上方程中没有考虑的非相干的散射机制，如电子一 声子散射等。这些散射机制倾向于使非平衡电子分布和电子极化重新回到热平衡状 态。 2 2 量子阱载流子运动方程数值解法 通过解运动方程( 2 1 7 ) 一( 2 1 9 ) ，我们就可以求出相关的实验观察量，如光增 益，光吸收谱以及折射系数等。在论文中，选择g a a s 量子阱作为计算对象【9 ”。对 给定的载流子浓度和激光频率，可以求出其增益和吸收光谱，计算流程图如2 i 所 示。首先输入计算参数，如材料参数，光场强度以及光场频率等。然后按照波矢k 离散相关物理量，并对运动方程求积分。最后按k 对极化求和并计算出光增益等实 验观察量。 在对波矢k 离散求和时，我们通常将之变成积分，近似地将离散的波矢变成连 续载流子动量分布。对二维电子气有： 军一杀z 。z “眦鄙 ( 2 2 3 ) 在求解过程中我们经常要对离散值求积分，一般我们用简单的梯形求积法。这种简 单求积办法就是将积分变量离散，积分值为梯形面积之和，假设求积分s ， ，口。 s 2 上。出( 髫) n 2 ；( 弧+ y k 一1 ) ( 一1 ) k