（水声工程专业论文）有限弹性圆柱壳水下声辐射快速预报方法研究.pdf

哈尔滨工程大学硕士学位论文 a b s t i 认c t t h ee l a s t i cc y l i n d r i c a ls h e l li sat y p i c a ls 仃u c t u r eo fu n d e r w a t e rv e h i c l e s ，a n d t h ef a s tp r e d i c t i o no fu n d e r w a t e rs o u n dr a d i a t i o nf r o mt h i sk i n do fs t r u c t u r e si s v e r yi m p o r t a n t i n e n g i n e e r i n g b a s e d o nb e m ，t h es y s t e ms o f t w a r ef o r u n d e r w a t e rs o u n dr a d i a t i o nf r o me l a s t i cs t r u c t u r e sh a sb e e nd e v e l o p e di nt h i s p a p e rb yu s i n gf o r t r a na n dv i s u a lc 抖j o i n t l y t h ei n v e s t i g a t i o no nt h e f a s t - p r e d i c t i o nm e t h o do fu n d e r w a t e rs o u n dr a d i a t i o nf r o me l a s t i cc y l i n d r i c a l s h e l l - s 缸u c 仅i r e sh a sb e e nd o n eb yu s eo ft h i ss y s t e ms o f t w a r e t or e a l i z et h ef a s tp r e d i c t i o no fu n d e r w a t e rs o u n dr a d i a t i o n , t w oc r u c i a l t e c h n o l o g i e s ，t h ep r e c o m p u t a t i o no ft h ec o e f f i c i e n tm a t r i xa n di t si n t e r p o l a t i o ni n f r e q u e n c yd o m a i n , h a v eb e e na d o p t e di nt h i sp a p e r e m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h a t t h eu s eo ft h e s et w ot e c h n o l o g i e sh a sr a i s e dt h es p e e do ft h ep r e d i c t i o no fs o u n d r a d i a t i o ng r e a t l y h o w e v e r , c o n s i d e r i n gt h e a p p l i c a t i o no ft h e s em e t h o d si n e n g i n e e r i n g ，t w oa p p r o x i m a t em e t h o d so fp r e d i c t i o no fs o u n dr a d i a t i o nf r o m e l a s t i cs t r u c t u r e sh a v eb e e np u tf o r w a r di nt h i sp a p e r , i nw h i c ht h ea m p l i t u d eo f t h en o r m a lv e l o c i t ya n dt h em e a ns q u a r ea m p l i t u d eo ft h en o r m a lv e l o c i t yo n s 廿u c n l r e ss u r f a c eh a v eb e e nu s e dr e s p e c t i v e l y , i n s t e a dt h eu s eo ft h ec o m p l e x v a l u e so ft h en o r m a lv e l o c i t yo ns t r u c t u r e ss u r f a c e t h er a d i a t e ds o u n dp o w e ri sa l li m p o r t a n ta c o u s t i ci t e mf o ras u b m e r g e d e l a s t i cs 缸- u c t i l r e t or e s e a r c ht h em e t h o do ft h ef a s tp r e d i c t i o no fs o u n dr a d i a t i o n p o w e r , i nt h i sp a p e r , t h ee m u l a t i o ne x p e r i m e n t so ft h ef a s tp r e d i c t i o no f s o u n d r a d i a t i o n p o w e r f r o mv a r i o u sm o d e l sh a v eb e e nc a r r i e do u tb yu s et h e a p p r o x i m a t em e t h o d sm e n t i o n e de a r l i e r t h er e s u l t ss h o wt h a tt h ep r e d i c t e d c h i v e i sw e l ls i m i l a rt ot h et h e o r e t i c a lo n ei nt h ea n a l y s i sf r e q u e n c yb a n d b u tt h e c a l c u l a t i n gt i m ei sf a rl e s sb yt h ea p p r o x i m a t em e t h o d t h a nt h a tb yn o r m a lb e m t h ea n a l o g yo ft h ev i b r a t i o na n ds o u n dr a d i a t i o nf r o map u l s es p h e r es o u r c e ， f r o ma s w i n gs p h e r es o u r c ea n df r o mas u b m e r g e d 姗c c u r c h a sb e e na n a l y z e di n t h i sp a p e r t h ea n a l y z e dr e s u l th a sw e l le x p l a i n e dt h ed i f f e r e n c e so fr a d i a t e d 哈尔滨工程大学硕士学位论文 s o u n dp o w e rc u r v e so b t a i n e db yt h ef a s tp r e d i c t e dm e t h o da n db yn o r m a lb e m r e s p e c t i v e l y b a s e do nt h e s er e s u l t s ，t h em e t h o dt h a tt h ep r e d i c t i o no fr a d i a t e d s o u n dp o w e rh a sb e e nr e v i s e di nd i f f e r e n tf r e q u e n c yb a n d sh a sb e e np u tf o r w a r d 1 1 1 ee m u l a t i o nr e s u l ts h o w st h a tt h ep r e d i c t e dp r e c i s i o no fr a d i a t e ds o u n dp o w e r h a sb e e nr a i s e di ns o m ed e g r e eb yu s eo ft h i sk i n do fr e v i s e dm e t h o d h o w e v e r , h o wt os e l e c tt h eb e s tr e v i s e df a c t o rn e e dr e s e a r c h i n gf u r t h e r n l er e s e a r c hw o r ki nt h i sp a p e rm a yb ear e f e r e n c et ot h ef a s tp r e d i c t i o no f t h es o u n dr a d i a t i o nf r o mt h es u b m e r g e dc o m p l e xe l a s t i cs h e l l s t r u c t u r e s k e yw o r d s ：u n d e r w a t e ra c o u s t i c s ；b e m ；s o u n dr a d i a t i o n ；f a s tp r e d i c t i o n 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献的引 用已在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已注明引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表 的作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均 已在文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结 果由本人承担。 作者( 签字) ： 旅超 日期：如q 年3 月f 日 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第1 章绪论 1 1 引言 当今社会，潜艇已经成为一个临海国家海洋防御的重要力量。性能优良 的潜艇不仅是震慑敌人强有力的武器，也是一个国家科技力量乃至综合实力 的重要标志。随着科学技术的发展，声呐技术和信号处理技术不断提高，声 呐的探测能力也越来越强。这就为潜艇的声隐身技术提出了更高的要求，因 为潜艇最重要的优势就在于它的隐蔽性，一旦隐蔽性能不好，将直接威胁着 潜艇的生存能力。因此，良好的隐蔽性已经成为潜艇等水下航器在水下生存 并对敌方实施有效打击的重要前提。 随着科学技术的发展，人们提出了很多降低潜艇辐射噪声的办法，例如 在艇身覆盖复杂材料结构的消声瓦等，这些技术的使用大大降低了潜艇在 高频段的辐射噪声，但是，对于中低频段尤其是低频段的噪声辐射问题，目 前依然没有非常理想的解决办法。因此，中低频段噪声辐射是潜艇水下噪声 辐射的主要来源，对于它的快速有效的监测预报，也就变得十分迫切和重要。 潜艇要不被敌人发现，首先必须要知道自身辐射声场的情况。只有知道 了自己辐射噪声的能力，才能够正确判断自己的隐蔽安全半径是多少，也才 能够判断自己能否被敌方发现。因此，对潜艇辐射噪声实时有效的监测是潜 艇在水下生存和作业的重要保障。早在七十年代初期，美国就在潜艇上安装 了振动传感器和水听器，用于监测潜艇航行状态的振动和噪声。近年来，国 内外开发了集典型部位振动噪声监测、水下辐射噪声在线预报、航行参数优 化决策等功能于一体的多功能声学系统。据第六届国际潜艇会议( 2 0 0 0 年) 论文介绍，法国造船管理局( p c n ) 为新一代潜艇设计研究了a s s ( 声学状 态监控) 系统，用于预报潜艇的综合声学性能和活动半径。近几年，我国也 在积极开展相关技术的研究工作。 1 2 研究现状 对于弹性壳体水下结构振动和声辐射问题，国内外学者进行了大量的工 作，提出了许多研究方法和理论，主要有理论、数值和实验三种。随着计算 哈尔滨工程大学硕士学位论文 机技术的快速发展，数值方法逐渐受到大家的广泛应用。其中，由于边界元 法在域内采用解析表达式，只在求解域的边界上进行离散，是半解析半数值 的方法，采用边界元法计算结构声辐射和声散射是国内外近4 0 年来颇受重视 的一个课题脚。 用边界元法求解结构声学问题可以追溯到2 0 世纪6 0 年代c h e n 阱和 c h e r t o c k 一1 的研究工作，c h c n 和s c h w e i k c r t 采用简单源方法，而c h e r t o c k 则 采用表面h e l m h o l t z 积分方程求解了结构表面振速分布为己知的结构声辐射 问题。在早期的结构声学边界元法研究中，对边界积分方程在边界上划分单 元迸行离散时基本上采用的都是常数元，进入8 0 年代后，随着边界元法的蓬 勃发展，结构声学问题的边界元法理论也得到了发展和完善。其中，具有代 表性的工作是s e y b e a 等的研究工作，他们推导了h e l m h o l t z 积分方程中可以 用于任意非光滑结构表面的边界系数计算公式，使之使用于有角点和棱边的 非光滑结构表面的声辐射和声散射计算，并将二次等参元用于h e l r n h o l t z 积 分方程的离散i 极大地提高了求解结构表面为曲面时结构声辐射和声散射问 题的计算精度和效率p 1 。他们还对用边界元法求解半空间( 半自由声场) 中 结构声辐射和声散射问题做了系统深入的研究，在实际应用中具有广泛的应 用前景。另外，s e y b e r t 等还对边晁元公式在特征频率处解不唯一的问题作了 深入细致的研究。 对于中低频激励作用下的水下复杂结构的振动声辐射问题，现在一般采 用耦合的有限元边界元方法进行求解。有关耦合有限元和边界元法的文献可 以追溯到2 0 世纪7 0 年代，s m i t h 等采用边界积分方程求出声辐射阻抗后将 流体的负荷考虑到结构有限元方程中再进行求解，z i e n k i e w i c z 等p 1 将有限元 方程和由边界元积分方程导出的方程相耦合并以结构变量为未知数进行求 解。在此之后，w i l t o n 将有限元方程带入到声场方程中，得到一个用声场变 量表达的耦合方程。m a t h e w s 的研究工作表明，以声场变量为未知数的耦合 方程在求解时具有更高的计算精度。崔宏武和赵德有等基于耦合有限元边界 元法使用四边形常数元对水下三维结构振动声辐射进行了数值计算。 e v e r s t i n e 等将边界元法和有限元分析程序n a s t r a n 相结合，并采用一个高 效的求解器进行求解，可用于大型流固耦合问题的分析p 1 。张敬东和何祚镛 用有限元+ 边界元修正的模态分解法计算了水下结构的振动和声辐射p 1 。 2 哈尔滨工程大学硕士学位论文 ； -in iii i 宣暑i 蕾昌i ；宣暑宣置i i i i 暑暑盲昌暑i 奄 b e n t l l i e n 等采用频率插值方法来提高耦合有限元边界元方法在多频分析时 的计算效率。 关于弹性壳体水下振动和声辐射问题，加筋圆柱壳聊也是一种典型的研 究结构。对于单层壳，h o p p m a n n q 研究了纵横加筋圆柱壳振动问题。 c t d g a l l e t l y 采用了能量法计算了板壳与环肋的应变能和动能。j u n g e rm 。c 研究了无限长圆柱壳表面的辐射声压，将圆柱壳表面的径向位移沿周向展开 成f o u r i e r 级数，再用分离变量法求解了二维柱坐标系中的波动方程得到的声 压1 1 。对于双层壳体，y o s h i k a w a 等首先对双层同轴圆柱壳在水下的总体振动 进行了研究，提出了强耦合、弱耦合的理论，发现内外壳体同一振型对应两 个不同的频率，其中低频内外壳的振动几乎相同，高频时内外壳作相反振动， 外壳体对内壳体声辐射“不透明 ，内外壳体振动强烈耦合刁。陈美霞等用模 态展开法推导了有限长双层环加肋圆柱壳在流场中辐射声压的解析公式 ， 考虑了环肋与壳体间三个方向的反力和反力矩。关于圆柱壳外敷设阻尼层后 的振动和声辐射的研究，d b u s h n e l l 在1 9 6 1 年运用模态展开法和f l u g g e 理 论以及w i l l i a m s 理论研究了有限长简单支撑各向同性双层壳在动载荷作用下 的振动响应舢。s b d o n g 则运用k i r c h l a l f f - l o v e 假设和d o n n e l l 理论对边界条 件分别为简单支撑和任意边界情况的有限长多层正交各向异性圆柱壳的自由 振动作了研究5 1 。l a w r e n c ef l a x 和w e m e rg n e u b a u e r 对无限长双层圆柱壳 ( 圆柱壳内为真空) 在水下平面波的反射进行了分析，表明在壳体是非金属 弹性材料的时候必须考虑壳体对声辐射的吸收作用q 1 3 主要研究方法概述 对于弹性壳体水下振动和声辐射问题，国内外学者做了大量的工作。所 采用的研究方法主要有解析方法和数值方法。解析方法受目前物理及数学研 究水平的限制，主要适用于平板、圆柱壳、球壳、椭球壳等具有正交几何表 面的简单结构的振动和声场的求解，不适用于复杂结构。而数值解法则解决 了这一问题，理论上可以求解具有任意形状的结构问题，随着计算机技术和 数值计算方法的快速发展，这一方法也在快速发展，并被广泛应用于各个领 域。主要的数值计算方法有：有限元法( f e m ) 7 撸1 、边界元法( b e m ) 、有 限元+ 边界元法、有限元+ 无限元法、双重渐近近似法( d a a 2 ) 以及统计能 3 哈尔滨工程大学硕士学位论文 i iii _ 宣宣宣暑i 昌暑宣i i 宣昌i ；i 葺昌宣i i 暑i i 置置i 宣暑i i i 宣i ；i 皇宣；暑暑薯暑置暑i i 暑 量法等。 有限元法，基本思想是将结构和流体都进行有限单元离散，列出结构和 流体所有节点的有限元矩阵方程，然后，在结构和流体的交接面上，由于存 在着结构和流体的相互作用，流体声压对结构产生一个面力的作用，根据虚 功原理，可将该面力等效移植到单元节点上。于是，在结构和流体的交接面 上，可以形成流固耦合的振动矩阵方程，然后；将所有方程联立求解就可以 得到所有振动和声场的有限元解。因为结构处于无限大的流体介质当中，不 可能将全部流体都进行离散，因此必然要对流体进行有限截断，即截取结构 周围一定半径的球形流体，假设声波在流体边界的反射已经非常的小，截断 流体以外的流体对声场的影响可以忽略不计。因此，截取的流体体积太小时， 可以提高运算速度，但是，流体边界的影响就会相对比较大，带来比较大的 计算误差；当截取的流体体积太大时，对流体的有限元划分就必然产生较大 的节点数目，必然会占用较大的计算机时，甚至由于网格节点数目太大，对 于目前常用的计算机计算能力而言，这种有限元法计算变得不可能。因此， 有限元法计算弹性壳体的水下振动和声辐射问题还局限于中低频段小体积的 结构问题。 边界元法，适用于当结构外表面振动分布为已知时，来计算辐射声场的 问题。边界元法基于h c l m h l o t z 积分方程研，对声场边界进行有限单元离散， 根据积分方程，由结构外表面的振动分布解析计算结构表面声压分布以及声 场中的声压分布。从边界元法的计算格式形成的全过程看，关键问题有两个： 问题的边界化和边界的离散化。问题的边界化降低了计算维度，使得计算变 得更加简单：边界的离散化，由于只对边界离散，而对声场区域内进行解析 公式计算，因此计算误差只来源于边界，大大提高了计算精度。边界元法具 有计算简单、适应性强、精度高的优点，这正是这种计算方法的生命力所在。 边界元法来源于经典积分方程和有限元法的离散技术，2 0 世纪8 0 年代以来， 关于边界元法世界各国已从基本理论与方法韵研究向深广的领域发展，在波 的传播、断裂力学、接触问题、耦合问题、粘弹性问题、振动问题、电磁场、 流体力学、湍流问题、生物力学、等离子运动等方面都取得了不少成果。 有限元+ 边界元法，充分吸收了两种计算方法的优点，对结构进行有限 元离散，对无限流体进行边界元法计算。这种方法不但避免了有限元法对流 4 哈尔滨工程大学硕士学位论文 体进行有限截断带来的计算问题，而且避免了边界元法不能计算结构振动的 缺憾。这种方法是现阶段解决弹性结构水下振动和声辐射问题比较成功和有 效的方法，得到广泛的应用。 有限元+ 无限元法陬2 1 1 ，基本思想是对有限元法的进一步改进。针对有限 元对流体的有限截断会产生截断误差的问题，该方法在流体边界的最外层施 加一个无限元吸收边界条件，在该面上获得近似的无反射声效果，以便使得 结构振动和流体声场足够精确。该法提高了计算精度，加快了计算速度，但 是由于该法得到的声场解并不是非常精确，一般不直接使用，而是，结合边 界元方法，首先由有限元+ 无限元法计算得到结构表面的外法向振速，而对 声场解的精度并不关心，再根据边界元法由结构的外法向振速求得声场解。 这种方法，充分利用了有限元法计算结构振动的灵活性和广泛适应性，理论 上可以计算各种复杂结构的水下振动问题，又使用边界元法提高了声场计算 精度，并加快了整体的计算速度。因此，该法也是现阶段解决弹性结构水下 振动和声辐射问题比较成功和有效的方法，得到广泛应用。 双重渐近近似法酬，2 0 世纪7 0 年代初期，g e e r s 等人相继提出了d a a ! ， d a a 2 的方法，该法的优点是：在高频和低频逐步趋向精确解，中频段是一 个光滑的过渡，除谐振点附近误差较大外，整个频段的精度都比较好；适用 于描述非正规几何形状表面结构的声阻抗；d a a 2 法的系数矩阵与频率无关， 使数值计算的工作量和数据存储量大大减少。国内张敬东利用d a a 2 法研究 了水下球壳和椭球壳受激振动的声辐射问题。结果证明，壳体表面形状为球 形时的结果可靠性要好于椭球壳。在本征值附近，d a a 2 法的结果是不可靠 的。 统计能量法胆5 2 司，基本思想是把研究对象划分成子系统，假定每个子系 统的模态参数( 频率、振型、阻尼等) 的统计分布为已知的统计母体，这些 近似子系统的模态参数上的差异在给定的频率范围内具有随机分布，任何一 个具体的子系统，都是其统计母体中的一个子样。统计能量分析方法是一种 适用于较宽频率范围的随机噪声分析方法。它从统计的观点抽取被研究对象， 以能量作为独立的动力学变量，使用能量一功率流平衡方程研究各个子系统 之间的传递关系。在中高频段，子系统模态密度密集，统计能量方法具有较 高的精剧挪。 哈尔滨工程大学硕士学位论文 暑葺；昌i i 暑暑；宣；暑宣i i 宣；暑；暑i 宣i ；。-z z n u n i 1 4 本文的研究方法 本文主要是针对弹性壳体中低频段水下辐射声场，研究其快速预报的方 法。边界元法作为一种计算辐射声场的数值计算方法，早在二十世纪五六十 年代就被人们提出并应用。边界元法只对声场边界进行有限元离散，对声场 区域则进行精确的解析计算，因此，它具有算法简单，计算结果精度高等优 点【2 们。因此本文以边界元法为基础来研究辐射声场的快速预报方法。 结合工程实际，弹性壳体水下辐射声场的预报有两方面特点：中低频段 和快速性预报。关于中低频段，由于壳体振动模态在频域比较稀疏，不适合 用统计能量法进行分析，这种方法更能有效的应用于模态密度比较密集的高 频段；而边界元法则不然，由于中低频段壳体振动波长比较长，振型比较简 单，稀疏的大网格划分就能正确描述声场边界也就是壳体的振动情况，从而 能比较精确的计算辐射声场，因此，边界元法是解决壳体结构中低频段辐射 声场预报的比较合适的方法。关于快速性，本文主要是充分利用边界元计算 方法的特点，使用矩阵预存和频率插值两项关键技术，来提高预报的速度。 为了解决工程上壳体表面法向振速相位获取比较困难的问题，本文提出 了基于表面法向振速幅值和均方值预报辐射声场的方法。首先使用自行开发 的边界元软件检验这两种方法预报辐射声场的有效性：对于预报的辐射声功 率曲线与理论曲线相比，数值上存在一定偏差，但形状上比较相似的现象， 本文将采用多模型仿真实验的方法，总结其预报规律，并通过与脉动球源和 摆动球源类比的方法，进一步解释其预报规律，最后提出并验证预报曲线进 一步修正的方法。 1 5 本文的主要内容 本文以边界元法为基本理论基础，编写了辐射声场的边界元计算软件， 使用矩阵预存和频率插值两项关键技术，很好的实现了辐射声场预报的快速 性要求。考虑到工程应用，又提出了基于表面法向振速幅值和均方值的声场 预报方法，并着重对辐射声功率的快速预报进行了深入讨论。 本文各章节的主要内容如下： 第1 章，绪论：简要介绍了本文的工程背景和意义，水下弹性壳体振动 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 和声辐射领域国内外的研究现状和主要的研究方法。然后，简单介绍了本文 主要的研究方法和研究内容。 第2 章，边界元法基本理论及其算法软件验证：简要介绍了本文计算辐 射声场所用到的边界元基本理论知识，验证了边界元法计算辐射声场软件的 可靠性。 第3 章，辐射声场快速预报方法研究：详细介绍了本文使用的辐射声场 快速预报的方法，并对各种方法的快速性、有效性和适用情况进行了大量的 仿真验证实验，考虑工程应用，提出了基于振速幅值和均方值的辐射声场快 速预报方法。 第4 章，辐射声功率快速预报多模型仿真：进行了多种模型和多种工况 的辐射声功率快速预报仿真实验，包括单层加肋圆柱壳小模型不同位置激励 仿真实验，单层加肋圆柱壳大模型不同位置激励仿真实验，两个单层加肋圆 柱壳相互对接模型不同位置激励仿真实验，单层加肋圆柱壳小模型多源激励 仿真实验，两个单层加肋圆柱壳相互对接模型多源激励仿真实验。 第5 章，辐射声功率预报的类比研究及分频段修正：通过类比脉动球源 和摆动球源的声辐射，使用极子辐射理论解释了辐射声功率预报曲线的预报 规律，并提出了分频段对辐射声功率预报曲线进行修正的方法。 7 哈尔滨工程大学硕士学位论文 第2 章边界元法基本理论及其算法软件验证 2 i 引言 边界元法基于h e l m h o l t z 积分公式，可以由声场边界的物理量求得声场 的物理量，是一种应用十分广泛的求解声场问题的数值计算方法，有着较高 的数值计算精度。边界元法是本文辐射声场快速预报的理论基础。 本章将给出边界元法计算辐射声场的基本理论，阐述边界元法有关的基 本概念，解决高斯积分、奇异积分以及复数矩阵求逆等三个关键问题。最后 对以边界元法为基础自开发的辐射声场计算软件进行可靠性验证，为快速预 报方法的实施做软件方面的准备。 2 2h e l m h o l t z 积分方程 假设一封闭振动体位于无限流体介质中，如图2 1 所示。 图2 1 弹性体位于无限流体介质中不慈图 s 为弹性体表面，p 为场点，q 为振动体表面上的点。外部无限流体介质的密 度为p ，声速为c 。则s 面外无限均匀静态理想流体介质中的声场满足波动 方程1 v 2 西) = 吉学 ( 2 - ) 声场中的任一点p 的声压还可以表示为 口p ( r a = 弘( 劢掣- g ( 确掣粥( 劢 ( 2 - 2 ) 即h e l m h o l t z 积分公式。其中：i 为原点指向场点的矢量，亏为原点指向振 8 哈尔滨工程大学硕士学位论文 动体表面源点的矢量，兰为振动体表面外法向偏导数算符，s 为振动体表面。 a 玎 g ( i ，亏) 为自由空间的格林函数，表达式为 g c 静高 式( 2 - 2 ) 中的口取值与场点i 的位置有关，如下式所示 a ( r p ) = 1 0 o 5 q ( 2 3 ) 在s 面外 艺在s 面内 乏在s 面上，且s 为平滑面( 2 - 4 ) 在s 面上，勘为非平滑面 其中，当s 为非平滑面时， 崛，：怍黪l 密弦谚毗靴砸劾 ， k 螨l 南弦澎酡内 对于单频声场而言，利用关系式 粤= 一j 融np 式( 2 2 ) 可以得到 州秘弘( _ ) 掣+ 盹( 调两粥( 动( 2 - 7 ) 上式便是边界元法计算辐射声场的基本关系式。 h e l m h o l t z 积分公式表达了惠更斯原理和迭加原理，有明显的物理意义。 从式( 2 - 2 ) 可以看出，当声源不在封闭面s 内时，场点的声压p ( i ) 有两部分构 成：第一部分为力源声辐射，即积分第一项，压力的打击作用以偶极子源的 辐射形式传到p 点，力源的偶极子矩决定于p ( i ) 舔( 动，其极化方向为法线磊 9 哈尔滨工程大学硕士学位论文 的方向，到达场点p 的元波为p ( 亏) 劣( 亏) 掣；第二部分为脉动源辐射，。 o n 即积分第二项，其源强度等于皇掣谬( 云) ，决定于s 面上质点的法向振速分 o n 布，脉动源辐射元波到达场点p 的元波为皇孚谘( 亏) g ( i ，亏) 。 2 3h e l m h o l t z 积分方程的离散化 边界元法是在h e l m h o l t z 积分方程的基础上，吸收了有限元的离散技术 而发展起来的数值计算方法。h e l m h o l t z 积分公式应用于数值计算，首先要对 积分表面s 进行有限单元离散，划分成一个个网格状的单元，这样，对于声 场边界表面s 的积分就变为对每个小的网格状单元积分，然后再对所有单元 求和，对于每一个单元的积分，又可以根据有限元的思想，由单元的每个节 点通过插值的办法得到单元内每一个高斯积分点的声学量，再由高斯积分得 到单元的积分值。这样，整个表面的积分就可以由所有节点的声学量乘以一 个系数矩阵得到，这就是边界元法的基本思想。 表面s 可以划分的单元形状有三角形单元和四边形单元等，若按节点数 分有三节点单元、四节点单元、六节点单元和八节点单元等。对于每一个单 元，为了便于程序化的数值计算，必须在各个单元上建立局部直角坐标系， 这样主坐标系下的三角形单元及四边形单元，在局部坐标系下可变成标准的 三角形单元及四边形单元，如图2 2 所示。 图2 2 边界元单元坐标转换示意图 根据有限元和边界元理论，单元内坐标( 在主坐标下) 可用单元节点上的 l o 哈尔滨工程大学硕士学位论文 主坐标值来线形表示吲 ll x ( 善) = ，( 孝) x ，y ( 孝) = ，( 孝) m ，z 偕) = ，( 孝) z ， ( 2 - 8 ) 式中，( x ，y ，乃) 为单元上第，个节点上的主坐标值；孝= ( 备，孝：) 为单元的 局部直角坐标；，为三角形( 或四边形) 单元的插值形函数； 本文采用四节点的四边形单元：4 ) ，如图2 3 所示。 图2 3 边界元四节点单元 其插值形函数为 1 ( 孝) = ( 1 一点) ( 1 一彘) 4 ，2 ( 善) = ( 1 + 磊) ( 1 一f ：) 4 ， 人0 ( 孝) = ( 1 + 鼻) ( 1 + 善2 ) 4 ，n 4 ( f ) = ( 1 一点) ( 1 + 孝2 ) 4 ( 2 - 9 ) 计算积分时，要进行由总体坐标系 ，y ，z ) 到局部坐标系( 点，色) 的坐标 转换，转换系数为雅克比行列式，( 点，磊) ，面积微元的转换如下式， 豳= i鸩蟛爿g t i + g l j + g , kf 张蟛爿j l 必鹅( 2 - 1 0 ) 其中雅克比行列式j ( 卣，岛) 的各个分量表示如下 、砂一砂一 哈尔滨工程大学硕士学位论文 g l = l ( y 3 - - y t ) ( 乙一z 2 争( y 。一y ：) ( 毛一乃 丢【( y 。一j ，。) ( z ，一z ： + ( j ，2 一儿) ( z 3 一z 1 ) 】+ + ( y 4 一y 3 ) ( 乃一7 , i ) 】卣+ ( 2 - 1 1 ) + ( y 2 一y 3 ) ( z 2 一z 4 ) 】乞 g ：= z 3 - z , ) ( x 。一x ：) + ( z 2 一z 。) ( x 3 - - x t ) 】+ 丢【( z ，- z 2 ) ( 心_ ) + ( z 。- z s ) ( x ：飞) 塌+ ( 2 - 1 2 ) 丢 ( z i - - z 4 ) ( x 3 - - 2 2 ) 心：_ ) ( x 2 - x , ) 妖 g ，= 丢【( x ，一x j ) ( y 。一y ： 争( 算。) ( y 。啮 吾眙。一( y ，一) ，： + ( x 2 一x 4 ) ( j ，3 - y i ) 】+ + ( x 4 一x 3 x y 2 一y 1 ) 】矗+( 2 1 3 ) + ( 茗2 一x 3 ) ( y 2 一y 4 ) 】最 这样单元内任意点函数值就可表示成节点值的线性函数，即单元朋内任 意点的声压己( 孝) 和质点振速( 孝) 可用单元, , 节点上的声压厶和振速 表示 己( 善) = i = i ，( f ) e 肌= 1 ，2 ，m ；三：4 ；( 2 1 4 ) 材m ( 孝) = i - 1 f ( f ) 吃 朋= 1 ，2 ，胍= 4 ；( 2 1 5 ) ( 2 7 ) 离散为单元积分求和的形式， 系转换为局部坐标系，可以得到 ( 孝”，( 孝) 矗写( 孝) 嘭+ 喜也吣，铲蟛嘲， 1 2 ( 2 - 1 6 ) 式标 ，牺蛳孵 璀挫 秘溉糊懈 俏荆n字圾 蝉岫 蒜蛰 是 卜 m 陋晖 ，式 泸 她加 口 哈尔溟工程大学硕士学位论文 格林函数g ( ，( 善) ) 及法向导数a g ( ，) a ”的具体表达式如下所示 昕琢驴鞘= 丽e - k a ( 2 1 7 ) 等产= 掣鼍= 一芸4 7 r dc 埘删鼍 砌甜锄 一。 锄 掣：昙c 4 -c o s c o s 一= 一c s 口 一 + _ ， 锄 融4o y 碍 瑟譬 式中：d 为场点和振动体表面源点之间的距离：c o s g 【，c o s 8 ，c o s t 为源面节点上 的外法线方向的三个方向余弦。 实际上任意一单元均与相邻单元共节点，所以应对s 面的节点统一排序。 将s 面划分为m 个单元 r 个节点，整个源面的节点声压和法向振速以列矩阵 表示 爱；三最：爰：乏j ：爱：象 c 2 - 2 。， 北 = 此，圪，巧，k ，j 因此，将式( 2 1 6 ) 合并相邻单元的节点声学量，整理后可得 a p ( ) = ( ) 只+ 尾( ) ( 2 - 2 1 ) 其中 姒驴舻鬻彤嘲 展( ) = 业f m ( f ) g ( ，弓) ，( 善) 峨( 善) ( 2 - 2 2 ) ( 1 ) 当场点在s 面上时，对应场点也就是振动体表面节点s 有 尸( 只) = 喜只+ 善k 吒 ( 2 2 3 ) 一皇l i i i 、 a 。= ( 只) q ，k = , o f f , ) n j 或写成矩阵的形式 哈尔滨工程大学硕士学位论文 m 只) = 【b 】 k ) ( 2 2 4 ) 上式给出了振动体表面上声压和法向振速之间的关系，由式( 2 2 4 ) 可得到 只) = 【彳】。1 圪) ( 2 2 5 ) 其中 只) ， 圪) 为振动体表面上声压和法i - a 振速向量。 ( 2 ) 当场点在s 面外时，对于场点p 有 以驴善a n ( 识+ 善姒识 ( 2 - 2 6 ) 吒( ) = 辑) ，吃何) = 允晖) j 设在s 面外场点面上取m 个场点，任意点的复声压为尸( 乙) ，则由式( 2 2 6 ) 可以得到m 个线性方程组 尸( ) = 口用只+ 圪 ( p = 1 ，2 ，m )( 2 2 7 ) 或写成矩阵形式 弓 = 【c 】 只) + 【d 】 圪) ( 2 - 2 8 ) 场点面上声压列向量为 弓) = p ( 亏) ，p ( 乏) ，尸( 元) ) r ( 2 - 2 9 ) 将式( 2 2 5 ) 表面声压方程代入到式( 2 2 8 ) 中，得到 弓 = ( 【c 】【彳】一【召】+ 【d 】) 虼) ( 2 - 3 0 ) 这就是边界元法计算辐射声场的基本关系式，即由振动体表面的外法向 振速乘以一个相应的系数矩阵就可以得到声场中任一点的声压值，进而就可 以求解其它的声场量。 ( 3 ) 当场点在s 内时，口= 0 ，取个内点，可以得到内部方程的矩阵形 式 【e 】 ) = 【f 】 圪) ( 2 3 1 ) 当表面方程的系数矩阵出现非满秩时，需要用到内部方程。 由上面的分析可知，边界元法的应用主要是求解系数矩阵。从式( 2 2 ) 可 哈尔浜工程大学硕士学位论文 以看出，系数矩阵的求解包含了格林函数及其导数的积分，因此，系数矩阵 是频率的函数，进一步研究式( 2 - 2 2 ) ，可以得出，系数矩阵是一个由振动体表 面网格、分析频率和外部流场特性决定的常量矩阵，这个特性给水下弹性壳 体辐射声场的快速预报带来了很大的便利。 2 4 单元积分的数值计算方法 边界元法在计算系数矩阵时，关键的问题就是计算系数矩阵。从式( 2 2 2 ) 可以看出，必须要求得以下两个积分 炒) 鬻吣嘲 ( 2 - 3 2 ) j j ( 孝) g ( ，亏) ，( f ) 峨( f ) ( 2 3 3 ) 从式( 2 - 1 7 ) 和式( 2 1 8 ) 可以看到，格林函数分母中包含因子k 一焉i ，格林 函数导数的分母中包含因子k 一弓1 2 ，因此在积分过程中，当场点位于振动体 表面时，也就是求解式( 2 - 2 4 ) 的系数矩阵时，与焉可能指向同一个点，这时 i 一亏i = o ，使得积分出现奇异性。为保证计算结果的精度，必须要解决奇异 积分的问题。而在积分出现奇异性之外的一般情况下，数值积分是相对比较 容易的。 2 4 1 高斯积分 对于一般的非奇异积分，常见的数值计算方法比较多，如高斯积分法、 龙贝格积分法等。本文采用高斯积分法。 当积分公式由主坐标系( x ，y ，z ) 转换为局部坐标系辑，岛) 后，由于所有网 格单元都有相同的形状，就可以编写通用的积分程序。二维高斯积分公式如 下所示 少( 磊，参矽当鸲= 善聪t ，缸m ( 2 - 3 4 ) 其中，( 轰。，缸) 表示权坐标，表示权系数，n 表示高斯积分点数。本文采 哈尔滨工程大学硕士学位论文 用2 5 点的高斯积分。 2 4 2 奇异积分 当积分出现奇异时，必须要考虑奇异积分的问题。从格林函数及其导数 可以看出，本文要解决的奇异积分包括一阶奇异积分和二阶奇异积分【3 ”。结 合本文的实际情况，主要讨论四节点单元的奇异积分问题。 2 4 2 1 一阶奇异积分 为消除积分的一阶奇异性，本文采用等参变换的方法，首先对单元节点 进行重新排序，排序方向为逆时针方向，并且使奇异点落在局部坐标( 1 ，1 ) 上，然后以奇异点为极点把局部直角坐标系转换为极坐标系，这样就可以消 除极点。 设一阶奇异积分具有如下的积分形式 其中，当j 焉时，厂( 孝) 不存在奇异性，而d ( 善) 专0 。 对于四节点单元，其奇异点旋转及坐标转换示意图如图2 4 所示。 j- 白 43 l r “。 2 当 ( 2 - 3 5 ) 图2 4 奇异点旋转及坐标转换示意图 设节点l 为场点，也就是可能产生奇异点的节点。首先进行坐标转换， 把主坐标系转换为局部坐标系，使得节点排序为逆时针，并且奇异节点1 排 在局部坐标( 1 ，1 ) 的位置。则场点和源点之间的距离为 l 一弓( 手) i = ( x ( 孝) 一毛) 2 + ( j ，( f ) 一咒) 2 + o ( 孝) 一毛) 2 “ ( 2 3 6 ) 然后再将局部直角坐标系转换为极坐标系，设 磊= p c o s 0 1磊= p s i n o - 1 五& = p d p d o ( 2 - 3 7 ) 则四节点单元的形函数变为 1 6 哈尔滨工程大学硕士学位论文 l ( 孝) = ( 2 - p c o s 0 ) ( 2 - p s i n 0 ) 4 m n 2 ( ( 亭善) ) ：= p p 2 c c o 。s s 0 乡( 2 s i - n p 口s i 4 n 曰) 4 ( 2 3 8 ) 3 ( f ) = 2c o s 乡s i n 口4 、 7 ，4 ( 善) = ( 2 - p c o s 口) p s i l l 口4 则，场点到源点之间距离的一个坐标分量就可以表示为 x ( 善) = 而，( 孝) = 而( f ) + 而2 ( 孝) + 而3 ( 孝) + _ 4 ( 善) ( 2 - 3 9 ) 将式( 2 - 3 8 ) 代入式( 2 - 3 9 ) ，并化简可以得到 x ( f ) 一= p h a p ，口) ( 2 - 4 0 ) 同理可以得到其它坐标分量 y ( 孝) 一乃= p 办，( p ，0 ) ( 2 - 4 1 ) z 偕) 一z i = p 吃( p ，口) ( 2 - 4 2 ) 所以 d ( 孝) = l 弓一弓( f ) l = p 。h ( p ，9 ) ( 2 - 4 3 ) 这里，当一弓时，h ( p ，0 ) 没有零点。 则当积分单元为四节点单元时，式( 2 3 5 ) 就变为： 篇卅肚器伽 这样，被积函数在积分单元内就不存在奇异点了。 经极坐标变换后，四边形单元的积分区域由，鹏嫒变为， ，d d o + ，a p a o 。当奇异点在其它节点上时，用相同的方法处理。 2 4 2 2 二阶奇异积分 二阶奇异积分的产生来源于格林函数的