（概率论与数理统计专业论文）非lipschitz系数倒向随机微分方程和随机微分效应.pdf

华中理工大学博士学位论文 摘要 论文分三部分：第一部分介绍旦i 1 6 曼l 窒间中随机分析的基本知识和基本 结论；第二部分讨论在非一l i p s c h i t z 条件下，倒向随机微分方程和随机微分 效用 第三部分在类似于y a 1 a d a 和w a t a n a b e 条件下，讨论h i l b e r t 空间中 半线性倒向随机发展方程的适度解，讨论在l i p s c l ，i t z 条件，“单调性”条件 下，i i i l b e l t 空间中正一倒向随机微分方程的解。 f ，1 随机微分效用与倒向随机微分方程 第一节，讨论非一l 吣c l i l z 条件下，随机微分效用。设( n ，j ) 是一个完 备概率空间，职是定义在其上的b 1 0 w n 运动，= 五 。t 是生成的 自然a 一代数流。这一节我们首先建立倒向随机微分方程和微分效用之间的 等价关系。我们考虑如下倒向随机微分方程： y ( ) = + z t ，( c 。，l ，( s ) ) d s 一：t z ( s ) c f ( s ) ( 1 ) 其中c 为消费过程，取值于b a n a c h 格的子集c ，其总体认为d 运用倒向随机 微分方程的技巧，在下面充分条件下：，：c r r ，帕l 1 ( o ，r ；r ) ，v c c ， v f o ，丁 ，( c ， ( ) ) 作为 o ，r c l 1 ( o ，er ) 上的函数，满足：| 女 o i 厂( c ，”( t ) ) 一_ 厂( ，啦( t ) ) isk ( 1 ”，( t ) 一”：( t ) l + l ”，( s ) 一”。( s ) i d s )( 2 ) ，t j t 我们证明了倒向方程( 1 ) 有唯一解。 定理1 1 设l 2 ( n ，乃，p ；r ) ，：c r r 是可测的，满足条件( 2 ) 且 ”，o ) l 2 ( o ，r ；兄) ，那么对任何消费过程c d ，存在唯一一对( y ，。) 循序 可测过程满足( 1 ) 。如果对( 1 ) 两边取条件期望得 ，? y ( t ) = e 【上，( 岛，y ( s ) ) d s + f 五】 定义矿( ) = k 。t = y ( z ) ，我们有 y ( f ) = e j ( 7 ，( c 。，y ( s ) ) + ) ( 3 ) 华中理工大学博士学位论文 可见，随机微分效用v ( t ) 在条件( 2 ) 下存在唯一。 接着我们讨论了效用函数( u ( c ) = w ) 在条件( 2 ) 下的许多性质： 命题1 2 ( 连续性) 假定，是连续的，对消费满足增长性条件，那么随机微 分效用函数u ：d r 是连续的。 命题1 3 ( 对终值的单调性) ：假定r 是一个取值于f o ，明值的停时y2 是两个c 一可测随机变量，且w l 2 ( n ，五，p ；r ) ，对任何给定的c d ， 设i = v 。，y 和矿= 矿。，w 由方程( 3 ) 所定义，则v 矿。 命题1 4 ( 对消费的单调性) ：如果，关于消费是单调增的，那么是单调 增的。此外，如果_ 厂关于消费是严格增的，那么矿是严格增的。 命题1 5 ( 凹性) ：如果，是一个凹函数，那么由，生成的随机微分效用函 数是凹的。 命题1 6 ( 风险厌恶性) ：如果对一切”月，( ，”) ：c 一冗，是凹的，那么由 厂生成的递归效用函数是风险厌恶的。( 其定义见第二章定义2 4 ) 命题1 7 ( 相容性) ：由，生成的一簇偏好序关系是相容的。( 其定义见第 二章定义2 3 ) 第二节我们讨论无穷水平的随机微分效用理论。首先按1 19 】中的观点定义 无穷水平的随机微分效用为下面无穷限倒向随机微分方程的解： 炉j ( 。弛棚。) 扣j ( ”列以 ( 4 ) 证明( 4 ) 在下面充分条件下存在唯一解：，：n c r r ， ( i ) ，( ，y ) 是循序可测的， ( i i ) ( 可一，( c ，) ，( c ，) ) 。i 可一2 v c c ； ( i i i ，) v c d ，v f 【o ，明，y r ，( c t ，) 作为n 【o ，明d 兄上的函数，满 足：j 咖，j 0 ， i ，( q ，y ) 也+ l y i ； ( i v ) c ，一，( c ，) 连续，此外存在a 2 0 + k 2 有 ( v ) e 铲e 舳孵以 o 。 定理2 1 在条件( i ) 一( v ) 下，存在唯一一对循序可测过程 ( 玑，缸) ；t o ) ，满 足( 4 ) 及 e i s u pe m i 玑1 2 + e m ( 1 珧1 2 + 魂1 2 ) d f 】 o o ， ( 5 ) 华中理工大学博士学位论文 对任意0s fs 丁 o o ，t，t t = t + ，( c 。，。) d s 一z 。d i 仉( 6 ) j tj 、在( 6 ) 两边取条件期望值，得 ，t 玑= e 【，( c 。，蜘) d s + 刊兀】 定义v ( f ) = 挑，则： ，t y ( ) = e 【，( c 。，矿( s ) ) d s + v ( t ) f 五】 其次我们证明了无穷限倒向随机微分方程的一个比较定理。 定理2 2 设，分别满足条件( i ) 一( v ) ，且，( c ，y ) ，( c ，) ，那么玑“。 其中弘矾分别为下列无穷限倒向随机微分方程的解。 玑= ，( c 。，玑) c f s 一d ( s ) ； 7 1 滓7 九c 棚：) 如一z ：d w ( s ) j tj 。 最后运用比较定理讨论了无穷水平递归效用函数的性质： 命题2 3 ( 关于消费的单调性) 如果，为消费过程c 的递增函数，则c ，为递 增函数。 命题2 4 ( 风险厌恶性) 若对所有”，( ，”) ：c 一只为凹函数，则由，生成 的递归效用函数为风险厌恶的。 命题2 5 ( 凹性) 设厂为一凹函数，那么由，生成的随机微分效用过程，效 用函数都是凹的。 第三节讨论了无穷限倒向随机微分方程： 玑= ，( s ，f 。南) 如一z 。d 眠 ( 7 ) 在下面条件下的一个比较定理 其中f ：nx 【o ，m ) xr xr d r 满足如下条件： ( 1 1 1 ) 对任意( y ，z ) r 1 + d ，( ，z ) 是循序可测过程，使得 e ( j ( 。郴) i d s ) 2 。 华中理工大学博士学位论文 ( i 2 ) 厂满足系数为仳，和“。的l i p s c h i t z 条件：即存在两个正的非随机的局部 有界的函数“1 ( f ) ，“：( z ) 使得v ( 弘薯) 兄1 + d ，i = l ，2 ， ，( f ，可1 ，z 1 ) 一，( z ，2 ，z 2 ) is “1 ( f ) i 萝l y 2 i + “2 ( f ) i z l 一z 2 i ，v o ( h 3 ) j f “1 ( s ) o 。和j f “；( s ) o 。 本节采用如下记号： s 2 ：= v ：v 是五一适应过程，使得 i l y l i 驴：= 【e ( s u pi v ( s ) i ) 2 】1 2 o o 酽( o ，o 。) ：= y ：嘞一一适应过程，使得 | | y i l ：= ( e j 矿( s ) f 2 d s ) 1 2 o o ，u 口2 ：= ( x ，l ，) ：x s 2 ， 7 l 2 ( o ，o o ) 定i 勤i 假定，满足条件( h 1 ) 一( h 3 ) ，那么倒向随机微分方程( 7 ) 存在唯一 一对解( y ，z ) 召2 。 定理3 2 设( ，z ) s 2 l 2 是上面倒向随机微分方程( 7 ) 的唯一解：，满 足条件( 1 1 1 ) 一( 1 3 ) 假定 ，o 。一 ，。 玩2 上，。d s z 瓦d 眠 其中，亨己2 ， 无，o s o 。) 是循序可测过程且 ，。 e 【吲2 d 5 】 o o j 0 j ) 如果，( s ，玩，瓦) ，。，d ，o e ( s ) ，那么o t o 。，我们有肌s 玩，o s ； j i ) 如果，( s ，玩，瓦) 芝，。，n e ( s ) ，那么o o ，对 “ o 且 i 婴：。 j o + p 心) 定理1 1 给定义l 2 ( n ，而，p ；h ) ，假设( 日1 ) 和( h 2 ) 成立，那么方程 ( 9 ) 有唯一一对适度解( z ( ) ，( ) ) l ( o ，t ；h ) 骖( o ，丁；l ：( k ；日) ) 为了证明定理1 1 ，我们需要准备许多命题。 命题1 2 给定x l 2 ( n ， t ，只，n ，：q 【o ，丁1 l 2 ( k j h ) 一h 是一个可 测映射，满足，( ，o ) 醇( o ，丁；口) 及l i p s c h i t z 条件：j e o ， ，( t ，可1 ) 一，( t ，y 2 ) 0sc f l 掣1 一2 l ，v 1 ，2 l 2 ( k ；h ) 一 v 华中理工大学博士学位论文 那么存在唯一一对适度解( z ( ) ，( ) ) 哆( o ，；h ) 哆( o ，丁；l ：( ；) ) 满足下 面倒向半线性随机发展方程： z ( t ) + 铲e 4 ( “，( s ，( 5 ) ) 如十铲e 4 ( 。一( s ) d w ( s ) = e ( t 一。) x ，0 t t ， 我们在命题1 2 的帮助下，通过p i c a r d 迭代构造一个近似序列，定义。f f ) 三o ， ( z ) ，( f ) ，os fs t ) 。 1 其中z 。( ) ，( ) 满足如下方程： 。艘8 # ：竖箸一( s ) ，蚶s ) ) d 8 + 铲抄”( s ) d 阶) ) = e ( t 一。) x 0 o 使得 e | | 。+ m ( t ) 一。( ) | 1 2 q ( t z ) ，v z 【o ，r ，扎，门唣1 选取丁j 【o ，r ) ，使万( a ( t t ) ) sq ，对一切正sf f ，这里万( “) = g p ( “) ，固定m l ，定义两个函数序列 妒。( ) ) 。，和 妒。，。 。，如下： 妒1 ( ) = a ( t f ) 妒。+ ，( c ) = j ( 7 芦( 妒。( s ) ) d s 。( f ) = f f | 。+ 。( f ) 一。( ) i f 2 ，n = l ，2 ， 命题1 6 在假设( h 1 ) 和( h 2 ) 下，对任何m 1 和一切n 1 有 os 。，m ( t ) s 妒。( t ) s 妒。一l ( t ) s - s 妒1 ( t ) ，t 【五，t 】 - ， _ 一 。一 v l 华中理工大学博士学位论文 此外，数，一n 只依赖函数p ，不依赖终值x 。 命题1 7 ( b i h a r i 不等式) 设丁 o ，“o o ，“( f ) ， ( ) 是区间 o ， 上两个连 续函数，设h ：肘一r + 是连续和非降，h ( r ) o 对r o ，如果 州f ) 0 ，p 如前所述 定理1 8 假定x l 2 ( n ，而，p ；) ，9 如上定义，并满足( h 3 ) ， ( h 4 ) ， 那么，存在唯一一对( 。，g ) 哆( o ，7 1 ；h ) 多( o ，t ；l 2 ( ；h ) ) 满足方程( 1 2 ) v l l 华中理工大学博士学位论文 在第二节中，我们讨论h i l b e r t 空间中正一倒向随机微分方程的解。我们考 虑下面f b s d e ： x t = 。+ z 26 ( s ，x 。，k ，乙) 如+ z 2 a ( s ，x 。，k ，乙) ( f w ( s ) ， k 2 9 ( 坼) 一上 ( s ，x ，k z s ) 出一上乙d ( s ) ，f 【0 ，r 1 j j 。 此时过程x ，kz 取值于，l 2 ( ；h ) ， 6 ：n o ，丁】h l 2 ( ；) 一 口：n 【o ，卅2 ( ；h ) 一己2 ( ，f ；h ) ：f 2 o ，t h l 2 ( ；) _ 日 ( 1 3 ) ( 1 4 ) 对“1 = z 1 ，y 1 ，z 1 ) ，“2 = z 2 ，2 ，z 2 ) 日l 2 ( ，；) ，我们定义它们的 内积如下： “1 ，“2 】= ( 。1 ，。2 ) 日+ ( 1 ，2 ) h + ( z 1 ，z 2 ) l 2 ( 耳；日) 对u ho o l 2 ( ；h ) ，定义： ，( f ，“) = ( f ，u ) ，6 ( z ，“，一( ，u ) ) 假设1 1 对每一“h o 日o l 2 ( ；日) ，( ，u ) l 2 ( o ，r ；日。何。己2 ( ；日) ) 对每个z h ，g ( 。) l 2 ( n ，j ；h ) ，存在一个常数c 1 o ，有 和 ，( f ，t 1 ) 一，( z ，“2 ) | | s g l i “1 一“2 v u l ，“2 h o 口ol ：( ；h ) i g ( 。1 ) 一g ( z 2 ) | i g | | z 1 一。2 | j ，v 。1 h ，z 2 假设1 2 存在一个常数g o ，使 ，( f ，“1 ) 一，( f ，“2 ) ，“1 一“2 】一g | | “1 一u 2 1 1 2 ，v “1 ，“2 日oh o l 2 ( ；h ) 华中理工大学博士学位论文 和 ( g ( z 1 ) 一9 ( z 2 ) ，z 1 一。2 ) g i f 。1 一z 2 ，v 。1 ，z 2 日 定理2 1 若假设2 1 和假设2 2 成立，那么存在唯一的适应解满足方程( 1 3 ) ， ( j 4 ) 。 若i o ，v ( o ，t 】，v u ，u ho 日ol 2 ( 日) ( ，( ，“) ，( f ，“7 ) ，“一7 】一自| | 。一z 川2 ，p 一。s ( i i ) j ，比，z7 h ( g ( z ) 一g ( z ) ，z 一茁) 七，z 一善，2 f ( z ) j 南 o ，v f 【o ，t 】，v “，u 日。日ol 2 ( h ) ) ( j 2 ) ，( ，“) 一，( z ，“) ，“一“】s 一( 1 l 一1 1 2 + l | z 一。1 1 2 ) 【( 越) v 茁，z 7 h ，( g ( z ) 一9 ( 。7 ) ，z 一。7 ) o 定理2 2 若假设2 1 和( j 1 ) 成立，那么存在唯一的适应解满足方程( 1 3 ) ， ( 1 4 ) 。 定理2 3 若假设2 1 和( j 2 ) 成立，那么存在唯一的适应解满足方程( 1 3 ) ， ( 1 4 ) 少。 、 关键词：倒向陵扭微盆友程，正一倒向随机微分方程，随机发展方 程y 随机微分效麒效用函数，比较定理，适应解，适度解，单调性 条件丫无穷水平，半线性，非一l i p s c h i t z 条件y 华中理工大学博士学位论文 a b s t r a c t t h ep r e s e n td i s s e r t a t i o nc o n s i s t so ft h r e ep a r t s ： f i r s t l y ， w ei n t r o d u c eb a ， s i c k n o w l e d g ea n db a s i cc o n c l u s i o n 8o fs t o c h a s t i ca n a l y s j si nh i l b e r ts p a c e ；s e c o n d l y ，w ed i s c u s sb a c k w a r ds t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a le q u a t i o n s ( b s d ef o rs h o r t ) a n ds t o c l l a s t i cd i 雎r e n t i a lu t i l i t y ( s d uf o rs h o r t ) w i t hn o n l i p s c l l i t z ；o nc o n d i t i o n s ； f i i l a l l w ed i s c u s sa d a p t e ds o l u t i o n so fs e m i l i n e a rb a c k w a r ds t o c h a s t i ce v 0 1 u l i o n e ( 1 u a “o n si n h i l b e r ts p a c e sw i l hc o n d i t i o n ss i m i l a rt ot h a to fy a m a d aa n d w a “l a b e l 3 6 ，a n ( 1s 0 1 u l i o n so ff 0 r w a r d b a c k w a r ( 1s t o c h a s l i cd j 雎r e n t j a l e ( i l l a t i ( s ( f b s d ef o rs h o i t ) i nh n b e r ts p a c e sw i t hl i p s c h i t za n ds o m ek i n do f m o n o t o i l i c i l y ”c o n d o n s 1 b a c k w a r ds t o c h b t i cd i 舱r e n t i a le q u a t i o n sa n ds t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a lu t i l i t v l e t ( n ，；p ) b eac o m p l e t ep r o b a b i l i t ys p a c e ，i 仉i s ab r o w n i a nm o t i o no n i i l t e r v a l o ，t ，= 刀o t tt h en a t u r a if i l t r a t i o ng e n e r a t e d b ym i n s e c t i o l l 1 ， w ee s t a b l l s ht h er e l a t i o nb e t w e e nb s d ea n ds d u j ( 7z ( s 朋s ) ( 1 ) w h e r eci sac o n s u n l p t i o nt a k i n gv a l n ei nas u b s e tco fs o m eb a n a c hl a t l i c e t h e t a t a l i t yo fs u c hc o m s u p t i o np r o c e s s e si sd e n o t e db ed b yl l s i n gb s d et e c h n i c ，w ep r o v ce x ；s t e n c ea n du n i q u e n e s so ft h es o l u t i o nu n d e r f o l l o w i n gc o n d i t o n s ： 厂：c 咒冗，了南 os u c ht h a tv ”l 1 ( o ，丁；r ) ，b ，c c ，v f o ，t ，( c ， ( ) ) a sah 1 1 l c t i o l l0 1 1 【o ，t c l 1 ( o ，r ；r ) s a t i s 矗e sl h a t ，( c ， ( 2 ) ) 一，( 。，”：( 。) ) i 南( i t ( ) 一 ：( t ) i + z i ”- ( s ) 一”：( s ) i d s )( 2 ) ，t t h e o r e m1 1 s u p p o s e f l 2 ( n ，j ，p ；r ) ，：c r _ 兄b e m e a s u r a b l e ，8 a t i 8 f y i n g ( 2 ) a n dt h a t ，( ，0 ) l 2 ( 0 ，t ；r ) ，t h e n ，f o ra n yc o l l s u m p t i o np r o c e s sc d ，t h e r e e x i s t sau n i q u ep a i tp t e c e s s i v e l ym e a s u r a b l e ( ，2 ) w h i c h8 0 l v e s ( 1 ) t a k i n gc o n d i t i o n a le x p e c t a t i o ne ( | 五) o f b o t hs i d e so f ( 1 ) ，w eh a v e y ( f ) = e t ，( c 。，y ( s ) ) ( f s + f 例 如 岛 叫厂 i 含 + 噌 = 删 ， e如soc 华中理工大学博士学位论文 d e n l l i l l gv ( ) = k 。 = y ( ) ，w et l l e n1 1 a v e v ( ) = e ，( c 。，v ( s ) ) + ( 3 ) s e c o l l d i y ，w es h o wt h eu t i l i t yf u n c t i o nu ( d e 矗n e db yu ( c ) = 悖) h a s ar a n g eo f n a t u r a lp r o p e r l i e st i n d e rc o n d i t j o n ( 2 ) p r o p o s i t i o n1 2 ( c o n t i n u i t y ) i f ，；sc o n t i l l u o u sa n d 8 a t i s n e sag r o w t hc o n d i t i o n ij 1 c o n s u m p t i o n ，t h e nt h es t o c h a s t i cd i h b r e n t i a lu t i l i t yf u n c t i o nu ：d r i s c o l l t i n u o u s p r o p 0 8 i t i o n1 3 ( m o n o t o n i c i t yf o r r e r m i n a lv “u e ) ：1 e trb ea 【o ，丁】_ v a l u e d s t o p p i ”gt i m e ，y u 7b et w o ，m e a s u r a b l er a n d o mv a r i a b l e si nl 2 ( n ，j ，j d ；r ) ， f o ra n yg i v e nc d ，l e tv = y 。，ya n d 矿= v 。，b ed e 矗n e db y8 q u a t i o n ( 3 ) ， t h e nv 矿 p r o p o s i t i o n1 4 ( m o n o t o n j c i t yi nc 0 1 l s u m p t i 0 1 1 ) ：l f ，i si n c r e a s i n gi nc o i l s u m p t i o n ，t 1 1 e nu i si n c i e a s i n g ，m o r e o v e r ，i f ，i ss t r i c t l yi n c r e a s j n gi nc o n s u m p t i o n ，t h e n f ，；s s t r i c t l yi 1 1 c r e a s i l l g p r o p o s i t i o n1 5 ( c o n c a v i t y ) ：i f ，i sac o n c a v ef u n c “o n ，t h e nt h es t o c h a s t i c d i r e i l t i a lu t yf u n c t i o ng e l l e r a t e db y ，i sc o n c a v e p r o p o s i t i o n1 6 ( r i s ka v e r s i o n ) ：i ff o ra l l r ，( ， ) ：c 7 已；sc o l l c a v e ， l 1 1 e nt l l er e c a r s i v eu t i l i t yf u n c t i o i lg e n e r a t e db y ，i sr i s ka v e r s e ( f o rt h ed e n l l i t i o n ， s e ec 1 1 a 1 ) 1 e r2s e c t i o n1d e n l l i t i o n2 ，4 ) p r o p o s i t i o n1 7 ( c o n s i s t e n c y ) ：t h ef a m i l yo fp r e f e r e n c eo r d e r sg e n e r a t e db y ，；sc o n 8 i s t e n t ( f o rt h ed e 6 n i t i o n ，s e ed l a p t e r2s e c “o nl d e 矗n i t i o n2 3 ) 1 1 1s e c t i o n2 ，w ed e v o t e dt ot 1 1 et h e o r yo ft h ei n 疔n i t eh o r i z o ns t o c h a s t i cd i f r e r e n t i a ll l t i l i t yi l l l d e rn o n 一1 i p s c l l i t z i o na s s u m p t i o n s v v ed e n n et h ei 1 伯n i t el l o r i z o ns t o c l l a s t i cd i 舱r e n t i a lu t i l i t yb yv i e w p o i n “n 【l 9 】 a ss o l i l t i 0 1 lo ft h ef o l l o w i n gi n 6 n i t eh o r i z o nb s d e ： 舻j ( 。，( c 利圳s z 。列眦 ( 4 ) w 8 p r o v e t 1 1 a tt h e r ee x i 8 t sau n i q u es 0 1 u t i o nf o r ( 4 ) u n d e rt h ef 0 1 1 0 w i n gs u m c i e n t c o i l d i t i o n s ：，：n c 兄r ，s u c ht h a t ( i ) 厂( - ，y ) i sp r o c e s s i v e l ym e a s u r a b l e ， ( i j )( 一7 ，厂( c ，可，) 一，( c ，可，) ) 口l 一1 2v c c ； x l 华中理工大学博士学位论文 ( i i i ) v c 口，v f 【o ，r 】，兄，t h e f u n c t ；o n ，( c ，可) ：n 【o ，了1 d r ，r s a t j s f i e st 1 1 a t ， 咖，j 0 ，s u c ht 1 1 a t ，( c ，) i 也+ ，i y ( i v ) v c c ，y _ ，( c ，) i sc o n t i n u o u s ， t h e r ee x i s t sa 2 n + 2s u c ht h a t ： ( v ) ej e m 孵d f t h e o r e n l2 1u n d e rc o n d i t i o n 8 ( i ) 一一( v ) ，t h e r ee x i s t sau n i q u ep r o g r e s s i 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