（概率论与数理统计专业论文）几类风险模型的破产问题研究(1).pdf

曲阜师范大学硕士学位论文 几类风险模型的破产问题研究 摘要 本文致力于几种不同风险模型的破产理论研究，考虑了常利率古典风险模 型下的极值分布，索赔间隔服从混合指数分布时的破产问题，还考虑了一类延 迟更新风险过程。 自古典风险模型提出后，许多文献对其进行推广研究，以便更加符合要 求，常利率古典风险模型便是其中之一，研究这种模型的相关文献有很多，如 c a i ( 2 0 0 2 ) ，l i ( 2 0 0 4 ) ，w u ( 2 0 0 2 ) ，、 r u ( 2 0 0 5 ) 其中w 1 】( 2 0 0 5 ) 给出了破产时，破产前 瞬时盈余和破产时赤字这三者联合分布的密度函数，另外l iz h i g a n g ( 2 0 0 4 ) 给 出了常利率条件下的首中点分布，本文的第一章就是在这些结论的基础上讨论 常利率古典风险模型下的几个重要的联合分布，这些量包括破产前的极大值， 破产时刻到首次恢复时刻之间的极小值，破产时刻，首次恢复时刻，破产前的 瞬时盈余和破产时赤字主要利用常利率古典风险模型下盈余过程具有强马氏 性主要结果有 定理1 1 当“ o ，令g i ( 化n ) = p “( s u p o o ，乃 。c ) ，则 g 1 ( “。) = 州( 篇) 5 + 咖( 至( _ 1 ) 弋c + 她) 礼t 1 六i 。毒似“w 舭札上， ) n = u6c + 0 u r ”。一o + r e “如一o ) 出 定理1 2 令m = m n z 1 ( t ) | ，乃础) ，则有 _ p “( m 茎6 i 乃 。) = 藉精紫器，o 6 o ， 令g 3 ( u ；，y ) d z 咖= 尸“( 巩( 巧) d z ，1 ( 乃) l 由，乃 矸，乃 l n 筹加似) ，( z + 可) d 。d 掣d t 定理1 4 若。 “2o ，6 l o ，n z o ，如果令 g 4 ( 珏；z ，黟，岛，6 ) 如匆 = p “( ( 7 ) 如f ( 乃) l 劫，s u p ( f ) 口 。兰 一6 ，砰 o 。) ， 0 l n 筹忡( f 叩) ，( 州池蛐 目前，有很多论文将古典风险模型的索赔间隔推广至e r l a n g 分布，如d i c k s o n ( 1 9 9 8 ) ，在这篇文章中， d a v i dcm d i c k s o n 研究了e r l a n g 分布下的破产概 率，赤字分布和b u r i e rp r o b l e m 等问题本文的第二章令索赔间隔服从混合指 数分布，也研究这些问题，主要结果如下： 矿 ， c十 涨 m ，=!。 + 乩 + c 脚 十 曲阜师范大学硕士学位沦文 定理2 1 1若索赔量五服从参数为卢的指数分布，则 d ( 。) ：l + ( 害一1 ) 。舢，6 ( o ) ：车。 ad 其中沁：堕竺兰匝坐芸兰坐必 定理2 1 2i ( s ) 满足如下的关系式： i ，、c 2 s 巧( o ) + 卢l 成m 1 + c ( a 1 卢l 十4 2 卢2 ) 一( 口l + 卢2 ) c 、。 c 2 s 2 一( p l + 卢2 ) c s 十卢l 胁一 卢1 卢2 一c s ( a 1 口i + a 2 应) j 厂( s ) 其中m l 是索赌量五的均值，( s ) 表示，的l a p i a c e 变换 定理2 2g ( u ，) 满足如下关系式： = 掣， 其中孑( s ，g ) 表示c 扣g ( o ，z ) 出的l a p l a c e 变换， ；，、c 2 s 巧( o ) + 声l 如竹；l + c ( a l 廖l + a 2 & ) 一( 卢l + 伪) e 、7 c 2 s 2 一( 卢1 + 卢2 ) c 5 + 卢1 成一 卢1 岛c s ( 4 l 卢l + 4 2 恳) ，( s ) d ( o ) ：一f 鱼丝蔓二! 兰! 堕：兰! 鱼! 三二鱼璺塑! 定理2 3若索赔量磊服从参数为的指数分布，则 x 【? z ，6 ) 一日 西琢可丽+ 瓦 卢+ a 2 6 ( 卢+ a 2 ) 第= 蕈讨沦的是一种特殊的延迟更新风险过程，1 段设第一次索婿之前的日寸旧 分布的密度函数1 ( ) 满足 州归a 犁蔷黔柙刊巾。 a ， 当，( e ) = 8 一。时， e - c 。，= 。三 ；锹+ c ，一曲n e 一“t - 得列的丰喜结巢右： 曲阜师范大学硕士学位论文 3 2 1 定理 g e r b e r _ sh i u 罚金函数r md ( u ) 满足如下关系式 d 7 2 m 1 j ( “) 七i ( o ) e ( 1 + 臼 ( 1 一q c “f7 z 一 ( 1 一q c ”f7 l 一 + 旦f “州“刊删卅。e x p 半1 f ) 协( f ) 小 o j u c 笱薹t 半时 篆薹唧t 半“，z 。，。卜汁半啪“ 刊删毗一篇薹唧t 半u ， 卜半啦棚1 1 删即) r ( f ) d m ( t ) 七i ( o d+o e ) e ( 矿) + 臼 m j 【一) d 日。0 ) + ! 里m 6 ( ) + 南l ( u ) e ( y ) t ( t ) c d+o 0+o 一2 女d f d “ d 抽h m 坤 。m 。 ，加， ，m 2 卜 删 咖 卜 0 e n 口厂 p p 似 啦 z z 产 卢 k 堕呈! 燮堂堡兰焦堡塞 特另0 地，当n = 2 时， 其中 = 警知卜小酬+ z 。唧 宰卜啦州啦扎 十学d 2 e x p ( 宰“j d2= + f 8 ，。吲 jo i “ z 。z “e x p t 半t ) z 。州脚以机 半 ( 1 + p ) e ( y ) ，( ) 捌m 3 2 2 推论令6 = o ，”= 1 则有m j ( u ) = 妒( u ) ，从而破产概率妒，满足 其中 母1 ( u ) = 警z “砂( u f ) d h 。( ) + z 。e x p ；( “z ) p 。( r ) d c 十躺喜哳州 装淼薹唧t 叫。忻唧t p o ( ) 小，蚓洲池等等妻唧 z 0 。( 。) 。z 。e x p 卜；母。n 一2 一m 万( d t d 。， 等掣鬈仲刊蚓卅如) + 掣靴) 呲 阴 叫 阶 皓嗽 宰半 雠 旺 f f z z +一c+一。 “ 畎 旺 杈 羞一 堕呈堕堇盔堂堕主堂焦堡塞 p o 。 d m o = ( + ( j 0 特别地，当n = 2 时 其中 1 ) 吖“e x l ) ，u 1 ) 矿e x p j 州= 坠攀小删卅! 。e x p 弦f ) ) 州删z + 半蛳x p 一学唧 ；“) z 。z ”唧 ) 胁) d h 抛 一旦磊堂唧 詈“ z 。z 。唧 一舭， d 2o + 刚：耐 z “z ”唧t 当索赔间隔服从广义e r l a n g 分布条件时，推导出定理( 3 31 ) 和推论 f 3 3 2 1 ： 3 3 1 定理g e r b e r _ s h i u 罚金函数m 1 6 ( ) 满足如下关系式： m 1 d l “j 掣铲z “州胍+ z 。唧 半( 肋水渺 + “叫“号堕亘晟喜赫两 e x p ( 半m z 2 唧 ( 半m 叫 ：。吲吼膨 + z 。e x p ( 学m 刮l 州即m 删 一南( 确c 半hc 半，) ， d 牛 b i 眦 妣 y 0卜吼 妒 i 味旷 生。 触 9 册 掣 一 u 脚r 郦 鳓。鲥。 其中 南( f ) = 3 3 2 推论 妒】( u ) 其中 曲阜师范大学硕士学位论文 一掣掣宰z 。州煳卅( f ) 岫( 0 ) 驯邓j 令6 = o ， = l 则有”岵( “) = 妒从而破产概率矽，f “) 满足 = 警：“毋( u 一口) d 吁。( ”) 十z 0 。e x 。 ；( “t ) 曲。( e ) d 一 洲归一等掣彰州 ) d h 。( ) + 竺妒( ) 十鱼盟耳( ) cc g e r b e r - s h i u 罚金函数m i d ( t i ) 满足如下关系式 十 + 其中 m id ( “) 哔笋z “吲舰+ z “e x p 半( 黼) 班 ( 一驴。学亘鼠萋壶】e x 州半m z 0 。唧f ( 半- f ) ) 知”洲砘m ：。酬半叫) ( 1 州即m 伽t 南 c 半，刊半，) 】， 曲阜炳范大学硕士学位论文 洲) = 一掣掣半胁”棚) + 岫( 0 ) 剐川牡 对于该模型，w i l i m o t ( 2 0 0 4 ) 已经建立了延迟风险更新过程罚金函数m j d ( “j 和普通更新风险过程罚金函数m 6 ( “) 之间的积分关系，特别地，令w = 1 ，5 = o ，即得到两种更新过程的破产概率之间的积分关系。在本文中，将，( ) 换成 e r # 。n g ( n ) 和广义e r f “n 9 ( n ) ，也求出了这两种更新过程的罚金函数以及破产概 率之间的积分关系由于e r f o n 9 ( 1 ) 即为指数分布，所以w 订l m c ，c ( 2 0 0 4 ) 可以看 作是本章的一种特殊情形 关键词：古典风险模型；常利率；推移算子；极值分布；混合指数过程；生存 概率；赤字分布；障碍问题；延迟更新过程；g e r b e r s h i u 罚金卤数；破产概 率；l a p l a c e 变换 曲阜师范大学硕士学位沦文 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o ni sd e v o l e t ll od e a l i n gw i t ht h er 1 j j i 】t h e o r yf o rs o m pk j n d s o fr i s km o d e l sw h i c hi n c l u d ed i s t r i b u t i o n so fe x t r e m ev a l u e si nt h ec l a s s i c a l n s km o d e lw i t hc o n s t a n ti n t e r e s tf o r c e ac l a s so fr e n e w a lr i s kd r o c e s sw h o s e c i a i m so c c u ra sa r l n x e de x p o n e n t i a lp r o c o s sa n dac l a s so fd e l a e dr e n e w a l d r o c e s s e s t h ec l a s s i ca 1r i s km o d e lh a sb e e n g e n e r a l i z e di nm a n yp a p e r st oc o n f o r mt o r e a l i t ys i n c ei tw a sp u tf o r w a r do n eo ft h ee x a m p l c si st h ec i a s s i c a lr i s km o d e l w i t hc o n s t a n ti n t c r e s tf b r c et h e r ea r en l a n yc o r r e l a t e dp a p e r sl r e a t i n gc ( ) n s t a n i ji n t e r e s tf o r c es u c ha sc a i ( 2 0 0 2 ) ，“( 2 0 0 4 ) ，w u ( 2 0 0 2 ) ，w u ( 2 0 0 5 ) a m o n g l h e m ，u ( 2 0 0 5 ) d e r i v e dt h eu n j t e 【ld i s t r i b u t i o no ft h er u i nt i m e ，t h es i 儿。p l u s i m m e d i a t e l yp r i o rt or u i na n dt h ed e 矗c i ta tr u i n b e s i ( 1 e s ，l l ( 2 0 0 4 ) d i s c u s s p ( 1t h o 6 r s lh i t t i n g t i m ei nt h ec l a s s i c a lr i s km o d e lw i t hc o n s t a n ci n t e r e s tf o r c eb a s e ( i o nt h e s ec o n c l u s i o n s 、t h e6 r s tc h a d t e ro ft h ed j s s e r t a t i o ni sl od l s c u s ss e v e r a li m d o r t a i l tu n i t e dd i s l r i b l l t i o n sr u n n i n ei nt h ec l a s s i c a ln s km o d e lw i t h c o n s t a nlj n t e r e s tf o r c et h e yi n c i u d e t h ef u i nl i m e ，t h e 行吼i e c o v e r yt i m e ，t h e s u p r e m ep r o 矗t sb e f o r er u i n ，l h em i n i m u i i lp r o f i t s b e t w e e nr u i na n dr e c o v e r y ，t h es u r p i u si m m e d i a c e i yp r i o rl or u i n ，a n dt h ed e 右c i ta t l ir i w eo b t a i n t h e s ee x p r e s s i o n sm a i n l yb ys t r 。n g 】a r k o vp r o p e r t yo ft h es u r p l u sw n hc o n s t a n ci n t e r e s tf b r c e t h em a i nr e s n l 毛sa r ea sf b i 】o w s ： 0 乃 0矿 = n 心 g 乱 nhwmeo m 炯 曲阜师范盔堂亟圭堂垡堡塞一一一一 一一 g 1 ( u ，。) + “( f ，o e 舶+ c e 西咖 j0 n 1 出 t h e o r e m1 2l e tm = ，n 口z i ( 吼乃ts 对) ，t h e n p u ( m 6 | 乃 。g ) = 貉装黼，o 6 0 ， l e tg 3 ( ；。，z ，9 ) d z 西= p ”( ( 万) 出，l 巩( 瓦) l 匆，乃 7 了，b ( 。1 t h e “ 胪+ e 龇十c ，( z 十) d z d 可d o ( c + 占血) n + - ， ( “e 乩十c e a ”d u 一。j、 j l n 舞 jo 。) 捌 小_ 1 l n 蒹m ( z t h e o r e m1 4i f u 0 ，62g o ，。z 0 ，i f l e t g 4 ( ：z ，纠，。，6 ) d 。d 可 = p ( ( 万) d 2 ，i ( 乃) i 咖。i 岛。 一6 砰 。) ， o l n 糍) 张。州( 卅彬娩州 a tp r e s e n t ，t h ed i s l r i b u t i o no ft h ec l a i mi n t e r v a lh a sb e e i l g e n e r a l i z e dt ( 、 e r l a n gi nm a l l yp a p e r ss u c ha sd i c k s o n ( 1 9 9 8 ) w h e r ed a v i dcm d i c k s o nm a d e ar e s e a r c ho nr u i np r o b a b 订i t y ，d e 矗c i td i s t r i b u t i o n ，b a r “e rp r o b l e ma n ds oo n w h e nt h ec l a i mi n t e r v a ly i e l d se r l a n g i l ld i s c u s st h es i m i l a rp r o b l e i n sa sw e l i s u p p o s i n gt h ei n t e r v a ly i e l d sm i x e de x p o n e n t i a ld i s t r i b u t i o nt h pm a i nr e s u l t a r ea sf b u o w s ： t h e o r e m2 1 ii ft h ec f a i ma m o u n t 五y i c i d st h ee x p o i l ( 、i l t ia i ( i i s t r i 【) i l n w i l hp a i a 玎l e t e r 声，t h e n d ( u ) = l + ( 二害一1 ) p 1 ”，d ( o ) = 二害， 。h 。，。 一! 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字 6 o ， 戛： i 1占二o x ( u ) = 筌? 五，乃。i n f ：( ) 乃，( ) = o ) ( 如果左集为空，则丁? = ) ， 一般的，当女= 2 ，3 ，类似定义霹= i n f f 霹。c7 d ( f ) = o ( 如果左 集为空，则霹= o 。) 令p ”( ) = 尸( ，f ( o ) = “) ， 咖( “) 表示初值为u 的破产概率，咖( u ) = 1 一咖( “) 2 主要结果 令s ? = i n f f o ：巩( t ) = 口) ( s ? = o c ，如果左集为空) ， 当 = 2 ，3 ，= i n f f 霹一：( f ) = 卢 ( = 。，如果左集为空) 第一章常利率古典风险模型下的梃堕坌壹 对l ，霹 用g 。( 卢，反t ) 表示霹，女2 的分布，g 。( “：，t ) 表示邓的分布 令g ( u 、卢，f ) ：墨lj d “( 嚣st ) = 器lg l ( ，寥，f ) + g r 。1 ( 声3 ，) 十表 示卷积 将由 ( ) ，t 2o ) 所产生的推移算子族慨，t o ) 定义为s 。口t 。= s t ；，u 卢，t 芝o ，更新测度g ( “、p ，) 有密度函数g ( u 、 t ) ( c + 叩) ( t 0 臼1t ( ) t = o 对“ 一；扎 j l n 黑，g ( “，口t ) 存在密度函数口( “，一，) 9 ( ，黟f ) 证明见文献 1 3 引理1 2当u 一； 当o t 血时， 当t = a 时，g 1 卢) 且“ 0 ，p ( t ，扎，z ) = p “( 码 f ，( ) 如) ， ，o ：( 瓦( t ，t + 酬，阮( 野) ( 。z 十出j ，i ( 瓦) 1 ( ，口+ 咖) ) - ( 1 ) 如果z e x p 他) + c 片e x p d u 咖，则 ，o = 0 2 卜 觚 r鄙 卅 霹 ，(、l ，lc，it、 u 时 | i 对；“叫 ， j l 卢 “ 理当引且 舞 曲阜师范大学硕士学位论文 ( 2 ) 如果z = “e x p d 好+ c 露e x p d u 抛则 ，0 = ae x p 一a f 厂( ue x p 占t ) + c e x p 巧? j d ，+ ) d d r u ( 3 ) 如果z o ，令g l ( “，。) = 矿( s u p o ! n ，瓦 0 ，u n 时 1 ) “( c + 沈) ” p “( s u p ( ) n ，乃 o o ) = 矿( 瓦 n ，丁j 。) 0 茎 t d = 矿( 矸 乃，瓦 。o ) = 矿扫“( 矸 乃，( 瓦 。) o8 矸 局1 7 ) ) = p ”【玎 乃p 。( 死 ) ) = p “( 矸 乃) 咖( o ) ( 1 1 j 3 。脚 0 j砂 十 。一 咖 _ + 砘r u c + 丘 乳 舞m h 弋 ，。护 而 塑二童堂型空直些墨险模型下的极值分布 p “( 珂 乃) = 矿( 矸 乃，乃 。) + 矿( 7 r 瓦，乃：o 。) 2 g ( u ，。) + p “( 耳 乃，乃= 。) 3 g 1 ( “，。) + p “( 矸 。) 矿( 乃= 。c ) = g l ( “，n ) + p “( 矸 ) o j ( a ) ，f 1 2 ) 将( 12 ) 代入( 1 1 ) 得 g i ( 血，o ) = ( gl ( u ，o ) + p 。( _ 丁宁 。c ) 曲d ( n ) ) 砂j ( d ) 由引理1 1 ，l2 知， 从而可以得到 g l ( n ，引= p “( 耳 。) 如( ) 半 “4 ( ，a e 乳+ c e 如d 口一。) d t j 0 4 拙十。“扩咖。) j 0 ( i 5 动舢 l，l 黯 h 厂。 篇扣 o 令g j ( “，6 ) = 矿( s u p o ! 6 时，显然有p “( s u p 0 1 瓦( f ) 6 ，五 o “6 时 g ：( u ，6 ) 幽( 札) 咖( u ) r 。c jp 嗤慧 ( 6 ) p ”( 对 。) ( 篇) 一 k 一_ 定理1 2 令肘= m n z l 巩( t ) l ，乃st 砰) ，则有 p “( m 冬6 l 乃 。) = 等器删，o 6 ； j d “( m b l 乃 。，1 ( 瓦) | = y ) = 1 二刿矧 证明为了方便证明，引进一个新的随机变量砑，面= m a x ( ) l ，( ) o 显然，砑茎6 意味着盈余过程轨道永远不会下穿一b ，故有 p “( a f 6 ) = 1 一妒6 ( u + 6 ) f 1 6 j 巾砜 。嵝 矿卜 g 一 乃叻 矿 如 dd 矿 d c + + 眦 宴、 k。脚坩 砂 一 d 第一章常利率古典风险模型i ? 的极值分布 事实上，( m 6 ) 的实现有两种可能，一种是不发生破产，此时m - = o ：另一 种是发生破产，在乃到t p 之间盈余过程轨道不f 穿一6 ，在砰时盈余值为 0 ，此后再不下穿一6 所以 p “( 面6 ) = l 一( 珏) + 咖( 让) j d ( m 6 f ( o ) = u ，乃 o 。) ( 1 一咖( 6 ) ) ，( 1 7 ) 从( 1 ，4 j 、( 15 ) 两式我们可以得到 州m 剑死 。) = 篆糍 假如破产时赤字是可，面s6 ，6 g 意味着从一g 出发，并且轨道永不下穿一b 所以 尸“( 面s6j 乃 o o ，j ( 乃) l = ) = l 一饥( 6 一y ) ： ( 1 8 ) 衍6 等价于m 6 ，且在时刻砰之后轨道不下穿一6 ，所以 p “( 面墨6 i 死 。，l 仉( 乃) l = y ) = p “( 肘6 f 瓦 。，f ( 乃) f = ) ( 1 一如( 6 ) ) ( 1 9 ) 从( 1 6 ) ，( 1 ，7 ) 两式我们得到 推论 p ( ms 6 l 瓦 o c ，i ( 乃) l = ) = 生鬻 州，。刈，瓦 o o ) = 地薷 证明 这是由于( i n 吃! 。! 碍一6 ，乃 0 、 令g 3 ( “；o ，z ，g ) 如咖= p ( ( 万) 出，f ( 乃) i 咖，瓦 矸，乃 一l n 筹瑚( f ) ，( z + 掣) d z d 可d t 证明根据 巩( t ) ，t o 的强马氏性 ，) “( ( 巧) d z ，i ( 瓦) i 咖，瓦 矸，瓦 矸，p “( ( ( 7 了) 出i ( 乃) i 咖，乃 矸) p 。( ( 2 7 ) 出，1 ( 乃) l 咖，乃 日) = 尸“( 瓦 耳，瓦 矸，乃= 。) ， 由定理1 1 知 p ”( 乃 玎，乃 。) = p “( 口 矸，乃= 。) = p ( 矸 o 。，乃= ) = _ p “( 矸 。) 咖( n ) 故尸“( 野 乃) = j p “( 野