（机械电子工程专业论文）谐波驱动系统非线性控制.pdf

摘要 随着工业自动化水平的不断提高，人们对机械系统的控制精度和响应速度提 出了越来越高的要求，谐波驱动系统正是在这一背景下出现的。谐波驱动系统以 其优良的传动特性迅速在各个应用领域，特别是高精度控制领域得到了广泛的应 一一用。 本文在充分考虑谐波驱动系统中突出存在的运动误差这一主要的非线性传动 问题基础上，针对系统模型特点，应用新近发展起来的非线性控制技术，研究了 该系统在几种常见控制作用下的高精度运动控制问题。 首先，研究了谐波驱动系统在状态反馈下的两种控制方式：位置控制和轨迹 跟踪控制，分别给出了可进一步提高系统品质的非线性比例一微分( n v d ) 控制器和 非线性比例微分加前馈系统动力学模型( n v d + ) 控制器；其次，考虑到工程应用中 系统输出的速度信息不便测量的实际情况，提出了只基于位置测量的输出反馈控 制，包括位置和轨迹跟踪控制器；最后，文章将驱动器饱和的实际情况纳入考虑 范围，重新研究了状态反馈和输出反馈下的位置和轨迹跟踪控制问题。应用 l y a p u n o v 稳定性理论证明了所提出的控制器对应闭环系统方程的渐近稳定性。仿 真结果进一步表明了所提出的控制能极大地提高了系统的控制品质，获得了很好 的控制效果。 关键词：谐波驱动状态反馈输出反馈输入受限渐近稳定性 a b s t r a c t w i t ht h ec o n t i n u o u si m p r o v e m e n to fi n d u s t r i a la u t o m a t i o n , m u c hh i g h e rt h e a c c u r a c ya n dr e s p o n s eo fm e c h a n i c a ls y s t e m sa r er e q u i r e d t of u l f i l lt h e s er c q u k e m e m s ， h a r m o m cd r i v es y s t e m sa r ew i d e l ya p p l i e d b e c a u s eo fi t se x c e l l e n tt r a n s m i s s i o n p r o p e r t i e s ，h a r r n o m cd r i v es y s t e m sa r ew i d e l yu s e di nv a r i o u sa p p l i c a t i o n s ，e s p e c i a l l yi n l l i 曲一p r e c i s i o nc o n t r o lf i e l d c o n s i d e r i n gt h ek i n e m a t i ce r r o ri st h em a i np r o b l e mi nn o n l i n e a rt r a n s m i s s i o n s ， t h eh i g hp r e c i s i o nm o t i o nc o n t r o lo fah a r m o n i cd r i v es y s t e mi s s t u d i e d ，u s i n gt h e r e c e n t l yd e v e l o p e dn o n l i n e a rc o n t r o lt e c h n i q u e s f i r s t , t w os t a t ef e e d b a c kc o n t r o l si n c l u d i n gp o s i t i o nc o n t r o la n dt r a j e c t o r yt r a c k i n g c o n t r o la r es t u d i e d , a n dt h e nac l a s so fn o n l i n e a rp r o p o r t i o n a lp l u sd c r i v a t i v e ( n p d ) c o n t r o l l e ra n dn o n l i n e a rp r o p o r t i o n a lp l u sd e r i v a t i v ea n df e e d - f o m r a r dd y n a m i cm o d e l ( n p d + ) c o n t r o l l e ra r ep r o p o s e df o rf u r t h e ri m p r o v e m e n to ft h ep e r f o r m a n c e s e c o n d , b e c a u s ei ti sh a r dt ot a k eam e a s u r eo ft h ev e l o c i t yi nt h eo u t p u t , o u t p u tf e e d b a c k p o s i t i o nc o n t r o l l e r sa n dt r a j e c t o r yt r a c k i n gc o n t r o l l e r sa r ed e v e l o p e d 谢t l lp o s i t i o n m e a s u r e m e n t so n l y f i n a l l y , b o ls t a t ef e e d b a c kc o n t r o l sa n do u t p u tf e e d b a c kc o n t r o l s a r er e s t u d i e d t a k i n gi n t o a c c o u n tt h ea c t u a t o rs a t u r a t i o n t h el y a p u n o vs t a b i l i t y t h e o r e mi su s e dt os h o wt h ea s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ec l o s e d l o o ps y s t e m sr e s u l t i n g f r o mt h ep r o p o s e dv a d o u sc o n t r o l l e r s s i m u l a t i o nr e s u l t sa r ep r e s e n t e dt od e m o n s t r a t e t h ee f f e c t i v e n e s sa n dp e r f o r m a n c ei m p r o v e m e n t so ft h ep r o p o s e da p p r o a c h e s k e y w o r d s ：h a r m o n i cd r i v e s t a t ef e e d b a c k o u t p u tf e e d b a c k i n p u tc o n s t r a i n ta s y m p t o t i cs t a b i l i t y 第一章绪论 第一章绪论 1 1 谐波驱动系统发展概况 谐波驱动系统于2 0 世纪5 0 年代中期由美国的m u s s e r 教授提出【l 2 】，是一种 特殊的柔性齿轮传动系统。现今广泛使用的谐波驱动系统发展自1 9 8 7 年的新成果， 与最初的系统结构有较大的区别【3 。7 】。该系统的典型结构如下图所示，主要由波发 生器、柔性齿轮和环形齿条这三部分组成【8 】。其中，波发生器是一个被柔性滚珠球 轴承所环绕的具有一定离心率的椭圆形状的铁芯；柔性齿轮由合金钢做成，是一 个内部中空的薄壁罩杯，其开口端的外沿被加工成轮齿，而闭口端则与输出轴相 连接；环形齿条是一个有一定刚度的内齿轮，它的齿数多于柔性齿轮。 f - ) 腰开结构 b ) 装配结佝 图1 1 典型的谐波驱动系统 上图同时给出了谐波驱动系统的装配结构，在该结构中，波发生器安装于柔 性齿轮罩杯的开口端，椭圆形的铁芯置于闭口端。因此，当系统运行时，环形齿 条与柔性齿轮间的啮合传动所绕轴心将在一个与椭圆铁芯有相同离心率的椭圆轨 道上运行。通常情况下，波发生器作为输入端，柔性齿轮是输出端，而环形齿条 则是被固定的。 这种特殊的构造使谐波驱动系统拥有了许多优良的特性。它具有传动精度高、 回差小、承载能力大、单级减速比高、体积小、重量轻、传动平稳和噪声小等其 它传动机构所不具有的优点。此外，它的集中式的输入输出的安排使其比传统的 齿轮传动系统更为紧凑。谐波驱动系统所具有的这些特性，使其受到了广泛的关 注，并在多个领域得到了深入应用。 2 谐波驱动系统非线性控制 在半导体工业中，利用谐波驱动系统的高精度传动特性，实现了晶片的更高 要求的切割、研磨等工艺。在工业机器人中，利用谐波驱动系统的高承载能力和 重量轻的特点，将它和驱动器同时安装于空间机器人之中，在提高控制精确度的 同时也大大降低了整个系统的重量体积比。此外，通过互换谐波驱动系统的输入 输出端，航空航天设备和一些自动驾驶仪器中也有了它的广泛应用。谐波驱动系 统的其它应用领域包括仪器仪表、医疗器械和军事工业等一些需要高精度机械控 制及定点控制的领域【9 。 然而，谐波驱动系统在拥有上述诸多优点的同时，也带来了非线性传动问题， 主要包括运动误差、系统柔性、磁滞效应和摩擦等【l ，这使得该系统在高精度传 动应用领域的广泛而深入的应用受到了一定的限制。正因为如此，如何针对谐波 驱动系统建立精确的数学和物理模型以及寻找更好的控制方法，已成为提高其系 统品质的关键所在。 1 2 谐波驱动系统的研究现状 自谐波驱动系统问世以来，科研人员针对该类系统的特点做了大量的研究工 作。但是，由于该类系统存在非线性传动等问题，这使得研究人员在对其进行模 型建立及其控制研究上遇到了很大的挑战。 1 2 1 谐波驱动系统的非线性传动 早先关于谐波驱动系统的研究指出了该类系统所存在的若干个非线性传动问 题和其自身传动特点这两个看似相互矛盾的特性，但并未精确建立该类系统的研 究模型及它的控制方法。只有少数研究人员利用当时控制理论的成果对该类系统 存在的非线性传动问题进行了控制补偿的研究【1 2 】。但是，这些研究仅部分解决了 系统的局部稳定性，并未在全局上解决系统的渐近稳定性。 ( 1 ) 运动误差 在谐波驱动系统非线性传动问题中关注最多的是它的运动误差，该问题是否 得到有效解决直接影响着系统的控制精度。 在理想状态下，系统的输入端与输出端位置成正比，但是由于运动误差的存 在，系统输出端的实际位置和理论位置存在一个偏差。运动误差可以定义为： 万= 熹一岛( 1 - 1 )n 其中，口。表示马达端的实际输出位置，0 1 表示其实际输出位置，为传动减速比， 第一章绪论 臼为系统的运动误差。 关于谐波驱动系统运动误差的产生原因、相关特性及其计算，人们做了大量 的研究工作1 3 1 5 1 。y a n a b e 等【7 】通过精确测量发现，运动误差和系统的柔性齿轮、 环形齿条上的螺距误差存在紧密的联系。在t u t t l e 和s e e f i n g 1 7 j 建立谐波驱动系 统模型的实验中，运动误差表现出周期性变化的特性，并使控制力矩出现了不可 预测的小幅波动。该研究认为，两啮合的齿轮及周期性变化的信号是导致运动误 差的主要因素。e m e l y a n o v 等【1 8 】研究发现，运动误差的主振频率基本等于波发生 器旋转频率的2 倍，并给出了根据谐波驱动系统的制造误差，采用“离心向量法” 来计算具体运动误差的通用方法，这种方法充分考虑了谐波驱动系统三个基本组 成部分间的相互作用。但是，由于无法将运动误差从耦合了各种非线性因素的谐 波驱动系统中完全独立的分离出来，实现对运动误差的控制补偿变得相当困难。 g h o r b e l 和g a n d h i 等人的研究工作【1 9 】使人们对谐波驱动系统的运动误差有了 进一步的认识。他们发现，仪器、转速、装配情况、负载量和负载位置等对运动 误差都有直接或间接的影响，特别是当转速增大时，由系统柔性影响造成的运动 误差将会显著增强。他们将运动误差分解为两个部分：基本误差百，和刚度误差p ，。 刚度误差是系统刚度特性所造成的运动误差；基本误差是系统结构造成的运动误 差，是一个与系统柔性无关的分量。在系统转速相对较低的情况下，系统柔性作 用相对较小，运动误差可以认为仅由基本误差构成，刚度误差远小于基本误差， 基本不对研究结果产生影响。基本误差与系统控制输入的关系如图1 2 所示。 一 ：， o 赣 莰 期 蹬 婚 埔 马达位置0 m ) 图1 2 运动误差的基本分量 4 谐波驱动系统非线性控制 ( 2 ) 其它非线性特性 除了运动误差外，谐波驱动系统其它的非线性传动因素也是科研人员研究的 对象。相关研究指出【2 m2 ，系统柔性源于组成系统的各个部件，包括柔性齿轮罩 杯、椭圆球轴承和啮合轮齿等。它们之间的接触表面因系统柔性摩擦所产生的非 线性作用而导致了系统磁滞效应的产生。实际上，系统的磁滞效应与系统柔性是 交互作用的，特别是在动态情况下，传动摩擦和系统扭转刚度的交互影响加剧了 系统磁滞效应的产生。除了会产生磁滞效应，系统摩擦也会给系统的动态性能带 来其它的非线性影响，尤其是在低速和非单向运动的情况下。早先关于摩擦的研 究已经指出了其与系统结构和输入输出位置状态的部分依赖性，并将其作为库仑 力和粘滞阻力处理瞄2 3 1 ，现在则更多的采用l u g r e 模型【排2 5 1 ，该模型更为精确地 表征了系统摩擦，在高精度控制应用中显得尤为重要。 1 2 2 谐波驱动系统的模型建立 在对谐波驱动系统进行控制研究之前，必须要建立起系统的物理和数学模型， 这一模型除了要能精确地表征谐波驱动系统这一复杂的静、动态系统外，还必须 经得起在各类不同控制输入作用下的检验，同时，该模型一定要便于研究。这将 极大地有助于提高谐波驱动系统的控制精度，提升响应速度，同时，消除或大大 降低其因非线性传动所带来的影响。然而，受非线性传动因素和特殊的系统结构 的影响，谐波驱动系统模型难以精确建立。 关于谐波驱动系统模型的建立，历史上有两种方案。一是完全基于系统的物 理结构【r 飞二是部分基于系统的物理结构，部分基于实际系统的输入输出实验数 据 2 6 - 2 7 】。其中，完全基于系统物理模型的建立方案仅将运动误差、柔性和系统摩 擦等各个非线性传动因素作了简单的叠加，未考虑到其间的相互作用，同时也缺 乏对系统的整体考虑，当具体引入各个非线性传动特性的模型后，整个系统模型 变得复杂难控。第二种方案除了要考虑系统的物理结构外，还需要测量系统的输 入输出，并将测得的输入输出通过一非线性模型表示，进而完成系统模型建立， 该方案充分考虑到了非线性传动各因素的作用以及它们之间的相互影响，在整体 上优于只基于系统结构的模型建立方案。然而，这种方案仅适用于特定系统，特 定实验条件的情况，区别于通用的系统研究模型。 1 2 3 谐波驱动系统的控制研究 目前，大部分关于谐波驱动系统的研究关注于影响系统的各个非线性传动特 征，或是在全状态下的系统模型，仅有少数文献涉及到了系统的控制研究。 第一章绪论 5 m u h a m m e d u 】给出了p d 控制算法，通过测量负载端的实时信息，实现了谐波驱动 系统的全局渐近稳定位置控制。n y e 和k r a m l f l 4 1 设计了一开环控制策略实现运动误 差低频分量的补偿，这种补偿基于运动误差可用一简单正弦波替代的假设。g a n d h i 等【2 8 】提出了利用传统的比例一微分加( p d + ) 系统动力学补偿控制策略来研究在忽略 柔性影响下的谐波驱动系统的高精度轨迹跟踪控制问题，实现了对运动误差的有 效补偿。g h o r b e l 和g a n d h i 2 9 利用积分流技术，对同时存在运动误差、磁滞作用和 系统柔性的谐波驱动系统进行了深入的研究，给出了在高速运动下系统的高精度 控制方法。z h u 等【9 ，3 0 】使用自适应控制技术研究了7 自由度谐波驱动机器人系统在 中低速运动下的控制问题，获得了很好的系统控制效果，实现了对系统内摩擦的 有效补偿。亿l r o o l l i 【3 1 1 提出了以从系统输入端，而非输出端获得的信息作为控制 反馈来研究谐波驱动系统，在输入输出端互换的谐波驱动系统中得到了较多的应 用。 1 3 本文研究的主要内容和意义 运动误差的存在导致了理论位置和实际位置的背离，极大地影响了谐波驱动 系统的高精度控制应用。特别是在柔性和系统摩擦等其它非线性因素综合作用下， 由运动误差所造成的影响将会被进一步的放大，并可能在系统内部引起不必要的 振动，进一步引起控制输入和能量的不必要耗散【3 2 - 3 3 1 。因此，实现对运动误差的 有效补偿将极大地提高系统的整体性能。 本文研究的谐波驱动系统忽略了系统的柔性影响，但考虑了运动误差这一主 要的非线性因素，正是由于该因素本身所具有的非线性特征，导致了系统模型的 非线性性。因此，应用非线性控制理论进行谐波驱动系统的控制研究对于提升系 统的控制品质有着重要的现实意义。文章以文献【2 8 】所给出的系统模型为研究对象， 以非线性控制理论为基础理论，使用m a t l a b 软件参与系统仿真，研究了谐波驱 动系统在非线性控制作用下的系统状态，包括系统的响应速度和控制精度等问题， 同时实现对运动误差的有效补偿。文中所涉及到的运动误差的处理在附录a 中作 了详细说明。 本文的主要内容包括： 简要介绍了谐波驱动系统的发展历史、结构特点、应用前景和它的研究现状， 重点对该类系统高精度运动控制研究中的几个突出问题作了简略说明； 介绍了非线性控制的几个常用理论，包括l y a p u n o v 直接方法和l a s a l l e 不变性 原理等。此外，也对两大控制方式：状态反馈控制和输出反馈控制进行了简略 介绍，指出了它们各自的控制特点和不足； 研究了谐波驱动系统的状态反馈控制：非线性比例微分( n p d ) 位置控制和非 6 谐波驱动系统非线性控制 线性比例微分加前馈( n p d + ) 轨迹跟踪控制。在理论分析和数值仿真基础上， 分别对这两种控制与其所对应的传统线性控制作了比较和分析； 研究了谐波驱动系统的输出反馈控制，包括非线性比例微分( o n p d ) 输出反馈 位置控制和非线性比例微分加前馈( o n p d + ) 输出反馈轨迹跟踪控制，应用 l y a p u n o v 稳定性理论分析了闭环系统的渐近稳定性；同时与其对应的传统线 性控制方案进行了比较，验证了所提出方案的优越性； 在充分考虑驱动器饱和影响的情况下，研究了谐波驱动系统的几种输入受限控 制，包括状态反馈和输出反馈下的位置控制和轨迹跟踪控制，并分别作了理论 和仿真分析。 本文的主要意义在于： 对忽略柔性影响的谐波驱动系统的高精度运动控制作了有益的探索，特别是将 新近发展起来的非线性控制技术应用于该系统中，提出了适当的控制方案，有 效地补偿了系统的运动误差，极大地提高了谐波驱动系统的控制精度和响应速 度，为更深入的研究奠定基础； 对输出反馈轨迹跟踪控制的半全局渐近稳定性作了一定程度的探究，并有效地 将其应用于谐波驱动系统之中，获得了较好的控制效果； 充分考虑了实际工程应用中驱动器饱和的情况，提出了基于几种常见控制的输 入受限控制器，并很好地在谐波驱动系统中得到了应用。 第二章预备理论 7 第二章预备理论 2 1l y a p u n o v 稳定性理论 经典控制理论中已经建立了代数判据、奈奎斯特判据、对数判据和根轨迹判 据来判断线性定常系统的稳定性，但是，该理论不适用于非线性及时变系统。 l y a p u n o v 稳定性理论【3 4 】建立在一系列关于稳定性概念的基础上，包括两种判断系 统稳定的方法：l y a p u n o v 线性化方法和l y a p u n o v 直接方法。l y a p u n o v 线性化方 法利用线性系统微分方程的解来判断系统的稳定性，也称为l y a p u n o v 间接法或第 一法；而l y a p u n o v 直接方法则是首先利用经验和技巧构造l y a p u n o v 函数，进而 利用l y a p u n o v 函数来判断系统稳定性，是非线性系统分析与综合的主要方法，也 称为l y a p u n o v 第二法。 2 1 1l y a p u n o v 直接方法 l y a p u n o v 直接方法源于对客观物理世界的直接观察。如果某个物理系统的能 量是耗散的，那么不管该系统是线性的还是非线性的，其最终都将稳定在某一个 平衡点上。因此，l y a p u n o v 直接方法直接通过构造标量的类似于“能量 的函数 来直接研究系统的稳定性问题。 l y a p u n o v 直接方法是将某个物理系统用一个标量能量函数来表示，该标量函 数应该有两个重要的性质：第一，它是严格正的；第二，与系统方程是相关的， 即沿着系统方程的变化是单调递减的。 定义2 1 正定函数一个连续标量函数y ( x ) 被称为局部正定，当且仅当 v ( 0 ) = 0 和在一个球域内，若x 0 ，则v ( x ) 0 。如果该函数在整个状态空间 内都有上述性质，那么它就被称为是全局正定的。 上述正定函数的定义隐含着函数矿( x ) 有唯一的平衡点。实际上，对于给定在 某一球域内有唯一一个最小值的函数，我们总能够通过加减一个常数而构造一个 局部正定的函数。当然，这种变换后的函数与原函数具有相同的时间微分。 定义2 2l y a p u n o v 函数如果在一个球域b r = xc 吼”川x 0 0 ，由y ) ，定义的区间q ，是有界的； ( 2 ) 对于q ，内的所有点来说，矿( x ) 0 。 并设r 为q ，内由矿o ) = 0 确定的所有点的子集；m 为r 内的最大不变集，那么任 ， 何从q ，内出发的系统状态，当时间趋于无穷时都趋于m 内。特别地，如果r 仅包 含一个不变集，那么m = 足( 即一旦矿= 0 ，则恒有矿暑0 成立) 。 l a s a l l e 不变性原理可以用来确定系统的渐近稳定性和确定稳定的吸引域。 推论2 3 1 对于一个时不变系统，v ( x ) 为光滑的标量函数，假定在含原点的 某一个邻域q 内： ( 1 ) v ( x ) 局部正定； ( 2 ) 矿( x ) 为半负定； ( 3 ) 由v ( x ) = 0 所确定的子集仅包含系统轨迹的原点。 则该原点是渐近稳定的。并且，q 内由v ( x ) 0 ； 4 ) 对于x 0 ，存在正常数h ，满足淞( x ) 厅s 2 ( x ) 0 ；并且，若x 有界，则存在 正常数“，使得x s ( x ) 厅s 2 ( x ) h u x 2 ； 5 ) 当设计参数确定时，导函数k x ) 是有界的。 器： 本节考虑位置控制问题。即：对于恒定的位置p ，定义位置误差： 0 e = 0 t 一9 应用上述近似势能函数，对系统( 3 6 ) 式设计如下非线性比例一微分( n p - d ) 控制 f 脚= h t 5 ) 一幻q ) ( 3 - 9 ) 其中，、k d 为正增益常数；o f 为参考位置；p 。= 0 1 一o f 。 将控制器( 3 - 9 ) 式代入( 3 - 6 ) 式，可得闭环系统方程为： d o , + c 9 t + b e lj 卜k d 8 i + k p s t ) = 00 - 1 0 ) 3 2 2 稳定性分析 对于( 3 1 0 ) 式所示闭环系统，有下述定理。 定理3 1 对给定的参考位置吖，在( 3 9 ) 式所示的n p - d 控制律作用下，( 3 1 0 ) 式所示闭环系统的位置误差是全局渐近稳定的。 证明选取如下的候选l y a p u n o v 函数： v = 去d 彰+ k p s ( o 。) ( 3 1 1 ) 二 由于d 、s ( o 。) 、k ，均非负，且当日。= 百。= o 时，有y = o 。因此，该候选l y a p u n o v 函数对于参数0 。，百。是i e 贝, u i e 定函数。 将( 3 - 1 1 ) 式沿闭环系统方程( 3 - 1 0 ) 式对时间求导并带入系统方程，同时，利用 特性b = 2 c ，可得： 1 6 谐波驱动系统非线性控制 驴= 6 e d 百e + 妥6 百：+ k p s ( o e 、) e = 舀，( - c o 。- b o 。- k d 舀。一k p s ( o 。) ) + 去d 彩+ 七，s ( 见) 舀。 1一 = 胡。( b + k d ) a 。+ 去p 。( d 一2 c ) 0 , 二 = - - 0 。( b + k d ) 见 由b 和k 均大于零可知，矿0 。根据l a s a l l e 不变性原理【3 4 1 ， 是该系统的全局渐近稳定平衡位置。 3 2 3 仿真结果与分析 ( 3 - 1 2 ) ( p 。= o ，9 。：0 ) 为了对所提控制算法的有效性有一个直观的说明，这里应用m a t l a b 程序分 别对( 3 9 ) 式所示控制算法和文献口研给出的控制算法： f 胛= 】，( 一k ，见一b 日，) 所形成的控制作仿真分析。仿真参数值如表3 1 所示。其中，关于运动误差部分的 仿真参数值及相关处理在附录a 中已作详细说明。 表3 1 系统仿真参数 其它参数选取为：增益参数七，= 6 0 ，b = 2 0 ；非线性饱和函数参数a = o 6 6 ， 卢= 1 0 ，艿= o 0 3 。马达位置误差可以通过p 。一n o , r 计算得到，取参考位置吖= 5 。， 采样周期为l m s ，初值为零。 仿真结果如下图所示。其中，图3 2 给出了系统在两种控制律作用下马达端和 负载端的位置误差；图3 3 给出了两种控制力矩的变化情况。 第三章谐波驱动系统的状态反馈控制 1 7 c z 氍 r 霜 辅 图3 2 马达端和负载端位置误差 图3 3 系统控制输入 由图可见，在稳定状态，马达位置误差趋于一个非零的常值。而无论是负载 端位置误差还是马达端位置误差，本文提出的n p d 控制律比传统p d 的控制律具 有更快的收敛速度，这种品质的提升并不是以增加控制力矩为代价，其优势是相 当明显的。 ，、椭举州掣裂唧 1 8 谐波驱动系统非线性控制 3 3 谐波驱动系统的非线性( n p d 牛) 轨迹跟踪控制 3 3 1 控制器设计 类似的，提出轨迹跟踪控制问题。 根据( 3 6 ) 式所给系统方程，考虑如下非线性p 加线性d 及系统动力学模型 ( n p d + ) 控制器： = h d 彰+ c 彰+ b 彰一乞s p ) 一咖)( 3 - 1 3 ) 其中，p = 0 ，- o ；k p 、k d 为正的增益常数。 将控制律( 3 1 3 ) 式代入( 3 6 ) 式，闭环系统方程可表示为： d 管+ c 毒+ 雎+ k a d + 后p s ( e ) = 0( 3 1 4 ) 3 3 2 稳定性分析 定理3 2当给予适当的参考轨迹，在( 3 1 3 ) 式所示的n p d + 控制律作用下， ( 3 1 4 ) 式所示闭环系统的位置误差是全局渐近稳定的。 证明选取如下的候选l y a p u n o v 函数： 1 v ( e ，毒) = 妄d d 2 + k p s ( e ) z 应用l y a p u n o v 稳定性理论可完成定理3 2 的证明，证明过程类似于上节n p d 位置控制的定理3 1 ，这里不再赘述。 3 3 3 仿真结果与分析 为与n p d + 控制算法在同等条件进行比较，这里对文献 2 s j 给出的p d + 控制算 法进行适当的整理变换，整理后的表达式为： t 。= r ( d o + c e ：+ b e ；一k 乒一k d 幻 选取参考轨迹为p ，= 2 s i n ( n t 2 ) + 1 0 t ，以控制系统柔性等因素带来的影响， 增益参数七p = 3 6 0 ，k d = 1 2 0 。其余参数选取同3 2 3 节及附录a 。 仿真结果如下图所示。其中，图3 4 给出了系统在两种控制算法作用下马达端 和负载端的轨迹跟踪情况；图3 5 给出了两种控制力矩的变化情况。 第三章谐波驱动系统的状态反馈控制 1 9 毒 z 、 埭 采 磊 翅 ： 椭 媸 删 掣 捌 胛 图3 4 马达端与负载端轨迹跟踪误差 图3 5 系统控制输入 由图可见，经过初始的较大误差的暂态过渡过程之后，谐波驱动系统的输出 端位置误差渐近收敛到零，而以( 3 1 3 ) 式给出的n p d + 控制的系统响应速度要快于 传统的p d + 控制，稳定后马达位置误差的变化的特点则体现了运动误差周期性变 化的特性。该控制品质的提升同样不以牺牲控制力矩为代价。 。j枷嗒州掣搭g 谐波驱动系统非线性控制 3 4 本章小结 本章将非线性控制理论应用于谐波驱动系统高精度运动控制之中，分别在位 置控制和轨迹跟踪控制上构造了n p - d 和n p - d + 控制算法。应用l y a p u n o v 稳定性 理论证明了闭环系统的渐近稳定性；数值仿真结果表明，所提出的两种控制算法 与各自的传统控制器相比较，都能在较大程度上提升系统的响应速度，并在一定 程度上提高控制精度，对系统的运动误差的补偿效果是相当令人满意的。 第四章谐波驱动系统的输出反馈控制 2 l 第四章谐波驱动系统的输出反馈控制 在控制器设计中，降低闭环系统的反馈数量永远是控制器设计的目标之一， 特别是对工业应用的机器人来说。这也是为什么输出反馈控制吸引了众多研究人 员的兴趣。本章将非线性控制理论中的输出反馈控制应用于谐波驱动系统中，通 过构造适当的输出反馈控制器，实现系统的高精度控制。 为方便后续分析，我们对( 3 1 ) 式所示的系统动力学模型重新写成如下形式： d 谚+ c 卯+ b 百，= 罟 ( 4 1 ) 舯。寺岍c = 等，召争怫 由上述表达式，我们可以得到b = 2 c 0 ，且d 、b 、c 分别满足各自的有界 条件：0 巩d p m ，0 吃b ，i c l _ c m ( 可由y 弄f 1 o 的有界性瞄j j | 1 4 n ) 。 其它参数问的关系仍如3 1 节所示。 本文的谐波驱动系统输出反馈控制的控制策略可用图4 1 表示。其中的相关参 数的含义在3 1 节和4 1 节给出。 图4 1 输出反馈控制策略 4 1 谐波驱动系统的线性输出反馈( o p d ) 位置控制 4 1 1 控制器设计 使用滤波器来替代需要测量的速度信息，这样，原有系统的速度量就可以用 滤波器来替代。 根据( 4 一1 ) 式所示系统方程，考虑如下输出反馈线性p 加线性d 控制器： 谐波驱动系统非线性控制 f 肘= r ( - g o , 一b v ) 吼= 一a ( q 。+ b o ，) ( 4 2 ) ( 4 3 ) ，= q 。+ b o , ( 4 4 ) 其中，0 。= q 一吖；v 为速度估计量；q 。为中间变量；、k 、a 、b 为正的增 益常数。 将( 4 2 ) 式代入( 4 1 ) 式，可得闭环系统方程： d 筑+ c 彰+ b 百。+ 匕v + 七p 0 。= 0 ( 4 5 ) 同时，将( 4 4 ) 式对时间求导，并将( 4 3 ) 式代入，可得： 帚= 叫+ 6 岛( 4 6 ) 4 1 2 稳定性分析 定理4 1 对于( 4 1 ) 所不i 羽环系统，在( 4 2 ) 式所不的o p d 控制律作用f ，( 4 。5 ) 式所示闭环系统是全局渐近稳定的。 证明选取如下的候选l y a p u n o v 函数： y ( 以，百。，1 ，) = 互d o ：+ 2 1 _ k p 彰+ l k a v 2 ( 4 7 ) 由于d 、k p 、非负，i e lv ( o ，0 ，o ) = o ，因此，( 4 - 7 ) 式所定义l y a p u n o v 函数 是正定正则的。 将( 4 7 ) 式沿闭环系统方程( 4 5 ) 式对时间求导并带入系统方程，同时，应用特 性d = 2 c 0 ，可得： 矿= 百。晚+ 吉d 彩+ 砟吼百。十石1b 佛 = o ( - - c o ：一b 百。一k v - k p o , ) + 三d 彩+ g o , 晚+ 扣v ( 6 或一删) = 一b 彩+ _ 2 10 。( d 一2 c 0 。) 百。一詈吒1 ，2 = 一曰百? 一詈艺v 2 ( 4 8 ) 由口、b 、b 和岛均大于零可知，矿o 。根据l a s a l l e 不变性原理3 4 1 ，该系统 在( 4 2 ) 式的控制作用下具有全局渐近稳定的特性。 第四章谐波驱动系统的输出反馈控制 4 2 谐波驱动系统的非线性输出反馈( o n p d ) 位置控制 4 2 1 控制器设计 应用具有“小误差放大，大误差饱和 功能的非线性饱和函数( 3 8 ) 式，提出 如下所示的非线性输出反馈o n p d 控制器： f 册= h s ( 见) 一b d ( 4 9 ) 相关参数同上一节定义。 将( 4 9 ) 式代入( 4 1 ) 式，同时注意到百。= 1 ，晓= 岛，可得闭环系统方程： 4 2 2 稳定性分析 d 包+ c 彰+ b o 。+ k a y + k v s ( o 。) = 0 ( 4 1 0 ) 定理4 2 对于( 4 - 1 ) 所不闭环系统，在( 4 - 9 ) 式所不的o n p d 控制律作用f ， ( 4 1 0 ) 式所示闭环系统是全局渐近稳定的。 证明选取如下的候选l y a p u n o v 函数： y = 1 2 艘+ 七p s ( o 。) + 万1 耵 ( 4 1 0 由于d 、s ( o 。) 、k 。和均非负，且当，= 0 。= 百。= 0 时，：f fv = o 。因此，该 候选l y a p u n o v 函数对于参量9 。、百。和v 是正则正定函数。 将( 4 1 1 ) 式沿闭环系统方程( 4 一l o ) 式对时间求导并带入系统方程，同时，利用 特性d = 2 c 或，可得： 矿= 百。色+ 芝1d o ：+ s ( 日。) 百。+ b k a v o = 0 , ( - c 0 ；- b o 。一k d v - - k p s ( o 。) ) + 去d 彰+ k v s ) 9 e + 石ik d l ，( 6 0 l 一鲫) =