（水声工程专业论文）覆阻尼层弹性板的回波特性及弹性参数反演.pdf

哈尔滨t 程大学硕十学位论文 j 宣i i i i i i i i i i i i i i i i i 宣i i i i - mnmninnmnmw a bs t r a c t t a r g e te c h oc h a r a c t e r i s t i c sa n de l a s t i cp a r a m e t e r si n v e r s i o nw e r ep e r f o r m e d i nt h et h e o r ya n de x p e r i m e n ti nt h et h e s i s t h et h e o r yr e s e a r c hi sa sf o l l o w s ：f i r s t l y , b a s e do nt h ew a v ee q u a t i o ni np l a t e s ，d i s p e r s i o ne q u a t i o n so fl a m bp r o p a g a t i o n w e r ed e r i v e dr e s p e c t i v e l yu n d e r6k i n d so fb o u n d a r yc o n d i t i o n s ，i n c l u d i n gi n v a c u u m ，i nw a t e r , c o v e r e dw i t hw a t e r , c o v e r e dw i t hd a m p i n gl a y e ri nv a c u u mo r w a t e r s e c o n d l y , t h en u m e r i c a ls o l u t i o n so fd i s p e r s i o ne q u a t i o n sw e r es o l v e da n d t h ed i s p e r s i o ng ：i ：i i v c sw e r ep l o t t e d t h er e s u l t sw e r ea n a l y z e d ，a n dt h e s ep h y s i c s m e a n i n g sw e r eg i v e n a tl a s t ，t h er e c t a n g l ep l a t ee c h oc h a r a c t e r i s t i cw a sa n a l y z e d u n d e rt h eo b l i q u ei n c i d e n c ec o n d i t i o n a n dk n o w nl a m b sp h a s ev e l o c i t yi np l a t e ， t h ee l a s t i cp a r a m e t e r so fp l a t ew e r ei n v e r s e db yu s i n gg e n e t i ca l g o r i t h m ( g a ) t o o l b o x o ft h em a t l a b i nt h ee x p e r i m e n t a lr e s e a r c h ，t h et a r g e te c h oc h a r a c t e r i s t i c s e x p e r i m e n tw a sd o n ew i t hf o u rm o d e l s ( t w oa l t n o rp l a t e sw i t hd i f f e r e n ts i z e ，o n e a l u m i n u ma l l o yp l a t ea n do n ee l a s t i cp l a t ec o v e r e dw i t hd a m p i n gl a y e r ) w i t h c h a n g i n gt h et a r g e ta z i m u t h ，w h e ns t r o n ge c h oc o m i n go u t ，a n g l e sw e r eo b s e r v e d a n dt h ed a t aw a sr e c o r d e d t h e nt h ee c h os t r u c t u r ew a sa n a l y z e d a n db a s e do n t h ef o r m u l a si nt h et h e o r y , t h ep h a s ev e l o c i t yw a sc a l c u l a t e d s o ，p l a t e l i k e m a t e r i a l s e l a s t i cp a r a m e t e r sw e r ei n v e r s e d t h et h e o r e t i c a ld e r i v a t i o ni sv a l i d a t e d b ye x p e r i m e n t a lr e s u l t s a n dt h em e t h o do fe l a s t i cp a r a m e t e r si n v e r s i o nt h a ti st h e c o m b i n a t i o no fu n d e r w a t e rt a r g e te c h oc h a r a c t e r i s t i c sa n dg ai sf e a s i b l e k e yw o r d s ：l a m bw a v e ；e l a s t i cp l a t e sc o a t e dw i t hd a m p i n gl a y e r ；i n v e r s i o n ；t h e c h a r a c t e r i s t i c so fe c h o ；e l a s t i cm o d u l u s 哈尔滨工程大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：本论文的所有工作，是在导师的指导下， 由作者本人独立完成的。有关观点、方法、数据和文献等的引 用己在文中指出，并与参考文献相对应。除文中已经注明引用 的内容外，本论文不包含任何其他个人或集体已经公开发表的 作品成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在 文中以明确方式标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本 人承担。 作者( 签字) ：q 0 覆型 日期：年月日 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 第1 章绪论 1 1 论文背景及意义 水中探测潜艇的有效手段是通过声波来实现的。根据主动声纳发出声波 的回波或者被动声纳接收到的潜艇发出的噪声都可以判断出潜艇所在的位 置。从而使潜艇失去其隐蔽性。而现今的潜艇，为了提高其隐身性和生存概 率，大多覆盖了一层消声覆盖层。最早出现的水下消声覆盖层是二战末期纳 粹德国研制并敷设在潜艇上的“a l b e r i c h ”型水下消声覆盖层。其结构为厚约 3 0 m m 、内部有直径2 m m 和5 m m 圆柱空腔的合成橡胶结构。德国战败后， 前苏联和英国得到了关于水下消声覆盖层的部分情报资料，并对其进行评估 和反复试验。1 9 6 5 年，前苏联和英国开始在潜艇上使用消声覆盖层。水下消 声覆盖层最初选择的材料是合成橡胶。随着水下消声覆盖层所起到的效果不 断被试验所证实，它作为一种有效的潜艇隐身材料已被世界各海军强国广泛 采用。俄国采用的是丁苯橡胶、聚丁二烯橡胶，美国采用的是丁基橡胶，法 国采用的是聚硫橡胶，英国采用的是聚氨脂橡胶，日本采用的是氯丁橡胶， 近年来压电复合材料又成为各国争相研究的主题。综上所述，水下消声覆盖 层自二战出现至今天，它的结构形式、材料选择、吸声机理及功能都有了很 大的发展。也成为世界各海军强国不断研制开发的热点。然而对于水下消声 覆盖层的研究我国由于起步晚，投入资金少等原因远远落后于国外的发达国 家。这使我国在这一方面的研究不仅重要，而且必要。 现阶段所使用的水下消声覆盖层一直存在两个技术难题：( 1 ) 低频段的吸 声效果差。( 2 ) 无法实现包括低频段在内的宽带吸声。由于这两个弊端的存在， 使得新材料和新技术不断地被应用于水下消声覆盖层的研究。伴随着新材料 的出现，对于材料测量方法的研究变得越来越受到重视。在设计和制作潜艇 不同部位的水下消声覆盖层时，往往关心的是水下消声覆盖层的声学参数， 如：杨氏模量，材料密度，纵波速度，横波速度，纵波衰减系数，横波衰减 系数等1 。这些性能参数与水下消声覆盖层材料的材料参数是密切相关的。 所以在水下消声覆盖层的研究中，对于材料声学特性的了解是必不可缺少的 一个环节。从国内外发表的理论文章中看出，目前有3 种水下消声覆盖层的 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 声学特性的研究： 1 求水下消声覆盖层的解析解。它的优点是物理意义十分明确，便于分 析其物理本质。但是，解析法只能针对典型的声学结构，不能计算非常复杂 的水下结构。 2 水下消声覆盖层采用数值方法，如有限元法、边界元和传递矩阵方法 等。这些方法可以计算相对复杂的结构，但是物理意义不太明确。 3 采用理论与实验相结合的方法。此方法也可以得到较好的结果，但研 究成本相对要高。 就像所了解到的那样，由于板状材料的结构规则使得其解析解的物理意 义明显使得这方面的研究一直成为国内外基础性研究的重点和热点。本论文 就是在这样的大背景下，希望找出一种用板状目标的回波特性反演出其弹性 参数的方法。这样可以使得测量条件的要求不是很苛刻。 本文先由浅入深的对目标的回波信号进行分析，进而得到不同大小，不 同材质板层目标和覆盖阻尼层后板层目标的回波特性。研究阻尼层对目标回 波特性的影响。应用实验数据反演弹性板的杨氏模量，这主要为反演阻尼材 料的杨氏模量作前期理论探索和可行性证明。其中难点在于在对理论公式进 行化简分析是一个很繁杂的工作、数值计算时复数根的确定以及对覆盖阻尼 层弹性板的目标回波特性分析和解释工作也比较困难。还有就是对反演方法 的选择也是一个难点。但这些又是进行目标材料参数反演必不可少的条件。 因此对覆盖阻尼层弹性板回波的相关研究是有其理论意义和工程意义。 1 2 平板相关研究的发展及现状 国内外的很多专家、学者以极大的热情对平板问题作了的大量深入研究。 我们所关心的是平板中的波动问题，以及波在板中的传播特性和波入射到平 板上的回波特性。 1 2 1 弹性动力学的发展 关于弹性板中波的问题一般可以认为是弹性动力学问题。波动和振动现 象的研究可以追溯到几百年以前，早期的研究常常关心的是音乐的音调或者 是水波等类问题，而且多半是凭借与感性的观察而未能进入定量的分析。1 9 2 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 世纪初，关于光的波动性质被揭示后，有力地推动了弹性波产生理论的研究。 由于地球物理学和地震学的需要，1 9 世纪到2 0 世纪初许多数学家致力于弹 性固体中波动的研究。从数学上严格地建立弹性动力学的基本理论是从1 9 世纪2 0 年代开始的。1 8 2 1 年n a v i e r 首先导出了弹性体平衡和振动的一般方 程。1 8 2 2 年c a u c h y 对包括力学方程在内的经典弹性理论做出了许多奠基性 的贡献，从而为弹性动力学的发展奠定了基础。此后，弹性固体中波的传播 成为一个广泛研究的课题，强烈地吸引着广大研究者的兴趣。 在1 8 2 9 年p o i s s o ns d 首先指出了位移波动方程的解由两部分组成，一 部分是一个标量势函数的梯度，另一部分代表了一个旋度场。这就揭示了在 弹性介质内部扰动传播由两类基本位移波组成，就是现在熟知的膨胀波和等 容积波。在此基础上，1 a r n 色于1 8 5 2 年明确地提出了标量势和矢量势的概念， 他给出一般的弹性动力位移场可以表示为一个标量势函数的梯度和一个矢量 势函数的旋度之和，且这两个势函数满足两个非耦合的波动方程，分别具有 膨胀薄荷等溶剂波的传播速度。位移场这种分解的引入，对于位移波动方程 的解提供了极为有用的知识。在这个时期，弹性波传播的研究取得了与多重 大进展。如c a u c h y ( 1 8 3 0 ) 研究了晶体介质中平面波的传播，得到了波前传播 的速度方程。一般情况下有三个波速值，在各向同性的情况下，有两个是重 合的，它们与平面横波相对应。接着p o i s s o n 等( 1 8 3 1 ) 处理了处置问题， s t o k e s ( 1 8 4 9 ) 研究了由于体积力引起的波动问题，并对于突加点荷载导出了基 本奇异解，后来l o v e 对s t o k e s 解进行了某些推广。c h r i s t o f f e l ( 1 8 7 7 ) 讨论了 间接面传播的有关问题。k i r c h h o f f ( 1 8 8 2 ) 得到了由非齐次波动方程支配的积 分表达式。这时对于各向同性的、均匀的、无限弹性介质中播的研究己相当 完善。 l a m b ( 1 9 0 4 ) 研究了表面源和埋入源产生的扰动问题，他指出对于面源的 反应是有膨胀波前和跟在后面的等容积波与r a y l e i g h 面波所组成，并指出随 着距扰动源距离的增加，r a y l e i g h 面波间不断增加它的优势。这在地震学中 有着重要的价值。k n o t t 在1 8 9 9 年首先研究了波在两个弹性半空间交接面处 的反射和折射问题，后来还有许多人进行了这方面的研究工作。在均匀介质 内部，由扰动激发起的膨胀波和等容积波以不同速度独立地传播。然而，在 介质性质不连续的交界面处，无论是反射波还是折射波都可能出现波型的转 3 哈尔滨丁程大学硕十学位论文 换，也就是说，在交界面处两种位移势通过边界条件以复杂的方式耦合起来。 这是固体中弹性波的个重要特征。正因为如此，增加了数学上求解的困难。 在两个弹性半空间交界面处，也可能存在一种与r a y l e i g h 波相似的交界面波， 这类面波称为s t o n e l y 波。在一个弹性半空间表面具有覆盖层时，自在层内除 了有r a y l e i g h 型的面波存在外，还可能存在另外一种称为l o v e 波的面波， 在这种波中，质点运动方向平行于介面。由于覆盖层的厚度这个特征尺寸引 入到问题中来，使得l o v e 波具有几何弥散效应。 r a y l e i g h 和l a m b ( 1 8 8 9 ) 运用分离变量的思想，将平板的x 方向、y 方向 和z 方向坐标及时间进行分离，将位移表示成与时间、z 方向相关的无限谐 和波列的形式，从而根据经典弹性理论发展了波在平板中的频率方程。至今 这仍是研究平板波导问题的基础。 当平板和其他介质媒体接触时，能量从平板发出进入周围空气，液体和 固体中。这就是被认为的漏l a m b 波。o s b o m ea n dh a r t ( 1 9 4 5 ) 处理了侵入水 中的钢板中波的问题。随后在这个问题上出现了大量的论文1 2 l - 1 1 3 l 。除了在真 空中所有的l a m b 波都泄漏。对于一个压力波，泄漏的数量对于波衰减的影 响是很重要的。一旦能量从平板泄漏，它将以体积波的形式在另一种介质中 自由传播。 1 2 2 国内外关于平板问题的研究现状 在国内，有人研究了有液层负载时薄板中类l a m b 波的传播( 1 9 9 6 ) q 。在 此基础上又研究了有粘滞液层负载时薄板中类l a m b 波的传播( 1 9 9 8 ) 酗。而后 对有粘弹薄层负载时薄板中的l a m b 波传播进行了研究( 2 0 0 6 ) 1 1 6 1 7 1 。还有人用 参量源法测量系统对水声材料横波声速和衰减系数进行了研究和介绍。在对 平板声透射系数的平面波模型进行理论修正和实验研究的基础上，测量平板 样品的透射系数( 插入损失) 的频谱和角谱，并采用曲线拟合的方法来估计 样品在测量频段的平均横波声速和衰减系数哪。对于多层板状结构，有人将 消声瓦看作是许多均匀薄层高粘性材料的叠加，并用传递矩阵法推导了多层 结构的反射、透射系数的计算公式，并用数值法求解研。也有用传递矩阵法 对水下多层均匀复合结构的吸声特性研究的，先提出了声波以一定角度从流 体向多层均匀媒质斜入射时吸声特性分析的一般模型，导出了在声波斜入射 4 哈尔滨t 稗大学硕十学何论文 下完全浸入水中的任意层媒质的声吸收系数的解析表达式，并得出了多层 较单层的吸声效果更好。还有用有限元的方法对粘弹性阻尼材料粘弹性阻尼 夹层板动力特征进行了分析和模态实验的2 2 1 。 国外也在这方面做了大量的研究矧1 2 9 1 。有人对l a m b 波在有粘性覆盖层 的弹性板中传播的问题进行了研究( 2 0 0 4 ) 。有人处理了l a m b 波装载在平板的 一端边沿产生的l a m b 波的变换的研究。有人用实验研究了粘弹性材料和表 面波的相互作用。还有人应用半解析有限元法研究了l a m b 波在分层中的多 次反射。用有限元法研究了导波在弱分界面中的传播模式等等。 1 3 材料杨氏模量测量法概述 1 3 1 杨氏模量直接测量法 直接测量材料在各个频率上的杨氏模量。常用的主要以下几种田1 ： 正弦力激励法：通常是将阻尼材料制成一定尺寸规格的试样，把试样置 于机械系统中受预定正弦力的激励，测定响应的频率和幅值以及式响应的相 位，然后再根据测得的这些参数计算出阻尼材料的动态模量和损耗因子。 谐振试验法：试验中以一定的加速度做谐波激振，用加速度计测量质量 体的响应。对多个不同的质量分别测出输入加速度，输出加速度，谐振频率 和温度。由这些测量值利用公式便可计算出阻尼材料的杨氏模量和损耗因子， 对于剪切型试样则可以计算出其剪切模量。 此方法如果改变输入量级，那么可以在一个很宽的应变量的峰值测阻尼 材料的性能。然而在这样的试验中，为了在线性范围内测量材料的性能，这 种量级是定得很低的。谐振试验方法的主要优点是试验和数据的分析均比较 简单方便，并且还可以估计出应变对振幅的影响。其缺点是不同的频率要求 改变其质量，而且改变频率及独立的预加载都相当困难。采用几种不同几何 形状的试样是保证所测数据的可靠性并能在相当宽的参数变化范围内进行测 试的好方法，但是试样如果很复杂，高度与直径之比太小，则试样内强烈的 非均一应变会引起很大误差。 自由衰减法：利用自由衰减法测量阻尼材料的动态性能，其方法和所用 设备都比较简单。它与谐振试验法等一些传统的测试方法相比有比较好的一 致性。采用此方法可以对阻尼材料的动态性能迅速地做出比较，并且还可通 5 哈尔滨丁释大学硕十学位论文 过改变温度条件进行测量。此方法具有一定地实用价值但是测量精度比较低。 其计算阻尼材料的杨氏模量和损耗因子的公式是由启由衰减波的方程导出 的。 另外国标也还给定了许多静态杨氏模量的测量方测，例如：无色光学 玻璃杨氏模量、剪切模量及泊松比测试方法、拉伸法测金属丝杨氏弹性模量、 金属材料杨氏模量、切变模量及泊松比测量方法、夹层结构弯曲性能试验方 法、夹层结构或芯子剪切性能试验方法等。这些方法都已形成标准。但都只 能测量静态杨氏模量，而且大多针对金属材料或陶瓷材料等硬度大的材料， 无法测量橡胶材料的杨氏模量。 1 3 2 杨氏模量的声学测量法 脉冲管法：信号发射和接收装置由一低频信号发生器和声换能器组成， 低频信号发生器产生的正弦连续波，经脉冲讯号调治并放大后形成具有一定 宽度和重复频率的矩形脉冲正弦波，输入到换能器，转换为声波向外发射， 并用同一性能的换能器接收经过试样反射出的声波用电子示波器观察和测量 在声管中发射和接受的脉冲讯号的时间位移和幅值的变化，从而可以计算出 材料的声学参数。 驻波管法：实质上是对脉冲管法的进一步改进，它的测量方法和脉冲管 法类似，驻波管传递函数法测试系统中，间隔一定距离的两个水听器被安装 在声管中，样品安装在管口，求出双水听器输出的传递函数( 这里要注意两 水听器接收灵敏度和幅度应该完全一致，为了到达这个效果，实验中通常在 一批同性能的水听器中挑出两个一致性最好的) ，便可求得材料复反射系数。 这些方法目前都已形成了许多较成熟的理论，主要用于材料声学参数的 测量，但是频率测量范围受到限制。 1 4 论文主要内容 本文在第1 章介绍本论文的研究背景和现状，以及研究内容、难点和意 义，并介绍了论文的主要内容；在第2 章介绍了l a m b 波在弹性板、阻尼层 和复合板中传播理论公式的推导，得出了l a m b 波在目标板中传播的频散方 程，并进行了数值计算和绘制频散曲线；在第3 章对矩形板目标的回波特性 6 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 i 进行理论分析和公式推导，以及根据目标回波特性利用遗传算法反演弹性材 料的弹性模量，并从数学的角度证明了反演方法的可行性；在第4 章用实验 数据来验证矩形板回波特性理论的正确性，和用遗传算法反演弹性板的杨氏 模量这种方法的可行性。最后给出本论文的结论。 7 哈尔滨t 程大学硕十学位论文 i l li_ 第2 章板层中弹性波的传播特性 2 1 弹性板中的l a m b 波 对目标特性的研究不仅仅要研究目标的回波特性、散射特性，还要求对 目标本身所具有的声波的传播性质进行研刭。 2 1 1 平板波导中的波 l a m b 波传播的经典问题与在各向同性、均质、自由板中的波相联系。 用推导控制方程以及相速度对频率的频散曲线的方法求介质中的导波问题。 这里将详细讨论导波分析的基本概念。现在来简单分析一下导波和体波的根 本区别。体波在介质体内传播，所以其远离边界。然而波的传播却常常以反 射与折射的形式与边界发生相互作用，且发生纵波与横波间的模态转换。尽 管体波与导波有本质上的区别，但它们受同一组偏微分波动方程控制，在数 学上两者的主要区别是：对于体波，所得到的解无需满足边界条件；与此相 反，导波问题的解在满足控制方程的同时必须满足实际的边界条件。而要研 究的问题就是导波问题。 正是由于边界条件的引入使得求解导波问题的解析解显得十分困难，在 很多问题中甚至找不到解析解。有关导波传播的另一个有趣的特征是：与在 体波问题中所出现的有限个模态( 主要是p 波、s h 波、s v 波) 不同，导波 问题中通常存在无数种模态，即在一个有限体中可以存在无数种不同的导波 模态。 一些导波问题己得到解决并使用了研究者的名字命名，如r a y l e i g h 波， l a m b 波和s t o n e l y 波如图2 1 、2 2 、2 3 所示。r a y l e i g h 波是半无限固体表面 上的自由波，在边界上应力为零，且波随深度而衰减。l a m b 波是在自由板 中产生的平面应变波，在板的上、下表面应力为零。随着波的入射角和频率 的改变，在每一点上都产生不同的模态结构。s t o n e l y 波是两介质交界面传播 的一种自由波，在交界面上需要满足应力和位移连续条件，同时满足辐射条 件。 8 图2 1l a m b 波示意图 图2 2r a y l e i 曲( 表面) 波示意图 图2 3s t o n e l y 波示意图 在研究自由板问题前，先回顾一下弹性理论中的一些基本公式( 这里利 用了笛卡尔张量符号) 三个运动方程： + p 正= p 吃 o ，i = l 2 ，3 )( 2 - 1 ) 六个独立应变位移方程： 乎a j l 叫+ “j ) ( f ，_ i = 1 ，2 ，3 ) 六个独立本构方程( 各向同性材料) ： = a 址6 口+ 2 巧 ( f ，j = 1 , 2 ，3 ) ( 2 2 ) ( 2 - 3 ) 式中：p 一密度 仉；一应力张量 h ：一位移分量 。一应变张量 卜一k r o c hr 张且= 器= a l a m 6 常数= 函2 i v上一二y ，一泊松比， 一剪切模量 前两个方程适用于任何连续介质，有关介质的特性由式( 2 3 ) 引入。如果 在上面三个方程中消去应力和应变项，则可以得到： t u ，面+ ( a + j c l ) “，崩+ p 五= p 暖 o ，- ；1 ，2 ，3 )( 2 4 ) 9 哈尔滨下程大学硕十学位论文 1 ii - 1mmmit i i i i i i i i i i 运动方程( 2 4 ) 中只含有质点位移，是关于位移的偏微分控制方程。如果 求解域是无限的，则这些方程已经足够用的了；但如果求解域是有限的，那 么对于一个适定的问题还需要边界条件。边界条件以确定的应力和位移或速 度的形式给出，通常其形式如下 表面位移： 表面应力： 混合边界条件： u ( x ，t ) = u o ，f ) t i 。o j i l i 瞄：j l 以j 自由板问题的几何描述如图2 4 所示，该问题受控于公式( 2 4 ) ) ， h o 1 i l ( 2 5 ) ( 2 6 ) ( 2 - 7 ) 图2 4 自由板的几何描述 2 1 2 真空中弹性板的r a y l e i h l a m b 频散方程 真空中的无限大自由平板的几何描述如图2 4 所示。根据h e l m h o l t z 分解 ( 原理) ，如将位移向量场分解，并将结果代入波动方程( 2 4 ) ，可得到两个分 离的波动方程。 对于平面应力问题，有 v 2 一号等= 0 或v 2 帕= o 毛t 詈 ( 2 - 8 ) v 劫一专等= 0 或v 劬“知| 0t ；詈 ( 2 9 ) 平面应变问题并非是这种问题的最一般情况，但这种情况下却大大简化 了分析的复杂性。a c h e n b a c h 在1 9 8 4 年的研究表明：从一般的应变状态出发 导出的解与这里得出的一组解相同，只是另外附加了一些其他模态( 在数量 上是无限的) ，例如水平剪切波，它可以独立于其它波的模态而存在。 由平面应变假设可知，由于势函数是关于z 方向均匀的，从而得到对z 方向 1 0 哈尔溟1 稃大学硕十掌付论文 的偏导数为零。所以位移和应力可用势函数表示为 “户【，。丝+ 盟一丝。盟+ 丝( 2 1 0 ) 缸 砂 a z缸 砂 虬；v ；丝+ 丝一丝；丝一丝 ( 2 1 1 ) 7 砂 a z缸 砂 缸 “；w ，丝+ 丝一业：0( 2 1 2 ) 把缸 砂 州警+ 争州2 啬等+ 争 p 1 3 ) 以c 詈+ 詈，化詈“罄+ 軎，铊岸磐一务c 2 。4 ， 在时间因子取e 一妇的前提下( 往后的时间因子均取e 一“) ，假定式( 2 8 ) 和( 2 9 ) 的解为如下形式 驴一q 务( y ) e x p - i ( t o t 一缸) 】( 2 - 1 5 ) 妒= 妒( y ) e x p - i ( a n 一h ) 】( 2 - 1 6 ) 其中：k t o c 。，c 。为沿x 方向波传播相速度。 注意到这些解代表沿x 方向的行波和沿y 方向的驻波。尽管存在一个包 含依赖x 的时间变量的指数项( 因而是正弦和余弦) ，但只有一个未知的依赖 于y 的静态函数，这种现象在很多教科书中被称为横向共振，且可以通过多 种方法来进行求解。另外，这些解代表了沿着板方向传播的波以及在横向上 固定分布的扰动。 将这些假设的解代入式( 2 - 8 ) 和式( 2 9 ) 中，得到未知函数妒( y ) 和妒( ) ，) 的控 制方程，其解如下所示： 驴( y ) ；as i n ( a y ) + bc o s ( a y )( 2 1 7 ) 妒( y ) ，cs i n ( f l y ) + oc o s ( f l y )( 2 - 1 8 ) 式中：口2 一砰一k 22 一砰一k 2 t ( 2 1 9 ) 有了这些结果，位移和应力可以直接由式( 2 1 0 ) 至u 式( 2 1 2 ) 得到。在所有 表达式中略去e x p 一f ( 埘一缸) 】项，又由于位移场和应力场就是含有y 为宗量 s i n ( 或c o s ) 函数，当为双曲型时为s i n h ( 或c o s h ) 函数，而s i n ( 或c o s ) 函数为关于x = 0 的奇( 或偶) 函数。所以把解可以分解成两组模态，对称模 态和反对称模态。特别是对于z 方向上的位移，如果u 中包含余弦项，则运 动是( 关于板的中面) 对称的，如果u 中包含正弦项，则运动为反对称的。 哈尔滨丁程大学硕十学侍论文 y 方向的位移情况正好与之相反，所以把在板中传播的模态分为两种，其表 示如下： 对称模态 驴一b c o s ( a y ) 妒一c s i n ( f l y ) u i k bc o s ( a y ) + 卢cc o s ( f l y ) v 一口bs i n ( 口y ) 一k cs in(f1)，)(2-20) 口0 一j c l 【一2 i k a bs i n ( a y ) + ( k 2 一声2 ) cs i n ( f l y ) 】 仃。一一a ( 七2 + 口2 ) b c o s ( a y ) 一2 t a 2 b c o s ( a y ) + i k f l c c o s ( f l y ) 】 对于对称模态，注意到波结构中的位移u 沿板厚是对称的，波结构中的 位移y 沿板厚是反对称的。 反对称模态 矿一a s i n ( a y ) 妒一d c o s ( f l y ) u = i k a s i n ( a y ) + f l ds i n ( f l y ) v ；口ac o s ( 口y ) 一f 加c 0 s ( f 1 ) ，) ( 2 - 2 1 ) o 一【一2 i k a ac o s ( a y ) + ( 七2 一卢2 ) dc o s ( f l y ) 】 仃。一一a ( 七2 + 口2 ) a s i n ( a y ) 一2 , a 2 a s i n ( a y ) 一i k f l d s i n ( f l y ) 】 另一方面，对于反对称模态，波结构中的位移u 沿板厚是反对称的，波 结构中的位移y 沿板厚是对称的。 应该注意这种将波分为对称及反对称模态的方法只是一个特例而非普遍 适用的。板波模态也确实存在于各向异性板中，但不可能分解为对称和反对 称模态，除非波是沿着板的对称轴传播| 3 引。又由于零应力边界条件( 在 y = d 2 ；j i l 时口。，= o r 。一0 ) ，可得关于常数b 、c 和a 、d 的齐次方程组， 对于齐次方程组若要使方程组有非平凡解则使其系数行列式值为零。解系数 行列式并化简，就可以得到著名的r a y l e i h l a m b 频散方程。 对称模态： 反对称模态： t a n ( f l y ) 4 k 1o 【8 t a n ( a y )( 卢2 一k 2 ) 2 t a n ( f l y )2 一七2 ) 2 t a n ( a y ) 4 k 10 【 1 2 ( 2 - 2 2 ) ( 2 - 2 3 ) 哈尔滨t 程大学硕十学何论文 这些方程可以用于确定在板内传播的特定频率或频率厚度积的波的传播 速度。具有这一特点的方程即为频散方程。尽管该方程看起来很简单，但只 能用数值方法求解。 利用相速度的值，还可以由以下公式求得群速度c ，： 气一象嘲“弘) 蒜】- 1 ( 2 - 2 4 ) 这里，彤是频厚积。分别画出相速度和群速度的频散曲线如2 5 所示。 相速度的频散曲线群速度的频散曲线 图2 5 真空中钢板的频散曲线 2 1 3 水中弹性板的r a y l e i h l a m b 频散方程 当物体外表面受水载作用或淹没在水中时会产生波的泄漏问题，而这样 的目标是将要研究的重点。作用在构件上的水载或其他形式载荷为声能量的 泄漏提供了一个通路。因此，通常被反射或折射到接收传感器的能量会损失 一部分。水中弹性板的解法与真空中弹性板的解法相似。数学处理与不受载 荷的平板的频散方程处理方式基本相同，但有两点需要特别注意： 1 对于在水中传播的纵波，必须将势函数丸，和一个附加的位移场方程 一起考虑； 2 必须考虑某种模态由于能量泄漏到水中引起的能量衰减。 下面通过复波数如k = 七r 。+ 派，来考虑后一因素，而k 的虚部相当于一个 衰减因子，可以得到 甜。= a e 一( “一h ) 葺a e “( + 妇n 。“1 罩a e ( 七一。“) 已一口。 哈尔滨f t 稃大学硕十学何论文 1 1i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i 这时出现复波数七；位移函数的衰减是由泄漏波传播时能量从板中泄漏 到液体中引起的。 对于平板而言，在水中传播的波，其标量势和位移表达式为 丸一4 e 叩7 e “”一“ 叩。肛而 u ，誓叫觑咖彳。脯) ( 2 - 2 5 ) 匕。警， - r e - ”y 4 。m 七) 其中c ，一水中纵波波速 水一侧的法向应力分量为 ( 仃。) 。= 九( ，7 2 一k 2 ) e 一叩1 r e 一埘一b 一p 。2 已一”7 l 。e 一叫一h ( 2 - 2 6 ) 模型如图2 4 ，将与真空边界条件换为水中边界条件。即n = o 和2 时为水 层，n = l 时为板层。弹性板中方程见式( 2 8 ) 和式( 2 9 ) 。其位移分量和应力分 量见式( 2 1 0 ) 至l j ( 2 1 4 ) 。由于在板和水中是相同的。四个速度势函数在y 正 方向所对应的分量各自为，7 ，口，卢，一r 。在x 方向的分量都相同波数k 。 且在水中没有剪切运动。所以解双曲型方程可以得到 = a o e 叫”e “小螂 ya h j a ( 九c o s h a y + b u s i n h a y ) e “似吨一hsys ( 2 - 2 刀 i 缈1z 1 ( 4c o s h f l y + 屯s i n h f l y ) e 1 似七 - h ys h k = 雒- l ( 小h ) ys 一| i l 其中： 口2 ；k 2 一砰卢2 = 七2 一砰7 7 2 = k 2 一k 。2 ( 2 2 8 ) 现在已得到了位移场和应力场的一般表达式。下面要做的是给出解决问 题所需要的边界条件。在每个界面和介质自由表面都需要边界条件。对于一 个层系统而言，就意味着有1 个界面和两个自由表面均需要加上边界条 件。严格的讲，加在每个界面上的条件不是边界条件而是连续性条件。其区 别在于在界面上不能得到任何场分量的确定值，而是指定界面上层和下层各 个场分量相等( 包括滑移条件下的情况) ；相反地，对于边界条件需要给定每 个场分量的具体值。例如，令多层介质的自由表面上的应力为零。其中零是 1 4 哈尔滨t 稗大学硕士学位论文 具体值。每一个界面上连续条件的数量和形式取决于这个界面相邻的层是液 体还是固体。 所以水中弹性板的边界条件为： 磁糍署二： ( 2 ) ( d 叫) 。a0 韬e y = j l l ( 2 - 2 9 ) c 功氍碧二二 可将式( 2 2 6 ) 分解为对称模式和反对称模式，当为对称模式时取九一一欢 将式( 2 - 1 0 ) 到式( 2 1 4 ) 代入边界条件式( 2 - 2 8 ) 可得 4 几2 p 一帕 o 班袖 鸬 2 + 卢2 ) s i n h a h 一五豇c o s h a h 口c o s h a h 4 2 1 h i k f ls i n h9 h 2 + 卢2 ) c o s h 肪 k c o s h j l = 0 【( 七2 + 卢2 ) 2c o s ha hs i n hf l h 一4 k 2 筇c o s hf l hs i n hc t h 一 化简得： 【生( ：一七：) s i n h f l hs i n h 口 】：o ( 2 _ 3 0 ) p ，c ；r l 当为反对称模式时取丸一兜将式( 2 - 1 0 ) 到式( 2 1 4 ) 代入边界条件式( 2 2 8 ) 可得其系数行列式，并令其系数行列式为零有 九 m 2 + 2 ) c o s h a - 2 豇s i n h a f 口s i n h a f 凡 2 蛳k p c o s h | 3 f 2 + 2 ) s i n h f l f ks i n h = o 【( 七2 + 卢2 ) 2s i n h a f c o s h 卢，一4 k 2 筇s i n h f l f c o s h a f 一 化简得【业錾( f - u ) c o s h , b 厂c o s ha 小o ( 2 3 1 ) p j c , - 叩 式( 2 2 9 ) 和( 2 - 3 0 ) 就是板在水中时对称模式和反对称模式的频散方程。其 第0 阶频散曲线如图2 6 所示。 4 以。矿 巧 p 哈尔滨工程大学硕十学何论文 水中板频散曲线实部水中板频散曲线虚部 图2 6 水中钢板的频散曲线 从图2 6 频散曲线的虚部可以看出，其衰减很小约1 0 1 5 左右，所以认为 可以忽略。 2 1 4 单面水载弹性板的r a y l e i h l a m b 频散方程 在单面受到水载的情况下，不能分解为对称模态和反对称模态，这时的 边界条件可以写为 胨：。岳20 吲y ! 翥y “时 p 3 2 ， i ( ) 。= ( ) 。一 一j i l 时 、 7 由边界条件( 2 3 2 ) 及位移和应力方程，有如下5 个方程 p p 一心a r , h a h峙豳出 2 畸k f l s i n h 卧2 4 k f l m s h f l h 0 心砌砌嘴s i n h a h 铘卢蛐肪2 耻f l c o s h f l h 0 - 2 k a s i n h a h - 2 k a o t r , h a h 占s l l 肪亭蛐肋 0 2 k a s i n h a h - 2 k a a r d a a h 亭c a s h 肪- g s h - 1 h 肋 a s i n h o h a c o s h a h k c t 3 s h 肪k s h a h 肋 其中：亭= ( k 2 + 2 ) 令系数行列式为零求解这个方程， 程并化简可得： 4 4 岛 4 最 ：0 ( 2 - 3 3 ) ( 2 - 3 4 ) 求得单面负载水层的l a m b 波频散方 m n + 业掣生盟( m c o l h a j i l n i a n h f l h ) ：o ( 2 - 3 5 ) z “r 其中：m = l a 2 般2 ) 2t a n h f l h c o t h a h 一4 k2 口 ， 1 6 哈尔滨- t 挥大学硕十学1 1 c 7 ：论文 n = 4 k 2 筇t a n hf l hc o t hc t h 一够2 般2 ) 2 ，、 j d 。：a z - k 扒风计一了) p w t 0 4 t z 2 m 弛丝，7 铂c r 4 ，7 n 可求得复波速c p 。由c ，的实部和虚部可以做出第0 阶的相速度频散曲线 和衰减曲线( 用2 0 1 0 9 v 表示分贝数) c p = w k r e u k i l l l( 2 3 6 )r tu 。i l l ll z 年厦为1 捌l 啊荦面曩东董的舞畦曾垃赛 相速度c p 的实部相速度c p 的虚部 图2 7 单层覆水板的频散曲线 2 2 阻尼层近似理论 本节概述黏弹性理论的基本概念与分析方法，以及它对波传播的影响。 尽管多年来，由于黏弹性效应产生的衰减一直困扰着我们，但对于黏弹性的 研究取得的进展并不是很显著，尤其对于导波的分析。在波的传播分析中， 常常忽略衰减的因素。然而在实际要求对衰减原理进行深入的理解，并要明 白衰减与材料性质、传播距离和频率之间的关系。 一般的弹性理论都在变形期间，材料在存储能量而无耗散。但是，许多 现代人造材料( 特别是聚合物和复合材料) 在变形期间耗散大量的能量。这 些材料的行为结合了弹性介质的储能特性和黏性液体的耗能特性，称之为黏 弹性材料。黏弹性材料的应力是应变对时矧导数( 应变率) 的函数。如果应 力和应变对时间的导数是线性相关的，那么这种材料具有线黏弹性的特性。 1 7 哈尔滨1 二程大学硕十学位论文 ii i 黏弹性材料对于温度的变化十分敏感。这一节将介绍两个著名的单轴应力下 的黏弹性模型：m a x w e l l 和k e l v i n v o i g h t 模型州。 2 2 1m a x w e l l 模型 对于线弹性材料，胡克定律是 口ag e ( 2 3 7 ) 对于黏性液体，牛顿定律是 o r r 华 ( 2 3 8 )。l z j 石j 口f 这里，7 是黏性系数。黏性材料包含有液体与弹性固体的特性，这些反映 在图2 8 的模型中。 图2 8m a x w e l l 模型 如图所示，弹簧与阻尼器是串联的，所以总应变f 。f 1 + 2 ( 2 3 9 ) 将上式对时间求导，得到 i d e ；孕4 i - 孕 ( 2 - 4 0 ) 一= 一 厶- 斗i ，- d td td t 。 用公式( 2 3 7 ) 和( 2 - 3 8 ) 替换( 2 4 0 ) q b 的f 。和e ：则 一d e 。! 塑4 i - 里 ( 2 4 1 )一一 二- _ - 班g 以 ，7 在波传播问题中，把所有场变量( 位移、应力和应变) 都表示为时间的 谐波函数有： 仁i 仁4 2 ， 采用另一种形式表示，即 彦= a ( c o ) i ( 2 - 4 3 ) 1 8 仁g 2 毳g r 。陋蜘 2 2 2k e l v i n v o i g h t 模型 现在我们说明在图2