（金融学专业论文）时变扩散方程扩散系数的核估计.pdf

硕i ：i k 文 时变扩散方程扩散系数的核估汁 摘要 金融中，经济条件随时变动，因此有必要设想基础状态变量既依赖于时间，也与 价格水平相关。为了反应这种经济条件的“时变 效应，在建立和选择模型时我们有 必要设想资产的瞬时期望收益以及瞬时波动率不但与给定的状态变量有关，在一定程 度上也依赖于时间，而时变扩散模型就反应了这种“时变效应。对于模型的推断， 经典计量经济学模型首先根据经济理论和样本数据设定模型的函数关系，然后估计函 数关系中的参数并检验所设定的关系。但当模型及参数的假定与实际背离而不成立 时，就容易造成模型设定误差。非参数回归模型较经典假设模型有更好的拟合效果， 对以往经济现象的推断有更高的精度。在此基础上，研究扩散模型的非参数估计有着 重要的意义。 本文基于离散的观察值样本研究了时变扩散方程的非参数核估计，主要做了以下 工作： 首先针对时变扩散方程的非参数估计，采用局部核估计法，用“分时段 的方法 构造出了扩散系数的局部核估计，给出了估计量的一致收敛性以及渐近性质的证明。 并利用渐近性质，提出检验准则，给出模型时齐性检验方法。 然后采用具体化的模型对扩散系数进行了估计，并说明了本文所提出的方法的可 行性，在具体化模型拟和较好的情况下，本文对上证指数的波动性进行了实证分析。 关键词：时变扩散方程，扩散系数，非参数核估计，时齐性检验 a b s t r a c t i nf i n a n c e ，t h ee c o n o m i cc o n d i t i o n sc h a n g ef r o mt i m et ot i m e t or e f l e c tt h e ”t i m e d e p e n d e n t ”e f f e c to fe c o n o m i cc o n d i t i o n s ，i t i sr e a s o n a b l et oe x p e c tt h a tt h e i n s t a n t a n e o u se x p e c t e dr e t u r na n dv o l a t i l i t yd e p e n do nb o t h t i m ea n dp r i c el e v e lf o rag i v e n s t a t ev a r i a b l ew h e nw es e l e c t i o nm o d e l s f o rt h ei n f e r e n c eo ft h em o d e l s ，t h ec l a s s i c a l e c o n o m e t r i cm o d e lo fe c o n o m i c ss e tt h em o d e lf u n c t i o na c c o r d i n gt oe c o n o m i ct h e o r ya n d t h ed a t a , a n dt h e ne s t i m a t e st h ep a r a m e t e r so ft h ef u n c t i o na n dt e s t st h er e l a t i o n s h i p b u ti f t h em o d e ia n dp a r a m e t e r so ft h ea s s u m p t i o n i sn o tv a l i d ，i tw i l lc a u s ee r r o r s n o n - p a r a m e t r i cr e g r e s s i o nm o d e lg e t s ab e t t e rf i t t i n gm o d e lr e s u l t st h a nc l a s s i c a l a s s u m p t i o n sm o d e l f o rt h e s er e a s o n s ，i ti sn e c e s s a r y t os t u d yt h en o n p a r a m e t r i ce s t i m a t i o n p r o b l e mi nt i m ed e p e n d e n td i f f u s i o nm o d e l s t h i sp a p e rs t u d i e sn o n p a r a m e t r i ck e r n e le s t i m a t e so ft h et i m e d e p e n d e n td i f f u s i o n e q u a t i o nb a s e do nt h eo b s e r v a t i o n so fd i s c r e t es a m p l e s t h et h e s i si s d i v i d e di n t ot w o p a r t s ： f i r s t w ed i s c u s s e dt h ee s t i m a t i o no fd i f f u s i o ne f f i c i e n t w ea p p l i e dt h el o c a lk e r n e l e s t i m a t i o no ni ta n da c h i e v e dt h ee s t i m a t o ro fd i f f u s i o ne f f i c i e n t f u r t h e r m o r ew ep r o v e d t h ea s y m p t o t i cn o r m a l i t ya n dc o n s i s t e n c yo f i t w et e s t e d0 1 , 1 1 t e c h n i q u e sb ys i m u l a t i n gt h r e ed a t as e t sf r o ms p e c i f i cm o d e l sa n d o b t a i n e dt h eg o o dr e s u l t sa n dt h e na p p l i e di tt ot h es h a n g h a ias h a r ei n d e x 。 k e yw o r d ：t i m ed e p e n d e n td i f f u s i o nm o d e l ，d i f f u s i o ne f f i c i e n t ，l o c a lk e r n e le s t i m a t i o n ， t i m e i n d e p e n d e n tt e s t i n g i l 声明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在本 学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发表或 公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学历而使 用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均已在论文 中作了明确的说明。 研究生签名：么鬈啦为。年。6 月冲 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅或 上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送交并 授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对于保密 论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名： 扬够 f 印6 月冲 硕j 沦文时变扩散方程扩散系数的核估计 1 绪论 1 1 研究背景 随着经济和社会的发展，需要更多的金融衍生品来满足投资者的各种需求以及进 一步完善金融市场。近些年来，各种金融衍生品相继加入到了金融市场中，对各种金 融衍生品的描述、定价、管理和控制成为经济和金融研究者们研究的热点。金融衍生 品的定价与套期保值是金融数学研究的核心内容，其方法一般是对金融市场做出一些 合理的假设，给出金融资产价格波动模型，进而在该模型下研究定价与套期保值方法。 选择一个合适的模型对于描述、定价、管理和控制这些金融衍生品尤为重要，不适当 的模型很可能导致错误的定价和套期保值，所以我们要选择一个能够很好拟合数据的 模型，使它最大程度上揭示基础资产的价格变化规律。这促使经济和金融研究者提出 了各种模型来解释和描述所要研究的金融产品。根据现代资产定价理论，一旦模型给 定，模型中参数的确定就成为与资产定价，投资组合管理，证券调整，财产交易，金 融咨询和风险管理有直接关系的重要因素。资产的准确定价与真实反映依靠参数与其 结构形式的确定。因此模型的选择和模型中参数的研究对金融市场有着重要的意义。 在金融行业和金融研究中时间和各种经济条件的不确定性是两个基本特点，各种 经济条件随时变动是基本的事实。近些年来，各种研究中的大多数模型都是简单的时 齐参数模型，但由于时间齐次模型没有考虑时间因素有一定的局限性。为了反应这种 经济条件的“时变”效应，在建立和选择模型时我们有必要设想资产的瞬时期望收益 以及瞬时波动率不但与给定的状态变量有关，在一定程度上也依赖于时间，比如在我 国的股票市场中，政府在某些时候提出和执行的各种政策能够很大程度上影响股票市 场的走势。基础状态变量应该是一个时变的扩散过程，这促使我们研究时变扩散模型。 对于各种给定的模型，目自订有两种方法来估计模型中的各种未知系数。第一种是 参数估计，一般是假定模型系数的些参数形式，然后估计未知的模型参数。第二种 是非参数估计方法。由于将系数具体化以后，不能f , 两- u - 足基础变量动态变化的过程，并 且可能导致从这类模型得出结果的错误运用，而非参数方法对模型中的系数除了一些 基本的假定外没有更严格的要求，在过去的几年中利用非参数方法去估计和检验连续 时间模型有了很大的发展。在用参数方法估计模型中的各种未知系数时，经典计量经 济学模型首先根据经济理论和样本数据设定模型的函数关系，然后估计函数关系中的 参数并检验所设定的关系。如果模型的函数关系通过检验被证明是成立的，其推断和 预测都有较高的精度，模型的参数一般具有明确的经济意义，可以方便于各方面的应 用。然而当模型及参数的假定与实际背离而不成立时，参数方法就容易造成模型设定 误差。此时，基于经典假设模型所做出的推断的表现可能很差。非参数统计学是数理 统计学的一个分支，它形成于本世纪4 0 年代，至今已经成长为一个体系庞大、理论 l l 绪论 硕l j 论文 精深且富于实用价值的分支，受到数理统计学者和应用工作者的广泛重视。非参数统 计问题中对总体分布的假定要求的条件很宽，因而针对这种问题而构造的非参数统计 方法具有很好的适应性，不致因为对总体分布的假定不当而导致重大错误，所以它往 往有较好的稳健性，这是非参数方法的一个重要特点。 1 2 国内外研究现状 在未定权益定价中，大多数模型都是简单的时齐参数模型，即假设基础状态变量 z 服从一个时齐的随机微分方程： d x , = ( i v , ) 魂+ 仃( 置) d w , ( 1 2 2 ) 其中彬表示布朗运动，函数( 墨) 和盯( 置) 称为过程 墨) 的漂移和扩散系数。此 模型应用到了金融中的很多领域，如期权定价理论、利率期限结构以及交换利率等等。 式( 1 2 1 ) 包括股票价格的几何布朗运动( g b m ) 和下列一些利率模型：m e r t o n ( 1 9 7 0 ) 【l 】、v a s i c e k ( v a s ) ( 19 7 7 ) t 2 1 ，c o x ，i n g e r s o l l 和r o s s ( c i rv r ) ( 19 8 0 ) 【3 】，c o x ，i n g e r s o l l 和 r o s s ( c i rs r ) ( 19 8 5 ) 1 4 1 、c h a nk a r o l y n ，、l o n gs t a f f 和s a n d e r s ( c k l s ) ( 19 9 2 ) t 5 j o 为了 能够准确地抓住基础状态变量的特征，不同的模型对系数函数( 五) 和盯( 墨) 作了不 同的假设，具体模型如下： g b m ：d x , = h x t d t 七o x | d w l v a s ：冱l = ( 口o + 口l 一) d t + c r d w , ， c i r v r ：d x , = a x 蛩d w , ， c i rs r ：d x , = ( n o + 置) d t + 仃4 x , d e ， c k l s ：d x , = ( n 0 + 仅i x l 、) d t + a x ：d w , 对于以上各种模型，在用参数估计方法对漂移和扩散系数进行估计时，一般是假 定一些漂移和扩散系数的参数形式p ( ，0 ) 和仃( ，护) ，然后估计未知的模型参数0 。 对于扩散系数的估计问题，f l o r e n s z m i r o u d ( 1 9 9 3 ) 6 1 首次给出了当漂移系数与扩 散系数形式未知时，扩散系数的点态估计，采用了核估计方法，估计量乏( z ) 依概率 收敛盯2 ) ，并得到了刀1 倍的收敛速度。r i c h a r ds t a n t o n ( 1 9 9 7 ) 1 7 1 根据泰勒展开式， 对扩散函数与漂移函数提出了逼近方案。h o f f m a n ( 1 9 9 8 ) 【8 】在b e s o v 空间框架下讨论 了c r ( x ) 的非线性小波估计，并证明了估计量的收敛速度与待估函数所属的b e s o v 空 间参数有关。c h e np i n g ( 2 0 0 4 ) 1 9 】将h o f f m a n ( 1 9 9 8 ) r s l f l 【勺_ z 作加以改进，在将其基本假 设条件减弱为b e r n t 给出的使随机微分方程有唯一强解的条件的同时，给出了6 ( ) 未 知，仃( ) 为置的非线性函数时，扩散系数的线性小波估计的构造及其收敛性。j a c o d ， j e a n ( 2 0 0 0 ) t 1 1 1 对一维扩散方程的扩散系数，基于样本 z m 扛1 ，露 ，当扩散函数r 阶连续可微时，给出扩散系数的核估计并且研究了当n 专o o 时的渐进式，得到估计量 的收敛速度为玎”，( 1 坩2 ) ，达到了非参数密度估计的最优收敛速度，这个速度和服从独 2 硕i j 论文时变扩散方程扩散系数的核估汁 立同分布的观察值的密度的非参数估计是相同的，但估计形式很复杂。当漂移系数和 扩散系数两者中有一个确定另一个未知时，d e n n i sk r i s t i a n s e n ( 2 0 0 4 ) 1 1 1 1 对于已知部分 采用了极大似然估计，未知部分采用了核估计；a f t s a h a l i a ( 1 9 9 6 a ) b 2 1 提出最小距离估 计量： 痧= a r g m i n n 1 【磊( 厶，吖( 1 2 2 ) r = l 岛荸。 其中 砸= 焉e 冲 鬻幽) ( 1 2 2 ) 是扩散模型中的边界密度估计量。因为边界密度并能描述扩散过程的全部动态，因此 占并不是渐近有效的。其它还有很多研究人员给出了价格依赖模型的非参数估计，如 b l s ，p r a k a s ar a o ( 19 9 9 ) 等。 由上节的背景论述我们知道，由于资产的瞬时期望收益以及瞬时波动率不但与给 定的状态变量有关，在一定程度上也依赖于时间。这意味着基础状态变量应该是一个 时变的扩散过程，因此我们需要研究时变扩散模型。在采用参数方法来估计模型中的 系数时，如果模型及参数的假定与实际背离而不成立时，就容易造成模型设定误差。 此时，基于经典假设模型所作出的推断的表现可日7 - 匕e , ，t h k 差，因此我们需要考虑更一般的 模型：非参数模型和半参数模型。这些模型的一个重要的优点是它们可以减少建模的 可能偏差，并且可以用来建立和检验一个参数模型。时变扩散过程一般具有以下形式： d x , = 1 ( xt ，o a t + 6 、x | ，t ) d b , 已经有很多模型清楚地表达了参数对时间的依赖性。这其中包括下列模型h oa n d l e e ( h l ) ( 1 9 8 6 ) 1 1 3 1 ，h u l l 和w h i t e ( h w ) ( 1 9 9 0 ) 1 1 4 】，b l a c k ，d e r m a n 和t o y ( b d t ) ( 1 9 9 0 ) 【1 5 】，b l a c k 和k a r a s i n s k i ( b k ) ( 1 9 9 1 ) 【1 6 】以及d o n o h o ，d l 和t o h ns t o n e e t a l ( 1 9 9 6 ) 【17 1 。 上述均是参数模型，它们的具体形式如下， h l ：a x , = t t ( t ) d t + 盯u ) d 彬， h w ：d x , = ( 口o ( f ) + 口l o ) 墨) a t + c r ( t ) x ；d 彬f = 0 或o 5 ， b d t ：统一= 口i p ) i v , + 口2 ( ，) zl o g ( x , ) ) d r + p o p ) 置d 形， b k ：a x , = 口1 0 ) 置+ 口2 0 ) 墨l o g ( x , ) ) 办+ p o o ) 置d 彬。 其中a 2 ( f ) ：d l o g _ f l 一0 ( t ) 。 在假定漂移和扩散系数都是线性的随时间变化的函数，f a n ，j i a n g ，z h a n g 和 z h o u ( 2 0 0 3 ) b s l 考虑了以下时变系数的单因素模型 d x , = 【口o o ) + 口l o ) x ， a t + 屁( f ) 叉d e ， 1 绪论 硕l ：论文 并且用局部线性技术估计了系数函数 口，( 宰) 和 ，( 奉) 。 g e n o n ，l a r e d oa n dp i c a r d ，d ( 1 9 9 2 ) w 给出了当6 ( ，) 已知，仃( ，) 是时间的函数时， t r ( t ) 的小波估计，并给出了估计量的r 收敛速度；肖庆宪，郑祖康( 1 9 9 8 ) 口o 】给出了 当6 ( ，) 未知，o - ( t ，x ) = c r ( t ) x 时，盯( ，) 的非线性小波估计，并证明了估计量的收敛速 度与待估函数所属的b e s o v 空间参数有关。上面给出的四种函数形式均是下列模型的 具体形式； a x , = ( r ) 墨+ 6 t l ( ，) g ( 置) ) 衍+ 属( f ) 办( 五) 刖d w , j f a n ，j c ，j i a n g ，c m ，z h a n ga n dzz h o u ( 2 0 0 3 ) f 1 8 1 就g ( 置) = 置，办( 工) = 置这种情况 给出了扩散系数的局部伪似然估计，并通过模拟验证了波动率的异方差性和时齐性。 对于漂移系数和扩散系数均为二维变量的未知函数形式问题很少有文章讨论，c h e n p i n g ( 2 0 0 6 ) 口l j 运用小波估计方法给出了两个系数估计，并给出了估计量r 收敛速度。 对于扩散系数的非参数估计问题，一般可以转化为回归模型中回归函数的估计问 题。非参数估计方法主要包括权函数估计、全局多项式估计、正交多项式估计、多项 式样条估计、局部多项式估计、小波估计等。 权函数估计的基本思想是按照距离x 的远近对样本观察值y 进行加权。权函数具 体有四种主要形式：核函数，最近邻函数，样条函数，小波函数。关于权函数估计的 系统研究始于s t o n e ( 1 9 7 7 ) 1 2 3 。在参数判别分析中，人们需要假定作为判别依据的、 随机取值的数据样本在各个可能的类别中都服从特定的分布。经验和理论说明，参数 模型的这种基本假定与实际的物理模型之间常常存在较大的差距，这些方法并非总能 取得令人满意的结果。由于上述缺陷，r o s e n b l a t t 和p a r z e n 提出了非参数估计方法， 由于非参数方法不利用有关数据分布的先验知识，对数据分布不附加任何假定，是一 种从数据样本本身出发研究数据分布特征的方法。因而，在统计学理论和应用领域均 受到高度的重视。目前在文献中考虑较多得定义权函数估计的方法有两种：核估计和 k 近邻估计。其中核估计是由n a d a r a y a 和w a s t o n ( 1 9 6 4 ) 口4 j 提出的，称为 n a d a r a y a w a s t o n 核估计法。在参数回归分析中，人们假定数据分布符合某种特定的 性念，如线性、可化线性或指数性态等，然后在目标函数族中寻找特定的解，即确定 回归模型中的未知参数。g a s s e ra n dm u l l e r ( 1 9 7 9 ) i z 5 j 于1 9 7 9 年提出了g a s s e r - m u l l e r 估计。k 近邻估计实际上就是用最靠近x 的k 个观察值进行加权平均，它的基本原理 与核估计相似。权函数估计的优点是计算简便，运用方便。 由于传统的非参数估计法对于光滑函数估计效果尚可，但b a n a c h 空间b 中还含 有许多空间非齐性函数。k e r k y a c h a r i a n ga n dp i c a r d d ( 1 9 9 3 ) i 2 2 j ，d o n o h o ，j o h n - - s t o n e ( 1 9 9 6 ) 1 2 8 1 等人通过一系列文章将小波方法引入到统计中，从k e r k y a - - c h a r i a n ga n d p i c a r d d 的尺度估计，到d o n o h o ，j o h n s t o n e ( 1 9 9 6 ) 的阈值估计，估计方法不断完善。 小波估计是从数字信号处理中的信噪分离角度对回归函数进行估计。其主要功绩是将 4 硕l j 论文 时变扩散方程扩散系数的核估计 被估函数类f 拓展到了b e s o v 空间及t r i e b e l 空间。 随着统计方法的不断完善，扩散方程中漂移系数和扩散系数的估计的方法越多， 其性质也将越来越好，其收敛速度会加快，拟和优度也会也会加强。从而使得扩散模 型所描述的随机变量与实际吻合度得到进一步提高，人们可以更好的用来预测，对未 定权益定价和套期保值等等。 2 时变扩散方程扩散系数的估计j 榆验 硕j 二论文 2 时变扩散方程扩散系数的估计与检验 2 1 定义和部分引理 定义1 如果一个连续过程m 可以表示成m = l m ，+ 4 ，其中l m , 是一个连续的 局部鞅，4 是一个有限变差的连续适应过程，则m 是一个连续半鞅。 引理1 对任一个实数a ，存在一个非递增的连续过程厶( ，口) ( 称为过程m 点a 的局部时) 使得 i t 一口l = i 毛一口i + 工s g n ( m , 一口x 办4 + k o ，口) ( 2 1 1 ) ( m 一口) + = ( 眠一口) + + i l 。i d m , + 与k ( 柚) ( 2 1 2 ) ( m 一口) 一= ( m o 一口) 一一j ：1 。i d m , + 百1 厶( f ，口) ( 2 1 3 ) 其中1 表示示性函数。 引理2 如果m 是一个连续半鞅，则有 岛( ，力= l i m l ，2 1 ( 眇。j ) ( 丝) d m 】鲫 c a ， 如果m 是一个连续局部鞅，则有 k ( 相7 ) = l i r a l ；。f 1 ( 叫) ( m ) 矗【丝】口j v a , r 过程k ( f ，口) 称为过程m 在点a 处的局部时。它度量了过程m 在点a 处的停留时间。 按照上面的定义，布朗运动的局部时定义如下： k ( = l i m l el ( 州。甜d s 口j v a f ， 现在考虑布朗运动置= a w ，则按上面的定义有： 砌= l i m l 。 ：i ( b _ a i 0 为固定的实数，当彳j 有 吾打m 丢) 刊卜她吐矾 其中b ( t ，口) 是一个独立于墨标准的b r o w n i a ns h e e t 。如果a 0 ：l - 一五卜，z = 1 圪) ， f ，+ 。= i n ft i t i , jq - 吾：l - 一t l 巳，r ，z = ，”) = o ，r ( t ) 其中，( ) 刀是落在x 1 的毛，r 邻域内的观察值x 的个数，定义为 川= 乳h v i o ，使得当刀啪时，儿一o ， _ o 。对于给定时刻f ，令 者= i n f ( i ；t i p 一心，f + 以 ， n = s u p i ；t , p 一以，f + 以 ) 记夕咚，肇1 ，妒= 芬1 + 途 令= 【一坛) 】，注：j r 表示r 的整数部分。对适当的毛 o ，对每个矿定 义停时序列 确= 耐 o ：l 气一l _ ，【孔，) 】 ， 饬+ ，= i i l f p 吃：l _ 一i 气，【n 棚) ，= o ，( 矽) 其中 盱) 2 善勺一协l b v f ， 瑶，”】， 表示落在的毛领域内的观察值的个数，其中l 为集合么的示性函数。记 帆，= 矗1 去苫 ，心 ，萨( 夕，) 2 而两丢h 锄叫哟j 其中 铲鲁 糍们王田存可以撂m 式( 2 2 1 ) 中扩散系豹的估计量： l o 硕 ：论文 时变扩散方程扩散系数的核估计 彦2 。，x ，= ( 2 2 7 ， o ( 2 ) ( a ) lx ( s ) a s = 1 ， j m 瓦a n , t 私( 等卜率蝴m 班 定理2 3 1 如果有：瑚使得万1 ( 1 。g ( 1 ia r , ) ) 2 = 。( 1 ) ，以专。使得 f y n ! 2 ( “1 。g ( 1 ) ) m = 。( 1 ) ，则却，x ) 写仃( ，x ) 垫鱼兰坦竺= 竺 汜3 等( 等) “jj 。 2 时变扩敌方程扩散系数的估计j 榆验 硕 ：论文 对于( 2 3 2 ) 式，我们先证明： 等( 等卜圳 等( 竽) ( 2 3 2 ) 譬“等卜删蛾陆( a r 1 0 9 ( ! a t ) ) 1 2 。 鬈去文等卜叫毒吨胆 考虑下式： 等( 等卜圳一r 毒d 等卜凼 汜3 由核函数k ( ) 的性质和孑( ，) 的性质，对于式( 2 3 3 ) 有： 1 2 碓i n t - i f l + l h 文等卜以舛l + 陪k ( 等卜c 。，五，l + l 等k ( 生手卜c 矿，) l b y 陲t = 04 a r + 1 ) n 文等卜w 降卜讣l + 非联冷” 文下k - - x 卜2 叫等卜计i 峨c 争 毒驰十( 等) l l 盯2 ( 驴，x e ) 1 d s ( 2 3 4 ) 一“叫一、辩监扣 硕l ? 论文 时变扩散方程扩散系数的核估计 + 非了- i d 等炽一以，) 叫 汜3 剐 + ；c 其中c 靠1 是一个适当的常数，式( 2 3 4 ) 中的贾括是连接和的线段上的一个值。 定义 _ 2 m 胁a 枷x 剃s u 川p 垓x s 毯矗一 ( 2 3 6 ) 由扩散过程连续性的l e v y sm o d u l u s 2 6 1 有： p ( 1 i m 器南= 嚷 ：1 汜3 其中c h 2 是一个适当的常数。然后由式( 2 3 7 ) 可得： h = q “hl o g ( 1 a “) ) 2 ) ， 因此，如果_ o 使得f 1 ( 1 。g ( i a r ) ) = 。( 1 ) ，则当，z 寸o 。时 等 汜3 剐 由上式我们有 k 7 ( 等h 等卜乩， 汜3 对适当的常数g ，由式( 2 3 6 ) 和式( 2 3 9 ) 、f 的绝对积分的性质以及瓦( r ，) 和仃2 ( ，) ( 见引理4 的证明) 的连续性，式( 2 3 4 ) 有： ( 每 毒e 卜l x , - x + ，m 卜2 c s ，置+ ，l 凼 = 划k 防p - - x 卜圳驰m 冲 = ( 等 毒弦( g + m ) i 以。，g + 石) 己c 2 以，唬+ 功由 嚷嘣瑚。 2 时变扩散方程扩散系数的估计j 柃验 硕 j 论文 h q 于l x ( 2 w h 抛吉，南) 咆钟2 ) ，所以式( 2 3 4 ) 有 加3 4 ，嚷嘣艄 同理可证对式( 2 3 5 ) 有： 非c 文等炉一以州 c 乏( ) 眈。( 以抛) 由上可得： 瓦a ( 等卜， = 鬈毒k ( 等 以矿，出+ 吒1 ( 百y n l l 2 ( a , 1 0 9 ( 1 a , ) ) l 2 由同样的方法可以得到： 铲a y n n ( 等 = 鬈古文等卜i 百y n l l 2 广2 所以对于( 2 ) 式，令以专。，一。，( 刀一o 。) ，使得百) i n i 2 ( l 。g ( 1 a t ) ) 1 2 = o a s ( 1 ) 时， 有： 鬈古k ( 等卜c 矿，。，丞+ 既( 丑产c 扣鲥，胆 p y 上h n , y 文等卜“挈钏广2 = 譬群饥( 1 ) 2 ( ，n 其中s ( x ) 是过程的速度函数。 现存考虑式( 2 ) 。下面证明对固定的抽有 1 4 孑2 ( f ，x ) = 仃2 ( f 夕，l ，) + d 。( 1 ) ( 2 3 1 0 ) 业丝苎燮塑型塑型塑 利用孑( ，) 的l i p s c h i t z 性质，我们有 手竹，x t ，、) 一孑时，x 一 = 赢篙卜1 鸭，一 _ 以仉， = 赢“争”以圳c 渺 + 矗商苫聍r - + a c 墨叫邢，k 凇 + 瓦丽1 篓卜1 霹地“2 c 置一t 址c s ，鼍涉 咄丽i 西笋旷2 ( k 叫邮 媳 + i ：丽1 m “罢卜1f 害+ a “2 ( x ，一j i ) ( s ，j ) ( 砖 爱她肋2 ( 以一t ) ( s ，。泌= ( 霹“2 ( k 一) 仃( s ，置煅) 定义随机积分 y 讹。= “2 ( x ，p 川蹦，地， 其关于3 乏呜，可测。由肺积分的性质我们有 m 淞。) = e ( 霹“2 ( x ，一置一邢凇) 吨 所以由t b 等距性有 + = v 吨氏) = e ( 譬如2 ( 五一) 仃( s ，k ) 掇) ，1 一g ，2 ( 刀一1 ) ( 2 )两个正态总体方差比的f 检验 考虑如下假设检验问题 风：= 马： 此处心，均未知，霹，西2 分别是由卣，磊。算得的仃；的无偏估计和由确，珑算 2 l v 研 ” 艺嘲 也崮 一i o 蒜去 = = 虿 岛 一手 磊 专 n 同 仇问 i 一蒜上 = | i 一手 2 时变扩散方程扩散系数的估计j 检验硕i j 论文 得的一的无偏估计( 二者都是样本方差) 。 我们建立如式3 3 1 1 的检验统计量 f = 要 当h o 成立时，检验统计量为 f = 委 f c 惕一，z 2 一， 对于给定的显著性水平口，由 p ( 喜 疋n ( 确- 1 , 2 - 1 ) ) u ( 喜 互一“：c 确一，一，) 1 ( 3 3 1 1 ) ( 3 3 1 2 ) 凰成立卜， 得到h o 的拒绝域为 k = ff c ，2 ( ，z l - i ，心- i ) 或f e 一口2 ( ，2 l - i ，n 2 - i ) ) 硕1 j 论文 时变扩散方程扩散系数的核估计 3 模拟以及实证分析 3 1 模拟 本节我们用第二章提出的局部核估计法通过模拟具体化的模型对本文提出的方 法进行验证。 例1 我们首先对一个时齐模型进行模拟。由于时齐模型的扩散系数为z 的一维 函数，我们将时齐模型在整个样本区间上用第二章的局部和估计法进行模拟。本例选 择c i r 模型： d x , = 0 2 1 4 5 9 ( 0 0 8 5 7 1 1 一置) 衍+ o 1 3 8 2 1 3 x x , d b , ( 3 1 1 ) c i r 模型的扩散系数为o - ( 置) = o 1 3 8 2 1 3 x f z , 。在用本文所提出的方法对扩散系 数进行模拟时，需要先模拟计算出模型的样本值轨道，本文用一阶随机r u n g e k u t t a 模型 s t + i = 置+ “( 蕾) a t + t y ( 工) + j 1 万1 p ( 置+ 盯( z ) 万) - - 0 ( 墨) ( 岔一出) 其中 ) 独立同分布，且身服从正态分布，万= 二_ 为步长。可以证明一阶随机 r u n g e k u t t a 模型得到的样本值在平均意义下是收敛到随机微分方程3 1 1 的唯一解。 用上面的模型模拟c i r 模型的2 0 0 0 个样本值，得到的样本轨道如图3 1 1 。 图3 1 1c i r 模型的模拟序列图 基于一阶r u n g e k u t t a 模型得到的样本值，用本文提出的局部核估计方法来得到 3 模拟以及实证分析 硕l j 论文 扩散系数和估计量的对比图如图3 1 2 。 图3 1 2c i r 模型的扩散系数函数值与估计值的比较图 图3 1 3c i r 模型的波动率系数函数值与估计值的比较图 从图3 1 2 中可以看出，对于时齐性模型，第二章提出的局部核估计法较好的估 计了时齐型模型的扩散系数和波动率系数。在用本文第二章提出的局部核估计法对时 变扩散模型的扩散系数与波动率系数进行估计时，我们把时序列划分为若干时间段， 在每个时间段上认为扩散系数是与时间无关的一维函数进行估计，而例l 中时齐模型 的模拟可以看成是把时变扩散模型采用“分时段”方法进行分段后的一个时间段上的 2 4 硕 j 论文时变扩散方程扩散系数的核估计 过程，例1 的模拟结果说明了本文提出的这种“分时段”方法的可行性。 例2 本例对非时齐模型进行模拟，考虑如下一个简单的非时齐模型 戤= ( o 0 8 + 0 0 0 1 t ) 何, d b , ( 3 1 2 ) 用例1 的方法模拟得到式3 1 2 的5 0 0 0 个样本值，其模拟轨道如图3 1 3 。 05t0001 r i 0 020笛 t 图3 1 4 时变模型的模拟序列图 根据得到的样本轨道，用第二章提出的局部核估计法将时间序列分成十个时间段，在 每个时间段上对扩散系数进行估计，得到的扩散系数的估计如图3 1 4 。 图3 1 5 时变模型扩散系数函数值与估计值的比较图 3 模拟以及实讧e 分析 硕l j ：论文 图3 1 6 模型的波动率系数函数值与估计值的比较图 从图3 1 5 和图3 5 6 中可以看出，除了极个别的点外，本文提出了局部核估计法较好 的估计了时变扩散模型的扩散系数和模型的波动率系数，估计值与真实函数值的偏差 也在一个比较小的范围内。例子中所用的模型样本数据的容量为2 5 0 0 ，在定理2 3 2 中，我们证明了当样本容量刀一o o 时，用局部核估计法得到的估计量的混合正念性， 既估计值与真实函数值的偏差服从一个混合正态分布，因此在用本文所提出的局部核 估计法进行模拟时，选用的样本的容量越大，得到的模拟效果越好。 3 2 实证分析 从3 1 中的例l 和例2 可以看出，本文提出的局部核估计法能够很好的估计模型 的扩散系数，下面本文将这种方法应用于上证指数波动率的分析。通常情况下，我们 假设股票价格服从一个扩散过程，因此我们就可以将本文所提出的局部核估计法的方 法应用于真实市场中股票价格的波动率的估计。这里选取上证交易所1 9 9 0 年1 2 月 1 9 日到2 0 1 0 年4 月8 日期间上证指数的每日收盘价作为样本，共4 7 3 2 个数据。每 同收盘价的序列图如图3 2 1 。 硕i ：论文 时变扩散方程扩散系数的核估计 图3 2 1 上证指数收盘价序列图 从图中可以看出，在一些区间上股价趋势比较平缓，而在另外的区间上股价波动 就比较剧烈。我国政府的政策在很大程度上影响着股市的走势，如1 9 9 4 年7 月2 9 同人民同报发表证监会与国务院有关部门共商稳定和发展股票市场的措施，昭示 着