（应用数学专业论文）两类具有功能反应的离散捕食者食饵系统的研究.pdf

中北大学学位论文 摘要 1 刍l o r k a 和v o l t e r r 构造了经典的捕食者一食饵模型以来，捕食者一食饵模型一直被广泛研 究在这些模型中，包含h o l l i n g i i v 功能反应的模型研究成果最多，而且比较系统、完善；l e s l i e - g o w e r 模型和h o l l i n g - t a n n e r 模型的研究结果也比较多，并吸引了越来越多的学者关注但 是，与之相对应的离散以及离散时滞模型目前研究的还不够本文将考虑两类离散的且含有 功能反应的捕食者食饵模型，讨论模型的一些动力学性态，并模拟模型的相关动力学行为 在第二章中，首先介绍一些相关预备知识，包括分岔的类型、一般性的j u r y 条件、中心 流形定理以及分岔理论基于连续模型，建立离散且包含i v l e v 型功能反应的捕食与被捕食模 型，分析了平衡点的存在性，根据j u r y 条件证明了各平衡点的局部渐近稳定性；并通过中心 流形定理与分岔理论获得了边界平衡点出现“折”分岔与“倍周期”分岔，在正平衡点会出 现“倍周期”分岔与n e i m a r k - s a c k e r 分岔的充分条件，同时对其正平衡点的相关结果进行数 值模拟 在第三章中，介绍了离散动力系统稳定、吸引以及几类持续性的概念基于时滞连续系 统建立了离散时滞的捕食与被捕食模型，引用已有的结论证明了系统的永久持续性，并且 构造l y a p u n o v 函数证明了系统正解的全局吸引性 关键词：局部渐近稳定，功能性反应，分岔，中心流形定理，永久持续，全局吸引 第1 页 中北大学学位论文 a b s t r a c t s i n c et h ep i o n e e r i n gw o r ko fl o r k aa n dv o l t e r ro np r e d a t o r p r e ym o d e l ，p r e d a t o r - p r e y m o d e l sh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nf r o ms c i e n t i s t s i nt h e s em o d e l s ，t h e r ea r em a n y , s y s - t e m i ca n dp e r f e c tr e s e a r c ha c h i e v e m e n t sf o rt h em o d e l si n c o r p o r a t i n gh o l l i n g i - i vf u n c t i o n a l r e s p o n s e ，a n dt h er e s e a r c hr e s u l t so fl e s l i e - g o w e ra n dh o l l i n g - t a n n e rm o d e l sa r ea l s om o r e m a n y , m o r e o v e r ，m o r ea n d m o r es c h o l a rw h oa r ea t t r a c t e dg i v et h e i ra t t e n t i o nt ot h e s em o d - e l s b u tb e s i d e s ，r e s e a r c ho nd i s c r e t em o d e l sa n dd i s c r e t em o d e l sw i t hd e l a y sc o r r e s p o n d i n g c o n t i n u o u ss y s t e m sa r en o te n o u g hf o rt h em o m e n t i nt h i sp a p e r ，w ew i l lc o n s i d e rt w od i s - c r e t ep r e d a t o r - p r e ym o d e l sw i t hf u n c t i o n a lr e s p o n s e ，a n dd i s c u s st h ed y n a m i c a lb e h a v i o r s o fm o d e l s ，f u r t h e r m o r e ，s o m ed y n a m i c a lb e h a v i o r sa r es i m u l a t e d i nc h a p t e r2 ，w ef i r s t l yi n t r o d u c es o m er e l a t e dt h ek n o w l e d g ew h i c hw i l lb ea p p l i e d ， i n c o r p o r a t i n gt h et y p eo fb i f u r c a t i o n ，t h eg e n e r a lc o n d i t i o no fj u r y , c e n t e rm a n i f o l dt h e o - r e m a n db i f u r c a t i o nt h e o r i e s a c c o r d i n gt ot h ec o n t i n u o u sm o d e l ，ad i s c r e t ep r e d a t o r - p r e y m o d e lw i t hi v l e v sf u n c t i o n a lr e s p o n s ei se s t a b l i s h e d ，t h ee x i s t e n c eo ft h ee q u i l i b r i aa r e a n a l y z e d ，l o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t yo ft h ee q u i l i b r i aa r ea r g u e db yj u r y sc o n d i t i o n ；s u f - f i c i e n tc o n d i t i o n so ft h ee x i s t e n c ef o rf o l db i f u r c a t i o n ，f l i pb i f u r c a t i o na n dn e i m a r k - s a c k e r b i f u r c a t i o na r ea l s oo b t a i n e db yu s i n gc e n t e rm a n i f o l dt h e o r e ma n db i f u r c a t i o nt h e o r y , a n d n u m e r i c a ls i m u l a t i o n sa r eu s e dt oi l l u s t r a t e dd y n a m i c a lb e h a v i o r so fp o s i t i v ee q u i l i b r i u m i nc h a p t e r3 ，c o n c e p t so fs t a b i l i t y , a t t r a c t i v i t ya n ds o m ek i n do fp e r s i s t e n c eo nt h e d i s c r e t ed y n a m i c a ls y s t e ma r ei n t r o d u c e d a c c o r d i n gt ot h ec o n t i n u o u ss y s t e mw i t hd e l a y , ad i s c r e t ep r e d a t o r - p r e ym o d e lw i t hd e l a yi si n v e s t i g a t e d ，a n dp e r m a n e n c eo ft h es y s t e mi s a r g u e dv i ac i t i n gp r e v i o u sr e s u l t s ，a n dt h a tt h eg l o b a la t t r a c t i v i t yo fp o s i t i v es o l u t i o n so f t h es y s t e ma r et e s t i f i e db yc o n s t r u c t i n gal y a p u n o vf u n c t i o n k e yw o r d s - l o c a la s y m p t o t i cs t a b i l i t y , f u n c t i o n a lr e s p o n s e ，b i f u r c a t i o n ， c e n t e rm a n i f o l dt h e o r e m ，p e r m a n e n c e ，g l o b a la t t r a c t i v i t y 第1 i 页 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在指导教师的指导下，独立进行 研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人或 集体已经发表或撰写过的科研成果。对本文的研究作出重要贡献的个人和集体， 均已在文中以明确方式标明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 4 塞；虽 e t , 辫i ： 关于学位论文使用权的说明 本人完全了解中北大学有关保管、使用学位论文的规定，其中包括：学校 有权保管、并向有关部门送交学位论文的原件与复印件；学校可以采用影印、 缩印或其它复制手段复制并保存学位论文；学校可允许学位论文被查阅或借 阅；学校可以学术交流为目的，复制赠送和交换学位论文；学校可以公布学 位论文的全部或部分内容( 保密学位论文在解密后遵守此规定) 。 签 导师签名：二李珥互垡一 啉j 咩l 日期：j 手l 中北大学学位论文 第一章绪论 1 1 研究的意义 数学模型是以数学结构的语言对客观研究对象的一种抽象或提炼，以使得人们可以用 数学的思想和方法来对研究的对象作深层次的理解和掌握研究任何问题，要想不停留在粗 略的定性描述阶段，要继续达到精确的定量分析阶段，必须用数学模型来刻划人们利用模 型作为解决问题的工具已被科学、技术的实践证明是一种成功的方法“数学模型”已经成 了整个学术界通用的术语，受到人们的普遍重视生态学也不例外，自从六十年代数学模型 的研究在生态学上再次被人们重视以来，许多数学家、物理学家与生态学家一起在与生态学 有关的各个领域从事了大量的关于数学模型的组建和分析方面的研究 种群生态学是生态学的一个重要分支，它包括对给定种群本身的动力学特征和结构的 研究，以及给定种群和相关种群相互作用下演变规律的研究自然界中复杂的生态关系使的 数学的方法和结果被越来越多的应用于生态学；生物物理学的发展又促进了数学向生态学 进一步渗透迄今数学在生态学中应用相当广泛深入，发展也比较系统成熟，在其中所涉及 的数学内容包括线性代数、微分方程、积分方程、差分方程、泛函微分方程、动力系统、随 机过程、统计方法等而利用差分方程研究种群动力学已经成为离散动力系统研究领域中 的一个重要研究方向，通过对这些方程解的性质的研究而得到的一些数学结果可以用来说 明生态学上的有趣现象，如周期、持续生存等对种群动态系统的研究，在生物资源合理利 用、生物多样性保护及病虫害防治等方面都有重要的应用价值生活在自然界中的任何物种 都不可能以单一个体形式存在，必然与同种或不同种的其他个体生活在一起，构成一个相互 依赖，相互制约的群体物种之间的相互关系对于整个生物界的生存和发展是极为重要的，它 不仅影响每一个物种的生存，而且还把各个物种连结为复杂的生命之网，决定着群落和生态 系统的稳定性，物种之间的相互关系一般可以分为四种：互惠共生，寄生，竞争，捕食 1 】 在种群生态学中，相当一部分动力系统的状态变量之间存在时间延迟的现象，即系统的 演化趋势不仅依赖于系统当前的状态，而且也依赖于系统过去某一时刻或若干时刻的状态， 我们将这类系统称作时滞种群动力系统比较著名的例子是人口模型设( ) 为时刻z 的人 口数，本地区最多容纳的人口数是k ，r = b d 为人口的增长率其中b ，d 分别是出生率与死 第1 页 中北大学学位论文 亡率，它们可以是t 的函数1 7 9 8 年m a l t h u s 建立了最简单的人口增长模型 1 d n r ( t ) ：r ( ) ， ( 1 1 1 ) 出 r r 得出了人口按照几何级数增长的结论1 8 3 8 年，p f v e r h u l s t 修改了( 1 1 1 ) 引入类似予电感器 产生阻抗的生物反馈因子( 1 一掣) ，得出( 1 1 1 ) 的修正式： 百d n ( t ) = 川吼1 一掣) ( 1 1 2 ) 考虑妊娠期及其它因素的滞后作用影响，e m w r i g h t 给出比( 1 1 2 ) 更为精确的时滞系统 百d n ( t ) = 川州1 一等) 下 0 ( 1 1 3 ) 更一般的形式： 1 d n 厂( t ) = ( 亡) ，( ( 亡一7 _ ) ) 下 0 ( 1 1 3 7 ) 若( t ) 不仅依赖于芒一下时的种群数量，而且由t 时刻以前的整个历史时期中的种群规模决定 由于各时期的种群规模对t 时刻种群规模增长的影响不尽相同，因而对总体的影响通过积分 来解决，得到具分布时滞的生态方程： n ( t ) = ( 亡) f ( n ( t u ) ) p ( u ) d u ( 1 1 4 ) 其r a p ( u ) 是概率分布函数，称为核核通常有两种取法： 弱核函数 p ( 铭) = i c e 一驰， 强核函数 p ( u ) = k u e - 口牡 且成立 | p ( u ) d u = 1 一般来讲，种群动力系统中的时滞现象通常是很普遍的，要分阶段来考虑例如蛙类的 成长明显地包含卵、蟒蚌、成体蛙三个阶段，这类种群叫做具有阶段结构的种群，在种群的 每一个生命阶段，其死亡率、生存至下一个生命阶段的转化率都依赖于其生存环境及其本 身的形态和大小另外，在捕食模型中，有许多捕食者种群只有到成员成年后才有捕食的能 力，幼年或在哺乳期的成员没有捕食能力。竞争模型也类似，有许多种群在成员成年后才具 第2 页 中北大学学位论文 有与别的种群竞争的能力在具体分析时滞系统时，我们主要关注种群的稳定性、持续性和 周期现象有时候，一个非常小的时延就可能导致系统的拓扑结构发生变化因此，对时滞 非线性系统的研究是一个很具有实际意义的领域，得到了国内外很多学者的关注【2 6 ，2 7 ，2 8 】 在生态学中，还有一种重要现象，部分生物种群世代之间没有重迭，种群增长是分步进 行的例如温带节足动物一蚕，它们每年均具有一个短暂的生命，然而在两代之间却从不交 错、重迭因此，描述它们的增长过程就应该是一个不连续的模型一般用一个差分方程，即 离散动力系统来描述在种群动力学的研究过程中比较有影响的是1 9 5 4 年p d c k e r 建立的单种 群方程 x t i + 1 = r x n e 呻“( 1 1 5 ) 和1 9 6 8 年m a y n a r ds m i t h 给出的捕食者一食饵离散动力系统 ， ix n + 1 = q 。n ( 1 一x 。) 一z n y n ， ( 1 1 6 ) 【鲰+ 1 = 刍z n y n 其中z ，分别是食饵和捕食者数量，n 表示的是第佗代种群若一个种群的发展即有时滞因 素的影响，又具有不连续的特点，那么我就需要考虑离散时滞的动力系统来描述和刻划种 群的持续和周期等现象比较早的时滞离散动力系统是时滞l o g i s t i c 方程 x n + l = r x 礼( 1 一x n - 1 ) ( 1 。1 7 ) 对于离散和离散时滞系统的研究，不仅丰富了数学研究方法，拓展了种群生态学研究的 领域，而且为解释复杂的生态现象提供了一种理论体系随着对离散系统研究的不断深入， 越来越多从事生态理论方面研究的学者应用这种体系去揭示复杂的种群生存关系 另一方面，分岔是非线性动力系统特有的一种运动形式，而生态系统大都是非线性系统， 所以分岔现象也是生态系统动力学的一种常见行为动力系统的分岔指的是系统的动力特 性随着某些参数的变化而发生质的改变，特别是系统的平衡状态发生稳定性改变或出现方 程解的轨道分岔它与其它非线性现象( 混沌、分形、突变等) 密切相关主要有以下几类： 平衡点分岔、闭轨分岔、同宿( 异宿) 轨分岔其中同宿( 异宿) 轨分岔属于全局分岔，另外 两类是局部分岔对于方程( 1 1 5 ) 、( 1 1 6 ) 和( 1 1 7 ) ，看似简单的确定性数学模型竟然可以产 生复杂的动力学行为，引起了众多从事生态学模型研究学者的注意 7 - 9 由此开始了非线性 离散种群动力系统分岔研究的高潮推动了种群生态学进一步的发展 第3 页 中北大学学位论文 1 2国内外研究概况 7 0 多年来，种群生态学吸引了众多的数学家、生态学家、生物数学冢从不i 司的角度，运 用各自熟悉的方法去研究种群相互作用系统生态学家进行了许多野外和实验室的观察、监 测、研究，有的实例证实些模型确实描述、解释了一些生态规律、预测和控制着某些生态 变化过程但一些生态实验结果也对某些模型提出了质疑，这就促使人们不断地修改模型 近年来，随着研究的进一步深入，对种群生态学模型的研究出现了一些新的趋势 功能反应函数是指在单个捕食者的情况下，被捕食者的种群密度关于时间的变化率它 除了依赖于食饵的密度，还反应捕食者的捕食能力。1 9 6 5 年h o l l i n g 1 0 在实验的基础上，对 不同类型的物种提出捕食功能反应函数妒( z ) ，有下面三种形式：对间单的动物藻类细胞有第 一类功能反应函数 ， 比) ：p 0 o , f ( o ) 0 ( 密度制约或种内竞争) ，存在x o o ，使，( z o ) = 0 x o 为无捕食者时种群z 的环境容纳量，夕( o ) = o , 9 7 ( 可) 0 ，妒) 为三类功能反 应函数 近年来，越来越多学者重视和开始研究如下捕食者一食饵系统： 掣一八动叫“n ( 1 2 2 ) 【警= y ( s ( 1 一譬) ) ， 其中若妒( z ) = a x ，( 1 - 2 2 ) 是l e s l i e - g o w e r 模型；若妒( z ) = 群惫，( 1 2 2 ) 是h o l l i n g - t a n n e r 模型 文 1 1 1 4 1 中比较详细的介绍了关于以上三种功能反应的h o l l i n g 型捕食- 食饵模型的工作， 主要是关于全局稳定性和极限环存在性及唯一性方面的工作，理论体系比较完整 另外，许多生态学家和生物数学家也提出了许多著名的功能反应函数，诸如h o l l i n gi v 型【1 5 】，h a s s e l l - v a r l e y 型 1 6 ，b e d d i n 昏o n - d e a n g e l i s 型 1 7 ，i s ，i v l e v _ 型 1 9 ，c r o w l e y m a r t i n 第4 页 中北大学学位论文 型【2 0 】，m i c h a e l i s - m e n t e n 型 2 1 ，以及由a r d i t i 和g i n z b u r g 于1 9 8 9 年提出的比率依赖型【2 2 】其 中，h o l l i n gi - i v 和i v l e v 型属于食饵依赖型，其他均为捕食者依赖型 最近，许多学者开始研究时滞捕食者一食饵系统，一般形式为： i 掣= x y ( x ( t 一7 ) ) 一秒妒( z ) ， ( 1 2 3 ) 【掣= 秒( s ( 卜譬) ) ， 以及 ， i 掣= z ，( 。) 一箩p ( z ) ， ( 1 2 3 ，) 【警= 可( s ( 1 一等碧) ) ， 文 2 3 ，2 4 1 主要讨论t h o l l i n gi 型功能反应下的分岔情况，文 5 ，6 ，2 5 】中，基于b e d d i n 醇o n - d e a n g e l i s 型功能反应，建立了形如( 1 2 3 ) 的捕食者一食饵模型，讨论了系统的持续性以及平 衡点的全局渐近稳定性 在这方面我国的生物数学工作者，主要集中于种群动态的数学模型方面的研究在这些 研究中，特别应该指出的是关于两种群捕食与被捕食模型正平衡位置的全局稳定性、周期解 的存在性与个数问题的研究，我国学者对于h o l l i n gi 类、i i 类、i i i 类功能性反应模型作了系 统的研究，所得到的结论在国际上是最早而且是最完整的尤其是i 类功能性反应的模型，自 从1 9 7 5 年英国人用计算机得到两个极限环后，一直没有入能够从理论上证明，我国学者最先 作出理论上的证明 2 6 】，而逐步获得了一系列较好的结果围绕种群动态模型的研究，我国学 者还出版了具有现代水平的专著和建立了一些针对具体问题的模型例如，给出了在时间离 散的情况下捕食者单种猎物系统以及单捕食者一两种猎物系统的模型 随着对上述几类系统研究的不断深入，时滞模型越来越受到重视，对其动力学性态的 研究亦越来越广泛基于连续系统研究的深入，对相应离散系统的研究也有了很大发展，得 到了许多有益的结果：文 2 7 ，2 8 】分别对带有 h o l l i n g 功能反应i 和i i 的系统( 1 2 1 ) 进行离散化， 发现系统会出现“折”分岔、“倍周期“分岔以及n e i m a r k - s a c k e r 分岔，甚至还会出现混沌现 象；文【2 9 】对具有密度依赖的系统( 1 2 1 ) 进行离散化，利用迭合度理论，讨论了离散系统周期 解的存在性；文【3 0 】建立了离散的耦合l o g i s t i c 方程 i 。n + l = ，b ( 3 k ) z n ( 1 一z n ) ， ( 1 2 4 ) iy n + l = 如( z ”) 鲰( 1 一) 第5 页 中北大学学位论文 讨论了参数的变化对种群灭绝、共存的影响，并发现系统出现了”倍周期“分岔和混沌现象： 文【7 】中，在取f ( x ) = a b x 时，对系统( 1 2 2 ) 进行了离散化，得到了如下形式： i x n + l = x ne x p a ( n ) 一6 ( n ) z n 一警) ，、 气【1 2 5 ) 【y n + l = y n e x p c ( n ) 一訾l 对于功能反应函数妒( z ) 是h o l l i n gi i 与i i i 、i v l e v 型时，在一定的条件下，系统( 1 2 4 ) 至少会有 一个周期解对于离散时滞系统，2 0 0 0 年，y a s u h i s as a i t o 等给出如下离散时滞系统【3 1 】： l 。( n + 1 ) = x ( n ) e x p r l ( 1 一z ( n k 1 ) 一# l y ( n k 2 ) ) 】， ( 1 2 6 ) 1 秒( 几+ 1 ) = 可( 孔) e x p r 2 ( 1 一p 2 x ( n 1 1 ) 一y ( 礼一f 2 ) ) ) 并得出当弘l 1 ，弘2 0 0 s ts n0 墨5 “ 第1 0 页 中北大学学位论文 当佗= 2 时，上述构造有如下的形式： 1 p 1沈 沈pl 1 1 一定p 1 ( 1 一p 2 ) o p 1 ( 1 一p 2 )1 一旌0 那么特征值的模小于1 当且仅当下面三式成立 1 + p 1 + p 2 0 ，l p l + p 2 0 ，1 一p 2 0 即 1 - t - t r ( a ) + d e t ( a ) 0 ，1 一t r ( a ) 十d e t ( a ) 0 ，1 一d e t ( a ) 0 2 1 2 中心流行定理与分岔理论 考虑系统 斑= ，( z ) z 蹰n ， ( 2 1 4 ) 其中，( z ) c r ( 1 r o o ) ，f ( 0 ) = 0 ，t 。是系统的中心流形，佗。是系统零实部特征根的个 数 定理2 1 2 系统( 2 1 4 ) 有一个咖维不变流形w ( 0 ) n t c 在。相切，而且存在z o 的一个 邻域u 内，使得对任意的芒o ( t o ) ，若流u ，有_ w ( o ) ，t 一+ o 。 一一o o ) 定理2 1 3 考虑一维离散系统 xh f ( x ，a ) ，z 跪，q 乳1 ， ( 2 1 5 ) 其中，( z ) 是光滑函数，系统在q = o 时，有不动点z o = o ，且有p = a ( o ，0 ) = 1 若下面条件 满足 丘茁( o ，0 ) o ；厶( o ，o ) 0 则存在可逆变换把系统( 2 1 5 ) 转化成 叩hp + 叩4 - 叩2 + o ( 叩3 ) ， 且拓扑等价于 7 7hp + 刀4 - r 2 第1 1 页 中北大学学位论文 定理2 1 4 若系统( 2 ，1 4 ) 有肛= 矗( 0 ，0 ) = - 1 ，且满足 丢( 厶茹( o ，o ) ) 2 + 丢厶茁茁( o ，o ) o ；厶n ( o ，o ) o 则存在可逆变换把系统( 2 1 4 ) 转化成 ? 7 卜一( 1 + p ) 7 74 - 叩3 - t - o ( ? 7 4 ) ， 且拓扑等价于 叩卜斗一( 1 - i - ) 叩4 - 7 7 3 定理2 1 5 考虑二维一参数离散系统 z h ，( 为q ) ，x 铲，q 跪1 ， ( 2 1 6 ) 其中，( z ，q ) 是光滑函数，q = o 时，系统有不动点x 0 = 0 和特征乘数p 1 ，2 = e 士对于充分 小的a ，特征乘数为 p 1 ，2 = 7 ( 口) e 士p ( 训， 且r ( o ) = 1 ，妒( 0 ) = o o 若下面条件成立 r 7 ( o ) 0 ，e i k o o 1 ( 尼= 1 ，2 ，3 ，4 ) 当a 穿过0 时，系统经历了n e i m a r k - s a c k e r 分岔 2 2 模型的导出及其平衡点的存在和稳定性 2 2 1 模型的导出 文 4 4 】研究了一类捕食与被捕食模型，如下： 掣一1 _ 沪h 1 - e 一) ， ( 2 2 1 ) 【必d r = y ( p ( 1 一e - a x ) 一回， x 表示食饵的密度，y 表示捕食者的密度，r 表示食饵的内禀增长率，k 表示食饵密度制约系 数，肛为转化系数且所有的系数都是正常数作无量纲变化 z = i x ，可= i y ，江d 7 ， z2i ， 可2 i ， 江d 丁， 第1 2 页 系统转化为 ，掣= z 一龙z ) 一( 1 一e 一) ， t 警刮小袱l 叮吲， q 2 2 其中p = ；，h = 云，入= 19 口= a d 事实上，由于离散系统的动力学性态远比连续系统的丰富，再加上离散系统对生态学 研究的意义，运用欧拉方法对系统( 2 。2 2 ) 进行离散化，可得 z n + l 2 。n 1 十p 九z n 一a 鲰1 一e 一们“l ( 2 2 3 ) 【+ 1 = a # y n ( 1 一e - q x n ) 2 2 2 平衡点的存在性和稳定性 在这一部分，首先确定平衡点的存在性，然后根据j u r y 条件判断平衡点的稳定性为了 确定不动点，求解下列非线性系统 i z = 。( 1 + 声一h x ) 一x y ( 1 一e ) ， iy = a # y ( 1 一e 川。) 显然，e o ( 0 ，o ) 是其平衡点：且( 鲁，o ) 是其边界平衡点；若矿 0 ，因此，矩阵的特征值一个大于1 ，另一个小于1 ，岛是一个鞍点。 定理2 2 2 平衡点毋( 譬，0 ) 毛e 0 p 1 时是一个源点；在p = 2 或札( 1 一e 一譬) = 1 时是一个非双曲平衡点；在 其它的情况下，e 1 ( 鲁，o ) 是一个鞍点 证明：在毋点的雅可比矩阵为： 一1 - p 嚣二引 矩阵的特征值为2 l ：1 一p 和勿= a p ( 1 一e 一譬) 因此，0 p 2 和a p ( 1 一e - 一h ) l 时，i z l i 1 时，1 名1 i 1 ，l z 2 i 1 ，e l 是 一个源点；p = 2 或入p ( 1 一e - 譬) = 1 时，1 名l l = 1 或l 勿i = l ，目是非双曲平衡点；其它情况 时，特征值一个大于1 ，另一个小于1 ，e 1 是一个鞍点。 内部正平衡点易 + ，y + ) ，( 2 2 3 ) 的线性化系统在如的雅可比矩阵 j ( e 2 ) ：f ，l + 多一2 矗z + + 8 ( 1 一入p ) z p 一是z 。一石1 、l ， n p ( a p 1 ) z 事( p h x )1 z 2 一( 2 + p 一2 h x 一o ( 入p 一1 ) z + ( p 一 z + ) ) z 十1 + p 一2 h x + = 0 根据j u r y 条件，特征值的模小于1 的充要条件是： 1 + t r ( j ) + d e t ( j ) 0 ， 1 一t r ( j ) + d e t ( j ) 0 ， 1 一d e t ( j ) 0 第1 4 页 中北大学学位论文 计算可以得到 和 其中 t r ( j ( e 2 ) ) = 2 + p 一2 h x + a ( 1 一a g ) z ( p 一九z + ) d e t ( j ( e 2 ) ) = 1 + 卢一2 h x 显然，1 一t r ( j ( e 2 ) ) + d e t ( j ( e 2 ) ) 0 由1 一如舌( j ( 易) ) 0 ，有 z 4 袅， 由1 + t r ( j ( e 2 ) ) + d e t ( j ( e 2 ) ) 0 ，可得 g ( x 。) 0 ， ( 2 2 7 ) ( 2 2 8 ) g ( x ) = a h ( a # 一1 ) x 2 + z ( o 卢( 1 一入p ) 一4 h ) + 4 + 2 p ( 2 2 8 7 ) 对( 2 2 8 ) 分两种情况来考虑： 情况1 对任意的z 0 ，g ( x ) 0 从( 2 2 8 ) 注意到：g ( x ) 0 当且仅当 = ( g 多( 久p 1 ) ) 2 + 1 6 h 2 1 6 a h ( a t t 1 ) 0 因此，g ( x ) = o ( a p 1 ) ( z z 1 ) ( z z 2 ) ，其中 z l = 丽1 ( n 聊一1 ) + 4 h - 沤) ， z 2 = 丽1 z ( a t , - i ) + 4 忍+ 伛) 那么赐( 矿，彰) 局部渐近稳定的条件( 2 2 8 ) 就等价于下列条件之一 x 2 x * 关 或 旦2 h z 孔 ( 2 2 9 ) ( 2 2 1 0 ) ( 2 2 1 1 ) ( 2 2 1 1 7 ) 第1 5 页 中北大学学位论文 岛p ，矿) 不稳定的条件是 z 1 z x 2 由上面的讨论，我们有以下结果： 定理2 2 3 若矿 孚( 入肛一1 ) 2 y 2 + 俨，且p = 2 h x + ，卢 弛垡塑锷牛旦墅二尘，系统( 2 2 3 ) 在岛 + ，y + ) 经历了n e i m a r k _ s a c k e r 分岔 2 4数值模拟 在这一部分，将作一些数值模拟去检验所得到的结果，主要关注定理( 2 2 3 ) 与( 2 3 3 ) 的 结论在这儿，固定其它参数，通过p 的变化来模拟相关的结果不失一般性，固定h = o 0 1 ，a = 1 0 ，a = 0 。0 2 5 ，弘= 0 3 ，则考虑下列几种情况： 如图a 所示，卢= 0 2 5 2 时，系统出现一个正的吸引子；当卢= 0 3 0 4 4 时，矿=