（机械电子工程专业论文）非刚性多体系统动力学可视化仿真研究.pdf

摘要 多体系统理论的不断发展和非刚性体在机械领域的广泛应用，使得多体系 统动力学由多刚体系统拓展至非剐性多体系统。可视化仿真方便了对于多体系 统实际问题的分析和试验。因此，非刚性多体系统的可视化仿真成为重要研究 课题。 本文将经典多体系统理论、计算机仿真技术和计算机图形学相结合，开发 了一种新的方法对非刚性多体系统进行动力学分析和动画仿真。通过h u s t o n 提 出的低序体阵列来描述和建立多体系统的数学模型；根据有限段造型思想，采 用工业三维图形标准o p e n g l 建立三维实体几何模型。应用计算机图形学的相 关知识，将多体系统动力学计算结果进行了可视化仿真研究。根据图形学知识 提出了非刚性体微小弹性交形的可视化的解决方法，并结合实例进行了分析。 同时利用有限段造型方法和对数据插值处理解决了非刚性体大变形部分的可视 化仿真这难点。 基于理论建模，采用面向对象和模块程序设计方法，本文开发了集成化的 非刚性多体系统仿真软件。该软件系统可以方便地进行多体系统动力学计算、 数据处理、曲线输出和动画仿真。本文利用单摆和绳索对仿真软件进行了整体 测试，仿真动画较好地描述了动力学计算结果，从而验证了软件的合理性、有 效性和正确性；完成了柔性臂振动和缆索一锚系统的动力学响应过程的可视化 仿真研究。 关键词：多体系统，动力学，非刚性体，柔性体，可视化仿真，三维实体几何 模型 a b s t r a c t t h i sd i s s e r t a t i o nf o c u s e so nv i s u a ls i m u l a t i o no nn o n - r i g i dm u l t i b o a ys y s t e m ， w h i c hi sa ni m p o r t a n tr e s e a r c hi nt h em e c h a n i c a lf i e l d a tt h es a m et i m e ，an e w m e t h o di sd e v e l o p e dt oa n a l y z ea n dv i s u a l l ys i m u l a t et h ed y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c so f n o n - r i g i dm u l t i b o d ys y s t e m t h i sm e t h o dc o m b i n e sm u l t i b o d yd y n a m i c s ，c o m p u t e r s i m u l a t i o nt e c h n i q u e ，a n dg r a p h i c s l o w e rn u m b e r e da r r a y sa r eu s e dt od e s c r i b ea n dc o n s t r u c tt h em a t h e m a t i c a l m o d e l so f m u l t i b o a ys y s t e m ，3 - dg e o m e t r ym o d e l sa r ee s t a b l i s h e db yp r o g r a m m i n g w i t ho p e n g l v i s u a ls i m u l a t i o ni sb a s e du p o nd y n a m i c sc o m p u t i n gd a t a t h i s d i s s e r t a t i o nr e s o l v e st h ev i s u a lq u e s t i o no nt h et i n yd i s t o r t i o no fn o n - r i g i db o d yb y g r a p h i c s i ta l s oa d v a n c e s am e t h o dh a v i n gaf i n i t es e g m e n tm o d e lt oa c t u a l l ys h o w b i g d i s t o r t i o no f n o n - r i g i d m u l t i b o d ys y s t e m 。 o nt h eb a s i so ft h e o r i e sm e n t i o n e da b o v e a ni n t e g r a t e ds o f t w a r es y s t e mh a s b e e n d e v e l o p e db yo b j e c t o r i e n t e dp r o g r a m m i n g 阳o p ) m e t h o da n dm o d u l a r i z a t i o n i t c a r l p r o c e s sd y n a m i cc o m p u t i n g ，d a t ap r o c e s s ，a n dn o n - r i g i dm u l t i b o d y v i s u a l s i m u l a t i o n i t sr e l i a b i l i t y , v a l i d i t ya n da c c u r a c ya r ea n a l y z e da n dt e s t e db ys i n g l e p e n d u l u mm o d e la n dc o r dm o d e l a st w oe x a m p l e s ，t h ef l e x i b l e a r ms y s t e ma r i d c a b l e a n c h o rs y s t e ma r ec o n s i d e r e d t h ed y n a m i cr e s p o n s e so f m u l t i b o d ys y s t e m s a r e d e s c r i b e db ya n i m a t i o n k e yw o r d s ：m u l t i b o d y , d y n a m i c s ，n o n r i g i db o a y , f l e x i b l eb o d y , v i s u a ls i m u l a t i o n ， 3 - de n t i t yg e o m e t r ym o d e l i n g 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得盘鲞盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中 作了明确的l 蜕明并表示了谢意。 学位论文作者签名：；毒务卒砷签字日期：卵j 年，月2 日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盔洼盘鲎有关保留、使用学位论文的规定。 特授权盘注盘茔可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索。并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：夯冬铆 导师签名 签字r 期：w 矿3 年 月工曰 签字日期：w ；年月l 日 第一章绪论 第一章绪论 1 1 多体系统可视化仿真研究概况 1 1 1 多体系统理论发展状况 多体系统动力学源自于1 8 世纪, e u l e r 、l a g r a n g e 等人奠基的经典刚体动力学。 经典刚体动力学的主要研究对象是单个刚体，或由少数几个刚体组成的简单的 拓扑结构系统，其研究成果可以解释一些重要的力学现象。 人类进入2 0 世纪5 0 年代以后，科学技术和工业生产进入了一个快速发展 的新时代，以先进制造技术中的机器人、航天工业中的太阳帆板和机械臂等为 代表的多刚体系统在实际工程的各个领域得到了广泛的应用i l 】【4 n 9 i 。对于这些 拓扑结构比较复杂的多刚体系统，用传统的经典刚体动力学已经无法解决其复 杂的动力学问题因此必须代之以一种全新的方法。多刚体动力学正是在这种 背景下诞生的。多体系统的动力学是综合了刚体力学、分析力学、计算力学、 材料力学、生物力学等学科的成就，在航天、航空、机构学、机械制造、仿生 假肢等机械工程领域经过多年应用实践逐步发展起来的一门古老而又高新的技 术学科。北大西洋公约组织在1 9 9 3 年召开的高级技术研讨会把多体系统界定为 刚性和柔性机械系统。实际上一般机械系统都是由若干物体以不同形式组合而 成的，所以多体系统是一般机械系统的高度概括1 4 4 】。 柔性多体系统动力学研究由可变形物体以及刚体所组成的系统在经历大范 围空间运动是的动力学行为。这门学科有时又称为多柔体系统动力学，这是相 对于人们所熟悉的多刚体动力学而言的，两者合起来称为多体系统动力学。与 一般的理论和应用学科一样，柔性多体系统动力学的研究者进行着创造性的工 作，在2 0 年中有了很大进展，取得了许多研究成果。主要有如下几个方面：建 模的基本原理和方法；对所建立的数学模型进行有效验证，如数值仿真以及实 物模型试验的检验等；建立可以完成计算策略与数值算法的软、硬件系统。 柔性多体系统动力学的研究受到极大关注，它已成为目前理论和应用力学 最活跃的领域之一。由于它在和航天、航空、机械、车辆、机器人等工程领域 第一章绪论 有着极其密切的关系，因而有重要的实用价值。正因如此，众多的多体动力学 学者把研究的重点由多刚体系统转至多柔体系统1 3 ”。 很多物理系统可描述为多体系统。某些系统如链、机器人和生物动力学模 型等，从外貌可知显然是多体系统。而另一些系统如结构框架和运载工具等， 虽然不能明显地看作多体系统，但采用多体系统模型也是很有效的【l “。链条和 缆索即为其中的例子。本文将该类系统和柔性多体系统归为非刚性多体系统。 目前，已开始这一领域的研究，但还又待于进一步的探索。由于这些机械系统 广泛得到应用，非刚性多体系统的研究也必将得到推动。 1 1 2 多体系统分析中的可视化仿真 随着计算机技术的迅猛发展和在工程设计领域广泛应用多体系统的分析方 法也正逐步的向自动化和可视化方向发展。在传统的多体系统分析中，对计算 机的应用主要体现在算法的设计和计算程式的编写上，一种算法的好坏或正确 与否要经过很长的时间去验证。同时，数值计算中产生的大量数据与缺乏有效 的分析理解这些数据手段的矛盾也日益尖锐研究者面临着分析和解释大规模 数据的艰巨任务，客观上人们不得不去寻求一种帮助处理数据的手段p 6 】【3 ”。科 学计算的可视化方法应运而生。 1 9 8 7 年2 月美国自然科学基金会将从事各个领域科学计算的专家和来自计 算机图形学、图像处理的专家聚集在一起，召开了有关科学计算可视化的首次 会议，这次会议导致了可视化技术的诞生1 5 1 1 。科学计算可视化一经提出，很快 就在计算机图形学的基础上发展为一门新兴的学科方向，它融合了计算机图形 技术、工作站技术、计算机辅助设计和交互技术、网络技术、视频技术1 3 7 。短 短几年时间，科学计算可视化已经成功的运用到天体研究、地震预测、航空航 天、机械系统等诸多领域。 可视化仿真( v s ) 的实质是采用图形或图像方式对仿真计算过程的跟踪、驾驭 和结果的后处理，同时实现仿真软件界面的可视化。这里、仿真是指利用数学 模型对系统在计算机上进行实验研究的过程。当进彳亍实验比较昂贵、危险或者 难于实现时，计算机仿真技术就成了十分重要，甚至是必不可少的工具。 随着计算机软、硬件技术的飞速发展，计算机仿真技术也出现了从数值仿 2 箜二童缝迨 真向可视化仿真发展的趋向。美国国家科学基金会( n s f ) 在1 9 8 6 年召开的一次 有关科学计算与图形学和图像处理的讨论会上提出将图形学与成像技术应用于 科学计算，产生一个全新技术领域一科学计算可视化( v i s e ) 。这一将科学计算( 仿 真计算) 中产生的数据及结果转换为图形或图像的技术成为可视化仿真的核心 技术之一。另一项核心技术就是基于面向对象技术的图形用户界面( o u i ) 设计， 也即可视界面设计。这两项技术构成了可视化仿真中“可视化”的涵义。 由于可视化技术本身是在一定的计算机硬件平台和操作系统软件平台上开 发的，可视化系统的实现具有明显的平台依赖性；加之我国的可视化仿真应用 起步较晚，可视化系统水平基本上还停留在各个单位为辅助项目设计而临时开 发这一原始阶段上，难以完成国外软件的多种功能，实现上以后处理型居多， 图形工具多是三维非真实处理。但是，随着计算机技术的不断发展和提高，以 及基于信息世界对信息理解工具的必然要求，我们可以预见，我国的可视化仿 真技术必然会在科学技术的各个领域获得全方位的引用。反过来，可视化技术 的发展和应用，也必将在很大程度上起到推动我国科技全面发展的作用【4 舶。 借助计算机技术，把数值模拟中涉及和产生的数字信息转变为直观的、易 于理解的以图形或图像形式表示的静态或动态的画面，以加快和加深研究人员 对被模拟对象的认识【口们。这种高度信息化的结果表达方式较之以往的数字结 果表达方式的进步是显而易见的。利用计算机建立多体系统几何模型，把对分 析多体系统运动过程得到的数据直接在计算机屏幕上进行演示。它仅需要通过 修改软件上视景图像有关参数的设置，就可以模拟现实世界中物理参数的改变， 所以十分灵活、方便。另外，使用计算机辅助多体系统的设计可以节省大量的 人力和财力，在计算机上便可进行实际问题的分析和试验，争取了大量的时间。 多体系统的科学计算可视化，是多体系统理论发展史上的一次飞跃。 1 1 3 多体系统可视化仿真软件研究现状 目前一些有特色的专用软件进入实用阶段，而且出现了较为成熟的多体系 统动力学分析通用软件系统。 一、国际发展状况 国际上尤其是欧美国家在计算机硬件和软件系统的开发上始终位于世界前 箜= 童缝堡 设备可靠性的评估上面。现在m a d y m o 软件有2 d 和3 d 版本，分别适用于对 模型的2 d 和3 d 仿真。m a d y m o 将多体系统的体和有限元技术有机的结合在 一起，形成了一个统一的仿真程序，在进行仿真分析期间，选择的模型可以是 包含两者，也可以只包含其中一种类型。多体系统主要用于模型整体响应，有 限元用于模拟结构大变形。 l s s ( d e s i g n o f l a r g es p a c es t r u c t u r e s ) l s s 不仅拥有传统可靠的数学模型，而且开发出多体系统动力学和控制的通 用程序和带有精确有效的数学法则的柔性多体系统动力学程序。用一系列非线 性、非自动且联系的微分方程描述，方程需要考虑时间和力。1 。该项研究仍在继 续，期待更通用的刚性和柔性多体系统动力学软件的出现。 二、国内发展状况 国内一些大学的力学系和机械系于十多年前就开始跟踪国际前沿的研究， 在基础理论和方法上取得了许多重要的进展和成果。但较之国外，在应用和软 件的产业化方面还存在很大的差距，而这正是我国当前所急需的t 4 4 1 。有鉴于此， 国内的一些大学在这方面作了许多有益的尝试和研究。 m d a s ( m u l t i b o d yd y n a m i ca n a l y s i ss y s i e m ) 是天津大学机电教研室开发的 多刚体系统动力学可视化仿真软件【3 1 1 。它通过h u s t o n 提出的低序体阵列来描述 和建立多刚体的数学模型，三维几何模型采用a u t o d e s k 公司的产品m e c h a n i c a l d e s k t o p ( m d t ) 建立；应用计算机图形学和数字图像处理相关知识，将多体系统 动力学计算结果进行了可视化仿真，采用a v i 数字视频压缩技术对运动过程进 行了可视化处理，作为一种数值仿真方法，它较好地描述了多刚体动力学计算 结果。 m d a si i 是在m d a s 基础上开发的多体系统可视化仿真软件。应用采用工 业标准图形库o p e n g l 编程实现三维实体造型将多剐、柔体系统动力学计算结 果进行了可视化仿真。 1 2 本文的研究目标及研究内容 进入2 0 世纪7 0 年代，由于对高速、轻质机器人，车辆等复杂机械系统的 高性能、高精度设计要求，特别是由于航天器飞行稳定性、姿态控制、交会对 第一章绪论 接的需求和失败的教训，使得多体系统动力学由多刚体系统拓展至多柔体系统。 多体系统中的柔性问题首先在航天器的动力学分析中被提出来，且在机械领域 广泛存在。柔性机械臂为柔性多体系统，其振动时产生弹性变形，该变形尺寸 相对于其本身尺寸相差悬殊，若要显示出来对仿真提出很高要求。 由于一些可视为多体系统的机械系统广泛得到应用，这一领域的研究开始 起步，但还又待于进一步的探索。存在大变形的缆索模型是其中典型代表，目 前它的可视化仿真较少有人研究。本文将这种多体系统和柔性多体系统称为非 刚性多体系统。多体系统的可视化仿真研究现在正处在发展阶段，目前多刚体 系统的仿真技术已较为成熟，而非刚性多体系统的仿真问题急待解决，成为新 的研究方向。 非刚性多体系统动力学可视化仿真的研究的任务是从传统意义上将多体系 统理论、科学计算的可视化，以及计算机仿真联系起来，构建一个集成化的软 件环境，并在此基础上，实现非刚性体的可视化仿真。 本文简要介绍了多体系统理论发展概况，国内外多体系统可视化仿真研究 现状，以及多体系统理论。利用经典的多体系统理论与计算机仿真技术和计算 机图形学的最新成果相结合的理论和方法，用分析的结果开发实用的非刚性多 体系统三维实体参数化造型和可视化仿真系统软件。该软件将具有以下的功能： 1 三维参数化实体造型方法具有通用性，能对目标多体进行参数化造型，并能 满足绝大多数目标多体系统动力学仿真过程中的真实感要求。 2 能对目标多体进行参数化造型，以便进行参数可变模型的多体系统分析，满 足用户对模型几何参数可变的要求 3 具有强大的数据处理能力，可以将多体系统动力学计算结果通过适当变换转 化为仿真驱动数据及曲线输出。 4 能在三维空间中以场景的方式仿真模拟目标多体系统的动态响应过程。 5 可视化仿真过程的可调整性，即可以实时的调整仿真动画的比例、视角、速 度，从而使用户可以选择适宜的观察角度和速度 应用单摆和绳索模型对所开发的软件系统进行了整体测试，仿真结果很好 地反映了动力学计算的结果，从而验证了该系统的有效性、准确性和先进性。 在研究过程中，分析解决了仿真设计中的具体问题，并且结合非刚性多体 系统的两个典型实例柔性机械臂和缆索一锚模型进行分析，解决了微小弹性变 形及大变形的可视化问题。 箜三童墨笠鲞堑薹型堡迨 2 1 引言 第二章多体系统基础理论 多体系统理论包括运动学和动力学两个方面。运动学研究和分析运动，而 不考虑产生运动的原因，它是研究动力学的基础。多体系统动力学是近十年来 发展起来的力学新分支，在航天、机械和生物力学领域得到了应用，取得的效 果十分显著。对于机构、机器人、车辆和航天器等机械或机电结合的系统，以 及人体模型，均可归结为多体系统的抽象模型。本文研究的出发点即是把一个 复杂的机械系统视为多体系统，而对这样一个典型的多体系统进行动力学分析 计算、运动学仿真建模、三维实体几何建模、实时动画显示等可视化仿真的前 后处理工作。 2 2 多体系统运动学基本理论 2 2 1 多体系统拓扑结构描述 多体系统形式多种多样，特别是当系统体数较多时，多体系统的结构千变 万化，对多体系统拓扑结构进行描述，是多体系统理论的基本问题。也是形成 图2 - l 一般多体系统 第二章多体系统基础理论 通用性理论方法的关键问题。合理的拓扑结构可以简化计算过程，达到事半功 倍的作用。迄今对拓扑结构的描述比较成功和应用广泛的方法主要有两种：一 是6 0 年代术罗伯森( r o b e r s o n ) 和维滕堡( w i t t e n b u r g ) 首先提出的关联矩阵和通 路矩阵的描述方法；二是7 0 年代后期由休斯敦( h u s t o n ) 发现并成功应用的较低 序号体联阵列的描述方法“。在本文中我们使用的是由休斯敦创立的较低序号 体联阵列( 简称低序体阵列) 的方法，这种方法是多体系统数值计算应用计算 机强大功能的基础。 考察图2 1 所示的一般多体系统，休斯敦提出的低序体阵列的标定原则是 这样的：任选一个物体i ( 或旦) 。然后沿远离e 的方向，依增长数列标定每个 物体的序号，从系统的一个分支到另一个分支。直到全部物体标定完毕。图2 - i 所示是一个开环多体系统的低序体阵列的标定结果，对于闭环多体系统，可以 将其转化为带有特定约束的开环多体系统来处理，故以下仅以开环多体系统为 例说明低序体阵列的建立方法。 对于两个相邻典型体来说，我们把较低序号的物体称为低序体，而把较高 序号的物体称为高序体。考察图2 - 1 所示的多体系统i 除旦外，每个物体都有 一个相邻的低序体，令r 为待研究系统所在的参考系，把r 看作且的低序体， 则月的序号应为0 。将各典型体的相邻低序体的序号按典型体的顺序排成一列， 用( ) 纠阵列表示，同时还要定义r ( o ) = o “0 ) ，这样对于图2 一l 所示的典型多 体系统。其各体的各阶低序体可排成表2 一l 所示阵列。 表2 - 1 较低序号物体阵列列表 r ( k ) 1234567891 0 f 仅) 0123316771l o 2 “) o0l22ol6601 f 亿) 000ll0o1lo0 似) o 00 0oo00 oo0 系统中每个物体的低序体序号，用三以) 表示，表示求低序体的算子，膏表 示该物体的序号，且补充定义r ( 七) = 七，三( 0 ) = 0 ，它满足： 第二章多体系统基础理论 r 伍) = 三( r 。1 ) )0 ，七为正整数) ( 2 1 ) 低序体阵列l ( k 1 描述了开环多体系统的拓扑结构特点，同时，它又具有明 显的数字特征： 在l l 任) 这行中未列出的体序号即为系统中的末端体，如 b 。，b ，嘎，岛，蜀，体 在0 ( 七) 中重复出现序号的即为分支体，如骂，马，b ，体 在f 传) 中仅出现一次的即为中间体，如b ：，风，马。体 对任一典型体风，其低序体阵列必唯一 也就是说：多体系统的任何一个物体，都可以通过其低序体阵列追溯到它 与惯性参考系的关系。这是十分重要的，因为在对系统进行动画仿真处理时， 需要各个体相对于惯性参考系的运动学参数，例如，坐标位置、方位角度、速 度、角速度等。 2 2 2 多体系统运动学特征量的描述 多体系统运动学的特征量包括描述系统中各体的位置和姿态、速度和角速 度、加速度和角加速度三大类。在用于描述这些特征量的数学工具中，最基本 的是矢量( 描述移动) 和矩阵( 描述转动) ，其次有方位角( 如欧拉角、广义欧 拉角) 、伪坐标、四元数、旋量、齐次坐标等“”。这些数学工具都有其各自的特 点，在本质上又有内在的联系。 方位角具有直观的物理意义。用方位角描述多体系统运动学的特征量时， 方位角的导数可写为： 】西= 一s p 慨q 一吡& ) q = 曲2 巴+ 毡& ( 2 - 2 ) i 户= 她巴一0 3 ：疋j c f 式中，a 、y 为系统中相邻体的方位角，0 3 。( k = 1 ，2 ，3 ) 为相邻体间 的相对角速度分量，咒= s i n c t ，s 口= s i n p ，巳= c o s c t ，c p = c o s f l 。根据式由 数值积分可求得相应方位角。但是，当c p = 0 ，即口= 9 0 。时，方程会出现奇点。 这种奇点会妨碍有效的求解多体系统基本动力学方程的数值解。采用归一化的 9 第二章多体系统基础理论 四元数即欧拉参数法可以避免奇点的出现。 欧拉参数定义如下： 髀瑚 虽然欧拉参数有4 个，但是独立的只有3 个，因为存在下面的等式 q2 + 占2 2 + + 6 4 2 = 1 所以系统中各体的角速度可用欧拉参数表示为： l c 0 2 国3 0 ) 4- z 陡3 1 f 。 岛- 占1 忡 苫l - 推 岛占4 j k l 占4 ：2 陋槲 lj ( 2 - 3 ) ( 2 - 4 ) ( 2 5 ) 其中的系数矩阵陋】是正交矩阵，吐( 七= 1 ，2 ，3 ) 为相邻体间的相对角速度分 量，而。= 0 ，因此又有： 毫= 圭“国。+ 岛国：一屯q ) 岛2 享1 ( - 毛叻+ 丘出z + 毛国，)( ：。) 南= ；g 。白i 一般蝎鸭) m w 铲三( - 蚋吨国：一毛鸭) 由式( 2 - 6 ) 可知，采用欧拉参数描述体间相对方位不会出现奇点问题，对2 - 6 式 进行数值积分即可求得相应的欧拉参数。 2 2 3 多体系统中约束问题的处理 多体系统理论的休斯敦方法将约束总结为下述三种：接点约束、构造约束、 外部约束。接点约束取决于接点的物理性质，限制了相邻物体间的相对运动。 当多体系统中具有闭环或当两个非相邻物体间有特定的相对运动时，即出现构 1 0 箜三童墨生丕堡基趟垄鲨 造约束。对于一个或多个物体具有系统以外的某个参考系中的特定运动的情况， 可以用外部约束进行描述。构造约束和外部约束是对系统运动限制的更为普遍 的形式。这三种约束形式基本上析覆盖了实际机械多体系统的约束形式。 2 2 4 多体系统中典型体的几何描述 多体系统运动学研究分析多体系统中各个典型体的运动，而不需要考虑产 生运动的原因，它是研究动力学的基础。对于多体系统中典型体的运动过程分 析是在多体系统理论的指导下，采用矩阵变换的方法，得到典型体的空间状态。 休斯敦在对多体系统运动学进行分析时，针对运动学参量采用了相对参量 体系( 相对位移、相对速度和相对加速度) 。这样对于多体系统中任何一个典型 体毋的局部运动学特性的描述都是基于与其相邻的唯一低序体而言的。这也暗 示，要想知道典型体的运动学特性就必须知道该典型体的低序体相关运动学特 性。 图2 - 2 多体系统典型相邻体的局部坐标系 考察如图2 - 2 所示的典型相邻体岛和毋，c ，= 三( 七) ) 。r j 为低序体岛的局 部坐标系，r 。为低序b k 的局部坐标系。现以玎“表示”，得： 二扩( n j ，n 。，舅+ g ，丢。：乒6 ；。；”# 。( 其中f - 1 ，2 ，3 ) ( 2 - 7 ) 即有如下矩阵表示： _ n i l 呻 f l j 2 _ 以，3 0 -【，j 9 磐：誉 ，：，。l 1，j 即呦哪屯屯矗屯曲 ，l = 卧阱b 幢 p ， 也即仁。) ：仁，或# 。 ：s r # ， ( 2 1 0 ) 同理，对于如图2 1 所示的典型多体系统，由式( 2 - 7 ) 可以建立相邻体间 的局部坐标系关系，沿着多体系统某一分支由惯性参考系斤出发一直递推到该 分支的末端体，即有如下的关系成立： s 0 1 = s o l s 0 2 = s o l s l2 s 0 3 = s 0 l s i 2 s 2 3 s 0 4 = s o l s i 2 s 2 3 s 3 4 s 0 5 = s o i s l 2 s 2 3 s 3 5 s 0 6 = s o i s l 6 s 0 7 = s 0 1 s 1 6 s 6 7 s 0 8 = s 0 1 s 1 6 s 6 7 s 7 8 s 0 9 ；s 0 1 s 1 6 s 6 7 s 7 9 s 0 1 0 = s 0 1 s l l o s 0 1 1 = s o i s i l o s i 0 1 1 ( 2 - 1 1 ) 式( 2 - 1 1 ) 描述出了图2 - 1 所示的多体系统各典型体相对于惯性参考系的变 换矩阵。在求解过程中只要知道其相邻低序体相对于惯性参考系的变换矩阵和 其相对于该低序体的变换矩阵，就可以得到最终的结果，可见低序体阵列在多 体系统运动学求解中起到了决定的作用。 2 3 多体系统动力学基本理论 考察如图2 - 1 所示的多体系统，具有以广义坐标y ，( ，= 1 ，n ) 表征的 个自 由度。描述本系统的凯恩动力学方程为： 第二章多体系统基础理论 只+ 巧= 0( ，= l 2 。疗) 广义惯性力f + 可表示为 巧+ = 一口加戈p 一 式中c 。和啊为 和 = v ? 忉+ 。枷 ( 2 - 1 2 、 ( 2 - 1 3 ) ( 2 - 1 4 ) h | = m 一珏m v 咖x p + i t m n c n 融m 询j 甲n xp 十er 册i 嘶p 幽p 泸虹n x px qc 0 1 5 ) 定义z 为z 口e 一啊，再用广义速率m ( ，= 1 ，n ) 取代毫表征系统运动，则运动 力学方程可写为 0 l * y 。= z ( 2 1 6 ) 注意到，四个阵列、出y 哆。与广义速率m 一起决定了系统的运动 学特性。四个阵列是基本运动力学方程的“组合模块”，它们在多体动力学分析 中起了中心作用。下面将对多体系统的运动学理论及其数值解的解算步骤进行 论述。因为如果多体系统中包含3 个以上的物体，不用数值解法，几乎无法求 出其基本方程的解。首先推导多体系统的四个基本运动学阵列 ( - o l d m 、a pv k l m 、a 。 令为屏系统的一个典型体，最在惯性系r 中的角速度可表示为 = ( o m m n n m ，式中，o ) l ：l r a ( 七= 1 ，；，= 1 ，塌m = l ，2 ，为偏角速度阵列 的分量；y l 为广义速率；为固定在惯性参考系r 中的正交单位向量；n 为系 统中的物体数，门为整个多体系统的自由度数，对于无约束的多体系统”= 6 n 。 在多体系统运动学中通常如下定义广义速率： = ： ( ，= 3 ( k 一1 ) + 埘；1 s ，3 ) ( 2 1 7 ) s h ( f = 3 ( 七一1 ) + m + 3 n ；3 n + i i 6 ) 有了上述广义速度的定义，就可以推导出多体系统运动学的四个基本阵列 第二章多体系统基础理论 和角速度、角加速度、质心速度、质心加速度等运动学参数。 典型体眈的角速度： = o j “m y n ( 2 一1 8 ) 其中偏角速度为 i o 口j i m = s o j w 1 0 ( z = 1 ，2 ，3 ( k - 1 ) ；j = 三( 七) ) 1 = 3 k - 2 , 3 k - 1 , 3 k ；肌= - ，z ，s ；p = t 一3 ( k - o ( z - ，) ( 3 k + l ，6 n ) 典型体b k 的角加速度为 夏t = 言t = ( 。m ；一) ：= f o ) k l r a ，j + 毒m ”n 。 上式中偏角速度分量的导数二。又可以表示为 m f2 0 ) 脚 ( 1 = 1 2 ，3 ( k 一1 ) ；- ，= 上( 后) ) 面”r - 2 , ：3 k _ 3 - l ；卜3 k ；m p l 1 ) 2 3 ；) l= 一j l 七一lj 0 ( 3 k + l ，s 6 n ) 典型体b 。的质心速度为 而其偏速度分量v 。为 v k l n ，2 v i2 v y ，1 l o r e ( 2 2 0 ) ( 2 - 2 1 ) ( 2 z 2 ) 一3 ) 。( 3 n + l l 6 n ) 。o ) 。s o s , ( q 。+ ) ( 1 l 3 k ) + e t h m o ) m s o k h 。 ( s = s ，k = k ，v = c ( t ) ，r ( 七) = 1 ) 0 ( 3 k + l ，3 n ) f 2 2 3 1 1 4 簋三童垒垡丕堡基型堡鲨 典型体玩的质心加速度a k 为 珏( 厉m ) v d i n y ，+ 诋m k 而其偏速度分量的导数 v m = 驰 s o s s o s “射) l ，。( g 。+ ) l ；0lj + ie t h m s o s h 一( q 。+ 屯) l j _ olj + 毫 e ，。s 。s 童。f t 0lj f 、 + 。 胁s o k h 。r h + 抽s o k h 一j o i l j 一3 n ) m ( 2 - 2 4 ) 0 = s ，k = 足，v = r ( 足) ，s = o “( 茁) ) f ( k ) = ，1 兰，3 k ，s ”= _ y p ， p = 3 0 , 一1 、+ h + 3 n ( 3 i + 1s ，s3 n ) ( 3 + 1 l 6 n ) ( 2 - 2 5 ) 以上是多体系统运动学的四个基本阵列，由凯恩方程( 2 1 6 ) 求解儿，就可 以得到一组能直接使用微分方程数值解法的方程。即 y p 2 a * 。石( ，p51 ，6 ) ( 2 2 6 ) 再引入4 n 个欧拉参数方程： ；t ：= ：( 8 。盎t 一十。，会t ：。：盎t ，)1 ：= j 1 8 4 ( 0 1 十t 3 2 + 2 。3 j ；* ：= = l ；( s 。，盒t - + e 。& ：+ e 。盎t ，) ；t ，= 丢( 。? 盎t t 一。品t z + 8 。盎t ，) ：t a = = j ( 。盎t t 。：三t z 。，盎t ， 1 5 ( 2 - 2 7 ) 第二章多体系统基础理论 将式( 2 1 7 ) 、( 2 2 6 ) 、( 2 2 7 ) 组合起来，由此可以求出( 3 n + 6 n + 4 n ) 共1 3 个未知运动变量，包括3 个位移变量s 。似= 1 , 2 ，n ；n = 1 , 2 ，3 ) 和6 n 个广义速率 y t ( f = 1 , 2 ，6 ) 及4 个欧拉参数伍= 1 2 ，n ；i = 1 , 2 ，3 ，4 ) 。以上多体系统运动 学方程组是基于无约束的凯恩方程组，但一般多体系统的运动学分析中都会碰 到某些特定的运动约束，这些运动约束通常可表达为如下的形式 b v y p = g 。0 = 1 , 2 ，m ；p = 1 2 ，n ；m 竹) ( 2 - 2 8 ) 写成矩阵的形式为： b y = g ( 2 - 2 9 ) 冥中b 为运动约束矩阵，而由此运动约束引起的广义约束力为 f2 8 7 九 r 2 3 0 ) 由此可得到带有运动学约束的非完整多体系统的动力学方程 a y = f + b 7 五 (2-3 设矩阵f 为运动约束矩阵b 的正交补矩阵，则有 b c = 喊c 7 8 7 = 0 ( 2 - 3 2 ) 式( 2 3 1 ) 两边同乘以正交补矩阵f 的转置矩阵，可得 cray=c7厂(2-33) 该方程消去了运动约束的影响，对式( 2 2 9 ) 取导并联立式( 2 3 3 ) 即可得运动约 束多体系统的完整方程组 阱= 嘲 。， 由上式所述方程组可以解出n 个广义速率j ，。0 = 1 , 2 ，卅) ，并进而求出带有 运动约束的非完整多体系统的各运动力学及运动学相关参数m 】。 2 4 柔性多体系统理论 第二章多体系统基础理论 一、系统结构和运动学描述 设典型体尻离散为m 个有限段，令甜表示其中的第j 个有限段。将描述系 统的广义坐标分为两组( 1 = 1 ，6 肋和r ：( k = l ，肿五= 1 ，6 。，z ，表示体 间相对方位角( 1 = 1 ，3 肿和体间相对位移( 1 = 3 a 4 l ，6 朋，广义速率y ，是囊的 线性组合；冲：表示段间相对方位角( 旯= 1 ，3 哟和段间相对位移 ( 五= 3 p 1 ，6 i ) ，段间相对( 角) 位移满足小应变假设。 即 y 三， o i 1 图2 - 3 典型段的几何描述 s 与毋之间的坐标变换记作刷西。 一+ 喜琵奢睾i q 删一片 j 玎i r - i ) + h e 咖+ 麟s 纛= 艿。鲁。吲” 。咖 式中m ：a 小骺：雾 ( 2 3 5 ) 若毋与惯性参考系的坐标变换为s o l ( , 那么s 与惯性参考系的坐标变换s o s 。为 s o s t = s o k - s k s ( 2 - 3 6 ) 第二章多体系统基础理论 f 即- 螂：。= s o k 。+ s o k 叩i r - i ) + h g 咖+ f = l ij s o s ；。= s o k 。+ s o k w 叩3 k ( r - 1 ) + h 8 曲。+ s o k 。g 疗；r - i ) + h e 舯。+ f = 1r = 1 ， = e r s m g o m y ，s o k 。+ e 一珊n y t s o k ，碡r - 1 ) + h 口咖 + s o x o ；r - i ) + h e g h n + ，n ，g , h ，r , s = 1 ，2 ，3 ) ( 2 3 7 ) r = l 醋相对于屏的角速度霹为 ( 21 ，6 f ，m ，h2 l ，2 ，3 ) ( 2 - 3 8 ) 式中，疗。为毋上的右旋正交单位矢量组。 让降a 眷盼l 一巾舻l ，2 ， 若鼠的绝对角速度为喀，根据角速度加法定理，酵的绝对角速度西? 为 0 3 面k + 0 5 ； = ( 国m ，y ，j r 。k 。k - - 。( 卢1 ，3 ，；l ，2 ，3 ) 式中，疗。为惯性坐标系上右旋单位矢量组。 虢= s o k , g d g 如( m ，g _ l 2 ，3 ) 对( 2 4 0 ) 式求导，得到s ? 的绝对角加速度丘? 为 ( 2 - 4 1 ) 厦? = 西加，f + r o 材m j ) f + 西乞旌+ 脚k 加玑, , k - - ( 2 4 2 ) 式中面缸为。k ，对时间的导数，通过式( 2 4 1 ) ，参照( 2 3 7 ) 求得。 影的质心位置矢量茸，可由下式确定 芦? = ( 玩+ 瓦) + ( 彳，+ 矛，) + 芦 r = or = l ( 2 - 4 3 ) 式中，靠】= 1 ，丘”= 矿：牙，和s v 分别为体b 。在其低序体上的参考点位置 矢量和体间相对位移矢量；乏和矛，分别为s ? 段在其低序段坐标上的参考点位置 矢量和段间相对位移矢量；芦，为掣的质心在本段坐标系上的位置矢量。将上式 用各矢量的标分量表示，形式如下 芦= y s o u 。( q 。+ s 。) + 姗= 1 ( f 。+ 盯。) + 剃k p 。】亓。 r = or = l r 2 4 4 ) 式中l = l ( 订，皿俨1 ，2 ，3 对式( 2 4 4 ) 求导，得到霹质心的绝对速度计 群= 1 - ，l d t n y l + v 旌 瓦。 式中v k l m 和v ，k h 参照式( 2 4 0 ) 可求得。 对式( 2 4 5 ) 求导，得到研质心的绝对加速度露? 厅= 【t 。y ，+ v k l r a j ) ，+ t k 碱+ v k 旌】魂。 式中t 。和t 乙分别为v 。和吨对时间的导数，参照式( 2 4 0 ) 可求得。 设系统的广义速率瓦及导数丘为： f y f l = ， a = 1 ，6 t ，l k - i 。1 旌三= 6 n + 6 m + 兄= 1 ，6 m l 。i f 奶l = ， 兄= 1 ，6 1 7i k - i 1 l 2 1 旌l = 6 n + 6 _ v + 五五= 1 ，6 m l q 系统的偏速度( 偏角速度) 阵列及其导数为 ， f v 三= ， ，= 1 ，, 6 n 吃2 v 乞三：6 n + k - 1 6 m + 五 ：1 ，- 一，6 1 9 ( 2 - 4 5 ) ( 2 - 4 7 ) f 2 4 8 ) ( 2 - 4 9 ) 箜三童墨焦丕堕基型堡垫 壶乞= 曲m 西k l = l，= 1 ，6 n k l l = 6 n + 6 n ，+ a 五= 1 ，6 j v 2 1 ( 2 - 5 0 ) l = z 1 = 1 ，一，6 n k - 1 三= 6 n + 6 n j + 五a = 1 , - - , 6 n ，2 1 ( 2 - 5 1 ) 三= f ，= 1 ，6 n t l 三= 6 n + 6 n + 五五= 1 , - , 6 n j 2 1 ( 2 - 5 2 ) 将式( 2 4 0 ) 、( 2 4 2 ) 、( 2 4 5 ) 和( 2 4 6 ) 分别写作如下形式 西? = q 乙虼舜。 虚j = 嘧乞虼+ n f j j _ i i 。 露= 吃，兄 西? = 吃虼+ 呓。丘玩。 ( 2 - 5 3 ) ( 2 - 5 4 ) f 2 - 5 5 ) ( 2 - 5 6 ) 式中q 。、如。、。和吮。可以通过式( 2 4 9 ) 至( 2 5 2 ) 得到。 二、有限段方法的动力学方程 根据c a n e 方程，e + e = 0 以及广义惯性力e + 的定义，可以得到如下形式 的系统动力学方程 a l py e 2f t h ( l ，p ：1 ，n ) ( 2 - 5 7 ) 式中 a ”= m r k r 儿卅k 嘧+ 二。q 乞q 知