（概率论与数理统计专业论文）一类带随机脉冲的微分方程的定性分析.pdf

摘要 脉冲微分系统有着十分广泛的应用本文研究的是带随机脉冲的泛函微分方程和带 随机脉冲的随机微分方程通过运用l i a p u n o v 第二方法和r a z u m i k h i n 条件，我们给出 带随机脉冲的泛函微分方程的零解满足p 阶稳定性时的充分条件；然后在均方收敛意义 下，通过皮尔逊迭代和随机分析的一些方法，得出在适当条件下，带随机脉冲的随机微分 方程的解是存在且唯一的；最后从理论方面证明一类带随机脉冲的随机微分方程解的欧 拉算法是收敛的，且阶数至少是x 2 阶 关键词：随机脉冲；泛函微分方程； 存在性；唯性；欧拉格式；收敛性； p 阶稳定性：l i a p u n o v 函数；随机微分方程； 对初值的连续依赖性 a b s t r a c t i m p u l s i v ed i f f e r e n t i a ls y s t e m sh a v eg r e a t l ye x t e n s i v ea p p l i c a t i o n i nt h i st h e s i s ，b y l i a p u n o vd i r e c tm e t h o dc o u p l e dw i t hr a z u m i k h i nt e c h n i q u e ，s o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n s f o rp m o m e n ts t a b i l i t yo ft h ez e r os o l u t i o nt of u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hr a n d o m i m p u l s e sa r ep r e s e n t e d t h e n ，t h ee x i s t e n c ea n du n i q u e n e s si nm e a l l8 q u a r eo fs o l u t i o n s t os t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hr a n d o mi m p u l s e sa l ec o n s i d e r e du s i n gp e a r s o n 8 i t e r a t i o na n ds o m es t o c h a s t i ca n a l y s i s a tl a s t t h ee u l e ts c h e m ef o rad 螂o fs t o c h a s t i c d i f f e r e n t i a le q u a t i o n sw i t hr a n d o mi m p u l s e si so f f e r e d ，a n dt h e ni t sc o n t i n u o u sd e p e n - d e n c eo l li n i t i a lv a l u ea n dc o n v e r g e n c ea r es t u d i e d i ti sp r o v e dt h a tt h ee t i l e r8 c h e m ei s c o n v e r g e n tw i t ha t1 e a s t1 2o r d e r k e y w o r d s , r a n d o mi m p u l s e ，f u n c t i o n a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，p - m o m e a ts t a b i l - i t y , l i a p u n o v sf u n c t i o n ，s t o c h a s t i cd i f f e r e n t i a le q u a t i o n s ，e x i s t e n c e ，u n i q u e n e s s ， e u l e rs c h e m e ，c o n v e r g e n c e ，c o n t i n u o u sd e p e n d e n c eo ni n i t i a lv a l u e n 学位论文独创性声明 本人所呈交的学位论文是我在导师的指导下进行的研究工作及取得的研究成果据 我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写过的研 究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并表示谢 意 作者签名且红咻蛆l 学位论文使用授权声明 本人完全了解华东师范大学有关保留，使用学位论文的规定，学校有权保留学位论文 并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非赢 利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有关 数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后适 用本规定 学位做储始l 斌秀导师始刹怠 日期： d 7 名 日期 。) 南 第一章引言 华东师范大学硕士论文 第一章引言 脉冲微分系统是一类在很多方面都有着广泛应用的数学模型，如研究人口增长模型 问题，带时滞的动力系统、金融衍生产品定价问题和最优停时问题等稳定性理论具有特 别重要的意义对于稳定性的研究已经不止是理论工作者的事情，在实际工作中如自动 控制，生物，通讯等方面的研究者也十分关注稳定性研究解的存在性唯性以及数值算 法在理论研究和实际应用中也具有特别重要的意义，因为首先对于一个给定的系统一定 要有解，否则后续的研究就没有意义，其次解的数值算法具有特别重要的实际意义 1 1脉冲泛函微分方程历史与现状 1 7 5 0 年e u l e r 提出了一个古典的几何学问题。是否存在一个曲线，它经过平移，旋 转运动后与其渐近线重合? 即设曲线的参数向量方程为r ( 8 ) ，8 表示弧长，其曲半径r ( s ) 满足方程t r ( s ) d r 五( s 一) = r ( c 1 + r ( 8 ) ) 其中c 1 为常数1 7 7 1 年，c o n d o r c e t 讨论了这个问题，导出了已知的，历史上第一个泛 函微分方程此后一个多世纪中，许多著名的数学家，如b e r n o u l l i ，l a p l a c e ，p o i s s o n 以 及b a b b a g e 等都提出过类似的方程，但是鉴于其复杂性，一直未能对它们作出有效研究， 而作为数学的一桩历史悬案搁置下来从上世纪至今，自然科学以及社会科学中的许多 学科都提出了大量时滞动力学系统如自然科学中的核物理学，电路销售系统，生态系 统；社会科学方面主要是各种经济现象时滞的描述，如商业销售系统，财富分配理论，运 输调度问题等，各种工程系统中的时滞现象更为普遍，特别是动力系统时滞动力学系统 数量庞大，形式较为完整，其系统理论构成了迄今为止的泛函微分方程的主体【l ，2 】 近些年，对脉冲泛函微分方程的理论性研究非常活跃，并且取得了大量的成果目前 被研究的脉冲泛函微分方程的脉冲主要是指脉冲是固定时刻的和脉冲是按某一函数变化 的即： ( 1 ) 脉冲是固定时刻的泛函微分方程t iz 似) = f ( t ，轨) t t o ，t & z ( & ) = 厶( ，z ( ) ) vk = 1 ，2 ， ( 1 1 1 ) 【x t o = 妒 其中x t 定义为tx t ( s ) = x ( t + s ) 对所有的s 【一r ，o 】r 0 为常数，：r r c 一 舻，珥= h + o o ) r 是常数记cic ( - r ，o 】，酽) 表示从【一r ，0 到舻上的连续泛 函映射的全体i k ：rx 舻一形；t o l 已 0 为常数，：皿xp c 舻，辟= h + o o ) r 是常数记p c ；p g ( 【一r ，0 1 ，舻) 表示从【_ r ，0 】到舒上的具有 有限第一类间断点的分段右连续函数全体i s ：r j p ，舻；t o l ( z ) 6 ( z ) 矗( z ) + o 。( 七 + o 。) ；t o r r ，l p p c 对于系统( l 1 1 ) ，y a h 和z h a o 做了很多研究，如在【3 1 中当，( t ，轨) = 一鼽( t ) z 一 = 1 毫( t ) ) 且矗慨，z ( 筇) ) = ( 1 + k 净( 钉) 时，他们研究了其解的振动性和稳定性；在【4 】中 又研究了其振动解的渐近性，并得到了零解渐近稳定的充分条件对于系统( 1 1 2 ) ，申 建华于1 9 9 6 年研究了p c 空间的泛函微分方程解的存在性和唯一性，然后作为应用研究 了( 1 1 2 ) 的局部解的存在性和唯性f 5 】 关于脉冲泛函微分方程稳定性的研究，也取得了很多成果，如a n o k h i n 6 1 中研究了 对于有界时滞，有界系数的线性泛函微分方程零解的指数稳定的充分条件其他的关于 固定脉冲泛函微分方程的稳定性文献还有【7 - 1 2 】 对于带随机脉冲的泛函微分系统t i ( t ) = ，( t ，x t ) ，靠一1 t 矗， z ( 甜) = 厶( 靠，z ( 靠) ) ，v k ， ( 1 1 3 ) i z = 妒， 其中 靠) ，k = 1 ，2 ，为一随机序列，满足叩6 ，t = 1 ，2 ，为一随机序列， 兀 ，i = 1 ，2 ，为一给定数列，满足c rs7 1 t 2 瓦 且i 里兀2 + o o 这里u r 为常数 及有随机脉冲时刻影响的线性随机微分系统， f d x ( t ) 。( 瓯。) 【z ( 如) = a ( t ) x ( t ) d t + b ( t ) x ( t ) d b t ，& t + 1 ， = g ( 亿) z ( 靠+ 1 ) ，v k ， 1 2 2 = x 0 他们利用随机分析与l i a p u n o v 函数相结合的方法，给出了( 1 2 1 ) 的p 阶矩稳定性 和p 阶矩有界性的充分条件同时利用随机分析与解的表示形式相结合，给出了其零解 均方指数稳定的充分条件 第一章引言华东师范大学硕士论文4 1 3本文主要研究内容 目前为止，经典脉冲主要是两种形式t 固定的脉冲时刻和按某一函数变化的脉冲时 刻，这两种脉冲都是确定性脉冲但是，实际问题中的脉冲发生的时刻往往不是确定性 的，而是受到许多随机事件和因素的影响，因此实际的脉冲时刻应该是一列随机变量目 前我们所能见到的脉冲均是由m a r k o v 链驱动的，我们在本文中研究的脉冲是由一般随 机序列驱动，这也是创新之处 令 珏) 是一列定义在d ki ( 0 ，d k ) 上的随机序列，其中0 t o ，t 靠， z ( & ) = k ( 净( ) d e k = 1 ，2 ，一，( 1 3 ，2 ) iz ( t o ) = z ， 其中，： 0 ，卅舻一舻口：【0 ，卅舻_ 舻。”b k ：d k _ 彤”w t 是一个m 维的 维纳过程， 靠 和 靠) 见前述规定，z ( 筇) ；。要巴。z ( ) z 是个随机变量，咒表示由 ( ) ，8 0 生成的口一代数，且t k ，氏和z 是相互独立的 本文共分四章，第一章主要介绍了脉冲微分方程系统的的研究历史与现状；第二章 主要是通过l i a p u n o v 方法研究系统( 1 3 1 ) 的p 阶稳定性，并给出了p 阶稳定性的充分 第一章引言华东师范大学硕士论文 5 条件；第三章主要通过p e a r s o n 方法研究系统( 1 3 2 ) 的解的存在性唯一性，并给出充分 条件，以及在此条件下解的表达式；第四章研究系统( 1 3 2 ) 的一个特例的数值解法，主 要讨论e u l e r 格式下的收敛性以及收敛速度，得出收敛速度是至少1 2 阶的 第二章带随机脉冲的泛函微分方程的p 阶矩稳定性 2 1模型介绍 带随机脉冲的泛函微分方程形式如下： i 一( t ) = y ( t ，吼) ，o e ，t t o ，t 靠， z ( 靠) = 厶( 仉，z ( 靠) ) ， e ，vk = 1 ，2 ，( 2 1 1 ) 【z t o = 妒， ( 2 1 1 ) 相应的没有脉冲影响的泛函微分方程形式如下， 一( 。) = ，( 厶规) ， 。t o ， ( 2 1 2 )、 一， l 觑o 2 仍 其中，：辟c 舻，且满足对vt 毋，都有y ( t ，0 ) = o ；对于给定的某些r 0 ， 记c 兰g ( 【一n o 】，形) 表示从【一r ，o 】到册上的连续泛函映射的全体；规表示一个泛函， 定义如下，对所有的s 一r 0 】，觑( s ) = z + s ) ； 缸) 与 仉 的定义见引言，z ( 露) = 0 恐。z ( ) ；厶：d k 舻一舻且满足对vk = 1 ，2 ，都有疋( ，o ) = o ；t o b ， c 。在下文的论述中，我们假定( 2 1 1 ) 的解是存在且唯一的，因为目前为止我们都是在 这一假设下进行研究的，同时我们假定( 2 1 1 ) 的所有解是右连续的并且左极限存在 记e ( 珥x 舻，日) 为定义在毋x 舻上非负且存在连续偏导数的函数的全体则 对v v e ( 研舻，珥) ，定义算子业d t 如下t 尘篝业：v d t , x ( t ) ) + 毗删m ，缸) ， 其懈，z ) = 必o t ，咖) = ( 掣，掣，掣) 定义2 1 1 记i i 妒l l c = s u pl i 妒( e ) l l ，”l l 表示j p 中的欧几里德范数设r 0 ， 畦【一r ，叫 若x ( t ) 是方程( 2 1 1 ) 的一个解且p 0 ，则方程( 2 1 1 ) 的零解称为 ( i ) p 阶矩稳定的，若对ve 0 ，j6 = j ( t o ，g ) 0 ，使得：当ir 妒l l g t o ，e i l x ( t ) 1 1 9 0 ，v 0 ，jt = t ( t o ，) 0 ，使得：当i i 妒l l g t o + t ，e i i x ( t ) 1 1 9 t k l r 及当方程( 2 1 2 ) 中t o = t k 一1 时，若| 口1 ，v g ( r rx 舻，肌) 以及a ：一1 ，t k ) 一r ，满足； ( i ) v t 【t k 一1 ，t k ) ，若当v 日【一r ，o 】，q v ( t ，。( t ) ) 2 v ( t + 0 ，x ( t4 - 口) ) 时，都有 塑等业a ( t ) y ( t 删) ； 出 一。、7 7 ”“ ( i i ) a ( t ) 一筹，v t 陋，t 】； ( i i i ) v q v ( t k l ，z ( t k i ) ) s u pv ( t k 一1 + 8 ，p ( 口) ) 且y ( t 一1 ，z ( t 女一1 ) ) 2v ( t k l ，妒( 0 ) ) ， 则 v ( t ，g ( t ) ) v ( t ，。( 址1 ) ) e 疋一t1 ( 。，vt t k - l , t k l 证明。考虑下面常微分方程： 譬= a ( t ) 铷( ) + j ，v t i c - 1 t k 】， ( 2 钏 iy 。( t k 1 ) = v ( t k 乩z ( t 一1 ) ) ， 、 则对v n 1 ，2 ，) 及v t 【t k “) ，成立下式， v ( t ，x c t ) ) 蜘( t ) ( 2 2 2 ) 事实上，如果( 2 2 2 ) 不成立，则根据条件( i i i ) 中v ( t k 一1 ，妒( o ) ) sv ( t k - l z ( t k i ) ) = y 。( t k 1 ) 可以得出存在t x “如) ，使得 v ( t ，z ( t ) ) u o ( t ) ，v “一l t t x ，( 2 2 3 ) v ( t l ，z ( t 1 ) ) = ( t 1 ) ，( 2 2 4 ) v ( t ，$ ( t ) ) ( ) ，v t x t a ( t 1 ) y ( t 1 ，z ( t 1 ) ) ， j 圣兰蔓j 堑堕垫盟塑堡堕塑堕堑嗵睑堑篷塞丝 釜壅竖堇盔堂塑堡塞 8 其中d + v ( t ，z ( ) ) 表示v ( t ，。( t ) ) 在t l 处的右导数 另一方面，由( 2 2 1 ) 可以解得，vt t k - 1 , “) ， 姒t ) 州o 一址1 ) ) q 川幽+ ：。加) 如如 ( 2 2 力 又因为a ( t ) 一簪，对y t e 一l ，t k ) 及vs i - r , o j 有 g j 乏。a , x ( z ) d z 匆g 乜i t l 一+ 。s 。i ，t 1 谁胁白 = gj ：= 。e 船“挑e e l + 地咖 口正= 8e 一畚m “。1 ( = ) 如勿 2 正t 。l + ，s e ，t ”3 出句 且v8 【- r , o ， q e j a l l 。) 妇：口e 正各 ( v j d l e j ；：0 。) 由 g e 一寿州e 删t l + 1 e ( ，) 由 2 娃! ：曲。 对v 8 r o 】，若l 十s k + 1 ，则根据( 2 2 3 ) ( 2 ，2 4 ) 和( 2 2 7 ) 有 。舭。i 燃燃溢麓嚣蓦z 麓 2 矿( “一l ，z ( “1 ) ) e j 程i3 ( f ) 却+ 三f “如e c ，+ ( 。) 出小， v ( h + 8 ，z ( t l + s ) ) 若t l + s 0 若存在常数c 1 ，c 2 0 ，g 1 以及一个函数v g ( 毋舻，珥) ，满足： ( i ) c l 忙p v ( t ，z ) c 2 l l x l l ； ( i i ) 存在一个函数a ：珥r ，使得当q v ( t ，z ( t ) ) v ( t + 8 ，x ( t + s ) ) ，v8 【一r ，o l 时 掣a ( 力y ( z ( 旬) ，n - e ，t 缸，k = 1 ，2 ，； ( i i i ) 存在函数虮：d k 一凰，使得：v z 彤， y ( & ，厶( n ，z ) ) s 【1 + 蚺( 亿) 】y ( 筇，。) ，a e ，k = 1 ，2 ，i ( i v ) j ，。a + ( s ) d s + o o ，其中a + ( s ) = m z a ( s ) ，o ) ； ( v ) e ( 勺) 1 + o o ， 则方程( 2 1 1 ) 的零解是p 阶矩一致稳定的 证明：令天( ) = m a ( t ) ，一喾) ，则 天( ) a ( ) ，v t 。矸 对v t o 毋，根据条件( i i ) 当q v ( t ，z ( ) ) v ( t + s ，x ( t + s ) ) ，v8 【一r ，0 时， 掣天( ) y o ，z ( t ) ) 。e ，靠，= 1 ，2 ， ( 2 2 8 ) 且 s u pv ( t o + 口，p ( t o + 目) ) sc 2s u pi i 妒( t o + e ) f 1 9 = c 2 i j 妒i | 吕， 日【一，0 】o e 一r ，o l 故对v t t o ，f 1 ) ，根据引理2 2 i ，有 v ( t ，z ( t ) ) s u py ( 如+ 目，妒( t o + o ) ) e “o ( 。) 幽 ，爿篇pt ，如) 如 ( 2 2 9 ) c 2 i i 妒i l c 。，。又( 。) 如 、 箜三主堂堕垫昼造堕垦里垡坌查堡塑旦坠丝整塞丝堡壅堑堇盔堂塑主堡壅1 0 下面，我们证明 i - - 1 y ( t ，茁( t ) ) c 2 i l 妒l | 5 e j 乏支由n 【l + 屿( 勺) 】。e ，v t 陷一l ，6 ) ，t = 1 ，2 ， ( 2 2 1 0 ) i = l o 这里，我们规定( ) = 1 j = 1 事实上，当t = 1 时，从( 2 2 9 ) 知道( 2 2 1 0 ) 是正确的 假设当i s 时，( 2 2 1 0 ) 是正确的，即对v t 际一1 ，i = 1 ，2 ， t 一1 v ( t , z p ) ) 也i i p l i 暑e j 专3 扣幽1 - i 1 + “。( 勺) 】口e ， j = l 则，对v f t o ，) ， 一l v ( t ，z ( t ) ) sc 2 i i 妒l t g j ：，1 出i i i x + “( 勺) 】口e ( 2 2 1 1 ) j = l 进一步，从( i i i ) 可以得到 y ( 靠，z ( 靠) ) = y ( 缸，厶( 仉，z ( 钉) ) ) 1f + “氇( 住) 1 y ( ，。( ) ) ( 2 2 1 2 ) c 2 t l l ，o ll g e y ：o5 ( j ) 由矗【1 + c 叱( 勺) 】n e 对v0 卜r o ) ，若靠+ 目t o ，则根据( 2 2 8 ) ，( 2 2 1 1 ) 和( 2 2 1 2 ) 有 、酉c 2 | i 妒i i 占e 席j ( s ) 如矗【1 + “( 勺) 】2 、盾( 1 + u k ( ) ) e j 器一( s ) 出y ( 靠+ 口，z ( 巩+ 口) ) 每e j 器口一簪幽y ( 靠+ p ，z ( o k + 口) ) y ( 靠+ 口，z ( 靠+ p ) ) ； 若缸+ 口 t o ，则靠 o 使得6 蔷，其中p = e 口。p ( s ) 幽+ 兀o o 【1 + ( 勺) 】注意 到e p ”妒( s 灿= e p ”妒( s ，所以从( 2 2 1 3 ) 可以得到：对vt t o ，当l i 妒旧j 时，e l l x ( t ) l l p 0 和函 数v c ( 研x p ，耳) ，满足。 ( i ) c x l l x l l 一v ( t ，z ) sc 2 l l x l l p ； ( i i ) 存在一个函数a ：冗，一只，使得 掣s 入( t ) y ( t ，z ( t ) ) ，。e ，t 靠，k = 1 ，2 ， 且 f + o o m a x 0 ，a ( s ) ) d s 0 ，g2 1 以及一个函数v g ( 墨xr ，l ，r + ) ，满足； ( i ) c , l l x l l 9 v ( t ，z ) c t l l x l l ，； ( i i ) 存在一个函数a ：皿r ，使得当q v ( t ，z ( t ) ) y 0 + 8 ，z o + s ) ) ，vs f r ，0 】 时 盟掣a ( t ) y ( 哪) ) ，n e ，t 靠，k ：1 h 2 ； ( i i i ) 存在函数咄：d k 一尼 ，使得，vz 舻， y ( 靠，厶( ，z ) ) 1 + u k ( ) i y ( ，z ) ，a e ，k = 1 ，2 ，； ( i v ) j ，”p ( s ) d s 0 ，令6 ( e ) 是定理2 2 1 证明中的6 记6 1 = d ( 1 ) ，则对vt o 毋，若 i 川1 5 t o ，有e i i z ( t ) j 1 9 0 ，使得 厂a6-(s)dsmojto岫糍1 u l ， ( 2 2 1 5 ) 一轨妄等；， ( 2 2 1 5 ) 口j 其中尬= 订【1 + e ( 屿( 勺) ) 】根据( 2 2 1 3 ) ，对v t t o ，我们有 即( t ) l l ”。c 。ae e 店5 灿【l + e ( 坼( 删， 。1 j = l 因此 e l l z ( t o + t ) 1 1 9s 剐妒慨船”6 肯 1 + e ( 岣( 勺) ) 】 = 署m i i 妒i i 占e 坛( 3 ) 幽 = 署i l 妒| i 占e 名匹+ ( 3 ) 一- ( 。) 冲 署m i i l p i i 5 e 聪。p 扣) d 。e - j 翟+ t i t - 扣) 幽 署m e m 0 6 i e - 偿”幽 t o + t ，e i i x ( t ) l l 0 若存在常数c l c 4 0 和函 数v e ( 露舻，珥) ，满足t ( i ) c m l l x l l p v ( t ，z ) c 2 l l x l l p ； ( i i ) 存在一个函数a ：b r ，使得 掣s a ( ) y ( ，z ( t ) ) ，。e ，t 靠，七= l ，2 ， 笪三主堂堕垫壁生堕垄重垡坌查堡堕旦睑壁整塞丝竺奎塑垄盔堂塑圭堡塞1 4 且 z + ”m a x 。，a ( s ) d s 0 ，q 1 以及一个函数v e ( 珥舻，日) ，满足t ( i ) c - 恻p s v ( t ，z ) q 忪l l p ； ( i i ) 存在个函数a ：珥_ + 矗，使得t 当q v ( t ，( t ) ) v ( t + s ，。o + 8 ) ) ，vs 卜n 0 】 时 坐姆业a ( t ) y ( t ，。( ) ) ，础，t 靠，：1 ) i 2 一 ( i i i ) 存在函数峨：d k - 见p ，使得tvz 形， 矿( 靠，厶( “，z ) ) s 1 + “( 靠) 】y ( 酊，) ，口e ，= 1 ，2 ，； ( i v ) r 。矿( s ) d s 0 ，jt ( 1 ) 0 且满足tvt r r ， f t + t ( 1 ) ， a 一( s ) d s 2z j t 其中i 一( s ) = 一m i n i ( s ) ，o 且 ( s ) = m a x a ( s ) ，一簪) ； ( 旧e h ( 勺) 】 0 若存在常数c i ，囟 0 和函 数v c ( 冗，j 只r + ) ，满足t ， ( i ) c 1 1 1 。1 1 p 墨v ( t ，功c 2 l i z l l ，； ( i i ) 存在个函数a ：毋- 矗，使得 掣s ( t ) y ( t ，z ( 的) ，。e ，t # f k ，七= l ，2 ， 并且 fm a x 0 ，a ( 8 ) ) d s 0 ，| t q ) 0 满足 r t + t ( o m a x o ，- a ( s ) d s j ，v t 毋； ( i i i ) 存在函数。k ：d i 一j h ，使得；v 霉r r ， v ( f k ，厶( 靠，z ) ) 【1 + “慵( 讯) 】y ( ，z ) ，a e ，k = 1 ，2 ， 且 e b ( 巧) 】 + o 。， 则方程( 2 2 1 4 ) 的零解是p 阶矩一致渐近稳定的 2 3应用举例 本节将给出一个例子说明定理2 2 1 的应用， 珏) 与 & ) 如引言中所述 考虑下述带随机脉冲的泛函微分方程，当t t o 且t 靠，k = 1 ，2 ，时， 潆 = a 1 ( 砷，z l ( t + s ) d s + b l z l ( t ) 遥( t ) ( t ) ， = a 2 ( t ) e 。2 ( 抖s ) 如十6 2 2 2 ( t ) z ；( ) z 黼1 ) = a 3 0 ) ，如 + s ) d s + z 1 0 一r ) z 2 0 r ) x 4 ( t ) ， = a 4 ( t ) ，茁4 0 + s ) d s z l 一r ) x u ( t r ) x a ( t ) ， 当t = 靠，= 1 ，2 ，时 隧 = c l ( 七) z 1 ( ) ， 勒黔。：绺( 2 删 = c 3 ( 七) z 3 【毒i ) ， = c 4 ( 自) q z 4 ( 靠) ， 笙三兰堂堕垫壁鲨盟鋈里塑坌查堡堕旦睑丝整塞丝竺奎竖堇盔堂塑圭垒塞1 6 其中，凡：r 蜀，i = 1 ，2 ，3 ，4 ；c i ( 七) 是k 的函数， = 1 ，2 ，3 ，4 ；t o 辟；6 = t o + n 且& = 靠一l + ，vk = 2 ，3 ，若下列条件满足。 ( i ) 6 l + b 2 0 ； ( i i ) r 。a ( t ) a t + o o ，其中a ( t ) = m a x a 。( z ) ：i = 1 ，2 ，3 ，4 ，； ( i i i ) 【c a c k ) e ( ) 一1 l + o o ，其中c ( ) = m a x | q ( ) | ：i = 1 ，2 ，3 ，4 ) ， 此时方程( 2 3 1 ) 和( 2 3 2 ) 的零解是均方一致稳定的 证明。取v ( t ，z ) = + 。；+ 镌+ z i ，则当t t o 且t & ，k = 1 ，2 ，时 ! 等生= 2 x l ( ) 蹦t ) 仁z l o4 - s ) d s + b l z 。( t ) z l ( t ) 硪t ) 】 + 2 x 2 ( t ) a 2 ( t ) ，x 2 ( t + s ) d s + 6 2 2 ( t ) 。i ( t ) z ；( t ) 】 + 2 。3 ( t ) a 3 ( t ) j x 3 ( t + s ) d s + z 1 一r ) x 2 ( t r ) x 4 ( t ) 】 + 2 缸( t ) a 4 ( t ) j x 4 ( t + s ) d s 一。l 一r ) x 2 ( t r ) $ 3 ( t ) 】 2 a l ( ) p - r x l p 4 - 8 ) x l ( t ) d s + 2 a 2 ( t ) 伫；t 2 0 十8 ) 。2 ( t ) d s + 2 , k 3 ( t ) ，z 3 0 + s ) x 3 ( t ) d s4 - 2 a 4 ( t ) 仁x 4 ( t 4 - s ) x 4 ( t ) d s + ( 6 - + 5 2 ) 砰( ) z ! ( t ) ( t ) 2 a ( t ) j 二 y o + s ，z ( t + s ) ) + v ( t ，。( ) ) 】d 8 当vs f r 0 1 时，q v ( t ，( t ) ) v ( t + s ，z ( t + s ) ) ，则 d v j ( t 广, x ) 2 r q + 1 ) a ( t ) v ( t ，z ( t ) ) 出 一” ” 以及 f + ”2 r ( g + 1 ) a ) d r ：2 r ( q + 1 ) 厂+ 。a ( t ) d t o ) 生成的口一代数，且，兀。和2 是相互独立的 f | i l 表示r m 中的某个范数，l i i | m 是j p 。”中的某个与| | | | 相容的范数，即 v a j 。”和x r m ，有i i a x l i i i a i i m j i x l l ；i i i i 胪( p ) = e i | - 悒e x 表示随机 变量x 的数学期望 3 , 2存在性和唯一性证明 为行文简洁起见，记砚= z c t ，u ) 定理3 2 1取t 0 ，方程( 3 1 1 ) 中的，和j 都是可测函数，且满足t ( i ) 存在常数c ，使得tl i fc t ，z ) | | + l l 口( t ，z ) i i c ( 1 + i i x l l ) ； ( i i ) 存在常数d ，使得一对v $ ，y 酽及t 【0 ，引， l i f c t ，z ) 一f ( t ，剪) l + l i a ( f ，z ) 一口( t ，y ) lj d i i x y l l ； ( i i i ) 蛩0 县1e 1 l b j ( r j ) l l 玉 ) o or m l l b , ( 训” 0 和日 0 ，使得 女 r 紫i ie 如( 驯纠 0 ，使得e 吼g 根据z ，勺及，乙相互独立，我们有； f ，直。愀勺) 屹o 癌。( 坤，z ) 一m ，毋叫) ) d s 叼 = e ( ，鲫( 训眇层o if ：- ，( m ，) 一，( s ，z ) 幽旧 e ，豪。愀勺) 盼i i 盛，( 盯( s ，z ) 一一( s ，毋_ 1 ) ) ) 幽旧 = f ( ，囊，愀乃) i l l ) e ( | | 癌，( 巾，毋) 一，( 卵p ) ) 如旧 存在性证明如下一 定义： z 0 ) = ( 以( 瓦) z ) 堍酬( ) ， 其中n ：l 岛( n ) = b k ( t k ) b k l ( 一1 ) 6 l n ) ，“( ) 是示性函数，即 础，= r 嚣e a , 类似地，我们定义 毋+ 1 ) ，n = 1 ，2 ，) 如下， z p = 薹 鱼6 t ( 矗) 。+ 妻煎( 勺) 盛。，( s ，毋) d s + ，( s ，z ) d s 产弩1 ”1 ，4 ” ( 3 2 1 ) + 塞 幻( 勺) 苎，一( s ，z 于) 出+ j 乏一扣，毋) 幽。 比。+ 。) o ) 、 由于聩= l l l a x n ：靠s t ，n - v a z 护+ ”，札= 0 ，1 ，2 ，) 可以如下表示， m z l 。= 1 1 如( 兀) 爿 t = l = ，n 8 撕) 计薹重讹) 篡。，( s ，。) d s + 。t i ( 8 ，z ) d s = 钆( t ) 。+ 圣i l 岛( 勺) 髦! 。，( s ，。妒+ 。 ，z 护 + 蓦f i 讹) 霞= ，) d w s + f ；, , a ( s , x ) 地 删 第三章带随机脉冲的随机微分方程解的存在性和唯一性华东师范大学硕士论文1 9 干艮琚上还透代9 - - t 西，戴1 | j 口j 肼1 双期r 计鼻- e 忪，一$ w = e i l 耋鱼6 j ( 勺) j 芑。( ，( s ，毋) 一，( s ，$ ，- 1 ) ) 如+ 层。( ，( s ，z ) 一，( s ，z 于- 1 ) ) d s + 薹重以( 勺) 盛，( 巾，$ ) 一巾，。- 1 ) ) 如s + 后。( 巾，毋) 一巾，z 。1 ) ) 如，1 1 2 = k 萎= o e | | 查鱼( 勺) j 芑