（机械电子工程专业论文）2prsprru并联机器人运动学分析.pdf

浙江理工大学硕士学位论文 摘要 本文在国家自然科学基金资助下，主要研究2 p r s p r r u 并联机器人的运动 学分析，主要工作和研究成果可概括为如下几个方面： 运用螺旋理论分析2 p r s p r l w 并联机器人的自由度特性，确定动平台的两 条连续转轴。研究2 p r s p r r u 并联机器人的伴随运动，证明了该机构无伴随运 动。建立该机构位置正，逆解模型，推导出位置正逆解的解析表达式，进而求得 该机构的雅可比矩阵。通过对雅可比矩阵的分析，确定机构的逆解奇异、正解奇 异和混合奇异。 根据2 p r s p r r u 并联机器人特点，对可达工作空间进行分析。工作空间分 析主要考虑机构的奇异性、球铰约束所带来的影响，并采用数值搜索法结合 m a t l a b 软件对其工作空间进行绘制，从图谱上对发生奇异的特殊点进行描述； 当驱动移动副与定平台之间的夹角为不同角度时候，讨论了工作空间随不同角度 的变化情况。 2 i 冲s p 并联机器人性能指标主要从灵巧性、承载力、刚度三个方面进 行分析，给出并联机器人在工作空间范围内的性能变化图谱。当驱动移动副与定 平台之间的夹角为不同角度时，讨论了各个性能指标随不同角度的变化情况，为 今后2 r p s p i 汛u 并联机器人的结构设计和优化设计奠定良好的理论基础。 关键词：并联机器人；运动学；奇异位形；工作空间；性能指标； 浙江理工大学硕士学位论文 k e n i m a t i c sa n a l v s i so f2 p r s p r r uk e m m a t l c sa n a i v s l s0 iz r k 3 一r k k u p a r a l l e lm e c h a n i s m a b s t r a c t s u p p o r t e db yn a t i o n a ln a t u i 嘲s c i e n c ef o u n d a t i o n ，1 1 1 i sp a p e rf o c u s e so nt h e k i n 锄a t i c so f2 一p r s p r r up a r a l l e lm e c h a i l i s m 1 1 1 em a i nw 0 r ka i l dr e s e a r c hr e s u l t s a r ea sf o l l o w s m o b i l i t yp r o p e 哪o ft l l e2 - p r s p r r up a r a l l e lm e c h a n i s mi sa 1 1 a l y z e db yu s i n g s c r e wt h e o r ya n dt h et w of i l l i t er o t a t i o n a la x e sa r ei d e n t i f i e d p 撇s i t i cm o t i o no fm e 2 一p r s - p i m up a r a l l e lm e c h a n i s mi ss t u d i e d ni sp r o v e dt h a tm i sp a r a l l e lm e c h a n i s m h a sn op a r a s i t i cm o t i o n t h ef o n 莉a n di n v e r s ep o s i t i o nk i n e m a t i c sm o d e l sa r ee s 切b l i s l l e d 锄d 恤 a 1 1 a l ”i c a ls o l u t i o ni so b t a i n e d j a c o b i a l lo ft l l e2 一p r s p r r up a r a l l e lm e c h a l l i s mi s o b 诅i n e d i n v c r s e ，f o n a r da l l dc o m b i n e ds i n 刚撕t i e sa r ei d e n t i 矗e db a s e do nt 1 1 e a i l a l y s i so ft h ej a c o b i a l l a c c o r d i n gt oc h a r a c t 耐s t i c so f2 - p r s - p r r up a r a l l e lm e c h 砌s m ，t h er e a c h a b l e 、r k s p a c ei sa r i a l y z e d c o n s i d e r i n gt h ee a e c tb r o u 曲t 舫mt h esj o i n t sc o n s n a i n t s a n dm e c h a n i s ms i n g u l a t i e s ，t h ew o r k s p a c ei sd i s c r i b e dt l l l o u 曲an 啪e r i c a ls e a r c h m e t h o dc o m b i n e dw i t hm a t l a bs o f h v a r e ；f r o mt h ea t l a s ，t l l es p e c i a js i n g u l a r p o i n t sa r ed e s 翻b e d ；t l l ec h a n g eo fw 0 如p a c ei sr e f l e c t e dw h e n 血ea 1 1 9 l eb e m e e n t h ep j o i n ta i l db a s e dp l a t f o 肋v a r i e d t l l ep e r f o 咖a u l c eo f2 - p r s p r r up a f a l l e lm e c h a n i s mi sm a i n j yd i s c u s s e df r o m d e x t e r i t y ，l o a d ，s t i m l e s s d u r i n gt l l e 绷o ft i l ew o r k s p a c e ，m ea t l a so fe v 叫 p e r f o n i l a n c ei s 百v e n w h e nt h ea n g l eb e t 、) 佗e nm epj o i n ta n db a s e dp l a t f o 肌v a r i e d ， t h ec h a n g eo fd i 虢r e mp e b m a i l c ei n d i c a t o r sa r cd i s c u s s e d ，w i l i c hi sh e l p m l t o o p t i m i z a t i o na n dd e s i g nf o ro f2 - p r s p 砌i up a r a l l e lm e c h a n i s m k e y w o r d s ：p a r a l l e lm a n i p u l a t o r ；k i n e m a t i c s ；s i n g u l a rc o 而g u r a t i o n ；w b r k s p a c e ； p e 墒m l a n c ei n d e x ： u 浙江理工大学硕士学位论文 1 1 课题研究的目的和意义 第一章绪论 并联机器人可定义为定平台( 基座) 和动平台( 末端执行器) 之间由两条或 者两条以上的运动链组成的封闭环拓扑结构。一般来说，并联机器人的支链数目 严格的与动平台的自由度数目相同，这样的并联机器人称之为“完全对称的并联 机器人 。根据定义，在完全对称的机器人设计中，每条支链对应一个驱动装置， 而且被驱动的往往是移动副或者转动副。 从6 0 年代s t e 坝“1 】将6 自由度并联机器人应用于飞行模拟器以后，并联机 器人的研究与发展已经深入到比较广泛的领域。例如，用于飞行器的对接机构， 工业发展中受人青睐的并联机床，医学方面的微动手术并联机构，以及在比较恶 劣条件下工作的焊接机构，除此之外，在军事以及一些精密测量应用的场合，并 联机器人也体现了很高的应用价值。虽然并联机器人的研究取得了飞速的发展， 但是由于其理论研究( 包括正解、奇异性、工作空间等) 的复杂性，仍然有很多 方面需要对并联机器人作进一步研究。 相比串联机器人，并联机器人具有以下优点： 并联机构刚度大、承载能力强。 与串联机构相比，并联机构逆解的求解相对容易。 运动惯性小。 运动精度很高，这对于对产品的加工更有实际意义。 并联机器人往往采用对称结构，各向同性和刚度比较好。 当然它也有相对应的缺点： 与串联机构相比，它的正解相对复杂。 与串联机构相比，工作空间范围相对狭窄。 由于奇异结构的影响，它的灵巧性，承载力等会受到一定的限制。 在某些类并联机构中，伴随运动是并联机器人的一个缺点，在某些工作 场合下会产生很大的危害作用。 六自由度并联机器人的研究在求解，控制等很多方面比较复杂，但是对于少 自由度例如三自由度并联机器人由于其结构简单，求解及控制也相对简便，是极 浙江理工大学硕士学位论文 具发展前途的一类机器人，【p p 】s 类并联机器人便为此类机构的典型代表，它包 括3 p r s 、3 r r s 、3 p p s 、3 r p s 等4 类，其动平台具有一个移动、两个转动自 由度。目前此类机构在运动模拟器、微操作机器人、坐标测量机等领域应用非常 广泛。伴随运动是【p p 】s 类并联机器人的一个重要特性，这种运动如果处理不当， 会产生一定的危害作用甚至会破坏设备；然而【p p 】s 类并联机器人中的一些构型 却具有无伴随运动的优点，这使得它在实际应用中有很广泛的意义。 本课题对【p p 】s 类并联机器人中无伴随运动的三自由度2 p r s p i 泳u 并联机 器人，从自由度、正反解、工作空间、奇异性以及灵巧性、机构结构参数等方面 做了比较详细的分析，为后续的动力学分析和优化设计提供参考。 1 2 目前国内外的研究现状 1 2 1 国内外并联机器人研究现状 并联机器人最早提出是在1 9 2 8 年，j 锄e se g 晰衄e t t 【2 】申请了一个娱乐 设备专利，并联机构开始得到了人们的关注；随后出现了轮胎检测装置【3 j ( 图 1 1 ) ，s t e w a i t 平台【1 】( 图1 2 ) ，飞行模拟器( 图1 3 ) ，6 x 型高速立式加工 中心( 图1 4 ) ，并联机床( 图1 5 ) ，这些都是工业界所取得的巨大成就。此 外在医疗领域，德国柏林洪堡大学医学院手术实验室采用d e l t a j 机器人进行 脑部手术。航天方面，飞船的对接器就是个六自由度并联机构。其他方面， 如可视化触觉装置，力与力矩传感器，虚拟轴并联机床【4 以1 】等等都采用了并 联机构框架。1 9 7 8 年，h u m 【1 2 】应用空间机构自由度计算公式和螺旋理论系统 分析了并联机器人的运动链结构，给出了多种具有2 6 个自由度的并联机构 的基本形式。 2 浙江理工大学硕士学位论文 图1 1轮胎检测装置 图1 2 s t e w a r d 平台 图1 3 黑鹰飞行模拟器图1 4m i 阳m a t 加工中心图1 5h e x a g 眦e 并联机床 在国内，最早从事并联机器人研究有黄真1 4 1 、梁崇高【1 5 】、汪劲松等很 多学者，对并联机器人的机构学及控制等进行了广泛而深入的研究，对国内并联 机器人的发展有深远的意义。国内高校方面，比较有代表性有哈尔滨工业大学研 制的并联机床样机b j 3 0 ，如图1 6 ，它在1 9 9 9 年的中国国际机床展c i m t 9 9 上成功进行了叶轮加工的展示。此外，清华大学和天津大学合作研制出大型镗铣 类并联机床原型样机w m t l y ，如图1 7 ，燕山大学也新推出了五自由度并联机 床如图1 8 。 图1 6 哈工大b j 一3 0图1 7 清华v a m t l y图1 8 燕大并联机床 浙江理工大学硕士学位论文 i p p 】s 类并联机构1 7 】相比六自由度并联机构，结构简单，求解和控制也相对 容易，它包括3 p r s 、3 一i m s 、3 p p s ，3 r p s 等四类，其中r 代表一个转动副， p 代表一个移动副，s 代表一个球铰，u 代表一个万向角。它们结构分别如图1 9 、 图1 9 3 p r s 机构图1 1 0 3 r r s 机构 图1 1 1 3 - p p s 机构图1 1 2 3 - r p s 机构 1 1 0 、1 1 1 、1 1 2 所示。这类机构一般由移动副或者转动副做为驱动来带动整个 机构的运行。其中3 p r s 类机构已经被应用在各种并联机床上【1 8 1 引，而3 r p s 机构在望远镜聚焦等上【2 0 】、坐标测量仪【2 1 】、飞行模拟器【2 2 】应用广泛；3 r r s 类 机构，3 一p p s 类机构【z 3 】也有了不同程度的应用。此外此类机构中某些构型具有无 伴随运动的优点，这使得它在实际应用中具有很高的价值。 1 2 2 【p p 】s 类并联机器人研究现状 p p 】s 类并联机器人是其领域的研究热点，l e e 【2 4 1 、黄真【2 5 1 、刘新军等从不 同的方面对【p p 】s 类并联机器人的运动性质行了研究，减少了此类机构运动学分 析的难度。 相比串联机器人，并联机器人反解比较简单，而正解比较困难。一般来说并 联机器人正解方法主要有数值解法2 6 1 和封闭法【2 7 2 引。数值解法包括拟牛顿法， 三维搜索法等，这种方法有时依赖于对初值的选取。为此，宋伟刚等【2 9 l 提出一 4 浙江理工大学硕士学位论文 种能解决方程组多解并且计算精度较高的混合算法，推导了2 自由度3 i 冲s 并联 机器人位置反解的求解过程，通过实例验证了算法的正确性和所能达到的精度。 而张彦斐等【3 川从机器人运动单元和机器人末端运动特征出发，给出了一类3 i 冲s 并联机器人的构型正解新方法。w a l d r o n 等【3 l 】分析了一种用于复合操作系统 中的3 1 心s 微操作器的位置正解问题，并得出最终方程是一个2 4 次方的多项 式。 奇异性是【p p s 类并联机器人研究中的重要部分，j o 幽以及t s a i 【3 2 1 研究了 3 p r s 并联机器人个别奇异点的约束情况，但是并没给出奇异的判别式以及具体 的分布规律；d h e e m a i l 等【3 3 】给出了3 r p s 并联机器人奇异性一定范围内的分布 规律，但是研究方法复杂，所以奇异的分布并不完整。黄真及李艳文f 蚓用运动 学方法建立了十分简单的三次代数奇异方程，得到了3 r p s 并联机器人普遍条 件下的奇异判别式，从而给出了其完整的奇异分布规律。 工作空间方面，l i g m i n g 【3 5 】研究了3 p r s 并联机器人( 如图1 1 3 ) 指出 了可达工作空间的变化趋势，并且给出了当驱动副与定平台的夹角为不同的角度 时，工作空间随夹角的变化情况。g e 觚yp o n d 【3 6 】用任意一组结构参数分别对 3 p r s 、3 r p s 、嘣c e p t 并联机器人的工作空间进行比较，得出三类机构的最大 工作空间取决于机构雅可比条件数和奇异点所引起的限制。 图1 1 33 p r s 并联机构 性能指标一。直 p p 】s 类并联机器人研究的重点，j o s h i 等【3 7 】分析和比较了 t r i c e p t 机器人和3 一u p u 机器人刚度模型。l i g m i n g 【3 5 】，从可操作度和条件数 浙江理工大学硕士学位论文 两方面研究了3 p r s 并联机器人的灵巧性以及灵巧性随着轨道倾角的变化关系， 从而得出性能最好时候所对应的角度。胡波等f 3 8 】将3 r p s 机器人的变形和刚度 分析转化为一个等效的无约束反力的6 自由度并联机构3 i 冲p s 的变形和刚度分 析。这种方法给少自由度机构的研究提供了一些新观点。周玉林等【3 9 】采用小变 形方法和小变形叠加原理对3 i 汛s 球面并联机器人的刚度进行了分析，为该机构 的工程设计和应用提供了理论基础。 1 3 本文主要研究内容 本文从自由度分析，正反解分析，奇异性分析，工作空间分析，性能指标 五个方面对2 p r s p i u w 并联机器人进行了分析，当驱动移动副与定平台之间的 夹角为9 0 度时候，在避免奇异性情况下，讨论了结构参数对机构工作空间的影 响，为以后的2 p r s p i 汛u 并联机器人的设计提供理论基础。 第一章阐述课题的目的和意义综述国内外相关领域的研究现状，并提出主 要研究内容。 第二章用螺旋理论分析机构的自由度，并提出2 p r s p 并联机器人无 伴随运动的优点并给出证明过程。 第三章对机器人进行正反解的求解，分析正反解的个数。 第四章对2 p r s p r r u 机器人进行雅可比矩阵的求解，并给出发生奇异时 所对应的具体位姿。 第五章对2 p r s p 砌w 并联机器人进行工作空间的分析，讨论球铰限制， 奇异性对工作空间的影响，当驱动移动副导轨与定平台之间夹角为不同角度时 候，讨论了倾斜角度变化对2 p r s p r r u 并联机器人工作空间的影响。 第六章对2 p r s p 对沁并联机器人的性能指标从灵巧性、承载力和刚度等 方面进行分析，并讨论驱动移动副与定平台呈不同角度时候，倾角对灵巧性和承 载力的影响。 第七章从结构参数的角度对2 p r s p i m u 并联机器人的工作空间进行分 析。 第八章总结和展望。 6 浙江理工大学硕士学位论文 2 1 引言 第二章2 p r s p l 汛u 并联机器人自由度分析 本章针对无伴随运动2 p r s p 鼬m 并联机器人具体的结构特点，首先建立机 构的定坐标系和动坐标系，通过螺旋理论方法【4 0 4 1 1 建立机构每一条支链的运动 螺旋系，再求出2 p r s p l 乏r u 并联机器人动平台的约束螺旋系，从而实现机构的 自由度的描述。此外，本章在位置分析上对2 p r s p i 水u 并联机器人无伴随运动 特性进行了证明。 2 2 自由度分析 2 2 1 机构结构 图2 12 - p r $ p r r i j 并联机构 如图2 1 所示，2 1 冲s p l 冰u 机器人的定平台通过两个p r s 分支和一个p l m u 分支与动平台相连，分支1 、3 中的两个s 副中心点分别记为曰l 、岛；分支2 中的u 铰中心点记为b 2 ：分支1 、2 、3 中和p 副相邻的3 个r 副中心点分别记为c l 、c 2 、 c 3 ，分支2 中第2 个r 副中心点记为伤。三个分支中的p 副均垂直于定平台。两个 p r s 分支中的r 副轴线平行于定平台且相互平行，p r r u 分支中的两个r 副轴线 7 浙江理工大学硕士学位论文 平行于定平台，且垂直于p r s 分支中r 副的轴线，u 副中的一个转动轴线垂直于 动平台，另一个转动轴线平行于邻近的r 副轴线。两个s 副中心的连线b l 岛经过u 副的中心点岛。 图2 22 p r $ p r r u 并联机构结构简图 建立定坐标系0 x y z 和动坐标系d ，u 、w 如图2 2 所示，定坐标系的中心点位于 彳l 点和彳3 点连线的中心，x 轴方向从d 点指向彳3 点；同样，动坐标系的中心点d 位于召l 点和召3 点连线的中点，材轴的方向则由点d 指向历点。两端与动平台相连 的杆的杆长分别记为，l 和如，而中间两杆杆长分别记为，2 和，4 。3 个移动副的移动距 离分别记为d l 、比、以。 2 2 2 自由度分析 如图2 2 所示，3 个分支的运动螺旋系都在固定坐标系中表示，各运动副中 心点在固定坐标系下坐标矢量分别为 墨= ( 一而，0 ，毛) t 嘎= ( o ，0 ，毛) t 玛= ( 矗，0 ，z 。) t g = ( 一g ，o ，z ) tc 2 = ( o ，p ，z ) tc 3 = ( g ，0 ，z ) t 熟= ( o ，巳，z 2 ) 1 则分支3 的运动螺旋系为 8 浙江理工大学硕士学位论文 墨l = ( o o o ；0 0 1 ) 毛2 = ( 0 1 0 ；z o g ) 毛3 = ( 1oo ；o 一毛o ) = ( 0 1 0 ；z 。o 一办) 毛5 = ( 0 0 1 ；o 办o ) 对式2 ( 1 ) 求反螺旋，可得分支3 的约束螺旋为 西= ( o l0 ；乙0 一办) 同样可以求出分支l 的运动螺旋为 焉l = ( 0 0 0 ；0 0 1 ) 焉2 = ( 0 1o ；zog ) 墨3 = ( 1 0 0 ；o z lo ) 墨。= ( o lo ；z 1o 乃) 墨，= ( o o l ；o 一办o ) 对式2 ( 3 ) 求反螺旋，可得分支l 的约束螺旋为 = ( 0 1 0 ；毛o 办) 分支2 的运动螺旋为 2 - ( 1 ) 2 一( 2 ) 2 - ( 3 ) 2 - ( 4 ) 疋l = ( 0 0 0 ；0 0 1 ) 2 = ( 10 0 ；0 一zp ) 是，= ( 1o o ；o z ：巳) 2 - ( 5 ) 是4 = ( 0 1 0 ；毛o o ) 疋5 = ( o o l ；o o o ) 对式2 ( 5 ) 求反螺旋，可得分支2 的约束螺旋为 l = ( 1 0 0 ；0 一刁o ) 2 - ( 6 ) 对于约束螺旋和，它们都表示平行于y 轴的一个力线矢，分别经过两个球 铰中心点召l 和岛，而约束螺旋表示平行x 轴的一个力线矢，经过u 铰中心点 眈，则动平台三个约束力线矢如图2 3 表示。 9 浙江理工大学硕士学位论文 岛 岛 岛 图2 3 动平台所受约束 由图2 3 可知，该机构无共轴约束力，也无同向约束力偶，故该机构并无公 共约束。机构阶数为6 ，3 个约束线性无关，从而构成3 系螺旋，无冗余约束。 在初始位形下，3 个约束力线矢共面且线性无关，约束动平台在该平面内的 两个移动自由度和绕该平面法线的转动自由度，且该平面内任意直线都可以做为 瞬时转轴。由于分支1 和分支3 所在的平面重合，且两边球铰的中心和中间支链 u 铰的中心共线，使得b l 岛始终与第1 、第3 分支，第2 分支的约束力、。、 西相交，因此，b l 眈是动平台的一条连续转轴。此外，过分支2 的u 铰中心晚 且平行y 轴的直线始终与相交，且平行于与西，是动平台的另一条连续转 轴。 2 2 3 伴随运动分析 分别用鲫、表示。旋转矩阵善r 采用v - “w 动欧拉角的描述方法，表达式如下 和= lc 陡+ s 妒侏矽- c 夙矽+ s 炉侥c 妒矽l = l c 妒矽 c 炉喝i l 呻陡矽+ s 炉夙矽s 侥矽+ s 炉侥矽c f ，c 秒l 式中，秒、分别为绕动坐标系v 轴， 轴，w 轴转动的欧拉角。 l o 浙江理工大学硕士学位论文 动平台和定平台各点位置矢量如下 口l = 【一g 口2 = o 口3 = 【g = 一oo 】t = 【o o o 】t2 ( 9 ) = 【h o o 】t 令髓，l ，w 分别为单位矢量，则式( 7 ) 可简化为以下形式 叫圣矧 2 羽。， 那么动平台上3 个点b l 、饬、历所对应的各矢量可以通过式( 1 1 ) 表示，其中矢量 吼= p + o 口匆 2 ( 1 1 ) 把式2 - ( 8 ) 2 - ( 1 0 ) 代入式2 一( 1 1 ) ，可得到3 个点召l 、历、岛对应的各个矢量表达 2 羽2 ， - ：= 目 蚝 考虑到球铰和u 铰所带来的约束，动平台的运动也满足下列方程 吼j ，= 9 2 。= 0 2 - ( 1 3 ) 2 - ( 1 4 ) 2 - ( 1 5 ) 2 - ( 1 6 ) o o ，l 一 2 t 叫r r o 0 o e o 浙江理工大学硕士学位论文 9 3 ，= o2 一( 1 7 ) 将式2 ( 1 2 ) 2 一( 1 4 ) 分别代入式2 一( 1 5 ) 2 - ( 1 7 ) 得到下列结果 以= p ，= o 2 一( 1 8 ) 由方程可以看出，运动平台在x 、y 轴方向上没有移动。 由式2 一( 1 7 ) 、2 - ( 1 8 ) 、2 - ( 7 ) 可得 甜j ，= c 少s 痧= o 2 一( 1 9 ) 由于为机构一独立自由度，故有 矽= o2 ( 2 0 ) 由式2 ( 1 8 ) 、2 ( 2 0 ) 可知，机构的伴随运动全部为o 。这在实际应用中有很重要的 意义。 1 2 浙江理工大学硕士学位论文 3 1 引言 第三章2 p r s p r r u 并联机器人正反解分析 姿态正反解对于并联机器人的奇异性、工作空间、灵巧性和刚度等一系列性 能指标的分析尤显得为重要。本章首先在定坐标系下建立2 p r s p i 汛u 并联机器 人封闭环的方程；其次采用动欧拉角描述动平台姿态；两者相结合最终得到其正 反解。最后讨论了正反解个数。后续各个性能指标的分析将建立在此正反解方程 推导的基础上。 3 2 位置分析 3 2 1 位置反解 2 - p r s p r r u 并联机器人的反解指已知动平台的位姿( 见，p ，少) ，求解机构3 个输入盔、吐、以，两端支链的结构见图3 1 ，在动平台位姿一定情况下，当输 入函确定时，则输入西有两种情况，以图3 1 a 为例进行求解说明。 ( a ) 【b ) 图3 1 两端支链结构简图 对于第3 支链，根据封闭环可列下列方程 吃+ 厶s 仍= p ：一j l l s 秒 j 1 2 c 秒+ 乞c 仍= g 由式3 一( 1 ) 、3 - ( 2 ) 可以得到第3 支链p 副位移为 d 3 ：p z h s 9 一t j j - j 丽。 3 ( 1 ) 3 一( 2 ) 3 - ( 3 ) 浙江理工大学硕士学位论文 同理可以求出第1 支链的p 副位移 4 ：见讹口一厅乏i 万 3 ( 4 ) 依图3 1 a 方法，对图3 1 b 有 岛：见袖口+ 厅乏j 万 3 ( 5 ) 同样道理，当输入d l 确定时，则输入西也有两种情况。 对于中间支链( 珍p ) ，根据移动位移吃的变化情况，动平台处的位姿总共可以 概括为4 种构型，其结构简图如图3 2 表示。 c 2 ( b ) ( c )( d ) 图3 2 中间支链结构简图 为此本文以第一种构型为例进行求解，列如下方程 厶c 他+ 乞c 吼= p 吐+ ，2 s 仍+ 厶s 织= 见 1 4 3 - ( 6 ) 3 一( 7 ) 浙江理工大学硕士学位论文 ( a )( b ) 图3 3 动平台姿态描述 融 = 豪 3 - ( 8 ) 动 ，轴转动皖，最后绕u 铰中的动w 轴转动哦( 入图3 3 b ) ，得到其旋转矩阵 k 蒜嗍嘲s 磊髹嗍一s 罢一3 书， i s 依s b c 见+ c 仍s 只 一s 仍s 最s 幺+ c 经c 幺一s 红c 岛i 、7 【一c 红s 岛c 幺+ s 红s 幺c 纸s 岛s 幺+ s 红c 幺c 仇c 岛i 墨赢 s l 嗍。赢 c 秒c 沙 1 5 3 一( 1 0 ) 3 - ( 1 1 ) 浙江理工大学硕士学位论文 由式3 一( 6 ) 、3 一( 7 ) 、3 一( 1 0 ) 、3 一( 1 1 ) 有 吐= 见一厶s 效一乞2 一( p 一厶c 纸) 2 3 一( 1 2 ) 同理可对中间支链其他3 种构型进行分析，其中第2 种和第3 种构型p 副位移方 程相同，即 吃= 见+ s 纸一以2 一( p 一，4 c 红) 2 3 - ( 1 3 ) 对于第4 种情况，有 吐= 见+ 厶s 仇+ 7 2 2 一( p 一c 吼) 2 3 - ( 1 4 ) 综上可知对于两端支链，在动平台位姿一定的前提下，当第3 支链p 副输入 西一定时，第1 支链p 副输入盔有两组解；而西一定时，第3 支链的p 副输入 西也有两组解；而对于中间支链4 种构型中的每一种构型，在动平台位姿一定的 前提下，除了图示情况对应的p 副输入杰以外，当杆c 2 d 2 呈现出与过d 2 点且 与直线彳2 d 平行的直线对称的状态时，此时对应的p 副输入蟊是中间支链对应 的另一种反解情况，故中间支链反解个数也为两组，故反解的个数共有( 2 2 2 ) 八细。 3 2 2 位置正解 2 p r s p 褂并联机器人正解分析指已知p 副位移( d l 、如、凼) 求动平台的位 姿见、队y 。对于图3 1 a ，由式3 - ( 3 ) 3 - ( 4 ) 可得 口t n ( 等) 又由式3 一( 8 ) = 式3 一( 9 ) 有 一s i n ( 南) 以图3 2 a 为例，s 纸可由式3 一( 6 ) 、3 - ( 7 ) 确定。由式3 一( 7 ) ，可得 见= 畋+ 乞s 仍+ s 仍 1 6 3 - ( 1 5 ) 3 ( 1 6 ) 3 - ( 1 7 ) 浙江理工大学硕士学位论文 仍5 a r c c o s g 一 3 一( 1 8 ) 则式3 ( 1 5 ) 3 ( 1 7 ) 就是动平台正解的表达式。 如图3 1 所示，当输入巩、如确定时，动平台位姿除了图示情况外，当支链 c l b l d 砀伤相对于直线c l c 3 对称时，机构整体向上翻转，这是动平台的另一种 位姿，故对于两端支链l 、3 ，动平台有两组正解。对于中间支链2 ，当输入吃 一定时，除了如图3 2 中所示的表现形式外，当支链c 2 仍d 关于直线c 2d 对称 的时候，动平台也将呈现另一种位姿，故对于中间支链2 ，动平台也有两组解。 故机构的正解个数有( 2 2 ) 4 组。 浙江理工大学硕士学位论文 4 1 引言 第四章2 p r s p r r u 并联机器人奇异性分析 奇异性是并联机器人一个重要特性，它可以理解为在驱动副的作用下，并联 机器人在运动中处于拉伸等状态的极限点、或者内部的死点等导致机构锁死的状 态，使得机构运动在瞬间失去控制，或者说导致了自由度的增加或者减少。当机 构处于奇异的时，通常会使机构的运动学和动力学特性发生突变，从而导致机构 运动传递和力传递发生失常。本章将从逆解奇异、正解奇异、和混合奇异h 4 一习 三个方面对2 一p r s p r r u 并联机器人奇异性进行详细的说明和分析。 4 2 速度分析 在并联机器人中，动平台速度与驱动关节速度之间的映射通过雅可比矩阵完 成，雅可比矩阵是并联机器人运动学分析和设计的重要工具。对式3 一( 3 ) 3 - ( 5 ) ， 式3 ( 12 ) 3 一( 1 4 ) 两端对时间求导后写成矩阵形式有 o o 盔 畋 吃 f - g l 。 ：ig 2 。 【- g 3 。 o g 2 2 0 pz 吵 9 其中 蜀l = ( 见一4 ) 办s 秒 式中，正负号根据d 卜晚、西表达式而定，以下均相同。 r ：2 一( 见一吐) 了亍兰勃 r 3 = ( 见一以) 办s 秒 g l l = ( 见一碣) 办s 秒 g 1 3 = 咖s 口( 见一碣) 办c 秒 g ：- 2 了亍兰勃一c 见一畋， 1 8 4 一( 1 ) 浙江理工大学硕士学位论文 qz=p二竺竺!喜己呈主乏i萎考；弓铲厶c见一嗄，!专兰乏乏i篓鬻 “4 ( 1 一c 2 s 2 p ) l c 2 s 2 口 ”12“ ( 1 一c 2 缈s 2 目) 1 一c 2 s 2 乡 g ，= p 二兰气；兰兰三云差乏篆等厶c 见一畋，i f ：孑专笔赫 g j l = ( 见一以) 办s 乡 g 3 3 = 咖s 秒( 见一吃) 厅c 9 这样上面的式子可以简写为 g 爸：r 爻 则2 p r s p 刚w 并联机构的速度雅可比矩阵为 t ，= 五一1 g 4 3 奇异性分析 4 3 1 逆解分析 4 一( 2 ) 4 - ( 3 ) 逆解奇异也就是通常所说的局部奇异，对于2 p r s p 对m 并联机器人而言， 当并联机构在某个瞬时，即使给驱动副加一个无穷大的力，也不能使得机构运动 末端发生微小的运动，此时我们就说并联机构处于逆解奇异状态。它的发生条件 为 例= ol g l o 4 - ( 4 ) 此时对应 整理后为 对应情况如图4 1 所示 恐2 = 0 4 ( 5 ) 1 9 4 一( 6 ) 浙江理工大学硕士学位论文 图4 1 逆解奇异 此时机构杆c 2 d 2 与p 副移动轨道垂直，且处于并联工作空间的内部，在这种状 态下，即使给驱动移动副加一个无穷大的力，但由于这种垂直的原因，机构的传 动角为0 ，故机构运动末端不会因此产生微小的运动。 4 3 2 正解奇异 正解奇异也可以理解为通常所说的边界奇异，对于2 一p r s p i 冰u 并联机器人 而言，机构边界奇异通常指的是两杆共线或者说处于拉伸状态，在这个瞬时，如 果给机构施加一个非常微小的力，机构就可能产生一个微小的运动，而且这种运 动具有不确定性。它发生的条件为 l g l = o 例o 4 - ( 7 ) 此时对应 或者 整理后为 或 g 2 2 = 0 4 - ( 8 ) g 1 3 = g 3 ，= 0 p ：一d 2 一s i ；， pc c p t a n p ：里 堕：望l 二垦 gg 4 - ( 9 ) 4 - ( 1 0 ) 4 - ( 1 1 ) 当式4 一( 1 0 ) 成立时候，它对应的位置如图4 2 a 所示，此时中间两杆c 2 d 2 和伤历 共线。 浙江理工大学硕士学位论文 ( b ) 图4 2 正解奇异 当式4 一( 1 1 ) 成立时候，它对应的位置如图4 2 b 所示，此时两端支链两杆c l b l 和c 3 岛以及动平台两球铰中心连线b l 岛共线。当式子4 一( 1 1 ) 、4 一( 1 2 ) 同时成立时 候，它对应的位置如图4 2 c 所示，中间支链两杆共线，与此同时，两端支链两 杆以及动平台两球铰中心连线也处于共线状态。以上三种正解奇异都发生在工作 空间的边界状态，所以在进行机构设计时候我们应该尽量远离工作空间的边界状 态。 4 3 3 混合奇异 混合奇异通常可以理解为结构奇异。是指当正解奇异和逆解奇异同时满足时 机构所处的状态，这种状态属于机构设计的不合理方面，应该避免。它发生条件 为 h = oi g i = o 4 - ( 1 2 ) 此时对应 羁1 = 恐3 = og l l = g 3 。= o 4 - ( 1 3 ) 或者 尺2 2 = og 1 3 = g 3 3 = o4 - ( 1 4 ) 浙江理工大学硕士学位论文 式4 一( 1 3 ) 整理化简为 2 = 己2 = ( g 一办c 口) 2 4 - ( 1 5 ) 对应结构为图4 3 a ，此时两端支链杆1 ( c l b l ) 和杆3 ( c 3 岛) 同时与移动轨道垂直。 当式4 - ( 6 ) 、4 ( 1 0 ) 同时成立时，对应图4 3 b ，此时两端支链两杆及其动平台处于 共线，同时中间支链中杆2 ( c 2 伤) 也与p 副的移动轨道垂直。当式4 - ( 6 ) 、4 一( 1 1 ) 同时成立时候，两端支链两杆与中间支链杆2 ( c 2 d 2 ) 同时与p 副移动轨道垂直， 对应图4 3 c 。 图4 3 混合奇异 浙江理工大学硕士学位论文 5 1 引言 第五章2 p r s p r r u 并联机器人工作空间分析 机器人的工作空间【4 研是它的末端执行器的工作区域，它是衡量机器人性能 的重要指标。根据操作器位姿时的工作特点，工作空间f 3 2 l 可分为可达工作空间 和灵活工作空间。可达工作空间是不考虑操作器的姿态，操作器某一点所达到点 的集合。灵活工作空间是指操作器上某一参考点可从任何方向达到点的集合，此 外还有定姿态工作空间。 本章根据2 p r s p r i w 并联机器人特点，只对可达工作空间进行分析。工作 空间分析主要考虑机构的奇异性、球铰约束所带来的影响，结合m a t l a b 软件 采用数值搜索法对其工作空间进行了绘制，并对发生奇异的特殊点进行了描述； 此外当驱动移动副与定平台之间的夹角为不同角度时，讨论了工作空间随角度的 变化。 5 2 可达工作空间 5 2 1 工具末端轨迹方程的确定 即堆日= 朦绷册 毫脚卜， 5 2 2 奇异位置确定 工具末端方程确定后，它的工作空间还要避免奇异情况的出现以及考虑球 铰，u 铰所带来的限制，由于本文采用u 铰的两个转轴转角可以分别达到9 0 度 和3 6 0 度，故对工作空间影响可以忽略不计。为此，本文以表5 1 所示结构参数 为例进行详细的说明。 浙江理工大学硕士学位论文 表5 1 机构结构参数( 单位m m ) 乞毛t 4 办g p d 1 1 9 9 68 01 1 9 9 64 5 4 93 31 2 05 0 5 0 工作空间的分析首先要考虑机构的奇异性。图5 1 分别从正解奇异和反解奇异的 角度考虑机构发生奇异时候所对应的转角，本节讨论的工作空间将在不发生奇异 性的角度范围内。 i l 图5 1 奇异位置确定 由上图可知道机构不发生奇异时候所对应的转角的范围分别为 左图：一8 9 9 3 。口8 9 9 3 。 右图：一1 3 1 2 6 。 仍 | ； o 删 浙江理工大学硕士学位论文 此工作空间是球面的一部分，最高点对应动平台正处于逆解奇异的状态，此 时刀尖点位置如图4 1 所示，而在横纵坐标【o ，一5 0 】7 处，机构处于正解奇异状态， 此时刀尖点的位置对应图4 2 a 所示。通过图我们还发现在空间坐标【o ，一5 0 ，o 】1 处， 对应高度只有一点，这一点恰恰是刀尖点和动平台中心点连线与定平台呈平行时 候的状态。图示最低点对应刀具初始最低点的状态。而p ：从o 到1 0 0 高度内的 工作空间如图5 4 b 表示。 在实际设计中，我们可以通过改变机构的结构参数或者球铰摆放扩大工作空 间，为此，本文将在后面讨论。 5 2 5 导轨倾斜对应的工作工作空间 5 2 5 1 结构分析 ( a )( b ) 图5 52 p r $ p r r u 并联机器人( 导轨倾斜) 基本构型 如图5 5 所示，2 i 冲s p i 承u 并联机器人的定平台通过两个p r s 分支和一个 p w 分支与动平台相连，分支1 、3 中的两个s 副中心点分别记为b i 、岛：分支2 中的u 铰中心点记为侥；分支1 、2 、3 中和p 副相邻的3 个r 副中心点分别记为c 1 、 c 2 、c 3 ，分支2 中第2 个r 副中心点记为d 2 。三个分支中的p 副与定平台的夹角均 为口。两个p r s 分支中的r 副轴线平行于定平台且相互平行，p r r u 分支中的两 个r 副轴线平行于定平台，且垂直于p r s 分支中r 副的轴线，u 副中的一个转动轴 线垂直于动平台，另一个转动轴线平行于邻近的r 副轴线。两个s 副中心的连线 浙江理工大学硕士学位论文 蜀伤经过u 副的中心点晚。 5 2 5 2 位姿分析 图5 6 两端支链结构简图 由图5 6 我们可以对两端支链列封闭方程如下： 喀d 3 0 + 厶厶o + + g9 3 0 = 办o + n p z o 其中 心o = 卜c 口，o ，s 口】t ，3 0 = 【_ c 仍，o ，s 仍】t k = 【c 秒，0 ，- s 秒】t p z o = 【0 ，o ，l 】t 9 3 0 = 【l ，o ，o 】t 将式5 - ( 3 ) 代入式5 一( 2 ) ，有： ，一a a 2 4 b d 35 i 一 其中 a - 2 【 一 c 9 ) c 口+ ( 只砌s 臼) s 口】 b = ( g 一眈汐) 2 + ( 而s 汐) 2 一乇2 同样对第一支链列封闭环矢量方程有 5 - ( 2 ) 5 一( 3 ) 5 一( 4 ) 浙江理工大学硕士学位论文 _斗斗呻 _ 吐吐o + 五o + g 岛o = 办属o + 尼 其中 吐o = 【c 口，0 ，s 口】 o = 【c 仍，o ，s 仍】1 如o = 【一c 秒，0 ，s 伊】1 p z o = 【o ，o ，l 】1 蜀o = 卜l ，0 ，0 】1 把式5 一( 6 ) 代入式5 - ( 5 ) ，有 ， 一c 一c 2 _ 4 d a ，= 一 2 其中 c = 2 【( 芝+ 办s 秒) s 口+ ( g 一厅c 臼) c 口】 d = ( 办c 9 7 9 ) 2 + ( 芝+ 办s 目) 2 一厶2 i i 图5 6 中间支链结构简图 对中间支链列封闭环矢量方程有， d 2 d + 1 2 t 确+ 1 4 l o + + e e 2 0 = p zp z o 其中， 5 - ( 5 ) 5 - ( 6 ) 5 - ( 7 ) 5 一( 8 ) 浙江理工大学硕士学位论文 畋o = 【o ，c 口，s 口】t k = 【0 ，一c 仍，s 仍】t = 【0 ，一c 仍，s 纯】t p z o = 【0 ，0 ，l 】1 = o ，1 ，o 】t 又根据式3 ( 1 0 ) 、3 ( 1 1 ) ，并把式5 - ( 9 ) 带入5 ( 8 ) 有 1一e qe z 一4 f 口= 一 。 2 其中， e = 一2 【( p 一c 纯) c 口+ ( p ：一厶s 败)