（概率论与数理统计专业论文）带干扰复合泊瓦松风险模型的若干问题.pdf

ab s t r a c t i n t h i s p a p e r , t h e m o d e l o f c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s t h a t i s p e t e r e d b y d i f f u s i o n i s d i s c u s s e d , l a p l a c e - t r a n s f o r m a t i o n a n d r e n e w a l t h e o r y a r e m g i v ingt h e d i s t r i b u t i o n o f s u r p l u s i m m e d i a t e l y a p p l i e d b e f o r e ru m a n d as y m p t o t i c f o r m u l a s . a s c l a i m d i s t r i b u t i o n i s c o m b i n a t i o n o f e x p o n e n t i a l d i s t r i b u t i o n , s om e d i s t r i b u t i o n a b o u tr u m i s g i v e n ;we a l s o d i s c u s s i n f i n i t e t i m e p r o b a b i l i t i e s i n a c o m p o u n d p o i s s o n p r o c e s s t h a t i s p e t e r e d b y d i f f u s i o n u n d e r c o n s t a n t i n t e r e s t f o r c e .w e d i s c u s s e q u a t i o n f o r rui n p r o b a b i l i t y a s w e l l a s a p p r o x ia n d u p p e r , l o w e r 带干扰复合泊瓦松风险模型的若干问题 摘要 本文研究带干扰的复合泊瓦松风险模型，给出了破产前瞬时余额分 布和渐近结果， 作为特例当索赔分布为混合指数分布时， 给出了各种与破 产相关的概率公式， 本文还研究了 具有固 定收益率或利率的带干扰的复合 泊瓦松风险模型在无限时的破产概率， 我们讨论破产概率的积分方程， 估 计，及上下界。 1 引言 数学风险论是借助于概率论和随机过程的知识构造、 研究数学模型， 来刻画保险公司 的风险业务，它从古典风险模型开始发展，其形式如下 万( ) x ( t ) = “ + c 一 艺几 称为盈余过程， 其中x ( t ) 是， 时的 盈 余，u 是初 始准 备金，。 是保险收益率，n ( t ) 是系 数为入 的泊瓦 松过程，z k 是独立同 分 布的 素 赔撅， 其 分布函 数为p ( m ) ， 密度函 数为p ( z ) ， 均值为/+ , z k 与n ( 约 独立， 我们 一 般假 设。 a p . 古典风险 棋型由 于性质好， 发展早等 原 因已经讨论的非常深刻。 讨论的问题有: 有限时破产概率， 无限时破产概率， 破产时， 破 产前后余额分布， 多维联合分布， 末离以及矩的间题等等， 应用的数学方法丰富多样， 如 较理论， 更新理论，随机游动，随机徽分方程等等。 但古典风险模型对现实的描述并不深刻， 于是人们在古典模型的荃础上做了很多推 广: 如有人考虑索赔次数为更新过程和。 ox过程扩 还有人考虑带干扰间题， 一般是加上一 个布朗运动， 而更与现实接近的是考虑加上利率和通货膨胀等因素.以上考虑间题的角 度均是在索赔分布具有指数界的情形， 而研究 索赔重尾的情形也很有用， 特别是在现实 中，重尾情形与一般情形有很大的区别，因此人们又把索赔分布推广到了重尾情形，考 虑的分布类型有亚指数分布，n w u ,n b u 等等，n ( t ) 也不再考虑为泊瓦松过程， 而考虑 更加多样的点过程。 在本文的第二部分将研究带干扰的复合泊瓦松模型: n( t ) u ( t ) = 。 + c 一 艺z i + w ( t ) , 其中w ( t ) 为布朗 运动， 它在t 时 具有均值为。 ， 方差为2 d t 的 正态分布，w ( t ) , n ( t ) 及 z i ( i = 1 , 2 , ， 均 相互 独 立， 其 他的 假 设 均 不 变。 令t 表示破产 时， 破产前瞬时 余额记为x= u ( t - ) 破产时 余额 记为y = i u ( t ) i， 我们 令 f ( u , z , y ) , f ( u ， 二 ， y ) 分 别表示其 联合分布函 数 及其密度函 数， 由于破 产概率小 于1 ， 它 是一 个 亏损分布。 用t ( u ) 来表示初值为、 时的破产概率， l ( u ) 表示初值为、 时的生存概率， 文2 1 中 指出侧u ) = e ( 司 十 t d ( u ) ， 其中1 d ( u ) 表示由 扩 散造成的 破 产， 即 破 产时 其 余额为。 ， %f , 回表 示由 索赔造成的 破 产， 即 破产时其 余额为负 值， 因 此1 ( o ) = p d ( 0 ) = 1 , 1 ( 0 ) = p , ( o ) = 0 e 我们 用f ( u , z ) 和f ( u , x ) 来表示x的 分布函 数和密度函 数， 当 该函 数已 知时， 文 7 1 中已 给 出以下公式 f (u ， 二 ， ) 一 ， (u , x ) a x t y ), _ i ， 二 ， 。 且 ， ， 。 1一 厂l x ) ( 1 . 1 ) 由 此可见联合分布的 关键是破产前瞬 时余 额分布， 本 文将重点 考 虑该分布。 设w ( x ) ， 二 全 。 为任意有界可测函数，令 ， (。 ;。 ) 一 二 (w (x ) ) = f w (二 ， (、 ， )* + 。 (。 )， (、 ) ( 1 .2 ) 则有% ( 0 ; 。 ) 二 。 ( 0 ) 。 _ 二_ _ _ _ _ _ . _ _ . _ _ ._ _、 . _ . ， _ _ 。 .fl .二 = 。 _. 通过对。 二 ) 的选择， 便可得到各种我们所关注的金， 例如令。 ( z ) _ ,- 一便有 t 0 ,， 笋 0 ql ( 二 ; 。 ) = %y d ( u ) , w ( 二 ) = e - , . , f ( 二 ; ， ) 就为 有关于u 的f ( u ， 二 ) 的l a p l a c 。 变换等等。 下面我们 进行一般的讨论， 然后用到具体的问 题上， 本文第二部分首先用马氏性导出了t ( x ; w ) 的 微分方程， 充分考虑该模型的具体特点导出了f ( z ; w ) 的积分方程， 然后分别利用更新方 程知识和l a p l a c e 变换方法， 导出 了 一个渐 近结 果和到 z ; 司的l a p la c e 变换， 对于 一 般情 形可以 用求反l a p l a c 。 变换的 方法求得侧 二 ; 司; 当索 赔分布为 混合指数 分布时 ， 本文 给 出了与破产相关各种概率的结果，并和前人的结果相对应。 本文的 第 三部分 在 第二部 分的 基础 上又 加上了 利 率的 影 响， 设利息 系 数为 常 数6 , y ( t ) = 管; 为 0 ,t) 内 的 家 赔 总 颊 ， 假 设 : 时 保 险 公 司 的 资 金 余 倾 为 n o ， 引 起 保 险 公 司 资 金 i =1 变动的有四 个因 素 保费收入c ， 索赔 额y ( t ) ， 不确定 付款( 或收 益) w ( t ) 及利息收 入， 我 们容易推得以下关系: d u , ( t ) =c d t +u 6 ( t ) b d t 一d y ( t ) +d w( t ) u s (t) = 二 “ + -4 6c t i， 一 j es(t- 0 )d y (v ) + j es (。一 ，d w (v ) ” 中 6)一 tpj esu0 * 一 亡 ， 若百 二 0 ; e 争， 若; 。 . 在 七 时的折现为 止心 v s (t) 一。 () 一 + c a4,6， 一 j 一 0 d y (v ) + j 。 一 d w (v ) 其 中 、 )= e-sts l)e = 1 - e - . 百 若万 = 。 ; 若 万 0 . 根据随 机积分的 一般理论， 我们易知u s ( t ) , v s ( t ) 均为马氏 过程， 且具有独立增量，由 于利率的存在， 使其并不平稳， 但马氏 过程的一般理论仍可应用，只不过较没利率时更 为复杂， 至于马氏 型的 证明 ， 可以 参照4 做类似证明 ， 本文 就不做论述， 我们 考虑无限 时生存概率。 设为1 6 ( u ) ， 则 .k 6 ( u ) =p ( d t 0 , 价( t ) 0 ) =p ( b t 0 , 玲( t ) 0 ) 由 于布朗 运动的 存在， 使其 与 经 典 模型 并不 相同， 由 布朗 运动的 性质， 易 推得11 6 ( o ) 二 。 。 首先利用马氏 性建立了有关生存概率的积分方程， 针对该模型的特点给出了两个积分 方程， 然后对第二个积分方程进行离散化处理， 用递归方法得到了生存概率的上下界， 但该上下界中 有一 个参数c ( 0 ) 未知， 因 此 通过 对第一个积 分方程进行l a p l a c e 变换的方 法找出了 该未知 参数， 且对 该参 数f,(0 ) 进行了 有 关的 估计和 泰勒展开， 并给出了 类似 古典风险模型破产概率的 林德伯格估计， 而对索赔为指数分布情形可具体相应给出上述 计算结果。 由于本文考虑的第一种情形是平稚独立增盘过程， 第二种情形仅为独立增t过程， 故 这两种情形均应用马氏性的方法来处理。 带干扰的复合泊瓦松模型破产前瞬时余颇分布及其渐近分布 更新方程 定理1 : 对于辅助函数侧u ; w ) 满足以下亏损更新方程: t (u ; w ) = d w (0)h1(z ) + am t j ife e(一 ， ;。 )、: h2(y ) + i i w (y )h s (y )h 1 (“ 一 ，“ “ (2 .1 ) 其中 h l (二 ) 一 云 。 一 d s ,2 0 ; h a(x ) 一 去 ( 一 p (x ), x 。 证明: 对带干扰的风险模型，由全概率公式易得: 垂 ( 。 ; 二 )= (1 一 * * ): (， (“ + * + w (d t); w ) + a d t j ， (“ 一 ;w )d p (x ) 0 + a d t w ( u ) ( 1 一p ( u ) ) +o ( d t ) ,( 2 . 2 ) 我们 知道e 沙( 。 + c d t + w 体) ; 。 ) ) = lp ( u ; w ) + c t ( u ; w ) d t + d %y ( u ; w ) d t + 0 沁) ， 代入( 2 . 2 ) 式，从。 到。 积分得: d % ( v ; w ) +c ,y ( v ; w )= d v (0 ; w ) + ， 。 ;二 ， + a j 一 ， 万 w (x )( 一 ， ( )* ， t ( v ; w ) ( 1 一p ( 二 ) ) d x ( 2 . 3 ) *0 0 时，由 于f ( a ) 、0 .。 ( : ) 有界， 因此有f ( u ， 二 ) *0 , q ( u ; w ) *0 , lk ( u ; w ) 0 0 ， 则由件3 ) 得 d gy ( 0 ; w ) +c iy ( 0 ; w ) 一 i w (y )“ 一 p (y )d y , *0 ， 令 ( 2 .4 ) 例网 把( 2 . 4 ) 代入( 2 .3 ) 得 重 ( 。 ; 。 ) = 人 w( 0 ) + 二 刀j ， (一 ， ;w )(1 一 p (y )d y + d f .(y)(1 一 p (y )d y 两侧同乘以。 护从。 到。 积分，化简得 e s 0 y ( u ; w ) =。 (。 ) + 委 1 1 。 * ， (。 一 ， ) (1 一 尸 (， )* 勿 十 委 l l . (y )( ， 一 尸 (， )。 ， ” 匆 * l j j l j j 两边同乘以。 e u ，有 t ( u ; w )一。 (o)e- f u + 委 l c。 一 ， ; 。 ) r 。 一 * (一 ， )(; 一 p (y )d y d v + u j j 久 r f_，、 n i i ( 1 一r ( y ) ) ea ，一” d y d v , 上声 jj ( 2 . 7 ) 即为所求证等式。# 下面利用更新理论建立到u ; w ) 的一个渐近分布。 2 . 2 渐近分布 考虑一般索赔模型， 令调节系数r满足方程 口 j a f e- h lc。 h 2(y )d y = 1 , 0 或 , f ( 一 p (y )ew d y =c 一刀r , ( 2 . 8 ) 易知r t i 。 定理2 : 对于函 数侧u ; 川， 当、 *0 0 时: e r u % ( u ; w ) *r d w ( 0 ) + a w ( y ) ( 1 一 p ( y ) ) ( e l一 1 ) d y 0 r d+ r a ! y e ry( 1 一 p ( w ) 勿 因此当。 *0 0 时，有 8血0 e r u p d ( u ) * d 刀+a y e r v ( 1 一 p ( y ) d y ) 而当二 96 。 时， 令、 *0 0 则有 e r u f ( u ， 二 ) * a ( e j l l 一 1 ) ( 1 一 p ( 二 ) ) 8.jo r刀+左a y e r v ( 1 一 p ( y ) ) 如 证明， ( 2 . 1 ) 式两边同乘以。 r u整理以后为 eru % (u ; w ) = 冬 w (0)hl(u )一 十 誓 ulc j e r 1” 一 ， ) , r ( 。 一 ， ; w ) e r w h i * h a ( y ) d y + 警 j f - (y )h 2(y )h i(“ 一 ，er 0 d y d v , ( 2 . 9 ) 这是关于e r u 侧u i 叫的一 个一 般 更新 方 程， 应 用 更新 定 理( 费 勒( 1 9 7 5 ) 第十二 章) ， 当。 *00 , 得到 e r t ( u ; w ) 、孑 譬 w ( 0 )h i(z )e d z + 誓 f f ! w ( y ) h 2 ( y ) h ( z 一 。 ) e rzd y d v d z ( 2 . 1 0 ) z e rx h l * h s ( z ) d z 优rjo 坐。 再对怀1 0 ) 中 的 三个积分项 分别进行积分计算， 则有 刀 丁协 ( 0 ) h l ( z ) e r d z = w ( 0 ) 。 一 ( d - r ) d z = ( 2 . 1 1 ) 8了ijo 8口ijo i f f w (y )h z(y )h i一，er d y dv dz 刀f - (y )“ 一 p (y )，一 d (一 ” + r d y dv d u 久一d 一一 入f.f n / d z / - ( y ) ( 1 一 u j jp (y )d y j 。 一 “ 一 ，+ r z d v 0 w ( y ) ( 1 一 p ( a) 向 e会 ( z - v ) + r z 面 ，r声j。 8.ij. 0dz srijo 0久一d + e ( n - r ) d z j . (y )“ 一 p (y ) )(e 一 ， 8护ijo 入-c 一 n - r ) (e 一 )d z j w (y )“ 一 p (y )d y 8.ijo 久+-c 么 p (y )(e 一 ， )d y j 一 “ 一 ” ) d z 入-e 。 ， )( 一 p (y )d y j (e ， 一 1 )一 “ - r ) d z 了夕jo 人一c + 一a d 一 7 c ( c 一 d r ) 省 -(y)(1一 p ( y ) ) ( e i 一 1 ) e - ( a - r ) d y a 坏 w (y)(1 一 0(r 一，一 dc - d r (1 一 ， 一 ， ， 丽 a丽 了 w (y)(1r (c - d r )a 一 ，“ 一 ，“ ， ( 2 . 1 2 ) 久 “ f n 寸j z e h l * h 2 ( z )d z 人 f f_。， 。 卜 、 =d j j “ 一 ， + y ) e - e - i a - n x = - v ) ( 1 一 p ( y ) ) e y d y d z 0 0 b d i j (一 ， ， 一 d - r )“ 一 ” “ 一 p (y ) + d i j ，一“ 一 ，一 ，( 一 p (y)er 0dydz y ( 1 一 p ( y ) ) e y d y 8尹ij。 z d 斗 - c万 - 已 srl.d 一 “ 一 “ ) d z j 一 p (y ) 户 . ，入 e r 甸 十二 刀 r了 久工d 0 入 d ( c 一 d r ) 2f ( 一 p (y )e r a d y + 入 c一 刀ri y er y “ 一 p (y )d y 招( 2 . e )代 人 .d c一 dr 久 + 不尸 d 豆 y e r v ( l 一 p ( y ) ) 匆 : ( 2 . 1 3 ) 8尸.ijo 由( 2 . 1 0 卜 ( 2 . 1 3 ) 即得结论.# 例: 若p ( m ) =e a i f i e - 0 “时 e r u l d ( 二 ) d + 鱼 a a- 当。 *0 0 , e ft u f ( u ， 二 ) * 艺a i e - # is a ( e r -一1 ) ( 1 一 p ( 二 ) ) 当、00. 2 .3 l a p l a c 。 变换 对( 2 .1 ) 式求l a p l a c e 变换得 、 (小d w (o )m (.) + c.- m (r )m im 2(r) + ei m 3(r) , 其中 “ ， 二 j 一 ， (二 ;。 )* ， 、 ( ) 一 j e h l (z )d z c e - ( * - )二 = 刀 c一dr 8.ijo e l . 场 ( 二 ) = i - e.(1一 p ( 二 ) ) d a , 1几-尸 8尸.ijo 一- 姚 00公 洲 m 3 (r ) = f e- j j . (y )h 2(y )h 1 一，“ “ “ 0 0u 于是有 m( r ) =召 w ( o ) m i ( r ) + 警 m 3 ( r ) 1 一 智 m 1 ( r ) m 2 ( r ) ( 2 . 1 4 ) 特别当索赔分布知道时，我们可用反l a p l a c e 变换求得q i ( u ; w ) 。 2 .4 混合指数分布 考虑混合指数分布的情形: p ( 二 ) = ea ifl i e - p iz 谊 =1 其中。 p 1 0 2 . . . p n ,a l + a 2 +. . . + a n = 1 ( a i 可为负值) ，由( 2 .1 4 ) 得 m( r ) =d - ( 0 ) m l ( r ) + m s ( r ) 设， i , r 2 、 + ， 为二 a 下 艺 鑫 ， 刀 a二 1 的 根 ， 石 a 下 n : ae d r l .i- 1 a - ( 结合文2 1 中( 6 .7 ) ， 不妨设， : ， ， : 二 ( 2 . 1 5 ) 完全相同 使得 当a 为正时， 、为离散的正根。 ) ，由 分式原理， 应有d i , 刀 : 与文2 . . . d, . + 1 n + 1 d k5 7- - i = 1r 一r 1 卜石 a 二 n : a c- d r i= 1 ( 2 . 1 6 ) 为求d 1 , d 2 d n + : 引进函数 q ( 二 ) =- d k + 1 , 乞 一 r ( 2 . 1 7 ) 州e脚 由( 2 .1 7 ) 知， 当a 为$ , p 1 , 16 2 , . . . p + ， 时，q ( x ) = o ， 因 此有 q ( 二 ) =( 一 劲 县 (一 “ ) h 忍 一 r ( 2 . 1 8 ) 两边同乘以( 二 一 r h ) 然后令二 = dh= ， 得 (d 一 ，n1 1 (、 一 “ ， 肯卫一 k = 3 k * h 仆一件 ( 2 . 1 9 ) 由( 2 . 1 7 ) 得 dk 刀 刀r k一c c 一a p ( 2 . 2 0 ) d*-仆 州艺 w ) = 。 。)一 二 +1一 p) 1 ,- d (u-x0 )一 d f f w (y)(1 一 (，)一 (一 、 * 置 剖 e-r,x+ e 5 _k=1 0 i h w (y )“ 一 p (y )，一 “ “ 一 一 ”)d yd v d x ( 2 . 2 1 ) 对( 2 .2 1 ) 中的积分项进行积分得到与( 1 .2 ) 相类似的形式， 仙 1 。 一 * ， 一 ，一 。 二 * = 甲 d ， ( 。 一 。 一。 一 * ) ， r c一 l r 儿 0 ( 2 . 2 2 ) f f . (y )( 一 p (y )，一 “ “ 一 ” “ “ 0” 已 lju w (y )“ 一 p (y )，一 (u - v )d v d y + f f w (y )“ 一 p (y )一 “ 一 ，“ 、 . 1 r了jo“ 护产了0 - f w (y )( 一 p (y )“ 一 “ ， ， ， ( 2 .2 3 ) d一c + 一 譬 f w (y )( 一 p (y )(。一 “ 一 ， 一 。 ，“ f 一f j - (y )“ 一 p (y )，一 i (” 一 一 ” “ “ 口 呢钻 - 出 一 f e- r-x d z f w (y )( 一 p (y )dyf e - $ (” 一，、 f e - r.x d z f . (y )( 一 p (y )d y f - $ (” 一，“ e - r , x d 艺f 。 ( ， )( 一 p (y )e - a (” 一 ，( ， 一 )、 ”了声jo d-c 一- + 冬 f e - r0 x d xf 。 (， ( 一 p (y )( 一， (u - = )d y 妞 ee z 护了j。 一 冬 j w (y )( 一 p (y )(e 一 ， ，一 “ “ 朋一 u e ( 舌 一 ， k ) s d x 9 ( 1 一 e - n (“ 一 ， ) ) e - 0z d x “广了j习. ，“ d 、，r了 夕 尸 + d j . (y )(1 0u + d r w (y )(1 矛 d 2 可 jc2 - cd rk - 一 p (y )d y f (， 一， ” 一 ，) - r t x d 2 ( y ) ( 1 一 p ( y ) ) ( e d ， 一 1 ) e - d u ( e ( n 一 “ ) (u - y ) 一 1 ) 匆 + j -(y)(1 + 了 -(y)(1 尸 (， ) f 竺 (。 一 (” 一 ) 一 。 一) - t c r k d2 c a 一c 刀r k一 s u (e“ 一 ，一 “ 一 ，“一 ，) “， _ 、 、 d_ _ . r ( ， 川 一 ( 1 一e - , . - ) 一 l c r k d2 c 2 一c dr k一 ， “ (“ 一 ，” 一 1)j 、 d2 c 2 一c 刀r ki . (y )( 一 p (y ) 一” 一 ， 一 “ 一 ， 一 “ 一 ，一 ， + 一 ， ” 、 - (y)(1 一 ， _dcrk 一 ”一 ，一卜d 2c2 - cd rk 一 ， ，一 一 ， 、 向 ld)iesj 肚 山 r - e 一 - 影 ”./j08 十 p ( y ) )一 ” ” 十下 二牛- e - s u c 0一 c ur k 岁 d ，.j 仙 r - e + f -(y)(1 j .(y)(1_ + j .(y)(1 p ( y ) ) 刀 ( c 一d r k ) r k 。 一 。 一 ， ) 十 于d z ， ( 。 一 * 、 一 。 一 * ， 一 ， )、 - c -一 c u t 几 d ( c 一d r k ) r k p ( y ) ) d、 _ _ 二刀，。 _ 1 7 - - - 节 - - ; - - ) e . 十 - ; - - - - 二 二 一 e - a 0 i d v . k c 一u r k ) r k - c 一c u r k一 ( 2 . 2 4 ) 入+-c 由( 2 .2 1 ) 一 ( 2 .2 4 ) 得 n十1 t ( u ; w 知( 0 ) e - a u + 艺 介 =1c 一刀r k w ( 0 ) ( e - + = e fr u ) f w (y )(1 - 尸 。， )一 “ u - y l 一 ， ” )、 一 d一介旧 厂尸-c刀 ” ，) +1 ad ,c(c - d k)i(一 ， ” - $ (”一 ，卜 n+1;二又 ad krk (c - d rk )(一 u-vl 一 ) 、 a dka dk r k ( c 一d r k )一+ (n+1 硕 ad ,d( f- c2 - cd rk )一 “，“ 州e*=1 p ( y ) ) ( 又一 k 舀 c r k 久 f + c j w ( y ) ( 1 p ( y ) ) ( 1 一 。 一 丢 “ ) 匆 ， 由上式及俘2 0 ) 有: 州艺目 t ( u ; w )= d d kw (0)ek= 1 d rk - c + j u - 0(y )( 1 - 一+ j o . (y )( 一 p (y ) 久 d1 . 丁 万 丁 - - 不 丁 气几 e 一 . 、 “ 一 到一e - , . . ) 勿 i k 气 一 l r kl p (y)(c一 n.1e 入 dk r k ( e - d r k ) e 一 、 u ) d y , 结合( 1 .2 ) ，故有 刀da : c 一dr k e - r k u ( 2 . 2 5 ) 艺 告 a d n + l - k - 1 r . le - d . 1 t ( 二 a(一 e nk =+ 1l + ( e - r k (u - y ) 一 。 - r k u ) ( 1 一 p ( x ) ) , a d 司 e 一 r k u )( 1r k c - d r k一 p ( x ) ) , 0x” ， ( 2 . 2 6 ) 由( 2 . 1 9 ) 及文2 中( 6 . 1 3 ) 和( 6 .1 5 ) 知 久 d a ; r k ( c 一 d r k ) 入 c - a u c k , ( c ; 为文 4 中定义)( 2 . 2 7 ) 由( 2 .2 6 ) ,( 2 .2 7 ) 和文2 中( 6 .4 ) 知 = a n ( ( u ) 一 li ( 。 一 二 ) ) ( 1 一 p ( z ) ) , ( 1 一 p ( 二 ) ) f ( 二 ) ， ji、.1、 一一 、.矛 公 . 牡 矛万几、 止j 这和文7 中( 3 .2 3 ) ,( 3 .2 4 ) 相一致。 由( 2 .1 9 ) 和文2 中( 6 .8 ) 知 号) ， 因此( 2 .2 5 ) 与文 2 1 中 得结果相同. 0 、 时 h ( u , z ) = _ ， _ 、 l a u ， 二 )， f t . ) i . es es , . . 一 . ux jo工 一厂 ， ) 入 de，_ _ . _ 、 -; 一 晌 - 二 二 气 . i e 一 . 、 “ 一 ) 一e 0 ) d x r k l c一刀几 ) 州艺目 .了了jo f了、.t 、.潇 名 了口、 p 一一 卜!，1 心 u 工 c 一a / ( ， : 一 p ) 口 ( ， : 一r l ) e - r , u+r 2 ( r : 一 p ) ,6 ( r : 一 ， 2 ) , - r 2 u ( 2 .3 5 ) %p . ( 司= r l , r 2 为下 万 标- r = t ( u ) 一9 d ( u ) =( r : 一 a ) ( r 2 一 0 ) _ - r , u， ( r 1 一 ,a ) ( ,- : 一 m， 石 下- - - -下 - -“了 一匕 n t r i 一， 2 ) pj r 2 一r i ) ( 2 . 3 6 ) 1 的根，因此 令f ( r ) = d r 2 一 ( c t d p ) r + c ,0 一 a 因此 二 ， : ， ， : 使d r 2 = 0 , 则有f ( r ) 一 ( c + d ,q ) r + c o 一 a =0 成立 二d ( ， 一 ， i ) ( ， 一 ， : ) 人工d ( ， ， 一 p ) ( r : 一 p ) = 由( 2 .3 6 ) 和( 2 .3 7 ) 得 f ( p 2 刀 = d jo ， 一 (c 十 d p )p 十 c /3 一 久 d 垂 : ( 司二 人 d ,o ( r : 一 ， 1 ) e - + e-勺 仙 d p ( r : 一 ， : ) ( 2 .3 7 ) ( 2 .3 8 ) 由( 2 . 1 9 ) ,( 2 .3 1 ) 和( 2 .3 8 ) 知 夕 ( 。 ， ， )= 人 i 二 . - - - - . e - . “ 一 尸 ， 十 l毛 r 2一 fl) 久 刀 ( 八 一 ， 2 ) e 一 勺一 口 ， = 1 ( u ) p ( y ) ( 2 .3 9 ) 这与文图的结果相一致。 常利率环境下带干扰风险模型的破产估计 生存概率的积分方程 定理3 : 生存概率1 6 ( u ) 满足以下积分方程: d 46(u ) 一 d 1 6(0 )u + j (c + ， ( )“ 一 j j 6 if 6(y )d y d v -a f f 4 s (一 ， ，“ 一 p (y )d y d v , (3 .1 ) f 6 ( u )= f 二 ( o ) e - ( * u + 寺 e e + ! d-6 + i - d v 了了jo u 十 会 e 一 ( 云 叶2 u e j (“ 一 )d p (z ) + (* )， 由泰勒展式及随机积分的性质得 d t e ($ 6 (u e 6dt + 6)c a dt + f 一 “ 一 ，d w (v ) = 1 6 (u ) + ( + “ )， : (、 ) + d i (u )d t + o (d t), 0 化简整理得 d 1 6 (二 ) + ( + 6 u )v g (u ) = ， 。 (、 ) 一 ， j 4 6 (“ 一 ， )d p (y ), 进而从 。 到 ， 积分有 洲网 d ,i 6(v ) 一 d f 6(0 ) + ( + ” )， ;( ) 一 j b f 6(y )dy =a l f , (。 一 ， ，“ 一 p (y )d y , 把( 3 .5 ) 式从。 到。 积分即得( 3 .1 ) 。( 3 .5 ) 式可 变为 f 6 ( ) 十 c + 6 v 1 6 (v ) 一 ， (。 ) 十 丢 1 11 6 (。 一 ， )( + a l l 一 尸 (， )勿 * ， u l j 两边同 乘以e 0a u + si u ， 从。 到u 积 分 得 e 云 “ + f u 9e d + v d圣 ( 。 ) = 1 16(0 ) i e a u+ sv 0dv + d j j e ， v+ 9 0 1 6(一 ， )(。 + a ll - p (y )d y d v , 整理得即得( 3 . 2 ) 。# ( 3 .6 ) 式中 令。 二 。 ， 然 后令。 *0 o 可 得f ( 0 ) = = #, ( 3 .2 ) 式中 令6 二 。 ， 然 后 把 . ( 0 ) =代入( 3 .2 ) 即可得 二 ， _ _ 、 e 一入 拼 ， ， w 1 u ,二 二 1 几 一e 刀 _ 、 . 、久 一d0 1 + ， 刀1 1 一 ” 一 ” ， 一 ， ，“ 一 p (g )d g d v . 此与文:中( 2 .9 ) 式一致。 3 .2 递归计 算 定理4 : 对d h o , m=1 , 2 , - - - ， 。 =1 , 2 , . . . ， 。，定义 - h q6 - (m h ) = ， “ (。 )一 “ m h + -2ld 一 “ ，” j e o 0+ -l 2d d v + 0 ，.。 一 1 _， _ 吵. _k h 云 互 苍 一 会 一 “+ + ; )、 (-1)h ( k - 1 ) h 则有 11 6 ( 二 、 ) 圣 : ( 。 、 ) f h + ( m h ) . 证明: 离散化处理积分方程( 3 .2 ) ， 即得结论。 当 = 0 时 ， 用 该 算法 及v ( 0 ) = 三 居 丝 可 估 计-i ( u ) ， 但当 36 。 时， 我们 需 要求 s ( 0 ) , 为此我们考虑l a p l a c e 变换: 3 . 3 用l a p l a c e 变换计算1 81 ( 0 ) 对( 3 . 1 ) 进行l a p l a c e 变换，由 于每 项均较复杂， 不妨对各项均利用分部积分进行计 算 ， 令 、 ( ) = f e - - d f s (u )a， 注 意 到 f e-,.0 一 ， ， 则 有 i e ru d “ ，一 ，d) + c 了.、 .护/.。 声了，1龟、 一i 一， ;(二 ) + 6 i “ 一， ( ) p m 6(r ) + 6 ( t m 6 (r ) - r m 6 (r ) (r + ,2 )m 6(r) - b m 6(r), 、.卫卫.j了口 面 句 y 垂 u 、.1卫.产尹 勿 万 重 刃盯 ”产/j。 /口口.、 ”护矛少。 ”r了j。 了r.、” d 肚 - 8.ij08 i 一1 61 6(y )dydu e - r u d 8.ijo 1-护 6 _. = 万 m 6 ( r ) , 一 一 ，(1一 ，“ * ) 8矛ijo ”./曰。 产矛.龟、 d . f -e” 8尸.ij08 i i 一 “ ， “ “ 一 ， ，( 一 p (y )dy d u i i 。一 “ ， 。 一 ， ，“ 一 p (y )du d y i 一( 一 p (y )d y 1 116(一 ， )e- r一 ，“ 0犷 口 口亡 侧 勺 一 i 一( 一 p (y )d y i 1 6 (v )一* = r m s (r )m (r ), 其中 一 “ 去 (i “ 一 p (z )d z ), sr.ijo - r 汀 由上结合( 3 .1 ) 式有 d m s (r ) - d l s(o )丢 + (于 + 矗 )m 6(r ) - 尝 m 6, (r ) - 聂 、 ( ) 二 竺m 6 ( r ) m( r ) , 化简得 m6 ( r ) 一