（凝聚态物理专业论文）低维非均匀颗粒系统的动力学行为研究.pdf

i 摘摘 要要 颗粒材料是由大量宏观颗粒组成的系统，例如砂子，粉尘，咖啡等。颗粒系 统中的问题可以粗略地分为准静态问题（沙堆，静力的分布，压缩，断裂的传播 等）和运动问题（所有流动，对流，分层，堆积模式，流化床等）1。本文针对后 一类问题，借助于分形理论，对由大量不同尺寸颗粒组成的非均匀颗粒系统进行 了研究。 近年来，远平衡状态下颗粒系统的动力学行为的研究成为颗粒系统研究中极 为重要的领域。计算机科学的发展为这一研究提供了极大的方便，尤其是对系统 动力学的模拟演化，几乎能代替真实实验，相当准确地反映颗粒系统的动力学过 程2-5。比较传统的所谓颗粒流体动力学的研究，模拟研究开阔了更为广泛的领域， 例如颗粒系统的速度分布对高斯型的偏离规律，空间密度分布的各向异性等等。 颗粒系统从粒度或者质量来分，有均匀颗粒系统与非均匀颗粒系统两类。通 常对于非均匀颗粒系统的研究，往往是利用“平均场”的方法，即引入平均粒度 或平均质量的概念，将系统视为粒度为平均粒度的均匀系统进行研究。这种方法 当然具有极大的局限性。限于数学的困难，目前文献中只涉及到两组份的颗粒系 统的“非平均场”的精确研究。 实验表明，不均匀颗粒系统的粒度、质量等的分布，在许多情况下具有分形 特性6-7。近年来，我们课题组利用分形理论，建立了非均匀颗粒系统的分形理论 模型8-14，将研究的视野扩展到了无穷组份、且粒度分布具有分形特的颗粒系统。 讨论了相应的有效热导率11，特别是一维非均匀颗粒系统稳态的热力学行为14。 本文在本课题组已建立的颗粒系统分形模型的基础上8-13，建立了拓扑维数为 一维和二维的粒度为分形分布的非均匀颗粒系统的理论框架，即以 langvin 方程为 核心的一维分形动力学模型，和以随机行走为特征的二维统计模型，并利用 monte carlo 模拟方法对系统非稳态情况下的动力学行为进行了研究：一维系统粒度不均 匀度和非弹性性对速度分布和成团化的影响；二维系统在均匀加热机制和边界加 ii 热机制驱动下，系统的不均匀度、非弹性性和加热机制对于系统的速度分布和成 团化的影响。 本文研究的结果表明，对于一维非均匀颗粒系统，颗粒粒度分形维数d（表 征系统非均匀度的参数）和弹性恢复系数e对系统的动力学行为都有很大影响：随 着d的增大（系统不均匀度增大）或者e的减小（系统非弹性性增强） ，颗粒的速 度更加偏离高斯型分布，空间密度的成团化现象更加显著。对二维系统, 在均匀加 热机制驱动下，系统中颗粒为空间均匀分布；而在边界加热机制驱动下，颗粒的 空间密度不再是均匀的， 而是出现了成团化的现象， 并且随着d的增加或e的减小， 成团化现象越发显著。我们还发现系统的速度分布取决于两个参数：e和系统中平 均“加热”次数 h n 与平均碰撞次数 c n 的比值q ( hc qnn=)。当1q 时，加热 机制占主导地位，系统颗粒的速度呈现高斯型的分布，此时d和e对速度分布几乎 没有影响；1q , heating dominates dissipation so velocity distributions exhibit gaussian distribution. and in this case the value of d and e can hardly effect the velocity distribution. when 1q )()(xpxp (1-7) 这一关系式就必须成立。能够满足上式的x函数型，只限于下面的幂型 d xxp )( (1-8) 若能按照上面那样考虑就容易理解其中幂指数d能给出具有分形特性的尺频关系 的分形维数。如果在某一观察尺度x时看不见小于x的月坑，那么能看得见的月坑 的数目与)(xp成比例。再改变观察尺度，看不见小于x2的月坑的数目与)2( xp成 6 比例，此数是观察尺度为x时的 d 2倍。一般若把各种观察尺度(即不同大小的x) 下看到的个数假定为)(xn，因)(xn与)(xp成比例，这里出现的d则与改变观察 尺度的分形维数的定义式(1-6)相一致。 1.3 颗粒系统理论的研究发展颗粒系统理论的研究发展 1.3.1 颗粒流体动力学的研究颗粒流体动力学的研究 颗粒材料类似于流体的流动称为颗粒流（granular flow） ，常称为颗粒拟流体。 颗粒流可被看作是一种特殊的两相流，这时颗粒碰撞作用占优势，粒间流体相的 影响不予考虑。 八十年代，颗粒流基础力学的研究得到了极大的发展。大多数研究者分别从试 验、理论和数值模拟计算三方面，首先从微观角度考虑颗粒的随机运动及粒间相 互碰撞作用，进而，通过各种方法统计平均求得颗粒流的运动特征量。现阶段对 颗粒流的研究正逐步深化，从光滑圆球颗粒的弹性碰撞发展到粗糙圆球颗粒的非 弹性碰撞，从单一粒度的颗粒流动发展到多组分颗粒组成的混合颗粒流动。至今 为止，颗粒流的理论、试验与数值计算，大部分在试验室中进行或针对简单的二 维剪切couette流。 在堆积颗粒的简单剪切运动中，颗粒流的应力由下面三部分组成： collisiondispersioncoulombtotal += (1-9) 各种作用力随不同的流动条件而相互消长。第一项为coulomb磨擦力，与颗粒的 剪切速率无关，为颗粒间的持续接触力，在很低的剪切速率和近乎密实的高浓度 下占主导地位，在高切变速率和低浓度下，此项可略去不计。对于第二项所表示 的弥散应力，正如在wang和fei(1989)17的文中表明的那样，在浓度很低(c0.35)，则可略去不计。第三项为颗粒流的碰 撞作用力，与弥散应力的消长情况正好相反，是颗粒流研究中的主要问题。一般 从微观的颗粒碰撞模型入手，进而求得颗粒流的碰撞应力张量等。 7 bagnold(1954)18最早用试验的方法研究了同心圆筒间中性悬浮粗颗粒的剪切 运动。差不多30年后，savage(1978)19、savage和mckeown(1983)20、savage和 sayed(1984)21和hanes和inman(1985)22在空气和液体介质中进行了类似的试验。 这些试验共同揭示了在充分高的浓度和剪切速度的颗粒流动条件下，颗粒间的动 量和能量传递是由于碰撞作用，而不是持续的磨擦接触或其间的液体作用。 试验揭示的颗粒流中颗粒的碰撞特性与气体分子的碰撞特性非常相似，只不 过颗粒碰撞过程中有能量损失，更复杂一些。这样就提供了一种可能，即把颗粒 运动与分子运动相比拟。众所周知，描述分子运动特性的理论是气体分子运动论； 类似地可用同样的方法描述颗粒运动，称之为颗粒流的运动模型或运动理论。 chapman和cowling(1970)23关于稠密气体分子运动论的描述，直接提供了关于颗 粒流的颗粒运动论的理论基础。 1.3.2 颗粒流的分子运动论研究方法颗粒流的分子运动论研究方法 savage和jeffrey(1981)24首先明确用分子运动论的方法研究颗粒的碰撞应力张 量。假定颗粒为大小均匀、表面光滑的圆球，单颗粒的速度分布函数用maxwell 分布函数近似表示。他们引入了一个无量纲参数r，r为颗粒特征平均剪切速度 |dydud与脉动速度均方根v之比， v dy du d r | = (1-10) 从而使得颗粒积分形式的碰撞应力只与参数r有关。随后，许多人进一步发展了 颗粒流的运动理论，其中重要的有savage(1983)25-26、jenkins和savage(1983)27、 lun等(1984)28、jenkins和richma(1985)29-31、jenkins(1986)32、ahmadi和 ma(1986)33、farrell、lun和savage(1986)34、jenkins和mancini(1987)35、 lun 和savage(1987)4以及wang和fei(1989)17。所有这些工作都涉及颗粒系统的速度 分布函数，一般先假设遵循maxwell分布，然后对碰撞传递量进行积分求得颗粒 的运动特征量，如碰撞应力张量、碰撞能量传递及耗散率等。上面这些学者的理 8 论一般可称作精细的颗粒运动论。 九十年代，颗粒流的理论研究和实验又有了更深入的发展。大量的实验揭示 了颗粒流的一些奇特性质。对于颗粒材料在由振动导致的流动过程中的颗粒对流 的物理机理的探讨(knight et al.(199336, 199637,),cooke et al.(199638), ehrich et al.(199639)使人们认识到至少有三种因素影响着颗粒流的行为方式：一是颗粒之 间的非弹性碰撞；二是颗粒流与容器壁之间的摩擦；三是颗粒流内的气体。另外， 受振动的颗粒材料会出现粒度不同的颗粒分层的现象(fret et al.(199640), scherer et al (199641), clement et al.(199642)。而且，受振动的颗粒流的自由表面会呈现几种 波动现象(melo et al.(199543), brennen et al.(199644), clement et al.(199645)。颗粒 材料因集体运动而导致有序结构的出现，例如相空间吸引子的出现(tong zhou(199646), j. j. brey et al.(199647)，tong zhou et al.(199848)。 颗粒运动论的发展经历了从简单的与分子运动论相比拟到考虑颗粒碰撞特性 的复杂理论的过程。起初人们只考虑单一粒度、表面光滑、近乎弹性圆球颗粒流 的简单运动模型。而现阶段则要求人们必须讨论更具有代表性的颗粒运动理论， 这是由于实际的颗粒流动情况要复杂得多，包含不同粒径的多种组份情况；颗粒 还由非弹性材料组成，碰撞过程中有能量损失；颗粒表面也不一定光滑，存在着 磨擦作用，颗粒具有旋转速率和动量；另外，颗粒之间可能充满流体。这些因素 产生的影响都是有待研究的。 1.3.3 颗粒气体动力学的研究颗粒气体动力学的研究 随着计算机科学的迅速发展，针对颗粒流体动力学在近平衡条件下难以考虑 的诸多非平衡因素， “颗粒气体”的模拟开辟了人们对远离平衡状态的非紧密颗粒 系统的动力学研究。从已有的模拟结果来看2,3，这些结果和颗粒流体动力学的预 言有很多方面不同。 很多颗粒气体的模拟是对颗粒气体处于“冷却”状态时进行模拟的，即此时 颗粒系统中的颗粒不受外力的作用而自由的演化，碰撞时有能量的损失。流体动 力学预言：在麦克斯维速度分布的假设下， 2 tt。但是，当颗粒系统体积一定， 9 颗粒数目增加或是弹性恢复系数减小时，模拟结果和这一预言有很大的差别；同 时颗粒系统空间密度的分布不再是各向同性，系统出现空间的成团化，并且当 1)1 ( rn(其中n时总颗粒数)， 人们发现成团化的不稳定性会退化为所谓的 “非 弹性坍塌” ，即颗粒会被俘获进入一个在有限时间里有无数次碰撞的序列里（即碰 撞率有发散） ，在一维和二维模拟中都发现了这种非弹性坍塌3。而且，转动动能 和平动动能之间的能量均分定理也不再成立3。与处于“冷却”状态颗粒气体模型 相对应的另一类颗粒气体模型是可受驱动的颗粒气体模型。能量均分的无效在此 模型中也同样被证实了。该模型中，颗粒碰撞时耗散的能量由外源来平衡，理想 情况下，必须振动或摇动颗粒系统才能保持它不至于静止下来。 本文中涉及的研究是针对处于“驱动”状态下的颗粒气体模型。此模型可以 分为两类： “精英模型” （the elitary model）和“民主模型” （the democratic model） 2。在精英模型中，容器壁是唯一的能量源，只有少数的颗粒把能量从容器壁传给 颗粒系统中剩余的颗粒；在民主模型中，对所有的颗粒在一定时间间隔，均施加 布朗型的随机加速度，从而使得系统中的每一个颗粒都可获得能量。本文的研究 也是在“民主模型”的基础之上的。 1.3.4 对颗粒系统分形特性的探讨对颗粒系统分形特性的探讨 由于颗粒系统本身的复杂性，目前已有的研究大都局限于单一颗粒系统或少 组份的混合颗粒系统。这当然不能满足实际应用的需要，如何将对简单颗粒系统 的研究推广到粒度分布不均匀的实际复杂颗粒系统，正是本文研究的中心。针对 以往混合颗粒系统的研究都只是采用平均近似的方法，我们引入了分形理论，将 讨论深入到了由不同粒度组成的混合系统中。 大量的实验表明，许多颗粒材料中的颗粒粒度分布，具有标度不变性，而且 颗粒的表面也具有自相似性和标度不变性。1997年，本课题组在颗粒流的运动理 论基础上，结合已有的对颗粒的分形特性的研究成果，在文献9首次提出了非均 匀复杂颗粒系统的分形模型。在颗粒运动理论的研究领域里，此模型是首次考虑 颗粒流的分形特性。在近平衡态的情况下得到了相应的统计分布函数，用于有关 10 物理特性的讨论和研究。然后本课题组进一步研究了近平衡条件下系统的热传导 机理10-12，得到了其有效热导率，并且详细讨论了该有效热导率随系统相关结构特 征参数变化的特性。 随后， 本课题组又将该分形模型与a. puglisi等人针对均匀颗粒系统提出的 “民 主模型”相结合, 利用计算机模拟, 对处于远平衡状态下的非均匀颗粒气体系统进 行了monte carlo的初步动力学模拟13。结果表明，系统的速度分布呈现了非高斯 型，空间密度出现成团化现象。在此工作的基础上，本文（第四章）进一步完善 一维非均匀混合颗粒气体系统的分形模型，分析颗粒的速度、位置的分布随颗粒 粒度分形维数d（表示颗粒分布非均匀性的量度参量）和弹性恢复系数e的变化规 律。 本课题组对非均匀系统颗粒的速度、能量、位置的分布规律也做了深入的研 究14。对于该系统相应定义了组份颗粒温度和整体颗粒温度，分析了相应概念的 物理图像。在此基础上，详细分析了这些物理量随分形维数d的变化所呈现的演 化规律。在文献49中我们进一步考虑颗粒尺寸的不同，讨论了系统的压强，并分 析了系统不均匀度和非弹性性对压强的影响。 基于实验事实，也为使我们的工作具有实际应用价值，本文（第五章）又展 开了对二维非均匀颗粒气体系统的研究，探讨了系统的非均匀度、非弹性性和加 热机制对系统动力学行为的影响。 11 2 非均匀颗粒系统与分形理论非均匀颗粒系统与分形理论 2.1 非均匀系统的平均场研究非均匀系统的平均场研究 近年来，人们利用平均场理论展开了对多组份混和颗粒气体系统的研究。u. marini bettolo marconi and a.puglisi50, r. pagnani et.al51，c. marin and v. garzo52, 研究了两组份非弹性混和颗粒系统。r. lambiotte and l. brenig53,v. garzo54研究了 多组份混和的颗粒系统。 系统中颗粒的运动规律用boltzmann方程描述，在研究过程中，利用平均场 近似的方法处理boltzmann 方程。平均场近似的思想是系统中的任意一对颗粒都 可以交换动量，不管他们之间的相对位置有多远；并且颗粒间的碰撞速率与颗粒 间的相对速度无关，即碰撞速率为常数。将碰撞速率以一个常数来处理，只是为 求数学上的方便，将有助于简化对blotzmann方程的理论分析和对系统动力学行 为的数值模拟。从物理上来说，这种处理方法是不合理的。但是，这基本上不会 影响到获得系统的显著特征，而且更有助于理解系统的整体特征，因为它是借助 于系统本身来研究系统。 通过理论分析和数值模拟，对于“自由冷却”状态和“驱动”状态下的非弹 性混和颗粒气体，都发现了一些很有价值的结果。系统中每种颗粒组份都有一个 颗粒温度，这明显违背了理想气体的第零定律；系统中颗粒的速度也显著偏离了 maxwell分布。 2.2 非均匀颗粒系统分形特征的表征非均匀颗粒系统分形特征的表征 自然界的颗粒材料在形成过程中，受到大量随机因素的影响，最后形成的颗 粒材料具有良好的自相似性和标度不变性55，具有分形特征。本节主要讨论表征 颗粒流的分形特征的两种分形维数：颗粒的表面分形维数 s d和颗粒流材料的粒度 12 分布分形维数d。 2.2.1 颗粒的表面分形维数与粗糙度颗粒的表面分形维数与粗糙度 实验表明56，颗粒表面的粗糙性可以用koch岛分形模型来描述(如图1-2)。 有很多种对颗粒的表面分形维数进行测量的方法，例如构造步长法57(structured walk technique)，minkowski香肠法，马赛克合并法(masaic amalgamation)等。针 对传统方法只能对微细颗粒的边界轮廓的分形特性进行描述而无法对颗粒高低起 伏的复杂状况进行描述的这一缺陷，clark改进了对颗粒表面分形维数的测量方法 58。主要过程是：用图像扫描仪将微细颗粒的 sem像输入计算机，应用图像处理 软件得到其维度数值图像，然后根据分形理论计算出表面分形维数。 2.2.2 颗粒流的体积比表面积和质量比表面积颗粒流的体积比表面积和质量比表面积 颗粒的比表面积（单位质量或单位体积的表面积）广泛地用于颗粒粒度的测量。 如果考虑表面的粗糙性，精细粒末的比表面积确实非常大。分形表面面积可以表示57 为 s d xss = 2 0 (2-1) 式中x为颗粒的粒度， s d为表面分形维数， s d(2.0，3.0)。 0 s是光滑颗粒的表面 面积，即 2 0 xks s =( s k为表面形状因子)。当0 . 2 s d，颗粒的表面越来越光滑并 且方程(2-1)将还原到经典的表面积公式，当0 . 3 s d，颗粒的表面越来越粗糙。 体积比表面积 v s 如下 ss d svv d svv xkkxkxkss = 113) ( (2-2) 式中 v k为体积形状因子， sv k为表面体积形状因子。 在应用上，质量比表面积 m s更普遍被采用，它可以从 v s求出： p d svpvm s xkss = 1 (2-3) 其中 p 为固体的密度。可以看到当0 . 2= s d时，方程(2-2)就还原到在颗粒分析技 13 术中的经典形式。 2.2.3 分形颗粒系统的粒度分布分形维数分形颗粒系统的粒度分布分形维数 在颗粒分析技术中，颗粒粒度分布函数定义为： )(xyn小于粒度x的颗粒总数/系统总颗粒数 那么，粒度在x和dxx +之间的颗粒数目dn为 )(xdyndn nt = (2-4) 这里 t n是系统总的颗粒数目。 根据数目分布函数的基本定义，)(xyn可表达为 %)(100)( ttn nnnxy= (2-5) 这里n定义为粒度大于x的颗粒数目。 颗粒粒度分布(即尺频关系)具有分形特点57 ，令 d n xxy )( (2-6) 其中d称为粒度分形维数。相应分形维数d可以从xxyvlog)(log图的斜率来决 定。在一维情况下，其理论取值范围为01d。 2.3 非均匀颗粒系统的尺频非均匀颗粒系统的尺频(size-frequency)关系关系 对于许多非均匀颗粒系统，实验表明，颗粒粒度的分布满足尺频(size frequency)分形关系11 d n r r nnry r =)(1)( max 0 1 (2-7) 其中， r n y表示粒度小于r的颗粒数 r n与系统总颗粒数n之比， max r为颗粒的最大 特征粒度， 0 n表示粒度为 max r的颗粒数。由于 r n和n都很大，则 r n y也可表示粒 度小于r的颗粒出现的概率，d 为系统中颗粒的粒度分布分形维数(fractal 14 dimension of size distribution)。 根据上述( ) r n yr的定义，当 min rr=时， ( ) r n yr应该等于零，即 01)( max 0 1 min = = d n r r nnr r y 则有 n m m n d = 3 min max 0 定义 n n0 =，有 d m m 3 max min = (2-8) 此处，表示系统中具有最大尺寸的颗粒的数目与系统中总的颗粒数目的比值，其 取值为0到1之间，是本文讨论的非均匀颗粒系统的重要结构特征参数结构特征参数。当1 时，表示该颗粒系统为单一颗粒系统，其尺寸分布不再具有自相似性，即不再满 足式(2-7)。实验表明，只有当1= n i t t i tt g dttv ntt vt 1 2 )( 0 2 0 0 )( )( 1 lim (3-8) 注意：系统处于非平衡态，所以 g t并非热力学意义上的温度。 通过模拟，两个特征时间(和 c )的存在导致了系统不同的动力学分区： (a)当 c 时，碰撞在系统的动力学机制中占主导作用。在这种动力学区间 18 中，仍然可以观察到统计稳定状态。并且，这时出现了一些有趣的现象： （1）颗 粒在空间的分布相当的不均匀（成团化） ， （2）颗粒的速度分布偏离了高斯分布。 随着弹性恢复系数减小时，这些现象越来越明显。 3.3 二维均匀颗粒气体研究二维均匀颗粒气体研究 3.3.1 二维均匀非弹性颗粒系统实验研究二维均匀非弹性颗粒系统实验研究 这类实验中，一般是用不锈钢的光滑铁球在一个无盖的盒子里面运动，盒子 的底面光滑， “边墙” 的尺寸远远小于底边的长度，意在将盒子看做是二维的平 面。盒子底面或者是它的一个“墙壁”做周期性振动，小球通过与底面（底部振 动时61-62）或者壁（ “墙壁”振动时63-65）的接触获得能量。 olafsen and urbach61所做的实验中，小球放置在一个水平的盘子里，盘子在 竖直方向上周期性振动。小球通过与盘子的接触碰撞获得能量，小球之间发生非 弹 性碰撞损失能量。当系统损失的能量与从外界得到的能量相等时，体系达到稳 态。实验结果表明：当盘子振动的振幅比较小时，颗粒的速度呈现非高斯型分布； 随着振动振幅的增加，颗粒的速度逐渐过渡为高斯型分布。在a.kudrolli and j.henry64的实验中，实验装置是一个倾斜的长方形光滑的玻璃板，四周是铁质“边 墙” ，其中倾斜面的底边在做周期性振动。小铁球在玻璃板上滚动，通过与振动“边 墙”的接触获得能量，小球之间进行非弹性碰撞损失能量。实验通过高速照相获 得数据。结果表明：颗粒气体出现显著的非高斯型速度分布；随着玻璃板倾斜度 增加，重力发挥作用，致使小球更加频繁地与“驱动墙”接触，那么速度会逐渐 接近不同宽度的高斯分布。 3.3.2 二维均匀颗粒系统模拟二维均匀颗粒系统模拟 对应于两种实验装置， 有两种模拟条件： 均匀加热机制和边界加热机制。d.r.m. williams and f.c. mackintosh66 ，s.j. moon et al.67 进行了数值模拟时运用了均匀 加热的思想，t.p.c. van noije and m.h. ernst68 在做理论分析时也假设颗粒均匀受 热。 19 j.s. van zon and f.c. mzckintosh通过数值模拟研究了二维均匀非弹性颗粒气 体系统69 。他们建立了一个二维均匀颗粒气体模型：将颗粒看做质量相等的n个 非弹性硬球，颗粒间进行非弹性碰撞损失能量，碰撞以外的时间颗粒随机行走。 分别以边界加热和均匀加热两种机制驱动系统对其输入能量。当非弹性碰撞引起 的能耗与系统从外界获得的能量相等时，系统达到稳态。颗粒间的碰撞满足动量 守恒，碰后的速度变为： () 1 2 iiiijjijij e vvv rvrr + = ? ? (3-9) 其中，1, i jn，e(01e)为颗粒弹性恢复系数， ij r ? 为连接第i个与第j个颗 粒球心的单位矢量。 运用均匀加热机制驱动系统时，初始状态颗粒均匀分布在ll的平面内。 每t时间间隔给每个粒子的速度增加一个量( )h t f t ? 。一次加热后，颗粒的速 度变为： ()( ), ii v ttvh t f t+=+ ? ? (3-10) 其中，( )f t ? 是量值均匀分布在 1 2 到 1 2 之间的一个矢量，h 正比于加热速率。 边界加热驱动下，演化开始时，颗粒均匀分布在一个半径为1的圆面内。假 设颗粒与边界间的碰撞是弹性的，碰后以速度v ? 反射， “加热”既是给v ? 增加一个 随机量( )h f t ? 。碰撞以后颗粒的速度为： ( )2 ii vvvh f t =+ ? ? 。 (3-11) 当“加热”和耗散达到平衡时，系统达到稳态，采集数据。他们有模拟结果： （1）在边界加热机制驱动下，系统中颗粒的空间分布出现成团化现象。而在 均匀加热机制驱动下，颗粒均匀受热，空间分布的均匀性保持不变。 （2）加热效应在系统演化过程中占主导地位时，颗粒做无规则运动，其速度 几乎是高斯型分布。这就意味着颗粒材料的非弹性性基本不会对颗粒的速度分布 20 形式造成影响。 （3）耗散碰撞效应占主导地位时，系统的速度分布主要由该效应支配。颗粒 的速度偏离高斯型分布。并且随着弹性恢复系数e的减小（即非弹性增强） ，速度 分布偏离高斯型越显著。 21 4 粒径为分形分布的一维颗粒气体的粒径为分形分布的一维颗粒气体的 monte carlo 模拟研究模拟研究 4.1 非均匀一维颗粒气体的分形模型非均匀一维颗粒气体的分形模型 我们考虑质量连续分布)( maxmin mmm的非均匀复杂颗粒系统。为简单起 见，假设每个气体颗粒为表面光滑的圆球体，由相同的材料构成，且具有相同的 弹性恢复系数，不同的只是颗粒大小有差别。则颗粒的质量与气体颗粒半径之间 的关系可以表示为： 3 4 3 v mr= (4-1) 其中，r为颗粒的半径， v 为颗粒体密度。 又有尺-频关系式(2-7)，我们可以将此非均匀颗粒气体系统中颗粒的质量表示 为13 d nr y n n mm 3 0 max )1 ( = ， （2= 。 (4- 8) 此式即是我们讨论系统动力学行为的出发点。 然后利用蒙特-卡罗方法模拟颗粒的随机运动，研究系统的动力学行为。注意 到 2 2 2 2 1 ( )lim 2 x a a xe = ，模拟时取固定的时间步长t，且 c t c ；(d)碰撞 前的速度和碰撞后的速度满足碰撞方程13 ji jjiji i mm vmevemm v + + = )1 ()( , (4-9) ji jijii j mm vemmvme v + + = )()1 ( , (4-10) 这里，e为系统颗粒的弹性系数，)( jiji vvevv ? =。应该注意的是，除考虑颗 粒的非弹性系数外，这里我们不考虑颗粒在碰撞过程中的形变，并且颗粒间的间 隔距离 n l 远大于颗粒粒度尺寸。 针对一维模型，取定500=n，20 max =m， 0 1n =， c 100=，1= f t和 500=l。在此 2 min 10m 。根据文献71对分形系统的分析，最大颗粒质量与最小 颗粒质量的比应该不小于 2 10。在此我们取定的质量比 3 max min 10 m m ?，完全满足上 述判据。我们模拟的主要结果如下。 24 4.2 非弹性性对系统动力学行为的影响非弹性性对系统动力学行为的影响 图4-1描述的是系统的速度分布随弹性回复系数e的变化规律，其中d2.2， 图（a） 、(b)、(c)分别表示当e0.8、0.5、0.2时的速度分布曲线。图中“”图 标表示的是完全随机的gs分布, 柱形图标代表的是系统的计算机模拟结果。从图 中可以看出，由于弹性恢复力的影响，非均匀颗粒系统的速度分布均偏离了高斯 分布；并且随着恢复系数的减小，亦即非弹性增强，偏离更加显著。也就是说， 速度分布的非高斯性行为会随着系统的非弹性的增加而加剧。 -4-3-2-101234 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 pv v d=2.2 e=0.8 + + + + gaussian the probability distribution of velocity -4-3-2-101234 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 pv v d=2.2 e=0.5 + + + + + gaussian the probability of velocity （a） （b） -4-3-2-101234 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 pv v d=2.2 e=0.2 the probability distribution of velocity + + + + + gaussian （c） 图 4-1 速度分布 25 图4-2表示的是弹性回复系数e对系统的瞬时空间密度分布的影响，其中d 2.2，图(a)、(b)、(c) 分别表示e= 0.8、0.5、0.2时系统的空间密度分布规律。其中 图中的水平虚线表示的是均匀的分布，柱形图标描述的是考虑到非弹性碰撞时系 统的空间密度分布曲线。可以看出随着恢复系数e的减小，亦即颗粒碰撞非弹性增 加，系统的瞬时空间分布不再是各向同性，以致出现了明显的空间成团化现象。 并且，随着回复系数e的减小，成团化现象更为显著。 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 px x d=2.2 e=0.8 - - - - - ho;mogeneous distribution 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 px x d=2.2 e=0.5 - - - - - homogeneous distribution （a） (b) 050 100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 px x d=2.2 e=0.2 - - - - - homogeneous distribution (c) 图 4-2 空间密度分布 26 4.3 粒度不均匀度对系统动力学行为的影响粒度不均匀度对系统动力学行为的影响 在分形理论中，粒度分形维数d可作为表示系统非均匀性的量度，这里我们 进一步讨论粒度分形维数d如何影响非均匀颗粒气系统的动力学行为。 图4-3描述的是计算机模拟出的2.7,0.8de=时, 系统的速度及空间位置 分布曲线.其中图(a)是系统的速度分布曲线，图(b)表示的是空间瞬时密度的分 布。从图4-3和图4-1、4-2中的(a),可以看出,随着分形维数d的增加，即系 统非均匀度增加，颗粒的速度分布更加偏离gs分布，空间成团化现象更加 显著. -4-3-2-101234 0 40 80 120 160 200 240 280 320 360 400 pv v d=2.7 e=0.8 + + + + + gaussian the probability distribueion of velocity 050100 150 200 250 300 350 400 450 500 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 130 px x d=2.7 e=0.8 - - - - - homogeneous distribution (a) (b) 图 4-3 d=2.7, e=0.8 时系统的速度和空间密度分布 4.4 物理图像分析物理图像分析 文献72中，作者通过实验测量，得出了非均匀颗粒系统的分形维数d与颗 粒的粒度分布之间的关系。实验数据见表4-1。 27 表 4-1 颗粒粒度分布与分形维数d之间的关系 mud formulation agranularity distribution b (%)the fractal dimension 3.3m4.7m9.4m13.0m19.0m27.0m d 2% bentonite24.939.462.372.077.6100.02.39 4% bentonite32.050.673.583.988.4100.02.50 6% bentonite42.266.680.886.988.4100.02.65 6.5%bentonite + 2% nacl 38.460.679.185.990.8100.02.59 6.5%bentonite + 4% nacl 31.950.472.482.888.4100.02.49 6.5%bentonite + 6% nacl 25.440.968.782.989.1100.02.36 a the muds were at room temperature aged for 24 h prior to use. b determined by using a microtrac laser particle size analyzer. 以上数据显示了，不论是在单组份的混合颗粒系统，还是多组份的混合颗粒 系统中，d的增大均代表了小颗粒所占百分比的增加，即导致了系统粒度分布不 均匀性的增加。在本文的模拟中，由于碰撞机制在颗粒的运动过程中占主导地位， 颗粒的能量损失导致了系统速度分布的非高斯性和空间密度分布的成团化。由式 (4-9)和(4-10)，在一次碰撞过程中颗粒损失的能量可表示为 ji jiji mm mmvve e + = 2 )(1 ( 22 iji ijiiji mm mmmvve + + = 2 )( 2 )(1 ( 22 (4-11) 这里 ijij mmm=。显然，当系统的弹性恢复系数e一定时，相碰撞两颗粒之间 的质量差 ij m越大，能量损失e也越大。d一定时，系统的非弹性性越强（相当 于e越小） ，碰撞时能量损失e也越大。 28 d的增加代表着系统中精细颗粒的数目增多，即系统的不均匀度越显著，即 会造成随机碰撞颗粒之间较大的质量差值。这也就引起了碰撞过程中更多的能量 损失，而导致系统瞬间能量的不平衡。因而在耗散碰撞效应占主导地位时，随着 d 的增大或者e的减小，系统中颗粒的运动状态会越来越偏离无规运动，速度分 布偏离高斯型越明显，颗粒的成团化现象也将更为显著。 29 5 二维非均匀颗粒气体的动力学行为研究二维非均匀颗粒气体的动力学行为研究 5.1 分形模型分形模型 我们假设气体颗粒为表面光滑的圆盘体，有相同的材质和弹性回复系数。颗 粒的质量是连续分布的 ( minmax mmm )，显然颗粒质量与粒度大小有如下关系： 2 s mr= (5-1) 其中， s 为颗粒面密度，r为颗粒的半径。 又有尺-频关系式(2-7)，可得： () 2 max 0 1, r d n n mmy n = (5-2) 其中系统的总颗粒数为n、最大颗粒质量为 max m、具有最大质量的颗粒数为 0 n， d 为分形维数)21 (，加热效应 占主导地位。图(b)中1q ) 图5-3描述的是在均匀加热机制驱动条件下，系统的速度分布情况。图中的纵 坐标表示