（应用数学专业论文）不分明拓扑的诱导与表现.pdf

不分明拓扑的诱导与表现 摘要 本文在不分明预序拓扑套和( 仿) 拟一致结构等方面，探讨了不分明拓扑 诱导与表现的性质其主要内容分为以下三部分 在第一章中，我们讨论给定论域上不分明化拓扑与模糊关系之间的相互诱导 关系通过研究发现，自反的模糊关系可以诱导出饱和的不分明化拓扑；反之， 不分明化拓扑也可以诱导出不分明预序实际上，在饱和不分明化拓扑与不分明 预序之间存在着一一对应这为不分明预序结构与不分明拓扑建立内在联系提供 了理论支持 在第二章中，我们运用集合套的思想并结合极大集与极小集的知识引入了 拓扑套的概念在给定论域上，通过在拓扑套全体所构成的完备格上定义所谓的 口一等价与o t 一等价，我们找到了两个商集，它们都与( l ，m ) - 拓扑全体所构成 的完备格同构，即建立了完整的( l ，m ) 一拓扑的表现定理这些结果概括了现 有文献中相关问题的研究成果，希望能在更广泛的领域中有所应用 在第三章中，我们引入经典拓扑空间中仿拟一致结构的概念，并在此基础上 讨论了诱导拓扑与拓扑的仿拟一致化等问题考虑到经典拓扑是不分明拓扑的特 例，不分明拓扑是经典拓扑的推广，我们希望本文中得到的结果可以推广到一般 的不分明拓扑空间中去，并在相关研究领域有所应用 关键词：不分明拓扑，不分明预序，拓扑套，表现定理，拟一致化结构 t h eg e n e r a t i o na n dr e p r e s e n t a t i o nf o rf u z z yt o p o l o g i e s a b s t r a c t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w et r yt os t u d 3 t h eg e n e r a t i o na n dr e p r e s e n t a t i o nf o r f u z z t o p o l o g i e s i t sc o n t e n t sa r ed i v i d e di n t ot h r e ec h a p t e r s i nc h a p t e ro n e ，w ed i s c u s st h er e l a t i o n s h i pb c t w e e nf u z z i f y i n gt o p o l o g i e sa n d f u z z yr e l a t i o n sas a t u r a t e df u z z i f t i n gt o p o l o g yc a r lb eg e n e r a t e db yar e f l e x i v e f u z z yr e l a t i o n ；a n dc o n v e r s e l y , af u z z yp r e o r d e rc a nb eg e n e r a t e db yaf u z z i f y i n g t o p o l o g yi nf a c t ，t h e r ee x i s t sao n e - t o - o n ec o n e s p o n d e n c eb e t w e e nt h es e to fa l l s a t u r a t e df u z z i f y i n gt o p o l o g i e sa n dt h a t o fa l lf u z z yp r e o r d e r s i ts u p p h e st h e t h e o r e t i c a ls u p p o r tt os e tu pt h ei n t e r n a lr e l a t i o n s h i pb e t w e e nf l l z z yp r e o r d e r s s t r u c t u r ea n df u z z i 印n gt o p o l o g i e s i nc h a p t e rt w o ，w ea p p l yt h ei d e ao fn e s t e ds e t st op r o p o s et h ec o n c e p t so f n e s t e dt o p o l o g i e sb a s e do nt h ec o n c e p t so fm i n i m a ls e ta n dm a x i m a ls e t b yi n - t r o d u c i n gs o - c a l l e df l - e q u i v a l e n c ea n do - e q u i v a l e n c eo nc o m p l e t el a t t i c eo fn e s t e d t o p o l o g i e so na n yf i x e du n i v e r s ex ，w ef i n dt w oq u o t i e n to b j e c t sw h i c ha r eb o t h i s o m o r p h i ct ot h ec o m p l e t el a t t i c ec o n s i s t i n go fa l l ( l ， ，) 一t o p o l o g i e so nt h ef i x e d u n i v e r s e i nc o n c l u s i o n ，w ee s t a b l i s ht h er e p r e s e n t a t i o nt h e o r e m sf o r ( l ， ，) 一 t o p o l o g y t h e s er e s u l t ss u m m a r i z er e l a t i v ed i s c u s s i o n si nr e s e a r c hh t e r a t u r e sa n d h o p e f u l l yi tw o u l dh a v eg o o du s e si ng e n e r a lc a s e s ， i nc h a p t e rt h r e e ，w ep r o p o s et h ec o n c e p to fp a r a - q u a s i u n i f o r m i t i e sf o rc l a s - s i c a lt o p o l o g i c a ls p a c e s ，a n dd i s c u s st h ep r o b l e mo ft h eg e n e r a t i o na n dp a r a - q u a s i - u n i f o r m i n gf o rt o p o l o g y c o n s i d e r i n gt h a tt h ec l a s s i c a lt o p o l o g yi sas p e - c i a lc a s eo ff u z z y t o p o l o g ya n dt h ef u z z yt o p o l o g yi st h ee x t e n s i o no fc l a s s i c a l t o p o l o g y , w eh o p et h er e s u l t so b t a i n e di nt h i sp a p e rv a nb ee x t e n d e dt of u z z y t o p o l o g i c a ls p a c e sa n dh a v eag o o du s e di nr e l a t i v er e s e a r c hf i e l d k e y w o r d s l f u z z yt o p o l o g y , f u z z yp r e o r d e r ，n e s t e dt o p o l o g y , r e p r e s e n - t a t i o nt h e o r e m ，q u a s i - u n i f o r m i t y i i i 独创声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果据我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含其 他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含未获得 (2 或其他教育机构的学位或证书使用过的材料与 我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表 示谢意 学位论文作者签名：能参讳签字蹴卅年r 月z 妒 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅本人 授权学校可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用 影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论文( 保密的学位论文在解密后 适用本授权书) 学位论文储繇帖，磷 签字眺刎年r 月咖 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 、 导师签字，了这堂扩a 签字日娥r d 0 1 年r 月冲日 i 电话： 邮编 引言 自从c h a n g 3 】把模糊理论应用于拓扑，学者们讨沧了模糊拓扑的许多方面 【6 - - 8 ，1 4 - 1 5 ，1 7 - 1 8 ，2 2 ，3 叫然而。在一个完全不同的方向，h 6 h l e 提出了一种 新的拓扑概念，其形式为论域x 的幂集合2 0 的一子集之后s o s t a k1 2 6 】把 h 6 h l e 的拓扑构造推广为格值幂集的l 一子集，并称这种拓扑为l - f u z z y 拓 扑，其中l 是值格作为更殷的表示方法，我们用( l ，m ) - 拓扑来表示形式 为的m 一子集的拓扑，其中 ，仍为值格在这种意义下，先前由c h a n gf 3 】 和g o g u e n ( 6 】引入的拓扑概念被称之为l 一拓扑当l 为单位区间【0 ，1 】时， l - f u z z y 拓扑的概念也出现在 1 】和之后的f 2 1 ，并称之为s m o o t h 拓扑后来， m y i n g 【3 2 】对于l - f u z z y 拓扑( 此处l 一【0 ，1 ) 介绍了一种新的逻辑方法，并 提出了不分明化拓扑的概念 模糊关系，特别是不分明预序，是模糊集理沦的基本概念，并且在模糊集理论 的许多方面发挥着重要作用，例如对于l 一拓扑的研究模糊关系与l 一拓扑之 间的联系是模糊集理论的个传统课题在【2 ，9 ，1 0 ，1 2 ，2 9 】中，一种l o w e n 【1 8 】 意义下的l 一拓扑可以由模糊等价关系诱导a k s r i v a s t a v a 和s p t i m a r i 2 8 1 证明了在给定论域上的与一个自反且传递的模糊关系对应的模糊近似算子 是饱和的k u r a t o w s k i 模糊闭包算子进而，k q i n 和z p e i 2 0 】证明了，在有 限沦域上，自反且传递的模糊关系可以诱导出工一拓扑，反之亦然最近，h l a i 和dz h a n g 1 6 】又从范畴角度研究了不分明顶序，拓扑空间和l 一拓扑空 问之间的内在联系 基于以上背景，我们研究的初衷之一是讨论不分明化拓扑与模糊关系之间的 内在联系值得注意的是这个题目与现有文献中讨论的关于l o w e n 【1 8 】意义下 的三一拓扑与模糊关系之间的联系是不同的通过研究，我们给出了不分明化拓 扑和模糊关系之间相互诱导的方法，并建立了饱和不分明化拓扑与不分明化预序 之间的一一对应 另一方面，在模糊集理论中，集合套的思想有着重要的作用它使得许多模 不分明拓扑的诱导与表现 糊集的概念和问题变得易懂，并且可以通过经典的方法进行研究例如，对于一 般值格l ，史福贵 2 3 - 2 5 ，n e g o i t a 和r a l e s c u 【19 】分别证明工一模糊集可以由 递缩的经典集族来刻画，并给出了模糊集的分解与表现定理由于( l ，m ) 一拓 扑可以被看作是一种满足特定条件的模糊集，因此集合套的思想也可以应用于不 分明拓扑的研究 jz h a n g 3 6 ，应用如集合套和l 。集合套【2 3 】的思想定义了几个集合( 如 u 。 x 】，u 【x ) 来讨论l - f u z z y 拓扑的表现定理由于构成如上集合的元素必须 满足较强的条件，从而随之得到的表现定理只能基于并半格同构，而不是完备格 同构的基础上的因此，我们希望通过别的途径来建立新的表现定理以克服这种 缺陷为了使结论更具般性，我们以( l ， ，) 一拓扑作为讨论的对象 为了完成本文的另一个研究目标，我们提出了拓扑套的概念通过在拓扑套 全体所构成的完备格上定义所谓的p 一等价与o t 一等价，我们找到了两个商集， 它们都与( l ， ，) 一拓扑的全体所构成的完备格同构，也就是建立了( l ，a t ) 一拓 扑的表现定理值得指出的是，这种表现定理是基于完备格同构的基础之上的 因此，即使是对于l - f u z z y 拓扑，其结果也较文献【3 6j 更加广泛 我们研究的第三个方面是关于拓扑空间的拟一致结构众所周知，拟一致结 构对于拓扑度量性的研究有着重要作用，然而目前一般使用的拟一致结构却有 着如下令人不满意的实事z 从诱导拓扑的角度分析，拟一致结构的条件并不都必 要；从拓扑的拟一致化角度分析，拟一致结构的条件还可以改善，使之在导出拓 扑与拟一致化之间有较好的协调性 在本文的最后一部分，我们引入了经典拓扑空间中的仿拟一致结构的概念， 并在此基础上讨论了诱导拓扑与拓扑的仿拟一致化等问题考虑到经典拓扑是不 分明拓扑的特例，不分明拓扑是经典拓扑的推广我们希望本文中所得到的结果 可以推广到一般的不分明拓扑空间中去，并在相关研究领域有所应用 需要指出的是，为了表述的方便，我们将混用不分明”与模糊”这两个词 语 2 第一章不分明化拓扑与不分明预序之间的一一对应 第一章内容是如下安排的 第一节，为便于读者阅读，我们重述一些关于不分明化拓扑和模糊关系的基 本概念与结沦；第二节，我们利用模糊粗糙集理论中模糊近似算子的思想，解决 如何从模糊关系出发诱导出不分明化拓扑的问题，并给出了一般性的方法；第 三节，我们讨论了相反的问题，也就是如何从不分明化拓扑出发，诱导出模糊关 系；第四节，利用前面得到的结果，我们建立了饱和不分明化拓扑与不分明预序 之间的一一对应 1 1 与不分明化拓扑和模糊关系有关的知识 在本文中，记x 是非空论域x 的子集( 模糊集) 的全体记做护( x ) ( 萝( x ) ) 罗( x ) 的最大元( 最小元) 记做l x ( o x ) 模糊子集r 莎( x x ) 称作x 上的 模糊关系，r ( z ，y ) 表示z 和y 之间有关系的程度另外，我们用，表示单位区 间【0 ，l 】 在现有文献中，自反性和传递性是模糊关系经常被讨论的基本性质，文献 【1 1 是其中之一 定义1 1 1 设r 是x 上的模糊关系称兄为自反的，如果对任意x x ， 有r ( z ，z ) = 1 ；称兄为传递的，如果对任意x ，：x ，有r ( z ，z ) v ( r ( z ，) a y e x r ( y ，：) ) ；称r 为不分明预序，如果冗是自反且传递的口 定义1 1 2 ( y i n g 3 2 1 ) 设x 是非空论域称映射矿：汐( x ) + j 是x 上 的不分明化拓扑，如果如下条件成立： ( f o a l ) 岁( 毋) = 3 ( x ) = l ； ( f o a 2 ) v a l ，a 2 汐( x ) ，少( 月lna 2 ) 少( a 1 ) a 岁( 2 ) ； ( f o a 3 ) v a j b e j 护( x ) ，少( ua j ) a 矿( 如) 并且称( x ，矿) 是不分明化拓扑空间进步，如果一个不分明化拓扑岁满足： 3 不分明拓扑的诱导与表现 ( s o a 2 ) v j j 9 【x ) ，少( na j j 少( a ) ， j j，j 那么称矿为饱和的不分明化拓扑，并且称序对( x ，矿) 为a l e x a n d r o f f 不分明化 拓扑空间口 下面我们介绍不分明化拓扑中邻域系的概念，对于更一般l - f u z z y 拓扑空 间，其邻域系的概念可参考【2 7 】或 4 - 5 1 定义1 1 3 ( y i n g 【3 2 1 ) 设( x ，少) 是不分明化拓扑空间对任意z x ，用 帆：汐( x ) ，记z 的邻域系，其定义如下； v a 护( x ) ，蛇( 月) = v2 r ( b ) x e b c a 在本文中，称集合n = 也lz x ) 为不分明化邻域系口 引理1 1 4 ( y i n g 【3 2 ) v a 夕( x ) ，矿( a ) = 肛( a ) 口 x e a 定义l 1 5 ( z h a n g 3 3 j ) 非空沦域x 上的广义邻域系是一个映射的集合 n = 心iz x ，其中映射也：汐( x ) 川茼足：对任意矿( x ) ， ( g n i ) 0 ( x ) = l ， 0 ( 西) = o ； ( g n 2 ) 0 ( 矿) 0 辛z ( g n 3 ) 虬( 矿nv ) = 帆( c ，) a 他( y ) ； ( g n 4 ) 0 ( u ) = va ( 矿) 口 # v uy e v 注1 1 6 不难看出，由论域x 上的不分明化拓扑按照定义1 1 3 所导出的 不分明化邻域系一定是定义1 1 5 意义下的广义邻域系z h a n g 【3 3 还证明了在 给定论域x 上，其不分明化拓扑与广义邻域系之间存在一一对应因此，由定 义1 13 和引理1 1 4 知，给定论域x 上的不分明化拓扑与不分明化邻域系之间 也可以相互确定口 1 2 由模糊关系诱导不分明化拓扑 在这一部分中，我们将讨论如何从模糊关系诱导出不分明化拓扑，这里要求 模糊关系至少是自反的这种生成不分明化拓扑的方法源于我们对模糊粗糙集理 论中近似算子的研究因此，首先让我们介绍一种新的近似算子，称之为r 一上 不分明化近似算子( r 一下不分明化近似算子) ，并讨论它仍的一些基本性质 4 不分明拓扑的诱导与表现 定义1 2 1 设x 是非空论域，r 是x 上的模糊关系称序对( x ，r ) 是近 似空间，并且 ( 1 ) 映射矗：汐( x ) + 莎( x ) ，称为r 一上不分明化近似算子，其定义为： v a 矽( x ) ，玑c x ，r ( a ) ( z ) = vr ( x ，口) y e a ( 2 ) 映射点：汐( x ) 一莎( x ) 称为r 一下不分明化近似算子，其定义为： v a ：尹( x ) ，v x x ，且( a ) ( z ) = a ( 1 一r ( x ，) ) 口 妊 一 显然，对取定口x ，构造单点集a = g 汐( x ) ，则我们有充( 4 ) ( z ) = n ( x ，y ) 对任意z x 成立如果构造a = x 订汐( x ) ，那么我们有 点( 4 ) ( z ) = 1 一r ( x ，) 对任意z x 成立 下面我们来讨论如上定义的不分明化近似算子的一些基本性质 定理1 2 2 设咒是x 上一个自反的模糊关系，那么有 ( 1 ) 点( x ) = i x ，且( 西) = 0 x ； ( 2 ) r ( x ) = i x ，尺( 庐) = o x ； ( 3 ) 墨( n 也) = a 旦( ) ，兄( ua j ) = vr ( 山) ； ，j ，o ! 掣 ，o ( 4 ) v a 多( x ) ，旦( ) a r ( a ) 证明：( 1 ) ，( 2 ) ，和( 4 ) 是平凡成立的下面我们来证明( 3 ) ： 乩x ，v a j b ，汐( x ) ， 育( ua j ) ( z ) j e j = v 育( 。) ( z ) = ( v 育( a ) ) ( z ) ； 1 e ji j 旦( n a j ( x ) = 八( 1 一兄( z ，y ) ) = 八八( 1 一冗( z ，y ) ) i c dna j j j _ a j j e j = 八旦( 山) ( z ) = ( 八量( 鸟) ) ( z ) ，口 借助于下不分明化近似算子，可以定义广义邻域系，进而可以诱导不分明化 拓扑事实上，我们可以按如下方式定义有望成为广义邻域系的映射族n r = l 。x ，其中z x ， 筝：( x ) ，的意义如下： 5 可 上r v 峨 v = y 石 r 山 v u 蚱 i i 不分明拓扑的诱导与表现 v a ( x j ，哆( a ) = 且( a ) ( z ) = ( 1 一只( z ，) ) a 为了回答如上定义的映射族8 是否为广义邻域系，如下引理是必须的 引理1 2 3 设r 是x 上自反的模糊关系，则集合n 8 = n 2 lz x 有 如下性质： ( g n l ) 拳( x ) = 1 ， 善( 庐) = o ； ( g n 2 ) 孵( a ) 0 辛z a ； ( s g n 3 ) 筝( na j ) = 孵( a j ) 进一步，如果凡是不分明预序，那么 ( g n 4 ) 管( a ) = v # ( b ) 特别地，由( s g n 3 ) 可知，a bj 乙( a ) 0 ( b ) 证明；由于y 2 ( j 4 ) = 旦( a ) ( 。) ，结论( g n l ) 和( s g n 3 ) 可看作是定理1 2 2 ( 1 ) 和( 3 ) 的重述 ( g n 2 ) 设对某z x ，醒( a ) 0 从9 2 的定义知r ( x ，y ) a 的实数那么从 口( a ) 的 定义得知 v g 盛a ，l 一兄( 。，y ) a ，i e ，a ( x ，y ) 1 一a ) ，则z b + a 我们断言v y b + ，有 坩【扩) a 成立进而得到， v 八# ( b ) 八# ( b + ) a ， 6 不分明拓扑的诱导与表现 再由a 的任意性知 v 八坩( b ) 瞪( a ) x e b a y e b 事实上，v z 隹b ，兄( z ，：) 1 一a ，既然v y b ，r ( x ，y ) 1 一a ，从 而有r ( u ，z ) 1 一a 成立否则，冗( g ，。) 1 一a ，那么由r 的传递性知 r ( t ，：) 冗( z ，y ) ar ( u ，z ) 1 一a 得到矛盾 所以我们得到v y b + ，坩( 伊) = a ( 1 一r ( ，z ) ) l 一( 1 一a ) = a ，口 ：碰口 由此引理可见，如果模糊关系是不分明预序，则映射族8 不仅是广义邻域 系，而且满足更强的条件因此我们引入如下定义 定义1 2 4 满足( g n l ) ，( g n 2 ) ，( s g n 3 ) 和( g n 4 ) 的映射札：汐( x ) 一， 所组成的集合n = 帆iz x ，称为x 上的饱和不分明化邻域系口 注1 2 5 根据注1 1 6 ，我们可以证明，给定论域上的饱和不分明化邻域系可 以诱导出饱和不分明化拓扑，反之依然 口 为了最终回答从适当的模糊关系出发确实可以诱导论域上的饱和不分明化 拓扑的问题，我们自然需要证明如下命题 命题1 2 6 设兄是沧域x 上自反的模糊关系定义岁8 ：汐( x ) ，如 百 v a 汐( x ) ，矿8 ( 4 ) = 乎( 4 ) z e a 那么少r 是x 的饱和不分明化拓扑 证明：( f o a l ) 显然，少8 ( 毋) = 1 ，罗8 【x ) = 1 ( s o a 2 ) 对任意 山 j j 护( x ) ，由引理1 2 3 ( s g n 3 ) 和岁8 的定义有 矿8 ( n a j ) =八瞪( n 如) = 八八孵( ) 妊j “娶j a “廷j 蛳“ 7 锄 r 矿 八斛 | | 蛳嘭 八毗 八m 山噔 a 八o 蜒八州 i i 不分明拓扑的诱导与表现 ( f o a 3 ) 对任意 a j b ，汐( 州，由引理1 2 3 ( s g n 3 ) 和矿8 的定义有 罗8 ( u 山) j ， 八八n 2 ( a a = 八少“( 如) 口 ，j a j 5 j 如果仅从模糊关系诱导不分明化拓扑的问题出发，据上述命题可知，模糊关 系只需满足自反性为了理论发展的需要，我f r i l l 入如下严格的定义 定义1 2 7 矿8 称为由x 上自反的模彻关系r 诱导的不分明化拓扑口 至此，我们已经给出了由x 上自反的模糊关系冗诱导不分明化拓扑岁8 的 方法在这一部分的最后，我们给出直接由r 计算岁8 的具体表达式，以备稍 后使用 命题1 2 8v a 汐( x ) ，岁r ( a ) = 1 一v 冗( z ，) ，其中：= x ( z , y ) e a xa ， 证明；对任意a 驴( x ) ， 矿8 ( a ) = 八孵( a ) = 八八( 1 一r ( z ，掣) ) z e a x e a ，t a = 1 一vvr ( z ，) = 1 一v r ( x ，v ) 口 ，e 川扛露拒a x 1 3 由不分明化拓扑诱导模糊关系 下面我们讨沧相反的问题即在已知论域x 上的不分明化拓扑夕时，如何 来定义x 上的模糊关系我们给出如下定义 定义1 3 1 设矿是x 上的不分明化拓扑由岁确定的模糊关系r ，： xxx 一，被定义为 v ( x ，y ) x x ，r 尹( 。，y ) =( 1 一。少( a ) ) 口 ( u ) e a a 作为定义1 3 1 的一个直接结论，我们有 引理1 3 21 一r ，y ) -va 兢( a ) ，其中心( a ) = v 夕( b ) ， 8 岛 u 膨 孵 八酬 八纠 | | 山 u 噔 a 八u m 琏 1 i 不分明拓扑的诱导与表现 证明：由引理1 14 ，我们有 尺，( z ，y ) = a ( 1 一少( a ) ) = a ( 1 一a 肛( a ) ) 【z ，y ) e a a ( ，y ) e a a 。 = e a = 1 一v 八m ( a ) r l ( z ，y ) c a a ，z e a r ，作为论域x 上已知的不分明化拓扑岁诱导的序关系，我们希望它有较 好的性质。下列结果对此给予回答 定理1 3 3 设矿是x 上的不分明化拓扑那么r 矿是x 上的不分明预 序 证明：( 1 ) 显然，v x x ，r , r ( z ，t ) = 1 ( 2 ) 对任意z ，y ，。j y ，由引理1 3 2 可知 并且 ( 1 一r ，( z ，萝) ) v ( 1 一冠，( ，力) = ( v 八n o ( c ) ) v ( v 八肌( d ) ) 、, v ) e c x c s e c 7 、扫，z ) e d x yt e d 7 1 一r 3 ( z 。z ) = v 八r ( e ) ( z ) c e e t e e 往证r 矿( 已：) r 岁( z ，) r ，( ，z ) ，只需有如下不等式成立即可 v 八坼( e ) ( v 八肛( e ) ) v ( v 八n t ( d ) ) 缸，z ) e e x e t e e ( z ，y ) e c ) ( c ，5 o【，z ) e d x d t e d 事实上，对任意涵z ) e f ，如果扩蜀注意到2 叠e ，则有 八r ( e ) v 八m ( d ) t e e ( “z ) e d d t e d 否则，如果”芒e ，注意到z e ，那么 八孵( 司v八魑( e ) t e e 任t ) e c x c 5 c 9 不分明拓扑的诱导与表现 因此，我们总有下列不等式成立 v 八n r ( e ) ( v 八虬( c ) ) v ( v 八肌( d ) ) 口 枉，：) e x e ，r e e扛，d c c c ，c【玑z ) g d x d t d 至此，我们给出了一个从论域x 上的不分明化拓扑诱导模糊关系r ，的一 般方法，r 9 实际上是一个不分明预序 1 4 不分明化拓扑与不分明预序之间的一一对应 这一部分，我们将讨论，在给定论域x 上，如上所给出的不分明化拓扑与 模糊关系相互诱导方法之间的关系 引理1 4 1 ( 1 ) 如果r 是x 上自反的模糊关系，那么r ( ，2 ) 冗；并且 兄( ，8 j = r 当且仅当r 是不分明化预序 ( 2 ) 如果岁是x 上的不分嘲化拓扑，那么岁( 2 ) s t ；并且岁舻 = 岁 当且仅当少是饱和的 证明：( 1 ) 的证明分成如下两部分： ( i ) 对任意( z ，y ) x x ，我们有 兄( ，8 ( z ，g ) = a( 1 一矿8 ( a ) ) ( 由定义1 3 1 ) ( 2 ，y ) e a x a = 八v | r ( 毛 ) ( 由命题1 2 8 ) 扛，y ) e a x a 忙，w ) e a x a n ( x ，可) ( i i ) 如果r 是不分明化预序，要想得到_ r ( 矿8 ) = r ，只需证明，对任意 ( r ，可) x x ，硝岁8 ( z ，v ) r ( x ，f ) 进一步只需有如下结论即可t 对任意 a ， l ，如果j r ( ，8 ( 工，v ) a ，刃西么r ( x ，y ) a 事实上，如果r ( x ，y ) a ，构造b = zir ( x ，2 ) a ) 汐( x ) ，那么b 和z b ( 由r 的自反性) 所以( z ，) b b 7 既然 r ，8 ( 最曲= av 冗( 五q ) a ， 扛，y ) 6 a a ( ：埘) a x ， 1 0 不分明拓扑的诱导与表现 故存在( z ，u ，) b ，使得r ( 。，叫) a 由b 的定义知，冗( z ，= ) a 并且 r ( z ，w ) a 但是冗( z ，w ) r ( 。，z ) a 兄( 。， ) a ( 由尺的传递性) 得出矛盾 反之，如果兄= 真汐“，那么由命题i ，2 6 和定理1 3 ，3 知只是一个不分明 预序 ( 2 ) 的证明也分成如下两部分进行： ( i ) 对任意a 汐( x ) ，我们有 。少( 8 9 ( a ) = 1 一vr 穸( z ，)( 由命题1 2 8 ) 扛动e a x a = 1 一 v八 ( 1 一岁( d ) ) ( 由定义1 3 1 ) 扛彤) e x ( x , y ) e d x l y = 八v 矿( d ) 扛，y ) e a a 7 临，y ) e d x d 矿( a ) f i i ) 如果少是饱和的，想要得到岁( 8 ) = 夕，只需迁明，对任意a ( x ) ， 矿( 8 ) ( a ) 矿( ) 进一步只需有如下结论即可：对任意 i 1 ) ，如果 岁( 8 ( a ) ，那么y ( a ) a 既然 矿( 8 ( a ) =八v矿( d ) a ， 扭曲a x a ( m , , v ) e d x d 对任意y a 7 ，z a ，存在d ；汐( x ) ，使得。d ；，隹d ；，和矿( d ；) a 令d 一= u d ；，那么”隹d v ，a d 。，并且岁( d ”) a 矿( d ；) a - 显然， a = nd 。所以我们得到y ( a ) a 岁( 巩) a ( 因为矿是饱和的) 反之，如果岁= 矿( 8 “，那么由定理1 33 和命题1 2 6 知岁是饱和的口 用f t ( x ) ( 相应地，s f t ( x ) ) 表示x 上不分明化拓扑( 相应她，饱和不分 明化拓扑) 的全体所组成的集合并且用f p r o r d ( x ) 表示x 上不分明预序的 全体所组成的集合那么我们有 定理1 4 2f p r o r d ( x ) 与s f t ( x ) 一一对应 证明；令0 ：f p r o r d ( x ) 一s f t ( x ) 是如下定义的映射 v r f p r o r d ( x ) ，0 ( r ) = 岁8 不分明拓扑的诱导与表现 根据引理1 4 1 ，易知0 是从f p r o r d ( xj 到s f t ( x j 的一一对应d 如果x 是有限论域，我们知道x 上的不分明化拓扑总是饱和的因此，作 为定理1 4 2 的一个直接结论，我们有 推论1 4 3 如果x 是有限论域，f p r o r d ( x ) 与f t ( x ) 一一对应口 在这一部分最后，我们指出，如上得到的一一对应关系在某种意义下是一个 有趣的现象本文中所得到的结果必须基于最小值t 一模a 意义下的传递性 有读者可能会问，如果是基于其他t 一模意义下的传递性，相应的结果是否成立? 事实上，答案是否定的，即使是对于有限沦域的情况下面我们以l u k a s i e w i c 2 t 一模“4 ”为例进行说明，其中z + y = m a x x + y 一1 ，o ，对于任意f ， 例1 4 4 设x ； d ，b ，c ，模糊关系咒定义如下 显然，r 是自反的，但不是a 一传递的进步，可以验证兄是十一传递 的，其中“ ”是l u k a s i e w i c zt - 模由引理1 4 1 ( 1 ) 的证明，我们可以计算出 凡( 罗“) 如下 硝，8 ) obc al ； b ；1 ； c ；1 所以r ( 岁8 ) r ，相应与引理5 1 ( 1 ) 的结论也就不能对 一传递性成立口 1 5 小结 众所周知，模糊关系，特别是不分明预序，对于表述复杂的逻辑演算方法有 重要作用另外，不分明化拓扑是一种抽象的数学理沦由于前面已在二者之间 不分明拓扑的诱导与表现 建立起了一一对应关系，我们希望现有文献中关于不分明化拓扑的逻辑演算与推 理方法可以合理有效地应用于模糊推理模型当中 1 3 第二章( l ，m ) 一拓扑的表现定理 第二章内容是如下安排的 第一节，为便于读者阅读，我们重述一些关于( l ， ，) 一拓扑和完全分配格 的基本概念与结论；第二节，我们运用集合套的思想并结合极大集与极小集的知 识引入了拓扑套的概念，并讨论其基本性质；第三节，我们通过在拓扑套全体所 构成的完备格上定义所谓的p 一等价与q 一等价，建立了( l ，肼) 一拓扑的表现 定理 2 1 与( l ，m ) - 拓扑和完全分配格有关的知识 设x 是非空沦域l 和 ，是完全分配格在不引起混淆的情况下，都用 1 和0 来表示他们的最大元和最小元x 上的一模糊集全体记为l x 工x 的 最大元( 相应地，最小元) 记为i x ( 相应地，峨) 为简便起见，我们不区分经典 集和它的特征函数 定义2 1 1 ( 王国俊【3 0 - 3 1 ) 设口l ，a l ( 1 ) 称a 是a 的极小集，如果 ( a ) s u p a = n ； ( b ) v b l ，s u p b d 蕴含着v x a ，存在y b ，使得z ( 2 ) 称 是a 的极大集，如果 ( a ) i ，o ，一= 弼 ( b ) v b l ，i n b n 蕴含着v x a ，存在y b ，使得。口 注2 1 2 ( 王国俊【3 0 - 3 1 ) 完备格l 是完全分配的当且仅当l 中的每个元 素都有极小集( 或极大集) 口 用卢( n ) 记n 的全体极小集的并集，a ( n ) 记a 的全体极大集的并集易知 p ( n ) 还是a 的极小集，a ( a ) 也还是n 的极大集，并且z ( o ) = 西，n ( 1 ) = 毋 定义2 1 3 ( h s h l e 【7 】，k o t z 6 【1 3 1 ，k u b i a k 【1 4 1 5 】，g o s t a k 【2 6 ，y m g 【2 6 】和 1 5 不分明拓扑的诱导与表现 z h a n g 【3 4 - 3 5 1 ) 若岁：l 3 一吖，满足： ( 0 1 ) 。少( 1 x ) ：少( o x ) = 1 ； ( 0 2 ) v a i ，a 2 l ，。少( a la a 2 ) 。少( a 1 ) a 。少( j 4 2 ) ； ( 0 3 ) v a a j ，少( v 如) a 矿( a i ) j j j e j 那么步称为x 上的( l ， ，) 一拓扑，序对( x ，少) 称为( l ， ，) 一拓扑空间 当 ，= 2 时，上面的条件可以用经典逻辑表述： ( 0 1 ) l x 岁，0 x 矿； ( 0 2 ) v a i ，a 2 矿，a la a 2 矿； ( 0 3 ) v a j b j 少，va j 岁， j j 此时岁称为x 上的l 一拓扑。序对( x ，矿) 称为一拓扑空间口 我们之所以选择( l ， ，) 一拓扑进行讨论是因为它涵盖了现有研究不分明拓 扑的文献中出现的各种形式的拓扑因此我们易将本文所得到的结沦推广到其他 形式的拓扑上去例如当 ，= l ，岁是l - f u z z y 拓扑【7 ，1 4 ，2 6 】；当 ，= 2 ，矿 是l 一拓扑；当l = 2 和m = 【0 ，1 】，矿不分明化拓扑【3 2 ，3 4 】 对于( 己，m ) 一拓扑矿及n m ，我们定义 。铂= t a l xi 夕。( a ) n ，颤由= ( a l xfn p ( 少( a ) ) ) 岁h = ( 月l 。y fn 聋n ( 矿( 一) ) ，。少( = 月工x i 。少( ) 菇b 可以证明，对任意a m ，乡锄与罗叫都是l 一拓扑( 见引理2 2 2 ) 由于 多0 ) 和少( 。) 一般不是l 一拓扑，我们引入定义 名= va a s , t ij 4 “颤咖t 一s s ，其中s 有限) 圯t5 少4 = v 八月球i 一甜矿，t zs & ，其中最有限) 蜒to 从定义形式可以看出，玩和少。分别是由名。) 和岁( 4 ) 作为子基导出的 l 一拓扑进而，我们有下面的引理 引理2 1 4 ( 史福贵 2 3 2 5 】和王国俊 3 0 - 3 1 1 ) 对于( l ，m ) - 拓扑少及 a ，b ，c m ，我们有 1 6 不分明拓扑的诱导与表现 ( 1 ) 置。) 舅目，岁( 。f i n ； ( 2 ) o b = 确研q ，颤6 ) 反。) ，f f l b 少悯，岁扣i f ( 。) 玩玩，少6 岁4 ； ( 3 ) a b 营卢( n ) p ( 6 ) 寺o ( 6 ) o ( n ) ； ( 4 ) 对 啦) ；m ，有p ( va i ) = up ( m ) 和( aa i ) = uo ( 田) 坨a 花al ( 5 ) 口( ) = u 3 ( b ) 故c 卢( 。) 车 s b 卢( “) ，8 t c 口( 6 ) ； 蚝口( 神 口( n ) = uq ( 6 ) 故c a ( a ) 亭3 b o ( 8 ) ，s t c a ( 6 ) 口 2 2 拓扑套 在这部分中，我们引入拓扑套的概念并讨论其基本性质用l t ( x ) 己x 上l 一拓扑全体组成的集合，其中l t ( x ) 是一个带有交并运算的完备格值得 注意的是下文讨论时，沦域x 固定不变 定义2 2 1 设映射i t ：m l t ( x ) 如果a l 0 2 = h ( a 2 ) 何( n 1 ) ，则 称为x 上的( l ， ，) 一拓扑套并用j ( x ) 记x 上的( l ，m ) - 拓扑套的全 体所组成的集合口 现在我们讨论一些特殊形式的( l ， ，) 一拓扑套，意在为下文做准备，并为 ( l ， ，) 一拓扑套提供了实际例子然后，建立( l ，m ) - 拓扑的分解定理 引理2 2 2 设映射矿：l x ， ，则下面诸条等价； ( 1j 岁是x 上的( 工， j 一拓扑； ( 2 ) v a h i ，乡商是x 上的l 一拓扑； ( 3 ) c a h i ，岁【d 】是x