（应用数学专业论文）三个种群的捕食食铒反应扩散方程的定性分析.pdf

中文摘要 本文主要研究三个种群的捕食一食饵反应扩散方程的定性分析问题 全文共分为五章 第一章为前言，主要介绍所要研究的问题及其相关背景 第二章为相关的基础知识和基本定理，为后面研究问题打下基础 第三章主要研究以下模型： 札1 t d ia u l = u x ( 1 一t 1 ) 一旦l + 业b u l r f 】m 甄u i l u r 3 丽， u 2 t d 2 k u 2 = m u 2 ( 一l + 器) ， u 3 t d 3 a u 3 = m u 3 ( 一1 + 邢e u l ) ， 静= 够= 旁= 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z 勰，t 0 ， z q 主要讨论该模型在参数满足一定条件时是否存在非常数正解 第四章主要研究以下模型： ? 2 1 t d l k u l5 r l u l ( 1 一t 1 ) 一堡l + 业b t q 乏一旦i + 业3 u l ， 峨一d 2 a u 2 = r 2 u 2 ( 一1 - i - 篇) ， u 3 t d 3 k u 3 = r 3 u 3 ( 1 一希) ， 静= 够= 警= 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z a q ，t 0 ， z q 主要讨论该模型的耗散性，持久性，稳定性，以及在何时不存在非常数正解， 何时存在非常数正解 第五章为结束语，总括全文的工作 关键词：反应扩散；耗散性；持久性； 稳定性；有界性；解的存在性 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r ，t w op r e d a t o r p r e yr e a c t i o n - d i f f u s i o nw i t ht h r e es p e c i e sm o d e la r e c o n s i d e r e d t h ep a p e ri sm a i n l yd i v i d e di n t of i v ec h a p t e r s t h ef i r s ts e c t i o ni st h ei n t r o d u c t i o no ft h ew h o l ep a p e r w et a l ka b o u tt h eb a c k - g r o u n do ft h i sp r o b l e m ，a n dm a k ep l a n sf o rt h er e s e a r c ho ft h ep r o b l e m s t h es e c o n dc e c t i o nm a i n l yi n t r o d u c es o m eb a s i ck n o w l e d g ea n dc o r r e l a t e dt h e o r e m t h et h i r ds e c t i o no ft h ep a p e rm a i n l yi n v e s t i g a t e st h en o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u - t i o no ft h ef 0 1 1 0 而n g l o d e l ： 札l t d l a u l = t 1 ( 1 一t 正1 ) 一等瓮簧一f 刃a 芄m 1 u 蕊3 ，z f l , t 0 ， 乱甜一d 2 a u 22m u 2 ( 一1 + 1 + e u 6 t ll l ， z q t o ， _ “3 t d 3 a u 3 = m u 3 ( - 1 + 再百e t 1 u 干：l 石石) ， z f l , t 0 ， 静= 铬= 努= 0 ， z 勰，t 0 ， t 正i ( z ，0 ) 2o ，t = 1 ，2 ，3 ， z q w ew i l lo b t a i nt h en o n - e x i s t e n c ea n de x i s t e n c eo fn o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o n s t h ef o r t hs e c t i o nm a i n l yi n v e s t i g a t e st h en o n - c o n s t a n tp o s i t i v es o l u t i o no ft h e f o l l o w i n gm o d e l ： u l t d l a u l = r l u l ( 1 一札1 ) 一等品酱一芋昂酱，z f t , t 0 ， u 麓一d 2 a u 2 = r 2 u 2 ( 一1 + 嚣妨) ， z q ，t 0 ， u 3 t d 3 a u s = r 3 u 3 ( 1 1 u t s 1 ) ， z f l , 古 0 ， 势= 警= 磐= 0 ， z 砚，t 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， z q w ed i s c u s st h ed i s s i p a t i o n ，p e r s i s t e n c e ，t h es t a b i l i t yo ft h ep o s i t i v ec o n s t a n ts o l u t i o no f t h i sm o d e l m o r e o v e r ，n o n - e x i s t e n c ea n de x i s t e n c ec o n d i t i o n sf o rn o n - c o n s t a n tp o s i t i v e s o l u t i o na r e 西v e n a tl a s t w es u 功如a z et h er e s u l t so ft h ew h o l ep a p e r k e yw o r d s ：r e a c t i o n - d i f f u s i o n ；d i s s i p a t i o n ；p e r s i s t e n c e ；s t a b i l i t y ；u p p e ra n dl o w e r b o u n d s ；e x i s t e n c eo fs o l u t i o n s 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作和取得的 研究成果，除了文中特别加以标注和致谢之处外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得苤盗盘鲎或其他教育机构的学位或证 书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均己在论文中 作了明确的说明并表示了谢意。 学位论文作者签名：寸骞孔 签字日期： 唧年6 其| 驻日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解苤洼盘堂有关保留、使用学位论文的规定。 特授权苤鲞盘堂可以将学位论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检 索，并采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编以供查阅和借阅。同意学校 向国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权说明) 学位论文作者签名：寸凝导师签名星 弓夏 签字日其i j ： 少年6 月笋日 签字日期 。7 年月，乒日 第一章前言 第一章前言 现代科学技术的发展在很大程度上依赖于物理学，化学和生物学的成 就和进展，而这些学科自身的精确化又是它们取得进展的重要保证学科 的精确化往往是通过建立数学模型来实现的，而大量的数学模型可归纳为 所谓的反应扩散方程近二十多年反应扩散方程的研究日益受到重视这是 因为反应扩散方程涉及的大量问题来自物理学，化学和生物学中众多的数 学模型，因而有实际的背景；另一方面，在反应扩散方程的研究中，对数学 也提出了许多挑战性的问题，因此正引起越来越多的数学家，物理学家， 化学家，生物学家的注意 捕食一食饵反应扩散方程产生于生态数学中，主要反映了几个种群间的 被捕食和捕食的关系对捕食食饵模型的研究已经有了很长历史了通过 对该模型的正解的存在性及解的估界等的研究揭示了方程所代表的生态种 群的一些特征和规律参考书目【3 - 1 3 】可以看到一个简要的捕食食饵模型 研究的发展史而研究捕食一食饵形式的反应扩散方程的非常数正解的存在 性的文章如【1 0 ，1 3 ，1 6 ，2 1 】研究的是在齐次d i r i c h l e t 边界条件下，【1 2 ，1 7 ，1 8 ，2 2 ，2 3 】 中研究的是在齐次n e u m a n n 边界条件下的非常数正解的情况由于功能反 应函数的不同，能够得到不同类型的捕食一食饵模型 本文中要讨论的模型共涉及了三种功能反应函数，分别是b e d d i n 对o n - d e a n g e l i s 功能反应函数，h o u i n gi i 功能反应函数，h o u i n gt a n n e r 功能反应 函数对于含有其中一种功能反应函数的方程的研究可以参考以下文献 在f 1 8 】中，作者证明了具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应函数方程组的非常 数正解的耗散性，持久性，稳定性及非常数正解的存在性；在【1 9 】中，作者 研究了在r o b i n 边界条件下的具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 1 ，2 ，3 功能反应函数的 捕食一食饵动态模型的性质；在 2 0 】中，w o n l y u lk o 和k i m u nr y u 讨论了在 n e u m a n n 边界条件下具有结合食饵避难的h o l l i n gi i 反应函数的捕食一食饵 模型而且，作者讨论了空间非齐次解的渐近性和周期解的局部存在性 y i h o n gd u 和y u a nl o u 讨论了在d i r i c h l e 边界条件下，和n e u m a n n 边界条件下 类似于具有h o l l i n gi i 功能反应函数的反应扩散方程组的情况见 2 1 ，2 2 】他们 讨论了正解的界，渐近性，不存在性和存在性等在【3 0 ，3 1 】中，作者讨论了 具有h o l l i n gt a n n e r 功能反应函数的反应扩散方程组的非常数正解的存在性 第一章前言 和非存在性且得到一些关于这个模型唯一正平衡态的全局稳定性本篇论 文主要讨论在相同的栖息地q 中，对于( 1 1 ) 和( 1 2 ) 中三个相互影响的种群 的捕食食饵的关系的定性分析是对上述问题的延伸与扩展 在第三章中本文将详细讨论以下模型 乱1 t d l a u l = 缸1 ( 1 - u 1 ) 一l a + u l 地u 2 1 一i = 日a 苑u 再l u ：3 虿石， u 2 t d 2 a u 22 m u 2 ( 一1 + j l + ：! b l u l ) ， u 3 t d 3 a u 3 = m u 3 ( - 1 + i - 干凰e l u 干；l 丽) ， 静= 够= 静= 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， z q ，t 0 ， z q ， 0 ， z q ，t 0 ， ( 1 1 ) z 触，t 0 ， z q 该模型( 1 1 ) 相应的o d e 形式在【3 1 中曾被详细研究，可以了解该模型的 详细背景其中捕食者u 2 遵循h o l l i n gi i 功能反应函数，而捕食者让3 遵循 b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 功能反应函数 第四章将讨论以下模型 u l t d la u l2r l u l ( 1 一u 1 ) 一a 1 + u l 乩u 2 1 1 a + u 卢l u t a l ， u 2 t d 2 a u 2 = r 2 u 2 ( 一1 + 尚) ， u 3 t d 3 a u 3 = r 3 u 3 ( 1 一昔) ， 鲁= 筹= 磐= 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， 其中捕食者u 2 遵循h o l l i n gi i 功能反应函数，而捕食者u 3 遵循h o u i n gt a n n e r 功能反应函数 本文的主要目的就是利用l e r a y - s c h a u d e r 度理论和分歧方法作为主要的 研究工具研究( 1 1 ) 和( 1 2 ) 的非常数正解的存在性和其他主要的结论 2 2 ， ， ， o 0 0 o ， 如 如 刈 t t t k g 皿g 孤化 z z z z z 第二章基础知识和基本定理 第二章基础知识和基本定理 在本节中，首先介绍一下本文中涉及到的一些基本概念和定理请参 考文献 3 3 ，3 4 1 设有半线性抛物型方程的初边值问题 i 象+ l u = ，( z ，t ，让) ，( ( z ，t ) q ) ( n ) b u = 夕( z ) ，( ( z ，t ) s o o ) ( b ) ( 2 1 ) i - u ( z ，o ) = 妒( z ) ( z q )( c ) 它的特殊情形是 f 警+ l u = ，( z ，t t ) ，( o ，t ) q ) ( 口) b u = g ( x )( ( z ，t ) 氏) ( b ) ( 2 2 ) 【乱( z ，0 ) = 妒( z ) ( z q )( c ) 其中，q o 。= q ( 0 ，+ ) ，氏= a q ( 0 ，+ o o ) ，厶b ，g 满足以下条件t i1 。l 由( 2 4 ) 给出，一l 是q 上的一致椭圆算子，舰c 2 佃； 2 。a ；j c x ) , b i ( x ) ，c ( 水俨( _ ) ( o 0 因此，存在e 的有限维子空间e ( 川，p e ( n ) 及有界连续算子r ：q e ( 川，使 i | f ( z ) 一r ( z ) 0 0 由此可知，e ( n ) 中的拓扑度d e g n ( f n ，q 竹，p ) 有定义定义全连续场，的l e r a y - s c h a u d e r 度d e g ( f ，q ，p ) 为d e g n ( f n ，q n ，p ) ，即 d e g ( f ，q ，p ) = d e g n ( f n ，q n ，p ) 定理2 2 l e r a y - s c h a u d e r 度的同伦不变性： 设h ：【0 ，1 】豆_ e 全连续令h l ( x ) = x - h ( t ，z ) 若p h t ( eq ) ，v 0 t 1 ， 则d e g ( h t ，q ，p ) 保持常数( v o t 1 ) 定理2 3 设，= i f ：瓦一e 是全连续场，又设，在a q 上没有零点，且在 q 内只有有限个零点z 1 ，z m ，则有指数公式 d e g ( f ，q ，日) = i n d e x ( f ，甄) 定理2 4 ( g r e e n 第一恒等式) 设缸，可c 2 ( q ) nc 1 ( q ) ，则 上v 仳乳d x = 一上也口如+ 厶u 骞抵 5 整三皇墨查里! 皇垒垩壁竺里! 垒呈暨坐塑望竺坐呈墨望望堂垦壅里墼墨笙堕室丝坌堑 第三章具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反 t 应函数系统的定性分析 3 1 引言 在这一章中，令u l ( ) 表示在时刻t 时的有限资源( 食饵) 的密度，u 2 ( t ) ，u 3 ( t ) 表示竞争这共同资源的捕食者更进一步假设第一种捕食者捕食食饵按照 h o l l i n gi i 功能反应函数，而第二种捕食者捕食食饵按照b e d d m 酵o n - d e a n g e n s 功能反应函数微分方程模型如下t 在这里，口，b ，e ，m ，r ，a ，b ，g e ，k ，m 表示正常数为了以下运算简单起见，对 ( 3 1 1 ) 做以下变换， h 让1 ，地h u 2 ，让3hu 3 ，nh t ，罟h 。，6 k h 6 ，7 ah a ，b k b ，chc ， 芋hm ，i e kh ，了mhm ，百e k e h e ，：一hm ，一h ，一h ，百h 廿， r7 7 lr 得到以下形式 1 ) + + ( 3 1 2 ) 知道对所有的t 0 ，( 3 1 2 ) 的解是正的而且有界，通过直接计算，问题( 3 1 2 ) 有一个正常数解当且仅当 e b ，e b e b ，c e ( e b 一1 ) 一a ( e 一6 ) ( e b ) 一( e 一6 ) 】 0 ( 3 1 3 ) 6 一 一0 黼 默一琵笺 卜 帆 卅 0 一 一 觎耳 抄黼竺嚣鼎 一 卜一 o 眈j： 努警鲁 第三章具有b e d d m 酵o n - d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 而且，当( 3 1 3 ) 成立，得到唯一的正常数解d = ( 豇1 ，面2 ，矗3 ) 豇1 = 由， 也2 = 【( 1 一面1 ) 一镱 鲁= e ( c e ( e - b - 1 ) d - e a c ( e ( - 。- 6 b ) ) ( 。e - b ) - ( e - b ) ，( 3 1 4 ) 矗3 = ( e - b 竽i - 1 - = ( e - c b ( e ) - 山( e ) - b ) - 现在，如果食饵和两个捕食者是定义在r 上有光滑边界的固定有界区 域q 上，而且他们的密度是空间非齐次的，由( 3 1 2 ) 得到下列反应扩散方程 组 u n d i a u l = 珏1 ( 1 一u 1 ) 一1 a + u l 乩u u 2 l r 口a 芤u i l u 丽3 全g l ( u ) ， l t 2 t d 2 a u 2 = m u 2 ( 一1 + 尚) 全g 2 ( u ) ， 札3 t - - d 3 a u 3 = m u 3 ( - 1 + 再= 百e t 1 u + ie 均，全g 3 ( u ) ， 静= 警= 警= 0 ， u i ( x ，0 ) 0 ，i = 1 ，2 ，3 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， z q ，t 0 ， ( 3 1 5 ) z 魂，t 0 ， z q 在上式中，考虑n e u m a n n 边界条件且是边界a q 上的外法向量扩散 系数盔，i = 1 ，2 ，3 是正常数，初值u l ( x ，o ) ，乱2 ( z ，o ) ，u 3 ( x ，0 ) 是连续函数注意到 ( 3 1 5 ) 有唯一的非负全局解( 乱1 ，u 2 ，乱3 ) 而且如果u i ( x ，0 ) 0 ，i = l ，2 ，3 ，则解 是正的，即对在瓦上任意的t 0 都有啦( z ，t ) 0 在这一章中，将大体按照以下方式进行讨论在第二节中，将证明在参 数a ，b ，c ，e ，e ，b 满足( 3 1 3 ) 而且 e 2 d f 6 ( e b 一1 ) 一e j + a ( e b ) ( b e b e ) i ( e b ) 一( e 一6 ) j 0 ，i = 1 ，2 ，3 令u ( t ) = ( 让1 ( t ) ，札2 ( t ) ，u 3 ( o ) 是( 3 1 2 ) 的正解很容易看到u 1 ( t ) ，u 2 ( t ) 和u 3 ( t ) 是有界的这一节的主要结 果如下： 定理2 1 如果参数b ，e ，a ，b ，c ，e 满足( 3 1 3 ) 和( 3 1 6 ) 则正常数解d = ( 豇1 ，豇2 ，奶) t 是局部渐近稳定的 证明令c ( u ) = ( c 1 ( u ) ，g 2 ( u ) ，g 3 ( u ) ) ? ，则问题( 3 1 2 ) 可以写成以下形式 这里 面d u = g ( u ) 刚耻e 0 1 3 、 i a 2 3i i a 3 3 1 因为参数满足( 3 1 3 ) 和( 3 1 6 ) ，通过直接的计算可以得到 其中 一面1 + 等等+ 含罄，a 1 2 = 一且i + i = 一詈 0 ，口3 2 = 0 ，口3 3 = 一百j ；i 瀚 6 成立时，( 3 1 6 ) 式成立也即是a l l 0 ， a 2 = a l l a 3 3 一a 1 2 a 2 1 一a 3 1 a 1 3 0 ， ( 3 2 2 ) a 3 = 一 d e g u ( 豇) 】= a 2 1 a 1 2 a 3 3 0 8 挖 毖 驼 口 口 口 l l 1 第三章具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 和h o u i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 利用( 3 1 6 ) 和( 3 2 1 ) 式，通过简单的计算可得到 a 1 a 2 一a 32 - - ( a l l + a 3 3 ) ( a l l a 3 3 一口1 2 口2 l a 1 3 a 3 1 ) 一a 2 1 a 1 2 a 3 3 = 一口 1 a 3 3 + a l l a l 2 a 2 1 + a l l a 3 1 a 1 3 一a l i a 2 + a 3 3 a 3 1 a 1 3 0 由r o u t h h u r w i t z 准则，豇是局部渐近稳定的 口 3 3 反应扩散方程组的正解的稳定性 在这部分，讨论反应扩散方程( 3 1 5 ) 的正常数解( 豇l ，面2 ，豇3 ) 的稳定性令 0 = 肋 p 1 p 2 0 ， m 2 = - - ( a l l + a 3 3 ) ( d l d 2 + d 2 d 3 + d i d 3 ) 一【a 3 3 d a - a 3 3 ( d l d 2 + d i d 3 ) + ( a l l + a 3 3 ) ( d i d 2 + d 2 d 3 ) - 4 - ( a l l + a 3 3 ) d 2 + a l l ( d 3 d l + d 3 d 2 ) - 4 - a n 】+ d l d 2 a 3 3 - 4 - d 2 d 3 a l l ， = - ( a l l - 4 - a 3 3 ) ( 2 d l d 2 + 2 d 2 d 3 + d i d 3 - 4 - d ；) 一a 3 3 d l ( d 1 + d 3 ) 一a 1 1 d 3 ( d l + 如) 0 ， 尬= ( a l l a 3 3 - - a 1 2 a 2 1 一a 3 1 a 1 3 ) ( d 1 + d 2 + d 3 ) + ( n 1 1 + a 3 3 ) a 3 3 d l - 4 - ( a l l + a 3 3 ) d 2 + a n d 3 】 一 ( a l l a 3 3 一a 1 3 a 3 1 ) d 2 一a 2 1 a 1 2 d 3 ， = ( 2 a l i a 3 3 - - a 1 2 a 2 1 + a 1 3 a 3 1 a 1 3 ) d l + ( 2 a l i a 3 3 - - a 1 2 a 2 1 + a 2 1 1 + a 2 3 ) d 2 + ( 2 a l i a 3 3 一 a 3 1 a 1 3 + n ；1 ) d 3 0 由于a l a 2 一a z 0 ，可以得到对于任意的i20 有b 1 t b 2 t b 3 t 0 再由 r o u t h - h u r w i t z 准则知，对任意的i 0 ，砒( 入) = 0 的三个根a 1 ， ，a 2 ， ，入3 ，t 都有 负实部 下面证明存在正常数6 ，使得对于任意的i 0 都有 r e a i ，1 ) ，r e a i ，2 ) ，r e 入i ，3 】- 6 ( 3 3 2 ) 因此，算子工的谱包括特征值有 r e as 一毋应用定理5 1 1o f 【2 4 ，p 9 8 】可以 得到d 的局部稳定性 现在证明( 3 3 2 ) 式令a = 盹e ，则 识( a ) = p ；e 3 + b “肛? e 2 - 4 - b 2 l 地e + b 3 t 全荔( 0 取6 = 曲 ，$ 2 ) ，则有( 3 3 2 ) 式成立，证明完毕 口 3 4 非常数正解的先验估计 ( 3 1 5 ) 相应的静平衡态问题就是下面的椭圆方程： l - d l a u l = g 1 ( u ) ， z q ， 一d 2 仳2 2 g 2 ( u ) ，z q ， ( 3 4 1 ) 、 、- ， l d 3 a u 3 = g 3 ( u ) ， z q ， 【乱让1 ：乱也2 ：巩均：o ，z 锄 在下文中，q ，q ，a ，堡，d 表示依赖q 和维数的一般常数而且这里 q 和维数是固定的为了方便起见，用a 代替参数( a ，b ，e ，m ，a ，b ，c ，e ，m ) 本节的主要目的是得到( 3 4 1 ) 的非常数正解的上下界为了得到解的先验 估计，首先引入两个结论 命题4 1 ( h a r n a c k 不等式) 2 5 】令u c 2 c a ) n c l ( 豆) 是a w ( x ) + c ( z p ( z ) = 0 在 q 上的正古典解，这里的c ( x ) c ( f i ) ，满足齐次n e u m a n n 边界条件则存在 一个正常数g = a ( ，q ，l i c l l ) 使得 掣usa i i ，l i d u 命题4 2 ( 最大值原理) 【2 6 】假设g c ( f ixr ) ( 1 ) 若u c 2 c a ) n c l ( 豆) ，并且满足 a w ( x ) + 9 ( z ，u ( z ) ) 0 ，z q ；乱u o ，z o f t ， 11 第三章具有b e d d i n g t o n d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 如果u ( z o ) = m 吨u ，贝0g ( x o ，u ( z o ) ) 0 ( 2 ) 若u c 2 ( q ) n c l ( 孬) ，并且满足 u ( z ) + g ( x ，u ( z ) ) 0 ，z q ，乱u 0z 6 i q ， 如果u ( z o ) = m i n uu ，贝0g ( x o ，u ( z o ) ) 0 定理4 1 ( 上界) 对于( 3 4 1 ) 的任意的正古典解( u 1 ，t 2 ，u 3 ) 有 警牡，组警让2 塑蛊型，警缸s 学( 3 4 2 ) 证明因为 们( 1 - u 1 ) 一器一雨a 丽u l u 3 丽如( 1 - u 1 ) ， 由最大值原理很容易得到第一个结论再通过直接计算可以得到( 3 4 ，2 ) 式 中的第三个结论 令u = m e d l u l + a d 2 u 2 ，可以推论出 j - a w = m e u l ( 1 - u 1 ) 一丽a r n e u l u s m a u 2 ，z q ， i 乱u = 0 ， z 勰 令u ( z o ) = m q _ a x w ( z ) 应用最大值原理有， z ( 训m 既- ( 1 - u 1 ) 一舞器等 即 o l d 2m q _ a x 札2 p ) m _ a 2 x u ) = u ( z 。) = m e d l u l ( z 。) + 口d 2 u 2 ( 跏) m e d l + 等， 因此 m n _ a x 姒班掣 证明完毕 口 定理4 2 ( 下界) 令a ，互l ，d 2 ，d 3 是固定的正常数假设( d l ，d 2 ，d s ) 【d 1 ，o o ) x 【d 2 ，o 。) 【d 3 ，o o ) ，而且 血n 生半，塑之茅等型) 函1 ， ( 3 4 3 ) 咖t 面- ，面j 矿一， 函，( 3 4 3 ) 第三章具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 和h o u i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 则存在一个正常敦c = c ( a ，d 1 ，d 2 ，d 3 ) ，使得对于( 3 4 1 ) 的每一个正古典解 ( u l ，让2 ，“3 ) 都满足 啦u i ( z ) 堡，t = 1 ，2 ，3 ( 3 4 4 ) n 证明令 c 1 ( z ) _ d _ 1 ( 1 - u - 一最一而等瓦) ， c 2 ( z ) = d 1 m ( 一1 + 焉) ， ) = 町( - 1 + 再) 则，由( 3 4 2 ) 式，如果d l ，d 2 ，d 3 d ，可知存在一个正常数c ( d ，a ) 使得| | c 10 。o ， i | c 2i i ，i ic 3i i d ，而( u 1 ，u 2 ，u 3 ) 满足 u t + q ( z ) u 产o ，z q ； 石o u i = o ，。锄， i = 1 ，2 ，3 在命题4 1 中h a r n a c k 不等式表明存在一个正常数g = a ( a ，d ) 使得 m _ a x 啦s 以_ m a n u i ，i = 1 ，2 ，3 ( 3 4 5 ) q【2 利用反证法证明该定理，假设( 3 4 4 ) 式不成立则存在一个序列 d l i ，d 2 i ，d 。】；o q l ， 其中d l l ，d 2 t ，d a i 【d 1 ，o o ) d 2 ，。o ) 【d 3 ，o 。) 使得( 3 4 1 ) 相应的正解( u l i ，u 蕊，牡3 t ) 满足 m a , x u l i _ 0 或m a x u 2 i _ 0 或m _ a x u s i _ 0 ，当i _ o 。时 ( 3 4 6 ) nnn 由最大值原理，缸1 1 利用积分可以得到 if n u l i ( 1 一1 1 ) 一蚍l + b 盐u l 。一名】如= q ， 矗m 札2 t ( 一1 + 带糖) 出= 0 ， ( 3 4 7 4 ) 【如m u 3 i ( - 1 + t 干矗鲁而) 如= 0 ， 其中i = 1 ，2 ，一由椭圆方程的正则理论则存在一个 u l i ，u 2 i ，u 3 t ) 罂l 的子序 列，在这里仍然用 缸m 乱2 t ，札3 ) 墨1 来表示，而且非负函数u l ，缸2 ，缸3 c 2 ( 豆) ，使得 当i o o 时，在p 2 ( 豆) 】3 上( u l t ，u 2 t ，乱3 i ) 一( u l ，u 2 ，u 3 ) 由( 3 4 6 ) 式可得t 1 兰0 或 u 2 三0 或u 3 三0 而且，假设( d l i ，d 2 t ，d 3 t ) _ ( 五，玉，五) 【d l ，) d 2 ，o 。) 【d 3 ，o o ) ， 而且五，五满足( 3 4 3 ) ，i e 4 d 2 - 4 刁m e - d l - e d 2 南( 3 a s b ) 4 d 2e 一。 7 】3 第三章具有b e d d i n g - t o n d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 在( 3 4 7 ) 式中，令i _ o 。可得 if g u 1 ( 1 一u 1 ) 一黼一册a u u 。l + u z c 。3 j , 4 , r = 0 ， 矗m u 2 ( 一1 - 4 - 溉) 出= 0 ， i - 矗m u 3 ( 一1 + 百习) 如= 0 现在考虑三种情形： ( 1 ) u l 三0 因为u “_ u l ，当i 一时则 。+ 焉 1 对第二个方程积分得 o d 。t 厶乱u 2 i d 8 - - - d 2 t 仫u 2 i d x = 上u 2 i , i n( - 1 + 罴o u z ) 揪o ，1 ，舰，q 1 十 得出矛盾 ( 2 ) 在豆上u 2 三0 ，u 1 0 ，则由h o p f 边界引理得在豆上u l 0 因此，u 1 和u 3 满足 一d l a u l ：u l ( 1 - t t l ) 一再瓦a 而u 3i ，z q ；乱缸1 = 。，x e0 1 2 ( 3 4 9 ) 应用命题4 2 和( 3 4 2 ) 式中第二个不等式，令“i ( x o ) 2 紫1 ( z ) ，由( 3 4 9 ) 式 得到 咱( 跏) 一雨蒜 由，很容易得到 一1 + 焉 o ，z 1 对u 2 t 在q 上积分得到 o = d 2 t z oo v u 2 i d s = - d 2 i 上锄出2 上蚴( 1 + 若鼍) 如 o ，v i i ， ，q，n 11 - 叫t 第三章具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 得出矛盾 ( 3 ) u 3 兰0 ，u l 0 ，u 2 0 ，z 豆，则由h o p f 边界引理得u l 0 ，u 2 0 在豆上， 而且缸1 ，u 2 满足 一五缸12 t 1 ( 1 一乱1 ) 一焉】，z q ，乱1 = o ，z 锄 ( 3 4 1 0 ) 应用命题4 2 和( 3 4 2 ) 式中第二个不等式，令让l ( z o ) 2 紫u 1 ( z ) ，由( 3 4 1 0 ) 式 得到 l ( z 。) 1 一蒜1 一4 m e d 矿l + e d 2 ， t 1 ( z o ) 4 d 2 - 4 百m i e d l - 一e d 2 由于画，画满足( 3 4 8 ) 式，很容易得到 _ 1 + 焉 o ，z - ，v i 1 对u 2 t 在q 上积分得到 。= 如f o f lo u u 2 i d s = - d 2 i 乱z t 出= 上u ：t c 一1 + 若鼍，出 。，v i 1 ， 得出矛盾证明完毕 口 3 5 非常数正解的不存在性 这一节中主要得到不存在非常数正解的条件。也对下一小节中证明存 在性开拓了思路 定理5 1 令d 主和呓是固定的正常数满足磁p 1 亟旨铲，喀肛1 一m ( e 1 + - b b - 1 ) 则存在一个正常数d 1 = d l ( a ，呓，呓) ，使得当d l d 1 ，d 2 略d a 呓时， ( 3 4 1 ) 式没有非常数正解 证明对任意的妒l 1 ( q ) ，令9 = 1 i q i 如础u 一面乘以关于u 的微分方程 ( 3 4 1 ) ，并在q 上积分，由e y o u n g 不等式得到 33 如也l v 蛳1 2 d x = 如( g i ( u ) 一g t ( 面) ) ( 地一玩) = 如 ( u l 一面1 ) 2 【1 一( t l + 面1 ) 】一r e ( u 2 一霞2 ) 2 一m ( u a 一面3 ) 2 1 5 第三章具有b e d d i n g t o n - d e a n g e l i s 和h o l l i n gi i 功能反应函数系统的定性分析 一竺竺! ( 兰! 二里12 ：( 竺垦! 竺丝! 里121 兰! 二里12 1 兰兰= 墨1 2 ( 1 + b u l ) 0 + b 5 1 ) 一 ! 垒兰! 垒星兰! 里! ! ! 兰! 二里i 21 兰! = 皇! ! ! 兰兰i 垒里兰! 墨1 2 ( 竺二里! z ( 1 + b u l + c u 3 ) ( 1 + b i l l + c f i 3 ) + m ! 兰! ! 兰! 二垦12 f 竺! 二垦1 2 ( ! 丝! 至! ! 皇12 1 兰! = 里! 蔓 ( 1 + 阮1 ) ( 1 + 施1 ) + m 堕塑墼挣1b 裂u l 笑c u 3 ) 篙( 1 景b f i x 瓮c f i 3 手啦趔) 出 ( + + ) 加+ 研+ 刚u l 枷1 ) 2 + ( 警+ 1 ) ( 缸2 枷2 ) 2，n 11 _ 【， + ( 巡掣怕) ( u 3 - 豇3 ) 2 ) 如， ( 3 5 1 ) 其中1 ，2 是任意小的正常数，c i = c l ( h ，略呓，e 1 ) ，q = c 2 ( a ，呓，蝣，2 ) 由p o i n c a r e 不等式 p l ( 一力2 如s 上l v ，1 2 出， 由( 3 5 1 ) 式得 p - 砉z 地刊2 如加+ q 倒谢+ c 等俐u 2 - f i 2 ，2 + ( 型；等丑+ e 2 ) ( u 3 吨3 ) 2 ) 出 选择s 1 ，2 0 非常小可使得 瞒掣怕，瞒半嵩恂 ( 3 5 2 ) 如果当d l d 1 垒p f l 0 ，z 豆，t = 1 ，2 ，3 ) ， 舀( c ) = u xc 一1