克莱姆法则.ppt

1.4克莱姆法则,1,设线性方程组,则称此方程组为非,齐次线性方程组;,此时称方程组为齐次线性方程组.,一、非齐次与齐次线性方程组的概念,2,定理1.4.1克莱姆法则,如果线性方程组,的系数行列式不等于零，即,3,其中是把系数行列式中第列的元素用方程组右端的常数项代替后所得到的阶行列式，即,那么线性方程组有解，并且解是唯一的，解可以表为,4,证明,在把个方程依次相加，得,5,由代数余子式的性质可知,于是,当时,方程组有唯一的一个解,6,也是方程组的解.,7,二、齐次线性方程组的相关定理,定理1.4.2如果齐次线性方程组的系数行列式则齐次线性方程组仅有零解.,8,有非零解.,系数行列式,9,例1用克莱姆法则解方程组,解,10,11,12,例2用克莱姆法则解方程组,解,13,14,15,16,解：方程组的系数行列式,17,18,例4问取何值时，齐次方程组,有非零解？,19,解,齐次方程组有非零解，则,所以或时齐次方程组有非零解.,20,1.用克莱姆法法则解方程组的两个条件,(1)方程个数等于未知量个数;,(2)系数行列式不等于零.,2.克莱姆法则建立了线性方程组的解和已知的系数与常数项之间的关系.它主要适用于理论推导.,三、小结,21,思考题,当线性方程组的系数行列式为零时,能否用克莱姆法则解方程组?为什么?此时方程组的解为何?,22,思考题解答,不能,此时方程组的解为无解或有无穷多解.,23,1.5应用举例,24,行列式是数学研究的重要工具之一，如线性方程组的计算，初等代数中的因式分解、解析几何、线性微分方程、空间投影变换、会计学中成本计算、电子工程、控制论等等，在这我们就解析几何中求面积、体积和通过平面上定点的曲线方程上的应用作一举例,25,例1设平面上由三点坐标确定的三角形ABC,CABDFE,一）二阶行列式表示平行四边开的面积,26,27,定理1.5.1二阶行列式D的列向量所确定的平等四边形的面积等于,28,证：若D是对角行列式,29,当D不是2阶对角行列式时，由行列式性质:当行列式的二列交换或一列的倍数加到另一列上时，行列式的值不变，同时我们可以通过这个性质将D变换成对角形的行列式。由于列交换不改变对应的平等四边形所以只需证明以下结论。,30,设为非零向量，则由确定的平行四边形的面积等于由确定的平等四边形面积,假设的倍数，否则面积是0，以所确定的二个平等四边形，其中，向量是公共底边，高也相等，因而面积也相等.,31,例2：计算由点（2,2）,（0,3），（4,1）,（6，4）所构成的四边形面积.,32,解：先将平行四边形平移到原点作其一顶点，如每个顶点坐标都减去（2，2），这样新的平行四边形与原平行四边形面积相等，顶点是（0，0）（2，5）（8，6）（6，1）构造行列式,33,二）三阶行列式表示平等六面体的体积,34,定理1.5.2：三阶行列式D的列向量组所确定的平行六面体的体积等于,例3：求一个顶点在（0，0，0）相邻顶点在（1，0，1）（1，2，4）（7，1，0）的平行六面体的体积.解：以（0，0，0）为起点，作三个向量,35,三）行列式表示通过平面上的定点的直线、曲线方程,36,由此可得三线共点的条件：,37,三点共线充要条件：,38,同理可得空间直线方