（凝聚态物理专业论文）双光子mazer中的斯塔克效应.pdf

复且大学硕士毕业论文 摘要 双光子过程是量子光学中一个有趣而重要的现象。对于描述单模双光子过 程，可以通过小同的方法得到几种的有效哈密顿形式。在传统微波檄射理论的 研究中，斯塔克移动对于很多物理量都有显著地影响。随着原子致冷技术的 进展，s c u l l y 等人提出当泵浦原子的质心动能可以和原子一腔场耦合能相比拟的 时候，会产生一种新型的诱导辐射现象，被称为m a z e r 。我们主要讨论了双光 子m a z c r 中的斯塔克效应。 这篇论文主要包括以下三个部分： ( 1 ) 通过幺正变换方法得n - - 能级单模腔场系统的约化哈密顿，包括量子化 的原子的质心运动。 ( 2 ) 当腔场是相干态的时候原了处于基态，我们计算了原子的布居随作用 长度变化的性质。场与中间能级的失谐对m a z e r 有- 重要影响。 ( 3 ) 入射原子处于激发态，腔场是真空态时，我们计算了诱导发射几率。另 外，我们研究了稳态腔场的性质。 上面所得到的结果表明，斯塔克移动对于双光子m a z e r 是非常重要的。对比 于传统微波辐射，m a z e r 中的斯塔克效应更容易被观测到。 复旦大学硕士毕业论文 a b s t r a c t i nt h ef i e l do f q u a n t u mo p t i c s ，t w o p h o t o np r o c e s si sa ni n t e r e s t i n ga n di m p o r t a n t p h e n o m e n a i nt h er e s e a r c ho fa t o m - f i e l di n t e r a c t i o n m a n yd o c u m e n t sd e m o n s t r a t e d t h a tt h es t a r ks h i f th a v en o t a b l ei n f l u e n c ei nm i c r o m a s e rb yt w o - p h o t o np r o c e s s r e c e n t l y , t h ec o n c e p to fm a z e ri sp r o p o s e db ys c u l l ye t a 1 w h e nt h ek i n e t i ce n e r g yo f t h ep u m p e da t o mi sc o m p a r a b l ew i t ht h ea t o m - f i e l di n t e r a c t i o ne n e r g y w ed i s c u s sh e r e m a i n l yo nt h es t a r ke f f e c ti nt h et w o - p h o t o nm a z e r t h et h e s i si n c l u d e st h r e ep a r t s ： ( 1 ) u s k 、gt h eu n i t a r ym e t h o d ，t h er e d n c e dh a m i l t o t lf o rt h ec o l da t o m f i e l di n t e r - a c t i o ni sp r e s e n t e d ( 2 ) w h e nt h es y s t e mi sg o v e r n e db yt h ee f f e c t i v eh a m i l t o n i a n ，t h ep o p u l a t i o na n d t h ei r i v e r s i o no f t h ea t o m i cl e v e la r cc a l c u l a t e dw i t ht h ec o h e r e n tc a v i t yf i e l d ，a n dt h e a t o m sa r ci n i t i a l l yi nt h eg r o u n ds t a t e ，1 1 1 ed e t u n i n gb e t w e e nt h ec a v i t yf i e l da n dt h e i n t e r m e d i a t ei e v e li si m p o r t a n tf o rt h eb e h a v i o ro f t h em a z e ra c t i o n ( 3 ) 1 h ei n d u c e de m i s s i o np r o b a b i i 时i sg i v e no u tw h e nt h ea t o mi ne x c i t e ds t a t e a n da ni n i t i a lv a c u u mc a v i t yf i e l d ，a n dt h ep r o p e r t i e so f t h es t e a d yf i e l di si n v e s t i g a t e d r e s u l t so b t a i n e ds h o wt h a tt h es t a r ks h i f ti sv e r yi m p o r t a n tf o rt h et w o - p h o t o n m a z e r i t sm o r ee a s yt h a tt h es t a r ke r i e e ti nm a z e ri so b s e r v e dt h a nt h eo n ei nm i c r o m a s e l 复旦大学硕士毕业论义 第一章绪论 物质与辐射场的相互作用是原子物理及量子力学中共同感兴趣的理论与实 验课题 1 ，2 】。激发原子的自发辐射实际上是原子与辐射场系统的共同特性。 在二十世纪4 0 年代，p u r c e l l 【3 就指出原子的辐射和边界条件有很大的关系。根 据p u r c e l l 的论文，当原子和一个共振微腔耦合的时候原子的自发辐射几率将 会增加。随着半导体技术的进步，实验上可以通过半导体微腔来实现边界条件 的修饰。涉及到原子和自由空间或腔内空间辐射场的相互作用问题，被称为腔 量子电动力学( c q e d ) 。在1 9 6 3 年，j a y n e s ；f l l c u m m i n gf 4 1 提出了单个原子和单模 量子化腔场相互作用的理论模型。从这之后，腔量子电动力学得到了广泛的研 究。 腔量子电动力学展示了丰富的物理现象。p u r c e l l 预言了原子自发辐射j l 率 的增强现象。另一方面，k l e p p n e r 5 】首先指出，当腔模不含原子跃迁频率的 时候，处于腔中的原子自发辐射受到抑制，甚至完全截至。通过对c q e d 的研 究，可以更好地揭示光场的量子行为【6 】例如量子拉 = l ( r a b i ) 震荡，以及产生 诸如光子数态、俘获态、薛定谔猫态的非经典态 7 】。近来在量子信息与量子计 算的研究中也涉及到c q e d 。腔量子电动力学在量子光学及量子理论中有着重 要的地位。 1 1m i c r o m a s e r 利用c q e d 效应可以制造出新型的m i c r o m a s e r ，m i c r o m a s e r 通常只涉及到单 个原子和几个光子的相互作用。m i c r o m a s e r 是泵浦一束r y d b e r g 原子穿过一个具 有高品质因子的超导微波腔，腔场的频率调到接近r y d b e r g 原子的跃迁频率。从 实验的角度来说，r y d b e r g 原子具有较长的寿命和较小的自发辐射几率，可以和 腔场产生强耦合，有足够长的相互作用时间，所以r y d b e r g 原子非常适合研究 原子场相互作用中的量予效应。单光子m i c r o m a s e r 8 】和双光子m i c r m a s e r ( 9 在 实验上都已经得到了实现。同时m i c r o m a s e r 单光子【l o 和双光子【1 1 的半经 典以及量子得到建立。m i c r o m a s e r 揭示出有趣的现象。在这样的系统中，或者 在m a s e r 中，原子的自发辐射几率与自由空间不同的行为，得到了广泛的研究， 最初的理论预言得到了证实。 一个二能级原子和单模腔场的相互作用是研究物质辐射场耦合的最简单而 重要的模型，m i e r o m a s e r 实现了这样的理论模型。这样，量子光学中的基奉理 论模型，例如j a y n e s c u m m i n g 模型，就可以在实验上进行检验。根据j c 模型， 电磁场的量子效应会在一系列现象中被观测到，例如，原子布居的周期塌缩与 复旦大学碗士毕业论文 o5 o 4 占“3 、 r 0 2 f t 1 0 0 l ，l 图1 1m a s e r 与m a z e r 的比较。图示为发射几率是作用长度的函数。处于激发态的 二能级原子入射到真空腔场。原子质量m ，与腔场耦合常数g ，h ge ( 觚) 2 2 m 。( a ) 中 是热原子k k = 1 0 0 ，( b ) 中是冷原子k = 0 0 5 。这样( a ) 展示了 m a s e r 发射特 性，( b ) 是m a z e r 的情况。 恢复【1 2 。 m i c r o m a s e r 展示了很多非经典效应。m i c r o m a s e r 产生的稳态光场是皿泊 松分布的光场。这和传统微波激射器和激光器所产生的泊松分布型光场不 同。m i c r o m a s e r 产生的光场非常的微弱，一般不能被直接测量。实验，卜通过场 离子化手段测量经过腔场之后的原子处于什么能级来得到系统的信息。在文 献【1 3 中作者在m i c r o m a s e r 中获得了薛定鄂猫态。与此相关的研究广泛地探讨量 子力学中的基本概念。纠缠、退相干等一系列的现象是近些年来的研究热点。 1 2m a z e r 的概念 随着原子制冷技术的进展 1 4 1 ，原子的质心动能大小可以和原子场耦台强 度相比拟。从理论上s c u i i y 等人考虑了量子化的原子质心运动对原子辐射的影 响1 1 5 1 。在传统m a s e l 中，受激发射是辐射的主要机制，然而，在冷原予与腔 场作用的情况下，原予的质心运动对诱导辐射有着重要影响。从缀饰态表象来 看，原子内部自由度与腔模的耦合会使质心运动经历势垒利势阱。这样，原 子就会穿过微腔或者反射回去。s c u l l y 等人在最初的论文中把这种由于量子化 质心运动引起的诱导辐射称为m a z e r ( m i c r o w a v ea m p l i f i c a t i o nv i az m o t i o n - i n d u c e d e m i s s i o no fr a d i a t i o n ) 。这样，当泵浦原子是冷原子的时候，干专统的m a s e r 行为将 会消失代之出现的是m a z e r 。 原子质心运动的经典或者量子描述是导致了m a z e r 和m a s e r 的区别。他们不 2 复旦大学硕士毕业论文 同的性质可以通过光子发射几率及稳态光子分布来体现。当原子与真空腔相互 作用时，m a s e r 和m a z e r 发射几率的发射几率有明显的区别。当原子是冷原子的 时候，可以通过德布罗意的物质波概念理解m a z e r 的特性。当腔长是原子质心运 动的德布罗意半波氏的整数倍时，冷原子有很大几率穿过腔且发射光子。 在m a z e l 中，参数的不同可以使m a z e r 的稳态光场展示更为丰富的统计特 性，包括泊松分布以及其他形式的稳态光场。单光予m a z e r 【1 6 1 ，双模双光 予m a z e r 1 7 得到了广泛的研究。原子穿过腔场作为遂穿问题也是一个有趣的 现象 1 8 。初始的原子处于不同能级间的相干态的情况同样引起了研究者的重 视【1 9 。 1 3 双光子过程 双光子过程是量子光学中非常有趣而重要的现象。单模双光子过程可以产 生压缩态。压缩态对于光测量、光通信等技术中克服噪声，提高准确性和灵敏 度有着重要的意义。在单模双光子过程涉及到具有相同宇称的初末态，和一个 与之不同宇称的中间态。与腔场强度有关的斯塔克移动对于压缩有着重要的影 响 2 0 】。单模双光子m a z e r 的概念 2 l 】在单模m a z e r 的基础上提出的。一个很自 然的问题是斯塔克移动在m a z e r 中扮演什么角色。我们在这篇论文中主要研究单 模双光子m a z e r 中的斯塔克效应。 3 复旦大学硕士毕业论文 第二章理论描述 我们考虑三能级原子以质心动量危，c 穿过一个微腔的系统。在本章我们通过 严格的幺正变换的方法，推导双光子过程的哈密顿形式。因为对于冷原子来 说，原子场的耦合能对于原子遂穿起决定性作用。所以有效哈密顿的形式对 研究冷原子相关问题尤为重要。幺正变换方法不改变最初的哈密顿形式的本征 值，可以给出严格的结果。推导的结果表明与腔场强度有关的斯塔克移动项会 自动的包括在哈密顿里。其他部分的讨论都基于本章的哈密顿形式。 冷原子与腔场相互作用的问题可以通过散射模型求解f 2 2 1 ，这是因为原 子- 场耦合能可以和质心动能比拟。在哈密顿得到以后，选择适当的缀饰态表 象，二分量形式的波函数分别经历势垒或势阱的作用。求解隧穿问题得到相应 的反射或透射系数，它们决定了相互作用后原子和场的性质。我们在本章给 出通用散射模型的解。这些结果是处理能冷原子诱导发射几率等相关问题， p , l m a z e r 的基础。 厂 l 一 图2 1 单模双光子过程示意图。腔场频率2 札，= e 3 - e i ，j 3 一1 2 ，2 一| 1 与 腔场的耦合常数分别是9 2 、9 1 。 = ( 易一e 1 一协) 舭 2 1 有效哈密顿 在m i c r o m a s e r 描述单双光子相互作用有如下几种方法。唯象描述 2 3 ，绝 热消去中间能级 2 4 ，求解量子力学三能级问题【2 5 。这些方法通常都假定腔 场频率与原子中间能级之间有较大的失谐。在参考文献 2 6 】中，作者论证了各 种有效哈密顿的适应范围。a l e x a n i a n 和b o s e 【2 7 提出用幺正变换的方法得到不 d 一 复旦大学硕十毕业论文 需要做近似的，对任意失谐都成立的哈密顿量形式。文献【2 8 】中讨论了通过这 种方法得到双光子拉曼过程的哈密顿。杜老师指导y a n h u g e n g 在他的毕业论文中 用幺正变换详细推导了双光子的有效哈密顿形式 2 9 】。 对于分析冷原子的情形，原子一场的耦合对质心运动有着重要的影响。从缀 饰态表现来看，质心所经历的势正是不包括描述质心部分哈密顿量的术征值。 所以选择什么样的哈密顿描述m a z e r ，对于讨论其特性更为重要。我们严格的幺 正变换得到变形的哈密顿。 2 1 ，1 幺正变换方法 在这一部分，我们应用幺正变换方法得到退耦合中间能级的哈密顿。借 助中间能级1 2 ，双光子过程发生在能级1 3 和i l 之间。腔的模式函数对 于m a z e r 的特性有重要的影响。在现在的论文中我们假定模式函数为阶跃函数， 也就是原子与场的耦合在腔内是某一常数。原子沿。方向入射到腔上。热原子的 时候，在偶极矩及旋转波近似下，描述该系统的哈密顿量为： f b 2 i f 9 1 图2 , 2 2 h w ( e 3 一目) 时的能级示意图。h a i = ( 马局一r ) h ， 2 = ( 岛 易一r u ) n ，坯= ( 2 7 u o 凰+ e 1 ) n 。 我们从更一般的情形出发。如图2 ，2 所示，岛一目2 u ，也就是非共振双 光子过程。这样，哈密顿量可以写成如下的形式： 、j) 弱j b q a 斗 盯 b 勋 、j 2 盯a + 2 舸 g + 、j ，t一2 + o 似 鼬+ 3如玩弛 盯 邑 +盯曰 = h 叁里垒主堡主望些笙兰一 h = ；( 鼬+ e 。+ 岛) + 乩( a t a + s ；) + ；( 一z ) “ 一忍1 盯1 1 + ，讼2 盯3 3 + h g l q i + h 9 2 q 2 ( 2 2 ) 其中相关定义如下，吼= ( 2 l + 。+ a t 2 ) ，q 2 = ( a g a 2 + a t 盯2 3 ) - 。0 - 3 3 一 盯l l ，a l = ( 易一e l t u ) h ，和2 = ( 岛一邑一t m ) h 。 现在我们计算通过幺正变换方法得到的变形哈密顿形式口= e z p 0 ) h e 茹p ( 一5 ) ，幺正算符s = a ( a a 2 l 一口1 2 ) + p ( o 吼2 一0 1 a 2 3 ) 。通过计算， 算符；( 鼬+ _ e l + e 3 ) + 如( 小n 十) + 2 ( t 一2 ) 和s 对易，也就是幺正变换不 改变这一部分的形式。选取恰当的参考系。哈密顿量为 h 茹一危l 盯：l + 危2 0 3 3 + h g l q i + h 9 2 q ： ( 2 3 ) 其中；e 。盯。e 一。0 = l ，3 ) ，q ：= e 。吼e 一。0 = l 、2 ) 。首先，我们计算a ：l 和西3 。 盯：。= 鲁，口毛= 鲁 求和指标n ；0 ，1 ，2 ，胡1 = 0 1 1 ，a 0 3 = 0 3 3 【8 ，仃嚣- i ) i 。经过运算，我们可以得到如下结果a ( 2 4 ) 仃墨1 = 盯 ：= o q - ，西p = 一胁 盯 j = 2 0 2 ( a a t c r 2 2 一a t a g h ) + q 卢( l + a t g i 3 ) 摆；一2 矿( 。一印3 一一口眈2 ) + q p ( 2 锄l + a t g ：3 ) ( 2 5 ) 盯骨：( 一4 聂。一面2 ) a i ：1 3 西2 叮5 p a 嚣：( 一4 于一_ 2 ) a 等一3 - 2 a l ： 这里符号定义为；u ( 一o + s z ) ，石= n 棚而，万= p 何。方程( 2 5 ) 可以以 写成矩阵的形式。 阱卧a 卧日匿 眨s ， 6 复旦大学硕士毕业论文 其中a = 面岛，b = 南。p 和g 是矩阵： 尸= 一骞矿一雾护卜1 _ 2 。牡亿， g = 壶侈一爿 皿s ， 引入的标记= 如2 + 万2 ，p = 、西2 + 矿。因此矩阵a 和b 可以变形为 。声华 g 1 警0 毒 g【帮j 把方程e q ( a 9 ) 代a e q ( a 6 ) ，以及e q ( a 5 ) 和g 表达式，我们可以得到 ( 2 9 ) a i = + 去( 2 矿s i n + 粕n ( 2 锄。n 器( s i n ( 2 ) - 2 s i n ( a 心 + 铲 2 矿+ _ 2 ( 1 + c 账) ) 槲一筹( 1 一s ( 引：瑙 西3 = 嘶+ 刍( 骊2 s i n + 万2s i n ( 2 钏刈+ 每( s i n ( 2 沪2s i n ( 钏a 弹 + 1 - 州c o s ( ) 。 2 舻+ - 2 ( 1 + c 。s ( f ) ) 蝴一鲁( 1 一c 。s ( a 挣( 2 1 0 ) 接下来我们计算q 1 、啦经过幺正变换之后的形式q l7 和啦7 。注意到对易关 系k 口- - j = n m ， s 1 0 3 。】= 一卢啦。可以得到如下的关系式： 口：= 矿g ，e 一= ：未 a ：。( 口一n t ，卢一风) 】。， 区= e 5 啦e 一8 = 一百i 五d 1 , 3 扣_ 耐，p _ 犀) 】h 1 ( 2 1 1 ) 一7 复r 日大学硕士毕业论文 经过繁冗的计算后，最终的结果被得到。 口：= 夏1f 1 “2 c 。s ( 2 ) + 万2c o s ( ) ) 以+ 著( c 。s ( 2 ) 一s ( ) ) a 器 + 去( _ 2 s i n ( 2 卅2 万2s i n ( 钏一乳署( s i n ( 2 沪2 s i n ( 驯搬】 9 2 , = 一万i 【孕1 【- 2c o s ( 2 f ) + _ 2c 。s ( ) ) 以+ 虿2 ( c 。8 ( 2 ) 一c 。s ( ) ) a 浮 + 去( 熙i n ( 2 ) + 轭。s i n ( 钏+ 嘉( s i n ( 2 f ) 一2 s i n ( 跏罐】( 2 1 2 ) 借助e q ( a 1 0 ) 和e q ( a 1 2 ) ，可以获得经过幺正变换后的精确哈密顿量形 式。把口：l ，以3 ，q i ，区 弋x e q ( a 3 ) ，我们得到幺正变换后的最终哈密顿为： 其中 h = 1 ( n 口j l + a tc r l 2 ) + f 啦( n d 吾2 + a t a 2 3 ) + 砌( n 2 lq - 一2 盯1 3 ) + 砌1 口l l + 却2 口2 2 + h q 3 a 3 3( 2 1 3 ) 俨一( a 1 + a 2 ) 鼍掣+ 警( 帝- l _ 2 ) + n 2 ( 导+ 詈) 警州詈_ 2 一詈_ 2 ) 警 ( 2 t 。) 他= 一( a 1 + a 2 ) 笔掣+ 警( 绁_ 2 矿) 懈( 羚警一3 、- g i _ 2 _ g 万2 - - p 2 ) 警 偿1 5 ) 叩= 誓 ( 矿- _ 2 ) ( 詈+ 詈蜘i n + ( i g l _ 2 _ 万9 2 p - - 2 炳i n 涨) + 2 西2 一l 万2 + ( 2 万2 一。_ 2 ) c 。s ( f ) 】( 1 一c o s ( f ) ) )( 2 1 6 ) ”- = 。耐( 掣- 2 + 雩盟_ 2 ) 一8 一 复旦大学硕士毕业论文 一z 。西2 万2 ( 学一三二笋) 掰矿( 詈+ 詈) 警一z 舻( 弦一和訾( 2 1 7 ) 驴l + ( 詈- 2 一黟半+ 笋( 2 - 2 l 铲) ( 2 1 8 ) 铂= ，+ 。+ 2 - _ 2 万2 ( 半一三二竽盟) 一。z 矿( 警万2 + 掣叭躯2 砍詈+ 詈) 警帮( i g l _ 2 - 万9 2 - - p 2 ) 擎、1 9 ) 现在我们得到的哈密顿量日随着参数n 和口的变化会有很多不同的形式。 为了从中消去中间能级j 2 ，我们可以选取参数恰当的值使得下式得到满 足， l = 讹= 0化2 0 ) 对于我们考虑的共振双光子过程，也就是l = 一a 2 = a 时，使方 程e q ( a 2 0 ) 满足的参数值为 。= 痛音罕， 忙孺g 霜2 a r c t a n ( 罕) ( 2 z ) 这里瓦= g l 而、酝= 9 2 v 何。将e q ( a 2 1 ) 代a e q ( a 1 3 ) ，而且包括守恒量 部分 ( 鼬+ e 1 + e 3 ) + 舢( o + o + ) + ( t a 2 ) ，哈密顿可以写成如下的简洁 的形式： 日= ；( 鼬+ e i + 玛) + 础( f 。+ ) + 砌1 0 1 1 + h r 2 0 2 2 + h r z a a 3 + 砌( 0 2 嘶+ 一) ( 2 2 2 ) 其中的参数为： 旷鑫打丽， 亿z 。， 复旦大学硕士毕业论文 啦= 一会 1 一v 4 + 醪) + 1 ) ( 2 2 4 ) 舶2 鑫今卜 胖4 2 孔2 )( 2 z s ) ”= 器会”、壶( 爵痫+ 1 ) ( 2 z s ) 至此，我们就得到了中间能级2 从能级1 和3 退耦合的哈密顿形式。其 中q 、啦、叩包含了与场强有关的斯塔克移动。当i l 酉2 + 酽时，哈 察俪百r dj 斤似饷呈融 日= ；( 鼬+ e 1 + b ) + 眦( a t a + 只) 一警扩。 一f h 9 2 。t n + 1 ) 嘶一警( a 2 g 1 3 , - - 0 ) 2 g 3 1 ) ( 2 2 7 ) 。3 3 的系数中包括了自发移动对斯塔克移动的贡献。 这样，考虑原子的量子化质心运动，参照能量参考点 ( 砒+ e l 十岛) + h w ( a t a + & ) ，且消去中间能级时，整个空间的哈密顿可以写成统一的形式： d 2 日= 丢毳+ 叩1 盯l l + 胁7 3 盯3 3 + h y ( a 2 盯1 3 + a t 盯3 1 ) ， ( 2 、2 8 ) 这时重新定义，g t ( z ) = g l f ( z ) ，9 2z ) = 9 2 f ( z ) ，这里厂( 。) 是腔的模式函数。对 于平台形腔模，哈密顿可以写成日= 鬃+ ，( z ) 砌l 口l l + 咖盯3 3 + 方叩( 铲口i 3 + n 口3 1 ) ，这里9 1 、9 2 恢复到原来的意义。在大失谐时。 2 1 2 本征值与本征矢 现在经过幺正变换后的哈密顿不包括中间能级，当然1 2 ，扎+ l 是最初的哈 密顿本征值。幺正变换的操作使得h n + 2 、1 3 ，n 之间产生混合。所以可以 一1 0 一 凹 qq 鼽筝 五一 吼= 町 铂 复旦大学硕士毕业论文 利用缀饰态表象 蝣 = s i n ( 如) 1 3 ，n + c o s ( 如) 1 1 ，n + 2 妒： = c o s ( e 。) 1 3 ，n 一s i n ( 靠) f l ，n + 2 ，( 2 3 0 ) 作为系统基矢。求解日= 却1 口1 l + h r 7 3 a 3 3 + h v ( a 2 口1 3 + a f a 3 1 ) 的本征值与本 征矢。可以得到本征矢为( 2 3 0 ) ，其中s i n ( 如) 2 了矛素嵩；i 雨，c 。s ( 巩) = 了孑希鸯。本征值为 e ：= 0 簖= 叫掣+ 掣) ( 2 3 1 ) 这正是在m i c r o m a s e r 中，通过绝热消去原予场耦合态所得的到结果【3 0 。这样 的哈密顿形式在 3 1 冲用来研究态矢演化。文献 3 0 中的绝热消去原子裸态的 哈密顿形式同样也被广泛使用【3 2 。 通过幺正变换方法所得到的包括斯塔克移动项的二能级有效哈密顿对于任 意的失谐都是成立的。当然，这只是数学上的结果。当= o 的时候，就变成 了级联型( c a s c a d e ) = 能级关联光子过程。在现在的论文里，我们主要考虑双光 子过程。当中间能级和腔场的失谐较大的时候，也就是绝热消去所隐含的物理 要求，双光子过程是相互作用中的主要过程。在后面的讨论中，我们关注大失 谐情况下得到的结果。 2 2m a z e r 理论 一般的情况我们可以假设腔场最初处于光子数态，原子最初处 于上能级1 3 或者1 1 ，或者上下能级的相干态i 妒( o ) 。= c o s ( 锣) 1 3 + s i n ( t g ) e 坤1 1 。现在的目的是给出原子经过与腔场的相互作用后，可以求 解原子的布居及腔场性质的相关数学表达式。冷原子与腔场相互作用哈密顿量 可以写成更般的形式日= 旦2 m + ，( z ) 日。在处理冷原子的时候，我们借助h 的 木征矢， 1 3 ，礼 = s i n ( 如) i 怯 + c o s ( 氏) l 世 1 ，n + 2 = c o s ( 如) l 妒： 一s i n ( o ) l 妒_ ：= - ( 2 3 2 ) 复旦大学硕十毕业论文 我们可以把初态用缀饰态表象来展开 v ( o ) 。= c i 世0 + g 一1 妒2 ( 2 3 3 ) 那么整个原予一腔场系统，初始的波函数是 = 妒( 薯o ) l w ( o ) 。：d k a ( k ) e i k z p ( 一z ) i 妒( o ) 。( 2 3 4 ) 其中每个分量l 圣( z ，t ) = 曲( 。，o ) i 砂 ，均遵从如下的薛定鄂方程 z _ i l 羞咐) 叫一嘉嘉圳撅矿 ( 2 3 5 ) 每一个分量e ( z ，t ) + 分别经历势垒e 毒，釜( z ，t ) 一经历势f i 。这样最初的问题就转 化为散射问题。数学上求解该散射问题的依赖与腔的模式函数的特性。当腔的 模式函数是z 复杂的函数的时候，一般说来没有解析的解。要采用各种近似或数 值计算。 考虑腔的模式函数为阶越函数的时候，即 m ，2r 。= l 每一个分量的散射方程都可以解析求解。透射系数及反射系数分别为 我们采用如下的定义 碚= t 言s i n ( 女砉l ) 哥 砖= c o s ( k 孝l ) 一i e 妻s i n ( 磅l ) r 1( 2 3 7 ) 磅= ( k 2 千警删2 牛；( 譬一去) e 嘉习1 , 百k n + + 舞) ( 2 3 s ) 这样结合初始的波函数，我们可以得到最后的波函数。这里我们写出最般的 1 2 一 复旦大学硕士毕业论文 形式 = f d k a ( k ) e i k * 目( 一z ) r 3 ，。日( 一z ) 1 3 ，n + t 3 ，。日( z l ) 1 3 ，n + r 1 ，n + 2 口( 一。) i l ，礼+ 2 + t i 。+ 2 目0 一l ) i l ，n + 2 】( 2 3 9 ) 系数可以用砖、昔结合初始条件得到。实际上，我们得到了原子处于激发态或 者基态的几率幅。我们可以用这些量来计算相关的物理量。调节适当的原子泵 清速率让原子一个个地通过微腔，最后可以建立起一个稳态的光场。求 解系统的主方程可以给出详细的结果。更详细的单光子m a z e r 理论可以参考文 献u 6 - 双模双光子参j ! 1 7 。在接下来的章节中我们会给出具体的结果。 复旦大学颂士毕业论文 第三章原子布居的特性 布居的塌缩和恢复是一种量子现象，很多文献调查了这种现象。布居的特 性很好的揭示了场的量子化性质。在腔量子电动力学中，通过测量原了的布居 来探测非经典腔场是一种常用的方法。杜四德老师讨沧了在m i c r o m a s e r 中利用 双光子过程探测薛定鄂奇偶猫态的可行性【3 3 】。 本章我们计算当原子一腔场系统的哈密顿为上章e q ( 2 2 9 ) 时，系统随时问的 演化行为。考虑入射原子最初处于基态，腔场处于相干态的时候，我们计算原 子与微腔作用之后，处于激发态的布居。这样的物理量可以通过场离子化技术 在实验上测量。斯塔克移动对于原予布居的影响是本章主要讨论的内容。 3 1 基本公式 为了得到系统主要的特性，我们假设原子处于基态以质心动量亢琏入到含 有n 个光了的微腔中。这样初始的原子场的态是1 1 ，n 。相互作用之前的系统 波函数可以写成如下形式： 皿。( 。，0 ) = 口( 一z ) e 池1 1 ，n 将n 用的本征态拓展有助于解决问题 ( 3 ，1 ) 1 ，n = c o s ( o 。一2 ) 1 砂0 2 一s i n ( o 一2 ) i , z - 2 ( 3 2 ) 根据上一章的讨论，我们可以得到散射方程 i 危旦a t 吼牡( 一条嘉+ m 基。m 嗍引) ( 3 3 ) 这里a ：一2 = o ， ：一：= e ；- 2 。当腔场模式可以看作平台型函数的时候，每一个 分量都经历方型势阱或者势垒。现在的散射及透射系数是 陈4 - 一2 = i 士- 2s i ( k l 2 l ) 7 盖2 吒4 - 一2 = c o s ( 七差2 l ) 一i 基28 i n ( 丧2 l ) 】一1( 3 4 ) 复旦人学硕士毕业论文 其中 这里 砖二2 = “警壕。 ( 3 5 ) 根据m a z e r 理论，求解散射模型之后，原子离开相互作用区之后的波函数是 = e 印( t h i 磊k 2 t ) 【丑。一。( ) e t k 2 口( 一z ) + t 3 ，。一2 ( ) e 一琅( 2 一啪一l ) 1 3 ，n 一2 + i r l ，。( ) e 一慨口( 一z ) + 五，。e 一拙( 。一。口( z l ) j l ，n ( 3 6 ) r 3 ，。一2 ( k ) = s i n 如一2c o s 如一2 p 0 2 ( ) 一p i 2 ( ) 如，。一2 ( 七) = s i n 9 。一2c o s o n 一2 t 0 2 ( ) 一7 ；j 2 ( 七) 】，( 3 7 ) 分别是原子从腔上反射或透射，并吸收两个光子从基态1 1 ，n 跃迁到1 3 ，n 一 2 的几率幅。同样我们可以得到原子仍然处于基态1 ，札 ，从腔区反射或者透 射的几率幅 r l ，。= s i n 2 如一2 p + _ 2 ( ) + c o s 2 艮一2 p 矗2 ( ) 乃，。= s i n 2 以一2 t 0 2 ( ) + c o s 2 靠一2 t 2 ( 七) ( 3 8 ) 这样，在原子一场经过双光子相互作用之后，原子处于激发态的几率可以通过下 式来计算 恳( n ) = l r s ，。一2 ( 七) f 2 + , n - - 2 ( 女) f 2 = s i n 2 口。一2c o s 28 。一2 ( i p + - 2 ( ) 一瓜一2 ( ) 1 2 + 1 7 0 2 ( ) 一t 二2 ( ) 1 2 x 3 9 ) 。石上 一 十 鱼。鱼。 l 一2 l 一2 | = 毛 毛 复旦大学硕士毕业论文 3 2 解析讨论 在这一部分，我们通过解析形式解来讨论问题。根据质心动量的大小，我 们可以将运动的原子分为热原子区和冷原子区。方程e q ( 9 ) $ h e q ( 5 ) 给出了原子 经历的势能位形。在缀饰态表象中，分量l 妒0 。 总会隧穿过腔，因为该分量的 原子场耦合能为零。而另外的分量1 】 ，o 。 将会经历势垒或者势阱。这取决于 失谐的符号。当失谐是正德时候，入二一。是负值，此时，腔对于运动的原子是势 阱，也就是吸引势。相反，当失谐是负值的时候，入射的原子将会经历势垒， 也就是排斥势的作用。对于冷原子而言，正负失谐对于m a z e r 理论中的遂穿过程 有着重要的影响。 对于热原子而言，也就是原子质心动能满足k 2 磐i a o 。1 不管是正失 谐还是负失谐，透射几率与反射几率分别是 p 工_ 2 10t 2 1l ，t 21 e z p i k l ( 1 一r a 倒a 一- 2 ) 】 ( 3 ，l o ) 原子处于激发态1 3 的几率是 脚+ 2 ) = 瓣黼豢名 1 _ c o s ( 蕊m l ) ( 3 1 1 ) 当失谐满足1 2 g + 2 ) + 谚+ 1 ) 的时候，也就是大失谐近似，p 3 m + 2 ) 可 以写成 胁十2 ) = 象辚 1 - - c o s ( 篆垫掣) ) ：关磐端”c o s ( s u ) ) ( 3 1 2 ) 2 承再酉i 丽卜 纠 t = m 群l ，n = 亟生李j 茧i 业。这正是双光子m i c r o m a s e r 理论 3 4 所给出的结果。 因此，在处理m i c r o m a s e r 中原子布居等相关问题的时候，我们不需要考虑失谐 的符号。 对冷原子来说，其质心动能和原子一场耦合能大致相同。这时候其特性主要 有散射过程决定。为了给处近似的公式，我们考虑超冷原子的情况。超冷原子 意味着2 当 o 时，我们得到 一1 6 复旦大学硕士毕业论文 0 l ( b ) 图3 1 分量| 砂j 2 经历的势能示意图。另一分量总是会穿过腔。( a ) 0 ，腔 场的作用可以看作势阱。即使是超冷原子，这种情况下，也会有共振随穿发生。( b ) a 的布居尸3 随腔长变化曲线。平均光子数1 0 ，k = 1 0 ，r = 1 。( a ) a 1 9 2 3 5 0 ，r b ) a 1 9 2 = 一3 5 0 。 的波函数可以写成 “炒一计i 剞h k 2 蓬删- 2 ( 咖“叫叫塌一e m 卜” 0 ( z l ) 1 3 ，n 一2 + g ( n ) 阮。( ) e “。0 ( - z ) + 噩，。e “( “) o ( z l ) 1 1 ，n + p ( o ) 1 1 ，0 + p ( 1 ) 1 1 ，1 ( 3 1 5 ) i c ( n ) 1 2 = e - - 碧，其中瓦是平均光子数。为了展示斯塔克对双光子相互作用 后原子布居的影响，我们进行了数值计算，给出相关图示。引入定义k ： 2 v 丽e - u h ，标度原子- 场相互作用强度，及r = g l 9 z 斯塔克移动参数。 根据实验参数【9 】，图3 2 给出热原子时能级1 3 的布居随腔场的变化。 根据这篇文献，中间能级和激发态能级1 3 及基态能级1 1 等强度耦合，也 就是，r = 1 ，耦合常数9 1 = 9 2 = 7x1 0 5 s 。失谐为2 7 r = 一3 9 0 m h z ，那 么a 1 9 223 5 0 。卤族元素r b s 5 的质量是1 4 1 0 - 2 5 k g ，k = 、2 m 9 2 危21 3 6 1 0 7 m 。当参数取k 一1 0 ，k = 1 0x1 0 7 m “的时候，如图所示原子布居不会 随着失谐的符号变化。我们按m a z e r 理论同样可以重复出布居的周期性的恢复和 塌缩。在热原子情况下，也可以说在m i c r o m a s e r 中通过原子布居不可能观察到 斯塔克效应。 复旦大学硕士毕业论文 羹0 黼- - 翮 蒌m f b ) l l ( m ) 图3 3 p 3 随腔长变化曲线。瓦= 1 0 ，r = 1 ，肛= 0 5 。( a ) a = 3 5 0 ，( b ) a = 一3 5 0 。 3 3 1 腔场、失谐及r 的影响 当原子被冷却以后，激发态的布居随腔长的变化将会因失谐的符号不同而 展示出不同的行为。图3 3 和图3 4 给出冷原子时，正负失谐的比较。图3 3 中的 振荡行为明显区别于热原子时候的情形。现在的振荡随着腔长的增加，周期 变小，振幅也减小。这是冷原子经历势阱或者势垒的反映。对3 3 ( a ) ，因为原 子一场耦合，相干态的腔场对运动的冷原子产生一系列的势阱。不同光子数所产 生的势阱值是不同的，在它们的叠加过程中，会有相位的差别。各个不同的分 量可能相干或相消。参见式( 3 1 3 ) 这种相干或相消由势阱的大小和腔场共同决 定。而在热原子的时候，拉比振荡和腔场是没有关系的。在3 3 ( b ) 中原子经历势 垒的作用，对于现在的参数，原子同样有较大的几率穿过腔。在图3 4 中，平均 光子数为4 。这时同时起主要作用的势阱或者势垒的数目大约是8 个，它们所表 现出来的整体振荡就没有图3 3 中那么剧烈。 众所周知，在m i c r o m a s e r 中，当中间能级和上下能级等强度耦合f r = 1 ) ， 且强场的时候是不町能在原子布居中观察的斯塔克移动效应的。现在的结粜表 明，对于冷原子而言，因为隧穿过程的发生，以及失谐符号，斯塔克移动可以 通过原子的布居进行观察。这也意味着在处理冷原子的时候，斯塔克移动是非 常重要的。 从数学意义上，通过幺正变换所获得的哈密顿对于任意的失谐都成立， 一1 9 一 复旦大学硕士毕业论文 1 0 0 8 0 6 r 0 4 0 , 2 0 0 o 1 0 0 8 0 6 q - no 0 2 0 0 l ( m l 图3 4与r 图相似 h 瓦= 4 。 图3 5 正失谐时p 3 随着作用长度的变化。瓦= 1 0 。r = 1 ，女k = 0 5 。 2 0 复旦大学硕士毕q p 论文 4 “ 图3 6 负失谐时p 3 随着作用长度的变化。而= 1 0 r = l ，肚= 0 5 。 i ” 图3 7 p 3 随着作用长度的变化。百= 1 0 ，r = 0 5 ，k 八= 0 5 。 一2 l 一 复且大学硕士毕业论文 图3 8 p 3 随着作用长度的变化。瓦= 1 0 ，r = 1 2 ，k = o 5 。 然而考虑到物理上的双光子过程，我们考虑大失谐参数。接下来的讨论中， 我们考察不同失谐及r l 时候的原子布居。在图3 5 中，不同正失谐参数时 的原子