（机械电子工程专业论文）pythagorean+hodograph曲线及其插补技术的研究.pdf

摘要 摘要 现代制造业对曲面加工的需求和质量要求不断提高，而传统的以直线、圆弧 逼近样条曲线的插补方法，已经远远不能满足这一要求；n u r b s 曲线直接插补 技术虽然可以完成自由型曲线曲面的直接插补，但其复杂的计算方法和庞大的计 算量导致插补过程的实时性很难实现，而采用一些简化算法在保证实时性的前提 下却不可避免地要付出降低加工精度的代价，在一些精度要求较高的场合的应用 受到很大的限制。 本课题研究的p y t h a g o r e a nh o d o g r a p h ( p h ) i 封1 线插补技术，充分利用p h 曲线 适合于数控加工的优点，实现对自由型曲线曲面的直接插补，从而改善零件的加 工效率和加工质量，以适应现代数控技术的发展要求。 本文首先给出了p h 曲线的定义，分析了p h 曲线的弧长计算的表达式和偏 置曲线的表示形式。随后研究了两类常用p h 曲线的构造方法，研究了b 6 z i e r 曲 线成为p h 曲线的条件，给出了相应的控制顶点计算公式。在初始数据不满足直 接插值的条件下，通过插入满足条件的中间数据来构造段数最少的p h 样条曲线 的方法完成对三次p h 曲线的c 1 插值。对五次p h 曲线，用b 6 z i e r 曲线形式给出 其h e r m i t e 插值并给出了最佳解的选取方法。对这两类p h 曲线的构造方法分别 通过数值实验进行了验证。 然后给出了p h 曲线的插补方案，在进给速度为常数、时间的函数、弧长的 函数和曲率变量的函数的情况下分别推导了p h 曲线数控插补的插补算法，采用 前加减速控制方法解决了数控插补过程中的速度控制问题，提出了实现p h 曲线 插补器的流程图，并提出了p h 曲线插补技术的计算机数控编程方法。接下来对 基于p h 曲线的曲面插补技术进行了初步探讨，讨论了其实现过程并给出了刀具 中心轨迹的确定方法。 最后给出了p h 曲线插补技术的应用实例，通过仿真实验证明p h 曲线插补 技术的应用可以改善磨料射流加工的加工质量。 关键词p y t h a g o r e a nh o d o g r a p h 曲线；插补；计算机数控；磨料水射流加工 a b s t r a c t a b s t r a c t w h i l em o d e r nm a n u f a c t u r i n g sn e e d sa n d q u a l i t yr e q u i r e m e n t sf o rc u r v e ds u r f a c e m a c h i n i n gk e e pi n c r e a s i n g ，t h et r a d i t i o n a lm a n n e rb a s e do ni n t e r p o l a t i o no fb e e l i n e a n dc i r c l ea r ca p p r o a c h i n gs p l i n ei sf a rf r o ms u f f i c i e n tt os a t i s f yt h en e e d s ；a l t h o u g h n u r b si n t e r p o l a t i o nc a na c c o m p l i s ht h ed i r e c ti n t e r p o l a t i n go ff r e e f o r mc u r v e sa n d c u r v e ds u r f a c e s ，i t sc o m p l i c a t e dc a l c u l a t i n gw a ya n de n o r m o u sa m o u n to fc a l c u l m i o n m a k e si th a r dt or e a l i z et h er e a l - t i m i n go fi n t e r p o l a t i o np r o c e s s s o m es i m p l i f i e d c a l c u l a t i n gm a n n e r sc a nm a k es u r ei t sr e a l - t i m i n ga tt h ec o s to fr e d u c t i o no fm a c h i n i n g p r e c i s i o na n dt h u sw a sr e s t r i c t e dg r e a t l yi ns o m eo c c a s i o n sw h i c hh a v eh i g h r e q u i r e m e n t sf o rp r e c i s i o n t h ep y t h a g o r e a nh o d o g r a p h ( p h ) c u r v ei n t e r p o l a t i o no ft h i sr e s e a r c hw h i c h m a k e sf u l lu s eo ft h ea d v a n t a g e st h a tp hc u r v ei sf i tf o rc n c m a c h i n i n g ，r e a l i z e s d i r e c ti n t e r p o l a t i o nt of r e e f o r mc u r v e sa n dc u r v e ds u r f a c e s ，t h u si m p r o v i n gt h ep a r t s m a c h i n i n ge f f i c i e n c ya n dq u a l i t yi no r d e rt oa d a p tt ot h ed e v e l o p m e n tr e q u i r e m e n t so f m o d e r nc n c t e c h n i q u e s a tt h eb e g i n n i n go ft h i st h e s i s ，t h ed e f i n i t i o no fp hc u r v ei sp r o v i d e d ，a n dt h e e x p r e s s i o no fp hc u r v e sa r cc a l c u l a t i o na n dt h ef o r mo fi t so f f s e ti sa n a l y z e d t h e n t h ec o n s t r u c t i n gm e t h o d so ft w oc o m m o np hc u r v e sa r es t u d i e dw h i c hg i v et h e c o n d i t i o n so fb 6 z i e rc u r v eb e i n gp hc u r v ea n dt h ec o m p u t i n gf o r m u l ao fc o n t r o l l i n g p o i n t s u n d e rt h ec o n d i t i o nt h a tt h ei n i t i a ld a t ac a n tm e e td i r e c ti n t e r p o l a t i n g ，c 1 i n t e r p o l a t i n go fp hc u b i cc u r v ei sa c c o m p l i s h e db yi n t e r p o l a t i n ga p p r o p r i a t em i d t e r m d a t at oc o n s t r u c tp hc u r v eo fl e a s ts e g m e n t s p hq u i n t i cc u r v e si n t e r p o l a t i n gi s a c c o m p l i s h e db yb 6 z i e rc u r v e f o r ma n dt h em e t h o dt of i n di t sb e s ta n s w e ri sa l s o p r o v i d e d t h ed a t ae x p e r i m e n t sa b o u tt h ec o n s t r u c t i n gm e t h o d so fp hc u b i ca n d q u i n t i cc u r v e sa r ep r e s e n t e dt h e n a f t e rt h a t ，i tg i v e st h ep l a nt or e a l i z ep hc u r v ei n t e r p o l a t i o na n da n a l y s e st h e i i i 山东大学硕十学何论文 c o m p u t i n gm a n n e ro fp hc u r v ea c c o r d i n gt ot h ed i f f e r e n tf e e d r a t ef o r m so fc o n s t a n t ， f u n c t i o no ft i m e ，a r ca n dc u r v a t u r e ，s o l v e st h ep r o b l e mo fs p e e dc o n t r o li nt h ep r o c e s s o fi n t e r p o l a t i o nb ya d o p t i n gp r e c e d i n ga c c e l e r a t i o n d e c e l e r a t i o nc o n t r 0 1 t h e n ，t h e a c t u a l i z i n gf l o wo fp hc u r v ei n t e r p o l a t o ri sp r o v i d e d ，a n dt h ew a yo fp hc u r v e i n t e r p o l a t i o n sc n cp r o g r a m m i n gi sp u tf o r w a r d i tt h e np r o b e si n t oc u r v e ds u r f a c e s i n t e r p o l a t i o n b a s e do np hc u r v et e n t a t i v e l y , d i s c u s s e st h e p r o c e s so fp hc u r v e i n t e r p o l a t i o nf o rc u r v e ds u r f a c e sa n dp r o v i d e st h em e t h o dt of i n dt o o l sc e n t e rl o c u s f i n a l l y ，t h ea p p l i c a t i o no fp h c u r v ei n t e r p o l a t i o ni sp r o v i d e d ，a n di t sp r o v e dt h a t t h ea p p l i c a t i o nc a ni m p r o v et h em a c h i n i n gq u a l i t yo fa b r a s i v ew a t e rj e ts y s t e m k e yw o r d sp y t h a g o r e a nh o d o g r a p hc u r v e ；i n t e r p o l a t i o n ；c n c ；a w j l v 原创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论 文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。对本 文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式标 明。本声明的法律责任由本人承担。 论文作者签名： 蔓包日期：掣 关于学位论文使用授权的声明 本人完全了解山东大学有关保留、使用学位论文的规定，同意 学校保留或向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子版，允 许论文被查阅和借阅；本人授权山东大学可以将本学位论文的全部 或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或其他 复制手段保存论文和汇编本学位论文。 ( 保密论文在解密后应遵守此规定) 论文作者签名：j 噍导师签名：俎日期：垒丑! 罗 论文作者签名：毖 导师签名：丝! 翌日期：2 聋：兰：! 多 第1 章绪论 1 1 数控插补原理 1 1 1 插补运算及其作用 第1 章绪论 插补运算起源于计算数学，在计算数学中，对于一些难以用具体函数描述的 曲线或描述复杂的曲线，往往是用多段直线段或一些简单的曲线段来近似地表示 ( 逼近) 。2 0 世纪5 0 年代后，随着数控机床的出现，插补一词被应用到了数控 领域中。在数控领域中，插补就是数控系统根据零件轮廓尺寸，结合精度和工艺 等方面的要求，依照一定方法在已知刀具中心轨迹线转接点之间插入若干个中间 点从而确定刀具运动轨迹的过程。换句话说，就是“数据点的密化过程 ，其对 应的算法称为插补算法【l 】。 插补运算是计算机数控系统中生成加工轨迹的基本子程序，是整个数控系统 软件中一个极其重要的功能模块之一。在计算机数控系统中，插补功能全部或部 分地由计算机数控系统的系统程序来实现。计算机数控系统根据数据处理结果缓 冲区中存储的零件程序数据段的信息，进行数据信息计算，得到各坐标轴的位置 信息，送往执行机构。插补软件的任务是完成在轮廓起点到终点的中间点的坐标 计算，对这些中间点的坐标计算，不仅要求位置上符合加工精度要求，而且要求 插补计算必须是实时的，即在有限的时间内完成计算任务，并对各坐标轴分配速 度或者位置信息。插补程序的运行时间和计算精度影响着整个计算机数控系统的 性能指标，其算法的选择将直接影响到工件的轮廓精度和表面粗糙度，并且影响 机床的最大进给速度和生产效率。插补运算的优劣可以从算法的简便程度、插补 精度的高低、执行时间的长短来评价【2 l 。 由于插补运算在计算机数控系统中的重要地位，自第一台数控机床问世以来， 科技人员就对插补运算进行了连续不断的研究，以便谋求更新更好的插补算法。 对计算机数控系统来说，寻求插补算法所遵循的原则是：插补所需的原始数据较 少；算法简单、运算速度快；插补精度高、无累积误差；能控制进给速度1 3 】。 l i j 东大学硕十学位论文 1 1 2 数控系统基本插补算法 在早期的硬件数控系统中，插补过程是由专门的数字逻辑电路完成的。硬件 插补的基本特征是每次只能输出一个电压脉冲，使刀具相对工作台产生一个脉冲 当量的长度单位。脉冲当量的大小和脉冲频率决定了机床的加工精度和进给速度。 这种用硬件实现的插补运算速度很快，但是灵活性较差。 而在计算机数控系统中，插补运算可以全部由软件实现。根据计算机数控系 统的工作原理及计算方法的不同，目前普遍运用的软件插补算法分为两大类【4 】： 1 脉冲增量插补脉冲增量插补法模拟硬件插补的原理，把每次插补运算产 生的脉冲输出到伺服系统，驱动工作台的运动。每发一个脉冲，工作台移动一个 脉冲当量。输出脉冲的最大速度取决于执行一次插补运算所需要的时间。最常见 是逐点比较法和数字积分法。 逐点比较法也被称为区域判别法，它的原理是：计算机在控制加工轨迹的过 程中，逐点计算和判别加工偏差以控制坐标进给方向，从而按规定的图形加工出 合格工件。这种插补算法的特点在于每控制机床走一步都要完成四个工作节拍， 即：偏差判别、刀具进给、偏差计算和终点判别。逐点比较法运算简单，过程清 晰，插补误差小于一个脉冲当量，输出脉冲均匀，而且输出脉冲速度变化小，调 节方便。但是这种方法不容易实现两坐标以上的插补，因此只在两坐标数控机床 中应用较为普遍。 数字积分法也称d d a ( d i g i t a ld i f f e r e n t i a la n a l y z e r ) 法，它的最大优点是容易 实现三个或三个以上坐标轴的插补，此时每个轴的插补对应一个d d a 模块。多 个d d a 模块的组合就可以实现多个坐标轴联动的插补。另外，它可以比较容易 地实现二次曲线、甚至高次曲线的插补。其基本原理就是基于数学中的积分几何 概念，将对函数的积分运算转化为对相应变量的累加求和运算，如果累加值超过 给定值，则输出进给脉冲，控制刀具进给。采用数字积分插补方法时，不论加工 行程的长短，都必须完成一定次数的累加运算。也就是说，行程长，进给快；行 程短，进给慢。这样，就难以实现加工速度的准确稳定控制，从而影响加工零件 的表面质量。所以必须采取相应措施使进给速度均匀化。另外数字积分法的速度 调节不便，插补精度也需要采取半加载法等措施才能满足精度要求。 2 第1 章绪论 2 数据采样插补法数据采样插补也称为时间分割插补，使用这种插补法的 数控系统，其位置伺服通过计算机及其测量装置构成闭环，插补输出的结果不是 脉冲，而是数据。计算机定时地对反馈回路采样，得到采样数据与插补程序所产 生的指令数据相比较后，用误差信号输出去驱动伺服电机。 具体而言，数据采样插补法是将加工一段轮廓曲线的时间划分为若干相等的 插补周期。每个插补周期进行一次插补计算，算出各坐标轴的进给量，作为下一 个插补周期内各坐标轴计算机位置闭环控制系统的增量进给指令。也就是根据数 控加工程序设定的速度将零件轮廓曲线按插补周期将其分割为一系列微小直线 段，然后将这些微小直线段对应的位置增量数据进行输出以控制伺服系统实现坐 标轴的进给。这样边计算边加工，一直加工到轮廓的终点。显然，这类插补算法 插补的结果就不再是单个脉冲，而是一个数字量。所以，这种方法所产生的最大 速度不受计算机最大运算速度的限制，适用于闭环和半闭环以直流或交流电机为 执行机构的位置采样控制系统。本文所研究的插补算法属于这一类。 近年来，随着数控技术的发展，插补算法也不断地成熟与改进。尤其由于数 控编程更加图形化和自动化，无论是脱机编程，还是联机编程，其编程系统的功 能更加强大。这样就可以实现测量、采样、编程、加工一体化，使数控加工更具 有实时性、柔性与智能化。这必然要求插补算法不仅具有高速度、高精度，更要 具有自适应性。 1 2 自由型曲线插补技术的发展现状 1 2 1 传统数控系统曲线插补方法 传统的计算机数控机床只具有直线、圆弧等简单解析曲线的插补功能，加工 自由型曲线曲面轮廓零件时，数控加工程序的制备只有通过离线编程才能完成， 即在离线编程计算机上借助c a d c a m 系统建立列表曲线的样条插值或拟合函数 曲线，数控编程结果以逼近样条曲线的若干顺序连接的微小直线段的插补代码来 体现，这就是列表曲线的传统c a d c a m 插补方法【5 】【6 】，如图1 1 所示。 3 山东大学硕十学何论文 c a d ，c a mc n c 图1 1 传统c a d c a m 插补方法 这种用小直线段逼近曲线的加工方式虽然可以完成自由型曲线曲面的加工， 但是存在以下缺点1 7 】- 【1o 】： 1 需要向c n c 系统传输大量数控代码信息，程序量庞大。自由型面用小直线 段离散后，随着插补精度的提高，直线段的数量急剧增加，由此，带来加工程序 的急剧增加。而且在数据传送时，特别是在有干扰的情况下，不可避免地会产生 数据传送的错误或者丢失。 2 进给速度很难提高，加工效率较低。数控系统在进行小直线段处理时，需 要对每一段小直线段进行直线插补处理，由于直线段的长度极小，使得加工速度 提高不上去，加工耗时较多，导致加工效率难以提高。 3 加工精度难以提高。由于用直线逼近曲线本身是用折线代替曲线，逼近后 的线是一阶的，导矢不连续，用小直线段逼近自由型面，加工出来的曲面表面比 较粗糙，后续光整加工量大。 传统的自由型曲线曲面加工方法的固有缺点，严重阻碍了新的数控系统发展， 因此迫切需要寻找一种能够对自由型曲线曲面进行直接插补的曲线和方法。 1 2 2 自由型曲线的发展 4 为了能够对自由型曲线曲面进行直接插补，首先需要寻找一种表示方法，能 第l 章绪论 够以一种统一的方式表示自由型曲线曲面。随着计算机的广泛应用及其运算速度 的不断提高，采用数学方法来定义自由曲线曲面，在实际应用时所产生的繁重数 学运算问题才能得到解决。一般而言，根据定义零件形状的几何信息，建立起相 应的数学模型，并通过在计算机上执行计算和处理程序，计算出曲线曲面上大量 的点及其它信息，这些获得的信息为以后的后续处理( 如数控插补、有限元分析等) 提供了必要的条件。 1 9 6 3 年美国波音公司的弗格森( f e r g u s o n ) 首先提出了将曲线曲面表示为参数形 式的矢函数方法。他最早引入参数三次曲线，构造了组合曲线和由四角点的位置 矢量及两个方向的切矢定义的弗格森双三次曲面片，这些方法由f m i l l 系统实现， 由它可生成数控带。他所采用的曲线曲面的参数形式成为当时形状数学描述的标 准形式。 1 9 6 4 年美国麻省理工学院的孔斯( c o o n s ) 发表了具有一般性的曲面描述方法， 给定围成封闭曲线的四条边界就可以定义一块曲面片。在c a g d 实践中应用广泛的 只是它的特殊形式孔斯双三次曲面片。它与弗格森双三次曲面片的区别仅在 于将角点扭矢由零矢量取为非零矢量。两者都存在形状控制与连接问题。 1 9 6 4 年舍恩伯格提出的样条函数解决了连接问题。样条方法用于解决插值问 题，在构造整体达到某种参数连续阶的插值曲线曲面是很方便的，但不存在局部 形状调整的自由度，形状难以预测。 法国雷诺汽车公司的贝齐尔( b 6 z i e r ) 于1 9 7 1 年发表了一种由控制多边形定义曲 线的方法。设计员只要移动控制顶点就可以方便地修改曲线的形状，而且形状的 变化完全在预料之中。贝齐尔方法简单易用，又出色地解决了整体形状控制问题。 但是这种方法仍存在连接问题和局部修改问题。 美国通用公司的戈登( g o r d o n ) 和里森费尔德( r i e s e n f i e l d ) 于1 9 7 4 年将b 样条理 论应用于形状描述，提出了b 样条曲线、曲面。它几乎继承了贝齐尔方法的一切优 点，克服了贝齐尔方法存在的缺点，比较成功地解决了局部控制问题，又轻而易 举地在参数连续性基础上解决了连接问题。虽然b 样条方法比较成功地解决了自由 型曲线曲面形状的描述问题，然而将其应用于圆锥截线及初等解析曲面却是不成 功的，只能给出近似表示，不能满足大多数机械产品的要求。 5 山东大学硕七学位论文 1 9 7 5 年，美国拉丘兹大学的弗斯普里尔( v e r s p r i l e ) 在他的博士论文中首先提出 了有理b 样条方法。后来，又经由皮格尔( p i e 9 1 ) 、蒂勒( t i l l e r ) 和法林( f a r i n ) 等人的 进一步发展，到2 0 世纪8 0 年代后期，非均匀有理b 样条( n o n u n i f o r mr a t i o n a lb s p l i n e ，简称n u r b s ) 方法逐渐成为用于曲线曲面描述的最广泛流行的数学方法。 n u r b s 方法的优点是：既可以精确表示二次曲线、初等解析曲面，又包含了 b 样条曲线曲面；具有可影响曲线曲面形状的权因子，易于形状调整和控制；是b 样条曲线曲面在高一维空间的直接推广，有关b 样条曲线曲面的性质及算法亦适用 于n u r b s 曲线曲面，其计算量的增加仅为线性的。非有理与有理贝齐尔曲线曲面 和非有理b 样条曲线曲面都被统一在n u r b s 标准形式之中，因而可以采用统一的 数据库。国际标准化组织于1 9 9 1 年颁布了关于工业产品数据交换的国际标准，把 n u r b s 作为定义工业产品几何形状的唯一数学方法。现在，大多数商用c a d c a m 软件都已经支持用n u r b s 方法来描述定义零件的外形轮廓，女i a u t o c a d ，p r o e ， c a t i a ，c i m a t r o n ，c a x a 等【11 】【1 2 】。 1 2 3 自由型曲线直接插补技术 国内外相继开展了自由型曲线直接插补的c n c 实时插补加工的研究，即将加 工过程中的复杂刀具运动轨迹产生功能集成到c n c 中，由c n c 直接根据待加工复 杂曲面的几何信息和加工参数，实时自动生成连续刀具轨迹以控制机床运动，来 解决复杂零件离线编程加工方式中存在的问题。其原理如图1 2 所示。 国外开展自由型曲线直接插补技术的研究比较早，通过大量的工作，取得了 一定的成绩：r 。s l i n 给出了一种曲面实时插补方法【1 3 1 ，该插补的输入是待加工 曲面的几何信息和切削条件，首先将曲面按一定的行距分割成等参数的曲线，然 后通过其推导的下一个插补点参数与当前插补点参数和进给速度和插补周期的关 系确定下一个插补点，实现参数曲线的插补，最终实现曲面的插补。s s y e h 等提 出了由速度控制的参数曲线插补算法【1 4 1 ，这种算法采用了一阶近似获取合适的参 数补偿值，由此显著地提高了插补速度和精度。该方法能够在满足相同插补精度 下获得更高的进给速度，进一步的研究才用了密切圆弧近似代替曲线段的方法实 现了进给速度的随参数曲线曲率变化的自适应插补控制。b e h n a m 等提出了一种 6 第1 章绪论 c a d 曲线曲面建模 工艺规划 几何f 工艺 信息 零件程序 曲线曲面 工艺信息 位置控制 曲线曲面实时插补 曲线曲面指令 译码解释 图l - 2 自由型曲线直接插补技术 三阶向前差分算法实现三次参数曲线插补点的快速预估1 1 5 】，这种算法避免了插补 中的累积误差，通过适当的近似处理分析了参数步距与插补误差的关系，从而由 插补误差和当前插补点参数得到下一个插补点参数。 国内在这方面的研究主要集中在部分高校：南京航空航天的研究人员提出了 一种n u r b s 曲线的实时插补算法【1 6 1 ，基于n u r b s 曲线的矩阵表示，通过适当的插 补预处理，运用参数预估计与校正的插补策略以及合理的近似计算方法，简化插 补的实时计算，保证了算法的实时性。清华大学的研究人员提出了一种适合p c 数 控系统的n u r b s 插补算法【l7 1 ，主要研究了曲面细分为曲线n - r 路径的高缓冲方 法，通过一种高缓冲区来实现数据的预处理，为插补系统的低实时性找到了一种 解决方法，但是没有深入研究曲线插补方法。华中科技大学的研究人员主要研究 基于机床动力特性的n u r b s 曲线曲面插补算法【l 引，从c n c 根本性的运动控制出发 分析了数控系统自由曲面直接插补的基本原理，通过引入三维曲面干涉特征点实 现对干涉区域的快速识别，设计了一个高效的无干涉刀具轨迹生成算法，解决了 组合曲面加工和曲面粗加工的实时加工路线规划问题。上海交通大学的研究人员 给出了种实时前瞻的白适应n u r b s 插补算法【1 9 】，该算法在对曲线进行插补的过 程中，实时地根据当前速度进行减速段的前瞻，根据减速段需要的距离，使得前 瞻到曲线终点处的插补点弦长大于减速所需要的距离。该算法理论上能保证前瞻 7 山东大学硕十学何论文 的顺利进行，但是在插补过程中，需要大量的计算，计算量随着所选取的加速度 大小，设定的最大进给速度的大小和插补周期的大小而急剧膨胀。 从以上的介绍可以看出，虽然基于n u r b s 方法的直接插补技术有了很大的发 展，但是n u r b s 方法计算复杂，在应用于实时数控插补过程中需要大量的计算。 如果采取近似计算方法简化插补的实时计算，虽然可以保证算法的实时性，但会 降低插补精度。而且关于n u r b s 方法的一些问题如权因子怎样影响曲线曲面的参 数化及怎样确定合适的权因子等有待于做进一步深入研究，至今没有完全解决。 因此，如果能找到一种更适合于直接插补的自由型曲线必会极大地推动自由型曲 线曲面直接插补技术的发展。 1 3p h 曲线 1 3 1p h 曲线的提出及其特点 在高精度的数控加工中，进给速度的变化会对加工质量造成严重影响。为保 持切削速度恒定，要求在单位时间内走过的弧长为定值。另一方面，刀具半径补 偿在数控加工中占有重要地位，刀具半径补偿与偏置曲线有着密切关系2 们。目前 在数控系统的研究和开发中，在曲线弧长和曲线偏置的实时计算方面，还存在许 多问题和不足。各国应用数学家和制造工程师对此进行了大量研究，p h 曲线就 是这方面的重要研究成果。 在数控加工中，自由曲线形式的加工轨迹基本上都以参数形式给出，设参数 曲线，( 毒) = ( x ( 考) ，y ( 考) ) 的弧长定义为： s ( 考) = 熙文2 0 ) + 夕2 ( ，) d o ) ( 1 一1 ) 其中参数考【o ，l 】。进给速度对加工质量影响很大，为保证切削速度恒定，要求在 单位时间内走过的弧长为定值，此时需要找出弧长s 与参数f 之间的数学关系。一 般情况下，由于上式含有根式，弧长s ( 毒) 的计算并不能分解成一些关于考的基本函 数的积分，而借助于数值积分求近似解效率不高并且容易出错。为了改善加工质 量、提高插补速度，将曲线的弧长表示成参数的简单数学关系非常重要。 8 第1 章绪论 在偏置曲线计算方面，沿给定参数曲线，( 毒) = ( x ( 毒) ，少( 考) 的单位法线方向刀( 孝) ， 偏置距离d 后的曲线，o 偕) = ( 勋( 考) ，弘( 毒) ) 表示为 ( 考) = ，( 毒) + d 力( 考) ，( 1 2 ) 它的分量可以写为 ( 毒) = x ( 考) + d - 彘 。一3 ， ( 考) ：y ( 善) + d ，害臻 文2 ( ) + 夕2 ( 毒) 一般情况下，偏置曲线表达式，o ( 考) 不是多项式( 或有理式) ，通常，对于一条疗 次曲线，它的偏置曲线的计算将隐含对一个4 刀一2 阶方程的求解。 为解决此问题，1 9 9 0 年美国科学家r t f a r o u k i 提出了一种新型曲线p h 曲 线，它可与现存c a d 系统的b 6 z i e r b 样条曲线兼容，为自由型曲线的设计和加工建 立了直接的联系【2 1 1 。 p h 曲线是一种特殊的多项式参数曲线，具有一系列与数控加工相关的优点， 如：它的弧长可以表示成参数的多项式函数，因而可以被精确地计算出来；它的 偏置曲线是相对低阶的有理曲线；它能够精确方便地实现刀具半径补偿、恒速或 变速实时插补处理等数控功能；用它插值离散点得到的曲线具有相对均匀的曲率 分布。我们称这类曲线为制造型曲线阱】。 1 3 2p y t h a g o r e a nh o d o g r a p h 曲线的研究现状 p h 曲线在1 9 9 0 年由r t f a r o u k i 率先提出，r t f a r o u k i 当时还提出了构造平 面p h 曲线的方法，给出了p h 曲线的一些重要性质，给出了平面三次b 6 z i e r 曲线为 p h 曲线的充要条件，并初步给出了空间p h 曲线的构造方法【2 1 1 。 1 9 9 4 年，f a r o u k i 将平面p h 曲线推广到空间p h 曲线与曲面，并给出了具有有理 偏置曲线的可展曲面的显式表达四l 。与此同时，他对p h 曲线作了进一步的理论与 应用研究，并把其弧长函数是原参数的多项式函数这一优点成功地应用于数控加 工和工业机器人路径设计中【2 4 1 ；w a l t o n 等把这一优点应用到了高速公路设计中的 9 山东大学硕十学1 ：f 7 ：论文 曲线过渡1 2 5 1 ；p o t t m a n n 依据投影对偶表示和包络技术，用p h 思想导出了有理曲线 曲面的偏置曲线具有精确有理表示的条件【2 6 】；m a r t i n 等研究了扫掠体的偏置曲面并 给出自交检测【2 7 】；f a r o u k i 对凸多面体、旋转体和简单轮廓线的拉伸体这三种简单 实体的表面均给出了偏置曲面的精确表示【2 8 】；p e t e m e l 等利用l a g u e r r e 几何模型间 的几何变换，给出了构造任意有理曲面的p h 曲面的几何方法 2 9 1 ；m o o n 提出了定义 在m i n k o w s k i 距离下的适合于平面区域中轴变换表示的m i n k o w s k ip h 曲线，对p h 曲线作了推广【3 0 1 。 由于p h 曲线的一系列优点，p h 曲线的构造方法已经成为一个研究热点。实际 应用需要对己知型值点列构造用两端点的位矢、单位切矢和有向曲率作h e r m i t e ( 简 称h ) 插值的p h 曲线。对于平面p h 曲线，f a r o u k i 提出了复变量模式【3 。对于空间 p h 曲线，u e d a 提出了四元数模式，这使得算法更简洁、运算更简单【3 2 1 。1 9 9 5 年 f a r o u k i 等给出五次p h 曲线的c 1 h 插值算法，利用复分析的方法，求解出五次p h 曲 线在h e r m i t e 插值条件下的曲线形式，并通过“旋转数”的计算来选择4 个可行解的 最优解【3 3 1 ；此后，f a r o u k i 又提出了通过“弯曲能量”的方法来衡量四个可行解的 形状性质【3 4 1 ；1 9 9 7 年m e e k 等给出平面分段三次p h 曲线的g 1 插值算法【3 5 】：2 0 0 2 年， f a r o u k i 等给出空间五次p h 曲线的c 1 h 插值算法【3 6 】；2 0 0 4 年f a r o u k i 等又给出空间三 次p h 曲线的g 1 插值算法【3 刀；m o o n 等构造出一种新的特殊形式的曲线，用于计算五 次p h 曲线在h e r m i t e 插值条件下的可行解，并通过研究这种形式下曲线参数的符号 选择与可行解的形状特性之间的关系，找到了一种不需要对形状进行附加计算的 方法，但这样无法利用现成的b 6 z i e r f l t 线工到3 8 】。 国内的一些高校和研究机构也对p h 曲线的插值问题做了一定的研究。陈国栋 和王国瑾采用复分析和曲线积分法对p h 曲线的h e r m i t e 插值问题做了进一步的分 析【3 9 】；雍俊海等提出了构造满足h e r m i t e 插值条件的五次p h1 1 1 线的几何方法；郑 志浩、汪国昭研究了用三次p h 曲线构造平面b 6 z i e r 曲线的偏置曲线( 等距线) 算法 ；马元魁等讨论了球面p h 曲线的h e r m i t e 插值问题【4 2 1 。 1 4 本课题的研究意义 1 0 如前所述，由于目前大多数计算机数控系统仅仅具有直线和圆弧的插补功能， 第l 章绪论 所以不能直接加工自由型曲线曲面。n u r b s 曲线的直接插补技术可以完成自由型 曲线曲面的直接插补，省略了传统曲面加工方法中c a d c a m 系统和c n c 系统之间 的庞大的数据通讯，同时也提高了数控系统的精度和可靠性。但其计算方法过于 复杂，在实现计算机数控系统的实时插补过程中计算量极其庞大，而用一些简化 算法在保证实时性的同时却不可避免地要付出降低加工精度的代价，在一些精度 要求高的场合的应用受到很大的限制。 结合p h 曲线具有一系列与数控加工相关的优点它的弧长可以表示成参数 的多项式函数因而可以被精确地计算出来，它的偏置曲线是相对低阶的有理曲线， 它能够精确方便地实现刀具半径补偿、恒速或变速实时插补处理等数控功能 的背景，如果能开发出具有p h 曲线加工路径的数控系统，则上述问题可迎刃而解。 若要使数控系统支持p h 曲线型加工路径，开发p h 曲线插补技术是其要解决的关键 问题之一，同时也能为开发高速、高精度计算机数控系统打下基础。因此，开展 对p h 曲线及其插补技术的研究，不仅对提高数控系统的性能具有重要的理论价值， 而且具有重要的实际工程应用价值。 1 5 本课题的主要研究内容 本课题研究的主题是p h 曲线及其插补技术，研究的重点在于如何将p h 曲 线的性质应用于直接插补从而实现p h 曲线的数控插补技术。因此可以将主要研 究内容总结如下： 1 研究p h 曲线的定义和性质，为对p h 曲线的进一步研究奠定基础； 2 研究p h 曲线的构造与表示，为p h 曲线应用于数控插补准备好理论基础； 3 探讨p h 曲线的数控插补算法及实现技术，研究进给速度控制问题； 4 初步探讨基于p h 曲线插补的自由型曲面的插补技术。 5 介绍p h 曲线插补技术的应用实例。 本论文剩余部分的内容安排如下：在第2 章中介绍了p h 曲线的定义，重点 分析了p h 曲线适合于数控加工的基本性质；常用的p h 曲线即三次p h 曲线和五 次p h 曲线的性质及其构造方法的研究和推导将在第3 章中给出；第4 章是本论 文的重点，给出了p h 曲线插补技术的实现方法，主要解决的是在基于p h 曲线 山东大学硕十学付论文 插补技术的实现过程中的插补算法和速度控制问题；第5 章在上一章的基础上进 一步提出了基于p h 曲线的自由型曲面插补的构想及其实现方法。第6 章介绍了 p h 曲线插补技术在磨料水射流加工方面的应用。 1 2 第2 章p h 曲线及其性质 2 1p h 曲线的定义 第2 章p h 曲线及其性质 p h 曲线的理论基础是勾股定理：口2 + 6 2 = f 2 。 满足口2 ( ，) + 6 2 0 ) = c 2 ( ，) 的三个多项式口( ，) 、6 ( ，) 和c ( ，) ，称为p y t h a g o r e a n 多项 式。 设，( ) = ( x ( 毒) ，夕( 考) ) 是给定的多项式曲线，若存在多项式o ( 毒) 使： 膏2 + 夕2 = 0 2 ( 毒) ( 2 1 ) 成立，我们就称，( 考) 为p h 曲线【1 5 】。 多项式曲线的参数导数分量文g ) ，j c ，偕) 与o ( 考) 构成勾股三角形( j ( 考) ，夕( 考) ， o ( 考) ) ，设文( 考) 和多( 考) 可以表示为 孟( 考) = w ( 考) ( ”2 ( 毒) _ v 2 ( 考) ) ( 2 - 2 ) 夕( 毒) = 2 w ( 考) 材( 考) ，( 考) 一般取w ( 考) = 1 ，保证曲线没有尖点，此时p h 曲线都是奇次的。 则： o ( 毒) = i 产( 考) l - - - - u 2 ( 考) + v 2 ( ) ( 2 3 ) o ( 专) 称为参速度，当参数考为时间时，o ( 毒) 即为速度。 上述定义给出了构造p h 曲线的方法，其关键是确定多项式”( 考) 和v ( 考) 。无论 是弧长还是偏置曲线计算，通常都涉及非有理根式j 2 ( 毒) + 夕2 ( 考) 的计算，由关系 式可看出，p h 曲线是一种让j 2 ( 毒) + 夕2 ( 毒) 成为多项式的特殊曲线 由于3 次p h 曲线的自由度为1 ，不具有实现c 2 ( 即直到2 阶导数连续) 的插值 能力，而9 次以上的p h 曲线计算量非常大，实际中很少使用，在实际中用得最多的 1 3 山东大学硕十学何论文 是5 次p h 曲线，它具备普通三次多项式曲线的设计能力，可以实现对任何端点及其 导数的h e r m i t e 插值。 2 2p h 曲线的弧长计算 2 2 1 曲线弧长的计算及其作用 在第1 章中已经提到，在数控加工中，自由曲线形式的加工轨迹基本上都以参 数形式给出。参数曲线厂( 考) = ( x ( 号) ，y ( 考) ) 的弧长定义如公式1 1 表示： s ( 毒) = f o 文2 0 ) + 夕2 ( f ) d ( f ) 其中参数眚【o ，l 】。当均匀离散参数为 t ) 时，除直线外，所得的相应弧长 s ( 考t ) 将沿曲线非均匀分布。一般情况下，由于上式含有根式，弧长s ( 考) 的计算并不能 分解成一些关于芒的基本函数的积分，而借助于数值积分求近似解效率不高并且容 易出错。 在高精密数控加工中，由于数控系统的进给速度对待加工工件的加工质量( 如 工件的d n m _ 轮廓精度、表面粗糙度等) 影响很大，所以要求数控系统要有恒定的 切削速度。为保证切削速度恒定，要求在单位时间间隔内走过的弧长为定值，此 时需要找出弧长5 与参数，之间的数学关系。因此，为了改善加工质量、提高插补 速度，将曲线的弧长表示成参数的简单数学关系非常重要【1 6 1 。而p h 曲线的弧长表 示正有此优点。 2 2 2p h 曲线的弧长 1 4 对p h 曲线，由于存在关系式2 1 ，弧长计算可以写成： s ( 考) = 成o ( ，) d ( f ) ( 2 4 ) 这里o ( r ) 是多项式函数，对所有参数考，弧长j ( ) 都大于零。 因此，对p h 曲线来说，计算任意弧长s 。所对应的参数考可归结为求代数方程 第2 章p h 曲线及其性质 s ( 考) 一s o = o 的根。由于弧长s ( 考) 是单调递增函数，所以这将变成一个简单的计算 问题。当p h 曲线应用于数控插补时，它的这一优点可以有效地保证数控系统的恒 速切削，提高数控系统的加工质量。 2 3p h 曲线的偏置计算 2 3 1 偏置曲线的作用及其发展 偏置曲线即等距曲线，在工业中有许多应用。例如，工程上检测零件产品内 部的质量所采用的无损探伤技术；在飞机几何外形设计中，理论外形和结构外形 通常相差一个零件的厚度或零件的壁厚，需要考虑偏置曲线的设计：在工业自动 化铣床的数据控制以及汽车外形设计中，机器人的运动轨迹和数控机床走刀路径 的产生也都需要考虑偏置曲线的设计。又如，在用数