（应用数学专业论文）离散双向联想记忆神经网络模型周期解的存在性与指数稳定性.pdf

摘要 本文讨论了两类离散双向联想记忆( b a m ) 神经网络模型的周期 解，得到了保证其周期解存在性与全局指数稳定性的一些充分条件。 全文共分为四章。 第一章简要地介绍了双向联想记忆神经网络的历史背景与研究 现状，并给出了本文的主要研究内容以及相关符号介绍。 第二章简单地介绍了有关本文的一些相关引理与概念，然后又利 用半离散方法讨论了连续变时滞b a i m 神经网络 i ( f ) = - 口，( f ) 薯( f ) + 2 。o ) 乃【r ，乃。一勺( f ) ) ) + o ) ，、 l y s ( t ) = - b j ( t ) y j ( t ) + 二。b j , ( t ) g ，t ，i j f 一( f ) ) ) + ( f ) ， 一 的离散模型( 具体符号介绍见1 3 节) 。 第三章在信号传递函数满足有界性的前提下，利用m 矩阵和 m a w h i n 延拓定理，得到了连续变时滞b a m 神经网络( 1 ) 的离散模型 周期解的存在性；同时在信号传递函数满足l i p s c h i t z 条件的情况下， 利用m 矩阵又获得了其周期解的全局指数稳定性，用一个实例进行 了说明。 第四章在要求信号传递函数有界的条件下，不利用m 矩阵，仅 用m a w h i n 延拓定理得到了连续分布时滞b a m 神经网络 p ( 3 - k ) ，。、 ( f ) = ( f ) ( f ) + m - k ) j i ( f ) 石3 卅，l 上颤3 - t ) j ( s ) x o - , ) j o s ) 出 + 厶( f )( 2 ) j = t 、7 的离散模型周期解的存在性；同时在信号传递函数满足l i p s c h i t z 条 件的情况下，利用m 矩阵又获得了其周期解的全局指数稳定性，得 到了几个有用的推论，并用一个实例进行了说明。 关键词双向联想记忆神经网络，周期解，变时滞，分布时滞，离散 时间模拟 a b s t r a c t i nt h i sp a p e r , t h ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt w oc l a s s e so fd i s c r e t e - t i m e b i d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o 巧( b a m ) n e u r a ln e t w o r k sa r ed i s c u s s e d a n ds o m es u f f i c i e n tc o n d i t i o n sa r eg i v e nf o rg u a r a n t y i n gt h eg l o b a l e x p o n e n t i a ls t a b i l i t ya n dt h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o n sf o rt h e s e d i s c r e t e - t i m em o d e l s t h ep a p e l c o n s i s t so ff o u rc h a p t e r s t h eh i s t o r i c a lb a c k g r o u n d sa n ds t u d y i n gs t a t u sq u oo nb 蝴a l e b r i e f l ya d d r e s s e di nc h a p t e r1 t h em a i nc o n t e n to f t h i sp a p e ra n dr e l a t e d m a r k sa lea l s op r o d u c e d i nc h a p t e r2 ，s o m e1 e m m a sa n dc o n c e p t sa b o u tt h i sp a p e ra l es u m m - a r i z e d b yu s i n go fs e m i d i s c r e t i z a t i o nt e c h n i q u e ，w ea l s oa n a l y z et h e d i s c r e t e - t i m em o d e lo ft h ec o n t i n u o u s t i m eb a mn e u r a ln e t w o r kw i t h t i m e - v a r y i n gd e l a y s p 刊f ) 椰娶啪啡班吲嘞) ( 1 ) l 杉( f ) = - b j ( t ) y j ( t ) + ：。b j j ( t ) g , ( t ，薯。一( f ”) + ( f ) ， ( t h ed e t a i l e ds y m b o l sa r ei n t r o d u c e di ns e c t i o n3 1 ) i nc h a p t e r3 ，a s s u m i n gt h eb o u n d e d n e s so ft h es i g n a lt r a n s m i s s i o n f u n c t i o n s ，t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ed i s c r e t e - t i m e m o d e lo fc o n t i n u o u s t i m eb a m n e u r a ln e t w o r k sw i t ht i m e - v a r y i n gd e l a y s ( 1 ) i sp r o v e db yu s i n gm m a t r i xp r o p e r t i e sa n dm a w h i n sc o n t i n u a t i o n t h e o r e m i nl i p s c h i t zc o n d i t i o no ft h es i g n a lt r a n s m i s s i o nf u n c t i o n s ，t h e g l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o ni sg a i n e db yu s i n gm m a t r i xp r o p e r t i e s a n da ne x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ec r i t e r i o i l s i nc h a p t e r4 ，a s s u m i n gt h eb o u n d e d n e s so ft h es i g n a lt r a n s m i s s i o n f u n c t i o n s t h ee x i s t e n c eo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o nf o rt h ed i s c r e t e - t i m e m o d e lo fc o n t i n u o u s t i m eb a mn e u r a ln e t w o r k sw i t hd i s t r i b u t e dd e l a y s ( f ) ：川材( f ) ( f ) + ，譬_ ，叫( f ) ，- 七，( r 反，叫，o ) x c ，叫，( f s ) 凼) + 厶( f ) ( f ) = 川材( f ) ( f ) + _ ，叫( f ) ，- 七) ，lr ”反，叫，o ，叫，( f s ) 凼j + 厶( f ( 2 ) i sp a v e db yu s i n gm a w h i n sc o n t i n u a t i o nt h e o r e mw i t h o u tm m a t r i x p r o p e r t i e s a tt h es a m et i m e ，i nl i p s c h i t z c o n d i t i o no ft h es i g n a lt r a n s m i - s s i o nf u n c t i o n s ，t h eg l o b a le x p o n e n t i a ls t a b i l i t yo ft h ep e r i o d i cs o l u t i o ni s g a i n e db yu s i n gm m a t r i xp r o p e r t i e s a l s o ，s e v e r a lu s e f u lc o r o l l a r i e sa r e i i o b t a i n e d a n da l le x a m p l ei sg i v e nt oi l l u s t r a t et h ec r i t e r i o n s k e yw o r d sb a mn e u r a ln e t w o r k , p e r i o d i cs o l u t i o n s ，t i m e v a r y i n g d e l a y s ，d i s t r i b u t e dd e l a y s ，d i s c r e t e t i m ea n a l o g u e s i i i 原创性声明 本人声明，所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究 工作及取得的研究成果。尽我所知，除了论文中特别加以标注和致谢 的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不 包含为获得中南大学或其他单位的学位或证书而使用过的材料。与我 共同工作的同志对本研究所作的贡献均已在在论文中作了明确的说 明。 作者签名： 逢驾茎日期：埠年卫月蕴日 关于学位论文使用授权说明 本人了解中南大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校 有权保留学位论文，允许学位论文被查阅和借阅；学校可以公布学位 论文的全部或部分内容，可以采用复印、缩印或其它手段保存学位论 文；学校可根据国家或湖南省有关部门规定送交学位论文。 作者签名：叠选壑导师作者签名：遂趟茎导师日期：皿年止月经日 中南大学硕士学位论文第一章绪论 1 1 前言 第一章绪论 为了从工程上实现模仿人脑的计算机，开展基于记忆的人工神经网络 ( a r t i f i c i a ln e u r a ln e t w o r k s ，简称a n n ) 的研究具有非常重要的理论 意义和实际背景。 神经网络的联想记忆是仿真人脑记忆的一种切实可行的方法，迄今为止，已 经提出了许多类型的联想记忆神经网络，而且有了各种各样的应用。例如：在专 家系统、知识存储等应用中，联想记忆被用作知识处理、规则存储的基本模型。 神经网络之所以能够实现联想记忆，主要是因为神经网络模型可以用微分方程或 者差分方程来表示，而这些系统在一定条件下存在平衡点或者周期解等，如果他 们是稳定的，那么从其吸引域中出发的任意解都将收敛到相应的平衡点或者周期 解。这样可以将稳定的平衡点或者周期解作为记忆模式，而将具有某初始条件的 解收敛到相应的平衡点或者周期解的过程作为进行联想并恢复记忆过程。所以利 用神经网络的平衡点或周期解等的稳定性就可以实现联想记忆。其中常见的可以 实现联想记忆的神经网络模型有：h o p f i e l d 神经网络 1 ，2 】、双向联想记忆神经 网络( b i - d i r e c t i o n a la s s o c i a t i v em e m o r i e s ，简称8 a m ) 【3 】、细胞神经网络( c e l l u l a r n e u r a ln e t w o r k s , 简称o c n ) 【4 】、多向联想记忆神经网络( m u l t i - d i r e c t i o n a l a s s o c i a t i v em e m o r i e s ，简称m a m ) 【5 】、形态学联想记忆神经网络( f u z z y m o r p h o l o g i c a la s s o c i a t i v em e m o r i e s ，简称f m a m ) 等，其中尤以b a m 神经网络 的研究最为活跃。而在这些神经网络的实现和应用中，离散神经网络比连续型神 经网络更为重要。例如：l e e 【6 】与g a l l a l l 【7 】在他们的研究工作中都利用到了离 散b a m 神经网络。另外，在研究人员已经获得连续型神经网络的稳定性及其动 力学性质后，常常要进行计算机仿真、实验或计算，这时对神经网络进行离散化 就是一项非常必要的工作。对于研究离散神经网络的重要性，在一些文献中已有 相关描述【8 - 1 2 。m o h a m a d 9 ，1 0 ，l i a n g 【1 1 ，1 2 】以及z h o u 【8 】分别利用半离散 方法对常数时滞、变时滞和分布时滞类型的b a m 神经网络进行离散化，并从理 论上证明了离散化后的网络与其连续系统拥有相同的动力学性质。本文的主要内 容就是研究两类连续型b a m 神经网络的离散化，以及其离散系统的周期解的存 在性和全局指数稳定性。 以下就本文所研究的b a m 神经网络的历史背景、研究现状及相关符号、定 中南大学硕士学位论文第一章绪论 理和概念作一下概述。 1 2b a m 神经网络的历史背景及研究现状 人工神经网络的研究起源于生物学、计算科学、心理学和统计学等学科。迄 今至少已有6 0 余年的历史，目前已得到了较为深入而广泛的研究和应用。 人工神经网络是在对人脑组织结构和运行机制的认识理解基础之上模拟其 结构和智能行为的一种工程系统。早在上世纪4 0 年代初，心理学家m c c u l l o c h 和数学家p i t t s 就提出了人工神经网络的第一个数学模型。其后，h e b b 提出了 “h e b b 学习计划 ，r o s e n b l a t t ，w i d r o w 和h o p f i e l d 等学者先后提出的感知模型， 极大地推进了人工神经网络的发展。这其中最为著名的要数1 9 8 4 年美国生物物 理学家h o p f i e l d 博士提出的全互联双向的h o p f i e l d 型人工神经网络联想记忆模型。 但它仅能实现自联想，于是1 9 8 7 年k o s t o 又提出了能实现异联想的两层双向联 想记忆神经网络( b a m ) ，它将h o p f i e l d 神经网络单层结构变为双层结构，神经 元被分别安排在两层上，同层神经元不联接，而不同层的神经元相互联接，信息 在两层神经元之间双向传递。正是由于这种双层结构，使得b a m 神经网络可以 实现异联想。b a m 神经网络可用微分方程表示如下： ， 一一 ， l o ) = 一哆玉o ) + ，= 岛【乃o ) ) + t ，f = l ，2 ，刀， l 杉( f ) = 一岛乃( f ) + ：。b & ( 玉( f ) ) + ，= l ，2 ，p ， 由于b a m 神经网络能实现两种方式的联想记忆并能储存双极向量对，并推 广了单层h e b b 学习规则到双层匹配异联想电路，这类神经网络在图像信号处理、 模式识别、故障论断、自动控制、人工智能、联想记忆、解最优化问题等方面具 有广泛的应用 1 3 1 9 】，因此b a m 神经网络成为目前最活跃的研究领域并受到了 极大的关注。 自k o s t o 提出b a m 神经网络以来，吸引了愈来愈多的研究人员的注意。除 了将b a m 应用于各个学科领域以及对其进行网络性能、结构和算法研究以外 【1 3 1 9 】，还有一种非常重要的研究就是从数学的角度对b a m 神经网络进行理论 研究，这也是本文所涉及到的范围。要想将b a m 神经网络应用于各个领域，必 须考虑从任意的初始状态到平衡点网络轨迹的收敛速度问题，以及平衡点、周期 解和概周期解的唯一性和稳定性问题。 关于b a m 神经网络的平衡点的存在性与稳定性研究，迄今已有了不少成 果 2 0 4 2 】。1 9 9 4 年，g o p a l s a m y 与h e 【2 0 】研究了时滞独立b a m 神经网络的稳 定性；廖晓峰 2 l ，2 2 】等在1 9 9 7 和1 9 9 8 年研究了时滞b a m 神经网络的稳定性； 2 0 0 2 年廖晓峰 2 3 】等获得了时滞b a m 神经网络唯一平衡点的存在性与全局渐 2 中南大学硕士学位论文第一章绪论 近稳定性的充分条件；2 0 0 2 年赵洪涌 3 0 1 研究了具有分布时滞的b a m 神经网 络的全局稳定性在这些研究中，有些研究b a m 神经网络平衡点的全局渐近稳 定性【2 4 - 3 1 ；有些研究平衡点的全局指数稳定性f 3 2 3 8 ；还有的研究鲁棒稳定 性 3 9 ，4 0 】；通过利用拓扑度理论、m 矩阵性质和构造l y a p u n o v 函数，2 0 0 5 年s o n g 【4 l 】等研究了带扩散项的具分布时滞的b a m 神经网络平衡点的存在性与全局 指数稳定性。 关于b a m 神经网络的周期解的存在性与稳定性，也吸引了许多学者的注 意【4 2 5 0 。1 9 9 9 年，廖晓峰【4 2 】等较早的开展了b a m 神经网络周期震荡现 象的研究；曹进德【4 3 ，4 4 】等于2 0 0 0 年、2 0 0 2 年研究了时滞b a m 神经网络的 周期解，其中外部输入是连续周期函数，而其他系数都是常数；2 0 0 3 年刘智刚【4 5 】 等研究了具有周期系数和变时滞的b a m 神经网络的周期解的存在性和全局指数 稳定性；2 0 0 3 年郭上江 4 6 】等研究了具有周期系数和变时滞的b a m 神经网络 的周期解的存在性、唯一性和全局指数稳定性，并估计了指数收敛率；2 0 0 4 年 l i 4 7 】等研究了具有分布时滞的b a m 神经网络周期解的存在性与稳定性；2 0 0 5 年s o n g 【4 8 等研究了带扩散项的具有常数时滞的b a m 神经网络周期解的存在 性与全局指数稳定性；2 0 0 6 年s o n g 和c a o 4 9 】通过构造l y a p u n o v 函数、利用 m 矩阵理论研究了带扩散项的具分布时滞的b a m 神经网络周期解的存在性与全 局指数稳定性；2 0 0 6 年c h e n 【5 0 】等讨论了具有分布时滞的b a m 神经网络周期 解的存在性与全局指数稳定性，与其他b a m 模型不同，文献【5 0 】中的b a m 神经网络不是按神经元状态进行线形衰减，而是按其状态的某一函数进行衰减。 关于概周期解的研究，主要利用指数二分法结合不动点定理来证明，文献 【5 1 5 3 就是利用这种方法得到了b a m 神经网络概周期解的存在性和稳定性。 从以上我们可以看出，关于b a m 神经网络解的存在性与稳定性的研究，以 讨论连续模型居多，而对离散模型的讨论却很少，本文着重于对离散模型的周期 解进行研究讨论。 1 3 本文主要研究内容 2 0 0 6 年，l i u 【5 4 】等研究了具有周期系数和变时滞的b a m 神经网络 盼吲- b ( f ) t ) “y j 。( t ) 慧b 。，( 圻t ) g j o ( t 犍粥j j 力( t ) ， m 3 哪 l 形( f ) =+ 二。，毛( f 一( f ) ) ) + ， 、。 在模型( 1 - 3 一1 ) 中，哆( f ) o ，b j ( t ) o ，u = 1 ，2 ，m ；j = l ，2 ，p ) ；薯( f ) 和 乃( f ) 是第f 个神经元和第歹个神经元在时刻f 的状态变量；( f ) ，6 ：_ f ( f ) 是在时刻 中南大学硕士学位论文第一章绪论 t 的联接权值；( f ) ，) 表示在时刻t 的外部输入；r w ( t ) ，仃。( f ) 是非负t 一周 期函数，代表信号传递的限速；q ( f ) ，b j ( t ) ，嘞( f ) ，( f ) ，( f ) ，j j ( t ) 是r 上 的连续r 一周期函数；f j ( t ，曲，岛( f ，功关于f 连续而且是r 一周期函数。 本文第二章讨论了( 1 3 1 ) 的离散模型，并在第三章研究了这个离散模型周期 解的存在性与全局指数稳定性。 2 0 0 6 年，周铁军【8 】等讨论了具有周期系数和分布时滞的b a m 神经网络 ( f ) = 一口l ；( f ) 五，( f ) + 罗m ! j 。l 嵋- j ，( - f ) - z - - , r ，f 、m r l o g - - j ，( s ) 而- , i ，( 、f j ) 出) + 毛( f ) 蔓，( 力：一口2 ，o ) 屯，o ) + 三扩o ) 兀( f 蜀，。) 五，( f j ) 。b ) ，+ 厶，( d 卜3 之 的离散模型 x n ( n + 1 ) = c t n ( n ) x _ h ( n ) + p 产k ) w o - t ) f l ( 刀) ，。，( 莩鼠，咕，( d t 卜。，( 万一，) + 厶( 以) ，( 1 - 3 - 3 ) 得到了保证离散分布时滞b a m 神经网络( 1 3 3 ) 周期解的存在性与全局指数稳定 性的两个定理。其中 n 召，o t t z ( n ) 0 ) ，k = 1 ，2 扛l ，2 ，p ( k ) 定义差分算子 a s ( n ) = j 0 + 1 ) 一s ( 疗) ， 令 气( 刀) = l 一( 以) ， 则离散模型( 1 - 3 - 3 ) 可以变成 a x e ( n ) = 一气( 以) ( 刀) + p ( 3 - k )，二竺 j = two-,)j,(咒)彳，一t)，l鼠，一t)，(7)】，一t)，(n-1)+o(以)(1-3-41=1 ) 系统( 1 3 3 ) 或( 1 3 4 ) 的初始条件是 x n ( n ) = 九( 刀) ，ne 石= 0 一l ，- 2 ， ( 1 3 5 ) 其中九o ) 是一周期序列。 定理l e l 对于系统( 1 3 3 ) 或( 1 3 - 4 ) ，如果下列条件成立 ( q ) 0 c r y ( n ) o 使得 k ( 功一厶 ) i 吮k y l ，v x , y r ( 马) g 蔚i l f ) o g n ( 1 ) = 1 ，g 。u ) 0 盈2 叫s u p a , , ( 疗) 万1 ，而2 翟1 ( 刀) l 佃， ，村= 双l p i 厶( 刀) i 佃( 七= 1 ，2 i = l ，2 ，p ( 七) ) ( h s ) n 缸nn 吲a n 。，( 磊一吮，豁归并且。= ( 岛) 2 心是刊晰m 脯 那么系统( 1 3 3 ) 或( 1 3 - 4 ) 至少存在一个n 一周期解。其中一 = d i a g ( r t i 一r k ，( ”) ，皿。，叶) = ( 一哝，一。垮p 。枷，( ，。) ， ：华掣，：碗 铲1 石矿脚。 定理2 8 1 对于系统( 1 3 3 ) 或( 1 3 - 4 ) ，如果下列条件成立 ( q ) o ( 拧) o 使得 i f a x ) - 厶o ) i m 蔚i x - y i ，v x , y r ( 马) ，乳( 0 - - - o , 艺氏( ，) = 1 ，艺概( ，) l 使得对任意的a 【1 ，磊】，有1 2 7 甑( ，) o ，乙2 翟以( 刀) ：1 ，而= s u p 。1 w , , ( v 刀) i 。i 埘吮 那么系统( 1 3 3 ) 或( 1 3 4 ) 存在唯一一个一周期解，并且是全局指数稳定的。 在模型( 1 3 3 ) q a ，p ( 1 ) = ，p ( 2 ) = m 2 ，k = 1 表示域a ，k = 2 表示域b ； ( f ) 0 ；x n ( t ) 表示在域k 内第f 个神经元在时刻f 的作用；厶表示在域尼内第歹 个神经元的信号传递函数；( f ) 表示在域七内第，个神经元与域3 - k 内第i i 神经元的联接权值；九( f ) 表示在域k 内第f 个神经元的外部输入；( f ) ，w 材f ( f ) ， ，崩( f ) 是尺上的r 一周期函数。 本文第四章用较弱的条件： ( h 4 2 ) i 厶( 功i 石( k = l ，2 扣l ，2 ，烈七) ) ，x r ( - 4 3 ) 如( d 0 ( ，) o 山2 罂气( 刀) ，w 赫12 霉1 ( 以) l 佃， 钿 艏z ：脯露。 ，材= s u p i 蔚( n ) l l 使得对任意的兄【1 ，厶】，有旯7 9 蔚( 1 ) 0 ，幽= s u p 气( n ) ，脚= s u p 。w 蔚z ( ”) l 0 使得鸳 0 ( 3 ) 龟 0o = l ，2 ，刀) ，并且存在对角矩阵d = a i a g ( a , ，畋，以) ，4 0 o = 1 ，2 ，刀) 使得a d 是严格对角占优的 引理2 2 3 【删如果彳o 是b x n 矩阵且从彳) l ，则色一彳是m 矩阵 2 3 连续变时滞b a m 神经网络离散化 利用半离散方法将系统( 1 - 3 - 1 ) 离散化得到 ( r ) + q ( r ) 毛( ，) = 杰( 【r 】) 乃( 【r 】，乃( p 】一乃( p 】) ) ) + t ( 【r 】) ， 尸 f 2 3 1 ) 删+ 川乃( r ) = 喜蛐】) 蜀( ( 【r 卜( 【删+ 珊】) ， 其中嘲表示t 的整数部分 对任意的t r ，必存在n z ，使得n f 以+ l ，h i j t 】= i 所以( 2 - 3 - 1 ) 式 变成 写( r ) + qo ) 毛( r ) = 杰( 以) 乃( 刀，乃( 刀一勺( 拧) ) ) + ( 刀) ，( 1 ) 产1 ( 2 3 2 ) 形( f ) + 乞( ，) 乃( r ) = 芝( 刀) ( 刀，五( 万一( 疗) ) ) + ( 刀) ，( 2 ) 在系统( 2 3 2 ) 的第( 1 ) 式两边同乘叭帕得 ( 薯。，嘶( j 油) ，= 州。西( 委c 刀，f j ( n , y j ( n - r ( n ) ) ) + c 刀，) c 2 - 3 - 3 ， 在系统( 2 3 - 3 ) 两边对f 在【，l ，f ) 上积分得( 其中f 刀+ 1 ) 9 中南大学硕士学位论文第二章预备知识 删啪弦一删啪胁 = f 杰咖) 乃( 毗( 刀一咖) ) ) 堋挖) 】：弘出， ( 2 “) j - i 对系统( 2 3 - 4 ) ，令t n + l 得 玉0 + 1 ) ：e - j ：? a , ( s ) a s x t ( 万) + 陲咖) 乃( 万，咖一咖) ) ) 堋拧) f n ( 2 - 3 - 5 ) 产i 同理在系统( 2 3 2 ) 的第( 2 ) 式两边同乘b j ) 出得 ( 乃( r ) 吩“ 出) j = q ( i 凼( 喜( 刀) 岛( 刀，玉( 万一盯声( 刀) ) ) + ( 拧) ) ， ( 2 3 - 6 ) 在系统( 2 3 6 ) 两边对f 在【刀，f ) 上积分得( 其中f 以+ 1 ) y ) 渺一y ，( 力) p 西 = 陲( 惦( 吣( 靠一( 行) ) ) + ( 刀) ) p 曲 ( 2 - 3 - 7 ) 对系统( 2 3 7 ) ，令t 寸n + l 得 乃( n + 1 ) ：e - j ： b j t , ) a , y ( 刀) + 【，羔( 玎) ( 疗，薯( 疗一( 以) ) ) + ( 刀) r + 1 e r 白。) 出出， ( 2 3 - 8 ) 为了方便，我们采取如下符号 哆( 以) ：e f q ( ”出，( ，1 ) ：e f 吩( 曲出， 删：删卜和) 幽砒喇= 删p m ) 凼出， k ( 刀) ：( 刀) r + 1 ，r 4 l ( ”出班，l ( 玎) = ( 以) j ：l + 1 f r l b j o ) d s 出 所以由( 2 3 5 ) 矛f l ( 2 3 8 ) 式可得到连续变时滞b a m 神经网络( 1 - 3 - 1 ) 的离散模型 i 毛( 以+ 1 ) ：o ) 薯( ，z ) + 兰( 以) 乃( 以，乃( 刀一巧( 刀) ) ) + 整( 以) ，( 1 ) i 乃( ，z + 1 ) = 岛) 乃( 玎) + 兰( 刀) ( 以，蕾( n 一( 刀) ) ) + t ( 以) ，( 2 ) l o 中南大学硕士学位论文 第二章预备知识 将系统( 2 3 9 ) 的第( 2 ) 式中的f ，j f 互换可得 令 只( 川) = 删乃( 刀) + 姜吻( 以) 毋( ( 以一( 以) ) ) + 厶( ，z ) t ( 刀) 。玉o ) ，黾( 刀) 2 咒( 玎) ，a i t ( 刀) 2 哆0 ) ，a 2 r ( 刀) = 层( 刀) ，w 2 扩( 刀) = ( 力) ， w x 扩0 ) = 屹( 露) ，正，= 乃，z ，= 毋，l ( 刀) = 墨( 力) ，厶，( 刀) = 厶( 刀) ， 吃驴( 刀) = 巧( 厅) ，q ，( 刀) = ( 刀) ，k = l ，2 p ( 1 ) = 坍，p ( 2 ) = p 因此系统( 2 3 - 9 ) 可以简化为 ( 万+ 1 ) = ( 力) ( 疗) + 其中 p ( 3 - k ) w o - k ) o , ( 以) 缸，小，u ，小一i 圳( 刀) ) ) + 厶( 刀) ( 2 3 1 0 ) 以) z ，嘶小，u ) 小一i 圳( 刀) ) ) + 厶( 刀) ( 2 一 玎2 苫o 口村( 以) o ) ，k = l ，2 i = l ，2 ，p ( 后) 定义差分算子 令 则离散模型( 2 3 1 0 ) 变为 屹( 以) = 一彳l 赫( 刀) ( 刀) + a s ( n ) = s ( n + 1 ) - s ( n ) ， 气伽) = l 一( 刀) ， p ( 3 - k ) _ ，- ) f ( 刀) z ，_ ) n s x ( 3 - k ) jn - t o _ k ) o ( 刀) ) ) + 厶( 刀) ( 2 1 1 ) 31 1 ) _ ，- ) f ( 刀) z ，_ ) ( 刀) ) ) + 厶( 刀) ( 2 - - 系统( 2 - 3 l o ) ；g l ( 2 3 1 1 ) 的初始条件是 ( 万) = 九( 刀) ，万 一i ，卅，0 3 z 其中九( ，1 ) 是一周期序列， i ，棚= i i l a 】【 f ( ，枷 ，( 靠) l f - 1 州2 一，p ( 七) j = l 2 一，p ( 3 一后) 刀厶 并且一3 - k ) # 0 ) 是正整数 ( 2 - 3 1 2 ) 中南大学硕士学位论文第三章离散变时滞b a m 神经网络周期解的存在性与全局指数稳定性 第三章离散变时滞b a m 神经网络周期解的存 在性与全局指数稳定性 3 1 引言 从生物神经来看，人的大脑具有周期振荡性质，经常处于周期振荡状态。因 此，研究神经网络的周期振荡现象具有十分重要的现实意义。要研究神经网络的 周期振荡行为，必须首先研究它的周期解是否存在，然后讨论周期解是否稳定 因此研究神经网络周期解的存在性与稳定性，对于b a m 神经网络的应用研究人 员在设计神经网络系统时具有重要的指导意义。 2 0 0 6 年，l i u 【5 4 】等研究了具有周期系数和时滞的b a m 神经网络 船b 心j ( t 如) y j ( t 慧) 黜二：二端麓j j ( t ) ， m 3 m l 杉( f ) = 一+ ：( f ) ( f ，玉( f 一( f ) ) ) + ， 周期解的存在性与全局指数稳定性。2 3 节利用半离散方法得至u t ( 1 3 1 ) 的离散 模型 l 五( 疗+ 1 ) = 哆q ) 薯( 万) + 芝吻( 疗) 乃( 万，乃( 刀一勺( 刀) ) ) + k ( 刀) ，( 1 ) 产： ( 2 3 - 9 ) l 乃( 刀+ 1 ) = 廖( 拧) 乃( 万) + 芝( 咒) 岛( 以，而( 拧一( 阼) ) ) + 与( 力) ，( 2 ) 下面就对离散模型( 2 3 9 ) 展开讨论 据2 3 节可知，系统( 2 3 9 ) 可以简化成 + 1 ) = ( 一) ( 以) + 其中 篁扩( 刀) 小哺，小飞州驯) + 厶( 叭( 2 - 3 1 0 ) j = l k = 1 ，2 p ( 1 ) = m ，p ( 2 ) = p n 茹o ( 以) o ) k = l ，2 i = 1 ，2 ，p ( 七) 从2 3 节可知( 2 3 1 0 ) 式可以化为 a x 崩( n ) = 一气( ，1 ) ( 珂) 1 2 中南大学硕士学位论文 第三章离散变时滞b a i l 神经网络周期解的存在性与全局指数稳定性 + p o - t ) ( 刀一( 矿( 刀) ) ) + 厶( 行) ( 2 3 1 1 ) + 玎) 正，( 刀一( 矿( 刀) ) ) + 厶( 行) ( 2 其中 心( 万) = l 一( 刀) 系统( 2 3 1 0 ) 或( 2 3 11 ) l 笺j 初始条件是 吒( 拧) = 九( 刀) ，刀 一i 卜d ，o z ( 2 3 1 2 ) 其中九( 以) 是一周期序列， i h ) = m a x i h 垮o ) i f = 1 ，2 ，p ( 七) j - - 1 ，2 ，p ( 3 - k ) 万凡 并且t 3 - t ) g ( 刀) 是正整数 本章需要用到下述假设条件： ( b 。) o ( 刀) o ，彳矗- 以( 刀) ，脚1刀) l 0 所以一定存在充分大的常数 o 使得 ( e t ) f l n d 0 ( 3 - 2 - 2 ) 其中 d _ - ( q 。，b 。，d 2 ，d 2 ，) r ， 仇= p 薯半+ 兰一啦；渊名删 令 g = ( g l 。，g l ：，g l 。，g 2 。，g 2 ：，g 2 p ) r = 磷 ：( e t ) p h 。 。 + 1 h ， 所以1 圭1 ( 3 2 2 ) 式可得 ( e t ) g d ，即t g + d 1 时有 ( e - t ) c z g d ， 即 t a g + d a g ( 3 - 2 - 4 ) 令 q = x ( n ) x ：( 1 五( 以) i ，i 玉。( 刀) l ，k 。( 拧) i ，l 恐，( 疗) j ) r g ， q 口= h ) j ：( 瞰刀) l ，z ) ( 刀) i ，断n ) i ) r 1 使得工o ) 至少有一点 ( 五( 疗。) ，五，( ，1 1 ) ，毛。( ，1 1 ) ，屯p ( 啊) ) r 在q 口的边界，而其他的点则落在瓦内所以x ( ，l i ) 有一些元素满足i ( ，1 1 ) l = 口吼， 并且 i ( ，1 ) i 口g 蔚，v n z + ( 3 _ 2 - 5 ) 令 1 6 = 窆_ ( 卜螂卜。，严g ( 扣。v j = l 所以由( 3 2 1 ) 式得 k ( ，| l + 1 ) | + p ( 3 - k _ i ，妒嗷卜w + l ， ，l l ( 1 一五气( 啊) ) i ( _ ) i + 旯p ( 3 - k 1 w , w o - k ) # ( 啊) l i z h ) ，( 一，x o - , ) j ( 1 一气h 垮( 刀。”) | + a l 厶( 啊) i ，( 1 一五气( 啊) ) i ( _ ) l + 旯啊) l i z h ) ，( 一，( 1 一气h 垮( 刀。”) l + a l 厶( 啊) i ， 因此 i 屹( 强) l ( 1 2 气( 啊一1 ) ) 1 ( 啊一1 ) | + 名l 璩，。) 驴( 啊- 1 ) i p ( 3 i ) ，置l i 石h ) ，( n 1 - 1 ，乇h ) ，( 强一l 一气 。m ( _ 一1 ) ) ) i + 名i 厶( 吩一1 ) 1 ( 1 一a 幺) 1 ( 刀一1 ) i + 名，萎- ( ，嘲 j = i ( ，。) ，i t ，一。，( 栉。一l 一气，一。坷( 啊一1 ) ) i + q ，_ ，) + 衍材 ，、。唯0 ) 一p 掣) 一一 ( 1 一a 幺) l 靠“一1 ) i + 名。- ( h 坷l o - , ) j a g ( ，+ a 。- ( h wq h ) ，+ z 九 j = l j = l = ( 1 一五矗) 1 h ( ，l l 1 ) f + 兄磊 ( 1 一a 4 矗) 2i ( ，l i 一2 ) l + 警名磊 ( 1 一五艇) i ( 0 ) l + 生里弓丝垒芝& 墨矗 却卅卟q 罐挚瞩嘲著挚+ 别 惺鼍竽嘞一窆j = t 鼍等+ 兰】 卢l垒矗垒矗垒矗j ( 1 一i _ a 材) 口g 矗一( 互，一。埘口g ( h + d 村) + ( 夏，_ w 口g ( ，训+ 哦) ( 3 - 2 6 ) 令 互= d i a g (