（油气田开发工程专业论文）用马尔可夫过程描述多孔介质中弥散现象.pdf

大庆石油学院硕士研究生学位论文 m a r k o vp r o c e s sd e s c r i b e s d i s p e r s i o np h e n o m e n a i np o r o u sm e d i u m a b s t r a c t t h i sp a p e rh a sr e s e a r c h e dd i s p e r s i o np h e n o m e n o nt h a te x i s t si nm i s c i b l e - p h n s ed i s p l a c e m e n ta n d c h e m i c a lf l o o dt oa l l l a l l c eo i lr e c o v e r yf u r t h e lo w i n gt oc o n c e n t r a t i o nd i f f e r e n c eb e t w e e ni n j e c t e ds o l u t i o n a n df o r m a t i o nf l u i da n dt h er a n d o m n e s so fp o r ec h a n n e l s ，i to b t a i n st h a ts o l u t em o t i o ni np o r e si st h e c o m b i n e da c t i o no f m o l e c u l e sd i f f u s i o na n dc o n v e c t i o nd i s p e r s i o n a n a l y z i n gt h i sp r o c e s s ，i tc o n s i d e r st h a t t h ed i s p l a c e m e n to fs o l u t ep a r t i c l e si np o r e si sm a r k o vp r o c e s s a s s u m e dt h a tc o r e sa r eh o m o g e n e o u s b a s e do nd i f f u s i o np r o c e s si nr a n d o mp r o c e s s ，a n dc o n s i d e r e dt h a ts o l u t ei sn o ta d s o r p e da n dd e p o s i t e di n p o r e s ，i td e r i v e so n e - d i m e n s i o n a lc o n v e c t i o nd i s p e r s i o ne q u a t i o n , t r a n s l a t e si ti n t od i m e n s i o n l e s se q u a t i o n , a n dc o m p u t e sn u m e r i c a ls o l u t i o nu s i n gi m p l i c i td i f f e r e n c es c h e m eo f c r a n k - n i c o l s o nt y p e i nt h i sp a p e r , i ts o l v e sa n a l y s i so f t r a n s i t i o np r o b a b i l i t yo f w h i c hs o l u t ep a r t i c l e sm o v ei na ni n f m i t e r e s e r v o i r ；o b t a i n sc o n c e n t r a t i o nd i s t r i b u t i o nc u r v e sa td i f f e r e n tt i m ei na ni n f i n i t er e s e r v o i rw i t ht h eh e l po f n u m e r i c a lm e t h o d i ta n a l y z e st h ee f f e c to f d i f f e r e n td i s p e r s i o nc o e f f i c i e n t sa n df l o wv e l o c i t yo nc o n c e n t r a t i o nh i s t o r ya n db r e a k t h r o u g hc u r v ei nas e m i i n f i n i t er e s e r v o i r t h ee f f e c tc o n t r i b u t e st ot h ei n f l u - c l l c eo f d i m e n s i o n l e s sd i s p e r s i o nr a t e0 l ld i s p e r s i o np h e n o m e n o n ，i tr e s o l v e st h ec o n d i t i o n so f c o n t i n u o u s i n j e c t i o na n ds l u gi n j e c t i o ni nl i m i t e dc o r e s ，a n da n a l y z e sd i f f e r e n tc o n s e q u e n c e so f d i f f e r e n td i m e n s i o n l e s s d i s p e r s i o nr a t et oc o n c e n t r a t i o nc u r v e sa n db r e a k t h r o u g hc u r v e s i tc a nb es e e df r o mt h e s ec u r v e st 1 1 a lt h e h i g h e rt h ed i m e n s i o n l e s sd i s p e r s i o nr a t e ，t h es t r o n g e rt h ed i s p e r s i o n a sd i m e n s i o n l e s sd i s p e r s i o nr a t ei s u n d e rac e r t a i nv a l u e ，c o n c e n t r a t i o nc u r v ea n db r e a k t h r o u g hc u r v ed o n tc h a n g e i n t h i s p a p e r i t i n t r o d u c e s t h e m e t h o d o f d e t e r m i n i n g d i s p e r s i o n c o e f f i c i e n t , a n d m a k e a e x p e r i m e n t a l s t u d yo f d i s p e r s i o np h e n o m e n o ni nc o r e s o b t a i n e dd a t aa g r e ew i t l lc o m p u t e dd a t a s h o wt h a ti ti sf e a s i b l e t h a tt h i sp a p e re s t a b l i s hc o n v e c t i o nd i s p e r s i o ne q u a t i o n , a n du s es o l u t i o n t h i sp a p e rb d n gf o r w a r da m e t h o dt h a te s t a b l i s hc o n v e c t i o nd i s p e r s i o ne q u a t i o n , t h i sh a si n s t r u c t e ds i g n i f i c a n c et os t u d yc o n v e c t i o n d i s p e r s i o np h e n o m e n o n t h er e s u l t so b t a i n e di ns t u d yi si nc o n f o r m i t yw i mc o m p u t a t i o n a ld a t a , w h i c h c o n f n m st h a td i f f u s i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o ne s t a b l i s h e de n dm e t h o da d o p t e di nt h i sp a p e ri sa v a i l a b l e t h e m e t h o do f e s t a b l i s h i n gd i f f u s i o n - d i s p e r s i o ne q u a t i o nh a sg u i d i n gs i g u i f l c a n c eo f s t u d y i n g d i f f u s i o n - d i s p e r s i o np h e n o m e n o n k e yw o r d s ：d i s p e r s i o np h e n o m e n o n ；m a r k o vp r o c e s s ；m a t h e m a t i c a lm o d e l ；d i s p e r s i o nc o e f f i c i e n t ； p o r o u sm e d i u m 1 i l 大庆石油学院硕士研究生学位论文 学位论文独创性声明 本人所里交的学位论文是我在指导教师的指导下进行的研究工作及取得的研究成 果据我所知，除文中已经注明引用的内容外，本论文不包含其他个人已经发表或撰写 过的研究成果对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中作了明确说明并 表示谢意 作者签名：垫整达、 日期： 学位论文使用授权声明 如丑。二哆 本人完全了解大庆石油学院有关保留、使用学位论文的规定，学校有权保留学位论 文并向国家主管部门或其指定机构送交论文的电子版和纸质版有权将学位论文用于非 赢利目的的少量复制并允许论文进入学校图书馆被查阅有权将学位论文的内容编入有 关数据库进行检索有权将学位论文的标题和摘要汇编出版保密的学位论文在解密后 适用本规定 学位论文作者签名：赵恕巷 日期：刃叮z 2 弓 导师签名：亥稚峻 日期：叼n 弓 创新点摘要 创新点摘要 1 由于孔隙通道具有复杂、随机性和分子扩散运动的随机性，微观孔道级分析认 为，注剂经过弥散区域的某段时间内粒子在孔隙中的位移是具有无后效性的马尔可夫过 程。 2 以一定注入速率向油藏中注入化学剂时，粒子在无限大油藏弥散区域内，描述 其宏观形态演化过程的转移概率密度是以r 为均值，r 为方差的正态分布。 3 从出口端浓度剖面的实验值与计算值的比较，可以看出两者有较好的一致性， 表明文中所建立的有限长岩心中流体的传输模型是合理的。这种模型适合于不具有吸附 现象的传输过程。 大庆石油学院硕士研究生学位论文 引言 随着重质油藏、挥发性油藏及凝析气藏等多种新的油气藏发现与开发以及三次采油 方法的应用，使这些油气田在开发过程中，在地层中呈现各种各样的物理化学变化。因 此在开采这些油气田时，就必须考虑伴随着渗流过程而同时所产生的物理化学现象，如 传质、吸附、传热、相态变化等等。所有这些现象的描述都涉及到其它一些基础学科的 专门知识和方法。如物理化学渗流就是研究在多孔介质中带有物理化学过程的渗流问 题。物理化学渗流是近年来才兴起的一个新的分支，它的研究成果无疑对于今后的油气 田开发有巨大实际意义和理论价值。尤其在三次采油中物理化学渗流问题必须加以考虑 的。其中传质扩散渗流就是对弥散现象进行的研究。在孔隙介质内当用某相流体混溶驱 替另一相流体时，在混溶接触前沿要发生两种流体的不稳定混合现象，即形成混合区。 这种不稳定的混合受孔隙介质的弥散现象所控制。 多孔介质中的弥散现象的存在使流体的平均流度与达西公式所决定的平均流动的 速度不相等。弥教现象是溶质在孔隙介质中的分子扩散和对流弥散两种输运过程共同作 用的结果。分子扩散使多孔介质系统各部分的浓度均匀，孔隙空间的不规则性诱发、助 长孔隙内速度场的无序性。溶液除了从高浓度扩散到低浓度液体中去以外，往往还要与 岩石固体颗粒相互作用，其中一部分要吸附到固体表面上，从而使液体的浓度降低，岩 石固体表面与液体的相互作用( 包括吸附、溶解、沉积和离子交换等) 也影响浓度的变 化。一般来讲，溶液浓度的变化将引起液体比重和粘度的改变，这反过来又会影响渗流 场中的速度分布和流动状态。 在很多重要的技术领域中，存在弥散现象。例如，在油藏工程，地下水文学，化学 工程色谱学中等等。举例来说，石油工业中的“三次”采油过程；海岸含水层中盐水和 淡水之间的过渡带；放射性污水和普通污水在含水层中的排放；土壤中的矿物质的移迁； 石油工程和水文学研究项目中各种“示踪剂”的应用。 5 0 年代以来，国外许多学者通过对室内大量示踪剂弥散试验的观察、分析和总结， 对多孔介质的弥散现象进行了广泛的研究，提出各种模型描述溶质的在多孔介质中的弥 散过程，如以精确的虚构物理模型为基础的毛管束模型【m 】，以统计理论为基础的随机 推测模型 3 4 】、直径呈随机分布的毛细管网格模型【9 。埘、以空间( 或体积) 平均为基础的统 计模型 1 1 - 1 3 1 。至6 0 年代形成了比较系统的多孔介质弥散理论，即水动力弥散由机械弥 散和分子扩散形成【1 4 1 ，前者为主，水动力学弥散近似遵循自由溶液中物质扩散f i c k 定 律。并建立了以此理论为基础的溶质运移对流弥散方程【i “。随着对混相驱和化学驱研 究的不断深入，学者们考虑了吸附等因素对渗流的影响，建立了描述不同条件下的弥散 现象的方程【”。1 1 ，并应用数值模拟技术进行求解【1 8 1 。 国内学者在弥散现象方面的研究也很多，葛家理 1 9 1 在油气层渗流力学一书中介绍了 引言 流体中的水力弥散现象和传质扩散液体的渗流理论，随着国内对三次采油方法研究的深 入，学者们对弥散现象的研究也较多，在一维对流弥散方程的基础上考虑吸附的数学 模型 2 0 - 2 3 】，徐建平等 2 4 - 2 5 1 充分考虑聚合物溶液在地层中流动时发生吸附和弥散以及热降 解作用，建立浓度扩散弥散数学模型。同时也应用了数值模拟技术进行求解 2 3 - 2 4 ，樊 寅和刘慈群1 2 6 j 研究了溶质二维输运问题。 多孔介质中的弥散系数不同于分子扩散系数，仅取决于混合物的组成，它还必须考 虑岩石孔隙中扩散的曲线路线，因此弥散系数的确定也是研究弥散现象中的重要问题。 研究弥散系数的方法有实验分析【2 他9 1 、理论推导 3 0 - 3 t 】、依据分形理论确定弥散系数【3 2 】、 用声波时差资料研究弥散系数【3 3 】。 弥散理论及其方程广泛用于描述室内各种多孔介质弥散试验和野外相对均质的小 规模溶质运移试验，取得了满意的结果。但是，随着弥散理论应用于矿场进行大规模溶 质运移实验时，大量的水文地质方面的文献表明：f i c k 方程存在严重的不足。在三次采 油中有些化学剂的成本很高，对弥散现象的机理认识不清，处理弥散现象的方法不当， 都会导致采油成本升高。 因此本文阐述了多孔介质中的弥散现象及机理，得出弥散现象是分子扩散和对流弥 散共同作用的结果；介绍了确定弥散系数的方法，对弥散现象进行了实验研究，并根据 实验结果讨论了弥散性与岩石物理参数的相关性；通过对随机过程及马尔可夫过程的介 绍，根据马尔可夫性，推导出查普曼柯尔莫哥洛夫方程并对其简化得到扩散方程；根 据粒子在多孔介质中的位移具有马尔可夫性，建立了描述多孔介质中溶剂浓度变化的数 学模型，并用c r a n k - n i c o l s o n 型隐式差分法对溶剂在无限大油藏、半无限大油藏、有限 长岩心中流动情况及注入段塞的情况求解，并用实验资料对有限长岩心中流动的模型进 行验证，数学模型与实验数据符合的很好，证明建立数学模型的方法是可用的及建立的 数学模型是正确的。 2 大庆石油学院硕士研究生学位论文 第1 章多孔介质中的弥散现象 当我们观察混溶于流体中的物质在多孔介质中的输运过程时，常常要遇到一种叫 做“水力弥散”的现象，这一现象往往出现在这样的一种情况下，即当注入液与地层中 的被驱替液成分不完全相同但二者却能完全互溶时才发生。比如：注溶剂驱油i 蚓( 溶剂 驱) 或注富气驱油( 油气混相驱) 或者往水层中注入含示踪剂的另一种水p 5 】时，我们可 以看到注入剂中的异组分物质( 如示踪剂、c 0 2 气、溶剂等) 并不是完全按照宏观的达 西定律进行流动，除了达西定律以外还受所谓弥散现象的控制。混溶于流体中的物质在 多孔介质中的输运是以运动的流体为媒介的，而流体的运动又是在几何结构非常复杂的 孔隙空间中进行的。这种特殊条件造成了流体动力弥散这一特殊现象。 1 1 多孔介质中的弥散现象 弥散，这里是指流体层流通过多孔介质的一种混合效应。设想有一由均质砂粒作成 的圆管模型，开始时其中充满淡水，从某时刻t = 0 开始，注入含有示踪剂浓度为g 的 水来进行驱替，( 如图1 1 a ) ，由予示踪剂浓度不高，注入水的相对密度、颜色、相渗透 率等与原来的饱和水完全相同口6 】。在注入点下游某点( 距离l 处) 测量示踪剂的浓度变 化c ，绘出示踪剂相对浓度c ，c o 对时间t 的曲线，称为穿透曲线，如图1 1 b 。假设不 存在弥散现象，那么穿透曲线应呈现图中虚线所示的台阶式变化，即有一个以平均流速 移动的直立锋面，它完全由达西公式所决定的平均流动来表达。但是由于弥散现象的存 0 b 图1 1 弥散的定义 第1 章多孔介质中的弥散现象 在，实际观测到的穿透曲线呈s 形。一部分含示踪剂的水超前于平均流速达到的位置， 它们之间有一个水动力弥散导致的示踪剂浓度渐变的过渡带。 可混溶物质进入孔隙中随即逐渐扩展现象，就宏观的扩展范围而言，是超过流体按 平均流速应该分布的范围，而就微观的扩展浓度而言，则可混溶物质只有在开始与地下 流体接触时，才有明显的分界面，随后即在可溶解物质的扩展中消失。在地下动力学中， 通过孔隙介质的流体是用达西定律来描述的。这个定律是以断面平均值为研究对象，据 此，不能判明水流的微观情况。这是因为在溶质进入孔隙以后的时间里，其浓度是由最 大值渐变到零，并不存在突变的界面，且任一界面位置均不能根据达西定律所描述的平 均流速来确定，代替它的是形成了一个越来越大的过渡带。这种不同组份的液相问的扩 展作用称之为弥散作用，而弥散作用就是在这个过滤带内发生和演变的，并且是一个随 时问不断交化的过程，不可能甩逆转流动得到其初始分布。 当可溶解物质进入地下流体系统后，随即有沿着地下流体运动方向扩展的纵向弥散 和垂直于地下流体流动方向扩展的横向弥散，同时还有在地下流体系统内上、下扩展的 垂向弥散。在流速甚小的情况下，甚至出现沿与地下流体流向相反方向扩展的逆弥散。 因此将由于多孔介质中微观尺度孔隙流体流速相对于平均( 或达西) 流速的变化引起的 溶质分散现象称为多孔介质流体动力弥散。 流体动力弥散就是多孔介质中两种不同成分可混溶流体之间过渡带发生的非稳定、 不可逆转过程。就是说这一过程是随时间变化的，并且不可能用逆转流动来返回到初始 分布【3 刀。 1 2 多孔介质中的弥散现象的机理 流体动力弥散是一种宏观现象，但其根源却在于多孔介质的复杂微观结构与流体的 非均一的微观运动。在一般情况下，流体动力弥散是由于质点的动能和因流体对流而造 成机械混合产生的。即溶质在孔隙介质中的分子扩散和对流弥散两种输运过程共同作用 的结果【翊。 1 2 1 分子扩散 分子扩散：主要是物理化学作用的结果，故亦称物理化学弥散。它是由化学势梯度 所引起的，而化学势则与浓度有关。即因液相中所含溶剂的浓度不均一，浓度梯度使得 高浓度处的物质向低浓度处运移，最后，趋于一种平衡状态，所以分子扩散作用是一种 使多孔介质系统各部分的浓度均匀化的过程。它取决于时间，并且可以在静止的流体中 单独存在，同时，分子扩散将成为流体动力扩散中的重要组成部分。实际上，在弥散中 分子扩散，是经常的每时每刻发生的。 就其本身而言，动力扩散中的分子扩散亦具有方向性，是向各个方向扩展的。如以 管流为例，大致可分为： 纵向分子扩散：在管流内部，沿水流平均方向，溶剂的浓度差有逐渐消失的趋势， 4 大庆石油学院硕士研究生学位论文 见图1 2 。 横向分子扩散：在两个相邻管之间，可发生溶质的大量迁移，逐步消除浓度上的差 异，见图1 3 。 在实际问题中，纵、横向分子的扩散效应往往是同时存在的，见图1 4 。 鬟；羔；+ ? 叠曼：j ： 撼囊扩i 黪；! i：、： 图1 2 纵向分子弥散 r 曩曩趸曩夏一 j - ：2 ： t + 蠢麓嚣薯! 枣 。j 簪譬薯7 i 3 ：- i 图1 3 横向分子弥散 ，+ f 图1 , 4 纵向、横向分子弥散 由f i c k 定律，分子扩散通量( ，) 可以表示为 l = 一d 。g r a d c 式中：g r a d c 溶质浓度( c ) 的梯度； d 。多孔介质中的分子扩散系数，其值取决于溶液中分子扩散系数( d o ) 和 多孔介质的弯曲率( t ) 按下式计算 第l 章多孔介质中的弥散现象 d t = t d o 0 - 2 ) 1 2 2 对流弥散 对流弥散：主要是纯力学作用的结果，故亦称机械弥散。当流体在孔隙介质中运动 时，由于孔隙系统的存在，使得各个点的流速向量与横断面平均流速向量的方向、大小 各不相同。所以，通过不同孔隙的物质粒子，在某时间间隔之后到达的位置亦不相同。 一般可分为以下三种情况： 自然界的各种流体，通常均具有一定的粘滞性，它在多孔介质中运动时，表现为靠 近颗粒介质表面速度缓慢，而靠近孔隙中心则速度最快。即在通道轴处的流速大，靠近 通道壁处的流速小，或者说，在同一个孔隙中的速度分布不同，孔隙中心速度最快。因 此，在流体中产生了速度梯度，见图1 5 a 。 由于颗粒间孔隙大小不同，使得流体流动通道口径不同，引起各通道轴的最大流速 钓差异，造成沿不同孔隙运动的流体产生速度差，见图1 5 b 。 由于流体在孔隙介质中流动，受到固体颗粒的阻挡，造成绕行，使速度有变化，流 线相对于平均流动方向产生起伏。即流动方向流线产生起伏，见图1 5 c 。 1 _ 7 - 7 7 7 7 _ 7 7 7 7 7 _ 7 r 7 7 7 一 a c 图1 5 对流弥 i i 0 用 叫蟛墼坳 ，迪砌r + 缸 柙栅咖 d 对流弥散是上述三种情况造成的。质点流速不一样及不同孔隙中流体质点实际流速 的差异产生了纵向机械弥散；而固体骨架的阻挡作用产生了横向机械弥散。横向弥散大 概可以波动一个颗粒直径大的范围。实际上，由于孔隙系统的存在使得流体的微观速度 在孔隙中的分布无论其大小和方向都不均一，使得溶剂质点群流动过程中不断地被分 细，逐渐散布开并占据多孔介质越来越多的体积，并超出了仅按平均流动所预期的扩展 范围( 图1 5 d ) 。所以，从微观尺度的不均匀性来说，造成对流弥散的两个基本要素是 地下流体的流动和流体所通过的孔隙系统的存在，地下流体质点运动速度的差异是产生 6 大庆石油学院硕士研究生学位论支 流体动力弥散的根本原因。 另外，流动区域不同部分的渗流性差异等。即宏观尺度的不均匀性，也是造成对流 弥散的一个重要因素。对流弥散不仅存在于弥散的不同方向，如纵向对流弥散、横向对 流弥散等，并且既能够存在于层流状态，也可以存在于紊流状态。在紊流状态下，紊流 还要对可溶物质或示踪剂产生一个附加的运移作用。 由f i c k 定律，机械弥散通量，。可以表示为 i。=egradc(1-3) 式中，e 机械弥散系数。 对实验条件下的一维流动 噬= d - = 1 ， ( 1 4 ) 式中：防。多孔介质的弥散度， v 地下流体的实际平均流速。 1 2 3 流体动力弥散 当流体在多孔介质中流动时，机械弥散与分子扩散以不可分开的形式同时起作用， 共同形成了流体动力弥散。当流速较大时，机械弥散在总的流体动力弥散中是主要的。 但当流速较小时，分子扩散的作用将变得非常明显。显然，机械弥散与分子扩散共同引 起了地下水质点产生纵向和横向弥散。那么，流体动力弥散通量，应该等于分子扩散通 量和机械弥散通量之和，即 i = i + i 。；一( 见+ d g r a d c = - d g r a d c ( 1 5 ) 式中：d 多孔介质的弥散系数。 上述分析是基于均质的多孔介质而言的。实际上，多孔介质往往是非均质的，包括 局部微观的非均质和宏观的非均质。溶剂沿着渗透性良好的介质迁移速度更快，使得弥 散占据更大的范围。 由此可知，由于流体动力弥散现象的存在，渗流过程中的物质传递可以由三个方面 组成，即由达西定律引起的平均流动，由于机械运动引起的对流弥散和由浓度梯度引起 的分子扩散f 3 l 】。 由于孔隙介质的比面积相当大，所以溶剂往往要与岩石固体颗粒相互作用，其中一 部分要吸附到固体表面上到去而形成一稳定的吸附层，最后使吸附层上吸附剂的浓度和 溶液中扩散剂的浓度之间达到平衡。吸附现象表现为岩石固体表面与液体的相互作用 ( 包括吸附、溶解、沉积和离子交换等) 。所以吸附现象是与弥散现象紧密相关的，溶 剂浓度高的液流进入低浓度区以后。除了扩散到低浓度液体中去以外还要吸附一部分到 此区域的岩石颗粒表面上去，从而使液体的浓度降低。所以在研究弥散现象时对吸附过 7 第l 章多孔介质中的弥散现象 程及其对渗流的影响必须作出考虑。 由此可知，弥散现象是完全不同于宏观渗流的微观现象的宏观结果，是孔隙介质中 与渗流过程不同质的另一种化学物理的传质现象。它是由下述诸种因素引起的：( 1 ) 作 用于流体的外力；( 2 ) 孔隙空间的复杂的微观结构；( 3 ) 溶剂的浓度差引起的分子扩散； ( 4 ) 流体参数如密度、粘度等的差异引起的流动模式的改变；( 5 ) 液相中的化学物理 过程引起的溶剂浓度变化；( 6 ) 液固两相之间的相互作用等等。 8 大庆石油学院硕士研究生学位论文 第2 章弥散现象的实验研究 多孔介质可看作为具有随机尺寸分布和不同连通特性和传导能力的孔隙通道网络。 在孔隙介质内当用某相流体混溶驱替另一相流体时，在混溶接触前沿要发生两相流体的 不稳定混合现象，即形成混合区。这种不稳定的混合受孔隙介质的弥散现象所控制。 有机械弥散和分子扩散两种机理解释微观非均质多孔介质的弥散现象。弥散根源于 孔隙空间不规则性所引起的孔隙内速度场的无序性质；而分子扩散则来源于相间浓度差 异所引起的无规则的分子热运动。分子扩散总是伴随着弥散过程。当混溶驱替速率很低 时，分子扩散作用则占优势；然而在较高速率下的驱替过程，由于分子扩散平衡时间不 充分，传导弥散作用将支配着整个混合过程，分子扩散效应可忽略。 本章介绍了确定岩石弥散系数的方法，对弥散现象进行了实验研究，并根据实验结 果讨论弥散性与岩石物理参数的相关性。 2 1 弥散系数的确定方法 当流体在地层孔隙介质流动过程中，弥散主要是有分子扩散和对流弥散引起的。因 此，弥散系数可以分为两部分：一部分是由分子运动而产生的，即扩散物质在驱替液和 被驱替液之间依靠分子运动使两种液体中浓度达到平衡；第二部分是对流弥散效应，这 是液体质点本身在微细孔道中速度不均匀引起的，这种不均匀性由于平均渗流速度的增 长而进一步增大。分子扩散系数取决于混合物的组成，在油藏工程问题中，常常选用溶 剂浓度为5 0 的平均扩散系数，可以表明由扩散引起的溶剂混合作用。考虑岩石孔隙中 扩散的曲折路线，必须调整分子扩散系数，称为有效分子扩散系数【3 9 】。有效分子扩散系 数可根据孔隙介质中扩散与电导率之间的相似性得出： 堡：上。 ( 2 1 ) d o j 谚 式中：d 有效分子扩散系数，e m 2 s ； d 0 分予扩散系数，g n 1 2 s ； ，地层电阻系数； 吲隙度，小数。 对流弥散系数( 机械弥散系数) 表达式为【划： e = c v o ( 2 - 2 ) 式中：c 为一常数； v 渗流速度，c m s ； 9 第2 章弥散现象的实验研究 勿颗粒直径，c m 。 o 非均质系数；仃 l 。典型随机分布的岩石，d = 3 5 。 弥散系数包括分子扩散作用和对流作用，因此d = 见+ e 。 当流体通过孔隙介质流动时，其在液流方向上的混合将大于仅靠分子扩散而造成的 混合。由于流动或对流造成的附加的混合，可用图2 1 来说明。如该图所示，虽然流线 1 、2 和3 每一流线的平均方向必须在其平均流动的方向上，但它们都是顺着曲折的路线 通过孔隙介质的。设想每一流线在开始具有不同的溶剂浓度。具有不同浓度的流线l 和 2 通过小的孔喉进入孔隙a 。在孔隙a 内溶剂浓度被分子扩散作用所均衡，因而以相同 的浓度流出孔隙a 。与流线2 相应的已改变了组成的溶剂，随后在孔隙c 中与流线3 相 应组成的溶剂相混合。在孔隙c 中，分子扩散作用再次均衡溶剂浓度，从而使两次改变 组成的溶剂从孔隙c 沿流线2 流出。流线1 和2 之间的混合在孔隙d 中发生，等等。 图2 1 还说明流体是如何靠相对于流动方向的横向对流分散作用混合的。再次考虑 三条流线，即1 、2 和3 。但设想流线1 开始仅携带溶剂分子，而流线2 和3 在开始仅携 带原油分子。在孔隙d 中，流线1 和2 的液体混合，流线2 离开孔隙a 时携带某些溶剂。 在孔隙c 中，流线2 的液体与流线3 的无溶剂液体相混合。流线3 现在离开孔隙c ，就 带有某些溶剂。溶剂就是以这样的方式相对于流动方向逐渐发生横向分散的。 图2 1 微观对流弥散 因此，弥散系数又可以分为纵向弥散系数和横向弥散系数，所谓纵向弥散系数是指 扩散物质在介质中的扩散方向与流动方向是一致的，而横向弥散系数存在于垂直流动的 方向上，虽然渗流速度等于零但是扩散速度仍然存在，即使是在层流状态下这种横向弥 散作用也并不消失。纵向弥散系数表示为： 1 0 旦：上+ 0 5v c x p ， d qf 咖d o v a 。d p 5 0 ( 2 3 ) d 0 、。 大庆石油学院硕士研究生学位论文 式中，d i 纵向弥散系数，c 1 - i 1 2 s 。 在低流速( v i p d o o 1 ) 下分子扩散控制纵向混合，而在高流速 ( 4 v o d p d o 5 0 ) 下对流弥散控制纵向混合，并且分散系数大体上与流速成正比。 横向弥散系数表示为： 堡：上+ 0 0 1 5 7 v o d p 。 战f 季战 彳v c r - d p 1 0 4 ( 2 - 4 ) d 0 式中，d t 一横向弥散系数，c m 2 s 。 对于v 翻d p l d o 3 0 0 的情 况来说对流弥散占主要地位。 在文献也把弥散系数定义为： d = d o + 积2 v 2 d o( 2 - 5 ) 式中，r 是孔道半径； 艿是无量纲参数，二1 2 4 8 6 恐，以p ) 歹，则称z - x ( 0 为撑维随机变量或疗维随机 向量。称 f o ) 一f ( ，石2 ，) - 雌：x 1 ( e ) s 五，x 2 ( e ) x 2 ，x 。0 ) ) ， ( 3 6 ) 为x - ( x 。，x 2 ，x 。) 的联合分布函数。 3 1 3 随机变量的数字特征 随机变量的概率分布完全由其分布函数描述，但是如何确定分布函数却是相当麻烦 的。在实际问题中，有时只需要知道随机变量的某些特征值就够了。 若z 是离散型随机变量，分布律为a p ( x - 以) ，k - 1 , 2 ，甩，则x 数学期望或 均值定义为 e ( x ) - 乏t p tt 乏x , p x - _ 。 ( 3 7 ) 一ii 一1 若x 是连续型随机变量，其分饰函数为f 0 ) ，概率密度为f ( x ) ，则x 数学期望或 1 8 大庆石油学院硕士研究生学位论文 均值定义为 占( x ) = 脚o ) = 矿( x ) 出。( 3 - 8 ) 随机变量的数学期望是随机变量的取值依概率的平均。 设z 是随机变量，若e ( x 2 ) o o ，则称呐= 毋一目】2 ) 为j 的方差。 在应用上还引入与随机变量x 具有相同量纲的量d ( x ) ，记为盯( 柳，称为标准差 或均方差。随机变量x 的方差表达了x 的取值与其数学期望的偏离程度。 设x ，j ，随机变量，e ( x 2 ) o o ，e ( y 2 ) 0 的y ，定义给定y = y 时，x 的 条件概率为 p z = x i y = j ，) = ! 羔并， ( 3 - 1 0 ) 给定y = y 时，z 的条件分布函数为 ，( x i 力= p x z f y = y ) ，( 3 1 1 ) 而给定y = y 时，x 的条件期望为 e ( x f 】，= j ，) = i x d f ( x i y ) = y = x p x = x 】，= y 。 ( 3 1 2 ) 若x ，y 是连续型随机变量，其联合概率密度为f ( x ，力，则对一切使力 ) 0 的) ， 给定y = y ，x 的条件概率密度定义为 m i ) ，) = 锗， ( 3 - 1 3 ) ，r 抄) 给定y = y 时，z 的条件分布函数为 f ( x l 力= p x s x l y = 力= l f ( x i y ) d x ， ( 3 1 4 ) 而给定y = y 时，x 的条件期望定义为 e ( x ij r = y ) 2j 脚( 工i y ) = j x f ( x i y ) d x 。 ( 3 1 5 ) 性质若随机变量x 与y 的期望存在，则 1 9 第3 章马尔可夫过程的数学基础 e ( x ) = 研e ( x iy ) 】；i e ( x l y = y ) d f y ( y ) a 如果y 是离散型随机变量，则上式为 e ( z ) = e ( x i y = y ) p y = y ， y 如果】，是连续型，具有概率密度， ) ，则( 3 - 1 6 ) 式为 点( 柳= e ( x i y = y ) f ( y ) d y 。 3 2 随机过程 ( 3 1 6 ) ( 3 - 1 n ( 3 - 1 8 ) 3 2 1 随机过程的概念 髓机过程被认为是概率论的“动力学”部分。意思是说，它的研究对象是随时间演 变的随机现象。对于这种现象，一般来说，人们已不能用随机变量或多维随机变量来合 理地表达，而需要用一族( 无限多个) 随机变量来描述m 。 设丁是一无限实数集。把依赖于参数t t 的一族( 无限多个) 随机变量称为随机过 程，记为 x ( f ) ，t e t ，这里对每一个t t ，z ( ，) 是一随机交量。r 叫做参数集。常把 t 看作时间函数，称x ( f ) 为时刻r 时过程的状态，而x ( t 1 ) = x ( 实数) 说成是t = t l 时过 程处于状态x 。对于一切t t ，x ( f ) 所有可能取的一切值的全体称为随机过程的状态空 间。 对随机过程 x ( 吐t e t ) 进行一次试验( 即在r 上进行一次全程观测) ，其结果是t 的 函数，记为工o ) ，t t ，称它为随机过程的一个样本函数或样本曲线。所有不同的试验 结果构成一族( 可以只包含有限个) 样本函数。 工程技术中有很多随机现象。例如，地震波幅、结构物承受的风荷载、时间间隔( o ，t 】 内船舶甲板“上浪”的次数、通讯系统和自控系统中的各种噪声和干扰，在石油工业中多 孔介质可看作具有随机尺寸分布的孔隙通道网络，流体在多孔介质中的流动除驱动方向 上的流动外，还附加有多孔道方位的流动，这种多孔道方位的流动是无固定方向的，加 之流体与岩石及流体问的物理化学作用及变化影响，致使孔隙内速度场是无序的，且由 于地下的岩石孔隙网络通道、流体流动过程中物理化学变化及流态的改变、生产动态的 变化导致在一定条件下这些变化具有不确定性，导致一些生产指标具有不确定性，以及 生物群体的生长等变化过程都可用随机过程这一数学模型来描绘。不过，这些随机过程 都不能像随机相位正弦波那样，很方便、很具体地用时间和随机变量( 一个或几个) 的 关系表示出来，其主要原因在于自然界和社会产生随机因素的机理是极为复杂的，甚至 是不可能被观察到的。因而，对于这样的随机过程( 实际中大多是这样的随机过程) ， 一般来说，我们只有通过分析由观察所得到的样本函数才能掌握它们随时间变化的统计 规律性。 大庆石油学院硕士研究生学位论文 随机过程的不同描述方式在本质上是一致的。在理论分析时往往以随机变量族的描 述方式作为出发点，而在实际测量和数据处理中往往采用样本函数族的描述方式。这两 种描述方式在理论和实际两方面是互为补充的。 随机过程可依其在任一时刻的状态是连续型随机变量或离散型随机变量而分成连 续型随机过程和离散型随机过程。 随机过程还可依时间( 参数) 是连续或离散进行分类。当时间集r 是有限或无限区 间时，称( x ( o ，t t 为连续参数随机过程。如果r 是离散集合，例如t = o ，1 ，2 ，) ，则 称 x ( ，) ，t t 为离散参数随机过程或随机序列。 3 2 2 随机过程的统计描述 随机过程在任一时刻的状态是随机变量，由此可以利用随机变量( 一维和多维) 的 统计描述方法来描述随机过程的统计特性。 给定随机过程 x c t ) ，t t ) 。对于每一个固定的t t ，随机变量x ( f ) 的分布函数一 般与t 有关，记为 昂( 与f ) = p z o ) 耐，x r ， ( 3 - 1 9 ) 称它为随机过程 j o ) ，t t ) 的一维分布函数，而 最( f ) ，t t ) 的一维分布函数族。 一维分布函数族刻画了随机过程在各个个别时刻的统计特性。为了描述随机过程在 不同时刻状态之间的统计联系，一般可对任意疗( 疗= 2 , 3 ，) 个不同的时刻 f 1 ，t 2 ，t ，弓1 ) k n 维随机变量( x ( f 1 ) ，x ( t 2 ) ，x ( ) ) ，它的分布函数记为 巧( 而，也，x ；t a ，f 2 ，) = p x ( f 1 ) 而，x ( t 2 ) sx 2 ，x 也) sx n ) ，( 3 - 2 0 ) 毛r ，i = 1 , 2 ，n 。 对于固定的疗，我们称 昂( 而，x 2 ，x ；t l ，t 2 ，) ，r ) 为随机过程 x ( t ) ，t t 的栉维分布函数族。 当玎充分大时，1 1 维分布函数族能够近似地描述随机过程的统计特性。显然，n 取 得愈大，则n 维分布函数族描述随机过程的特性也愈趋完善。一般，可以指出：有限维 分布函数族，即 最( 五，x 2 ，矗；，t 2 ，) ，f = 1 , 2 ，n ，t ，完全地确定了随机过 程的统计特性。 依照随机过程在不同时刻的状态之问的特殊统计方式，抽象出一些不同类型的模 型，如独立增量过程、马尔可夫过程、平衡过程等。 随机过程的分布函数族能完善地刻画随机过程的统计特性，但是人们在实际中，根 据观察往往只能得到随机过程的部分资料( 样本) ，用它来确定有限维分布函数族是困 难的，甚至是不可能的。因而像引入随机变量的数字特征那样，有必要引入随机过程的 基本数字特征均值函数和相关函数等。这些数学特征在一定条件下是便于测量的。 2 1 第3 章马尔可夫过程的数学基础 设 x ( f ) ，tet 是随机过程，如果对任意t t ，e x ( t ) 存在，则称函数 z x ( t ) = 研z ( f ) 】，t t ( 3 - 2 1 ) 称服( ，) 为随机过程 x ( ，) ，t t ) 的均值函数。它是随机过程的所有样本函数在时刻的函 数值的平均值，表示随机过程x ( r ) 在各个时刻的摆动中心，如图3 1 所示。 一篓 n 埝龄墨 图3 1 均值函数f ( f ) 示意图 把随机变量x ( f ) 的二阶原点矩和二阶中心矩分别记为 妒量( f ) = 日鼻2 ( f ) 】( 3 。2 2 ) 盯x 2 ( ，) = 巩( d = v a r x ( t ) 】= e 【彳( f ) - i t x ( t ) 2 ) 。 ( 3 - 2 3 ) 分别称它们为随机过程 x ( f ) ，r t ，的均方值函数和方差函数。方差函数的算术平方根 口。o ) 称为随机过程的标准差函数，它表示随机过程z ( r ) 在时刻f 对于均值以( r ) 的平均 偏离程度。 若对任意t 7