（应用数学专业论文）气浮轴承支持的高速转子系统动力学行为数值模拟.pdf

江苏大学硕士学位论文 摘要 现代科学技术的进步使得旋转机械的设计正日益向着高速、高效方向发展， 与此同时，对其动力特性、稳定性以及可靠性也提出了更高的要求。现代非线 性动力学理论的发展与运用，使得转子动力学尤其是对高速转子非线性动力学 行为的研究成为当今国内外的热门研究课题之一。气浮轴承是利用气体作为运 动副润滑剂的一种新型轴承。由于气体的粘度较小，与其它轴承相比，具有低 摩擦、无磨损、无污染、运转平滑、回转精度高和轴承的精度保持性好等特点， 在高速旋转机械中具有很大的优越性、经济性和实用性，在国防、兵工及动力 等行业正得到日益广泛的应用。 本文应用现代非线性动力学理论研究了气浮轴承支持的高速刚性转子系统 及弹性转子系统的复杂动力学行为。论文的主要贡献为：首先建立了一种气浮 轴承支持的高速刚性转子的动力学模型，在原系统的无量纲模型的基础上，采 用龙格一库塔算法来求解系统的运动微分方程，画出了相图、p o i n c a r e 截面， 幅值谱图、分岔图等数值模拟图，结果显示系统中存在丰富的周期运动、混沌 运动的复杂非线性现象。其次，在上述模型的基础上，建立了气浮轴承支持的 高速弹性转子的动力学模型，类比采用龙格一库塔算法来求解系统的运动微分方 程，同样给出数值模拟图的结果，该结果显示系统中存在周期以及混沌运动。 研究表明：系统在一定的参数区间倍周期分岔、阵发性混沌等非线性现象，且 系统产生混沌对应很大的参数空间。最后，总结了本文所做的主要工作，同时 指出了存在的问题以及今后工作的发展趋势。 关键词：非线性动力学，气浮轴承，高速转子，刚性转子，弹性转子，分岔， 混沌 江苏大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h ep r o g r e s so fs c i e n c ea n dt e c h n o l o g yh a sm a d et h ed e s i g no fr o t a t i n g m a c h i n e r ym o r eh i g h - s p e e d l ya n de f f i c i e n t l y s i m u l t a n e o u s l y , h i g h e rr e q u i r e m e n t sf o r d y n a m i cc h a r a c t e r i s t i c s ，s t a b i l i t ya n dr e l i a b i l i t yt ot h er o t a t i n gm a c h i n e r yh a v eb e e n m e t 谢t h w i t ht h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no ft h em o d e mn o n l i n e a rd y n a m i c t h e o r y , t h er e s e a r c ho nr o t o rd y n a m i c se s p e c i a l l yt h eb e h a v i o ro fh i g h s p e e dr o t o r n o n l i n e a rd y n a m i c st a k e san e wv i s a g ea f t e ri n t r o d u c i n gt h et h e o r yo fm o d e m n o n l i n e a rd y n a m i c s n o w a d a y s ，i th a sb e e nb e c o m eo n eo ft h em o s tp o p u l a rr e s e a r c h p r o b l e m sa th o m ea n da b r o a d g a sr o t o rb e a r i n g sa r en e wt y p eb e a r i n g sw h i c hm a k e u s eo fg a sa sm o v i n gl u b r i c a n t c o m p a r i n gw i t ho t h e rb e a r i n g s ，b e c a u s et h e r ei so n l ya l i t t l e m u c o s i t yi ng a s ，g a sr o t o rb e a r i n g sh a v es om u c hv i r t u e ss u c ha sab i to f f r i t i o n ，n oa b r a s i o n ，n op o l l u t i o n ，s m o o t ho p e r a t i o n ，h i g hr o t a t ep r e c i s i o n ，p r e c i s e m a i n t e n a n c eo f b e a r i n g sa n de t c t h e s em a k eg a sr o t o rb e a r i n g sm o r ea s c e n d a n t ，m o r e e c o n o m i c a la n dm o r ep r a c t i c a li nh i g h - s p e e dr o t a t i n gm a c h i n e s g a sr o t o rb e a r i n g s a r em o r ew i d e l yu s e di ni n d u s t r i e ss u c ha sn a t i o n a ld e f e n c e ，a r m o r ya n dd y n a m i c s i nt h i s d i s s e r t a t i o n , r e s e a r c h e sa r em a i n l yo b j e c t e d t o c o m p l i c a t e dd y n a m i c b e h a v i o r so ft h es y s t e m so fh i g h - s p e e dr i g i dr o t o ra n df l e x i b l er o t o rs u p p o r t e db yg a s j o u r n a lb e a r i n g st h r o u g hu s i n gn o n l i n e a rd y n a m i c st h e o r i e s t h ed i s s e r t a t i o nm a i n l y c o n t r i b u t e st ot h er e s e a r c hi nt w op o i n t s f i r s t l y , t h em o d e lo fd y n a m i cb e a r i n gf o r c eo n h i g h s p e e dr i g i dr o t o rs u p p o r t e db yg a sj o u m a lb e a r i n g sa r ee s t a b l i s h e d b a s e do nt h e n o n - d i m e n s i o n a lf o r mo ft h er o t o rs y s t e m ，t h em o t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o no ft h es y s t e m i ss o l v e db yu s i n gt h er u n g e - k u t t am e t h o d t h ed i a g r a m so ft h es y s t e ms u c ha st h ep h a s e d i a g r a m s ，p o i n c a r em a p s ，s p e c t r u ma n a l y s i sd i a g r a m s ，b i f u r c a t i o nd i a g r a m sa r ep l o t t e d b ym e t h o d so fn u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h ec o m p l e xd y n a m i cp h e n o m e n ao fp e r i o d i ca n d c h a o t i cm o t i o n sa r es h o w e di nt h er e s u l t s s e c o n d l y , a c c o r d i n gt ot h ea n a l y s i sa b o v e ，t h e d y n a m i c a lm o d e lo fh i g h - s p e e df l e x i b l er o t o rs u p p o r t e db yg a sj o u m a lb e a r i n g si s s i m i l a r l ye s t a b l i s h e d b yt h em e t h o do fr u n g e - k u t t a , t h em o t i o nd i f f e r e n t i a le q u a t i o no f t h es y s t e mi ss o l v e d a sar e s u l t , t h ed i a g r a m so ft h es y s t e ma r ep l o t t e db ym e t h o d so f n u m e r i c a ls i m u l a t i o n s t h ev a r i o u sf o r m so fp e r i o d i ca n dc h a o t i cm o t i o n sa r es h o w e di n t h er e s u l t s s t u d y i n gs h o w st h a tt h e r ea l ed y n a m i cp h e n o m e n as u c ha sd o u b l i n g - p e r i o d b i f u r c a t i o n , o c c a s i o n a lc h a o t i cm o t i o nt h r o u g ht h es p e c i a lp a r a m e t e r si nt h es y s t e m sa n d t h ep a r a m e t e r sc o r r e s p o n d i n gt ot h ec h a o t i cm o t i o nh a v ef a r g o i n gr a n g e f i n a l l y , t h e p r i m a r yw o r ko ft h i s t e x th a sb e e nc o n c l u d e d , a n dt h ep r o b l e me x i s t e da n dt h e d e v e l o p m e n t t r e n do ff u t u r ew o r kh a v e b e e n p o i n t e do u l k e yw o r d s ：n o n l i n e a rd y n a m i c s ，g a sj o u r n a lb e a r i n g s ，h i g h - s p e e dr o t o r , r i g i dr o t o r , f l e x i b l er o t o r , b i f u r c a t i o n ，c h a o s 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学位保留并向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电子 版，允许论文被查阅和借阅。本人授权江苏大学可以将本学位论文 的全部内容或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 缩印或扫描等复制手段保存和汇编本学位论文。 本学位论文属于 保密口，在年解密后适用本授权书。 不保密 学位论文作者签名：猫欲梅 研年肛月1 ，? 曰 指导教师签名：占* 彳参冬j 加1 针月f 7 日 独创性声明 本人郑重声明：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下， 独立进行研究工作所取得的成果。除文中已注明引用的内容以外， 本论文不包含任何其它个人或集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学位论文作者签名：动镌梅 日期：加7 年2 月j ( 7 日 江苏大学硕士学位论文 第一章绪论 1 1非线性转子动力学的研究现状 转子是扰度限制在很窄范围内活动的绕定轴转动的弹性体，大型旋转机械多 以转子作为工作主体，因此研究转子系统的动力学行为对社会生活和经济发展具 有重要意义。由于旋转机械系统各种异常振动的存在，常常引发灾难性的事故， 人们逐渐认识到必须用非线性理论来分析。应用非线性动力学理论研究转子系统 的非线性动力学行为成为非线性转子动力学的主要研究内容。 在国防科技、兵工等领域，旋转机械有着广泛的应用。基于线性转子系统的 动力学理论的数学模型不能够解决许多非线性因素引起的诸如高速转子等的动 力学行为，因此迫切需要建立转子系统的非线性动力学理论来揭示系统中存在的 各种非线性动力学行为并提出转子系统的非线性设计方法。研究旋转机械中各种 实际问题，这对提高旋转机械运行的稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意 义和实际工程背景。如何保证转子系统在非线性激励下仍具有良好的动力学性 态，需要在非线性动力学理论的基础上，研究转子动力学中非线性振动问题，分 析解决各类实际问题。 随着非线性转子动力学的发展，国内外很多学者对非线性转子动力学研究的 文献涌现不断，大量的研究成果使非线性转子动力学面貌一新。徐小峰、张文等 【1 1 研究了非线性油膜力作用下刚性转子的分岔与混沌行为。孙保苍、周传荣等f 2 1 在给出新的油膜力模型的基础上，用数值方法分析了刚性j e f f c o t t 转子的复杂动 力学行为。郑吉兵、孟光等3 ，4 1 考虑了非线性涡动的裂纹转子，用数值方法找到 了通向混沌的道路。王立平等f 5 1 分析了带有轴承间隙的裂纹转子的分岔与混沌 特性。丁千、陈予恕f 6 ，7 1 研究了非线性转子密封系统低频失稳机理；张宇、陈 予恕f 8 1 研究了转子轴承基础的非线性动力学行为，用中心流形定理给出了系统 的分岔方程。这类文献中关于转定子碰磨过程中的分岔与混沌的研究则不多见， e h r i c h 9 ，1 0 1 用双线性振子模拟转定子之间存在的非对称径向间隙产生的局部碰 磨过程，用数值方法研究了转子在不平衡激励下的次谐波、超谐波和混沌响应； g o l d m a n 1 l ，1 2 1 研究了转定子接触、压缩和恢复过程，将描述接触区间的参数和 整个转子的参数相联系，同时考虑了径向冲击和切向冲击多转子的影响； 江苏大学硕士学位论文 m u s z y n s k a a 1 3 在对碰磨转子的研究中，找到了二、三、四阶亚谐响应；c h uf 、 z h a n gz 1 4 ，1 5 用数值方法研究了碰磨转子的分岔与混沌特性；孙政策、徐健学 等f 1 6 1 从经典碰撞理论出发，建立了具有广泛应用前景的碰磨力模型，用数值方 法研究了该模型的分岔与混沌特性；刘献栋等 1 7 ，1 8 】建立了考虑定子本身刚度不 对中质量偏心转子碰磨的动力学方程，选取不同的分岔参数，对该模型进行了分 岔与混沌分析。丁千、陈予恕 1 9 研究了柔性单盘挤压油膜阻尼器转子系统的非 稳态碰磨运动，用数值方法分析了在各种系统参数下，系统的非稳态运动；丁千、 陈予恕 2 0 研究了弹性转子滑动轴承系统的稳定性，并用数值方法找到了系统 的倍周期分岔、准周期运动和混沌运动。袁惠群、闻邦椿等 2 1 用中心流形定理 研究了碰磨转子的局部分岔，并用数值方法找到了系统的倍周期分岔、准周期运 动和混沌运动。岳国金、王德友 2 2 ，2 3 用数值方法研究了转静件碰磨时单盘转 子系统随转速变化引起的分岔与混沌行为。杨志永 2 4 用数值方法研究了高速自 动静电喷漆涡轮转子系统随转速、质量偏心和姿态角等特性参数变化引起的分岔 与混沌行为。 1 2 本课题的提出及研究的目的和意义 旋转机械这类设备常常由于出现各种不同的故障而影响其正常和有效的运 行。由于转子系统所出现的故障多数属于非线性的范畴，对它的研究还存在一定 难度。非线性动力系统由于其动力特性的复杂性，通常需要进行长时间的动力行 为分析。一般来说，对于非线性动力学问题很难求得其精确解，以往对于非线性 动力系统的研究，仅仅采用小参数法、平均法、多尺度法等经典的非线性振动理 论来求其足够精确的近似解，其前提是系统的参数保持不变。但是在实际问题中， 动力系统的参数往往会发生一些微小的变化，实际表明，这些变化有时候会引起 系统的运动特性发生本质的变化，系统往往会发生分岔与混沌等非线性动力学行 为，此时无法再使用线性理论和经典的非线性振动理论来研究这些变化因素对系 统动态行为的影响，而需要采用现代非线性动力学分岔理论对其进行分析和研 究。因此必须在非线性动力学理论研究的基础上，将转子轴承系统看成一个整 体系统，采用非线性动力学理论和方法对整体系统进行分析和研究，以此来揭示 系统存在的各种非线性动力学行为。提出转子轴承系统的非线性动力学理论及 2 江苏大学硕士学位论文 设计方法，分析研究旋转机械中存在的各种实际问题，这对提高旋转机械运行的 稳定性、安全性、可靠性具有重要的现实意义和实际工程背景。应用非线性动力 学理论研究转子一轴承系统的非线性动力学行为及有关问题已成为非线性转子 动力学的主要研究内容。 本文在阅读大量相关科技文献的基础上，以现代非线性动力学理论和转子动 力学理论为基础，研究了气浮轴承支持的高速刚性转子轴承系统模型以及高速 弹性转子轴承系统模型，利用数值积分方法对这两个数学模型进行数值模拟， 以此来研究系统响应随着转子转速和质量偏心等特性参数等的变化，出现的分岔 和混沌现象。 1 3 本课题的研究概况 从十九世纪开始，g h i m 首次提出了空气作为润滑剂的可能，此后，气体润 滑技术得到进一步发展，在此基础上，a k i n s b c t y 研制了一种气体润滑径向轴承， 1 9 1 3 年，英国的w j h a r r i s o n 在保留连续方程密度项的同时，在等温假设条件下 导出了可压缩的r e y n o l d s 方程，并给出了无限长气体滑块和轴颈轴承r e y n o l d s 方程的解，为气体动压润滑奠定了基础，在实验研究上，1 9 3 2 年美国在陀螺仪 上第一次进行了气体轴承的实验。 在近代，j w l u n d 采用一阶摄动法求解了小偏心率下的气体雷诺方程，然后 用数值积分方法得出轴承承载力。随后又用线性化方法对气体动静压混合润滑轴 承进行了稳定性和气锤振动分析。 j w p a w e l l 在动静压效应分别提供承载力的基础上，使用矢量合成法给出了 混合轴颈轴承的承载力和姿态角。 赵荣珍采用试验模态分析法对高速转子轴承系统的稳定性进行了分析。 该分析方法是将一脉冲力激励转子系统的同时，同步采集系统的响应信息，并根 据响应信息中含有的振动信号，用对数衰减率判定了转子系统的稳定性。 p g n i l o l a k o p o u l o s 在轴颈与轴承中心不重合的情况下用l y a p u n o v 直接方法 来求转子轴承系统的稳定性条件。而非传统的特征值分析方法，即用动力学 系数来表示系统的稳定性条件，最后通过文中所得的研究结果与试验结果相比较 表明，二者可很好地吻合。 3 江苏大学硕士学位论文 王正提出一种将机架对转子的影响通过机架阻抗反映出来的转子一轴承一 机架系统对质量不平衡响应的计算方法。该方法对转子尽可能精确的一致质量模 型来建立其运动微分方程，而轴承座和机架子系统对转子的影响通过机械阻抗耦 合进入转子运动微分方程，其中机械阻抗可由实测或计算获得。 n e n z iw a n g 提出了一种等温、可压缩条件下雷诺方程的计算方法，并针对一 类气体轴承进行了分析。 s a t o k 介绍了一种新型的动压式无限强度气体轴承，它是一种圆形动压止推 轴承，实验结果和分析数据显示这种轴承有无限大的强度。 1 4 本文的主要研究内容 本论文研究了气浮轴承支持的高速刚性转子系统模型，用数值模拟的方法对 该系统进行了描述，作出了系统响应的相图、p o i n c a r e 截面图、幅值谱图、分岔 图，分析了系统响应随转速、质量偏心等特性参数等变化而出现的复杂的非线性 动力学现象。同时研究了气浮轴承支持的高速弹性转子系统模型，同样给出数值 模拟图的结果，该结果显示系统中存在周期以及混沌运动等非线性动力学现象。 论文的安排如下： 第一章绪论 本章阐述了非线性转子动力学的研究现状，本课题的提出及研究的目的和 意义，本课题研究的概况，简要介绍了本论文研究的主要内容。 第二章非线性动力系统理论基础 这章主要介绍了现代非线性动力学的理论，包括分岔理论、混沌理论以及 非线性方程的主要研究方法。、 第三章气浮轴承支持的高速刚性转子系统的动力学行为分析 这一章建立了气浮轴承支持的高速刚性转子模型，运用r u n g e k u t t a 法求解 所研究的转子系统的运动微分方程，分析了系统在稳态解处的非线性动力学行 为，作出了系统随转子转速、质量偏心等参数变化下的相图、p o i n c a r e 截面图， 幅值谱图和分岔图等数值模拟图像。 第四章气浮轴承支持的高速弹性转子系统的动力学行为分析 此章在上述模型的基础上，建立了气浮轴承支持的高速弹性转子模型，运用 4 江苏大学硕士学位论文 r u n g e k u t t a 法求解该系统的运动微分方程，研究了系统在稳态解处的非线性动 力学现象，作出了系统随转子转速等参数变化下的相图、p o i n c a r e 截面图，幅值 谱图、时间序列和分岔图。 第五章结束语 这章归纳了本论文的研究工作，并指出了有待解决的问题。 5 江苏大学硕士学位论文 第二章非线性动力系统理论基础 非线性动力学中复杂性现象的发现及分岔和混沌理论的建立，是当代基础 科学的重大成就之一，它使非线性科学有了可靠的理论保证，并广泛应用于振 动、自动控制等部门非线性问题的研究，对经典力学、物理学、固体力学、流 体力学、生态学和生物医学，乃至一些社会科学部门的研究和发展都产生深远 的影响。同时，科学实践的进一步深化反过来又促进了非线性动力学理论的纵 深发展。 本章简要介绍了非线性动力系统理论中的分岔理论、混沌理论以及常用的分 析方法，是以后章节的理论基础。 2 1 分岔理论概述 分岔是当非线性动力系统的参数在某临界值发生微小变化时，系统的定性性 质发生“质变 的一种现象，该临界参数称为系统的分岔点。分岔不仅提示了系 统的不同运动状态之间的联系和转化，而且与失稳和混沌密切相关。 2 1 1分岔定义 设区域u 尺“，y r “，考虑如下的含参数口的疗阶连续动力系统： 戈= 厂似 ( 2 1 1 ) 其中口r m ，称x u r ”为状态变量，口一( q ，吃，) rf f vc _ r ”称为分岔参数。 定义2 1 1 当参数口连续变化时，系统( 2 1 1 ) 的拓扑结构在处发生突变， 则称系统( 2 1 1 ) 在口- 处出现分岔。并称为分岔点。 定义2 1 2 在 ，叻空间中画出系统( 2 1 1 ) 的极限集( 平衡点、极限环等) 随参数口变化的图形称为分岔图。 分岔问题可以分为静态分岔、动态分岔，也可以按局部分岔和全局分岔来分 类。静态分岔是指系统的平衡状态数目和稳定性的变化，动态分岔是指系统在相 空间中相轨迹定性性质的变化，它与动力系统理论、结构稳定性概念密切相关。 动力系统的拓扑结构由轨线、平衡点、闭轨、极限集和非游荡集来表征，其结构 6 江苏大学硕士学位论文 稳定性意味着在小扰动下保持拓扑等价，这可以是指整个向量场的结构稳定，也 可以是指某不动点附近的局部结构稳定性的否定。这里系统的小扰动概念通常是 在参数空间的领域内来描述的。动态分岔是对结构稳定性的否定，即总存在一个 小扰动与原拓扑结构不等价。局部分岔是研究平衡状态或相轨线附近拓扑结构的 变化，而全局分岔是研究系统大范围内拓扑结构的变化。 静态分岔可以分为平衡点的鞍结分岔、跨临界分岔、叉式分岔等等。动态分 岔可以分为霍普分岔、闭轨分岔、环面分岔、同宿或异宿分岔等等。局部分岔有 鞍结分岔、霍普分岔等。全局分岔的例子是大范围内出现同宿轨道和异宿轨道。 一般分岔问题的求解，包括维数的约化和形式的化简两个方面，为此发展有 中心流形理论，l i a p u n o v s c h m i d t 方法，奇异性理论和规范形方法等。 2 1 2 分岔理论的研究方法 定理2 1 3 设点( x o ，a o ) u j 使得f ( x o ，a o ) 10 ，在点，) 附近，厂对x 可 微，且厂似口) ，见厂 ，口) 对x ，口连续，若点( x o ，a o ) 是厂的静态分岔点，则皿厂( x 9 口) 奇异。 有时我们也将( x o ，) 称为向量场，( x ，的奇异点，由定理2 1 3 的条件可以 求出方程的奇异点，它们也就是可能产生静态分岔的分岔点。如果需要确定这些 分岔点可以采用以下方法： 1 l s 约化方法 l s 约化方法是李雅普诺夫施密特约化方法的简称，用于研究非线性方程时 降低方程维数的方法。其主要思想是将状态空间表示成两个子空间的直和，并将 方程投影到这两个子空间上，得到两个方程，其中一个由隐函数定理知它总有唯 一解，于是原方程就转到一个低维方程的求解问题。 2 中心流形定理 为研究局部分岔的稳定性，需分析非双曲平衡点附近流的结构，但这种结构 通常是很复杂的，用中心流形定理降阶是研究这种结构的有效方法。 定理2 1 4 中心流形定理 设uc 尺“是包含原点的开集，厂e c 7 ，r “) ，使厂( 0 ) = 0 ，对矩阵a = 巧( 0 ) 7 江苏大学硕士学位论文 的特征值作如下分解名一以u 屯u 丸，相应特征子空间为e 5 ，e “，e 。，则系统存 在过0 掣分别与空间e 。，e “，e 。相切的c 7 流形5 ，“，。，这些流形都是局部 不变的，且流形。，”是唯一的。 3 奇异性理论 函数的奇异性理论是从二十世纪六十年代中期发展起来的，它使我们能用统 一确定的方法来处理不同的静态分岔问题。奇异性理论在研究分岔时主要包括三 方面：识别问题，开折问题和分类问题。 研究复杂非线性微分方程时，将其变换到较简单的形式是有利于分岔问题的 求解，通常采用规范型理论，其基本概念和计算方法如下： 考虑自治微分方程 戈t 厂x e r “ ( 2 1 2 ) 设，( 功足够光滑且f ( o ) = 0 ，这时可以通过一系列坐标变换使其在，的泰勒展开 式中直到，次的项都具有较简单的形式，其结论由以下定理给出： 定理2 1 。5 设厂( 砷是c 7r 2 ) 向量场，厂( 0 ) = o ，l = d ，( 0 ) ，则在原点附近 存在一个坐标的，次多项式变换，使其在新坐标系下，方程的规范型为： 夕= 印+ 9 2 ( y ) + + g ， y ) + o l y l l 7 ) ( 2 1 3 ) 其中磷o - 2 r ) 是从r “到掣的所有f 次齐次多项式组成的向量空间。 在平衡点附近，原系统与其规范型的拓扑结构并非完全相同。尽管如此，大 量研究表明：阶数不太高的规范型通常已能提供原系统的定性性质。因此，规范 形理论是研究分岔问题的重要手段。 2 2 混沌理论概述 混沌是非线性系统特有的一种运动形式，是产生于确定性系统的敏感依赖于 初始条件的往复性稳态非周期运动，类似于随机振动而具有长期不可预测性。 2 2 1 混沌定义 定义2 2 1设，为一集合，g ：i 专i ，如果g 满足： 8 江苏大学硕士学位论文 ( 1 ) g 对初始敏感依赖 ( 2 ) g 是拓扑传递的 ( 3 ) 周期点在j 上稠密 则称g 在，上是混沌的。 上述定义说明混沌系统的三大特征：( 1 ) 隶属于确定性系统又难以预测；( 2 ) 隐含于复杂系统又不可分解；( 3 ) 貌似无序确有规律。 混沌的基本特征是具有对初始条件的敏感性，即初始值的微小差别经过一定 时间后可导致系统运动过程的显著差别。这种对初始条件的敏感依赖性称为初态 敏感性。 混沌还必须是往复的稳态非周期性运动，这是非线性系统的又一特征。在无 限时间历程中，确定性线性系统的非周期运动( 即周期运动、准周期运动和拟周 期运动之外的运动) 都不是往复的稳态运动。如强阻尼线性振动趋于静止，而无 阻尼线性受迫振子共振时的运动发散到无穷。非线性系统则不同，它可能存在往 复但非周期性的运动。混沌的这种往复的非周期运动看上去似乎无任何规律可 循，完全类似于随机噪声，而且采用传统的相关分析和谱分析等信号处理技术也 无法将混沌信号与真正的随机信号区分。值得注意的是，这种类似随机的过程产 生于完全确定性的系统。因此混沌具有内禀随机性。 混沌的另一特征是长期预测的不可能性，这又有别于完全不可预测的真正随 机过程。现实中的任何物理量都只能以有限精度被量测，无穷高精度在物理世界 中是不存在的。因此在初值中存在着不确定因素。可以认为，具有初态敏感性的 系统对于初值误差的作用不断进行放大。随着时间的流逝，初始条件中的不确定 因素起着越来越大的作用。一段时间以后决定运动的已不是初始条件中以有限精 度给定的部分，而是在精度范围之外无法确定而又必然存在的误差，运动的预测 便成为不可能了。由于初态敏感性而具有的不可长期预测性，被形象地称为蝴蝶 效应。 2 2 2 混沌理论的研究方法 判断或预测混沌出现的方法有多种多样，如数值方法，谱分析方法，p o i n c a r e 映射方法，l y a p t m o v 指数方法，胞映射方法，符号动力系统方法等等。由于目 前人们对混沌尚未取得共识，而且有时不同方法所得结论也有所差别，因此在这 9 江苏大学硕士学位论文 方面有待于进一步研究。 目前判断或预见混沌的主要方法有： ( 1 ) 利用数值方法结果观察运动轨迹和奇怪吸引子结构的不规则性； ( 2 ) 利用数值方法得到功率谱，出现连续谱线； ( 3 ) 利用p o i n c a r e 映射，将连续动力系统转化为离散动力系统加以研究， 如果p o i n c a r e 映射呈现具有分形结构云状图； ( 4 ) l y a p u n o v 指数是衡量系统运动对初值敏感程度的量，一般需要用数值 方法计算，系统有几维就有几个l y a p u n o v 指数，其中最大l y a p u n o v 指数大于零 可以作为系统进入混沌的重要判据； ( 5 ) 具有分维数的吸引子也是判定混沌的重要特征； ( 6 ) 测度熵或拓扑熵是衡量系统信息量在运动中的变化量，如果测度熵或 拓扑熵大于零，则认为系统是混沌的； ( 7 ) 通过计算m e l n i k o v 函数出现简单零点，判断稳定流形是否与不稳定流 形横截相交，从而出现s m a l e 马蹄意义下的混沌，但要注意这是系统出现混沌的 必要非充分条件。 ( 8 ) 符号动力系统是研究混沌的严格方法，它也可以通过数值计算实现， 其根据位移不变集的存在去判定系统的混沌。 ( 9 ) k a m 定理指出，在非共振条件下，近可积h a m i l t o n 系统运动的定性 图象与未扰系统基本相同，除少数的随机运动外，大多数运动依然留在k a m 环 面上，当k a m 环面定理条件不满足时，k a m 环面破裂可导致混沌。 ( 1 0 ) 胞映射方法在动态分岔和混沌研究中是一种有效方法，简单胞映射是 1 9 8 0 年由徐皆苏首先提出，1 9 9 4 年国内学者江俊、徐健学提出了胞参照点映射 方法。这两种方法在工程学科中获得了广泛的应用。 2 3 非线性方程的主要研究方法 目前，研究非线性常微分方程的主要方法有三种：定性方法、近似方法和数 值方法。 1 定性方法 在不求解非线性常微分方程的基础上，揭示其定性性态，如解的存在性、唯 1 0 江苏大学硕士学位论文 一性、渐近行为、局部分岔和全局分岔行为等。 2 近似方法 近似方法主要有：摄动法( 小参数法) 、平均法( k b 法) 、k b m 法( 渐近 法) 和多尺度法等，近似方法中解的表述是显式的，便于分析参数的影响，但是 难以获得高精度的解。 3 数值方法 数值方法目前己广泛用于非线性振动系统的研究，是一种求解非线性方程的 有效方法，典型的数值方法有：分岔图、相图、p o i n c a r e 截面、时间历程和功率 谱图等。 2 3 1 分岔图 分岔图是以状态变量和分岔参数构成的图形空间，表示状态变量随分岔参数 变化的规律。选取系统中一个连续变化的参数作为横坐标，取对应于每一参数值 的系统响应的p o i n c a r e 截面为纵坐标，即可绘制出相应的分岔图。通过分岔图可 以得到系统响应的周期运动、拟周期运动及混沌运动所对应的参数区间，在一定 程度上可用于判定通向混沌的道路，但分岔图不能区分混沌运动和拟周期运动。 2 3 2 相图 对于n 维常微分方程表示的动力系统，相图是系统的解曲线在相空问的投 影。对于确定性运动的定常运动状态，只有3 种情况：静止状态，周期运动状态 和拟周期运动状态。在相图上表现为，经过一定长时间以后，周期1 或周期k 运 动对应于1 条或k 条连续的封闭曲线。但相图往往不能区分随机运动和混沌运动 及拟周期运动。 2 3 3p o i n c a r e 截面 连续系统的p o i n c a r e 截面可以表示系统相轨线的拓扑性质。p o i n c a r e 截面上 的孤立点或有限个孤立点、闭曲线和分布在一定区域上的不可数点集分别表示 系统响应的周期或周期k 运动，拟周期运动和混沌运动。对于p o i n c a r e 截面图， 每隔一个周期提取系统响应的位移和速度值，分别作为横纵坐标，得至t j p o i n c a r e 截面上的一个点。如果系统响应为周期解，相应的p o i n c a r e 图为孤立的点。当系 统响应作严格的同步周期运动时，p o i n c a r e 截面上的所有点均重合为一个点；当 1 1 江苏大学硕士学位论文 系统响应作周期k 运动时，p o i n c a r e 图上为k 个孤立的点，周期数与孤立点数一致； 当系统作拟周期运动时，p o i n c a r e 图呈现为封闭曲线；当系统响应为混沌运动时， p o i n c a r e 截面图可能呈现为分散性堆积的散点图，也可能呈现类似云图状的复杂 图形。 2 3 4 时间历程 用数值方法将方程的解随时间演化的过程描述出来，就是混沌运动的时间历 程。时间历程可以清楚地反映系统响应随时间变化的规律。由于混沌运动具有局 部不稳定和整体稳定的特征，因此对于任意初值都可以得到几乎完全相同的长时 间定常运动状态的行为。但时间历程并不能区分随机运动和混沌运动。 2 3 5 功率谱法 谱分析是研究混沌运动的一个重要手段。根据f o u r i e r 分析，任何一个周期 为t 的周期运动x ( t ) 都可展成f o u r i e r 级数，其在频谱图上表现为离散的分立谱 线。而对于任何非周期运动的时间函数x ( t ) ，只能展为f o u r i e r 积分，其在频谱 图上呈现为连续的谱线。对于混沌运动，因其具有内在随机性，其频谱是连续的。 因此功率谱图可以区分混沌运动和拟周期运动。 江苏大学硕士学位论文 第三章气浮轴承支持的高速刚性转子系统 动力学行为分析 本章首先根据实际情况对流体力学连续性方程和运动方程进行简化，进而得 到了动态承载力，在此基础上，得到了对气浮轴承高速刚性转子系统进行了动力 学建模。 3 1 气浮轴承支持的高速刚性转子系统的动力学模型 俘 、 ，夕 渤j | | ) 图3 1 i气浮轴承高速刚性转子模型及受力简图 气浮轴承高速刚性转子模型及受力简图如图3 1 1 所示。气浮轴承正常运转 对整个设备的正常工作起决定性作用。为推导方便，对运转过程中的气浮轴承高 速刚性转子作如下基本假设： ( 1 ) 转子轴承为长轴。 ( 2 ) 与气膜厚度相比较，轴承表面的曲率半径很大，忽略气膜曲率的影响， 并用平移速度代替其转动速度。 ( 3 ) 在沿润滑膜厚度方向上，不计压力的变化；气体在界面上无滑动，即 贴于界面的气体速度与界面速度相同。 ( 4 ) 气体流动为层流且气体具有不可压缩性。 设刚性转子气浮轴承满足上述假设条件，转子的质量为m ，q 为轴颈的旋转 1 3 江苏大学硕士学位论文 速度，转于是竖 吸嗣，j l u 征枉坐杯糸卜，兵流体力字基本万程为 连续性方程：誓+ 1 0 u _ _ 2 _ e + 誓+ 生：0 ( 3 1 1 ) 劣ro r宓， 运动方程：c 警m 警+ 等等心誓一争= p 吒，一等 州等专等+ 专等+ 争+ 吾鲁一( 3 1 2 a ， 磅+ 坼警+ 等等+ 叱鲁一争= p 一等 + 学+ 吾等+ 专鲁+ 争+ 吾等一尹u o ( 3 1 2 b ， p c 鲁叫警+ 等斋心警，= p 一警 圳争弓警+ 专斋+ 可c a 2 u z ) ( 3 1 2c ) + ( 萨+ 7 i + 7 万+ 可) ( 3 1 2 c ) 式中，幺z 分别表示各柱坐标分量，岛p 分别表示流体的密度和压强，表示 动力粘性系数，u r ，“；分别表示流体沿各柱坐标的速度分量，匕分别 表示质量力沿柱坐标的分量。 针对高速转子轴短而粗，轴承相对轴颈较长，轴承与轴颈间间隙较小，及单 轴承支承等特点。对偏心转子和轴承中的气体可认为：( 1 ) 由于假设轴承z 向无 限长，故气体在其中可以认为是二维运动，i i l ju , 一0 ，且所有物理量对z 的偏导 数均为零。( 2 ) 由于气膜厚度万很小，可近似认为坼一0 。则运动方程可简化为： 一譬= 一吉望o r 一垩r 盟0 0 ( 3 1 3a )一= “ i _ al 广 p 等等= 一吉等+ y ( + 7 1i o u o + 7 1 万0 2 u o 一尹u o ( 3 1 3 b ， 一一l _ o p ：0( 3 1 3c ) p 宓 式中，y 为运动粘性系数，且有“：p y 。 1 4 江苏大学硕士学位论文 对( 3 1 3 a 一- - 3 c ) 各项作量级分析，略去高阶小量，可对其进一步简化为： 一8 p ，0 a ， 1o p a 2 7 历2 萨 望o a z 对于式( 3 1 1 ) ，因与盟相比， 此可将连续性方程简化为： ( 3 1 4a ) ( 3 1 4b ) ( 3 1 4c ) 生为高阶小量，且z 向运动速度为零，故由 ， 丝+ ! 盟：0( 3 1 5 ) 对轴承介质运动和连续性方程各参量，因为艿非常小，故对式中参量，可认 为是，一r o 。设刁一r - r o ，故式( 3 1 4 b ) 可化为： 三望：舆 ( 3 1 6 1 ) 一r o 一0 0 叫蒂 婚 式中，为轴颈半径。 设轴颈中心d 的周向和径向扰动速度分别为口，u 。，则气体流场在轴径上 的边界条件为： ，7 = 0 ： = d r + u o 口c o s 0 一u o ，s i n o = 瓦 u r = u o 口s i n o + u o ，c o s 0 = 霉 r = 8 ：一0 h ，一0 式中，q 为轴径的旋转速度，乃、巧分别表示轴颈表面任一点速度在周向和径 向的分量，其中，“一矽，u o ，一一吾，p 为偏心量。 对式( 3 1 6 ) 进行积分并结合边界条件得： u o ：1 鲨7 ( 7 7 一万) + 掣 ( 3 1 7 ) 2 z , r o - y o 7 【7 7 6 ) + 3 1 7 ) 进而由连续性条件得到： 江苏大学硕士学位论文 一d p ：6 。r o ( 广d - 8 0 ) 乃 (318)do 6 1 o 令矾- r 一，占2 瓦e ，对此式积分且由条件局。b z 石解出： 肚+ 警蔗器， ， 若不考虑轴心扰动，对( 3 1 9 ) 进行积分并化简得到气浮轴承径向承载力 为( 周向承载力较小可略去) ： n f p s i n o d o 2警上(2+0p2)lx1-e2 若考虑轴心扰动，则气浮轴承在径向和周向方向的承载力为： f = 6 p r o l l ( 爿r o 。) 2 ( n - 2 t b ) e 1 + 2 9 易】 c 3 圳， 弓= 6 三( 蔷 2 c 一2 驴，岛+ 2 叠日， ( 3 工1 1 ， 舯， 巨= 高 岛= 士( 1 - - 6 2 ) 丽8 f 昭 岛2 石习石百( 1 一s 2 ) 2 ( 2 + s 2 ) 。 抬 出42 ( 1 - e 2 x 2 + 9 2 ) 由图3 1 1 可知气动轴承水平分量和铅直分量与极坐标间的变换