（机械电子工程专业论文）一种倾斜入射扫描的ct重建算法研究.pdf

中北大学学位论文 一种倾斜入射扫描的c t 重建算法研究 摘要 扁平构件在工业生产中应用十分广泛，它的几何特点是其长宽可能有几米甚至几十 米，而厚度仅有几厘米到几十厘米。因此针对扁平构件实施c t 重建具有重要的现实意 义。 由于扁平构件的特点为厚度( 高度) 尺寸远小于另外两个方向的尺寸。采用常规 的投影方式对扁平构件进行c t 扫描时无法获取完整的投影数据，采用该方法对扁平构 件不易实现。因此本文采取射线源发出的主射束与物体的旋转轴成非9 0 。的倾角1 2 ，面 阵探测器与物体的旋转轴垂直，采用被测物体与面阵探测器不动，而射线源绕旋转轴旋 转时采集物体的二维投影，根据二维投影研究三维重建算法，我们将其称之为非常规 c t 的技术方案。 本文的研究重点放在非常规c t 扫描方式下滤波反投影重建算法，研究计算机仿真 下的非常规c t 的滤波反投影重建算法实现步骤。研究非常规扫描方式下的以椭球体和 圆柱体为基础的平行束和锥束仿真投影算法，进而计算出两种扫描方式下的反投影地址 计算公式，实现计算机仿真下实现非常规c t 滤波反投影重建算法。并对算法实现过程 中的入射角度选择、插值问题和卷积函数的分解、离散化和选择等方面遇到的问题提出 解决方法，最后通过对比平行束和锥束入射方式下的直接加权反投影重建和滤波反投影 重建结果，分析滤波器、入射角度、投影幅数对重建结果的影响。 关键词：工业c t ，三维图像重建，滤波反投影 中北大学学位论文 s t u d y o nc tr e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m b a s e do nas o r to f s c a n n i n g w i t ho b l i q u ei n c i d e n c e j i ny o n g ，w a n g h u a ，w a n g z h a o b a a b s t r a c t i n d u s t r i a l p i e c e w i t h l a r g e a n df l a ts i z ei s w i d e l yu s e d i ni n d u s t r i a l p r o d u c t i o n i t s g e o m e t r i cf e a t u r ei s t h a ti t sw i d t ha n dl e n g t hc a l lr e a c hf r o maf e wm e t e r st oe v e ns e v e r a l d e c a d a lm e t e r s h o w e v e r , i t st h i c k n e s si s o n l yf r o ma f e wc e n t i m e t e rt os e v e r a ld e c a d a l c e n t i m e t e r a sar e s u l t ，c tr e c o n s t r u c t i o nd i r e c t e dt o w a r di n d u s t r i a lp i e c ew i t hl a r g ea n df l a t s i z eh a s g r e a tp r a c t i c a li m p o r t a n c e b e c a u s et h et h i c k n e s so rh e i g h to ft h ei n d u s t r i a lp i e c ew i t hl a r g ea n df l a ts i z ei sf a r s m a l l e rt h a nt h es i z eo ft h eo t h e rt w od i r e c t i o n s ，i ti s i m p o s s i b l e t oo b t a i nt h ec o m p l e t e p r o j e c t i n gd a t aw h e n t h ei n d u s t r i a lp i e c ew i t hl a r g ea n df i a ts i z ei ss c a n n e db yu s i n gn o r m a l p r o j e c t i n gm a n n e r f o ri n d u s t r i a lp i e c ew i t hl a r g ea n df l a ts i z e ，t h en o r m a lc td e t e c t i n g m e t h o di sn o ta v a i l a b l e s oi nt h i sa r t i c l eak i n do fm e t l l o dw h i c hi sc a l l e du n c o n v e n t i o n a lc t t e c h n o l o g yi sp r e s e n t e d t h a tm e a n s t h er a k ea n g l eab e t w e e nm a i nb e a mw h i c hc o m e sf r o m r a d i o g r a p h i cs o u r c ea n dr o t a t i o na x i so ft h eo b j e c ti sn o t9 0 。m e a n w h i l e t h ep l a n ea r r a y d e t e c t o ri sv e r t i c a lt ot h er o t a t i o na x i so ft h eo b j e c t w h e nd e t e c t i n g ，t h ed e t e c t e dp i e c ea n d t h ep l a n ea r r a yd e t e c t o ri ss t a t i o n a r y t h et w o - d i m e n s i o n p r o j e c t i n gd a t a o ft h ed e t e c t e d p i e c e i so b t a i n e dw h e nt h e r a d i o g r a p h i c s o u r c e t h r e e d i m e n s i o nr e c o n s t r u c t i o n a l g o r i t h m i s p r o j e c t i n gd a t aa b o v e r o t a t ea r o u n dt h er o t a t i o na x i s ，t h e nt h e e x p l o r e da c c o r d i n g t ot h et w o d i m e n s i o n t h er e s e a r c hi sc o n c e n t r a t e do nt h ef i l t e r b a c k p r o j e c t i o nr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h m u s i n gu n c o n v e n t i o n a lc ts c a n n i n gm a n n e ra n ds t u d y i n gt h ei m p l e m e n t a t i o np r o c e d u r eo ft h e a b o v er e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mb a s e do nc o m p u t e rs i m u l a t i o n t h ep r o j e c t i o na l g o r i t h mo f 中北人学学位论文 p a r a l l e lb e a m a n dc o n i c a lb e a mw h i c hi sb a s e do ne l l i p s o i da n dc y l i n d e rp r o j e c t i o na l g o r i t h m u n d e rt h ec o n d i t i o no fu n c o n v e n t i o n a ls c a n n i n gi ss t u d i e d t h e nt h ec a l c u l a t i n gf o r m u l ao f b a c k p r o j e c t i o na d d r e s si so b t a i n e du n d e r s u c hs c a n n i n gm o d e f o l l o w i n gt h eu n c o n v e n t i o n a l c tf i l t e rb a c k p r o j e c t i o na l g o r i t h mi nt h em o d eo fc o m p u t e rs i m u l a t i n gi sr e a l i z e d i nt h e p r o c e s so fr e a l i z i n ga l g o r i t h m ，t h ep r o b l e m s o l v i n gm e t h o d s o ft h ef o l l o w i n gq u e s t i o n s s u c h a st h es e l e c t i o no fi n c i d e n c e ，i n t e r p o l a t i o na n dd e c o m p o s i t i o n ，d i s c r e t i z a t i o no rs e l e c t i o no f t h ec o n v o l u t i o n a lf u n c t i o na r e p r e s e n t e d m e a n w h i l e ，t h e r e s u l t so fd i r e c t l y w e i g h t e d b a c k p r o j e c t i o nr e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h ma r ec o m p a r e dw i t ht h a to f t h ef i l t e rb a c k - p r o j e c t i o n r e c o n s t r u c t i o na l g o r i t h mb o t hu n d e rt h ei n c i d e n tc o n d i t i o no f p a r a l l e lb e a m a n dc o n i c a lb e a m f i n a l l y ，t h ee f f e c to f d i f f e r e n tf i l t e r ，i n c i d e n ta n g l ea n dp r o j e c t i o nn u m b e ro nr e c o n s t r u c t i o n r e s u l ta r ea n a l y z e d k e y w o r d s ：i n d u s t r i a lc t ，t h r e e d i m e n s i o nr e c o n s t r u c t i o n ，f i l t e rb a c k - p r o j e c t i o n 中北大学学位论文 本人声明 我声明，本论文及其研究工作是由本人在导师指导下独立完成的，在完成论文时所 利用的切资料均已在参考文献中列出。 作者：金永 日期：巫年l 月监日 中北大学学位论文 1 1 本文研究背景及意义 第一章引言 中北大学学位论文 1 、在给定的常规c t 扫描系统中，由于扁平构件存某个方向的尺寸较大，无法在射 线源和探测器之间有限的空间内旋转，从而无法采集扁平构件0 3 6 0 0 角度范围内的投 影： 2 、在给定的射线源能量下，旋转扁平构件采集投影时，在尺寸较小的厚度( 高度) 方向上x 射线较容易穿透，面在尺寸较大的长或宽方向上有可能穿不透，造成该方向附 近投影数据截止；如果采用高能x 射线，使x 射线穿透扁平构件尺寸较大的方向，然 而在尺寸较小的方向透射线又非常大，会使探测器饱和，同样得不到正确的投影数据。 要想对扁平构件实施c t 重建，对其中的缺陷进行c t 检测肘，采用传统的c t 检 测方法显然无能为力，必须采用特殊的投影方式才能解决这类构件的c t 检测，然后根 据这种投影方式来研究三维图像重建算法。 本文对扁平构件的c t 检测采取的技术方案为射线源发出的主射束与物体的旋转轴成 非9 0 。的倾角口，面阵探测器与物体的旋转轴垂直。可以采用两种方式实现二维投影的采 集： i 、种方式采用射线源与面阵探测器不动，射线倾斜入射穿透物体到达探渊器，被 测物体绕旋转轴旋转时采集物体的二维投影； 2 、另一种方式采用被测物体不动与面阵探测器不动，而射线源绕旋转轴旋转时采集 物体的二维投影见图1 2 所示。 本文主要研究在第二种扫描 方式下的二维投影的获取与三维 a 重建。我们称这种投影方式为非 常规的投影方式。 由于扁平物体在射线源与探 测器之间位置不变，故扁平物体 的大小不受探测器与射线源之间 距离的限制，故这种非常规c t 的 扫描方式可以完成对扁平物体的 c t 扫描，获取3 6 0 。范圈内的二维投影 像。 图1 2 非常规的= 维工业c t 检测方式 然后利用相应反投影重建算法重建物体的三维图 2 中北大学学位论文 这种非常规的工业c t 检测方法与图1 1 所示的传统的工业c t 检测方法相比有以 下优点： 1 、只要厚度方向允许，被测物体的大小不受射线源与探测器空间距离的限制； 2 、射线束只需从尺寸较小的方向穿透扁平构件，使用能量较低的射线源便可得到二 维投影： 3 、在投影过程中，射线穿过扁平构件的厚度变化较小，当采用多色射线源时，厚 度变化引起的射线硬化也较小，重建出的图像中“杯状效应”较小。 因此非常规c t 为扁平构件的三维重建供了种切实可行的方法，为实际生产中的扁 平构件的c t 检测提供了一种重要的手段。 t 2 国内外研究现状 三维c t 以其一次扫描就能获得被测物体整个二维投影的优势，一直是活跃的前沿 课题。从整个三维发展过程看，主要解决的是两个方面的问题，即源点轨迹( 扫描方法) 和重建算法。 1 2 。1 从扫描方式上看 在典型的锥形束层析成像中，个锥形束的顶点在一个围绕成像物体的有界曲线或 有界平面曲线运动，在曲线的每一个顶点位置处，由平面探测器测量2 d 投影。有很多人 研究了锥顶点沿一个团或全球面运动这一简单情况。也有人提出球面运动，但球面运动 数据冗余大，扫描时间长，不易实现，而圆形运动优点则显而易见，已用到实际设备了。 对于圆形运动，由于锥顶点运动的不完备性，必须对投影数据进行后序处理才能得到精 确的三维重建图像。s m i t h 从理论上论述了这种不完全的影响”“”，k a k 和s l a n e y 月j j 用实 验证明了这个理论。1 。为了克服这个缺点，必须研究一种新的顶点运动方式及相应的算 法，实现低冗余度的3 0 精确重建，这个问题分别由k i 6 f l o v 、t u y 埘；和s m i t h 撰文论述了。 并且给出了精确重建条件：当且仅当切割物体的任一平面都和锥顶点运动轨迹相交时， 便可精确重建。根据它们的理论成立条件即扫描方法，分别有正交扫描( 两个垂直的圆) ， 一3 一 中北大学学位论文 螺旋扫描。k u c h o 用实验和理论证明了在较大锥角时上述方法与锥形顶点沿圆形轨迹相 比，大大提高了分辨率和重建精度。有人从精确重建的数学基础到各种重建方法的数学 一致性，从完全条件到满足条件的源点轨迹作了严格的证明和论述。在此基础上提出了 三种非平面新型源点轨迹。第一种两个不一定互相垂直，且两个半径不同圆源顶点运动 轨迹可以进行精确重建。第二种一条直线和一个圆的扫描方式。第三种是三条直线的源 点扫描方式。这些方法的提出极大地丰富了c t 的理论且具有宝贵的实用价值。 本文中采用的是源的轨迹在单圆周条件下三维c t 的重建。这种单圆周分布的三维 c t 属于有限数据的重建。是种近似的重建方法，但以其快速的数据获取速度等优势， 逐渐受到人们的重视。 1 2 2 从重建算法上看 我们分两个方面柬讨论：常规c t 重建算法和非常规c t 重建算法 1 2 2 1 常规c t 重建算法 从数学的角度看r a d o n 在1 9 17 年的经典论文在科学的许多分支都有着深远的影响 ”。1 。r a d o n 变换作为一种重要的数学工具，被广泛应用于x 射线晶体学，医疗辐射，核磁 共振，微波散射，射电天文学，电子显微等等众不同领域；特别是在医学和工业c t 中， r a d o n 变换构成了图像重建技术的理论基础。 作为近代科学技术基本数学工具之一的f o u r i e y 变换，在图像重建相关理论的分析 和推导中也起着重要的作用，它构成了图像重建的另一理论基础 c t 数据采集系统经透射测量得到的投影数据，实际上是被重建物体的线形衰减系数 沿透射路径线积分的结果，它形成了图像重建过程的输入。投影与r a d o n 变换密切相关， 求r a d o n 逆变换的过程就是由投影数据重建物体的过程 尽管精确重建的数学公式早在】9 17 年就由r a d o n 提出，但这并不意味着有效的( 计 算复杂性低、精度高) 重建方法已经找到。在这领域进行了大量工作，典型的有： 1 9 6 1 年，a a k i r i l l o v 解决了n 维复数空间中复值锥束数据的转换问题，但不能直接 - - 4 中北大学学位论文 应用于断层成像。1 9 8 3 年，8 d s m i t h 通过重- 写k i f i l l o v t $ 式8 】【9 1 ，提出了一个三维锥束 卷积的反演公式；h k t u y 也进行了类似的工作。 1 9 8 7 年，p , g r a n g e n t 发现了锥束投影与r a d o n 变换导数之间的关系，给出了基于 r a d o n 交换导数的精确重建方法“”l 。 1 9 9 4 年，m d e f r i s e 和r c l a c k 概括了各种精确重建方法的数学一致性，同时给出了 基于r a d o n 变换导数的精确重建方法；h k u d o 和t s a i t o 也发现了类似的方法 1 1 2l ，1 4 1 s 1 8 7 i 剐 1 9 9 5 年，c j a c o b s o n p h d e m i e l e o s o n 等采用直f o u r i e r 方法和l i n o g r a m 技术，改 进了现有的重建方法，降低了复杂性，增强了重建效果”9 。2 ”。 r a d o n 变换g l = | f o u r i e r 切片原理为三维锥束精确重建奠定了理论基础，提供了可行性 依据。 f e l d k a m p 、d a v i s 和k r e r s 于1 9 8 4 年提出的近似重建方法，现已作为一个标准过程被 广泛应用于x 射线医学成像和无损检测等领域。通常情况下常规的c t 扫描方式下采用 f e l d k a m p 锥束重建算法进行三维c t 重建。按照t u y 的理论，用上述扫描方法获取的投影 重建图像时，投影数据是不完备的，即无法精确重建出物体的三维图像”，属于近似的 三维重建。但该方法扫描几何简单，重建速度快，重建图像精度能够满足一般的工业要 求，目前应用较多”“。 1 2 2 2 非常规c t 重建算法 然而，用传统的c t 检测技术无法对扁平构件进行c t 检测，为此国内外学者提出 了许多不同于传统c t 的检测方法。s t | k a n g 等人提出了一种用于x 射线分层成像 ( 1 a m i n o g r a p h y ) 的几何投影方法：射线源不动被测物体和探测器按照一定关系同步 转动，由焦平面在不同旋转角度的投影重建出物体任意角度截面的图像。并在原理样机 上重建了计算机芯片中球格阵列封装焊点的断层图像“。该方法使用的重建算法是直接 反投影，因此重建效果不理想。j z h o u 等人提出了一秘称为计算机分层成像技术，同样 用于板材焊缝的二维c t 重建，其投影方式是扇束射线源和一维探测器阵列固定不动， 被重建的扁平构件沿垂直于主射线的方向直线平移通过射线辐射场，得到物体在不同射 5 一 中北大学学位论文 线方向下的投影。这些投影数据只是在扇束张角范围内不同角度下的投影，并非3 6 0 。 范围内的投影，投影数据不完备，故利用叠代算法重建二维c t 图像。该方法重建了两 板丰才焊缝的二维c t 图像，重建时闽较长”i 。 以上是目前能检索到的国外不同于常规c t 检测的资料，国内还未见这方面的报道。 本文采用了不同于它们的、非常规的c t 检测方法，而且采用滤波反投影算法进行过计算 机仿真，重建出的高质量图像。 1 3 本文主要的工作 1 、分析研究扁平构件的特点，提出采用“非常规的c t 扫描技术”，进行可行性分 析； 2 、从理论上推导出滤波反投影重建算法。实现分布在一个对顶的锥面上的p 滤波器， 而后进行滤波反投影重建； 3 、研究这种c t 扫描方式的数学模型，推导投影图像生成的数学公式，根据投影几 何，推导物体中被重建点在投影图像中的位置与射线束的关系，以便计算机仿真投影图 像，为研究各种图像重建算法的有效性打下基础； 4 、对计算机仿真中面临的问题，分析问题的原因，并给出解决的方法。最后对平 行束入射和锥束入射两种扫插方式下的重建结果进行分析，为实际设备中的应用打基 础。 一6 中北大学学位论文 第二章非常规c t 的三维重建原理 七一章中我们提出采用非常规c t 的扫描方式获取扁平物体的二维投影，那么接下来 将研究如何利用所获取的二维投影进行三维重建，本章主要研究在为该投影几何下从理 论上分析三维重建可行性。 2 1 三维精确重建的完全条件和源点轨迹 任何一种重建方法在具体应用时都是针对某种源点轨迹下物体的投影数据的，并非 任意形状轨迹下的投影数据都能用于精确重建。完全重建的精确条件：如果与物体相交 的每个平面至少存在一个锥形束源点，则物体可以被精确重建”74 ”“。 物体的投影在探测器平面上产生的图像是沿直线积分的结果，探测器平面上的任意 一条直线连接大量发自源点的积分直线，决定了经过物体的一个平面( 见图2 1 ( a ) 所 示) 。显然，源点s 在这个平面上，从投影g - 可以求出该平面的，值。 探测器平面 ( a ) 源点s 在经过物体的平面上 ( b ) 源点s 不在经过物体的平面上 图21完全条件的直观解释 若经过物体的平面不包含源点，可以看到，积分直线穿透平面丽不是位于平面中 ( 见图2 1 ( b ) 所示) ，那么该平面的f 值就不可能由g 获得。因此，在这种情况下， 重建物体的投影数据是不完备的，重建结果的误差主要来源于不完全的源点轨迹。 一7 一 中北大学学位论文 单圆是最简单、最常用的源点轨迹，然而它不满足完全条件。直观上看，平行于单 圆所在平面( 该平面除外) 的所有与物体相交的平面部不包含射线束源点，此外，还有 1 些这样的平面。 假设平面p 用有序对( 亭位，口) 表示，x o y 平面内的单圆半径为ra 用过z 轴和向量手 的直线，或者说坐标为( ( 手似，臼) ，尸) 的垂足a 就代表了平面p ，单圆就用c ，和c ：两个 点表示。从图2 2 可以看出，与单圆相交的平面集合为： s = ( 手( 口，臼) ，p ) l0 ( 口，口 疗，i p 喀r s i n 那么，与物体相交、但与单圆不相交的平面集合为： s = ( 善( 口，口) ，p ) 10 口，臼 7 ，rs i n 口 厂、八 l 夕 图2 2单圆轨迹下的剖面图 图2 3 口从o 7 t 变化( 同定口) 时s 的图示 固定臼，口从0 到万变化，则与单圆相交的平面集合可用图2 3 中两圆内及圆上的 点来表示。因此，当曰从0 到7 变化时，集合s 是一个环形圆纹曲面所包围的物体。从 物体厂( 牙) ) 的支撑中移去那些属于s 的点，就得到了集合掌。 从上面的分析可以看出，由于雪非空，因此单圆轨迹不满足完全条件。f 在集合雪 上的值不能从单圆上的源点获得，因此这部分( 即大锥角处) 的重建存在误差。 但精确三维重建要求源点轨迹不在一个平面上，这样就增加了扫描系统的复杂性， 且有大量冗余数据，如此来也降低了重建速度，但是我们可以采用近似但实用的锥束 三维重建算法”。32 。3 。“。 本文所研究的非常规的c t 重建算法也是属于近似的三维重建算法。 8 中北大学学位论文 2 2 非常规c t 的重建原理 反投影重建算法的本质是将得到的投影沿射线方向均匀地“涂抹”到重建图像域 中再叠加而成最终图像，其点扩展函数( 雕f ) 并不是口函数，重建出的是个呈1 r 扩 展的图像，这种扩展形成了所谓的“星状伪迹”。 由于是平行束的投影数据，反投影不加权，所以容易看出在二维平面上的重建结 果是一个分布彤。 y 彦7 。 拶o ， x 7 射线 么秘 r 重建点 图2 4方向示意图 图2 5 传统的c t 扫描射线分布 严格的数学证明如下：在如图2 4 的情况下，对于某个投影方向0 的投影数据为 p 日( y ) = 盯( y ) ，y = 一x s i n 0 + y c o s 8 反投影的过程为： ，( w ) = p e ( y ) d o 0 换成极坐标形式f = ( r ，中) 则有： 2 t2 i t ，( 产) = 6 ( y 1 ) d o = i s ( - r c o s q b s i n 臼十r s i n 中c 。s o ) d o 00 2 j d rs i n ( o - s i n ( o ) 】d 目：2 j 占 s i n ( 臼一c b ) d oj d) 】d 目= j 占 s i n ( 臼一 0 0 9 中北大学学位论文 因为o 日( 2 万，所以，扩) ：一1 ( 实际是三，但相差一个常系数没有关系) rr 对实际的物体，其密度分布是u ( e ) 而彳i 是占函数。止l n , i - ，直接反投影的结果为 故二维傅立叶变换有： f ( e ，w ) ：u ( r ，w ) e ( 三) ， 其中f ，u 分别为，( f ) 和u ( a ) 的二维傅立叶变换。所以有 u ( r ，w ) ：墨掣 f a ：- ) 湖，川2 去 做傅立叶反变换，则有： “( f ) = 巧1 【u ( r ，w ) h ( r ，w ) - f ( f ) 4 ( f ) 其中h ( f ) 在时域里为h ( r ，w ) 的二维傅立叶反变换。 所以，二维平行束的重建也可以这样得到：先对平行束投影数据进行反投影，然 后对反投影后的结果做二维卷积。可以证明，上述的方法与卷积反投影方法是等效的， 并且卷积核具有相似的形式。”1 。 因此，对于传统的二维c t ，不管是平行束还是扇束，在0 3 6 0 。范围内扫描时，穿过 被扫描断面上某点的射线分布在一个平面内( 见图2 5 所示) 。对一维投影直接反投影 引起的1 r 扩展也在该平面内，消除这种扩展( 即星状伪迹) 的方法是对反投影重建出的 二维切片经过一个p 滤波器，即通过个卷积过程，这种算法便是二维c t 中理论比较 成熟的反投影滤波算法。 卷积过程的作用是消除由反投影过程引起的点的1 r 扩展。换句话说，这个卷积过 程就是一个实现从1 r 到狄克拉函数a ( r ) 的映射。在非常规c t 的情况下，对于点a ( 空 间位置为瓦) ，直接对二维的投影数据作反投影得到的同样是一个具有l r 扩展的分布 一1 0 中北大学学位论文 f ( 尹一只) 三 图2 1 4 锥形卷积示意图 其中：o a = ( z o ，y o , z 0 ) 0 b = ，爿曰= i 7 其中：o a = ( 名。，乩，z 。) ， o b = ，a b = 与二维c t 不同的是，平行束倾斜入射的1 r 扩展式沿着一个对顶锥面分布的( 见图 2 2 4 所示) 。对于点a ( x o ，z o ) ，该锥面方程为： q ：( 工一z o ) 2 + ( y - y o ) 2 = l g2 口( 2 z o ) 2 ( 2 1 ) 而锥束倾斜入射的1 r 扩展式沿着一个对顶斜锥面分布的( 见图2 1 5 所示) 。对于点 a ( x 。，y 。，) ，该锥面方程为： q ：( z ( 一z o ) t g a x o ( z d z ) 日) 2 + ( y ( 一z 0 ) t g a - y o ( z o z ) h ) 2 = h2 ( z 1 一z o ) 2 ( 2 2 ) 其中；口为射线中心主射束到x o y 面即面阵探测器坐标原点的入射角，射线源到 x o y 面的距离。 这样，非常规重建问题就变为：在三维空间寻找一个映射，当该映射作用于三维空 间中沿上述这种锥面上的南分布时，能够得到在这个锥面顶点a 处的一个6 函数j 扩一) 。 囊 中北大学学位论文 因此，与二维反投影滤波算法一样，用p 滤波器对直接反投影得到的三维图像沿式 ( 2 2 ) 确定的锥面进行滤波，可消除非常规投影方式下直接反投影重建引起的“星状伪 迹”。 非常规c t 重建算法是直接从原始的卷积和反投影的物理意义出发，其近似之处在 于对不在中心平面上的点，反投影引起的某一点的扩展分布斜锥面上，当该对斜锥面上 的不同点作锥形卷积时，其卷积面不在同一平面上。 当瓦所在位置不同时，投影值也不同。由反投影的物理含义知道，这时的反投影过 程应浚是加权的，其权为通过该点的射线与x o y 面之间倾斜角度的正弦值，设角度为， 其中三为射线源坐标在x o y 面上的投影到射线在x o y 面上的投影坐标之问的距离。 反投影后的分布为： 2 f ( f ) = i s i n 胱( x ，r ) a o ( 2 3 ) ； 这是一个沿斜锥面q ( 2 2 ) 上的分布，对于一个固定的护，它与平面z = ：，交于一 个圆，圆心坐标为( i ( z f o 丽- z , ) h , y o 羰) ，半径为糕。 在平面z = 蜀上分布的圆周为 ( x z 。糕) 2 + ( y y 。蹀) 2 = ( ( h - 1 z v o2 ) t g c t ) 7 ( 毛一z 。) 2 ( ，) 在该圆周上分布的点的值为圆的半径月= 型( h 上- 至z o 二) 巫t g a 的倒数，即土r 。 所以对厂( i ) 沿斜锥面的卷积可化为 厂( ) = 肛，一( fb ) 矗( r ) 非常舰c t 滤波反投影重建的实现步骤为 对所得到的投影数据作加权反投影 一1 2 中北大学学位论文 m ( f ) 。j s i n f l p o ( x ，r ) d a 2 对所得到的三维的直接反投影结果沿特定的斜锥面作加权的卷积 f ( r a ) = f d z 。一( fb ) ( 尺) 1 3 中北大学学位论文 第三章非常规c t 投影仿真及直接反投影重建算法 在所涉及的检测物体中，几何形状以圆柱、椭球为主。因而，分别对射线穿过圆柱、 椭球的射束和进行模拟，得出投影图。对于单色射线来说，它贯穿物体后的衰减率一竺 ， 与贯穿路径成正比，故可以用射线所经路径的长度来代替射束和。 3 1 平行束入射扫描方式仿真 通过模拟平行束以任意角度入射时的投影图以及重建结果，然后根据平行束入射得 到的些有益的结论，进而研究锥束入射的仿真与实现。 3 1 1 椭球投影图的求取 图3 1 射线绕固定轴旋转图 图3 2 椭球投影计算图 以空间一组平行直线代替射线束，椭球代替被检物体，射线绕固定轴线旋转( 如 图3 1 所示) 。直线和椭球的空间方程分别为： 直线方程： 蕊x-x,2揣=面2-2icosasino ( 3 1 ) 一 c o s 口c o s 臼s i n 盘 、7 其中： 1 4 中北大学学位论文 t ，y ，z ，为射线到达接收屏的点坐标，在此z ，= 0 或c o h s t 。 口射线的入射角度； 0 为射线的旋转角度( 绕z 轴) ； 椭球方程： 丁( x - - x o ) 2 + 学+ 学= ， ( 3 z ) 其中： ，y 。，为椭球中心坐标。 口，b ，c 为椭球在丘y ，z 轴方向上的半轴长度； 求直线贯穿椭球的长度，即求直线与椭球的交点问题，当二者无交点或仅一个交点 时，表明射束和为零；当二者有两个交点时，则两点之间的距离即为贯穿长度。联立 式( 3 1 ) 、( 3 2 ) 得： f 粤：j ，二l ：三兰：r ， ( 3 3 ) l c o s as i n pc o s 口c o s 0s i n 甜 i 孚+ 学+ 孚= 4 ， 由( 3 3 ) 可以计算出：x = 蕾一，c o s a s i n o ，y = h + f ，c o s 口c o s o , z = z ，+ ，s i n a ，代 入( 3 4 ) 得： y o ) + t ，c o sdc o s 目 2 + m 、 【j ) j a = 6 2 c 2c o s 2 口s i n 20 + a 2 c 2c o s 2o i c o s 20 + a 2 b 2s i n 2a 口= 2 6 2 c 2 c o s a s i n o ( x i x o ) + 2 a 2 c 2 c o s a c o s a ( y j y o ) + 2 a 2 b 2s i n a ( 一z 0 ) c = b 2 c 2 ( 一) 2 + 口2 c 2 ( 只- y o ) 2 + 口2 b 2 ( z ，一z o ) 2 a 2 b 2 c 2 当b 2 4 a c 0 时，方程( 3 6 ) 无解，射束和为零。 1 5 yr 0 c = 2 ， o 2 f 口 盯 n s r 饼 口 雪m c s 一 + ) ) o o x z 一 一 x 2 r r 2 2 c 6 2 2 6 日 郇p 0 l i c十 巩 + 2 加 得后 ： 简 中 化 其 中北大学学位论文 当曰2 - - 4 a c 0 时，解得方程( 3 6 ) 的二解为t 。代入( 3 3 ) 得 x 。l = 蕾一f 1c o s a s i n o x ，2 = 一r ，2c o s a s i n o y i t = y i + t ? l c o s a e o g 毋 y t = y 。+ t ? l c o s g c o s 占 l = z ，+ 1s i n g z f 2 。互+ ，f 2s l l q o ( z 。y 。z ，) ，( x 。_ y 。z ，：) 为直线与椭圆二交点坐标，那么所对应的射束和为： b e a m s u m x ，y ，】= ( x n x 1 2 ) 2 + ( y n y ，2 ) 2 + ( z 1 一zr 2 ) 2 = jt ，r 。j ( 3 7 ) ：1 i i - 4 a c 。 a b e a m s u m x ，y ，】为接收屏上对应点的射束和。 3 t 2 圆柱投影图的求取 直线方程与式( 3 1 ) 相同。 圆柱的空间方程为： 一曹：y - - y o ) 2 = ，2 ( 3 。) l z b o l z 孑【 一叫 其中： r 为圆柱半径； x 0 , y 。为柱面中心轴线与x o y 面的交点坐标： z t o pz 6 。为圆柱上下面对应的。坐标。 为了求取直线与圆柱面的交点，首先应求出直线与柱面的交点，联立柱面与直线方 程得： 熹c o s 赫s i n 02 上c o s g c l o s 0 黾( 3 。) 一 口 。 n 叭 【( x 一工o ) 2 + ( y y 0 ) 2 = r 2 由上式得： 【( _ x 。) 一f ，c 。s 口s i n 臼】2 + 【( y ，一y 。) + f ，c 。s 口c 。s 口】2 一r ：0 1 6 中北大学学位论文 化简得： 爿4 - b t , + c = 0 其中： a = - c o s2 甜s i n2 0 + c o s 2 口c o s2 0 = c o s 2 仃 b = 2 c o s a c o s o ( y ，一y o ) 一2 c o ss i n o ( x 。一x o ) c = ( t x o ) 2 + ( y 一j ，o ) 2 一，2 当矿- - 4 a c o 时，方程无解，射束和为零： 当b 2 - - 4 a c 0 时，方程的二解为f 。t 代入式( 3 9 ) 得 蕾l = x i f “c o s 口s i n o x ，2 = 一一f ，2c o s a s i n o y ? l 。y i 斗t n c o s a c o s o 只2 = y ，+ f 。2c o s a c o s o z j i 2 z ，+ f “s i i i 口 互2 2 + 2 s l n 盯 ( 3 1 0 ) 其中( x 。y 。z ，) ，( x 。y 。z ，：) 为直线与柱面的交点坐标，因为圆柱体有上下底面 的存在，所以在求取射束和时，应该分情况进行讨论，直线与柱面相交的情况如图3 3 所示。设z l z 2 ： 线 y = 口) l x i l ，y ( a ) 射线在圆柱上方。与圆柱无交点 ( b ( c ) 射线与圆柱交点位丁_ 上表面和侧面( d ) 射线与圆柱两个交点位于删两 1 7 碧影 ( 2 ) 如图3 3 ( c ) 所示，如果。t 兰稚兰z r o pz ，2 五0 p ，则2 = 如= 曼竽_ = 1 ，工n 翔z 坩 s l n 口 变为： 2 = x 1 2 = x t f ：2c o s a s i n 0m 2 = 一2 = + f ：2 c o s a c o s o t 2 = 2 1 2 = z ，+ f ：2s i n a b e a m s u m x 。，y 。1 = ( x ，1 一x ，2 ) 2 + ( y ，i y 1 2 ) 2 + ( z 一= ：2 ) 2 ( 3 ) 如图3 3 ( d ) 所示， 如果。t z 。l h ，因而根 据反投影重建法得到的两点的象素值差较大，增大了轴向分辨力，从而使层与层之间的 “粘连”得以缓解。但是，这种情况下射线所穿过的路径较大，从而降低了径向的灵敏 度，使得细小的微伤难以被重建出来。 同理，如果采取6 0 度扫描方法，物体上、下表面上的点的投影点的距离， h 根 据反投影重建法得到的两点的象素值差别很小，使得轴向分辨力变低，使得层与层之间 的“粘连”较为厉害，但却使径向灵敏度提高。 但是采取4 5 度扫描方式时，物体上、下表面上的点的投影点的距离l 始终与h 相等， 它兼顾了轴向分辨力与径向灵敏度，从而能够达到较好的重建效果。 通过以上的分析，在后面的非常规c t 算法的重建中，将4 5 度作为平行束扫描方式 的入射角。 在第五章中将对比这三种情况下采用非常规c t 重建算法重建结果，比较一下不同 的入射角度对重建结果的影响。 2 0 中北大学学位论文 31 5 平行束入射扫描方式下的仿真投影结果 针对如图3 4 所示的物体进行平行束入射投影的仿真。在仿真系统的投影几何中， 物体底面距离探测器的高度为z 。= 1 0m m ，平行入射的射线束的入射角为4 5 度。射线 源每旋转4 5 度投影一次的投影图如图3 6 所示。 口= 0 。d = 4 5 。甜= 9 0 。 口= 1 3 5 。口= 1 8 0 。口= 2 2 5 。 d = 2 7 0 。 口= 3 15 。d = 3 6 0 。 图3 6 平行柬入射扫描方式r 每隔4 5 度旋转的投影图 在得到了投影图之后，可以根据投影地址与反投影地址之间的几何关系和反投影重 建算法进行直接反投影重建。首先讨论反投影重建地址的计算。 一2 1 中北大学学位论文 3 ，1 6 反投影重建地址的计算 反投影重建三维物体的原理是：所有经过三维空阳j 某点的射线投影之和除以投影数， 即认为是该点的重建密度值。空浏某点a ( x 。，y o ，毛) 的反投影重建公式为 2 口( 一1 1 ， a ( x m y ，z 。) = i 1 r ( ，) ( 3 11 ) v 0 = 0 式中，n 为投影数，0 为射线源的旋转角，p o ( i ，) 为在0 角度下穿过点t l ( x 。，y 。，z 。) 的 射线投影，i 和j 均是，y 。，z 。的函数。由此可见，反投影算法的关键是：在给定被重建 点坐标( 粕，y 。，) 的情况下，从每幅二维投影图中找出该点投影的坐标( f ，j ) 。如图3 7 所示，a ( x 。，蜘，白) 为空间物体中z = 气截面上的任意一点，其在x o y 平面上的垂点为 d ( x o ，y o ，0 ) ，在口角度下射线穿过该点的投影为另( f ，