（机械电子工程专业论文）一种新型4rptr并联机构的运动学分析及仿真研究.pdf

摘要 摘要 空间少自由度并联机器人机构和传统的六自由度并联机器人机构相 比，具有结构简单，设计、制造和控制的成本都相对较低的特点。特别是 具有分支完全相同的、结构对称、具有各向同性的对称少自由度并联机构 更具应用潜力。但少自由度并联机构的研究进展很不平衡，其中二、三自 由度并联机构的研究基本成熟，而四、五自由度并联机构的研究较复杂仍 处于起步阶段，在定程度上限制了该类并联机器人的发展和应用。 本文以4 - r p t r 四自由度并联机构为研究对象，进行机构的运动学分 析。该机构能实现空间的三维移动和绕z 轴的转动，是一种很有应用前途 的少自由度机构。 论文首先分析了机构的自由度和输入的合理性，针对机构的几何特 点，建立了机构的约束方程，运用连续法对该机构的位置进行了求解，并 进行了数值验证。 其次l - x , f f j t 构位置f f 解仅仅给出数据不直观的缺点，利用应用软件 v b 、a u i o c a d 、m a f l a b 混合编程，解决了机构位置j f 解可视化的问题， 使设计者在很短的b , 1 州内就可以再现刺应正解的机构位置简图。 利用机构的数学模型，运用解析法对机构的可达工作空间进行了分 析，并绘制了特定尺寸下的工作空间的形状，给出了对应的工作空间的体 积和截面面积数值。又根据机构的雅克比矩阵，对机构的奇异位形进行了 分丰- 。 运用虚拟机构法建妒了机构的雅克比矩阵，并以此建立了机构的速度 方程，绘制了在动平台匀速运动的情况下，机构的输入速度的变化规律曲 线。 最后以a d a m s 为甲台，对机构进行了运动学仿真。 关键词并联机构；位置j 1 ：解：1 i 作空问；奇异协形；运动仿真 热山大学j 。学硕士学位论文 a b s t r a c t s p a t i a li m p e r f e c t - d o fp a r a l l e lr o b o t sh a v er e c e i v e dm u c ha t t e n t i o nf o rt h e a d v a n t a g e so ft h e i rs i m p l em e c h a n i s m ，l o wc o s ti nd e s i g n i n g ，m a n u f a c t u r i n g ， a n dc o n t r o l l i n g ，c o m p a r i n gw i t ht r a d i t i o n a ls i x d o f p a r a l l e l m e c h a n i s m e s p e c i a l l ys y m m e t r i ci m p e r f e c t - d o fp a r a l l e lm e c h a n i s mw i mi d e n t i c a lb r a n c h s y m m e t r i cc o n s t r u c t i o n ，i s o t r o p yh a v eb i g g e ra p p l i c a b l ep o t e n t i a l i t y b u tt h er e s e a r c hd e v e l o p m e n to fi m p e r f e c t d o fp a r a l l e lm e c h a n i s mi sv e r y u n b a l a n c e d ，t h er e s e a r c ho ft w o ，t h r e e d o fp a r a l l e lm e c h a n i s mh a v eb a s i c a l l y b e e nf i n i s h e d ，h o w e v e rt h er e s e a r c ho ff o u r , f i v e p a r a l l e lm e c h a n i s m j u s tb e g i n ，w h i c hl i m i tt h ed e v e l o p m e n ta n da p p l i c a t i o no ft h i sk i n do fp a r a l l e l m e c h a n i s mt os o m ee x t e n t t h es u b j e c to ft h i sp a p e ri s4 - r p t rf o u r - d o fp a r a l l e lm e c h a n i s m ，a n a l y z i n g t h ek i n e m a t i c so ft h em e c h a n i s m ，w h i c hh a v ef o u rd o fo ft h r e ed i m e n s i o n a l t r a n s l a t i o na n dr e v o l u t i o na r o u n dzs p i n d l e ，w h i c hi s v e r yp r o m i s i n g i m p e r f e c t d o fp a r a l l e lm e c h a n i s m f i r s to fa l l ，t h i sp a p e ra n a l y z et h ed o fa n dt h ei n p u tr a t i o n a l i t i e so ft h e m e c h a n i s m ，a c c o r d i n gt og e o m e t r i c a lq u a l i t yo ft h em e c h a n i s m ，s e t t i n gu pt h e r e s t r i c te q u a t i o n ，s o l v i n gt h ep o s i t i o no ft h em e c h a n i s mw i t hc o n t i n u a t i o n a p p r o a c h ，a n dn u m e r i c a lv e r i f i c a t i o ni sc a r r i e do u t s e c o n d p o i n tt o w c a kp o i n tw h i c ht h en u m b e r sp r o v i d e d b ym e c h a n i c a l d i r e c tk i n e m a t i c si sn o ld i r e c t v i e w i n g ，t h ep r o b l e mo fv i s u a l i z a t i o no f m e c h a n i c a ld i r e c tk i n e m a t i c sw a ss o l v e di nv i r t u eo fa p p l i c a t i o ns o f t w a r ev b ， a u t o c a d ，m a t l a b ，t h es k e t c ho fm e c h a n i c a lp o s i t i o nw a sp r e s e n t e db e f o r e d e s i g n e ri nav e r ys h o r tt i m e u t i l i z i n gt h ea n a l 3 ，s i s t h er e a c h a b l ew o r k s p a c eo f m e c h a n i s m w a sa n a l y z e di n v i r t u eo ft h em a t h e m a l i cm o d e lo fm e c h a n i s m a n dd r a wt h es h a p eo ft h e r c a c h a b l ew o r k s p a c eu n d e rs p e c i f i cd i m e n s i o n ，t h ec o r r e s p o n d i n gv o l u m ea n d 摘要 t h ec r o s s s e c t i o n a la r e ao ft h er e a c h a b l ew o r k s p a c ei so b t a i n e d a c c o r d i n gt ot h e j a c o b i a nm a t r i xo f m e c h a n i s m ，t h es i n g u l a r i t yo f t h em e c h a n i s mw a sa n a l y z e d 1 1 1 ej a c o b i a nm a t r i xo f4 - r p t rp a r a l l e lm e c h a n i s mi se s t a b l i s h e db yu s i n g t h em e t h o dc a l l e di m a g i n a r ym e e h a n i s m ，t h e ne s t a b l i s ht h ev e l o c i t ye q u a t i o n ， a n dd r a wt h ei n p u tv e l o c i t yc h a n g ec u r v eu n d e rt h ec o n d i t i o no fu n i f o r m m o t i o no f t h em o t i o np l a t f o r m f i n a l l y , t h ek i n e m a t i c so ft h ep a r a l l e lm e c h a n i s mi ss i m u l a t e db yu s i n g a d a m s k e y w o r d sp a r a l l e lm e c h a n i s m ；d i r e c tk i n e m a t i c s ；w o r k s p a c e ；s i n g u l a r i t y ； k i n e m a t i c ss i m u l a t i o n 第1 章绪论 第1 章绪论 1 1 并联机器人及其应用概述 人类社会是在不断的认识世界和改造世界的过程中向前发展的，人类 社会发展的历史就是生产力发展的历史。各种生产过程的机械化和自动化 是现代技术发展的总趋势。 自从1 9 6 1 年美国u n i m a t i o n 公司推出第一台实用的工业机器人以来， 各种机器人或机械手被广泛应用于工业各部门以及服务、医疗、卫生、娱 乐等许多领域，对人类的生活产生了深远的影响。它们可以替代人类劳动， 完成各种精密、繁重、环境恶劣，甚至是危险的任务，并能够满足生产力 进一步发展的要求，因此得到了世界各国的关注。从此机器人丌始迅速发 展，经历了一个从串联机器人到并联机器人的发展过程。 机器人技术是一门跨学科的综合性技术，它涉及到力学、机构学、机 械设计、气动液压技术、自动控制技术、传感技术和计算机技术等学科领 域，是一门新型的综合性技术。 串联机器人技术现在发展已经比较成熟，其特点是操作灵活、工作空 问大、响应速度快，但同时也存在着承载能力差、刚度低、累计误差大等 缺点；1 9 6 5 年，s t e w a n 提出一种新型的6 自由度的空间并联机构，并引 起了众多研究者的兴趣。其刚度大、运动惯性小、精度高、承载能力大、 结构紧凑，尽管它的工作空间和灵活性受到一定限制，但与串联机器人能 够在结构上和性能，卜形成互补关系，可完成串联机器人难以完成的任务， 从而扩大了机器人的应用范围。它有很多串联机器人无法替代的优点。澳 大利亚著名机构学教授h u n t 2 l 于1 9 7 8 年提出将s t e w a r t 平台机构应用到工 业机器人，之后w a l d r o n 、r o t h 、g o s s e l i n 、a n g e l s 、s u g i m o t o 、l e e 、k u m a r 等著名学者划此机构作了近一步的研究，取得了许多成果。经过3 0 多年 的不断改进和发展，演变出许多不同运动学原理和结构的空问并联机构， 并稃：矿f ：多科学研究和工业领域获得了广泛应用。并联机构具备这些优越 熟山人学工学硕i 二学位论文 性，它适用于以下诸方面刚4 j ： ( 1 ) 模拟运动飞行员三维空间训练模拟器，驾驶模拟器：工程模拟 器，如船用摇摆台等；检测产品在模拟的反复冲击、振动下的运行可靠性： 娱乐运动模拟台。 ( 2 ) 对接动作宇宙飞船的空间对接：汽车装配线上的车轮安装：医 院中的假肢接骨。 ( 3 ) 承载运动大扭矩螺栓紧固：短距离重物搬运。 ( 4 ) 可用于测量机用来作为其它机构的误差补偿器。 ( 5 ) 数控加工中一i i ,并联机器人在工业上的一个重要的应用就是可用 于各类铣床、磨床、钻床、电焊机或切割机，即作为六自由度数控加工中 心。与传统的数控机床相比，并联式加工中心结构简单、传动链短、刚度 大、质量轻、切削效率高、成本低，特别是很容易实现六轴联动，因而能 加工复杂的三维曲面。 ( 6 ) 微动机构或微型机构这是并联机器人的另一个重要的应用，在 三维空问内作微小移动的微动机构有效的发挥了并联机构的特点，工作空 间不大但精度和分辨率都很高。 并联机器人从2 0 世纪8 0 年代以来，成为机器人领域中的几个研究热 点之一，美国、英国、闩本、法国、德国、俄罗斯、韩国等国家的研究机 构和企业先后丌展了对并联机器人的研究。我国的燕山大学、哈尔滨工业 大学、清华大学、天津大学、中科院沈阳自动化所等单位先后开展了研究， 并研制出多台样机，目前关于并联机器人的研究丌发和应用正r 益广泛。 1 2 并联机器人的研究现状 目前，国内外关于并联机器人的研究主要集中于机构学、运动学、动 力学和控制策略研究等几个领域。其中并联机器人的机构学与运动分析主 要研究并联机器人的运动学问题、奇异位形、工作空蚓和灵巧度分析等方 面。这项研究是实现并联机器人控制和应用研究的基础，因而在并联机器 人的研究中占有重要的基础性地位。动力学分析及控制策略的研究主要是 对并联机器人进行动力学分析和建模，并且研究利用各种可能的控制算 2 第1 草绪论 法，对并联机器人实施控制，从而达到期望的控制效果。 国际学术界和工程界对研究和丌发并联机床非常重视，对这种新型数 控装备的工程应用前景和市场潜力极为乐观，纷纷投入大量人力和物力竞 相开发，并从九十年代初以来相继推出多种结构相似而名称各异的产品化 样机，从而掀起了国内外研究并联机器入的热潮1 5 i i “。 1 2 1 国内并联机器人的研究现状 国内最早从事并联机器人基础性理论研究的是黄真教授和粱崇高教 授。1 9 9 1 年，燕山大学研制出我罔第一台并联机器人样机如图i 一1 所示， 并在此基础卜作了很多理论研究。尤其是螺旋理论在研究机器人方面的应 用尤为突出，一个旋量可以表示空间机构的组对偶矢量，如可以同时表 示矢量的方向和其作用线的位置：表示刚体运动学中的线速度和角速度； 表示刚体力学中的力和力偶，这对于研究窄问并联机构是很方便的，黄成 功的把螺旋理论应用到并联机构的自由度计算上，从而解决了并联机构的 自由度计算问题，并运用螺旋理论对并联机构的合理性进行判别，还成功 的研究了3 - r p s 并联机构的动平台的瞬明运动。1 9 9 7 年，清华大学和天 幽1 1 燕山人学研制的并联样机 f i g 1 1 p m to fy a n s h a nu n i v e r s i t y 蚓1 2 清华人学u t * , j 的并联样机 f i g 1 12 t h ep a r a l l e lm a c h i n et o o d e v e l o p m e n t e db yq i n g h u au n i v e r s i t y 津大学合作研制了大型镗床类并联样机v a m t l y 如图1 - 2 所示。1 9 9 8 年 哈尔滨工q t 大学与哈尔滨量具刃具厂合作，推m 商品化的j 1 麟运动机床， 燕山人学1 学坝t 1 z 位论文 用于汽轮机叶片的加工如图1 3 所示。1 9 9 9 年，天津大学和天津第一机床 总厂合作研制成功了三坐标并联机床商品化样机l i n a p o d 如图1 - 4 所 示。东北大学也于1 9 9 8 年成功研制了五轴联动三杆并联机床d s x 5 7 0 如 图1 5 所示：河北工业大学研制的并联机床如图1 6 所示。 幽1 3 哈尔滨l 。业人学研制的并联机床 f i g 1 3t h em a c h i n et o o ld e v e l o p m e n t e d b yh a e r b i nu n i v e r s i t yo ft e c h n o l o g y 图1 5东北人学研制的f 联机床 f i g1 5p m to fn o r t h e a s ! u n i v e r s i t y 图1 4 天津大学研制的j r 联机床 f i g 1 4t h em a c h i n et o o ld e v e l o p m e n t e d b yt i a n j i nu n i v e r s i t y 图1 6 河北i + 、世大学研制的并联机床 f i g 1 6 p m to fh e b e iu n i v e r s i t yo f t e c h n o l o g y 1 2 2 国外并联机器人的研究现状 19 9 4 年，存美国芝加哥幽际机床展览会【3 l ( i m t s 9 4 ) 上美固g i d d i n g s & l e w i s 公司首次展出了v a r i a x 型并联运动机床如图1 7 所示，引起各幽机 床研究单位和牛产r 家的重视。它足一台以s t e w a r t 平台为基础的5 坐标 4 第1 苹绪论 立式加工中心，标志着机床设计开始采用并联机构，是机床结构改革的早 程碑。之后，美国i n g e r s o l l 公司推出h o h 6 0 0 型卧式加工中心如图1 8 所示，最终也没有投入使用。欧洲第一台商品化的并联运动机床是德国 m i k r o m a t 机床公司的6 xh e x a 立式加工中心如图1 9 所示。瑞士联邦技 术学院研制的h e x a g l i d e 并联机床如图l 一1 0 所示。 图1 7 v a r i a x 型加t 。中心 f i gi 一7t h ev a r i a xm a c h i n et o o 幽1 96 xh e x a 型并联运动机床 f i g1 - 9t h e6 xh e x am a c h i n et o o l 图1 8h o h 础卧式加【中心 f i g 1 - 8t h eh o h m a c h i n et o o l 臼1 1 0 瑞 j 联邦技术学院的亓联机床 f i g1 - l0p m to ff e d e r a t i o na c a d e m eo f s w i t z e r l a n d 1 2 3 少自由度并联机构的研究现状 在r i ：多场合应剧的机器人只需有部分自由度，如二、三、四或 - 白j 度度就可以满足使用要求，这类白山度少于六的机器人彼称为“少扣度 机器人”。实际应用中，空i 、日j 少自由度并联机器人由t ：只何动态性能灯，刚 鼎山人学学酿十学位论文 度大，造价低，可以适应不同的工作要求等特点，在工业生产及其它领域 有着广范的应用前景，开始受到国内外学者的关注，因而成为机器人领域 的个新的研究热点。 在并联机器人家族中自山度少( 在2 到5 之间) 、结构简单、经济的 少自由度并联机构早已引起固内外研究者的浓厚兴趣。虽然少自由度并联 机器人的研究几乎与6 自由度的同时开始，但进展缓慢。原因在于少自由 度空间并联机构的分析远比6 自由度并联机构复杂。最近国内外提出多种 对称的自由度为4 和5 的新型并联机构f 4 3 】，它们将有很好的应用前景。 目前，国内外对少自由度并联机器人机构学研究与应用较多的是基于 d e l t a 机构的演化机构为代表的三自由度移动机构和3 - 3 r 三自由度球面机 构悼j ，分别被设计成微动机器人，灵1 5 1 1 e 等。1 9 8 3 年h u n t 提出三自由度 的3 - r p s 空间并联机构1 9 j ，该机构由上下平台和三个r p s 分支构成。1 9 8 8 年c l a v e r “l 提出了一种称为d e l t a 的三维移动机构，该机构为1 7 杆2 1 运 动副，其中1 2 个球面副，机构十分复杂；1 9 9 0 年p i e r r o t l ”j 等对这种d i e t a 机构进行了进步分析；1 9 9 5 年t s a i l l2 】发明了种较简单的三自由度三 维移动机构，申报美国专利，咳机构也是1 7 朴2 1 运动副的机构。1 9 9 6 年黄提出了多种新型空问机器人机构模型，其中典型的机构为3 - r p s 、 3 - c s 、3 - t p t 角台机构等，并应用螺旋理论分析了它们的瞬时运动。1 9 9 8 年g r e g o r i o 1 3 1 对t s a i 提出的3 - u p u 平台三自由度移动机构进行了分析， 并提出了3 一( r r p r r ) 并联三维移动机构；2 0 0 0 年文提出了一种新型空 间三维移动机构模型空间3 - r r c 并联机构，该机构为8 杆9 运动副， 是一种比较简单的三自 b 度三维移动机构。2 0 0 1 年黄真提出了一种混合 型的空间四自由度并联平台机构模型一一3 一u r u s p s 并联机构，并讨论 了它的机构学原理。随后，赵铁石i l4 j 用约束力螺旋和运动螺旋系进行抽 象的数学综合的方法，构造出多种符合要求并具有良好的j 衄用价值的新型 宅间少自由度并联机构，如3 - p ( 4 1 j ) 、4 - u p u 、4 - u r i j 等并联机构。由 此可以看出，- 此很有直用价值的少向由度空州并联机器人机构模型已被 提出。 6 第1 草绪论 1 3 并联机器人研究展望 从关于并联机器人的研究文献 1 5 2 4 ，我们可以看出，近十余年来， 关于并联机器人各方面的研究工作取得了很大的进展，目莳国内外有许多 学者f 在继续研究这些方面的研究，取得了很大的成就；但是，还有大量 的工作需要进一步研究和丌展。研究更加合理的机构形式使并联机构的运 动学和动力学模型变得简单，同时考虑多种约束条件的并联机构优化设计 方法方面应进行深入的研究。机器人优化设计方法和机构性能评价，以求 机器人达到最佳的作业性能是并联机器人机构学继续研究的重要内容之 一o ( 1 ) 对并联机器人的正向运动学问题进一步研究，寻求更简便、容易、 适用于一般形式的计算方法。目前关于并联机构的位置正解问题仍十分困 难，随着现代计算技术的发展，可望能为并联机构的位置f 解丌辟新途径： 多传感器信息融合技术也将更多的在并联机器人中得到应用。 ( 2 ) 研究充分利用并联机器人内在的并联性的控制策略。充分利用并 联机器人的并联特性的并联算法，降低运算时问，便于实时、在线控制。 ( 3 ) 并联机器人的动力学及弹性动力学的理论和试验研究至今还有许 多值得研究的问题而这些问题的解决将很好的应用于并联机器人，加强 并联机器人的动力学性能研究，推导其可控性和可观性的理论结果。 ( 4 ) 并联机器人工作空间和灵巧度分析及奇异位形的研究，仍是并联 机器人研究的薄弱环节。加强对工作空间和灵巧度分析及奇异位形的研 究，对并联机器人无奇异路径规划和实现运动的可控性等方面具有十分重 要的作用，是并联机器人投入实际应用的一个重要条件。 综上所述，可以看出并联机器人有着极其广泛的应用范围，它j f 是现 代高度发达的科学技术与经济社会的产物。对并联机器人进行全面而系统 的研究，把它推向实际应用，具有重要的理论意义和史用价值。 7 燕山人学j 一学硕七学何论文 1 4 论文选题意义和研究内容 本文以黄真教授f 4 2 1 提出的4 - r p t r 并联机构为研究对象。该机构能实 现空间的三维移动和绕z 轴的转动，是一种很有应用前途的机构。与现在 广泛应用的、同样能实现空间的三维移动和绕z 轴转动的s c a r a 空间串 联机器人相比，这种混合型四自由度空间并联机器人除具有并联机构的刚 度大、承载高和精度高的特点外，还具有机构相对简单，结构对称等特点， 可由此设计出各种用途的空间并联机器人、并联虚拟轴机床、微动机器人 以及传感器元件等。 本文的研究内容如下： 第1 章阐述课题的研究背景和意义，综述国内外相关领域研究概况 和存在的一些问题。 第2 章建立了新型4 - r p t r 并联机构的机构模型，计算了该机构的 自由度，对其输入合理性进行了判别，最后建立了该机构的数学模型。 第3 章运用连续法计算了4 - r p t r 并联机构的位置正解，并针对机 构的几何特点，对其反解进行了计算，绘制了对应机构位置解的机构简图。 第4 章对4 - r p t r 并联机构的位置正解可视化进行了研究。 第5 章运用几何法分析了4 - r p t r 并联机构的可达工作空间，并绘 制了特定尺j j 下的可达1 作空间的三维立体图，给出相应的体积和截面面 积数值，最后对机构的奇异位形进行了分析。 第6 章运用虚拟机构法建立了4 - r p t r 并联机构的一阶影响系数矩 阵，以此为基础，对机构的速度进行了分析，并绘制了机构动平台匀速运 动的情况下，机构驱动副速度变化曲线图。 第7 章以a d a m s 为平台，对4 - r p t r 并联机构进行了运动学仿真。 8 第2 章4 - r p t r 并联机器人的结构分析 第2 章4 - r p t r 并联机器人的结构分析 2 1 概述 机构是具有确定运动的实物组合体。机构都是由构件组合而成的，构 件又是通过运动副连接的。本文研究的并联机构是由黄真教授提出的，是 一种新型的少自由度并联机构，它由四条分支组成，每一条分支又都是由 一个r p t r 结构的运动链构成。为了对该机构作进一步的分析，在本章中 首先建立了机构模型，并计算了机构的自由度，对输入选取的合理性进行 了判别，最后建立了机构的数学模型。 2 24 一r p t r 并联机构模型的建立 并联机器人机构是由运动副和构件按一定的方式连接而成的闭环机 构。本文提出的并联机构由四条r p t r 分支组成，其机构模型如图2 一l 所 示，其中每个分支有两个转动副和一个移动副及其一个虎克铰组成，可以 将虎克铰视为两个转动副，这样每个分支就相当于有五个运动副，该机构 相当于一个4 - r p r r r 机构。其中各分支自下平台起的第一、三转动副轴 线互相平行，且平行于定平台所在的平面，第四、五转动副轴线互相平行， 且垂直于动平台所在平面。 图2 - 14 - r p t r 并联机构简图 f i g 2 - 14 - r p t rp a r a l l e lm e c h a n i s md i a g r a m 9 苎生查堂三兰堡主堂垡笙苎 2 34 - r p t r 并联机构模型自由度分析 图2 1 中，e ( f = l ，4 ) 点是与定平台连接的转动副坐标点：只点是 与动平台连接的转动副坐标点；每个分支上还有两个运动副，一个是移动 副，另一个是虎克铰，其坐标点记为e ，( i = 1 ，4 ) 。口b ：b 3 8 4 是正方形， 鼻b 只只是长方形。建立如图所示的坐标系，分支坐标系 0 f x y , z ，( i = l ，4 ) 和动坐标系0 一x y z7 ，其坐标原点分别位于正方形 丑。b ：马b 4 和长方形只足只只的中心，z ，和z 分别垂直于定平台和动平台， 或者说垂直于正方形置占：b b 。和长方形鼻只只，x ，沿着b , o i 方向，x 沿 着只d - 方向；另外一个参考坐标系0 一船，z ，其坐标原点0 与q 重合，x 轴 可以与x ，( f ；1 ，4 ) 中的一个重合。 根据图2 1 所建立的坐标系，很容易就可以写出各分支在坐标系 q x ，y ，z ，( i = 1 , 2 ，3 ，4 ) 中的运动螺旋 $ ，1 = ( o 1 o ；0 0 r ，1 ) $ 2 = 【0 0 o ；2 0 n 。2 ) $ ，3 = ( o 1 o ；岛0 置3 )( i = 1 , 2 ，3 ，4 ) ( 2 一1 ) $ ，4 = 【o 0l ；0 q j 40 ) $ ，5 = ( o 0 1 ；只5q j 50 ) 式中 z ” ，第二移动副轴线的方向余旋 胄”圪、如、q f 。、只、纨由相应的位置决定的参数 由于每个分支的五个运动螺旋都是线性无关的，可以求出各分支的反 螺旋为 $ ；= ( o 0o ；10 0 ) ( i = 1 , 2 ，3 ，4 )( 2 2 ) 由此可以得到四个分支对动平台的约束 睽5 【oo ! ；10 0 ( 2 - 3 ) = 【0 0 o ；0 1 0 j 该反螺旋力偶矢，表示约束了动平台绕平行于该轴线方向的转动。即 四个螺旋$ ：。、$ ；。、约束了动平台绕平行于x o y 平面轴线的转动， 也就是约束了动平台绕平行于其所在平面的所有转动，由于动平台绕平行 1 0 第2 章4 - r p t r 并联机器人的结构分析 于它所在平面的独立转动只有两个，这样动平台失去了两个转动自由度， 具有4 个自由度，即空间三维移动和绕z 轴的转动。由式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 可知，机构没有公共约束，把式( 2 2 ) 的四个反螺旋转化到o x y z 坐标 系下，其最大线性无关组为2 ，即机构的虚约束为2 。 机构的自由度可以采用以下的公式进行计算 m a ( ng1 ) + ，+ ( 2 4 ) i = 1 式中d 机构的阶数( d = 6 一t ，其中五为机构的公共约束数目) 玎机构总的构件数 譬运动副数 厂第i 个运动副的相对自由度数 机构虚约束数 其中四个反螺旋$ i 。、$ ；。、$ ；、$ ：。只是约束了轴线平行于动平台平 面的两个独立的转动，该机构存在着两个虚约束，不存在公共约束；机构 的每一个分支是由两个转动副和一个移动副以及一个虎克铰组成的，其中 虎克铰可以看成是两个互相垂直的转动副构成，因此4 - r p t r 机构就相当 于4 个r p r r r 串联分支并联而成的机构。该机构为行= 1 8 个杆件、g = 2 0 个运动副，每一个运动副都有一个相对自由度，即，= 1 ( i = 1 , 2 ，2 0 ) ， 由式( 2 2 ) 和式( 2 3 ) 可知，该机构的四个分支对动平台没有公共约束， 即旯= 0 ，则有d = 6 ，但有两个虚约束，即j = 2 ，所以其自由度 m = 6 ( 1 8 2 0 1 1 + 2 0 + 2 = 4 。 2 44 一r p t r 并联机构的输入选取机构学合理性判别 空间并联机器人输入选取机构学合理性判别是机构学中一个重要且 复杂的问题。对于并联机器人如果输入选取的不合理，并联机构将不能实 现给定的运动，会发生输入干涉或重复现象，因此判别并联机构输入选取 是否合理是有必要的。 在自由度计算一节中，已经求出了机构各分支的运动螺旋如式( 2 1 ) 。 1 1 燕山大学工学硕士学位论文 2 4 1 求约束反螺旋及其最大无关组 由于每个分支的五个运动螺旋都是线性无关的，可以求出第一、三分 支的反螺旋为： $ j = ( o 0o ；10 0 j ( 扛1 ，3 )( 2 5 ) 这一反螺旋限制了动平台绕x 轴方向的转动。 第二、四分支的反螺旋为： $ j = ( 0 0o ；01 0 )( i = 2 , 4 )( 2 6 ) 这一反螺旋限制了动平台绕y 轴方向的转动。 这两个约束反螺旋约束了动平台绕平行于x o y 平面轴线的转动。用 观察法，很容易可以看出求出的四个反螺旋线性相关，其最大无关组的基 为： $ ，_ ( o oo ；10 0 $ ；= ( o0o ；0l0 ) 即k = 2 ， d o f = 4 ，r = 4 ，k = l ( i = 1 , 2 ，3 ，4 ) 。 式中j i 各分支对动平台约束反螺旋的最大无关组的螺旋个数 h o o f 空间并联机构自由度数，即n d o f = 6 - k r 选取的输入数 后。表示第，个分支对动平台机构约束数，即k e = 6 一月。，其中月， 为第i 个分支的所有运动副线性无关的螺旋个数。 2 4 2 求刚化输入约束反螺旋及其无关组 由于动平台能实现空间三维移动和绕平行于z 轴轴线方向的转动， 根据经验我们可以选取其中四个分支的移动副为输入，即刚化运动副$ $ 2 2 $ 3 2 ，$ 。：。则可在各分支坐标系中求得输入刚化后各分支增加的一 个反螺旋。螺旋理论中定义，若一螺旋$ ，= 毋，； 与一组螺旋 $ i ，$ 2 ，$ 。铆 6 ) 的互易积为零，即： $ ，$ ，= s ，- s ，+ 只s ，= 0u = 1 , 2 ，n ) ( 2 7 ) 则其为该组螺旋的反螺旋。设反螺旋$ 0 b c ；d e f ) ，则由 1 2 第2 章4 - r p t r 并联机器人的结构分析 反螺旋的定义可以得到下面的方程组： 其系数矩阵为 e + 尔，l = 0 e + 鸩3 + c r ，3 = 0 ，+ b q 。= 0 ，+ a p , 5 + 6q f 5 = 0 000 0r n 0 q l 。0 只，q i ，0 01 r 010 0 01 o o1 通过消元化简可以变换为如下形式，其秩不变 00 00 0 q l 。 只，0 010 0 r i 3 0 0 0 00 0 0 o0 0 o 显然，此矩阵的秩为4 ，所以此方程组的基础解系为： 。厶：01 ：i ) 4 2 竺。r ：+ 皇，) 胄：；。0 r j ，一1 ) c r = ，2 ，s ，4 ，c z 一9 ， l $ ，2 = 1 q 。一( 。+ p ，) 胄。；，一) 、 7、 即刚化输入后各分支对动平台的约束反螺旋有两个，即k = 2 。 2 4 3 输入的判别 因为r ，= k 。一k ，= 2 - 1 = 1 ，所以分支内输入选择合理：我们能够证明 刚化输入后增加的反螺旋$ ，2 、$ ；：、$ ；2 、$ ：是线性无关的，即i 。= 4 ， 所以不同分支间输入不干涉；又因为$ i 与$ ；线性无关， k 。= 女。+ k = 4 - 4 - 2 = 6 ，即动平台受到六个线性无关的反螺旋约束，失去 了所有的自由度，能实现给定的运动。因此，这组输入的选择合理。 其中 足为第i 个分支中选取作为输入的运动副数 j 。表示刚化输入后各分支对动平台新增加的约束反螺旋中最大 1 3 燕山大学工学硕士学位论文 线性无关组的反螺旋的个数 2 54 - r p t r 并联机构数学模型的建立 图2 - 1 中，0 点坐标g ，y ，z ) 的三个值就是动平台的三个移动自由度， 动坐标系0 一x y z 相对于定坐标系0 一x y z 的姿态就反映了动平台的姿 态，是绕z 轴的转动自由度庐，可以用矩阵r 表示。坐标系 d f x ，y ，z ，( j = l ，4 ) 相对于0 一x y z 姿态可以用矩阵r 定义，由角度纯给 出。则动平台的位置和姿态可以定义为以下向量和矩阵 0 = xyz 1 t f c o s 妒一s i n 矿0 r = l s n c 。s 矿 o f l 00 1 j 矩阵r 。可以写为： 卜仍叫i n q ，i0 1 r l = is i n q ，c o s ，0 l l 0 0 1 j 其中，吼= o ，妒：= 叫2 ，仍= 万和钆= 一衫2 。如果假设动平台即长方形 只墨b 只的特征尺寸长边为a ，、短边为a ：，即最b = a 。和置b = a 。，定平 台即正方形b 。b ：b ，b 4 的特征尺寸为r 即e 0 = r ，而且e 置= 厶和 e l , = 厶，e 与f 轴反方向夹角为口，最只与y 。正方向夹角为卢，并且 b e l e 忍e b 3 0 在一个平面内，即工轴与x 轴方向一致，长方形两条对角 线所夹的锐角为6 0 。，则p 在坐标系0 一x y z 下的坐标向量f 为 爿= ( _ 口：0o ) r 巧= ( _ 口2s i n 3 0 。一a 2c o s 3 0 。o ) t ， 只= 0 ：0o ) 1 爿= g 2s i n 3 0 。a 2c o s 3 0 。o ) r 1 4 第2 章4 - r p t r 并联机器人的结构分析 则p 在坐标系o x y z 下的坐标向量只为： p i = r p l + 0 t 有 只= 0 一a 2c o s # y - a 2s i n 4z ) 7 b = g 一口2s i n 3 0 。c o s + a 2c o s 3 0 。s i n 4y - 口2s i n 3 0 。s i n # 一口2c o s 3 0 。c o s # z ) t 只= g + 口2c o s # y + a 2s i n # z ) 只= g + 口2s i n 3 0 。c o s # 一a 2c o s 3 0 。s i n # y + a 2s i n 3 0 。s i n # + a 2c o s 3 0 。c o s # z ) t b 。在坐标系o x y z t ：的坐标向量置可以写为： b ，= ( - r 0 o ) 7 b ，= ( o r0 ) r b ，= ( r 0 o ) 7 b ，= ( 0 ro ) 7 e 在坐标系d j x i y 。z ，下的坐标向量e i t 可以写为： e 1 = b l i 0 z e 则e 在坐标系o x y z 下的坐标向量e 可以写为： e i = r le i 有 e i = ( z c o s t p ix 置s i n ，z z ) 1 而根据结构参数 z 己= z 巨= z b l oc o s 口= z l o c o s 令 f e = x l 则 e f = b 。c o s 纯 则该机构约束方程为： f 1 只e i = 厶 0 e b 。l = l ， 代入参数得： z ，s i n t p iz l oc o s 口) t f = 1 4 1 5 ( 2 1 0 ) 燕山大学工学硕士学位论文 j e = k x + a 2c o s 妒) 2 + ( o y + a 2s i n # ) 2 + 0 0c o s o r ) 2 【葺= g l + r ) 2 + ( z l oc o s o ! ) 2 心= 0 - - x + a 2s i n ( 3 0 。一) 】2 + b ：一y + a ：c o s ( 3 0 。一妒) 】2 + 佤c 。s 口) 2 【丘= b 2 + r ) 2 + ( = 一l oc o s 口) 2 j 瑶= ( _ 一x 一日2c o s 妒) 2 + ( 0 一y d 2s i n e ) 2 + ( 厶c o sc z ) 2 【置= 卜屯一r ) 2 + 0 一l 。c o s o ：) 2 k = 0 - - x - - 。2s i n ( 3 0 。一矿) 】2 + 【_ z 。一y 一口：c o s ( 3 0 。一) 】2 + ( l oc o s 口) 2 le = 卜x 。一r ) 2 + ( = 一l oc o s t 2 ) 2 2 6 本章小结 本章提出了一种新型的少自由度并联机构_ 4 r p t r 并联机构，建 立了机构模型，对其自由度进行了分析与计算，并对机构输入选取的合理 性进行了判别，最后建立了机构的数学模型。这些是本文新型少自由度并 联机构研究的基础。 1 6 第3 章4 - r p t p 并联机构的位置分析 第3 章4 - r p t r 并联机构的位置分析 3 1 概述 2 0 世纪8 0 年代后期到9 0 年代中期，位置正解在s t e w a r t 平台机构研 究领域处于具有挑战性的位置。当给定并联机器人上平台的位姿参数，求 解各输入关节的位置参数是并联机器人运动学位置反解问题；当给定并联 机器人各输入关节的位置参数求解上平台的位姿参数是并联机器人的运 动学正解问题。对于并联机器人来说，其逆运动学问题非常简单而正向运 动学问题却相当复杂，因此正向运动学问题一直是并联机器人运动学研究 的难点之一。机构学研究者从解析解法和数值解法两个方向展开大量的研 究，并取得了一系列进展。 解析法是通过消元法消去机构约束方程中的末知数，从而获得输入输 出方程中仅含一个未知数的多项式。这种方法的优点足可以求解机构中所 有可能解，并能区分不同连续工作空间中的解，但推导过程复杂。对于一 般形式的6 - s p s 并联机构的解析位置正解还没有解决，但通过改变上下平 台上铰链点的分布或采用复合铰的方法，6 - s p s 并联机构可以演化出许多 结构形式，其中有一些结构有解析解。梁崇高f 2 i 教授提出了三角平台型 并联机构的位置封闭解。它是解决并联机构位置币解的首选方法，但是随 着并联机构新构型的不断提出，特别是些新型少自山度并联机构，其动 平台的位置和姿态耦合，这时利用解析解法求解机构位置t