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山东大学硕士学位论文 l o g ix 齿轮的形成原理及其创成仿真 摘要 l o g i x 齿轮是依据全新的齿形理论所提出的一种新型齿轮。本文主要是对 异型齿轮一一l o g i x 齿轮的创成方法进行研究，并对结果进行仿真。 j 介绍了齿轮齿形发展趋势及研究现状，以及齿轮齿廓修形技术。提出 l o c i x 齿轮及其优点，并由此引出课题：一 然后探讨了l o g i x 齿形的形成原理，在充分理解l o g i x 齿形形成原理的 基础上，本文基于啮合理论推导了l o g i x 齿条、齿轮的齿廓曲线方程，对其根 切现象也进行了分析。 ，基于齿轮的加工方法、齿廓曲面的形成原理和成形运动，给出了任意 齿形的通用三维滚齿运动控制模型；提出了范成两步法加工l o g i x 齿轮的 方法，这些都为l o g i x 齿形的创成提供了必要的准备。 采用v i s u a lc + + 6 0 作为算法语言和界面设计工具，o p e n g l 作为图形 开发工具，通过编程分别实现了l o g i x 齿轮加工的仿真研究。加工过程用 滚切两步加工方法，即第步：用普通渐开线齿轮滚刀包络去除大部分的 加工余量，第二步：采用单圈修形齿条滚刀滚切成形l o g i x 齿廓。给出了 仿真结果。根据仿真结果分析了l o g i x 齿轮中各个参数对齿形的影响及选 取原则。 关键词：l o g i x 齿形；加工：啮合原理；图形仿真 一一 一 一 山东大学硕士学位论文 s t u d yo nc o n s t r u c t i n gp r i n c i p l e a n d g e n e r a t i o ns i m u l a t i o n o fl o g i xg e a r a b s t r a c t l o g i xg e a ri s an e w g e a rb a s e do nn e wt o o t hp r o f i l et h e o r y t h i sa r t i c l e s t u d i e st h em a c h i n i n gm e t h o d so ft h ep r o f i l e dg e a r 一l o g i xg e a r ，a n dg i v e t h es i m u l a t i o no fi t sr e s u l t a tt h ef i r s t ，t h ea r t i c l ed i s c u s s e st h et r e n do fd e v e l o p m e n ta n dt h ep r e s e n t s i t u a t i o n ，a l s ot h em e n d i n go ft o o t hp r o f i l e t h el o g i xt o o t hp r o f i l ea n di t s m e r i t sa r eg i v e n ，w h i c hc a u s et h ec o m i n go f t h et a s k t h e c o n s t r u c t i n gp r i n c i p l eo f t h el o g i xt o o t hp r o f i l ei sa n a l y s e d b a s e d o nt h ed e e pu n d e r s t a n d i n go ft h ep r i n c i p l eo ft h el o g i xt o o t hp r o f i l ea n d m e s h i n gt h e o r y t h ep r o f i l ec u r v ee q u a t i o n so fr a c ka n dg e a ra r e d e r i v e d u n d e r c u tp h e n o m e n o ni sa l s od i s c u s s e d b a s e do nt h em a c h i n i n gm e t h o d s ，c o n s t r u c t i o np r i n c i p l eo fp r o f i l e ，a n d m a c h i n i n g m o v e m e n to f g e a r ，t h e a r b i t r a r y d e n t i f o r m g e n e r a l t h r e e d i m e n s i o n a im a c h i n i n gm o v e m e n tc e n t r e im o d e ii ss e tu pa tt h es a m e t i m e ，t w o - s t e pm e t h o do f n c g e n e r a t i o no fl o g i xg e a r h a sb e e nb r o u g h to u t a l l o f t h e s eh a so f f e r e dt h en e c e s s a r yp r e p a r a t i o nf o ri t sf o l l o w i n g s v i s u a lc + + i su s e da st h ee n v i r o n m e n ta n dt h et o o lo fs u r f a c ed e s i g n m e n t o p e n g l i su s e da st h et o o lo f g r a p h i ci m i t a t i o n t h el o g i xg e a ra r ei m i t a t e d a n da n a l y s e db yp r o g r a m m i n g ，t h em a c h i n i n gp r o c e s su s e st h et w o s t e p m e t h o d t h ep r i m a r yp r o c e s si s ：f i r s t l y , m o s to fm a c h i n i n ga l l o w a n c ei s r e m o v e db yu s eo fi n v o l u t eh o bc u t t e r0 1 3 ah o b b i n gm a c h i n e ；s e c o n d l y t h e g e n e r a t i o n o f l o g i xg e a r i s c o m p l e t e du s i n g c o m m o nd i s t o r t i o n h o b 一s i n g l e l o o pm e n d i n gr a c kh o bo nt h en c m a c h i n et 0 0 1 t h er e s u l to f i m i t a t i o ni sg i v e n t h ei n f l u e n c eo f t o o t hp r o f i l e sp a r a m e t e r so nt o o t hp r o f i l e a n dp r i n c i p l eo fc h o o s i n ga l l p a r a m e t e r sa r ed i s c u s s e db a s e dt h er e s u l t o f j m i t a t i o n k e yw o r d s ：蚴t o o t hp r o f i l e ；m a c h i n i n g ；m e s h i n gt l m o r y ；g r a p hs i m u l a t i o n 2 山东大学硕士学位论文 1 绪论 众所周知，处于原动机和工作机之间的传动装置是任何机器必不可少的组 成部分，而齿轮传动又是最主要的一类传动装置。由于其具有传递运动和动力 效率高、可靠、平稳、准确、结构紧凑等诸多优点，所以在各种机器中得到了 广泛的应用，现代机械中几乎无一不含齿轮。正因如此，齿轮常被视为工业的 象征，出现在庄严的国徽上，这不仅说明它应用广泛，而且代表了工业的发展 水平。但是，在各种机械零件中，齿轮技术难度又是较大的，齿轮技术水平， 在一定程度上代表了机器的技术水平。 1 i 齿轮技术的发展及研究现状 在齿轮传动中，决定其动态性能优劣的最基本要素就是齿轮的齿形。 齿轮的齿形不同，其用途和传动性能就不同。社会的不断进步、生产力的 不断发展使得齿轮齿形也在不断发展演变。为了满足不同的使用场合，人 们在实践中发展了诸多不同的齿形。 最原始的齿轮齿形是直线型，仅起拨挂的作用，并采用硬木制造。随 后出现了铜和铸铁齿轮，齿形是未进行推演的圆弧形。此时，齿轮的加工 均采用手工制造。 1 7 世纪末，随着钟表业的发展，出现了摆线齿轮，由于制造和安装比 较困难，未能在各部门推广，这时的齿轮采用成形法切齿，但铸造工艺还 是齿轮制造的主要方法。同时，法国学者p h i l i p p sd el ah i r e 于1 6 9 4 年 首先提出了渐开线作为齿形曲线。 1 8 世纪，瑞士的e u l e rl 予1 7 6 5 年提出了渐开线齿形解析研究的数 学基础。后来，s a v a r y 进一步发展，得出了著名的e u l e r - s a v a r y 方程，为 渐开线齿形的广泛应用奠定了理论基础。m c a m u s 建立了齿轮接触点轨迹的 概念称之为c a m u s 定理，既齿轮啮合基本定理。 1 9 世纪的工业革命对于齿轮性能和数量的要求日益提高。r o b e r t w il l s 定理的发展、h o p p e r 的变位齿轮理论和j c o m l y “展成切齿法”加工 山东大学硕士学位论文 原理的应用，解决了渐开线齿轮设计、安装和加工制造的实际问题，从而 为渐开线齿轮的广泛应用奠定了实践基础。总之，经过二百多年的发展， 渐开线齿形今天已占据绝对优势。 渐开线齿形具有效率高、寿命长、制造安装方便、易于互换等诸多优 点，但渐开线齿形也有缺点。主要包括：渐开线齿轮的接触应力大，承载 能力不够高。渐开线齿轮是线接触，对它自己及其有关零件的刚度和加工 装配的精度要求比较高；渐开线齿轮的磨损较严重，且不均匀等。 随着科技和生产发展的需要，为了弥补渐开线齿形的不足和满足不同 的使用场合，相继出现了些其它形式的齿形。例如圆弧和双圆弧齿轮“、 双向圆弧齿轮”1 “、曲线齿廓齿轮”1 、其它异形渐开线齿轮“1 、双鼓形齿轮、 非圆齿轮。1 “、任意齿形齿轮“2 ”1 及纯滚动接触齿轮“玎等。 圆弧齿轮的概念是1 9 5 6 年提出的，又称为w n 齿廓。与渐开线齿轮相 比。圆弧齿轮具有以下主要优点：承载能力大，齿面接触强度高。没有根 切现象，小轮齿数可以很少，结构紧凑，传动比大。圆弧齿轮传动对有关 零件的刚度和精度要求比渐开线齿轮低哺“1 。 由于圆弧齿轮具有上述优点。因此在高速重载机械如轧钢机、气轮机、 鼓风机、球磨机等机械中获得广泛的应用。以后为克服圆弧齿轮的一些缺 点，人们又开发了双圆弧迭轮。圆弧齿轮和双圆弧齿轮已经应用于各种减 速器中，并取得了显著的技术经济效益。 近年来，为进步提高圆弧齿轮的综合能力，太原工业大学齿轮研究 所等将圆弧齿线移植到双圆弧圆柱齿轮上提出了圆弧齿线双圆弧齿轮，简 称为双向圆弧齿轮“”。太原工业大学齿轮研究所在理论探讨的基础上生产 出了这种齿轮，并对其进行了试验研究。试验结果初步表明，双向圆弧齿 轮传动具有传动平稳，承载能力高，无轴向力等一系列优点。 非圆齿轮是传递两轴线间的变传动运动的，可用于各种需要不等传动 比的机械中。非圆齿轮出现至今已有六十多年，长期以来，由于其节曲线 计算、齿轮副设计及制造都比较复杂，一直未得到广泛的应用。其中最主 要的原因是缺少高效率、高精度的加工设备。目前，加工非圆齿轮通常采 用插齿加工方法和铣齿加工方法，由于前者的齿向加工精度较低，而后者 的生产效率不离，均不能满足生产实际的需要，雨切齿精度和生产效率都 山东大学硕士学位论文 i i 较高的滚齿加工方法一直未能在非圆齿轮加工中发挥作用，其根本原因在 于现有的数控滚齿机大都不具备非圆齿轮的加工功能。近几年，国内一些 研究机构对非圆齿轮的数控滚齿加工做了大量的研究，并取得了一些成果。 甘肃工业大学的谭伟明、黄建龙等研制成专用电子齿轮功能模板和脉冲合 成电路模板“川。应用这两种电路模板，并采用软、硬件相结合，软件粗插 补、硬件精插补的实时控制方法，获得非圆齿轮滚齿加工所需要的c n c 联 动机构，实现了非圆齿轮的数控滚切加工。 重庆大学的张光辉等“”1 近年来提出了一种新型齿轮，称其为“分阶式 双渐开线齿轮”。这种齿轮的齿形由两段相错的渐开线和一端连接它们的过 渡曲线( 一段圆弧的包络线) 组成，其齿顶和齿根渐开线齿廓呈阶梯式分 布。研究表明，分阶式双渐开线齿轮综合了普通渐开线齿轮和分阶式双圆 弧齿轮的优点，又克服了它们各自存在的弱点，有良好的应用前景。但是， 按照常规啮合理论，分阶式双渐开线齿轮的制造需要专门的刀具，而且如 果齿轮的分阶点和阶梯董不同，则就需要分别制造其相应齿廓不同的滚刀 来加工。 随着科学技术的发展，对齿轮传动的要求也在不断地提高。特别是在 高速重载和小型化方面尤为突出。8 0 年代后期，日本学者小守勉用新的齿 形理论，提出了名为l o g i x 齿轮的新型齿轮“9 2 ”，它的齿形由许多微段渐开 线连接而成，采用对称的凸凹啮合形式，并且使微段渐开线的接合点在啮 合时的相对曲率为零，这些点被称为n - p 点。一个轮齿的齿形上有大量的 n - p 点，它的间断啮合使齿轮的滑动系数变的很小，基本上实现了滚动摩擦， 大大增强了齿轮的表面接触疲劳强度，而表面接触疲劳强度低正是齿轮损 坏的主要原因。研究表明，在相同条件下，l o g i x 齿轮的齿面接触疲劳强度 约为渐开线齿轮的3 倍，弯曲疲劳强度约为渐开线齿轮的2 5 倍。此外它 还克服了圆弧齿轮的缺点，能制成直齿轮。l o g i x 齿轮的另一突出优点是可 以设计成少齿数齿轮，最少齿数可以降到3 个，比渐开线最少齿数少的多， 易于实现产品的小型化、紧凑化。当然l o g i x 齿轮也有一些缺点，例如加 工精度较高，对中心距误差较敏感等。 对于l o g i x 齿轮，近几年国内也做了一些研究“2 ”。合肥工业大学的赵 韩等”根据l o g i x 齿轮的基本概念，建立了用微直线段构造齿廓的完整过 山东大学硕士学位论文 程，并导出了相应的齿条及齿轮的齿廓曲线方程等基本公式。上海交通大 学的陈安适等“”在分析l o g i x 齿轮啮合状况的基础上，探讨了l o g i x 齿轮 的重合度和滑动系数的计算原理，以及初步的分析研究结果。 随着现代技术的发展，对齿轮传动性能要求的不断提高，国际上对于 齿轮的齿形设计已进入到弹性变形设计阶段”“，考虑运动学、动力学问题 以及热变形、摩擦、润滑等诸方面的因素影响，为减少齿轮传动啮入、啮 出冲击以及降低噪声、提高传动质量，目前国际上渐开线齿形已普遍为其 修形齿形所代替，寻求各种不同工况下的最优齿廓形状的研究已经十分盛 行。”3 ”。在齿轮设计过程中，对标准渐开线齿轮，考虑其动态变形量而将其 设计成非标准渐开线齿轮，称其为设计齿形，齿廓曲线称为设计齿线。在 五十年代，国外汽车、拖拉机工业就已广泛采用了设计齿形和设计齿线的 概念，七十年代，设计齿形和设计齿线的概念已被国际标准i s 0 1 3 2 8 1 9 7 5 平行轴渐开线圆柱齿轮一i s 0 精度制明确法定采用。八十年代，我国在 j b l 7 9 8 3 和g b l 0 0 9 5 8 8 渐开线圆柱齿轮精度标准中等效采用同类标准。 1 2 齿轮齿廓修形技术及其发展动态 齿轮齿廓的修形方法很多，目前主要有机械法、化学法和c n c 法等。 l 、 械法修形”3 ” a 、平面砂轮或锥形砂轮磨齿机上用靠模样板先修整砂轮再修齿轮。如 n z at 具磨及美国国际工具公司大平面砂轮凸轮磨等。该法效率高，操作简 便，适于批量生产，而缺点则是必须带有修整砂轮附件，精度低。 b 、在蝶形双砂轮卧式磨齿机上，采用零度磨削法修形。如带“b c ”机 构的瑞士马格双砂轮磨齿机，b 机构对齿顶、齿根修形；c 机构是齿向修形 机构，利用凸轮片和b 、c 机构配合进行齿顶、齿根和齿向修形。这种方法 精度高，操作简便。缺点是生产率低，必须具有b 、c 机构，且需做样板。 c 、 锥形砂轮立式磨齿机上用变展成比法磨削修缘、修根齿轮。高速重 载齿轮齿廓修形模型常常是三段渐开线，中间为基本渐开线，两边为齿顶 修缘渐开线和齿根修形渐开线。对这种修形的实现是在锥形砂轮立式磨齿 机上用改变展成比的办法完成。这种方法优点是磨齿机无须带修整砂轮的 山东大学硕士学位论文 特殊附件，缺点是精度低，且调整计算比较繁琐。 d 、形双齿轮卧式磨齿机上用改变滚圆直径法来修形齿轮。这种方法虽 然无须设计制造修缘、修根凸轮片，但需依据齿顶、根部及中部渐开线参 数，设计出三种不同直径变化规律滚圆盘，比起大平面砂轮磨齿机或锥形 砂轮立式磨齿机，精度高，但缺点是磨一个修缘、修根齿形齿轮，须三次 更换滚动圆盘，三次调整机床才能完成，生产率低，只适于单件、小批生 产。 e 、用修形滚刀滚切修形或修形螺杆磨轮滚磨修形。a d 中的磨齿修形 砂轮一般是蝶形或锥形，磨齿修形方法属于间歇修形，这种方法比起连续 磨削效率低。利用修形螺杆状磨轮在螺杆砂轮磨齿机上进行滚磨修形则属 于连续磨削法，利用了齿轮啮合理论的分度展成原理。有的还利用修形滚 刀在滚齿机上精滚齿时完成齿轮的修形。而修形刀具的修形是依靠靠模在 制造过程中实现的。它属于连续滚切修形，效率较高，修形精度因刀具制 造的复杂性和修形棱边的有限性而较低。 2 、化学法修形 将电化学加工方法运用于齿轮的齿向修形加工，可以实现少投入，高 效率、低成本、大批量地对齿轮进行齿向修形。该工艺尤其适合于机械方 法不易进行齿向修形的齿轮，如内齿轮、双联齿轮等。电化学修形的原理 是”：由电化学加工阳极溶解原理，将被加工齿轮作为阳极置于电解液中， 在齿轮与另外设置的阴极之间通以低压直流电，齿面金属发生阳极溶解而 被蚀除。合理设计阴极并设置屏蔽，以便控制加工区电场，使齿面电流密 度沿轮齿齿向方向按修形要求分布。齿轮表面金属也将按修形要求蚀除， 从而达到齿面修形形状和修形量的要求。 与机械修形方法相比，齿轮电化学齿向修形是一项成本低、生产率高、 表面质量好的修形新工艺。所需设备投资较少，结构简单，操作方便，不 受齿面硬度限制，无切削痕迹，无加工变形及残余应力，不改变齿面材料 原有机械性能，并能去飞边及毛刺等。 3 、c n c 法修形”2 1 ”1 由于目前齿轮的修形几乎全在其精加工磨齿工序上完成，因此数控磨 齿技术比较成熟。如德国的n i l e s 公司9 0 年代研制生产出的第三z s t z i o c n c 山东大学硕士学位论文 型七轴数控齿轮磨床配备系列的c n c 砂轮修整器，利用计算机软件程序 控制，使新型几何形状的齿形加工取得了重大进展。在国内，目前生产的 齿轮机床以及齿轮制造厂所拥有的齿轮机床般都不具备c n c 柔性修形能 力，主要采用机械修形，且仅能完成简单的齿廓修形“。在齿向上的修形， 如鼓形齿的加工仅仅是近几年在旧式滚齿机上对之进行基本的经济型数控 改造爿能实现，否则需要花费较大的精力和成本来制造修形靠模和修形刀 具。可以说，目前，比较成熟的高精度c n c 齿轮加工机床产品的制造以及 c n c 齿轮机床的柔性修形在我国几乎是个空白，而国外c n c 齿轮加工机床 则已发展到相当高的水平，现有复杂的修形模型基本可以完成。 1 3 课题的提出、研究的目的及意义 1 3 1 课题的提出 齿轮作为机械传动的主要组件用来传递运动和动力，它的精度和性能 直接影响到机器的性能。现代生产和科技的发展，要求齿轮传动的性能不 断优化。 在齿轮传动中，决定其动态性能优劣的最基本要素就是齿轮的齿形。 社会的不断进步、生产力的不断发展使得齿轮齿形也在不断发展演变。为 了满足不同的使用场合，人们在实践中发展了诸多不同的齿形。由于渐开 线齿形具有诸多优点，所以渐开线齿形今天已占据了绝对的优势。但随着 科技和生产发展的需要，为了弥补渐开线齿形的不足和满足不同的使用场 合，相继出现了一些其它形式的齿形。 8 0 年代后期，为满足对齿轮高速重载和小型化的要求，日本学者小守 勉“删用新的齿形理论，提出了名为l o g i x 齿轮的新型齿轮。它的齿形由 许多微段渐开线连接而成，采用对称的凸凹啮合形式，并且使微段渐开线 的接合点在啮合时的相对曲率为零，这些点被称为n - p 点。一个轮齿的齿 形上有大量的n - p 点，它的间断啮合使齿轮的滑动系数变的很小，基本上 实现了滚动摩擦，大大增加了齿轮的表面接触疲劳强度。研究表明，在相 同条件下，l o g i x 齿轮的齿面接触疲劳强度约为渐开线齿轮的3 倍，弯曲疲 山东大学硕士学位论文 劳强度约为渐开线齿轮的2 5 倍。此外它还克服了圆弧齿轮的缺点，能制 成真齿轮。l o g i x 齿形的另一突出优点是可以设计成少齿数齿轮，最少齿数 可以降到3 个，比渐开线最少齿数少的多，易于实现产品的小型化。 由于l o g i x 齿轮具有诸多优点，这种新齿廓有望在大传动比场合及重 载齿轮传动中得到应用，并且l o g i x 齿轮的高强度、长寿命等优点更重要 地体现在它的设计思想的革命性，它把人们从传统的单一齿廓曲线设计思 路中解脱出来，利用计算机的大量计算完成多段曲线相结合的齿廓形状， 这一设计思想必将带来许多新型齿轮的出现。 l o g i x 齿轮作为一种新型齿轮，从理论到实际都还有许多未知的领域有 待于进一步的研究。这正是本课题提出的背景。本课题的提出正是为了从 理论和实践上更加深入地研究这种新型齿轮，探讨l o g i x 齿廓的形成原理， 实现l o g i x 齿轮的加工，并在此基础上研究这种齿轮的相关性质。 本课题的主要研究内容如下： ( 1 ) l o g i x 齿形的形成原理研究。 ( 2 )探讨l o g i x 齿轮创成加工的实现方法。 ( 3 )开发l o g i x 齿轮展成切削的仿真软件，并进一步分析其各个参数 的影响即选取原煲q 。 科学的发展和生产的进步对齿轮的传动性能提出了更高的要求。为满足这 些要求，各种新型齿形也在不断提出，而l o g i x 齿形无疑是一种既具有理论价 值又具有实际应用价值的新型齿形。对这种齿形作进一步研究不仅有助于将该 齿形推向实际应用，而且有助于其它新型齿形的提出和应用。 1 3 2 研究的目的及意义 目前国内外对l o g i x 齿形齿轮的研究仅仅停留在其设计、齿形形成原 理和特性等方面。对其齿形的高效加工制造还没有从根本上解决。日本仅 仅按照单一的、低效率的轨迹法，在计算机数控( c n c ) 线切割放电加工机床 ( e d m ) 上，试切出l o g i x 齿形来进行实验研究。国内也仅仅从其齿形设计 理论和形成原理上作了些研究工作，对其实际加工制造和推广应用试验还 未曾研究，还有众多诸如有关l o g i x 齿形实际性能、加工和测量等方面的 山东大学硕士学位论文 课题尚需研究。而这些研究，都必须首先解决一个首要而关键的问题一一 l o g ix 齿形的创成加工技术。 本课题的研究目的就在于从根本上解决这种新型齿轮的成型制造问 题，实现l o g i x 齿轮的计算机仿真模拟加工，为进一步研究任意齿形的数 控加工奠定基础。 具有优异传动性能的l o g i x 齿形的高效、高精度创成，必将带来机加工 设备制造精度的提高及机器性能的改善，大大推进现代制造技术的发展， 其精密成形问题的解决必将会给机械传动及机械设计行业带来个彻底的 革命，从而促进我国、农业和国防工业的迅猛发展，具有极其重要的科学 意义和现实意义。 由于这种新型齿廓的优异特点，这种全新齿廓的齿轮对当前诸如需要大 幅度减轻驱动机构重量或承受大传动力的机器人、航空器械、航天飞机等 国防高科技尖端技术的发展尤其重要，l o g i x 齿形齿轮必将具有很好的应用 前景。 本课题属于前沿研究，具有创造性、先进性，来源于“特形齿轮的刨成 技术及闭环开放式数控滚齿系统研究”项目，此项目已得到国家自然科学 基金的资助。 1 4 小结 在齿轮传动中，决定其动态性能优劣的最基本要素就是齿轮的齿形。 齿轮的齿形不同，其用途和传动性能就不同。本章介绍了齿轮齿形的发展 及其现状，说明了它们的优缺点，为了弥补传统的渐开线齿形的不足，相 继出现了圆弧齿轮、非圆齿轮、分阶式双渐开线齿轮及本课题涉及的l o g i x 齿轮，而l o g i x 齿轮的性能较渐开线齿轮大大增强。介绍了齿轮的修形的 技术及其发展动态。最后引出课题，阐述课题的研究内容、目的和意义。 山东大学硕士学位论文 2 l o g i x 齿轮的原理、计算及其加工初探 2 1 l o g ix 齿轮的原理 按齿轮的加工方法，一般是先制成齿条刀具，再加工出不同齿数的齿 轮。研究l o g i x 齿轮的齿廓曲线，我们也从它的齿条的齿廓形状入手。 l o g i x 齿条的齿廓曲线是由许多微段渐开线连接而成的。如图( 2 一i - i ) 所示，取一点0 。并作夹角为q 。的两射线o , n 。和o , n 。作节线p l 垂直于o , n 。， 交两射线于n 和n 。点，并满足o m 。= g 。然后选定6 角( 6 角为给定的压力 角参数) 做出o 0 ，= 2 g 。，以0 。和0 。为圆心，以g 。为半径分别作相切的两 个基圆，两基圆和节线p l 分别交于n 。点和n 。点，若两圆的公共发生线为 g s ，按渐开线形成原理，微段渐开线硒s 。和s i l n 分别是发生线g i s 。沿0 。和 0 ，的基圆滚过弧长g ，n 。和窖。n ，形成的。因此，微段渐开线在两端点j 】口，m ( 称为n p 点，或零点，在这类点处啮合时的相对曲率为o ) 的曲率中心分 别是节线上的l l 。和n 点。其曲率半径分别是： p - o 2 n l o n o ，p - i 2 m t n io 构造过程是一种递推过程，且下一微段m l 瓢的压力角应比上一微段的 压力角有一增量，m 点处上下两微段应光滑连接，m 、m ：点的曲率中心在节 线上。如图( 2 一i 一2 ) 所示，过0 。点作与0 , 0 夹6 角的线段0 0 ：并交节 线于r l ，点，使0 2 n 长等于g ：( g ，g ：满足一定的变化规律) ，重复以上步 骤可得下一微线段m 。m ：。如此依次进行下去，就可得到所需的齿廓曲线。 基本齿条节线以下齿廓的形成与节线以上齿廓的形成原理相同。图 ( 2 - i 3 ) 是以上述原理绘制出的标准齿条的齿形，斜线表示微段渐开线接合 点的曲率半径，由图可知齿形的曲率中心都在节线上，齿形在节线以上为 凸，节线以下为凹，这样的齿条加工出的齿轮保证了凸凹的啮合形式，且 有很多相对曲率为零的点( n p 点) 。 山东大学硕士学位论文 q o 十6 + o l 图( 2 卜1 ) l o g ix 齿条齿形的形成原理 图( 2 一卜2 ) l o g i x 齿条齿形的形成过程 1 0 - 山东大学硕士学位论文 半径 p - 【 图( 2 一卜3 ) 标准l o g i x 齿条的齿形 2 2 l o g i x 齿条的齿形计算 图( 2 2 一1 ) 所示为l o g i x 齿条节线处的初始位置微段渐开线的形成原理。 图中给定a 。，6 ，g 。及p ，。= o ，由渐开线的性质得渐开线在s 点的曲率 p ，t 2 g t6 及p n = p ，l + g 6 由以上两式得：户。= p r g ，6 。= g 。( 6 6 ，) qi = qo + 6 + 6 t 式( 2 2 1 ) 式( 2 2 2 ) d m 睡n n )怒；彬r l 1x 又 汐 g 1 (1 1 图( 2 2 1 ) 初始位置微段渐开线的形成过程 图中n t ，n n ，n n 。均垂直于o l o 。，n n 。垂直于n 。n 。，由图可知 么n 】n o f i l ”20l 6 山东大学硕士学位论文 n m i ”= r l o n i = 0 1 0 t 一0 i n o 0 i n i = 2 g i g i c o s6 g l c o s6l n 0 1 3 i ”= 1 3 i 1 1 0 n 一n m t = g i s i n6 一g l s i n5l 因为三角形n 。n 。n 。”为直角三角形 所以t g 么n 舳n 。”= 型k 九0 以i 即 t g ( a o + 占) ； 2 g l g ic o s b 一g lc o s 5 l 一2 一( c o s 8 + c o s1 ) g ls i n 万一g ls i n 占i s i n 5 一s i n 6 s i n ( a o + 5 ) ：= 2 - ( c o s 8 + c o s s , ) c o s ( 口o + 6 )s i n 5 一s i n 8 l s i n ( qo + 6 ) s i n5 s i n ( oo + 6 ) s i n6 l = 2 c o s ( ao + 6 ) - c o s ( no + 6 ) c o s6 一c o s ( a0 + 6 ) c o s 6i 整理后得：c o s ( ao + 6 + 51 ) = 2 c o s ( 0 + 6 ) 一c o s ( ao ) 6 i = a r c c o s 2 c o s ( do + 6 ) - c o s ao 卜( a0 + 5 ) 式( 2 2 3 ) n o n 产n o n l ”c o s ( qo + 6 ) r g l ( s i n6 - s i n6 ) c o s ( n0 + 6 ) 式( 2 - 2 4 ) 根据l o g i x 齿条齿形的形成过程，参照公式2 - 2 1 。2 - 2 - 2 ，2 - 2 - 3 ，同理 可得齿形上任一n _ p 点的曲率半径： p 。j = p “一i + g f ( 占一艿，) 当i = k 时， p 。= g ( 万一五) + g ：( 万一屯) + - + g ( d 一瓯) = g ( 8 - d 1 ) 式( 2 2 - 5 ) 齿形上任一点的压力角： 口f = 口卜l + d + d l 当i = k 时， 吼= + ( 占+ 一) + + 疋) + + ( 占+ 以) = + + 4 ) = + 七占+ 5 i 式( 2 - 2 6 ) h i - 1 n f = g ( s i n 8 一s i n s d c o s ( a h + 6 ) 而n 。n t = 善i t r 一- 一t = 萋；! i ! 糟 式( 2 - 2 - 7 ) 1 2 - 山东大学硕士学位论文 图( 2 2 2 ) 为l o g i x 齿条的一段齿形，将其分为四段分别建立齿廓曲线方 程。图( 2 2 3 ) 中建立以n 0 为原点，以节线为x ，轴的坐标系。由图得l o g i x 齿 条上- 第2 段的坐标方程式为： p 划o 一p m i 8 式( 2 2 8 ) i y l = p ，k $ 1 n 由齿形的形成过程可知，l 段和2 段齿形相对称，因此第l 段卤形的坐标 方程为： r 写= 一( ”o 以i p 。tc o s 口i ) l y l5 一“$ 1 n 口k 第3 段齿形的坐标方程为：j x l 2 5 一( n o 心“c o s ) l 。p ms l n 口 第4 段齿形的坐标方程为： 。3 + ”! 一户m c 0 8 吒 x l 图( 2 2 _ 3 ) l o g i x 齿条坐标示意图图( 2 2 - 2 ) l o g i x 齿条齿形 2 3 l o g i x 齿轮的齿形计算 如图( 2 - 3 - i ) 所示，已知标准齿条的齿形，以齿条齿廓与节线的交点为 原点，建立一个和齿条相同连的移动坐标系0 x 。y ，则在此坐标系中齿条齿 廓上n - p 点的坐标方程可由式2 - 2 - 8 表示。 齿轮齿条传动，应满足齿轮节圆与齿条节线作纯滚动的要求。因此， 当已知l o g i x 齿条的基准齿形时，就可以通过坐标变换法求出与之共轭的 l o g i x 齿轮的齿廓方程。图( 2 - 3 - i ) 中，以节圆与节线的切点p 为原点建立 一个固定坐标系p x y ，以齿轮转动中心为原点建立一个与之固连的动坐标系 山东大学硕士学位论文 0 z x 。y ：。在起始位置，0 。与p 重合，y ，y ，y 。重合。设给定的齿条移动端 距离1 ，由图知l = x t + y - c t gn - ，则齿轮应转过妒：角，缈2 = l r z j y | ，y 2 f 、够 1 n 义。 均一 觖p 一， 0 l i x i 一 _ 一 l 图( 2 - 3 一1 ) l o g i x 齿轮的齿形 ( x ) 根据啮合原理，将齿条齿廓曲线在动坐标o x y 中的点变换到定坐标 o x y 中： i x = x l 一，2 一y l c t g a i = 一p “c o s g i 1 y = y i = p ms i n a i 式( 2 3 一1 ) 上式为齿条和齿轮的啮合线方程式。取妒：以顺时针方向为正方向。将 上式变换到0 。x 。y ：中，得到齿轮齿廓上对应的方程： l x 2 = x c o s 9 2 一( y r 2 ) s i n 9 2 【y 2 = x s i n ，2 + ( y 一，2 ) c o s 妒2 代入式子2 - 3 - 1 ，得： f x 2 = o i 1 ) c o s 妒2 一( y l r 2 ) s i n 妒2 【y 2 = ( 一一1 ) s i n 伊2 + o i 一，2 ) c o s 仍 或改写为： i x 2 = 一p mc o s g ic o s 妒2 一( p _ 上s i n a i r , ) s i n 妒2 【y 2 = 一p 时c o s g is i n 擘 2 + ( p 融s i n a t r 2 ) c o s 妒2 以上两式都可作为l o g i x 齿轮的齿廓曲线方程式。 山东大学硕士学位论文 2 4 l o g i x 齿轮传动满足齿轮啮合基本定理的证明 如图( 2 - 4 1 ) 所示，一对l o g i x 齿轮啮合时，在啮合点处两齿廓曲线的曲 率满足欧拉一萨瓦里公式，即： 上+ j 二：( 土+ 马土 p l 一，p 2 + ，i，2 s i n a 式中p 。，p ，两齿廓在啮合点b 处的曲率半径 r 。r 2 两齿轮的节圆半径 r 啮合点到节点的距离 a 啮合点处的压力角 欧拉一萨瓦里公式表明了平面啮合共轭齿形在接触点处的曲率半径p 。， p ：与两齿轮的节圆半径r 。，r ：以及接触点的位置( 由r ，a 确定) 之间的 关系，在r 。，r ：，r ，n 已知时，可以由一个齿形的曲率半径p 。直接求得另 个齿形的曲率半径p ：而不必求出两齿形的方程式。但在应用公式时需要 注意：因为两l o g i x 齿轮在啮合时的齿形凹向相同，因此上式中p 。或p 。 前的符号要作相应的改变。既上式变为： 上+ l ：( 三+ 三) 土 + 一= i 一+ 一卜一 p ，一rp 2 + r吩5 1 1 1 口 图2 - 4 1 l o g i x 齿轮共轭齿形的曲率 当齿轮1 为l o g i x 齿条时( 既齿轮齿条相啮合) ，r l = 一，则上式变为 山东大学硕士学位论文 l1l = p t r p l + rr z s l n a 一口，+ ，：三! ! ! ! ! 旦_ 上 p l 一，一r 2 s l r i a 对于l o g i x 基本齿条来说，在n - p 点处( 其曲率中心在节线上) 有： p1 2 r 则由上式可得：p 。= r 这说明l o g i x 齿轮齿廓在n - p 点处的曲率中心在节圆上，并且其曲 率半径与共轭的基本齿条相同。 同理，若将齿轮2 换成齿条，可知齿轮l 的齿廓在n - p 点处的曲率 中心也在节圆上，且曲率半径也与共轭的齿条相同。由此可知，在对 l o g i x 齿轮啮合时，啮合点处的法线相重合，且啮合点处的公法线一定过 节点，因此l o g i x 齿轮传动满足啮合基本定理，能实现定传动比传动， 啮合形式为凸凹啮合且p 产p ：，所以l o g i x 齿轮传动时，相对曲率为零， 具有很高的抗接触疲劳强度。 2 5 l o g i x 齿轮的根切分析 在用基齿条包络成形l o g i x 齿轮时( 即范成法) ，如果齿轮的齿数特别 少，l o g i x 齿轮也会发生根切现象。l o g i x 齿轮的根切在本质上与渐开线齿 轮的根切相同，也是齿条刀具的齿顶部把被加工齿轮的齿根曲线切去一部 分。在误差允许的范围内，我们可以把l o g i x 齿条上的微段渐开线用微段 直线来代替，这样，就可以将l o g i x 齿条看作是由很多段压力角不同的渐 开线齿条连接而成。 如图( 2 - 5 一1 ) 所示，图中m 。，m 。和m 。是l o g i x 齿条上相临的三个 n p 点，分别用微线段m i l i m t ，m 。n l 。代替微段渐开线m 。m 。m l m i + l ，延长m 。m 。 交节线于s ；点，延长i n 。交节线于s 。点，再分别过m 。m 。点作节线的平 彳亍线m 。t 。，i n 。t 。在此，可把s i m 。t 。看作是一个渐开线齿条，而m i m 。t 。则 是该渐开线齿条的一部分。同理，s t , d l l 。t 。也可看作是一个渐开线齿条， 而m 。m 。t 。是该渐开线齿条的一部分。m 。i l l 。，m 。m 。两段齿条在齿轮上将切 山东大学硕士学位论文 出两段相连的渐开线。对于渐开线齿条s i m 。t 。来说，如果它切制的齿轮产生 了根切，则齿条上的切入部分应该是它的齿顶部分，即m 。附近的部分。如 果我们能证明它所切制的齿轮不发生根切，那么作为齿条部分的m 。m 。显 然也不会切入齿轮。所以，如果l o g i x 齿条齿廓上每一个微段直线所构成 的渐开线齿条所切制的齿轮都不发生根切现象，则可以认为l o g i x 齿条所 加工的齿轮也不会发生根切现象。 p - l 图 2 - 5 1 ) l o g i x 齿轮的根切原理图 ，厶+ 对于微段渐开线齿条，不发生根切的最小齿数为：z 。= 导 s i l l 口 对于每一段微段渐开线齿条，其h a + 和f l 都不会相同，其数值为： 。( f ) ：丝：y _ l ：y l l t ( i _ _ q ) ，而a ( i ) 即为n p 点m 。处的压力角。 m ，竹m 因此对于微段渐开线齿条，不发生根切的最小齿数为： z 。：鱼辈蜂 式( 2 5 一1 ) 。m - 2 一 7 m s m 口u j y 1 1 t ( i ) 为l o g i x 齿条在节线以上齿廓的纵坐标。 用此公式可计算出每一微段直线所对应的最小齿数，只要l o g i x 齿轮 的齿数大于其中最大的一个，则l o g i x 齿轮就不会发生根切现象。表2 - 5 - 1 是使用以上公式计算根切齿数的一个实例。 由表中数据可以看出，根切齿数并不是在齿条实际项尖部分达到最大 值，而是在接近中间的某一点达到最大值，然后又逐渐降低，即可能齿轮 的齿根部分是完整的，而齿根的中间部分反而被切掉了。由式2 - 5 - 1 可知， 山东大学硕士学位论文 最小齿数z 。的数值取决于y l i t ( i ) 、m 和a ，当m 一定时，只有y l l t ( i ) 和o ( i ) 为变量，在齿条的齿顶部分，虽然y i l t ( i ) 达到最大值，但a ( i ) 也达到了最大值，而且s i n 2a 的变化幅度比y 1 l t ( i ) 的变化更快一些。由 于z 。与y l l t ( i ) 成正比，与s i n 2a 成反比，所以根切齿数在齿条的中间部 分达到最大值。 m = 6 ，z = 1 5 ，h a + = l ，c = o 2 5 ，ao = 4 0 ，6 = o 0 5 0 g o = 1 2 0 0 0 n y 1 l t z - i “ 10 0 0 8 70 5 6 9 0 70 0 6 5 13 2 3 7 8 1 00 0 9 5 7 4 2 0 7 9 2 00 2 0 7 56 3 5 2 7 3 0 0 3 3 2 47 4 9 0 6 4 00 4 6 8 18 0 9 0 6 5 00 6 1 2 98 3 8 5 0 6 00 7 6 5 3 8 4 9 8 2 7 51 0 0 6 l8 4 7 5 0 8 51 1 7 3 3 8 3 8 6 0 l o o1 4 3 2 6 8 1 9 4 7 1 2 01 7 9 0 77 8 8 9 5 1 6 02 3 4 7 0 7 4 0 9 7 2 0 03 3 0 0 86 6 7 3 8 2 5 04 2 5 8 8 6 0 5 8 3 2 7 04 6 3 7 3 5 8 4 4 2 3 0 05 1 9 5 8 5 5 5 3 6 3 2 05 5 6 0 3 5 3 7