（机械设计及理论专业论文）3rcc并联机器人机构的运动分析及控制研究.pdf

皇圣耋些耋塑耋耋堡耋耋，。一，。，。! 。一，。! ：一! ，。，。l 堡 摘要 并联机器入机构由于具有速度高、刚度大和承载能力强等优点，受到人们的广泛 关注。3 r r c 是一种新型并联机器人机构，能够实现空间的三维平移运动。本文针对 3 r r c 并联机器人机构进行了以下研究： 首先，根据3 r r c 并联机器人机构的结构特点，给定了所要研究的机器人的具体 结构，并应用螺旋理论对其进行了自由度和约束的分析。 其次，建立了位置方程，并对位置方程的正反解进行了数值计算和图解计算；应 用圆弧相交法确定了3 r r c 并联机器人机构的工作空间。 第三，建立了速度方程，并对其正反解进行了数值求解；通过分析速度阶影响 系数矩阵，确定了机构发生奇异位形的位置。 第四，基于曲线参数化的理论，对3 r r c 并联机器人机构的轨迹规划进行了研究， 求出了位置控制的输入函数。 最后，借助予计算机辅助设计软件设计了虚拟样机，并在样机上进行了仿真试验， 对前面的计算和分析进行了验证。 通过以上的分析和研究，对3 r r c 并联机器人机构的结构和运动性能有了具体而 深入的了解，这为3 r r c 并联机器人物理样机的制造奠定了良好的基础。 关键词：3 r r c ，并联机器人机梅，曲线参数化，轨迹规划，虚拟样机 山东理工大学硕士学位论文a b s t r a c t a b s t r a c t b e c a u s eo ft h ec h a r a c t e r i s t i c so fh i l g hv e l o c i t y , h i g hr i g i d i t ya n ds t r o n gc a p a c i t y ，s p a t i a lp a r a l l e l r o b o tm e c h a n i s mh a sb e e nw i d e l yt e n d e db ym o r ea n dm o r ep e o p l e 3 r r ci san e wt y p eo fs p a t i a l p a r a l l e lr o b o tm e c h a n i s m ，i t c a nr e a l i z et h r e ed i m e n s i o n a lt r a n s l a t i o n a lm o t i o ni nt h es p a t i a l t h e f o l l o w i n gr e s e a r c h e sh a v eb e e nd o n e t o3 r r c p a r a l l e lm e c h a n i s m ： f i r s t ，t h ec o n c r e t es t r u c t u r eo ft h er o b o tm e c h a n i s mw a sg i v e na c c o r d i n gt ot h ec o n f i g u r a t i v e p r o p e r t i e so f3 r r cp a r a l l e lm e c h a n i s m ，a n di t sd o f a n dc o n s t r a i n sw e r ea n a l y z e db ys c r e wt h e o r y s e c o n d ，p o s i t i o ne q u a t i o nw a sb u i l ta n di t sf o r w a r da n di n v e r s es o l u t i o n sw e r es o l v e db yn u m e r i c a l a n dg r a p h i c a lm e t h o d s t h e nt h ew o r ks p a c ew a sg o t t e nb yg r a p h i c ss o l u t i o n s t h i r d ，v e l o c i t ye q u a t i o nw a sb u i l ta n di t s f o r w a r da n di n v e r s es o l u t i o n sw e r ec o m p u t e db y n u m e r i c a lm e t h o d t h e np o s i t i o n so ft h es i n g u l a r i t yc o n f i g u r a t i o no ft h em e c h a n i s mw e r ec o n f i r m e d t h r o u g ha n a l y z i n gt h ef i r s to r d e ri n f l u e n c ec o e f f i c i e n tm a t r i xo ft h ev e l o c i t y f o u r t h ，t r a c ep l a n n i n go f3 r r cp a r a l l e lm e c h a n i s mw a ss t u d i e db a s e do nc u r v e sp a r a m e t e r i z a t i o n t h e o r y , a n dt h ei n p u tf u n c t i o n so ft h ep o s i t i o nc o n t r o lw e r eg o t t e n f i n a l l y , t h ev i r t u a lp r o t o t y p ew a sd e s i g n e db yc a ds o f t w a r ea n dt h es i m u l a t i o ne x p e r i m e n t sw e r e d o n eo i li t a tl a s tt h ea n a l y s i sf c s u l t sb e f u r eh a v e b e e nv o r f i e d t h r o u g ha b o v ea n a l y s i sa n ds t u d i e s , w eh a v eh a dac l e a ra n dd e e p l yk n o w l e d g eo ft h es t r u c t u r a l a n dk i n e t i cp r o p e r t i e so f3 r r cp a r a l l e lr o b o tm e c h a n i s m ，a n dt h i sh a sm a dag o o df o u n d a t i o nt om a k e t h er e a lp r o t o t y p eo f3 r r cp a r a l l e lr o b o t k e yw o r d s ：3 r r c , p a r a l l e lr o b o t m e c h a n i s m ，c u r v e sp a r a m e t e r i z a t i o nt h e o r y ， t r a c eh a n n m g ， v i r t u a lp r o t o t y p e i i 独创性声明 y8 g 0 1 7 0 本人声明所呈交的论文是我个人征导师指导下进行的研究工作及取得的 研究成果。尽我所知，除了文中特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包含 其他人已经发表或撰写过的研究成果，也不包含为获得山东理工大学或其它教 育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作的同志对本研究所做的任 何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。 研究生签名： 时间：年月日 关于论文使用授权的说明 本人完全了解山东理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有 权保留送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅和借阅；学校可以用不同方 式在不同媒体上发表、传播学位论文的全部或部分内容，可以采用影印、缩印 t 或扫描等复制手段保存、汇编学位论文。 研究生签名：陬梵 导师签名： 稻杏焉 时间：洒瞬月肿曰 时间：衍月，烟 出末理工夫学硬士学位论文 第一章缝论 糟攀鼍总暑詈皇皇曼量毫! 皇詈! ! ! ! ! ! ! 鼍曼墨曼兰皇皇麓兰拳麓黑群崮鞘篁舞霉皇墨置宣曼置墨詈量置詈詈詈! 曼量笪皇基岂篁鼎燃燃i 篁黜 1 1 本课题的研究意义 第一牵绪论 现代科学技术( 如先进制造拽术、机器人技术、生物技术等) 的发展，对各种机 械设备的性能提出了更高的要求，例如制造业对高速度，高精度，高强度的设备的需 求，医学的发展对微型高精度设备的需求，等等。那么如何来满足现在这种需求呢? 拜发并联机器人就是一种很好的途径。 枧器入是比普通极器更加智能他的枧器，因褥组成它们的基本枫梅楚相瓣瓣。祝 奄霹分建串联枫梭、莠联梳橡秘攀莠联灞会撬秘，荬孛蘸秀耱是基本戳稳。巍器入接 焚缀成辍穆霉分为事联瓤器入，势联辍器久秘审势淹合辍器夭，对予串联撬嚣入，久 f j 已经研究的眈较深入，劳已经大豢威矮子工业生产中。毽是在生产实践中，入稻发 现由于串联机器入的结构限制，它的负载能力和刚性的提高成本比较大，掰飘精度不 商，难以满足机械设备对高精度高强度和高承载能力的要求。 并联机器人，由于其具有刚魔离、承躐能力大，精度高( 积累误差较小) 、速度 高、活动构件重量轻，结构紧凑，控制简单等优点，正好能弥补串联机器人的缺点， 因而受到大家的广泛关注。一些国家融缀做出了用于生产实际的并联机器人，收别了 良好的效果。 但是，目前现有的并联机器人，融予类型有限，固有的结梅、运动、动力特性存 猩一定瓣缺陷( 如运动辩耦健惹，遮溯攀正解方程复杂，不易控摩l 等) ，蕊对这整缺 鼹瀚磐涣氇不器天意，困嚣应爝予嶷繇黛产中著联疆嚣天攫乡，在我謦还没爽歪侵搦 予生产翻造静莠联穗器人。由予势袋撬器久瘊其存懿饶煮没有褥弱兖分鹃稍麓，霸鼗， 缀有必要对并联瓿器入进行深入魏磷巍，来瓣决现有类型的缺陷。 三平移并联机器人，具有广阕的威用前景“，例如：可用于航空兰维膀震射击 平台、四足步行机器人步行腿机构、三维装配机器人、三维坐标测量机、三维佟感器 和广视角通讯无线平台等，同时述能 避j 精密工程领域，如精密加工、精密测擞、医 学、微电子、微型组织、微机械、微型光学乃至生物基因工程等领域的发腥。因此， 对三平移并联机器人的研究，将有利于推广并联机器人在生产中的使用，掇商我国制 造业的水平，促进国民经济的发展。 董0 势联撬器人的概述秘匿爽强磅究现状 l o 。l 并联辘器入戆穰述 山东理工火学硕士学位论文 第一章绪论 并联机器人是用并联机构作为机器人机构，它由澳大利亚机构学教授h u n t 。” 在1 9 7 8 年首先提出：随后，m a c c a l l i o n 和p h a m d t 首次将s t e w a r t 机构。“按操作器 设计，并成功地将它用于装配生产线。这标志着真正意义上的并联机器人的诞生，从 此掀起了并联机器人发展的浪潮。 对并联机构的研究最早可追溯到2 0 世纪。i 9 4 9 年， g o u 曲采用并联机构制 做了轮胎检测装置；1 9 6 5 年英国高级工程师s t e w a r t 发表的题名为“a p l a t f o r mw i t h s i xd e g r e eo ff r e e d o m ”的论文，引起了人们对并联机器人的广泛关注，从而奠定了 他在空间并联机构中的鼻祖地位，相应的平台称为s t e w a r t 平台( 如图1 1 所示) 。 s t e w a r t 平台机构由上下平台及6 根支杆构成，这六根支杆可以独力地上下伸缩，它 分别由球铰和虎克铰与上下平台联接。将下平台固定，则上平台就可以进行6 个自由 度的独立运动，在三维空间可以做任意方向的移动和绕任意轴线的转动。 一般的并联机器人机构都具有与s t e w a r t 平台相似的结构。它们不仅仅是6 自由 度的，还有少自由的并联机构。如图1 2 所示是著名的d e l t a ”1 机构，其上平台可以实 现空间三平移。图1 3 是四自由度空间并联机构。3 ，其上平台可以实现空间两转动和 两平移。 图1 1s t e w a r t 并联机构图1 2b e l t a 并联机构图1 3 四自由度并联机构 1 2 2 国内外的研究现状 目前，国内外关于并联机器人的研究主要集中于机构学、运动学、动力学和控制 策略研究等几个领域。其中，并联机器人的机构学与运动学的研究主要是分析并联机 器人的运动学问题、奇异位形、工作空间和灵巧度等方面。它们是并联机器人控制和 应用研究的基础，因而在并联机器人的研究中占有重要的地位。动力学分析及控制策 略的研究主要是对并联机器人进行动力学分析和建模，并且研究利用各种可能的控制 算法，对并联机器人实施控制，从而达到期望的控制效果。 1 2 2 1 并联机器人的运动学和机构学 1 2 2 1 1 运动学问题 并联机器人的运动学问题可分成两个子问题：正向运动学问题和反向运动学问 题。当给定并联机器人上平台的运动状态( 如位置，速度等) ，求输入关节的运动状 态是运动学的反解问题；当给定并联机器人输入关节的运动状态，求上平台的运动状 态是运动学的正解问题。对于并联机器人来说，反向运动学问题的计算比较简单而正 向运动学问题的计算却相当复杂，因此，正向运动学问题的计算一直是并联机器人运 动学研究的难点之一。从目前的研究成果来看，关于正向运动学的计算方法主要分为 两大类：数值法m “1 和解析法。2 。数值法就是用数值分析的方法，解非线性方程组， 求得与输入对应的动平台的运动状态。数值法的优点是它可以应用于任何结构的并联 机器人机构，计算方法简单。但是此方法计算速度较慢，不能保证获得全部解，并且 最终解与初僮的选取有关。针对这些缺点，有关学者进行了研究。曲义远“”利甩三维 搜索法将6 - s p s 机构的非线性方程组的未知数降为3 个；黄真早在1 9 8 5 年就提出 对于含三角平台的并联机构可以简化为只含一个变量的非线性方程一维搜索法，明显 地提高了求解的速度 另外有的学者从纯几何的角度出发，利用三维搜索法获得可能 的实际解“6 ”1 。以上方法只能找到可能解，但不能找到所有的解。 解析法是通过消元法消去机构约束方程中的某些未知数，从而得到仅含一个未知 数且是多项式的输入输出方程。这种方法的优点是可以求解机构的所有可能解，并能 区分不同连续工作空间中的解，但推导过程复杂。对于一般形式的6 - s p s 并联机 构的解析位置正解还没有解决，但通过改变上下平台上铰链点的分布或采用复合铰的 方法，6 一s p s 并联机构可以演化出许多结构形式，其中有一些结构有解析解。梁崇 高j 教授提出了三角平台型并联机构的位置封闭解。 为了克服非线性方程组数值解法的复杂性，有一些学者应用遗传算法、有限元法 “”以及神经网络”来求解6 一s p s 并联机器人机构的位置正解问题。 1 2 2 1 2 奇异位形 奇异位形o “”嘲是并联机器人机构学研究的又一项重要内容。同串联机器人一样， 并联机器人也存在奇异位形。当并联机器人机构的j a c o b i a n 矩阵奇异时，机构所处 的位置就是机构的奇异位形。当机构处于奇异位形时，机构速度反解不存在，同时存 在某些不可控的自由度。另外当机构处于奇异位形附近时，关节驱动力将趋于无穷大 从而造成并联机器人的损坏。因此在设计和应用并联机器人时应避丁i 二奇异位形。 f i c h t c r 和赵迎祥等人发现了s t e w a r t 平台机构的奇异位形。”是上平台相对于下 山东理工大学硕士学位论文 第一章绪论 平台转过9 0 。位置。一般情况下并联机构的奇异位形分为边界奇异、局部奇异和结 构奇异3 种形式。关于奇异位形的研究主要是寻找并联机器人在工作空间中的哪些位 置上处于奇异位形；关于并联机器人奇异位形研究的另一个相关问题是如何避开工作 空间中的奇异位形。 1 2 2 1 3 工作空间分析 工作空间分析是设计并联机器人的重要环节。机器人的工作空间是机器人操作器 的工作区域，它是衡量机器人性能的重要指标。对于并联机器人来说，它的工作空间 就是动平台的运动区域。根据动平台的位姿特点，并联机器人的工作空间可分为可达 工作空间和灵活工作空问。可达工作空间是指动平台上的某一参考点可以到达的所有 空间点的集合，这种工作空间不考虑动平台的姿态。灵活工作空间是指动平台上的菜 一参考点从任何方向以任何姿态可以到达的所有空间点的集合。 并联机器人工作空间的求解方法有解析法1 和数值法1 。在解析法研究方面，具 有代表性的是几何法。7 ，该方法在考虑动平台姿态和杆长约束的情况下，假想单开 链末杆参考点运动轨迹为一球面，将工作空间边界构造归结为对球面片求交问题。 m e r l e t 在此基础上通过引入铰链约束做了类似工作。他还研究了固定动平台参考点， 求解相应极限姿态空间的解析方法。此外，天津大学的黄田教授提出以微分几何和集 合论为工具，研究并联机器人工作空间的解析建模方法，应用单参数曲面族包络理论， 将受杆长和连架球铰约束的工作空间边界问题归结为对若干个变心球面族的包络面 求交问题。 虽然，人们对工作空间的解析求解做了不少研究，但是由于这些方法在很大程度 上依赖于机构位置解的研究结果，且求解过程复杂，所以至今仍没有完善的方法。因 而，有些学者用数值法来求解工作空间。在这方面主要有网格法、j o c o b i 法、m o n t e c a r l o 法和优化法，这些算法一般需依赖于位置逆解，且需固定动平台姿态，故在不 同程度上存在着适用性差、计算效率和求解精度低等缺点。 1 2 2 2 并联机器人的动力学及控制策略研究 并联机器人的动力学及其建模是并联机器人研究的一个重要分支，其中动力学模 型是并联机器人实现控制的基础，因而在研究中占有重要的地位。并联机器人是一个 复杂的动力学系统，存在着严重的非线性；由于有多个关节和多个连杆组成，因而有 多个输入和输出，且输入和输出之间存在着错综复杂的耦合关系。因此，要分析机器 人的动力学特性，必须采用非常系统的方法。现有的分析方法很多，如拉格朗f = 1 ( l a g r a n g e ) 方法，牛顿一欧拉( n e w t o n e u l e r ) 方法，高斯( g a u s s ) 方法，凯恩 4 山东理工大学硕士学位论文 第一蕈绪论 ( k a n e ) 方法，旋量( 对偶数) 方法和罗伯逊一魏登堡( r o b e r s o n w i t t e n b u r g ) 方 法等。有关动力学建模的研究，在串联机器人领域已经取得了很大的进展。然而由于 并联机构的复杂性，目前关于并联机器人的研究内容大都是机构学和运动学方面的， 对于动力学研究相对较少。f i c h t e r 和m e r l e t 较早地开展了这方面的研究。他们在忽 略腿部惯量影响的情况下建立了s t e w a r t 平台的动力学方程；s u g i m o t o 以s t e w a r t 平 台为例分析了并联机器人的动力学问题，然而在他的分析中没有给出详细的动力学推 导；g e n g 等对并联机器人的几何形状和惯性扰动作了简化假设，然后利用拉格朗日 方法建立了并联机器人的动力学方程；黄真和王洪波利用影响系数法对并联机器人进 行了受力分析并建立了并联机器人的动力学模型。 相对于并联机器人的机构学理论的研究，并联机器人控制剐方面的研究较少。 除了常规的p i d 控制之外，还有自适应控制以及变结构滑模控制。常规的p i d 控 制对于大多数点位控制应用是相当有效的，而对于轨迹跟踪控制问题则不适用。由于 并联机器人的绝大多数应用是要求用轨迹跟踪控制的，因此很少使用常规的p i d 控 制。自适应控制以及滑模控制都属是基于模型的控制方法，主要应用于高精度控制。 这类基于模型的控制方法都要求在线计算逆动力学模型，而并联机器人包含多个运动 链，逆动力学模型比较复杂，计算量很大，无法满足在线控制的实时性要求。为了解 决这个问题，一些学者针对s t e w a r t 平台提出了一种非补偿的模型参考自适应控制方 法。“，该方法不需要进行惯性补偿，因此不必计算逆动力学模型。但是该方法的前提 是假设动平台的运动变化很慢，从而将动力学方程中的惯性阵、哥氏力和向心力以及 重力近似为常量。然而当平台的运动变化较快时这个假设便不成立了。因此，这种方 法不适用于高的工作带宽情况。k i m 提出使用滑模控制的方法来实现s t e w a r t 平台 机器人的高速轨迹跟踪控制，他们借助高速的数字信号处理器( d s p ) 来解决逆动力 学的在线计算问题。 1 3 本论文研究的主要内容 针对一种3 r r c 并联机器人机构： ( 1 ) 应用矩阵理论建立位置方程， 图法确定出了这种机构的工作空间。 进行了以下几个方面的研究： 进行数值求解。在位置分析的基础上，采用作 ( 2 ) 建立速度方程，并用数值法求解。从速度方程中整理出j a c b i a n 矩阵，应用 矢量法确定出机构的奇异位形位置。 ( 3 ) 基于轨迹规划的控制研究。 ( 4 ) 在上述分析的基础上，设计虚拟样机并进行仿真实验。 第二章位置分析及工作空间的确定 2 1 位置分析 并联机器人机构的位置分析。2 1 就是寻找输入与输出构件之间的位置关系，以建立 位置方程和求解位置方程为主要工作。它是机构运动分析的基本任务，也是机构速度 分析、加速度分析、受力分析、误差分析、工作空间分析、动力分析和机构综合等的 基础。由于并联机器人机构结构复杂，所以它的位置分析要比单环空间机构的位置分 析复杂的多。而且，由于并联机构在结构上的多样性，所以也没有一个统一的方法。 对于不同的结构，位置分析的方法也不尽相同，因此，本文基于3 r r c 并联机器人进 行研究。 人们已经提出多种位置分析的方法，其中，空间坐标转换法。”使用的最多，也是 用的很成熟的一种方法。本文就是应用这种方法来建立位置方程。对于位置方程的求 解，主要采用数值法，因为现在对于机构的控制系统都是数字化的，所以用数值法求 出具体的数值有利于将来的数字化控制系统的编程。 2 1 13 r r c 并联机器人机构的介绍 2 1 1 13 r r c 并联机器人机构的结构 图2 1 所示为一类3 r r c 并联机器人机构。”的机型结构，该并联机构由上三角平 台( 动平台) a d e f 和下三角平台( 定平台) a a b c 以及连接上下平台的三个平面 支链a 1 b l c l 、a 2 b _ c 2 和a 3 8 3 c 3 组成。上下平台相互平行，各支链所在的平面垂直于 上下平台，且同时垂直于相应的三角形的边。如支链a 1 b l c l ，其所在平面a l b l c i 与 a c 边垂直。这个支链由转动副r 连接的两连杆构成，两端c 1 和a 1 分别通过圆柱副 c 和转动副r 与上下平台相连接，3 个运动副的轴线相互平行，且平行于a c 边。其 他2 个支链与支链a 1 b 蠢1 有相似的结构形式。 在图2 1 中，上下平台相互平行，其三角形是任意的。不同的三角形就会产生不 同的结构。这些不同的结构既有某些共同的运动特点，又有某些不同的运动性能，可 称为同素异构型。为了能够从众多的同素异构型中发现运动性能比较好、运动分析比 较简单且符合实际需要的结构，很有必要对这一类机构进行研究。 6 山东理工大学硕士学位论文 第二章位置分析及工作空间的确定 a噩 图2 13 r r c 并联机器人机构的结构 2 1 1 2 机构的自由度分析 图2 1 中每个支链的4 个运动副( 圆柱副看成一个转动副和一个移动副) 构成1 个子螺旋系，则整个机构有3 个子螺旋系，支链1 的各个运动副轴线构成子螺旋系 1 ，它们在坐标系a 1 x l y l z l 中的p l u c k e r 坐标为： $ 1 = ( 10 0 ；0 0 0 )勤= ( 10 0 ：0 b 2 c 2 ) 岛= ( 10 0 ；0b 3 句)鼠= ( 0 0 0 ；10o ) 可以看出子螺旋系1 的反螺旋为： 节1 ，i - - - - ( 0 0 0 ；0 0 1 ) $ 1 r 2 = ( 0 0 0 ；0 1o ) 根据螺旋理论，反螺旋反映了物体被约束的运动和物体为约束所允许的运动。从 子螺旋系1 的反螺旋可以看出，动平台沿z 1 和y l 方向的转动被约束了，这个约束是 由支链i 提供的。 同理可得支链2 的子螺旋系2 的反螺旋，在坐标系a 2 x 2 y 2 2 2 下，表示为： $ 2 r i = ( 0 0 0 ；0 01 ) ；约束了绕z 2 方向的转动。 $ 2 r 2 = ( 0 0 0 ；01o ) ；约束了绕y 2 方向的转动。 支链3 的子螺旋系3 的反螺旋，在坐标系a 3 y 3 2 3 下，表示为： 矿r l = f 0 0 0 ：0 0 1 ) ；约束了绕砀方向的转动。 矿r 2 = ( 0 0 0 ；010 ) ；约束了绕y ，方向的转动。 从l 面可以看到，3 个分支链对运动平台的作用共6 个反螺旋力偶。其中 $ 1 ，1 $ 2 r l 筇3 r l 则妒。l 一定是整个机构的螺旋系的反螺旋，是整个机构的一个公共约束， 即约束了上平台沿z 1 方向的转动；s 1 r 2 ，s 2 m 事3 1 2 都位于垂直于z 1 的平面内，且是线 性相关的，其中任意两个是线性无关的，所以他们的作用相当于两个分别沿y ，和x ， 的力偶的作用，故这3 个反螺旋的作用将产生一个虚约束。 因此，动平台沼x 1 轴、y l 轴和z 1 轴的转动均受到了约束，只能做空间平移了。 机构的自由度： 上 m d ( 疗一g 一1 ) + ： + j 一5 ( 8 9 1 ) + ( 1 + 1 + 2 ) 3 + 1 3 ( 2 - 1 ) 胃 式中：d 为机构的阶数：n 为构件总数；g 为运动副总数； 为每个运动副的自由 度；，为机构的虚约束。 2 1 1 2 位置方程的建立 2 1 2 1 坐标系的建立 分别以4 1 ，a 2 ，a 3 为原点建立图2 1 所示的坐标系。其中，墨( i = 1 ，2 ，3 ) 轴与相应 的边平行，方向如图2 1 ；z 觯= 1 ，2 ，3 ) 轴垂直向上；k 轴a = 1 ，2 ，3 ) 的方向按照右手原则 确定。选择a 。y t z l 坐标系为固定坐标系，其他两个坐标系为参考坐标系。 图2 1 中，诏表示连杆a i b i 与z f 轴正向之间的夹角，以从墨轴负方向看，逆时 钟方向为正；0 i 表示连杆b i c i 与k 轴正向之间的夹角，其正负的判断方法与诏相同； ，表示连杆的长度。 2 1 2 2 建立位置方程 图2 1 中，选择与下平台相联的3 个连杆a 1 b l 、a 2 8 2 和a 3 8 3 为主动件，则 蚂，仍，3 个转动输入为机构的输入变量，输出变量为上平台沿固定坐标系三个坐 标轴的移动变量。 以d 点作为上平台的代表点，设其在固定坐标系中的齐次坐标为o - = ( ) ( 1 ，y 1 ， z 1 ，1 ) 1 ：在坐标系a 2 x 2 y 2 2 2 和坐标系a 3 x 3 y 3 2 3 中齐次坐标分别为o = ( x 2 ，y 2 ，z 2 ， 1 ) 1 和o = ( x 3 ，y 3 ，z 3 ，1 ) 1 ，则 “p h ls i n g l + 1 1 2c o s 0 1 l c o s 吼+ 1 1 2s i n g 1 “p 一 心 ， 1 2 ls i n q 2 + 乞c o s 0 2 1 2 1 c o s c p 2 + ks i n 0 2 l o p z 嵋 f 3 ls i n 羁+ k0 0 s 岛+ d 1 3 lc o s q + 1 3 2s i n 0 3 1 式中；v l , v 2 ，b 代表各圆柱副的移动位移；d 为d 点到边e f 的垂直距离，如图 兰! 型茎堡，圭耋堡篓耋 ，：。， ：量三茎，堡兰坌堑墨三竺耋堡墼塑塞 2 1 所示。 参考坐标系到固定坐标系的齐次转换矩阵为 “r 0 2 = 一s l n a c o s 口 o 0 0 x 。2 0 1 0 01 。1 瓦一 c o s p s i n s i n c o sb o0 0o 0 x 。3 0 y 0 。 10 o1 式中x 0 2 ，y 0 2 是a 2 点在固定坐标系中的x 和l r 方向的坐标值；x 0 3 ，y 0 3 是4 3 点在 固定坐标系中的x 和l r 方向的坐标值。疗+ b ，。 在三维几何空间中，一个点的位置坐标在同一个坐标系下是唯一的，所以d 点 在两个参考坐标系中的坐标值向固定坐标系转换之后应与d 点在固定坐标系中的坐 标值相等。因此，得到位置分析方程组 o 。k “p t 。( 2 - 2 ) 方程组中( 2 - 2 ) 中，魏，讫，缟为输入变量；x 1 ，y 1 ，z l 为输出变量； q ，0 2 ，0 3 ，u ，v 2 ，吩均为中间变量。其余参数都是与结构有关的，结构一旦确定。它们将 是确定的。 将( 2 2 ) 式展开，从中消去各中间变量得到输入输出方程组 ( x 一ls i n 铭) 2 + ( 五一l s 竹) 2 一2 2 一0 1 ( x 。0 s a 一) ( 1 s i n a + 瓦2 s i n a - t 0 2c o s a b s i n ) 2 + ( 乙一f 2 l c o s 仍) 2 一公= 0 ( 2 3 ) ( x c o s 卢一) ( 1 s i n 卢+ 盖：，s i l l 卢一s 芦一d f 3 l s i n 鸭) 2 + ( z l 一毛l c 嘴约) 2 1 3 , 2 ；0 1 2 1 3 求解计算 2 1 3 1 位置反解计算 在方程组( 2 - 3 ) 中，当已知输出变量x l ，y 1 ，z 1 的值，求输入变量吼，妒：，红的值， 即为位置反解计算。 展开方程组( 2 3 ) ，经过整理和简化可以得： 咖c 2 错 咖c 沪鼍瑟祭舞轰警毫筹 9 s i n ( 鸭+ y 3 ) ：( y 1 cosfl一-x1 s i n f l + x 0 3s i n , 8 - y 0 3c o s f l - d ) 2 + 1 3 1 2 + z t 2 - 1 3 2 2 2 1 3 】( y lc o s 卢一x ls i n f l + x 。3s i n 卢r 0 3c o s ；- d ) 2 + z 1 2 式中啪n 2 i - q ，哪2 丽忑i 忑再z 1 知i 历而 t a n 如2 丙瓦西雨石毒蠢万瓦丽而 求出识，仍，讫后，代入方程组( 2 2 ) 中，就能很快求出中间变量。 2 1 3 2 位置正解计算 方程组( 2 - 3 ) 中，当己知输入变量弱，仍，镪求上平台的位置坐标即输出变量 x 1 ，y 1 ，z l 的值时，即为位置正解计算。 由于直接利用式( 2 3 ) 来计算位置正解比较复杂。故利用式( 2 - 2 ) 来计算。展 开方程组( 2 - 2 ) ，整理后可以得到： v 1 一v 2 c o s c t + s i n a ( 1 2 ls i n q ，24 - ，c o s 吼) 工0 2 譬0 1 z 1 1s i n 张+ ，1 2 c o s o i y 2s i n c t c o s c t ( 1 2 ls i n l p 2 + f 2 2 c o s 如) 一，幺= 0 1 1 1 c o s t p l + f 1 2s i n 0 1 一f 2 1c o s | p 2 一f s i n 0 2 = 0 i v 1 一v 3 c o s 卢+ s i n 卢( t 3 ls i n 日0 ，+ f 3 2c o s 0 3 + d ) 一x 。3 = 0 1 z ns i nc p l4 - f 1 2c o s a i y 3 s i n 卢一c o s 声( s i n ( p 3 + f 3 2 c o s 0 3 + d ) 一k 3 = 0 f n c o s q 口l + f 1 2s i n o l z 3 1 c o s q ，3 一z 3 2s i n 0 3 ；0 l 当砚，仍，鸭已知时，上述两方程组是一个关于v l ，v 2 ，也，0 1 ，如，岛的恰定方程组。经 过消元之后，可以转化成关于岛的一元非线性方程，求解将变得简单。当求出中间 变量后，代入方程组( 2 2 ) 中，就能很容易地求出x l ，y 1 ，z 1 的值。 2 1 3 3 位置正反解的计算实例 给定图2 1 中的结构参数：各连秆长度相等，均为2 0 c m ；上下平台都为正三角 形，边长分别为1 0 c m 和2 0 c m ；a l ，a 2 ，a 3 都在三角形边的中点处。按照上面所述方法， 应用m a t l a b 软件进行编程计算( 计算程序将在下一章中说明，源代码在附录1 中 给出) 。 反解计算：已知上平台代表点d 的7 个位置坐标，分别计算出各支链的关节参数： 计算结果见表2 1 。 1 0 山东理工大学硕士学位论文 第二二章位置分析及工作空间的确定 表2 1 反解计算结果 i 奎o y 上t 互l 里i 一 垒】 芏1望2 鱼21 2望3旦31 】 ( 2 ，2 ，2 5 ) - 0 8 1 3 30 5 9 7 92 0 0 0 2 0 6 4 0 40 4 6 4 74 2 6 8 9 0 8 6 6 00 6 4 6 22 2 6 8 8 ( 2 , 6 ，2 5 ) - 0 6 3 7 20 4 6 2 6l 9 9 9 4 0 7 2 9 90 5 2 9 1 0 8 0 4 3 0 9 4 5 30 7 2 6 8 一l t l 9 5 2 ( 4 , 6 ，2 5 ) - 0 6 3 7 20 4 6 2 64 , 0 0 0 2 0 8 0 5 00 5 9 0 6 1 8 0 3 9 - o 8 7 7 00 6 5 6 7 2 1 9 6 3 ( 4 ，2 ，2 5 ) - 0 8 1 3 30 5 9 7 94 0 0 0 2 - 0 7 1 8 10 5 2 0 1 5 2 6 8 7 - 0 7 9 3 50 5 8 0 81 ，2 6 8 6 ( 2 ，2 ，3 0 ) 一0 6 5 3 60 7 8 4 02 0 0 0 0 - o 5 0 5 40 6 7 5 2 4 2 6 7 2 _ 0 6 9 8 00 8 2 4 12 2 6 7 8 ( 2 ，6 ，3 0 ) 一0 5 0 2 6 0 6 7 3 41 9 9 9 4 - 0 5 8 2 80 7 2 7 6 0 8 0 3 4 - 0 7 6 4 00 8 9 1 3 1 1 9 5 9 匕，啦= q ：5 q 蜇q ；幽生q q 煦= q ：笪竖垒z 翌q! ：墼：2 q z ! q 墨3 丝= 互1 2 z 注：表中角度单位为r a d 。距离单位为。 正解计算：把上面求出的输入变量值作为已知值，进行正解计算。计算结果见表 2 2 。 表2 - 2 正解计算结果 叁熬蕴= 缉值复三塑值墓三组值签四塑焦墓五塑值簋盔塑焦星土堡值 中l 一0 8 1 3 3- 0 6 3 7 2- 0 6 3 7 2- 0 8 1 3 3- 0 6 5 3 6- 0 5 0 2 60 5 0 2 6 耽 一m 6 4 0 4一o 7 2 9 9一o 8 0 5 0- 0 7 1 8 1- 0 5 0 5 4- 0 5 8 2 8如6 4 6 6 甲3 0 8 6 6 0- 0 9 4 5 30 8 7 7 0- 0 7 9 3 5- 0 6 9 8 0- 0 7 6 4 0- 0 7 0 7 1 0 ，0 5 9 7 90 4 6 2 50 4 j 6 2 50 5 9 7 90 7 8 3 90 6 7 3 40 6 7 3 5 v ，1 9 9 9 41 ，9 9 9 44 咖24 0 0 0 22 0 0 0 01 9 9 9 44 0 0 0 2 0 2 0 4 6 4 70 5 2 9 1o 5 9 0 60 ，5 2 0 10 6 7 5 20 7 2 7 60 7 7 8 0 v 24 2 6 8 90 8 0 4 31 8 0 3 95 2 6 8 74 2 6 7 2o 8 0 3 41 8 0 4 5 0 30 6 4 6 20 7 2 6 80 6 5 6 70 5 8 0 80 8 2 4 10 8 9 1 30 8 3 2 7 v 3 x 1 y i 2 2 6 8 8 1 1 9 5 2 - 2 1 9 6 3 1 2 6 8 6 2 2 6 7 8一1 1 9 5 9 2 ，1 9 5 7 2 o 0 0 21 9 9 9 44 0 0 0 24 0 0 0 21 9 9 9 41 9 9 9 44 0 0 0 2 1 9 9 8 95 9 9 9 96 0 0 01 9 9 9 22 0 0 0 56 0 0 0 15 9 9 9 4 z l 2 5 o 0 0 72 4 9 9 9 02 4 9 9 8 72 5 0 0 0 33 0 0 0 0 72 9 9 9 9 53 0 o 0 0 4 注：表中角度单位为r a d ，距离单位为c m 。 比较正反解的结果可以看出，正反解的计算结果是基本吻合的，误差仅在0 5 左右。 2 2 工作空间的确定 本文应用圆弧相交法，借助计算机绘图软件绘制出工作空间，并利用位置图解法 对工作空间的正确性进行验证，同时说明了位置解的取舍原则。 l l 2 2 1 计算机绘图软件u n i g r a p h i c s 的简介 u n i g r a p h i c s 是一种面向制造行业的c a d c a e c a m 高端软件。它具有强大 的空间曲线绘图功能，可以在三维作图空间里插入已知坐标的任一点；同时还具有强 大的信息报告和分析功能，能精确地测量出作图空间的任一点的坐标、点到点间的距 离、线段的长度、直线与直线之间的夹角等。这些都大大提高了作图的准确程度，避 免了人为的误差。本文作图过程中就大量地使用了上面提到的这些功能。其实，软件 只是个工具，不仅仅局限于u n i g r a p h i c s ，只要有相似功能的软件都可以用来完成工作 空间的绘制。 2 2 2 工作空间的绘制 工作空间分为可达工作空间和灵活工作空间。可达工作空间是指上平台上某一参 考点可以到达的空间所有点的集合。灵活工作空间是指上平台上某一参考点从任意方 向以任意姿态可以到达的空间所有点的集合。这里仅对可达工作空间进行研究。 工作空间的大小与形状受三大因素限制：( 1 ) 杆件长度的限制；( 2 ) 运动副转角 的限制：( 3 ) 避免连杆干涉的限制。综合考虑这三个方面的因素，绘制出并联机构的 可达工作空间。 上平台参考点d 所能到达的工作空间可以看成是在三个支链中d 点所能到达的 空间的交集。分别做出d 点在三个支链中的可达空间，取它们的交集就是此并联机 构的可达工作空间。 支链1 的结构示意图如图2 2 所示，从图中可以看出d 点的可达空间是一个以 3 4 圆为端面，长为f ( 1 = 1 0 c m ) 柱体，如图2 3 所示。由于各支链的结构是相同的， 所以它们的可达空间的形状是相同的，只是圆柱体的轴线方位不同。 在u n i g ! a p h i c s 软件中画出上面所述三个圆柱体，然后再对这三个圆柱体求交， 求交后得到三个实体的相交部分，即为此并联机构的可达工作空间，如图2 4 所示。 这样得到的结果只满足了杆长和运动副转角的要求，但是否能避免连杆干涉还需要进 行检验。从位置反解分析过程中可知位置反解有8 种可能，在这8 种可能解中可以容 易看出，当b ，( i = 1 ，2 ，3 ) 处在a i b i 连线的外侧时是可以完全避免杆件干涉的。 山东理工大学硕士学位论文第二章位置分析及工作空间的确定 图2 2 支链的结构 图2 3 支链的可达空间 工作空间确定后，可以用信息报告中的一些命令来查询工作空间的相关信息。例 如，可以查询出顶点的坐标，棱边的长度等，从而可以确定出工作空间边界的具体位 置。通过这些信息还可以大致计算出工作空间的体积。该机构的可达工作空间体积大 约为4 3 8 7 8 6 c m 3 。 图2 4 可达工作空间 通过作图过程可以看出，工作空间成柱状，比较小。其上表面是不规则的曲面， 其他各个侧面都是平面。其轮廓线中只有上表面的为曲线，其他的都为直线。这些平 面和直线的方程可以通过在u g 软件中测量出的相关参数写出。这将非常有利于控制 系统设计和轨迹规划的研究。 山东理工太学硕士学位论文 第二章位置分析技工作空间的确定 2 23 工作空间的验证 对于上平台，只要在三维作图空间中能够达到的位置就属于并联机构实际的可达 工作空间中的位置。应用作图法求解位置解，就可以从图形上直观地判断工作空间是 否正确。 给定结构参数：各连杆的长度为2 0 0 r a m ，上平台和下平台都为正三角形，边长 分别为1 0 0 m m 和2 0 0 m m 当上述的结构参数取不同值时，此方法是同样适用的。任 意给定d 点的坐标，如( 5 0 ，5 0 ，1 0 0 ) 。 作图法求解位置解步骤如下：