（材料学专业论文）基于变网格技术的凝固组织模拟研究.pdf

研究成果。尽我所 写过的研究成果， 同工作的同志对本 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的复印件和电 子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文。本人电子文档的内容和纸质论文的内容相 一致。除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可以公布( 包括以电子信息形式刊登) 论文的全部内容或中、英文摘要等部分内容。论文的公布( 包括以电子信息形式刊登) 授权东南大 学研究生院办理。 研究生签名：l 至皇l 导师签名：瞄日期： 基! ! ! ! 竺：又中 6 肌8m 02 67iiiii胛y 摘要 摘要 针对均匀网格技术在采用元胞自动机( c e l l u l a ra u t o m a t o n ，c a ) 模型进行凝固组织模拟过程中存在 计算效率较低等问题，本文提出一种在固液界面上划分细网格、在其它部分采用粗网格的变网格方 法，对c a 模型进行改进，建立了耦合变网格技术的c a 模型，并对二维、三维单枝晶及多枝晶的 生长过程进行模拟研究，同时分析探讨不同过渡网格计算方法、变网格技术参数、模拟初始条件以 及模拟的计算区域对变网格技术模拟结果的影响。 研究结果表明，采用变网格技术进行二维和三维枝晶组织的模拟是可行的，与均匀网格模拟结 果相比，采用变网格技术在大部分计算条件下可保证一定的计算精度，并显著提高模拟的计算效率， 其中采用变网格技术的二维枝晶模拟效率提高约4 5 6 0 ，而三维枝晶模拟效率提高约7 0 8 0 ，效 率提高的主要原冈是采用变网格技术可大幅度减少计算同相分数和溶质扩散的时间。 不同的过渡网格计算方法对模拟结果的计算精度影响很小，计算精度由高到低依次是内节点法、 外节点法、内节点近似算法，但不同过渡网格计算方法引起的计算精度差异很小，在模拟过程中可 以忽略其影响。变网格技术参数、模拟初始条件以及模拟的计算区域等模拟方法和条件对模拟结果 的计算精度和效率有较大的影响。随着界面过渡带和粗网格系数的增加，网格细化区域扩大，参与 计算的细网格数量增多，模拟精度提高，但计算效率的提高幅度下降。随着初始温度过冷度的提高， 温度过冷对总过冷度计算精度的影响增大，模拟精度提高，但计算效率的提高幅度下降。随着模拟 的计算区域的增大，网格细化区域占整个计算区域的比例减小，模拟精度降低，但计算效率的提高 幅度增大。 关键词：均匀网格技术；c a 模型；变网格技术；枝品模拟 基金项目：国家自然科学基金资助项目( 5 0 6 7 1 0 2 5 ) ；江苏省自然科学基金资助项目( b l q 0 0 6 1 0 5 ) ；高 等学校博十学科点专项科研基金项目( 2 0 0 7 0 2 8 6 0 2 1 ) ； a b s t r a c t a b s t r a c t t oi m p m v et h ec o m p u t a t i o ne 伍c i 饥c yi l lt h es o l i d i f i c a t i o nm i c r o s 仇l c n 鹏s i m u l a t i o n 、衍t hc am o d e l ， m i sp a p e rp r e s e n t san e wv 撕e d 鲥d 印p r o a c h ，i nw h i c hf i n e 鲥d sa 佗锄p l o y e di i ls o l i d m e l ti i l t e r f a c e r e 舀o n sa i l dc o a r s e 鲥d sa r e 锄p l o y e di no t l l e rr e 西o n s t h e i i ，l en e wc am o d e lc o u p l e d 、) l ，i t l l 训e d a p p r o a c hi se s 讪l i s h e d t h ec o u p l e dc a v 撕e d a p p r o a c hi sa p p l i e dt os i m u l a t e 铆od i m e l l s i o n a l ( 2 一d ) 锄d t h i 优d i i i l e i l s i o n a l ( 3 一d ) s i i l g l e ，舢l t 赫t i cg r o w t l l 1 l l ee 仃t so fd i 行e 嘲tc a l c u l a t i o n m e t h o d so f 仃a n s i t i o n 鲥d s ，v 撕e d 鲥dp a m m e t e r i i l i t i a lc o n d i t i o na n dc o m p u t a t i o n a ld o m a i l la r e 柚a l y z e d t h e 聆s u l t ss h o wt h a t ：1 1 l ec o u p l e d2 一d 锄d3 一dc a - v 撕e d - 印p r o a c hc 蛐s i m u l a t e2 - d 锄d3 - ds i n g l e ， n m l t i - d e n “t i cg r o w l l ls u c c e s s 如l l y 锄dc a ni r i c r e 弱ec am o d e l se 伍c i e i l c yn o t a b l yu n d e rm ep r 锄i s eo f e n s u m gh i g l la c c u m c y 2 一dc am o d e l se f f i c i 锄c yc a nb ci i l c r e a s e da l m o s tb y4 5p e r c 饥tt o6 0p e r c e i l t 锄d 3 一dc am o d e l se 伍c i e l l c yc 趾b ei n c r e a s e da l i i l o s tb y7 0p e r c c i l tt o8 0p e r c e n t 惭t l lv a r i e d 鲥da p p r o a c h t h er e d u c eo fs o l i df h c t i o nc a l c u l a t i o nt i m ea n ds o l u t cd i m s i o nc a l c u l a t i o nt i i i l ei st h em a i nr e a s o no f i l l c r e a s i n gt h ec o m p u t a t i o n a le f f i c i e i l c y t h ed i 仃e r e n tc a l c u l a t i o nm e t h o d so f 仃a n s i t i o n 鲥d sc a l la 仃e c ts i m u l a t i o nr e s u l t s 1 1 1 ec a l c u l a t i o n a c c u r a c y 丘o mh i g ht ol o wf o l l o w e db yi i l t e m a l n o d e sa l g o r i m m ，e x t e m a l - n o d 器a l g 耐t l l m ，i i l t e n l a l - n o d e s a p p r o x i i l l a t i o na l g 嘶m m b u tt l l ed i 疏僦c ec 锄s e db yd i 仃e r e r l ta l g o r i n l i i li ss os m a l lt h a ti tc 锄b ei g n o r e d t h e 砌e d 咖dp a r 锄e t e r i n i t i a lc o n d i t i o na n dc o m p u t a t i o n a ld o m a i l lc a na l s oi l l n u e n c es i m u l a t i o nr e s u l t s w i mm eb i g g e ri i l t e r f a c i a l 仃a i l s i t i o nz o n ea n dc o a r s e 鲥df a c t o r ，t l l er e f i n 锄e n td o m a i ni s1 a r g e r ，m e r e f o r ， t l l es i m u l a t i o n 佗s u l t sa r eb e t t e rb u tm e i i l c r e a s i i l go fm ee m c i e n c yi sl o w 既w h e nt h er c s to ft h ec o n d i t i o n s a r e l es 锄e ，嬲t l l ei i l i t i a lt e m p e r a t i l r eu n d e r c o o l i n gi sh i g h e r ，m et e i l l p e r a t u r cm l d e r c o o l i n gp l a y sam a j o y r o l ei nu n d 即c o o l i i l gc a l c u l a t i o n ，s ot l l es i i n u l a t i o na c c u 豫c yi sh i g l l e rb u tm ei n c r e a s i n go fm ee 街c i e n c yi s l o w 懿t l l ec o m p u t a t i o n a ld o m a i ni sl a 玛t l l er e f m 锄铋td o m a i l la c c o u n t sf o ras m a l l e rp r o p o r t i o no f t h ew h o l ec o m p u t a t i o n a ld o m a i n ，s o l es i m u l a t i o na c c l l r a c yi sl o w e rb u tt l l ei n c r 髓s i n go ft l l ee m c i e n c yi s h i g l l k e yw o r d s ：l l i i i f o m 鲥da p l ) r o a c h ；c am o d c l ；v a r i e d 鲥da p p r o a c h ；d e n “t i cs i m u l a t i o n i i 液相线斜率 g i b b s t 1 1 0 m o s o n 系数 平均g i b b s t h o m o s o n 系数 界面曲率 稳态枝晶界面生长速率 界面动力学系数 平均界面动力学系数 动力学各向异性强度 表面能各向异性强度 固液界面法相角 枝晶的择优生长方向 固相体积分数 空间步长 时间步长 邻位因子 固液界面权值平均曲率 c a h n h o f j f i i l 觚向量 界面各向异性参数 界面能各向异性系数 溶质扩散系数 溶质分配系数 i i i 愀：薹：耋_g眺峭岫一 一咄她m s 一一 一 m厂尸一k版一取瓯口如丘缸缸g孝口 g d 后 目录 目录 摘要i a b s t r a ( 玎i i 符号注释表i i i e j录i 、， 第一章绪论1 1 1 课题背景及研究意义1 1 2 元胞自动机法( c a ) 法简介。2 1 3 变网格技术的国内外研究现状3 1 4 本课题的研究内容及创新点5 1 4 1 本课题的研究内容一5 1 4 2 本课题的创新点6 1 5 论文组织结构7 第二章模型和算法8 2 1 模拟枝晶生长的c a 模型8 2 1 1c a 模型的生长动力学及固相分数计算。8 2 1 2c a 模型的浓度场计算l l 2 1 3 基于c a 模型模拟凝同组织的计算流程。1 2 2 2 变网格技术与c a 模型的耦合1 3 2 2 1 基本概念1 3 2 2 2 粗细网格的。卜标表示及对应1 5 2 2 3 过渡网格的溶质扩散计算方法1 7 2 2 4 耦合变网格技术的c a 模型计算流程一2l 2 3 本章小结2 1 第三章基于变网格技术的二维c a 模型的模拟研究2 3 3 1 二维单枝晶模拟2 3 3 2 二维多枝品模拟2 6 3 3 不同过渡网格计算方法对变网格模拟结果的影响2 8 3 4 不同变网格技术参数对变网格模拟结果的影响2 9 3 4 1 界面过渡带对变网格模拟结果的影响一3 0 3 4 2 粗网格系数对变网格模拟结果的影响3 l 3 5 采用变网格技术在不同生长条件下的二维枝品模拟3 2 3 6 采用变网格技术在不同计算区域下的二二维枝晶模拟3 4 3 7 本章小结3 7 第四章基于变网格技术的三维c a 模型的模拟研究。3 8 4 1 三维单枝晶模拟3 8 4 2 三维多枝品模拟4 0 4 3 不同变网格技术参数对变网格模拟结果的影响4 2 4 3 1 界面过渡带对变网格模拟结果的影响。4 2 4 3 2 粗网格系数对变网格模拟结果的影响。4 4 4 4 采用变网格技术在不同生长条件下的三维枝品模拟4 6 4 5 采用变网格技术在不同计算区域下的三维枝晶模拟4 7 4 6 本章小结4 9 第五章结论与展望5 0 i v v 第一章绪论 1 1 课题背景及研究意义 第一章绪论 枝晶组织是金属材料凝| 矧过程中最常见的显微组织，它的形貌特征与材料的力学性能直接相关， 深刻理解和掌握凝同过程中枝品的生长规律是对凝固显微组织及材料的整体性能进行有效预测和控 制的一个关键。同时，枝品是典型的1 f 平衡自组织结构，是一个涉及到热量、质量和动量传输以及 界面动力学和毛细作用效应相耦合的自由边界问题【l 】。枝晶生长过程中的界面移动、界面两侧性能 不连续性、界面各向异性以及复杂形貌的演变是理论处理及数学解析的难点，试图完整地处理包括 所有这些过程的凝同形态问题，将会遇剑数学上的巨人困难【2 】。 近十多年米，随着计算机技术的飞速发展，在理论和实验研究的同时，用计算机数值模拟技术 来研究枝晶的生长规律取得了很人的进展，已成为揭示凝同过程中各种规律、预测凝同显微组织演 变的一个重要而有效的手段【3 】。 已有的枝晶组织数值模拟方法主要有确定性方法和随机性方法【4 】。确定性方法以凝固动力学为 基础，主要是指在特定时刻，一定体积熔体内晶体的形核密度和生长速度是确定的函数，该函数可 以通过实验求得。该类方法主要包括：前沿跟踪法( f r o n t1 r a c k i n gm e t h o d ，f t ) 、相场法( p h a s ef i e l d m e m o d ，p f ) 、水平函数法( k v e ls e tm e t h o d ，l s ) 。随机性方法考虑了凝同过程的随机因素，对晶粒 的形核位置、晶粒取向以及品粒的生长过程进行随机处理，能够考虑单个晶粒的具体形态及生长演 变。该类方法主要包括：蒙特卡罗法( m o n t ac 矾om e t l l o d ，m c ) 和元胞白动机法( c e l l u l a r a - u t o m a t i o n m e t h o d ，c a ) 。这些数值模拟方法中的数学模型及算法互不相同，在枝晶生长及其它微观组织的数值 模拟方面拥有各自的特点和优势，取得了一些很有特色的研究成果，但在模拟过程中也显现出一定 的局限性及不足。各种数值模拟方法的主要特点与不足以及相关模拟实例如表1 1 所示。 综观过去的十多年，在枝品生长的数值模拟研究方面不断得到了突破，从二维模拟发展到二维 模拟，从不考虑流场的模拟发展到包含流场的模拟，从不考虑分枝的枝晶模拟发展到包含二次、三 次分枝的枝晶模拟，取得了显著的成果。 但是，现有的枝晶组织数值模拟方法一般采用均匀网格技术，即将整个计算区域划分成一定数 量形状与人小完全相同的三角形或正方形( 二维) 以及四面体或正方体( 三维) 网格进行模拟，这 种方法简单、易于编程，但却存在计算效率低下的问题。例如，采用计算效率较快的c a 模型对 3 0 0 3 0 0 3 0 0 网格区域内的f e - 0 6 叭c 合金的三维单枝晶生长进行模拟，模拟使用一台p ch l t e l p e n 咖m ( c p u - 2 2 0 g h z ) 的计算机，计算时间约3 0 h ，进一步扩大模拟的计算区域或者在多枝晶c a 模型中耦合流场计算，模拟时间将更长。如果采用p f 、l s 等方法，模拟时间更是远远高于c a 法的 模拟时间。如此长的计算时间，不仅耗费了巨大的计算成本，对计算机的硬件也提出了更高的要求， 阻碍了模拟技术在实际工业应用方面的推广。实际上，在枝晶生长的数值模拟过程中，枝晶的生长 以及溶质再分配过程发生在固液界面区域，枝晶形貌主要由界面区域内的温度场、浓度场等信息决 定，对这些区域内信息的计算精度要求很高，而对其它区域内信息的精度要求较低。因此，在枝晶 的固液界面区域内可采用较细的网格，以保证计算精度；对于远离界面的区域，则可采用较粗的网 1 查堕奎堂堡兰兰篁笙茎 格，以减少网格数目，提高模拟的计算效率，这种在计算区域采片j 不同网格的技术称为变网格技术。 采用变网格技术，可在保证一定计算精度的前提下，提高模拟的计算效率，使某些耗时很长、不可 行的模拟变得可行。 表1 1 枝品生长数值模拟方法的特点、不足及实例 综上所述，已有的枝晶组织数值模拟方法由于采用的是均匀网格技术，在某些计算条件下存在 计算效率低下等问题。本课题旨在通过对各种变网格方法的研究，将变网格技术耦合到模拟枝晶生 长的具体模型中( 考虑到c a 模型计算效率快、计算区域人的特点，适宜于较大区域的模拟运算并 且易于对模拟时间进行测定和比较，因此本课题选用c a 模型) ，在保证采用均匀网格技术所能达到 的一定精度下，提高模拟的计算效率，为后续的凝固组织模拟研究奠定坚实的基础。 1 2 元胞自动机法( c a ) 法简介 c a 方法是一种时间、空间、状态都离散的动力学模型。它基于形核的物理机制和晶体生长动力 学理论，用随机性原理处理品核分布和结晶方向，从而模拟凝固过程的显微组织。c a 方法在模拟凝 固过程微观组织的形成时主要是将元胞自动机的组成元素按照金属凝同原理进行扩展，而在处理形 核( 晶核的分布、晶体学取向) 时，则采用随机方法。c a 法将区域划分为不同的网格，采用节点标 示不同网格区域的状态，然后按照区域的凝固条件确定适当的演化规则进行状态演化，从而可以描 述晶粒形核长大的过程。该方法有较强的物理基础，可用于模拟晶粒生长中的竞争机制、晶粒结构 以及形态的演变，这些优点使得它很适合于描述自由枝晶、柱状枝晶的形成以及柱状晶与等轴晶之 2 第一章绪论 间的转化。 使用c a 法模拟凝固微观组织最早是1 9 9 3 年由瑞士的r a p p a z 和g a n d i n 等提出的，i h p p 北和 g 锄d i l l 在考虑非自发形核和基于生长过程物理机制的基础上模拟了铝硅合金在均匀温度场下凝同的 晶粒结构，随后他们又对非均匀温度的较人型铸件进行了有限元( f e ) 和c a 的耦合计算，在f e c a 模型的基础上，他们成功地模拟了铝硅合金晶粒组织的形成【3 2 3 粥。r a p p a z 等人在c a 模拟方面作出 了开创性的t 作，为后人的研究奠定了基础。但传统的c a 模型只考虑温度场，而未考虑浓度场和 界面曲率对凝同组织的影响，因此它只能预测晶粒组织的形貌，而不能细致的模拟山晶粒组织。z h u 和h o n g 在传统c a 的基础上，提出了改进的c a ( m c a ) 模型。m c a 模型考虑了凝i 古i 过程中界面 曲率的变化，溶质再分配以及溶质在i 古| 、液两相中的扩散，可描述很细微的晶粒组织。m c a 模型已 应用于模拟合金凝固过程中单枝晶和多枝晶的生长形貌，? 卜i 古i 态t 艺过程中非枝晶或颗粒组织的形 成，规则和非规则共晶以及包品合金的显微组织3 ”引。n a s t a c 则发展了一个全场耦合模型来计算合 金枝晶，他通过求解热扩散方程来模拟约束生长，自由生长和c e t 转变。但是，他的模型对c a 网 格引入了很强的人为的各向异性，因此所有模拟出的枝晶都只能沿着网格的轴线来生长【3 9 ，4 0 1 。 s t e b m e s c u 等对c a 模型进行了改进，他们采用更为合理的同液界面溶质扩散守恒的方程来计算生长 速度，为了消除人为引入的各向异性，他们采用了一种新的捕获邻居元胞的规则，他们还提出了一 个稳定性参数，参数值最终必须收敛为稳定性常数矿，从而保证c a 模型能够描述稳定状态下的枝晶 生长动力学【4 1 ，4 2 1 。 在国内，东南大学的陈晋等采用c a 方法模拟了枝品生长、界面扰动以及分枝的竞争演化，对 枝品尖端生长速度和过冷度的关系进行了模拟计算，并与l g k 理论模型进行了定量的比划4 3 刖】。 中科院的李强、李殿中等采用一个基于界面溶质守叵的c a 方法，对f e c 二元合金凝同过程中的枝 晶生长和显微偏析等进行了模拟研究【4 5 ，4 6 | 。清华大学的许庆彦、柳百成等将c a 模型与宏观传热耦 合，对a l 合金的品粒组织及等轴枝品形核生长进行了模拟计算4 2 1 。华中科技大学的丁恒敏、刘瑞 祥等采用c a 模型模拟二元合金的单枝晶及多枝晶的生长，与试验结果吻合很好【5 3 5 4 1 。 c a 方法的最大优点是算法简单，与p f 等方法相比，计算效率较快，计算区域较大，因此更具 有t 业应用的潜力优势。但以往的c a 法组织模拟主要局限于定性的组织形貌模拟，不过最近也逐 步向定量精确模拟方向发展。 1 3 变网格技术的国内外研究现状 常用的网格划分方法按网格单元类型可分为三角形划分和四边形划分。三角形划分是将对象划 分为三角形或四面体单元，该方法算法简单，容易实现，适用于对复杂区域的简化处理。四边形划 分将对象划分为四边形或六面体单元( 主要是正方形和正方体) ，采用该方法进行模拟能够达到较好 的逼近效果【5 5 1 。一般情况下，由于四边形单元网格不管在逼近离散区域方面还是在网格质量方面， 以及在计算精度方面都较三角形单元网格优越【5 6 】。因此，目前的研究人员主要采用四边形单元网格 进行数值模拟计算，并在各自的计算模型中运用相应的变网格方法。 国内的周建兴等提出一种基于有限差分法的四边形变网格方法【 巧9 】。该方法首先将整个区域划 分为形状完全一样的均匀网格，称为基本网格，然后划分粗网格和细网格。细网格含有一个基本网 格，而粗网格含有多个基本网格，如图1 1 所示。在这种方法中，粗、细网格的划分标准是：将不 3 可适当 种变网 匀网格 格的， ，直至 冈此， 图1 1 基本网格、粗网格、细网格示意图( 粗网格分为为2 2 2 个细网格) ： ( a ) 基本网格；( b ) 粗网格；( c ) 细网格 国立台湾人学的c w i _ 触等提出一种自适应变网格方法，基于p f 模型对枝晶组织形貌进行模 拟i 舡6 3 1 。在p f 模型中，由于界面厚度参数限制了相场计算网格的尺寸，采用均匀网格技术，必须采 用非常小的网格来保证计算的稳定性，这导致所需内存容量大和计算效率低，使相场模型只能计算 很小的区域。c w l 锄采用一种自适应的网格生成技术，在模拟过程中能根据界面位置、浓度梯度 和计算误差为标准自动对网格进行划分。采用四义树数据结构的方法对满足条件的网格进行细分( 每 次一分四) ，直至达到设定的划分标准；已经过细分的网格若不再满足划分标准，为减少网格数目， 释放计算空间，提高计算效率，对这部分网格进行合并( 每次四合一) ，如图1 2 ( a ) 所示。在对不同 尺寸网格进行数值计算时，c w l 觚采用一种控制体积的方法，以简化运算。通过这种自适应网格 生成技术，能够在模拟中实现网格的动态划分过程，并且能够保证一定的计算精度。该方法的缺点 是划分的网格级数较多，并且相邻网格级数之差不能超过l 级，网格划分后，还需采用相应的方法 对每个网格及邻位情况进行搜索和判断，算法非常复杂。 加利福尼亚大学的c h o h o n gm i i l 等在l s 模型中也采用了变网格方法【6 】，如图1 2 ( b ) 所示。该 方法利用水平函数作为网格细分的标准，从而保证在界面附近采用细网格。在该方法中，c h o h o n gm i n 使用四叉树( 二维) 和八叉树( 三维) 数据结构的方法对网格进行动态细分。该方法同样将网格划 分为多级，但相邻网格级数不再加以限制，从而减少了需要细分的网格数目，能够进一步地提高模 拟的计算效率。在计算过程中，c l l o h o n gm i n 采用有限差分的方法对不同尺寸的网格进行数值计算， 这种算法虽然计算精度较高，但在具体的计算过程中需要考虑网格的邻位分类情况，处理起来同样 相当的繁琐。 4 第一章绪论 ! l ( a ) ( b )! 一 1 谚 萨 i 一 二臻! - 笺 一 ；德； t 鬟： ；：i凇冀奠翟 越霭翰熊 0 鬃； * o * il 誊。 。磊k ：一 。：豁a 嚣霪搬】王；。n ： ：j t 镞謦啉7 赢 ；：1 嘶；禾 图l - 2 自适应网格示意图：( a ) c w l a n 模型：( b ) c h o h o n gm i n 模型 上述的变网格方法中，周建兴的方法相对简单，但是这种方法中的网格一一日划分后就不再进行 变化，无法实现枝晶模拟过程中随着固液界面的演变进行网格的动态划分；c w l a n 和c l l o h o n gm i i l 的计算模型分别是p f 模型和l s 模型，模型的计算以及网格划分标准与c a 模型完全不同，并且他 们的方法均需采用树型数据结构的方式，处理起来非常复杂。 1 4 1 本课题的研究内容 上面所涉及的变网格方法均不能直接应用到c a 模型的计算过程中，为此，本课题提出一种新 的针对c a 模型的变网格方法，用丁模拟枝晶的生长过程，在保证较高计算精度的前提下，提高c a 模型的计算效率。具体而言，本课题的研究内容主要包括以下几个方面： 1 粗细网格的动态划分以及数据处理 采用变网格技术对c a 模型进行改进，对丁界面位置的网格，需进行细分；已细分的网格，若 不再处于界面位置，则需对这部分细网格重新进行合并。考虑到随着枝晶的生长，固液界面不断向 前迁移，在模拟过程中，应根据界面位置的变化实现网格的动态划分。另一方面，在网格划分时由 于同时划分为粗、细两种网格，关于粗、细网格的数据保存及动态划分过程需要采用新的数据处理 方法。 2 过渡网格的计算方法 采用均匀网格技术，每个网格与其邻位网格完全相同，故所有网格的计算方法完全相同。采用 变网格技术后，在粗、细网格的过渡位置，存在一些网格与其邻位网格有不同的网格尺寸，原来均 匀网格的计算方法将不再适用，必须研究对过渡网格新的计算方法。 3 将变网格技术耦合到二维c a 模型中，分析在不同生长条件和不同计算区域下变网格和均匀 网格技术的模拟结果，探索变网格技术的适用模拟条件 编写程序代码，在二维c a 模型中耦合变网格技术，模拟二维单枝晶和多枝晶的生长过程。在 模拟过程中，枝品的生长条件或者模拟的计算区域不同，对变网格技术的计算效率及计算精度会产 生较大的差异。因此，本文通过分析在不同初始温度过冷度和不同计算区域下采用变网格和均匀网 格技术下的模拟结果，研究不同的枝晶生长条件和计算区域对变网格模拟结果的影响。 s 垄堕奎兰堡兰篁丝茎 4 研究不同的变网格技术对模拟结果的影响 在相同生长条件下，研究采用不同的界面过渡带、粗网格系数等变网格技术参数( 这些概念将 在本文2 2 1 节给予定义) 下的模拟结果，探索不同生艮条件下的最佳变网格技术参数。 5 基于三维c a 模型的变网格技术 三维c a 模型的具体算法与二维c a 模型有较大出入，从二维的正方形网格变为三维的正方体 网格，每个网格最近邻位网格由8 个变为2 6 个，而相邻网格由4 个变为6 个。冈此，本课题在二维 变网格技术研究的基础上，开展三维c a 模型的变网格技术研究。主要研究内容包括：编写程序代 码，在三维c a 模型中耦合变网格技术，模拟三维单枝晶和多枝晶的生长过程；更改三维枝晶的模 拟条件，分析不同的枝品生长条件以及不同的计算区域对变网格模拟结果的影响；更改变网格技术 参数，分析不同的变网格技术参数对三维情况下变网格技术模拟结果的影响。 整个课题的研究流程如图1 3 所示。 i 粗细网格动态划 1 分以及数据处理 卜鬻值 图l - 3 本课题的主要研究流程 1 4 2 本课题的创新点 本课题的创新点主要有以下几个方面： l 针对c a 模型特点，本文提出一种新的网格划分标准，并且耦合到c i a 模型中。目前的变网 格方法主要是基于相场( p f ) 、水平函数( l s ) 等模型，它们是以相场变量和水平函数作为判断固液界 面和划分粗、细网格的依据。而元胞自动机( c a ) 模型中固液界面的判定及生长计算与每个网格的邻 6 第一章绪论 位网格状态相关，并不依赖丁某一具体的函数或参量，因此上述变网格方法的网格划分标准无法直 接应用于c a 模型中。 2 目前的变网格方法中，为提高计算精度及效率，将网格划分为多级，每一级粗网格平均分成 四个( 二维) 或八个( 三维) 子网格，并采用四叉树( 二维) 和八义树( 三维) 数据结构的方式对 网格数据进行处理。多级网格的存在，使网格邻位情况过多，不同网格的数值计算很繁琐，并且多 级网格划分也不适于c a 模型。鉴于树型数据结构的缺点，本文提出一种采用数组的方式进行网格 的数据处理和记录。在网格划分过程中，只将网格划分为粗、细网格两级，不过粗网格可分为 ( 二维) 或( 三维) 个细网格肥1 ) ，从而克服了多级网格划分的缺点，并且同样能够显著 地提高模拟的计算效率。 3 本文提出一种新的计算流程，从而在模拟过程中能够根据i 古| 腋界面的位置变化实现粗、细网 格的动态划分过程。在对粗、细网格过渡带区域内不同尺寸的网格进行计算时，在国内外相关文献 的基础上，本文采用内、外节点的方法，提出新的过渡网格的数值计算方法。 4 本文运用耦合变网格技术的c a 模型对枝品生长进行模拟时，通过模拟时间、图像以及各种 模拟数据的对比，对变网格技术的模拟结果进行定量验证。而以往变网格方法的模拟大多局限于定 性的枝晶形貌模拟，并没有对变网格技术下的模拟结果进行定量验证。 5 以往的变网格方法大多局限于二维情况的模拟，本文在二维模拟研究的基础上，提出了针对 三维模拟的变网格方法，并且成功地提高三维c a 模型的计算效率。 1 5 论文组织结构 论文共分为五章，分为四个部分：第一部分为第1 章，是全文的一个概述；第二部分为第2 章， 主要研究基于均匀网格技术和变网格技术的二维及三维c a 模型；第三部分包括第3 、4 章，研究了 均匀网格技术和变网格技术下的二维、三维枝品的模拟情况，并且分析各种因素对变网格技术模拟 结果的影响，这部分是论文的重点；第四部分为第5 章，是对全文的总结，各章节组织如下： 第l 章作为整个论文的绪论，首先提出了变网格技术的研究背景及意义，并对模拟枝品生长的 c a 模型进行简要介绍，然后介绍变网格技术的一些国内外研究现状和仍存在的不足，在给出研究内 容和方法后，简要地介绍研究论文的创新点和论文结构。 第2 章首先介绍了模拟枝晶生长的二维、三维c a 模型的算法，而后定义了变网格技术中的一 些基本概念，研究了变网格技术中有关数据处理的方法，然后提出了二维及三维过渡网格溶质扩散 的计算方法，最后给出耦合变网格技术的c a 模型的计算流程。 第3 章运用基于均匀网格技术及变网格技术的二维c a 模型对二维单枝晶、多枝晶的生长过程 进行了模拟。在此基础上，具体分析不同的过渡网格计算方法、不同的变网格技术参数、不同的模 拟初始条件以及模拟的计算区域对变网格模拟结果的影响。 第4 章运用基于均匀网格技术及变网格技术的三维c a 模型对三维单枝晶、多枝晶的生长过程 进行了模拟，分析不同的变网格技术参数、不同的模拟初始条件及模拟的计算区域对变网格模拟结 果的影响。 第5 章是对整个论文研究工作的总结，并对今后的研究提出一些建议及展望。 7 东南人学硕上学位论文 第二章模型和算法 本章主要介绍本文采用的模拟枝晶生长的二维、三维c a 模型的生长动力学、溶质扩散的控制方 程，定义了变网格技术中的一些基本概念，研究了变网格技术中网格的数据处理和过渡网格溶质扩 散计算的方法，提出了实现网格动态划分的计算流程，建立了耦合变网格技术的二维、三维c a 模型。 2 1 模拟枝晶生长的c a 模型 2 1 1c a 模型的生长动力学及固相分数计算 l 二维c a 模型的生长动力学及固相分数计算 在二维c a 模型中，将二维的计算区域剖分成均匀的正方形网格，每个网格均被赋值于浓度、 晶体取向以及固相分数等变量，并标明其状态：同态( 以= 1 ) 、液态( 丘= o ) 或界面( o s z 1 ) 6 引。 邻位的配置包含最近的8 个邻位，界面网格的8 个邻位中至少有一个是固相网格。 在c a 模型中，枝晶生长驱动力由圃液界面的过冷度所决定，矧液界面过冷度包括温度、浓度 和曲率三部分： 丁= r t + 疋+ 五 ( 2 1 ) 式中 耳温度过冷度； 疋成分过冷度； 丁r 曲率过冷度； 由于本研究的重点是合金中溶质驱动生长的枝晶在纯扩散条件下的演变规律，为了简化，我们 假定整个计算区域内温度均匀，并取一个恒定的温度过冷度耳，而成分和曲率过冷度将随固液界 面的溶质成分c o 。) 和曲率i o 。) 而变化。在f 。时刻，固液界面的过冷度丁o n ) 根据下式计算： 丁o 。) = 珥+ m c o 。) 一g 】一厂( p ) k o 。) ( 2 2 ) m 液相线斜率；。 c 0 合金的初始成分； c ( f 。) f 。时刻的界面浓度； 厂p ) g i b b s 吼o m o s 系数； k o 。) 界面曲率； 界面曲率i o 。) 可根据下式计算例： 剐= 饼h 2 篆等岳一( 篆) 2 等一盼纠亿3 ， 8 翌三雯堡型塑丝鲨 求得固液界面过冷度丁o 。) 后，界面的生长速率圪可根据传统的尖锐界面模型7 0 7 1 1 进行计算： 圪= k ( 乡) 。r o 。) ( 2 4 ) 式中 kp ) 界面动力学系数： 众所周知，枝晶总是沿着一定的择优方向生长，其择优的生长方向是由晶体的各向异性所决定 的。因此，有必要在枝晶生长的模型中考虑界面能的各向异性或生长动力学的各向异性或两者都予 以考虑7 2 1 。在本文中，我们同时考虑界面生长动力学和界面能的各向异性因素。界面动力学系数 kp ) 和g i b b s t l l o m o s o n 系数厂p ) 分别根据下式计算： k ( 秒) = 乃k l + 万kc o s 4 ( 秒一6 ) o ) 】) ( 2 5 ) 厂( 秒) = 厂 l 一瓯c o s 4 ( 矽一吼) 】) ( 2 6 ) 式中 风平均界面动力学系数； & 动力学各向异性强度； 玩表面能的各向异性强度； 尸平均g i b b s m o m s o n 系数； 吼晶体的择优生长方向； 口固液界面法相角； 固液界面法相角口可根据下式求出； 秒a n ( 等篆) ( 2 7 ) 模拟开始时，在计算区域放置一个或多个晶核，并给予这些晶核一个择优生长方向，而其余区 域均为具有初始成分c o 、初始温度瓦的液相。施加一个初始温度过冷度耳，随后晶核开始生长， 其生长速度根据式( 2 1 ) 。( 2 7 ) 进行计算。在生长过程中，界面网格的固相分数增长率可根据下式计算： ( 2 8 ) 缸网格尺寸； f 时间步长： g 与邻位网格相关的几何因子； 在f 。时刻，某一标记为f 的界面网格 占l 相分数增长可根据下式进行计算： 珧) = 喜g ) 掣瓴 ， 当o 。) = l 时，f 网格的状态就从界面变成固态，该新转变的固相网格同时又捕获它的液相邻 出 名石 g = ， j 中式 东南人学硕上学位论义 位成为新的界面网格，从而枝晶生长可以在下一时间步长上继续进行。 2 三维c a 模型的生长动力学及固相分数计算 在三维c a 模型中，将三维的计算区域划分为均匀的正方体网格，每个网格同样被赋值于浓度、 晶体取向及固相分数等变量，并标明其状态：同态( 丘= 1 ) 、液态( z = o ) 或界面( o s z 4 ) 时，与均匀网格技术相比，这种近似算法能够达到较高的计算 精度，因此在具体模拟过程中采用这种近似算法是可行的。 图2 1 3 三维过渡网格溶质扩散的内节点近似计算方法： ( a ) 粗网格的溶质扩散计算示意图；( b ) 细网格的溶质扩散计算示意图 第一二章模型和算法 2 2 4 耦合变网格技术的c a 模型计算流程 原米的c a 模型计算流程中，由于采用的是均匀网格技术，网格一经划分就不再需要改变。而 采用变网格技术后，由丁需要在模拟过程中根据同液界面的位置变化实现网格的动态划分，原米的 计算流程不再适用，需要对原c a 模型的计算流程做部分改进： l 在计算区域中心位置放置一个或多个给定择优取向的品核，设置初始温度过冷度后，将晶核 过渡带区域内网格划分为细网格，其它区域内网格划分为粗网格。具体实现是将品核所在粗网格的 m 船j l l 值标记为2 ，将其过渡带区域内其余粗网格的m 烈l 值标记为l ，将其余粗网格的嬲 值标记 为0 。在程序中对m 劣| i l 值为2 或l 的粗网格进行细分，对m 嚣| i i 值为o 的粗网格不进行细分。 2 每个时间步长内的溶质扩散计算结束后，由丁界面已发生迁移，因此需要记录新的界面网格 位置，根据记录将界面过渡带区域内的网格置为细网格，以实现网格的动态划分。具体实现是在每 一时间步长的溶质扩散计算结束之后，重新判断新的固液界面网格，通过一个结构数组记录界面网 格的下标值，然后将整个计算区域内所有粗网格的m 嚣五值标记为o ，再根据记录的界面网格的下标， 将界面网格所在的粗网格的m 酷 值标记为2 ，将界面网格过渡带区域内其余粗网格的m 幽值标记 为1 ，这样界面过渡带内的网格就设置为细网格，其余网格为粗网格，由此实现了在每个时间步长 间隔内，粗细网格的划分随着同液的迁移而随之动态迁移。 计算流程图如图2 1 4 所示，改进部分在图中加粗标出。 2 3 本章小结 本章介绍了模拟枝晶生长的二维及三维c a 模型，并具体实现了c a 模型与变网格技术的耦合。 其主要内容如下： l 介绍本文所采用的模拟枝晶生长的二维、三维c a 模型的生长动力学、溶质扩