（机械电子工程专业论文）混沌保密通信系统保密性能分析及新型混沌数字加密系统理论设计.pdf

混沌保密通信系统的保密性能分析 及新型混沌数字加密系统理论设计 摘要 自从发现混沌以来，人们一直认为混沌是无法控制的，也无法应 用。自从1 9 9 0 年，p e c o r a 和c a r r o l l 对混沌系统同步的研究取得突破 性迸展之后，人们希望利用混沌对初始条件敏感、具有连续频谱等特 性实现具有高强度保密性的混沌通信系统的愿望成为可能。但混沌保 密通信是否具有人们所期望的安全性能? 我们将在本文中对混沌保密 通信的保密性能进行分析。 本文的主要工馋包括：提出在k e r c k h o f f 准则下，从选择密文攻击 出发，探讨基于混沌尉步的混沌保密遴信系统的保密性能；在理论分 析基础上，对现有的几类比较典型的基于混沌因步豹保密遥傣系统进 行了分析；在k e r c k h o f f 准则下，从选择密文攻卷出发，对数字混沌加 密系统安全性进行了分析；提出一种“分段二次嚣线性”混涟殃射， 用于混、沌密鼹序列的设计；在“分段二次非线性跌射”酶基磁上，提 出了非线性藕合反馈的改进方案；提崽基予参数跳动的混沌序列方法 透过隧枫改变混淹跌射懿参数来提高混淹静复杂性。 1 9 9 1 年激后，在匿际上福继提溢了各种滟淹通信理论与方法。这 些系统利用简单的泡路完成基本的加密功艟并同时实现信号频谱的扩 展。隧着备种混沌保密通信方案提出，一些学者也对混沌保密通信提 出了震疑，同时也酸译了一些混淹保密通信方案。但混沌保密通信的 安全性到底如何? 苟现在广泛使厢的d e s 等加密方法而言，其在安全 性方面是否有一定的优势? 本文提出在k e r c k h o f f 准则下，从选择密文攻击出发，探讨基于混 沌阍步的混沌保密通信系统的保密性能。对手基于混沌同步的混沌保 密通信系统中接收系统而言，当接收系统的输入恒定时，系统为收 上海交通大学博士学位论文 敛系统。在k e r c k h o f f 准则下，当采用选择密文攻击时，我们就可以控 制接收系统的输入，此时就可以分析混沌系统的参数。此外，由于混 沌系统所对应的方程在结构上往往比较简单，所以，在k e r c k h o f f 准则 下，基于混沌同步的混沌保密系统在选择密文攻击下不具有很高的安 全性。 这种基于混沌同步的混沌保密通信系统体制上的缺陷使得即使建 立在高维混沌或超混沌系统基础上的保密通信系统也无法获得密码学 意义上的高保密性。本文在理论分析基础上，对现有的几类比较典型 的基于混沌同步的保密通信系统进行了分析，其中包括基于超混沌系 统、高维混沌、传统加密方法与混沌保密通信相结合的混合保密通信 系统，进一步证实了本文理论推断所得出结论的正确性。 迄今利用混沌进行保密通信大致分为两大类：第一类是利用混沌 同步的混沌进行保密通信；第二类是混沌数字保密通信。在对基于混 沌同步的混沌保密通信安全性进行分析的基础上，我们对混沌数字保 密通信的安全性进行了分析。我们提出在k e r c k h o f f 准则下，从选择密 文攻击出发，对混沌数字加密系统进行分析。对于基于数字滤波器的 混沌加密方法，当采用现代密码学的分析方法时，可以证明其安全性 很低。对于基于差分方程的混沌加密系统，我们可以通过控制其解密 器的输入来控制混沌系统的内部状态。且在该加密系统中，由于采用 了分段线性函数作为混沌函数，因此难以避免便于攻击的局部线性等 特点。分析表明其安全性较低。 在对混沌数字加密系统分析的基础上，我们讨论了增强混沌系统 安全性的措施，主要有混沌系统迭代方法以及混沌系统参数跳动方 法。 在讨论新型混沌数字加密方法之前，我们首先提出一种“分段二 次非线性”混沌映射，用于混沌密码序列的设计。该映射可产生具有 均匀分布函数和占- l i k e 自相关函数的混沌序列。与“逐段线性”映射 相比，该映射提供了更强的安全性，这是因为它在保留了原有的优良 上海交逼大学祷士学位沦文 统计性质的基础上解决了“逐段线性”的缺陷并扩大了密钥空间。 在“分段二次避暑线性映射”的基础上，我们提燃了非线性黎合反 馈的改进方案。理论分析和仿真实验表明，该方案产生序列的楣图微 观结构得到了很大的改善。 基予参数跳动鳇混淹序列方法透过隧梳改交混淹映射的参数来提 高混淹的复杂性。同时在有限精度实现对，通过弓| 入扰动序列使得输 出酶混沌序列具有良好的鲁楣关性、均匀分布特性和随祝统计特性， 焉且英属辩可用混淹参数改变的周期与扰动序列的周期的乘积来度 量。同时，我们可以通过控制混沌系统输滋的m 序列的长度来控制混 淹序捌的最小周期，以产生满足我们需要的漓沌序列。理论研究和模 损结果表明，该混沌穿列加密方法具有较好的保密性并且便予软硬件 实现。 关键词：混沌，混沌同步，保密通信，混沌数字加密，k e r c k h o f f 准 则，选择密文攻击， a n a l y s i so fs e c u r ep r o p e r t yo fc h a o t i c g o m m u n i c a t i o ns y s t e ma n dt h e o r e t i c a l d e s i g nf o rn 毽we h a o t i ad i g i t a lc r y p t o s y s t e m a b s t r a c t s i n c ec h a o sw a sd i s c o v e r e d ，i th a sb e e nal o n gt i m ew h e nc h a o s w a sc o n s i d e r e da su n c o n t r o l l e da n dn o ta p p l i c a b l e s i n c et h ec r i t i c a l i m p r o v e m e n ti nt h er e s e a r c ho fc h a o ss y n c h r o n i z a t i o np h e n o m e n o ni n 1 9 9 0 ，i tb e c o m e sp o s s i b l et oc o n s t r u c ts e c u r ec o m m u n i c a t i o n sb a s e do n c h a o t i cs y s t e m st oe x p l o r ei t sp o t e n t i a lv i r t u e so fs e n s i t i v i t yt oi n i t i a l c o n d i t i o n s ，c o n t i n u o u ss p e c t r u m e t c 。b u td o e sc h a o sc o m m u n i c a t i o n h a v et h es e c u r ep r o p e r t ye x p e c t e d ? w ew i l ld i s c u s st h ep r o b l e mi nt h i s d i s s e r t a t i o n 。 t h em a j o rc o n t r i b u t i o n so ft h i st h e s i s i n c l u d e ：( 1 ) p r o p o s i n ga m e t h o dt oa n a l y z ec h a o t i ce n e r y p t i o ns y s t e mb a s e do nc h a o t i cs y n - c h r o n i z a t i o nf r o m c h o s e n - c i p h e r t e x ta t t a c k i n g u n d e rk e r c k h o f f p r i n c i p l e ； ( 2 ) a t t a c k i n gs o m et y p i c a lc h a o ss e c u r ec o m m u n i c a t i o ns y s t e m sb a s e d o nt h et h e o r e t i c a la n a l y s i s ；( 3 ) p r o p o s i n gac l a s so fc h a o t i cm a pc a l l e d p i e c e w i s e - q u a d r a t i c - e q u a t i o nm a p t o d e s i g nf e e d b a c k s t r e a m c i p h e r ，t h e n i m p r o v e d t h ec h a o t i cs t r e a m c i p h e rb a s e d o i ln o n l i n e a r c o u p l e df e e d b a c k ； ( 4 ) p r o p o s i n ga 避n do fm e t h o dw h i c hc a ni m p r o v et h ec o m p l e x i t yo f c h a o sb yr a n d o m l y c h a n g i n gt h ep a r a m e t e r so f d i s c r e t ec h a o t i cm a p s i n c e1 9 9 1 ，v a r i o u sc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nt h e o r i e sa n di t sa p p l i c a - t i o n sw e r ep r o p o s e d t h i ss y s t e mm a d eu s eo fs i m p l ec i r c u i t sa n dc o r n - p l e t e db a s i ce n e r y p t i o nf u n c t i o nw h i l ec o m p l e t i n gs p r e a d i n gt h es p e c - t r u mo fi t ss i g n a l h o w e v e r ，a l o n gw i t hi n v e n t i o n so fv a r i o u ss c h e m e so f s e c u r ec h a o sc o m m u n i c a t i o n ，w h a td e g r e eo fp r i v a c yi tc a na c h i e v eb e - 上海交通大学博士学位论文 c o m e s q u e s t i o n a b l ea n dm o r ei m p o r t a n t c o m p a r e dw i t ht h ee n c r y p t i o n a l g o r i t h m sw h i c ha r ew i d eu s e ds u c ha sd e s d os e c u r ec o m m u n i c a t i o n s c h e m e sb a s e do nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nh a v ea n y a d v a n t a g e s ? w ed i s c u s st h es e c u r i t yo fc h a o t i cc o m m u n i c a t i o ns c h e m e sb a s e do n c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nf r o mc h o s e n c i p h e r t e x ta t t a c k i n gu n d e rk e r c k - h o f f p r i n c i p l e f o rt h e r e c e i v e ro fc h a o sc o m m u n i c a t i o nb a s e do nc h a o t i c s y n c h r o n i z a t i o n ，w h e nt h ei n p u ti sc o n s t a n t ，t h er e c e i v e ri sc o n v e r g e n t u n d e rk e r c k h o f f p r i n c i p l e ，w ec a n c o n t r o lt h ei n p u to ft h er e c e i v e rw h e n w e a d o p tt h ec h o s e n - c i p h e r t e x ta t t a c k a tt h i st i m e ，w ec a na n a l y z et h e p a r a m e t e r so ft h er e c e i v e r b e c a u s et h ep a r a m e t e r so ft h er e c e i v e ra r e t h es a m ea st h ep a r a m e t e r so ft h e t r a n s m i t t e r ，w eg e ta l lt h ep a r a m e t e r s o ft h ec o m m u n i c a t i o n s y s t e m s o i ti so b v i o u st h a tc h a o sc o m m u n i c a t i o n b a s e do nc h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o nd o e sn o tp r e s e n th i g hs e c u r i t y t h i ss y s t e m a t i cw e a k n e s so fs e c u r ec o m m u n i c a t i o ns c h e m e sb a s e d o nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o nm a k e ss e c u r ec o m m u n i c a t i o ns c h e m e sb a s e d o ns u p e r c h a o sa n dh i g h - d i m e n s i o n a lc h a o sn o tg e t h i g hs e c u r i t y i n t h i sd i s s e r t a t i o n ，s e v e r a lt y p i c a lc h a o ss e c u r ec o m m u n i c a t i o ns c h e m e s b a s e do ns u p e r c h a o sa n dh i g h - d i m e n s i o n a lc h a d sa r ec r a c k e db a s e do n t h et h e o r e t i c a l a n a l y s i s t h e s es e c u r ec h a o sc o m m u n i c a t i o ns c h e m e s i n c l u d et h es c h e m e sb a s e do ns u p e r c h a o s ，h i g h - d i m e n s i o n a lc h a o sa n d t h eh y b r i dc h a o t i cc r y p t o s y s t e m t h ec r a c ke x a m p l e si l l u s t r a t et h a t t h i ss y s t e m a t i cw e a k n e s sc a nn o tb ea v o i d e ds i m p l yb yi n c r e a s i n gt h e c o m p l e x i t yo ft h ec h a o ss y s t e m s t h es e c u r ec h a o sc o m m u n i c a t i o ns c h e m e sc a nb ed i v i d e di nt w o k i n d s ，o n ei s s e c u r ec o m m u n i c a t i o nb a s e do nc h a o ss y n c h r o n i z a t i o n ， a n dt h eo t h e ri sc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o n w ea n a l y z et h es e o u - r i t yo fc h a o sd i g i t a lc o m m u n i c a t i o nb a s e d o nt h ea n a l y s i so ft h e s e c u r i t y o fc h a o sc o m m u n i c a t i o ns c h e m e sb a s e do nc h a d ss y n c h r o n i z a t i o n w e d i s c u s st h es e c u r e p r o p e r t yo fc h a o t i cd i g i t a lc r y p t o s y s t e m f r o mc h o s e n - c i p h e r t e x ta t t a c k i n g u n d e rk e r c k h o f f p r i n c i p l e + w e c a l lg e tt h e k e yo f t h e c r y p t o s y s t e mb yc h o s e a - c i p h e r t e x ta t t a c k i n g 。t h ec h a o t i cd i g i t a lc r y p - t o s y s t e md o e s n o th a v eh i i g hp r i v a c y f o rt h ec h a o se n c r y p t i o ns c h e m e s b a s e do nd i g i t a lf i l t e r ，w ec a l lp r o v et h a tt h e i rs e c u r i t ya r en o th i g h 。 f o rt h ec h a o s e n c r y p t i o ns c h e m e sb a s e do n d i f f e r e n c ee q u a t i o n s ，w ec a n c o n t r o lt h ei n p u to ft h ec o r r s p o n d i n gd e c o d e rt oc o n t r o lt h ei n t e r n a l s t a t e so ft h ec h a o se n c r y p t i o n b e c a u s et h e p i e c e w i s el i n e a rc h a o s r u n e - t i o ni sa d o p t e di nt h ee n c r y p t i o ns y s t e m ，i ti sd i f f i c u l tt oa v o i dt h el o c a l l i n e a r i t y t h er e s u l ts h o w s i t ss e c u r i t yi sn o th i g h w ed i c u s st h em e t h o d sh o wt oi m p r o v et h e p r i v a c yo fc h a o se n c r y p - t i o ns y s t e mb a s e do nt h ea n a l y s i so fc h a o sd i g i t a le n c r y p t i o ns c h e m e s 。 t h e r ea r et w om e t h o d s ，o n ei sc h a o si t e r a t i o n ，a n dt h eo t h e ri sc h a o s p a r a m e t e rj l i m p i n g b e f o r ed i s c u s s i n gt h en e wc h a o sd i g i t a le n c r y p t i o nm e t h o d ，w ep r o - 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s p a c eg r a p ho nc o n d i t i o nt h a t t h eg o o dp r o p e r t i e so ft h eo r i g i n a ls c h e m ea r er e m a i n e d b yr a n d o m l yc h a n g i n gt h ep a r a m e t e r so fd i s c r e t ec h a o t i cm a p ，t h e 上海交通大学博士学位论文 m e t h o dc a ni m p r o v et h ec o m p l e x i t y w i t ht h ei n t r o d u c i n go fa p p r o - p r i a t ep e r t u r b a t i o n ，t h ec h a o t i cs e q u e n c eh a st h eg o o d s e l f - c o r r e l a t i o n p r o p e r t y ，u n i f o r md i s t r i b u t i o np r o p e r t ya n dr a n d o m s t a t i s t i c a lp r o p e r t y u n d e rt h ef i n i t ep r e c i s i o ni np r a c t i c a la p p l i c a t i o n s a n dt h ep e r i o di s d e t e r m i n e db yt h em u l t i p l i c a t i o no ft h ec h a o sp a r a m e t e rp e r i o da n d t h ep e r t u r b a t i o ns e r i e sp e r i o d w ec a r lc o n t r o lt h el o w e rb o u n do ft h e e x t e n d e dc y c l el e n g t hb yc h o o s i n gt h ea p p r o p r i a t em - s e q u e n c e sa sp e r - t u r b a t i o ns e q u e n c e s b o t ht h et h e o r e t i ca n a l y s i sa n dt h er e s u l t so fs i m u - l a t i o ns h o wt h a tt h ec h a o t i cs e q u e n c eh a sg o o dc r y p t o g r a p h yp r o p e r t i e s a n dc a nb ei m p l e m e n t e de a s i l yi nb o t hs o f t w a r ea n dh a r d w a r e k e y w o r d s ：c h a o s ，c h a o t i cs y n c h r o n i z a t i o n ，s e c u r ec o m m u n i c a - t i o n ，c h a o sd i g i t a le n c r y p t i o n ，k e r c k h o f fp r i n c i p l e ，c h o s e n - c i p h e r t e x t a t t a c k 上海交通大学 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 同意学校保壁劳囱国家鸯关部门或枫橡送交论文的复印件帮电子 版，允许论文被查阅和借阅。本入授权上海交通大学可以将本学位 论文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、 续印线扫搓等复制手段保存琴爨汇编本学位论文。 保密口，在一年解密后适用本授权书。 本学位论文属于 不保密彤 ( 请在以上方框肉打“4 ”) 学位论文作者签名： 翻闽奎、 翻期：嘭年善胄厶吕 指导教师签名：舭 日期b 叼年土餐。2 髫 上海交通大学 学位论文原创性声明 本人郑重声明：所矍交酶学位论文，是本人在导_ | 季l 的指导下， 独立进彳亍研究工作所取得的成果。除文中已经注踢弓l 用鲍爽蜜钋， 本论文不包含任何其他个人域集体已经发表或撰写过的作品成果。 对本文的研究做出重要贡献的个人和集体，均已在文中以明确方式 标明。本人完全意识剩本声明的法律结果南本入承趱。 学位论文 乍者签名： 糊考、 酷期： ，p ；年五月 - 目 第一章绪论 撵要介绍混沌、现代密码学以及混沌与现代密确学乏词昀美系，并讨论 了混沲曝密遗信约研究现状茂本文的主要研究内容 王1 引言 当今静时代是信惠的辩筏，计算梳网络静时代。大量的信惠鞭数据的形式存放 在计冀枧系统墨。信怠，铡懿军事逶髂，银行秘各金鼗蓠进行静电子离务活动，沲 子货西敷交易，运过公共豹售遂传输。这楚计算极系统秘公共售遴若不设脏，在安 全上是十分脆弱的，容易受到攻击鞠破坏。信息的丢失不容易被发现，后累将是十 分严重的。如何保护信息的安企，已不仅仅是军事和政府部门感兴趣的问题，其它 企址事泣单位对信患的安全也愈感迫切。使用密码是有效而且可行的保护信息安全 懿方法。它可戳骰掰便信怠不被；# 法窃取，不被篡改或破环，丽鼠付出的代价是可 以接受鹣。 在巨大懿嚣求下，实黪攘密体裂禽羞多样纯方离发震。尽管现代密羁学经过近 2 0 年的实躲研究与发展形成了少羹具窍代表性的加密方寰，如d e s ，公钥密钥体 制，但在几乎每种具体的加密形式中都可能存在着潜在的缺陷。一旦其缺陷被有效 地攻击，整个密码体制就会崩溃。另一方面，在已公布的标准加密方法中，有可能 被安排了某种陷门。鉴于以上原因，世界科技发达国家几乎都在研制自己的加密体 稍，如德冒的s i c u r e ，日本的f e a l ，前苏联的g o s t 戳及美国的d i s s p 等。所 以，我锯墨家豢矮有蠹邑垂冬密璐系统耧麓密标准。_ 歼震计算梳密码学酌谬 究对于维 护我国驰安全靼维持电子囊务涟动的正鬻邀行是+ 分重要麴，凝究秘勰决其中嚣阏 题也是泼务也急。 混沌是一神复杂的非线性非乎缀动力学过程。混沌系统可以提供具有良好随枧 性、相关性和复杂性的伪随机序列。混沌序列是一种非线性序列，其结构复杂，难 以分析和预测。这些都是很有吸引力，使其有可能成为一种可实际被选用的密码体 制。选媚何种游沌系统髓产生满足密码学中各项要求的混沌序捌是目前各阔密码研 究誊大力簪 究翡海题。 l 。2 混沌 1 9 7 5 年，”渥沌”作为个掰懿料学名谣密现在文献中。滢淹现象的发现是将汝 期以来壹争论丕体熬勰定论帮概零论嚣大理论体系有规娥缮念起来，开锱了科学 模型化的一个颓范侧，使人4 f 3 将许多以往看来是随机的信息现在可熙篾单靛法则热 蘩一章缝谂上海交通夫学薄士学位论文 数辩释，羼j 逝，发现澎湾静瑷密意义雀予认识到 线性系统典霄遗在确定性，尽管 霹熊只蠢少数足个奎密度，帮藐产生密复杂静、类儆陡瓿麓赣窭信号。演淹鬻象开 辟了在众多完全不同的系统中发现规德饿的道路，同时也正悬濑沌把人们引向了探 索复杂往楚道路，嚣梵，英结暴必簿雩| 戆一臻影穗苓嚣攀辩袋域豹摹鑫。瓣潺涎瑰 象的认识，是现代科学浸藏要的成就之一。 霆然秀昃蠢一个，鑫然瑗象遴莛繁琴弦羧久蹙意恚懿窖鼹鬏律。然嚣，砖统上 数瑾科学巾却肖两套反驶这些烧棒嚣体系；确定论描述和概率论擒述。滚两套撼述 体系秘发展历程审，备鸯一令舆溅竣瓣黢，对予凝茨概念秘方法。起饕试金毅鹄 筝 髑。 确定论懿谈众嚣楚天体力学，特别是潋严格求辫的二体趣题，从搿喾勒鳇蟹 鬣运动三定律，瓤牛顿力学静三定律，吾狭义秘广义耀辩论关予承重遥秘点遥动释 光线在太阳附近偏转的解释，到飙原予光谱乃至两条谱线间躐因辐射修征而导致的 缨徽移动，雾努经典力学、褶辩论、豢予力学耧量子场沦懿发震雯。这一发蠖过 程的各个阶段，构成现代数理科举的登实知识罄确。 穰搴论戆试众嚣燕毒朗运凌。1 8 2 7 每攘携学蒙毒麴巍显擞镱下蕊察戮悫浮程液 体中的拖粉颓粒酮无栽遮韵，曾疑以为鼹蓿刭生命运动翡基本形态。1 9 0 5 年爱函新 蠼雩l 焉照搬蓬怒搬念，戤翡逮颥亩了毒期运动懿蒺本特憋，熬嚣梭皮兰瓣试验所涯 赛，这麓萼| 出t 瓣之万方程、裰悫一赣朝宠方疆，维镳戆连续弦分表示、暴萨嵇泛 涵、乃至涨落场论等一系列发展。它们同样是深入研究太自然、特别是研究复杂系 绞行凳熬必要皴谈萋穑。 这两察描述体系的发展，霄蓿诸多弗彳亍之处 同样，在认识论基础上有麓深刻 貔对立。墩秀究竟是璃然瓣，述楚必然瓣? 嚣绕这一愈繇戆争谂，露襻牵动蓑巍然 科学家的愚绪。胬牛顿 j l 来的科举传统，眈较报潦确定论描述，黼把概率论描述作 梵“琴褥露嚣为之”兹毒 宠。然嚣，爨壤搴埝还漂为勰定论，麸力学接零绞许静尝 试始终寨艟成功。囊酵，愈是深入婪l 耪袋运秘懿蔑级秘复杂翡形态，裁窳离不开_ 壤 搴论撼述，就必缓不龄隶助于基鼍：知识“不完备性”的统计方法。至少，从事美观 惑，这氇嫠瑷代骞然霸 擎律系懿一释缺转。 混沌动力学的发展，驻在缩小这鼹个慰立体累之间的鸿沟。某些完全确定的系 统，不多 黯任秘涟瓿嚣素就霹貔爨瑶毒蠢麴运凄不麓嚣分鹣嚣梵；“失之毫蓬，差 乏千里”的对韧假细微交化的敏感依赖健，使得确定系统的长时间行为必须借助概 搴谂方法攘述。这赣是混淹。 作为一个科学概念，混沌怒指一类确定性非线性系统长期动力学行为所表现出 寒鹃叛藏瓿佳，怒篓线彀系统豹一耱缝笈嚣薅麓旗力学愆必。藏弱蔫久髑辑絮，确 定性菲线性系统谯经弱避甏态过渡过程麓哥以产袋平衡态f 或静艟状态) 、周期态、 一2 一 圭塞窒墨查兰堡圭堂堡墼塞 ：耋塞蓬 准周期态及混沌态等四类不同的动力学行为。从长期动力学行为的角度来看，在楣 空间里，平衡态对应着极限点这种吸引子，而周期态则对应了极限环。准周期运动 剐是亩有限个阕期运动线性叠加荷成，这擅周期运动的周期中至少有两个周期的比 篷为无理数，跑较典羹船维餍臻态暖萼l 子楚环蔼。混淹运动邀是海确定注菲线性系 统产生的一转运动状态，傻它与乎撵态、周鬻态、准鼹鲻态琴弱，它是一耱始终届 限在一定的有限区域内、运动轨迹永不重复的复杂运动。混沌运动的运动孰逃梗当 复杂，在运动过程中忽左忽右，看起来毫无规律，这就是所谓的似随机性吼 i 2 1 混淹研究的历史 混沌的研究可追溯澍十九世纪末。1 8 9 2 年，法国数学家昂璧庞加莱( h e n r y p o i n c a r 6 ) 在研究天体力学，特剐燕在研究三体闯蘧时发现，三体弓 力相互作用能 产燮出惊人戆复杂动力学绻炎，其确定性动力学方程翡菜擅瓣非常复杂，有不酉颈 见性。姓预言可能存在混沌运动，在；5 ； 学的徐傻一书中写道：“我l 】察黉不刘 的极其轻微的原因决定着我们不能不看到的显著结果，於是我们说这个结果是虫子 偶然性。可以发生这样的情况：初始条件舶微小差别在最后的现象中产生了极 大的差剐：前者的微小误蓑促成了后者的甄大误差，予是预言变得不可能了。”这 些描述实际上蠢经蕴含了“确定往系统兵裔内在的随税往”这一濑沌现象的重要特 性。 虽然漏涟懿摆步研究开始予+ 丸毽纪束，侄真芷褥髫发震建在二十毽纪六七十 年代以厝。在六十年代初，气象学家渗仑兹( 8 + n 。l o r e n z ) 在一个茨化大气对滚模 型的计算机数值计算中发现，这个由三酚常微龄方程撼述的确定性系统确实具骞溉 则行为，但在某些条件下也可出现非周期的无规则行为，只有微小差异的龋个不弼 的初始条件也可以产生完全不同的计算结果，途与当时气象界的权威观点是稠矛盾 的。在五、六千年代，入们普遍认为气象系统作为一个遵守牛顿力学定律的确定骸 动力学系统，褒计算机瓣帮翳下，瘫该是胃潋精确预测静，僵攀实并稚如就，入们 一妻未姥成功她对气象系统进纷长撄颈报。经过长耀反复计算鞠愚考，洛仑兹螽来 在1 9 6 3 年发表了d e r t e r m i n i s t i cn o n p e r i o d i cf l o w ) ) 等三篇论文，指出了计算缝聚 的实质意义，即气候不能精确重复与无法长期天气预报之闯必然存在着一葶申联系， 这就是非周精位与不可预见性之间的关系：系统在某个临界点上，小的变化可以放 大为大的交亿，这也就是今天所说的混沌系统的初始条件敏感性。洛仑兹的这些论 述技公认为楚发瑗瀵i 窀的第一铡掏。 1 9 7 5 年李夭岩及3 a y o r k 在“a m e r i c a nm a t h e m a t i c s ”上发表著名的论文 p e r i o dt h r e ei m p 娃e sc h a o s ) ) ，提出tl i - y o r k 定理。该定理豹基本蠹容滋经钰含 在乌克兰数学家沙尔可失斯基( a n s h a r k o v s k i i ) 褒1 9 6 4 年提出鳇“沙客霹夫勰基 定理”中。根据这两个定理。对于一维线段上的映射。只要知道存在某个特定的周 一3 一 第一章绪论上海交通大学博士学位论文 期轨道( 如周期三的轨道) ，就可以判断还存在哪些其他周期的轨道。李天岩的论文 里首次公开、正式地使用“混沌”( c h a o s ) 一词，“混沌”也从此作为正式术语使 用。 1 9 7 7 年，第一次国际混沌会议在意大利举行，标志着混沌科学的诞生；接 着，美国物理学家费根鲍姆( m j f e i g e n b a u m ) 发现倍周期分岔序列的两个普适常 数d 和o t ，这两个普适常数的发现使混沌科学确定起自己坚固的地位。八十年代 初，p a c k a r d 等人提出了重构相空间的实验方法，t a k e n s 利用w h i t n e y 嵌入定理给 出了严格的证胆。h o l m e s 转述并发展了m e l n i k o v 方法，这种方法用于判别二维系统 中稳定流形和不稳定流形是否相交，也即判断是否出现混沌。1 9 9 0 年，o t t 等人提 出了控制混沌的o g y 方法1 5 i ，p e c o r a 及c a r r o l l 实现了两个混沌系统的同步 6 1 。自 此，混沌研究开始由纯理论研究逐渐走向应用研究，越来越多的控制工程、通信、 生物医学等工程技术界的学者专家也开始加入这个原本主要是物理学家、数学家们 参加的纯理论基础研究领域。 人们对混沌现象的认识，是非线性科学最重要的成就之一。混沌理论已经发展 成为内容丰富、覆盖面广、成就卓著的研究领域，并在现代科学技术中起到了重要 作用。混沌科学的倡导者之一，美国海军部官员m s h l e s i n g e r 说，“二十世纪科学 将永远铭记的只有三件事，那就是相对论、量子力学，和混沌”。第一次混沌国际 会议主持人之一的物理学家j f o r d 则认为，混沌现象的发现是二十世纪继相对论、 量子力学问世以来的物理学第三次最大的革命吼混沌理论在现代科学中的地位由 此可见斑。 1 2 2 混沌的数学定义 从数学上来讲，“混沌”并没有一个统一的严格定义m l ，过去十几年来，人们 一直试图寻找一种通用性强、能突出混沌主要特性并为广泛接受的定义。在这一过 程中，也涌现出了大量的关于混沌的数学定义。b r o w n 和c h u a 在他们的论文1 8 l 中就 列出了多达九种不同的定义。其中l i y o r k e 定理是比较公认的、影响较大的混 沌数学定义。 定理1 1 ( l i - y o r k e 定理) ：设l ( z ) 是f o ，6 】上的连续自映射，若，( z ) 有3 周期点，则 对任何正整数n ，( 茹) 有竹周期点 定义1 1 ：闭区间，土的连续自映射，( 茹) ，如果满足下列条件，便可确定它有混沌现 象： 1 f 的周期点的周期无上界； 2 闭区间，上存在不可数子集s ，满足 一4 一 上海交遵大学搏士学位涟文 1 2 混淹 ( a ) 对任意搿，y s ，当茹y 时有 ，觐s 婶| 广( 嚣) 一，”( 蚓 0 ) ( b ) 对任意茹，y s ，有 怒i n f l f ”一，“= 0 ) ( c ) 砖任意茹s 参，的任一餍期点蓼时，穷 熙s u v l f “( z ) 一，“圳 0 ( 1 3 ) 横据上述宠理_ 耧定义，对；l l 区润i 上豹连续嚣数，( 2 ) ，魏采存在一个周期为3 的周期点时，裁一定存在镁键羹整数憋周期点，郄一定出璐混涟瑷象。 1 2 3 混沌的特征 混沌( c h a o s ) 悬“无序中的有序”，其中鸯序是指其确定性，面无序则是攒其最 终结果的不可预测性。作为一个科学概念，它通常是指一类确定饿非线性系统长期 动力学行为所表现出的似随机住。混沌运动有剐予一般的周期和准周期运动，它的 运动周麓轨道不是苹一辘道，丽是一簇鞔道的俄络。混淹系统其有如下的将点： i 、对稿始条件的敏感依赖性 这一性痿也被经鬻称裕“蝴蝶效应”，或“轨迹的不稳定性”。帮在混淹系统 孛，初始筐的微小熬异，将涟蓑系统熬浚化，戬指数速度增长。 2 、长絮颈测的不可能性器短勰矮溅瓣霹能性 按照经典力学，确定性系统懿演化将赉其裙始条俸移系统穷稳唯确定，那么 一定可以根据测碍的系统初始状态，计算出系统陡黠闽浆演化过程。 然瓤由于渥沌系统具有“对初始条传鲍敏感依羧性”豹特点，视娥状态懿微小 误差具有指数增长速率这一特点使得对确定性混沌系统的长期预测是不可能的， 因为测：蠹误差和计算误差都是不可避免的。 从另外方面讲，过去将系统的不可预测性归咎予外来随机因素的影响，从丽 发展了概率论这一学科，对髓机性进行统计分析，从而可以在统计意义下对系统进 行羰测。混淹静发臻使久稍认谈掰，确定褴菲线往系统本身就可以产生类似随机的 行为，这融涎极龅怒因不来源予乡 部恧是出鑫系统本身熬嚣线性动力学特榷。薄予 这类确定性混湾系统行为的预测，照然其长期预测是不霹能憋，然露其确定性系统 的本质使得对它的短期预测是可能的。 一0 第一章绪论 上海交通大学博