（机械设计及理论专业论文）基于labview接口的数据采集系统设计及吉他音色的研究.pdf

摘要 摘要 目前，国内外在乐器的声学方面的研究并不是很多，而将声学和振动学联系 起来研究乐器的几乎没有。本文以吉他为研究对象，先从振动学方面对吉他进行 研究，并进行有限元分析，然后利用虚拟仪器技术进行声学实验，最后分析实验 结果并得出结论。 首先从振动学上进行理论研究。吉他是基于十二平均律原理制造出的乐器， 所以可由“十二平均律”计算出所有弦上每一品的频率值。通过单根弦横向自由振 动，推导出弦自由振动的频率公式，并由不同弦上的相同音的频率值来验证所推 公式。再通过推导出的频率公式求得吉他每根弦上所受的拉力t 的大小，以供有 限元分析。 其次建立吉他实体模型，对其进行有限元分析。本文使用谐响应分析和模态 分析两种分析方法。对吉他的弦进行谐响应分析，分析出六根弦所有品的频率值， 并将分析结果与理论值进行比对。对其进行模态分析是为了更好的找到影响吉他 音质的因素。通过改动模型，研究其阵型图找出影响较大的关键因素，并做分析处 理。 然后进行声学实验。此部分包括实验设计和性能测试实验设计包括了软件设计 和硬件设计，软件我们使用的是l a b e w 软件，程序设计内容包括采集、滤波、 数据转换三个子程序，通过对几个子程序的测试得出采集系统中的相关参数；硬 件部分我们使用声级计、数据采集卡。再用编好的采集系统对吉他进行采集实验， 得到吉他六根弦所有品的频率值。 最后将实验结果与理论值以及有限元分析值进行对比分析，得出相应的结论。 图【6 1 】 表【2 0 】参【6 0 】 关键词：吉他；音质；谐响应分析；模态分析；虚拟仪器； 分类号：t b 5 2 安徽理t 大学硕十学位论文 a b s t r a c t a tp r e s e m ，t h es t u d yo ft h ea c o u s t i cf - e a t l l r e sa r en o tt o om u c ha th o m ea n da b r o a d ， n o tt om e n t i o nt h ec o r u l e c t i o nb e m e e nt h ea c o u s t i ca n dv i b r a t i o n t 1 1 i sp 印e ra r e r e s e a r c h i n go nm eg u i t a r ，6 r s ts t u d yt h ev i b r a t i o no fg u i t 虬a n da n a l y s i si tb yu s i n gt h e f i n i t ee l e m e n t ；t h e nu s et h ev i r t u a li n s t n j n l e n tt e c l m o l o g yf o ra c o u s t i c a le x p e r i m e n t ； f i n a l l y ，a n a l y s i st h ee x p e r i m e n t a lr e s u l t sa n dg e tt oc o n c l u s i o n s f i r s to fa 1 1 ，、v em a k e sat h e o r e t i c a ls t u d yo nv i b r a t i o nl e a n l i n g t h eg u i t a ri s c r e a t e db a s e do nm ee q u a lt e m p e r 锄e n tp r i n c i p l e ，s o 、ec a i lu s et h et h e o 巧t o c a l c u l a t e dt h e 仔e q u e n c yo f e a c hr a n ko f e a c hs t r i n g t h r o u 曲t h e 舶et r a n s v e r s ev i b r a t i o n o fs i n g l es t r i n g 、v ec a nd e d u c em e 矗e q u e n c yf o m u l ao ff r e ev i b r a t i o ns t r i n g ，a n db y u s i n gt h ed i f f e r e ms t r i n g so ft h es a m es o u n d 行e q u e n c yv a l u e s 、v ec a nv e r i 母t h ef o m u l a a m dt h e nt h r o u g ht h ef r e q u e n c yf o n n u l ad e d u c e dc a ng e tt ot h es i z eo ft h et e n s i o ntf o r e a c hs t r i n g ，w h i c hc a i lb eu s e df o r 向n h e rf i n i t ee l e m e n ta 1 1 a l y s i s s e c o n d l y ，e s t 2 l b l i s ht h eg u i t a rs o l i dm o d e la n da n a l y s e st h ef i n i t ee l e m e n t t h i s p a p e ru s e 觚oa n a l y s i sm e t h o d ss u c ha sh a n n o n i cr e s p o n s ea n a l y s i sa 1 1 dm o d a la i l a l y s i s t h eh 锄o n i cr e s p o n s ea n a l y s e sf o rg u i t a rs t r i n g si st og e tt h e 矗e q u e n c yv a l u e so fe a c h s i xs t r i n gt oa 1 1 a l y s e st h er e s u l t sa n dt oc o m p a r ew i t hm e o r e t i c a lv a l u e s t h em o d e l a n a l y s i si st of i n di i l f l u e n c ef a c t o r so ft h eg u i t a rs o u n dq u a l i t ) ri nab e t t e rw a y ，t l l e n f u r r t h e rt of i n dt h ek e yf a c t o r sb ys t u d y i n gi t sf o m a t i o nd i a g r 锄t h r o u g hm o d i 匆i n gt h e m o d e l ，a j l dd oa n a l y s i s t h e nd oa c o u s t i c a le x p e 曲1 e n t t h i ss e c t i o ni n c l u d e s e x p e r i m e n t a ld e s i 印a j l d p e r f o m l a n c et e s t i n g e x p e r i m e m md e s i g ni n c l u d e ss o r w a r ed e s i g na 1 1 dh a r d w a r ed e s i g n ， 、eu s e dal a b e wa ss o r w a r e ，p r o 伊锄d e s i g nc o n t e n ti n c l u d i n ga c q u i s i t i o n ，f i l t e r i n g ， d a t at r a l l s f o m a t i o nt 1 1 r e es u b r o u t i n e ，、v eg e tt h er e l a t e dp a r a m e t e r so fa c q u i s i t i o n s y s t e mt h r o u 曲s e v e r a ls u b r o u t i n e st e s t s ；w eu s es o u n dl e v e lm e t e r ad a t aa c q u i s i t i o n c a r da sh a r d w a r e w ed ot h ec o l l e c t i o ne x p e r i m e mw i t hp r o 伊a m m e ds y s t e mo fg u i t a r c o l l e c t i o n ，t oo b t a i na l lt h ef 诧q u e n c yo fa l lr a n k so fs i xg u i t a rs t r i n g s f i n a l l y ，c o m p a r et h ev a l u e so ft h ee x p e r i m e n t a l ，t h et h e o r e t i c a la n dm ef i n i t e e l e m e n ta 1 1 a l y s i s ，a j l d 锄a l y s i st h e s ev a l u e st og e tt h ec o r r e s p o n d i n gc o n c l u s i o n 1 1 f i g u r e 61 】t a b l e 2 0 】r e f e r e n c e 6 0 】 摘要 k e y w o r d s ：g u i t a r ；a c o u s t i c ；h 唧l o l l i cr e s p o n s ea 1 1 a l y s i s ；m o d a la n a l y s i s ；v i r t u a l i n s t n l m e n t ： c l a s s i f i e dn u m b e r ： t b 5 2 n i 引言 引言 随着社会的不断进步、科技的不断发展，人们的生活质量也在一定程度上提 高，对产品的性能要求也在不断的提高，目前，国内在乐器制造业上还并不处在 一个理想的阶段，乐器出厂检测大多数是凭着老师傅的感观进行判断，这样不能 保证所有出厂吉他都符合标准，所以出厂前对吉他的声学检测是非常有意义的， 我们还要保证检测方法简单而且有效，在此领域的研究至今在国内外还很少，常 用的声音检测方法是用多功能信号处理分析仪，里面包含了信号的采集、去噪等 功能，而本文则在此基础上进行创新，提出新的方法和理论，具有一定的现实意 义。 本文以吉他为研究对象，从理论计算、有限元、实验三大部分对其进行声学 研究，我们利用虚拟仪器技术，使用l a b v i e w 编程语言绘制一个完整的采集系统， 并对其进行数据分析处理。 本课题的目标就是利用虚拟仪器技术来实现声学测试的最简单、最有效的方 法。首先我们分析弦的机械振动，推出其振动的理论公式，并计算出相应的频率 值，以此为理论基础，再建立吉他实体模型，对其进行有限元分析，并对分析结 果进行研究。有限元分析结果表明弦的振动频率公式是可靠的。通过l a b e w 软 件对采集系统进行程序设计，并对整个采集系统中各模块进行了性能测试，使各 部分均满足采集的需求，并得到采集系统中相关参数以及确定各模块的设计方法。 实验测试系统需要的硬件设施包括了声级计、数据采集卡，并对其技术指标做了 叙述，通过具体实验得出吉他弦所有品的频率值，将实验数据与理论结果以及有 限元分析结果进行比对，研究证明此采集方法是可行的，通过理论值和实验数据 的比对表明此采集系统是可靠的。为乐器制造行业的提供了更加有效的研究方法 和依据。 1 绪论 l绪论 在乐器的制造过程中，音质和外形是人们最关注的问题，乐器发音的原理基 本上都是有振动产生的，其次就是共鸣箱将其放大。从振动学角度去研究乐器的 发声原理，目前已经有了很可靠的理论基础，但是单从这一个方面去研究乐器是 很片面的，因为还要与将声音放大的音箱考虑再内，只有联合起来研究才能对乐 器的制造起到一定的提升作用。 1 1 课题研究的意义 本课题首次将虚拟仪器技术和有限元法应用在乐器的声学研究上，在乐器的 生产过程中提供更加可靠的依据，可以有效的提高乐器出厂质量。 课题以吉他为研究对象，通过对吉他进行理论研究、有限元分析、实验对比， 理论研究给有限元分析提供参数，有限元分析得出的结果给理论研究做验证，在 用虚拟仪器技术对理论和有限元结果进行比较分析，从有限元分析的结果中观察 影响吉他音质的关键因素，对其进行重新设计。 通过以上方法可以在一定范围之内提高吉他的音质，并能有效的运用到其他 乐器的制造中。 1 2 课题研究现状 有关乐器声学的问题，特别是对西洋的古今管弦乐器，国内外已有较多的研 究，而针对吉他的声学研究，从8 0 年代才开始逐步起步，目前国内的此类研究偏 重于单一的声学研究和振动学研究，将声学与振动学有机的结合在一起的很少。 国内北京东方振动和噪声技术研究所在2 0 0 8 年对名族乐器马头琴进行了声学 研究，可以说这是首次对该琴的科学性探索研究【1 2 】。通过用声级计、数据采集卡、 信号处理仪来采集马头琴的时域信号和频域信号，进行音频分析，通过分析处理 得到音色和音准等参数。 清华大学数学科学系对电贝司做了一系列的探索研究，也是通过弦的振动来 研究其发音原理的，但是它只是从纯数学的角度对其发音原理进行分析，没有进 行其他的实验分析对理论进行验证1 3 】。 北京轻工业学院对管弦乐器做了一定的研究，通过进行物理实验、建立振动 声学模型，采用了u a s 分析方法，对管弦乐器做了声学研究，并对几种拉弦乐器 的频谱做了比较，提出了自己的意见。1 4 】 河北科技大学的韩佩琦以二胡作为研究对象，通过数理方程对弦乐器的琴弦 安徽理一t = 大学硕士学位论文 振动做了一系列的研究，提出了琴弦的振动与二胡音质的影响。对二胡的改进奠 定了基础。【5 j 中国地质大学的何潇以吉他为对象，利用了最小二乘原理和十二平均律对吉 他的发声频率做了研究，对乐器的音准提出了调整方案【6 】。 中国音乐学院的萧剑声研究了三弦乐器的结构、性能、发声原理，在三者之 间的关系上做了一定的研究，对三弦乐器的声学方面起了一定的帮助。【7 1 北京交大的马惠英等人对弦乐器的振动做了相应的研究，提出了弦乐器中的 弦和共鸣箱的重要性，重点分析了共鸣箱在弦乐器中的作用，并对共鸣箱提出了 一些改进方案。瞄j 昆明理工大学机电工程学院在2 0 0 2 年对吉他做了声振特性的实验分析【9 m 】， 对吉他顶板、背板及内表面胶接支柱的不同组合结构做了特性分析，他们所用的 动态特性测试系统结构框图如图1 所示： 吉他 电荷放大器 图1 吉他动态特性测试系统结构框图 f i g 1s n u c t l l r ed i a g r a 帅o fg u “a rd y n a m i cc h a r a c t e r i s t i ct e s ts y s t e m 在纯振动方面对吉他等乐器的声学研究，研究其发声原理和振动频率的还是 很多的【1 3 - 1 5 】，通过弦的连续系统的振动分析，得出其振动特点，解出弦振动的振 型函数，最终求得弦振动的固有频率函数，以便对弦乐器的研究【蛤18 1 。 由此可见，我国在此领域上的研究还是很缺乏的，以上的研究缺乏完整性， 对乐器的研究具有片面性，本课题组将对吉他进行详细的声学特性分析，并通过 虚拟仪器技术对声学特性分析结果进行验证 1 绪论 1 3 虚拟仪器技术的发展及现状 1 3 1 虚拟仪器技术的出现及应用 虚拟仪器技术也就是将硬件和软件结合在一起进行各种数据的测试和测量，其 中硬件要求必须是高性能而且是模块化的，软件要具有高效灵活性。自从该技术 问世以来，大多数国家的工程师们都将n il a b e w 运用于各类产品的研发设计中， 提高了产品的质量，产品的生产时间也缩短了，这有效的提高了产品的生产效率。 虚拟仪器中包含有大量的工具以满足我们需要l l 圳。 美国国家仪器公司n i ( n a t i o n a li n s t n 】m e n t s ) 首先提出了虚拟测量仪器概念， 也就是现在我们所讲的v i 程序，在世界范围内首次将计算机技术取代了传统的仪 器测量技术，传统的仪器测量技术都是用硬件设备进行测量分析，而虚拟仪器技 术则是将硬件软件化，即虚拟仪器技术的核心思想就是“软件即是仪器”，虚拟仪器 由计算机、相关软件、输入输出部件构成【”，2 0 】。输入输出部件基本上有传感器、 数据采集卡或者数据采集板。相关软件大多数使用的都是l a b v i e w 软件，如果要 进行数据采集，还需要一些相关的采集板或者采集卡驱动程序【2 1 ，2 2 j 。 虚拟仪器技术的功能特点与传统仪器相比有很大的优势，具体如表l ： 表l 虚拟仪器与传统仪器特点比较 t a b1 c o m p a r i s o nt a b l eo f v i r t u a li n s t r u m e n ta n dt r a d i t i o n a l i n s t r u m e n t 传统仪器虚拟仪器 硬件是关键，必须由专业生产厂家升级软件足关键，可由用户修改，升级方便 数据无法进行编辑 数据可以进行编辑、存储和打印 开发维护费用高开发维护费用低 基于硬件，技术更新周期长基f 软件，技术更新周期短 不易与其他设备进行连接 易于与外设、网络及其他设备连接 通用性差，价格高，不易升级 价格低，易于升级，可重用性与可配置性高 系统封闭，仪器功能同定小可更改 系统开发，用户可修改软件，构成不同仪器 虚拟仪器作为计算机操纵的模块化仪器，在生产实践中的应用越来越广泛。 由于虚拟仪器技术起源于美国，而对虚拟仪器技术的研究，美国也领先于其 安徽理t 大学硕十学位论文 他国家。 目前，在美国，许多大学都建立的自己的虚拟仪器实验室，通过这些实验室， 不仅能让在校学生通过亲自动手实验，搭建自己的虚拟实验系统，而且能够为虚 拟仪器技术的研究和系统的开发提供必要的硬件条件【2 3 之7 1 。 圣地亚哥大学开发出了一套用于模拟和优化混合动力汽车燃油消耗和排放的 系统；美国的t r a l l s o n i x 、e x a i r 等公司基于虚拟仪器技术研制生产了一种小型致 冷漩涡管，已广泛用于许多要求密封防尘的场合； 维吉尼亚州技术公司利用l a b e w 平台开发了一种分辨率达到微米级的光学 测微计，而他们最终的目标是利用现有的图像处理和分析工具来开发系统，从而 达到缩短开发周期和减少开发投入的目的；密歇根州大学开发了一种用于测量由 于传感器对于气体的吸收或者反应而引起的电阻值变化的传感器； 在维吉尼亚州医科大学的临床实验室，研究人员将虚拟仪器技术应用于一项 名为i n s t m m e n t o r 的项目中，从而开发了一套所需的虚拟仪器；美国r & b 公司利 用l a b e w 软件开发的车内测试系统由于具有体积小、测试速度快等优点，已经 基本取代了传统汽车测量系统的数据记录仪。 除了美国外，其他国家也对虚拟仪器技术进行了深入的研究【2 8 _ 3 2 1 。挪威 c 灿n c 公司，利用虚拟仪器测试技术，基于l a b e w 操作平台，开发研制了测 试北海油田石油、大气、水流的m p f m 系统。 对于虚拟仪器技术的研究，我国从9 0 年代中期开始，虽然研究较欧美国家落 后不少，但至今也取得了可喜的进展。 清华大学应用虚拟技术构建了一套用于检测汽车发动机性能的出厂检测系统 【3 3 】；该系统能有效的对汽车的发动机进行模拟检测，具有准确性高、时间短、适 应性强。 在中国声学学会2 0 0 7 年青年学术会议上，张建军等人提出了采用虚拟仪器的 水中噪声测量系统【3 4 1 ；该系统具有数据采集、分析、处理功能，适合与各种测量 需求。 天津大学开发的原油管道泄漏远程监测系统，通过数据采集将原油管道中的 信号参数实时的进行检测，具有可靠性、实时性。此系统己经成功用于胜利油田 和华东石油管理局集输管线和长输管线中i ”j ； 唐山大学基于虚拟仪器技术研制的锅炉供热自动控制系统，能有效的控制了 热水的供应与转换，有效的达到了节能减排的功能，此系统成功应用于唐山市热 力总公司的供热项目上【3 6 ，圳； 深圳大学的罗长更设计出了一种基于虚拟仪器的噪声监测与风机故障诊断系 统，该系统对风机故障诊断的准确率达到了9 5 以上【3 8 1 。 1 绪论 清华大学基于虚拟仪器技术开发的实验室热工水利学测控平台，对于热工测 量技术和热工仿真技术等高新技术的发展起到了巨大的推动作用，并以此为平台， 成功完成了海水淡化等课题的研究； 为实现对噪声总声压级、各种计权声压级及相应倍频程的实时测量和分析， 重庆大学开发了虚拟实时噪声倍频程分析仪【3 9 4 1 】； 1 3 2 虚拟仪器的构成 虚拟仪器技术简而言之就是将计算机技术、相关软件以及少数高性能的硬件 设备有机的结合在一起，来完成对目标参数的测试、采取。【4 2 】 虚拟仪器系统的结构框图如图2 所示： 图2 虚拟仪器系统的结构框图 f i g 2 s t m c t u r ed i a g r a mo fv i r n l a li n s t i u m e n ts y s t e m 从图2 中我们看出，虚拟仪器技术包含了硬件和软件，但是重点在软件上， 硬件也就是简单的计算机和一些i 0 设备，这部分不是虚拟仪器技术的核心，测试 软件才是虚拟技术的核心骨。 虚拟仪器测试系统的软件主要包含控制软件、数据处理软件、仪器驱动软件、 硬件接口软件四部分【4 3 ，删。 随着计算机技术的不断发展和总线方式的不同，我们可以将虚拟仪器分为以 下五大类型，其中包括插卡型、并行接口式、g p i b 总线方式、v x i 总线方式、p x i 总线方式。下图3 是虚拟仪器的构成方式图。 安徽理工人学硕士学位论文 e = 4 信号调理b = = 刮数据、图像采集卡b 叫g p ，b 接口仪器b = 刊g p b 接口卡b p x i 仪器 i 被测对象i v x i 仪器 1-r l a b v i e w 串行接口仪器 现场总线设备 j ，dh 、，、 、p，7 其他计算机硬件 l 、， ， 1 4 课题研究内容 图3 虚拟仪器构成方式 f i g 3s t r u c t u r em o d eo fv i n u a l i n s t m m e n t 吉他作为一种弦乐乐器，吉它结构的刚度和柔度必须保持完美的平衡：刚度必 须能抵御琴弦的张力而不能使结构有过大的变形；而柔度则应使其对弦振有较好的 动态响应 本文研究的主要内容可分为理论、有限元、实验三大部分。其中实验部分是 三部分里最重要的，也是论文的核心部分。 先从弦的振动理论出发，得出吉他弦所对应的每个音的理论频率值，并计算 出与弦频率有关的参数值。 有限元部分又分为两部分，第一部分是用a n s y s 软件对弦进行谐响应分析， 根据由弦振动的理论公式计算出来的相关参数，对吉他模型进行参数设置，分析 出没跟弦所对应的频率值是否和理论值计算出来的一致。第二部分是用s o l i d 、o r k s 软件中的s i m u l a t i o n 对吉他音箱进行模态分析，在进行模态分析之前要对模型进行 优化，分析吉他音箱的材料、形状对其音色的影响，找出最优解。 实验部分是我们采用了虚拟仪器技术，首先我们必须要搭建好虚拟仪器的数 据采集实验系统，这是此部分的关键，其次还需要对外部硬件设备进行选型，包 括传感器、数据采集卡。对硬件设施需要安装和调试，对数据采集卡进行软件驱 动。由于我们是对声音信号进行采集分析，所以在实验系统的搭建中，比一般的 采集系统要复杂一点，不像一般的液压实验平台的搭建，声音是在空气中传播的， 所以此实验平台中，滤波是相关重要的，后期的数据分析处理也相对复杂一点。 1 绪论 将以上三部分的数据进行对比分析，得出吉他在什么情况下音质是最优的。 1 5 小结 本章分析了乐器研究的国内外现状和目前在此领域研究的缺陷，介绍了本课 题应用的主要方法：有限元法和虚拟仪器技术。对有限元法中运用的谐响应分析 和模态分析作了简要的介绍。并对虚拟仪器技术的发展、应用以及研究现状进行 了介绍，而且还阐述了此技术在声学研究方面的具体应用，本章节还说明了本课 题研究的主要内容以及丌发此采集系统的意义。 2 弦机械振动的理论分析 2 弦机械振动的理论分析 弦乐器的弦振动模式可分为一下四种： 弦最重要的、最基本的一种振动模式是横振动。当弦收到与弦线伸长方向的 相垂直的作用力时，弦线就沿着与弦长垂直的方向往复振动，这就是先的横振动， 横振动是所有的弦乐器都具有的一种最基本的振动，比起别的振动模式来，它的 能量最大，它决定弦振动发声的基频以及主要的谐波成分。 弦乐器还有第二种振动模式是纵振动。当弦线收到与弦线的伸长同一方向的 作用力时，就会产生纵振动，任何一种触弦方式也总是有点纵振动的成分的，纵 振动能量不大，但它的谐波成分对决定音色起作用。 弦乐器的第三种振动模式是扭转振动，当弦线受到对于其中轴线的扭力矩时， 就会产生一种扭转运动，扭转振动也对音色起作用。 弦乐器还有一种振动模式是倍频振动，倍频振动式与横振动同时存在的，每 当弦线作一次横振动时，振幅要有两次达到最大，每当这个时候，弦线对其两端 的固定点就要拉紧一下，也就是要说，在横振动作一次振动时，弦线对其两端要 拉紧两次，这就是倍频振动。倍频振动虽然对每一种弦乐器都存在，但是如果系 弦点的刚性很强时。就不易显示出来。 吉他是用手指拨奏的，所以其振动模式非常的复杂，除了横振动和扭转振动 以外，拨奏的方向不同，就会产生强弱不同的纵振动。 粗细、用材、紧张程度与发声的关系 我们了解，弦乐器是靠使琴弦振动而产生优美动听的乐音的，那么，弦线的哪 些方面与弦乐器的发声有关。 首先，弦线的粗细同发音的高低有关，不同弦的粗细是不同的，越是发低音的， 弦线越粗，吉他4 、5 、6 弦是在一根弦上在缠上一些弦，使它变得更粗，叫作缠 弦，而不致因为用单一的材料做成粗棒而使弦线的韧性不够和音色不好。 弦线的长短也与发音的高低有关，一般来说，弦线越短，发音越高，即频率越 大。 弦线绷的越紧( 即张力t 越大) ，发音就越高，即频率越大。 用不同的材料做的弦，音色和音量也是不同的，如吉他用钢弦则发音明亮，音 量大；若用尼龙弦则发音柔和，音量小。 2 1 弦的振动 2 1 1 弦的横向自由振动 安徽理丁大学硕士学位论文 首先讨论弦的振动问题。设理想柔软的细弦张紧于两个固定点之间，张力为t ， 跨长为l ，弦单位长度的质量为p ，两支点连线方向取为x 轴，与y 轴垂直的方向 取为y 轴，如图4 a ，设弦的振动发生在x o y 平面内，弦的运动可表示为y = y ( x ，t ) 。 并假设弦的振动幅度是微小的，即y 与娑均为小量；在这些假设下，弦的张力t 可近似地看作常量。再设重力与阻尼的影响均可略去不计。 在自由振动中，弦的微元d x 的受力如图4 ，列出这一微元的运动微分方程得： p 出宰：确n ( 口+ 罢出) 一丁s i n 臼 ( 2 1 ) 叫“ 考虑在微振动假设下，有 故有： 整理得： l ， 三一生 厂、孽i j 一 一 一 l 【a 了 【b ) 图4 弦振动示意图 f 嘻4s t r i n gv i b r a t i o ns c h e m e s 口s i n 口t 卸p ：型 c 舅 ( 2 2 ) p d x 鲁= t ( e + 裳c b c ) 一1 - 。= t 鬟d x = - r 鲁d x ( 2 - 3 ) a 2 y 1 a 2 y _ _ _ _ 一= 一_ _ - 。一 叙2 c 2 西2 ( 2 - 4 ) 2 弦机械振动的理论分析 式中c = 。 弦的运动还必须满足边界条件： y ( o ，t ) = ) ，( 1 ，t ) = o 可以证明，式( 2 4 ) 中的c 就是弹性波沿弦向的传播速度。而弦的驻定态振动 可以看作相同形式的两个反向行进波的叠加。故方程( 2 4 ) 亦称波动方程。 描述弹性体自由振动的方程( 2 4 ) 与描述多自由度系统振动的方程，虽然在形 式上截然不同，但在处理上可以用相同的方法。观察弦的自由振动可以发现存在 着这样一些同步运动，即运动中弦的各点同时达到最大幅值，又同时通过平衡位 置，而整个弦的振动形态却不随时间而变化。用数学语言来说，描述弦振动的函 数y ( x ，t ) 可以分解为空间函数与时间函数的乘积，即 y ( x ，t ) 2 x ( x ) y ( t ) ( 2 5 ) 其中x ( t ) 是振型函数，它表示整个弦的振动形态，而x ( t ) 表征点的振动规律。 将( 2 5 ) 代入( 2 4 ) 式，可得 c z 三害：三粤 ( 2 - 6 ) c 一2 一- _( 2 - 6 ) xd x 2vd t 2 、。 上式左端只与x 有关，式子的右端与t 有关，所以要是对任意x 和t 都能够上 式成立的话，不许满足两端都等于同一个常数，我们假设这个常数是a ，可以的到 下面两个常微分方程： g “：o d t 喽昙x ：o d x 2 c 2 由于芝孚是大于零的，所以只有当a 为负数时，才可以从上述式子中来确定 d | 一个振动运动，我们假设a = 一2 ，上述第一式可改成： 由方程( 2 7 ) ，可解得： 垡+ 2 y ：o d t 2 妄节x - op = 詈 ( 2 - 7 ) ( 2 - 8 ) 安徽理- t 大学硕士学位论文 】，( f ) = 彳s i n 刎+ b c o s 倒( 2 9 ) 其中a 、b 均为积分常数。同时由方程( 2 8 ) 可解得： x ( x ) = c s i n x + d c o s x( 2 1 0 ) 式子( 2 - 1 0 ) 中的c 、d 也均为积分常数，另外，由边界条件y ( o ，t ) = y ( 1 ，t ) = o 得： x ( o ) = 0 ，x ( 1 ) = o 。 由x ( 0 ) = 0 可得到d = 0 ，由x ( 1 ) = 0 可得到s i n b l = o ，这就是弦的振动特征方程，由 此可确定一系列特征值屈： 屈，= 切 z = 1 ，2 。 或者可以写成： p j = 旱 i - 1 ，2 由此可确定一系列特征函数，也称之为振型函数： 近( x ) = s i 您罕， i - l ，z 。( 2 1 1 ) 和各个特征值相对应，司确定系统的各阶崮有频率： 哆嘲= 芋厉，f _ 1 ，2 ( 2 - 1 2 ) 其中当i _ 1 时， q 我们称之为基本固有频率，其它的哆称之为高阶固有频率，弦 对应于各阶固有频率的主振动为： 乃( x ，f ) = 墨( x ) y ( f ) = ( 4s i n 哆f + ec o s 哆f ) s i n 罕 ( 2 1 3 ) 弦的所有自由振动我们都可以将它表示为这一系列主振动的叠加，即有： y ( x ，f ) = ，”( x ，f ) = ，( 4s i nq f + ec 。s 哆f ) s i n 鼍； ( 2 1 4 ) 其中a i 和b i 是由振动的初始条件来决定的。 设初始时刻t - o 有： y ( x ，0 ) = f ( x ) 詈( 枷) = g ( x ) 于是有： 2 弦机械振动的理论分析 a 霉辜 仁 皆捌g s i n 罕d x 峥“ 从以上振动公式的推导可见，拉紧弦的自由振动，除了基础频率( 最低频率) 振动外，还包含频率为基频整数倍的振动。这种倍频振动亦称为谐波振动。在音 乐上，正是这种频率之间的整数倍关系，使谐波与基波组成各种悦耳的谐音结构。 2 1 2 弦的振动方程 弦的振动方程是一个二彤r 偏微分方程，它的解应是两个独立变量石与z 的函 数。假设该方程的解具有下列形式 刁( t ，x ) = ( c t x ) + 乞( c t + x ) ( 2 1 7 ) 这里( c t x ) 与l ( c t + x ) 分别代表包含宗量( c t x ) 或( c t + x ) 的两个任意函 数。把这解代入可以证得，它确是满足方程( 2 1 7 ) 的。 我们先研究函数t ( c t x ) 的物理意义。设7 7 ，= f ，( c t x ) ，当t = o 时，叩，= f ，卜x ) 。 如果这时我们观察曲位置为x = x 。，那么7 7 ，= f ，( 一x 。) 。在此后经过t = t ，的时间， 我们的观察点移到了x = x ，这时弦的位移就变成，7 ，= f ，( c t ，一x ，) 。如果 ( c t ，一x ，) = 卜x 。) ，即在经过t 时间，在x ，处我们将观察到与原来( 卢o ，x = x 。) 的状态。这时应该满足c t 。- x ，= - x 。，由此得到c = 鱼誓这就表明，在( t - o ，x = x 。) 时 l 弦的位移状态，在经过t = t ，的时间后没有变化地向正x 方向移动到了x ，点，其移 动速度为c 。因此丘( c t - x ) 称为一种波函数，它代表了一种以传播速度c 向正x 方 q 对 对 烈 地 = | | x 一 撤f 担。 n 一 _a 艺 产 f o 伍 x 沁鼢 安徽理r 大学硕十学位论文 向传播的波动过程。如果t ，正好是弦的振动经过一个振动周期酌时间，即t ，= t ， 那么x ，与x 。相隔的距离就为一个波长a = c t 。可以通过类似的讨论指出，函数 仉= f 2 ( c t + x ) 代表的是一种以传播速度c 向负t 方向传播的波动过程。 从以上讨论可知，弦中的振动传播速度为 c ：、厍 ( 2 1 8 ) 弘、万 【2 。8 ) 即弦振动的传播速度是一个仅同弦的固有力学参量有关的常数。弦的张力t 愈大( 即弦张得愈紧) 或线密度占愈小( 即密度愈小或截面愈细) ，传播速度 c 就愈大；反之张力t 愈小或线密度万愈大，传播速度就愈小。 在上面的弦振动一般解中，出现了两个不同方向传播的波函数。这就是说假 设在初始时刻，对弦某位置施加一力，则这一力就会向两个相反方向传播。一般 说弦总是有界的，例如弦的两端被固定，因而在端点处，这种传播着的扰动会被 反射回来。如果弦的两端固定，这就是指在边界处弦的位移等于零，己知弦的长 度为l ，因而可以写出弦的边界条件为 瓣篙 ( 2 - 1 9 ) ，7 g = ，) = o 峥”7 把此条件可得： c ( c t ) = 一f ( c t )( 2 2 0 ) 以及 t ( c t 1 ) = 一( c t + 1 )( 2 2 1 ) 在上述边界条件下，描述弦振动函数是形式相同而符号相反。上可推广为： t ( c t + 1 ) = 一l ( c t + 1 ) ( 2 2 2 ) 我们引人一个新变量z = c t l ，则上式可改为 z ( z ) = z ( z + 2 ，)( 2 2 3 ) 上式表示，函数f ，是以2 l 为周期的周期函数。这就是说，在有界弦中，在同 一时刻在整个弦上进行着的振动具有一定的空间周期性规律，即有界弦将形成驻 波。 2 弦机械振动的理论分析 2 2 吉他的标准音 本课题研究的是吉他，吉他和钢琴一样也是一种十二平均律乐器，既然十二 平均律是一个标准，那么在这个前提下，当进行吉他的调弦时，也就应该使用十 二平均律。 十二平均律，亦称“十二等程律”，是指将八度的音程( 二倍频程) 按频率等比例地 分成十二等份，每一等份称为一个半音即小二度。一个大二度则是两等份。 将一 个八度分成1 2 等份有着惊人的一些凑巧。它的纯五度音程的两个音的频率比( 即2 的7 1 2 次方) 与1 5 非常接近，人耳基本上听不出“五度相生律”和“十二平均律” 的五度音程的差别。 对于吉他的标准音高a 1 = 4 4 0 0 0 0 0h z ，那么按照1 2 平均律所生成的各弦空弦 音分别为： 一弦空弦，频率f = 4 4 0 o o o o 2 ( 5 1 2 ) = 3 2 9 6 2 7 6 比 二弦空弦，频率f = 4 4 0 0 0 0 0 2 ( 1 0 1 2 ) = 2 4 6 9 4 1 7h z 三弦空弦，频率f = 4 4 0 0 0 0 0 2 ( 1 4 1 2 ) = 1 9 5 9 9 7 7h z 四弦空弦，频率f = 4 4 0 o o o o 2 ( 1 9 1 2 ) = 1 4 6 8 3 2 4h z 五弦空弦，频率f = 4 4 0 0 0 0 0 2 ( 2 4 1 2 ) = 1 】o 0 0 0 0h z 六弦空弦，频率f = 4 4 0 o o o o 2 ( 2 9 1 2 ) = 8 2 4 0 6 9h z 由上式( 2 _ 1 4 ) 得2 尝2 去丢 其中肛为线密度) ( 2 2 4 ) 因为弦的线密度p ：是定值，p i = 7 8 0 0 9 砜所以我们可以通过式( 2 2 4 ) 可求 得每根弦所对应的拉力t 的值，本课题采用的吉他的弦长为o 7 1 米，因为吉他弦 满足十二平均律，即每个音相差2 ( 1 1 2 ) ，由式( 2 2 4 ) 可知，每一品的弦长也 相差2 ( 1 1 2 ) ，所以我们可以求得吉他每一品对应的弦长，表二为吉他每一品所 对应的弦长。 安徽理工大学硕士学位论文 表2 每一品的长度 t a b2t h el e n 百ho f e a c hp i n 品长度( m ) 品长度( m ) 00 7 11 1o 3 7 6 l 1o 6 7 0 21 20 3 5 5 0 20 6 3 2 61 30 3 3 5 1 30 5 9 7 11 40 3 1 6 3 40 5 6 3 61 5o 2 9 8 5 50 5 3 2 01 60 2 8 1 7 6 0 5 0 2 11 70 2 6 5 9 70 4 7 3 9 1 8 0 2 5 1 0 80 4 4 7 31 90 2 3 6 9 9o 4 2 2 22 00 2 2 3 6 1 0o 3 9 8 52 1o 2 1 1 1 吉他的六根弦，最粗的是一弦，最细的是6 弦，从琴头开始，最上面的第一 格叫做第一品，下面的就以此类推，随着品数的增加，弦的长度逐渐变短，从一 弦到6 弦，没一品所对应的频率逐渐减小。根据十二平均律，我们可以知道各弦 间的音高关系有： 第一弦的空弦= 第二弦的第五品 第二弦的空弦= 第三弦的第四品 第三弦的空弦= 第四弦的第五品 第四弦的空弦= 第五弦的第五品 第五弦的空弦= 第六弦的第五品 下图是吉他简单的弦的示意图，我们只标出了一弦和二弦的品和音名。 1 弦e i 2 弦b 3 弦 4 弦 5 坛 6 弦 奠扎虻，黑l _ _玉一r盈矿且0 一 *_h_ -_p_h_d_h_- f一 _ 。 一 _ -一 h _ 一 图5 吉他弦的平面图 f i g 5t i l ep l a l lo f g u i t a r 矧n g s 0第扒口阴，第品第坶口明 0第坶口明第h口叩0第惦口明第垢口阴0第h口阴0第协品0第屹品第h品0第m品0第9口阴0第8口明 第7口阴0第6口阴0第5口明 0第4品0第3口明0第2品0第口明 2 弦机械振动的理论分析 根据上述的十二平均律，我们可以求出吉他所有弦所对应的所有品的频率值， 下表3 至表8 为理论计算的各弦的频率值，为了减轻计算的复杂性，我们可以利 用m a t l a b 软件对公式进行编程， 表3 一弦的频率值 t a b3 f r e q u e n c yv a l u eo f t h ef i r s ts 仃i n g s 口 频率品频率口口 空弦 3 2 9 6 2 9l l6 2 2 2 5 4 13 4 9 2 2 81 26 5 9 2 5 5 23 6 9 9 9 4l36 9 8 4 5 6 33 9 1 9 9 51 47 3 9 9 8 9 44 1 5 3 0 51 5 7 8 3 9 9 1 54 4 0 o o ol68 3 0 6 0 9 64 6 6 1 6 41 78 8 0 0 0 0 74 9 3 8 8 31 89 3 2 3 2 8 85 2 3 2 5 l1 99 8 7 7 6 7 95 5 4 3 6 5 2 010 4 6 5 0 2 1 05 8 7 3 3 02 l1 1 0 8 7 3 l 表4 二弦的频率值 i a l b4 f r e q u e n c yv a l u eo f t h es e c o n ds 仃i n g s 口 频率 品 频率口日 空弦 2 4 6 9 4 2l l4 6 6 1 “ 1 2 6 1 6 2 61 24 9 3 8 8 3 22 7 7 1 8 31 35 2 3 2 5 1 3 2 9 3 6 6 51 45 5 4 3 6 5 43 1 1 1 2 71 55 8 7 3 3 0 53 2 9 6 2 91 66 2 2 2 5 4 63 4 9 2 2 8l76 5 9 2 5 5 73 6 9 9 9 4186 9 8 4 5 6 83 9 1 9 9 51 97 3 9 9 8 9 94 1 5 3 0 5