（机械设计及理论专业论文）基于图表示的对偶转换的研究及其在工程中的应用.pdf

华中科技大学硕士学位论文 摘要 本文旨在讨论以图表示为基础的不同工程领域之间的转换关系。通过工程结构之 间的转换，确立不同工程结构之间的联系，为复杂的工程问题分析提供新的方法和理 论。 首先，简要论述了图在工程结构中的应用，回顾了机构运动分析常用的方法及其 缺陷，同时介绍了图论中的几个基本概念及其矩阵表示以及相关定理。 其次，在转换思想和图表示之间的数学关系的基础上，把不同的工程结构用不同 的图来表示。通过各种图表示之间的联系，确立了不同工程系统之间的转换。以机构 和桁架为研究对象，将机构用势图表示( p g r ) ，桁架用流图表示( f g r ) 。在势图和流图 对偶的基础上，确立了机构和桁架的对偶关系，并建立了机构和桁架之间的转换。以 此基础上，桁架分析和机构分析方法相互借鉴，用机构分析中的向量分解法等方法分 析桁架，用桁架分析中的杆件替代法等方法分析机构。 再次，以多个工程结构为研究对象，通过图表示确立了它们之间的转换关系。同 时，用基尔霍夫电流定律( k c l ) 和电压定律( k v l ) 分别描述结构力学中的通路法。以机 构和桁架的对偶关系和通路法的k v l 描述为基础，得到了用于研究多回路机构的通 路法，拓展了机构学的分析和研究方法。 最后，对全文工作进行了概括和总结，分析了对偶转换研究存在的不足，并为今 后的工作确定了目标。 关键词：转换图表示流图表示势图表示对偶机构桁架 华中科技大学硕士学位论文 a b s t r a c t t h et h e s i si n t r o d u c e sa g e n e r a la p p r o a c h f o r s o l v i n ge n g i n e e r i n gp r o b l e m sb y t r a n s f o r m i n g t h e mt o p r o b l e m s i no t h e r e n g i n e e r i n gf i e l d s ，t h r o u g hg e n e r a l d i s c r e t e m a t h e m a t i c a lm o d e l sc a l l e dg r a p hr e p r e s e n t a t i o n s t h r o u g ht h et r a n s f o r m a t i o nb e t w e e n e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e s ，t h et h e s i ss h o w ss o m en e w m e t h o d sa n dt h e o r i e sf o rc o m p l i c a t e d e n g i n e e r i n gp r o b l e m s f i r s t l y , t h et h e s i si n t r o d u c e sb r i e f l ya p p l i a n c ei ne n g i n e e r i n gs t r u c t u r e so fg r a p ha n d r e v i e w ss o m e f r e q u e n t l y u s e dm e t h o d so f m e c h a n i c a lk i n e m a t i c s a tt h es a r n et i m e ，s e v e r a l c o n c e p t sa n dc o r r e l a t i o nt h e o r i e s a r ep r e s e n t e di nt h i st h e s i s s e c o n d a r y , d i f f e r e n tk i n d so fe n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa r er e p r e s e n t e db yg r a p ht h r o u g h t h em a t h e m a t i cr e l a t i o n sb e t w e e nd i f f e r e n tk i n d so fg r a p hr e p r e s e n t a t i o n ( g r ) a n d t r a n s f o r m a t i o nt h i n k i n g b ya n a l y z i n gt h ec o n j u n c t i o no fv a r i o u sg r a p hr e p r e s e n t a t i o n ， t r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n sb e t w e e nv a r i o u se n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa r ee s t a b l i s h e d t h e n ，t h e t h e s i sv i e w st h em e c h a n i s m sa n dt r u s s e s a 8m a i nr e s e a r c h s u b j e c t a n d r e p r e s e n t s m e c h a n i s m sa sp o t e n t i a lg r a p h 口g r ) ，t r u s s e sa sf l o wg r a p h ( f g r ) b a s e do nt h ed u a l i t y b e t w e e n p o t e n t i a l g r a p h a n df l o w g r a p h ，t h e s a m er e l a t i o na n dt r a n s f o r m a t i o na r c e s t a b l i s h e d t h r o u g ht h ed u a l i t yt r a n s f o r m a t i o n b e t w e e nm e c h a n i s m sa n dt r u s s e s ，t h et h e s i s u s e ss o m es p e c i a lm e t h o d sf r o ms t r u c t u r a la n a l y s i si nm a c h i n et h e o r y , s u c ha sh e n n e b e r g s m e t h o d ，a n da l s oe m p l o y sm e t h o d sf r o mm a c h i n et h e o r yi ns t r u c t u r a la n a l y s i s ，s u c ha st h e v e c t o rr e s o l u t i o nm e t h o d t h e n ，t h et h e s i sr e g a r d sm u l t i - e n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa ss u b j e c ti n v e s t i g a t e d t h r o u g h g r a p hr e p r e s e n t a t i o n ，t h et r a n s f o r m a t i o nr e l a t i o n sb e t w e e n t h e s ee n g i n e e r i n gs t r u c t u r e sa r e e s t a b l i s h e d a tt h es a m et i m e t h el o o pm e t h o df r o ms t r u c t u r e sm e c h a n i c si sd e s 喇b e db y k i r c h h o f f sc u r r e n tl a w ( k c l ) a n dk i r c h h o f f sv o l t a g el a w ( k v l ) b a s e do nt h ed u a l i t y b e t w e e nm e c h a n i s m sa n dt r u s s e sa n dt h el o o pm e t h o d ，w h i c hi sd e s c r i b e db yk v l ，t h e t h e s i ss h o w san e wm e t h o dc a l l e dl o o pm e t h o d t oa n a l y z em u l t i - l o o pm e c h a n i s m f i n a l l y , t h et h e s i ss h o w s t h ed e f i c i e n c i e so fd u a l i t yt r a n s f o r m a t i o na n dt h eg o a l si nt h e f u t u r e k e y w o r d s ：t r a n s f o r m a t i o n g rf g rp g rd u a l i t ym e c h a n i s m t r u s s i i 独铷性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究 王作及取 ! 导的研究成果。尽我所知，除文中已经标明弓 用的内密外， 本论文不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对 本文的研究徽蹬贡献的个人和集体，均已在文中以鹱确方式探瞬。本 人完全意识到本声明的法律结果由本人承担。 学佼论文佟者签名；掘岁葶 日期：舯中年f 月f 目 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解学校有关保留、使用学位论文的规定， 即：学校有权保留并向国家有关部门或视构送交论文的复印件和电子 舨，允许论文被查阅和借阅。本人授权华中科技大学可以将本学位论 文的全部或部分内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印 或扫攒等复制手段保存和汇编本学位论文。 保密口，在年解密后适用本授权书。 本论文属予 不保密囱。 ( 请在以上方攘是打“”) 学位论文作者签名：掺7 孝 霞期：妒印年箩蒡f f 西 指导教师签名：孑分扑 西期：护年f 麓瓣曩 华中科技大学硕士学位论文 1 1 课题的提出 1 绪论 随着计算机技术的应用和新学科的建立，学科之间的交叉应用飞速发展起来。以 机构学的发展为例，1 8 世纪初，随着蒸汽机和纺织机的发明和改进，微积分、理论力 学等学科开始建立并日趋完善，为各种机械的设计和创造提供了理论基础和手段【”。 1 9 世纪下半叶以后，机械工业的迅速发展对机构的应用以及与它相应的分析与综合提 出了进一步的要求。德国科学家f r e u l e a u x 和l b u r m e s t e r 引入了运动副、运动链和 机构简图等概念，从机构结构原理上探讨机构的可能类型，把以往分散地研究个别机 构发展到提炼机构的共性问题，并按运动几何学原理进行机构的分析与综合1 2 , 3 l 。六十 年代以来，随着计算机技术的普及和应用、计算技术、现代设计理论和多刚体系统动 力学的发展，各种先进的数学工具、现代的计算技术、优化理论、有限元方法等现代 科技成果被应用到了机构学领域，使得机构学的发展非常的迅猛【4 5 l 。现代机器人是一 门集各种先进技术之大成的跨学科、跨领域的新兴学科，并成为了机构学发展的象征 和缩影嘲。学科之间的交叉应用丰富了各门学科的知识和理论，同时使一些古老的方 法有了新的应用。 但是，这种学科之间的交叉应用还处在发展阶段。人们在各个工程领域中都提出 了很多有效的方法和理论，但是这些方法大多都应用于与本领域有关的工程实际中。 如果把各个工程领域的知识结合起来，相互借鉴，相互应用，不但可以丰富工程分析 理论和方法，而且对于人们研究其它问题也有参考价值。特别是在计算机飞速发展的 今天，工程结构越来越复杂，如果还是单纯的依靠本领域的知识和理论，已经无法适 应工程分析的要求了【7 1 。因此，如何建立各个工程领域之间的联系，达到知识互用， 已经成为人们研究的热点。事实上，o s h a i 在这方面已经作了很多的研究【g - i l 】。他提 出以图为工具，通过图所具有的数学关系，建立工程结构之间的相互关系。 图论是研究图的组合关系及结构的一个数学分支，今天，图论在物理学、化学、 华中科技大学硕士学位论文 计算机科学、通讯科学、经济学、运筹学、电气与土木工程、生物学、心理学、语言 学、社会学与人类学等学科的应用已经是众所周知的【1 2 - 1 s 。事实上，凡是包含二元关 系的系统都可以用一个图来模拟，或者说用图论来建立数学模型，并用图的理论和方 法加以研究和解决。由于图论在自然科学、社会科学、工程技术与经济管理等各方面 的应用，并且图论具有形象直观的特点，所以受到人们的普遍重视，使图论在当今世 界成为最活跃的数学分支1 1 6 1 。 在工程结构的分析和研究中，图为工程问题的分析和研究提供了方便。它既可用 于问题的分析，如工程结构的整体分析；也可用于结构的设计，如工程结构的整体设 计。对于任意具有二元关系的工程结构，都可以用图来表示其拓扑结构，同时建立该 结构的数学模型。通过把这些系统抽象成图，可以很容易通过图的概念、理论和方法 得到这些图之间的关系，从而得到不同工程系统之间的关系，为工程问题的转换提供 了桥梁。因此，把不同工程系统用图来表示，可以建立不同工程领域和方法间的关系， 得到新的理论和方法，获得不同工程领域间新的协作关系。 1 2 文献综述 机构运动学分析是机构学最基本的内容，它包括位移分析，速度分析和加速度分 析。其中又以位移分析最为重要。通过位移分析可以揭示已知结构类型和几何尺寸的 机构的运动学性能。位移分析的主要内容可概括为列写机构的位移约束方程( 组) 和方 程( 组) 的求解，以得出机构的运动规律。但是，由于机构运动约束的复杂性( 尤其是空间 机构) ，机构的位移方程通常是复杂的非线性方程( 组) ，其列写和求解均非常困难，故 位移分析一直是机构运动学分析的难点和研究热点。 ( 1 ) 传统的图解法。传统的运动学分析方法是图解法【1 7 ，1 8 1 ，其特点是以运动几何学为基 础，并将几何学和代数学相结合，来研究机构的运动特性。图解法虽然以其直观、方便 而为人们所接受，但因为其精度不高和难于用于复杂的机构，特别是空间机构而逐渐 被新兴的方法所取代。 ( 2 ) 代数法。随着各种工程数学方法的引入，形成了许多代数分析方法，如矢量法，直 角坐标法，复数向量法，这些方法的共同特点是根据机构的几何位移关系，直接建立机 华中科技大学硕士学位论文 构位移的代数函数或三角函数关系式，在原动件运动规律给定后，求解机构的位移、 速度和加速度的封闭解。这些方法非常适用于简单的平面机构，但对复杂的多杆、多 自由度机构，由于关系式过于复杂而难于应用。 ( 3 ) 以杆组理论为代表的机构单元分解法。从机构的结构组成入手，把复杂的机构系 统分解成一系列相对简单的子系统( 或单元) ，再采用代数法求解，是平面机构运动学分 析中的一种常见方法。其最初思想是由阿苏尔( a s s u r ) 提出的杆组理论，这种方法的实 质是基于机构的结构对复杂的运动约束进行解偶、分解，在最简单的计算层次上进行 代数求解和( 或) 数值求解，文【1 9 - 2 1 】是这方面有代表性的工作。曹惟庆发展了a s s u r 杆组 理论。杨廷力创造了有序单开链分解法，并系统地应用于运动学、动力学分析。 ( 4 ) 以d h 矩阵法为代表的矩阵法。随着空间机构和机器人的出现，机构运动学分析 理论更趋深入，一些新的解析方法相继产生。美国j d a n e v i t 和r s h a r t e n b e r g 提出了 d h 坐标系及相应的矩阵封闭方程，奠定了矩阵法的理论基础。j j u i c k e r 在此基础上 作了一系列开拓性工作，使该方法获得广泛应用。张启先在文【2 2 】中详细介绍了方向余 弦矩阵法及其应用，丰富了矩阵法理论。 ( 5 ) 螺旋理论。在机构学中引入对偶数( d u a ln u m b e 0 使位移分析前进了一大步。对偶 数由于有一套与复数类似的运算规则，同时它又能完全描述空间轴线，因而给分析计 算带来极大便利。y a n g 和f r e u d e n s t a i n 等采用对偶四元素、螺旋微分成功地应用于空 间机构的分析。m h i l l e r 等讨论了螺旋位移的各种表达之间的关系，并采用螺旋位移副 ( s c r e wd i s p l a c e m e n tp a i 0 来描述螺旋位移，从而得出螺旋位移的一般表达式。j d u f q 在反螺旋及正交螺旋的应用上作出了贡献。 ( 6 ) 球面解析理论。d u f f y 的球面解析理论分类科学、方法细致、系统完整，几乎成功 求解了所有单环空间机构。成为一种有代表性的机构运动分析方法。 ( 7 ) 影响系数法。t e s a r 将影响系数概念应用于机构运动学分析，并加以扩展，从更深 入、更抽象的层次深刻地反映了机构本质，因此采用该方法使得分析格外简单、精炼。 黄真在影响系数法的研究与应用中做了深入细致的工作【2 3 1 。 ( 8 1 众多的数值方法。相对于解析法，数值方法注重于从数值分析与计算的角度进行位 移求解，数值法往往和解析法配套应用，一方面，数值法在解析表达式基础上进行数 华中科技大学硕士学位论文 值迭代求解，如著名的n e w t o n - l a p s o n 方法，另一方面，对复杂的解析表达式，利用数 值方法搜索全部的方程解，如同伦法、连续法和区间法。 1 3 背景知识 1 3 1 图基本概念 一般几何上将图定义成空间一些点( 节点) 和连接这些点的线( 边) 的集合。图论中将 图定义为一个偶对g = ( v ，e ) ，其中v 表示节点的集合，e 表示边的集合【2 4 】。如图1 1 可表示为 v = v l ，v 2 ，b ，v 4 ，e = 巳，e 2 ，巳，e 4 ，e 5 ，) 如果图g 的边的两个节点是无序的，称该图为无向图。在实际应用中，给图和每 一条边分配一个方向是很自然的。当给图g 的每一条边规定一个方向，则称其为有向 图。对有向图g = ( 矿，e ) ，有向边g 用与其关联的节点“，v 的有序对来表示，即8 = ( ，v ) ， 表示“为边e 的起点，v 为边p 的终点。那么图l 一2 所示的有向图可表示如下 g = ( 矿，e ) ，矿= v l ，v 3 ，屹) e = ( v l ，v 2 ) ，( v l ，v 3 ) ( v l ，v 4 ) ，( v 4 ，屹) ，( h ，v 3 ) ，( b ，b ) ) 如果节点v 是边e 的一个端点，则称边e 和节点v 相关联( i n c i d e n t ) ：对于节点”和 v ，若 ，v ) e ，则称和v 是邻接的( a d j a c e n t ) a 在图1 - 1 中，边岛，e 4 ，白都与节点k 相关联，v 4 分别和v l ，吃，坞相邻接。若两条边有共同的节点，则称这两条边是邻接的。 图1 1 中，边e l ，e 2 ，巳两两邻接a 图1 - l 对无向图g = ( v ，e ) ，定义： 图1 2 华中科技大学硕士学位论文 l n c ( v , ) 皇 e k i e k - - - ( v , ，v ，) e ) 4 够( 哆) 皇 巧l 岛= ( 砖，q 鹭k 匕 即伽c ( u ) 表示以q 为一个节点的边( 即与v f 关联的边) 的集台，彳西( 叶) 表示与节点v j 棚 邻揍豹节患的集合。 设g = ( 以司是无向潮，若常点唯怒g 的一个节点，且不存在岛环。则 烈心) 匀觑c “) i 。称其为节点唯的发。这里f i n c ( v , ) i 是集台历c “) 中元素的个数。即 文h ) 表示g 圈孛疆吒梵臻熹豹这数。 1 3 2 回路鞫裁集 图g = 缈，e ) 的一个节点和边的交替序列u = 岛k v k 1 e k v k ，且边岛的端点为q l 和 _ ，f = 1 ，2 ，k ，则称”为条简单道路( p a t h ) ，k 和唯分剐称为的起点和终点。 颤栗咎申掰蠢黪边埝不据露，贝4 豫其为筵单遴路。瓤果道路舻中毪一玫，称牡为回鼹， 回路中没有擞复的边时称为简单回路【1 4 1 。 瓣鹜g 一( 矿，国，蒡g 豹秘繁煮齄翻v 之涎存在一条透路，粼称站秘v 楚连逶豹； 若圈g 的任意两节点连通，则称图g 是连邋的，否则是非遗通的。 没有网路的阉称为无戮豳，连邋的无瑟鞫称为树。强g 瀚连遥光圈子赘秣为g 螽勺 楗。港图a 的树包含圈8 的所有节点，则称为图a 的一棵生成挝或支撑树。丁是图g 的树，从图g 中去掉树r 的边后得副的子圈称为树r 的余树，记作护。属予树，的边 稼为梅接；f 孛兹迭称为鬟g 熬弦。 对有向图g = ( 矿，d ，引入一个矩阵c = ( 0 k 。，其中 f 1 ，若回搽q 包含边吩，且方向一致1 勺= - 1 ，若回路毫含有边勺，但方向相反 ，定义矩阵c 为回路矩阵。当关联矩阵磨 o ，其它| 粒回路矩黪c 中，边的排列次序一致时，恒有： b c 7 = 0 ，c b 7 = 0( 1 - 1 ) 设图g = ( y ，e ) 是连逮圈，s 茧e ，羞从圈g 中淤去羼予s 魇有的速，贝4 余霉g 非 华中科技大学硕士学位论文 连逶，毽游去矮子s 瓣饪馋囊予集豹逸，结鬃缳持连瀵，剩称s 是嚣g 戆一令裁集。 也就是说，割集s 是使连通图g 失去连通性的最小的边集合。r 是有向连通图g 的树， 辱楚r 酶饪一树枝，辩应予毫蠢寿秘割集墨，墨不禽有除岛滋补鬻瀚祷棱，褥盈使 得它的方向于略一致，这样的组割粲s ，岛，瓯。称为基本割集。 设s ，最，”，文是黼g = ( i ，嚣) 的割集，矩降s = ( ) 姗，其中 1 ，韵集为含有边口，并盈强国 勺= 卜1 ，割集s 含有边髟并且反向 ，则称s 为割集矩阵，基本割集s ，砖，s l 对应的 l0 ，其它l 割集矩阵称为基本割集矩阵舅a 但割黎矩阵s 与回路矩阵c 的边的次序致时，恒有： s c 7 = 0 ，c s 7 = 0 ( 1 2 ) 对手图g = ( 矿，国，构透一矩阵 吩= 渺。铂 绘出了圈g 的邻按矩阵，就等于缭出了圈g 盼垒帮信怠。凿的性袋虢可隘飙矩阵 圈除了可以用邻缓矩阵来表示，还可以用关联矩阵表示。对于图g = ( 矿，露) ，其 构造一个咒x 掰的矩阵联g ) ，篡行，捌的元素岛定义为 6 华中科技大学硕士学位论文 f 0 ，e ；与v 。不关联1 2 1 ，q 与q 关联且没有环 ， f ；1 ，2 ，埘；，；1 ，2 ，m 。 【2 ，q 是q 的环j 1 3 4 基尔霍夫定律 基尔霍夫定律包括电流定律( k c l ) 和电压定律( k v l ) ，分别说明了一个电路的 各支路电流之间和各支路电压之间的约束关系【2 5 i 。这两个定律都只与电路的几何结构 有关，而与电路元件性质无关。 基尔霍夫电流定律指出：对任一集中参数电路中的任一节点，在任一时间t ，离开 节点的各支路电流的代数和为零，其数学表达式为： 荟( f ) = 0 ( 1 - 3 ) 式中，m 为联接到所讨论节点上的全部支路数，f 。表示流矢量。 基尔霍夫电流定律是电荷守恒原理或电流连续性原理在电路中的反映。k c l 说明 在所讨论的节点上，流矢量在该节点是平衡的。 基尔霍夫电压定律指出：对任一集中参数电路中的任一回路，在任一时间t ，沿回 路的各支路电压代数和等于零，其数学表达式为： 荟u k ( f ) = 0 ( 1 - 4 ) 式中，m 为所讨论回路所包含的全部支路数 基尔霍夫电压定律是能量守恒原理在电路中的反映。k v l 说明对所讨论的回路， 其势差的矢量和为零。 1 4 本文主要的研究工作 本论文得到华中科技大学研究生基金“桁架和机构对偶关系的研究”的资助。 1 4 1 研究的目的和意义 在信息技术飞速发展的今天，计算机技术迅速应用到各个工程领域。而图论以离 华中科技大学硕士学位论文 教数学秀藻懿，鬻鬻表承工程结橡弱数学模望；通过逮塑数学模鼙，怒复杂静工程藤 题闵计算机来求解，极大的方便了薅乏解的过程和步骤。把不同工程结构通过图表示建 立它稍之黼豹联系，为工程游瑟静分析秘求解稳攒了新静方法和穗论。本文戬转换愚 怒受基础，图表示法为工具，流图和势圈的对偶关系为研究对象，通过机构和榆絮的 对偶关系以及它们之间的对偶转换，把机构分析方法和桁絮分析方法相互借鉴和应用， 为掇褥黧榜袈分瓣爨爨耨黪愚臻。 1 4 2 论文的结构和主要点作 在蚕论帮电路邂谂懿基磋主，本文暴镶开骚了魏下工作： 1 ) 撼予图表示，以流图、势图、阻图、流线圈、势线图为基础，把机构、桁架、 电路等不阎工程缩梅精圈柬表示，建立了它们之阔的转换。 f 蛰鲻踅论的璎逾毙较辑究执梅瓤搬袈蟾拓扑表达、不嗣讨1 舞方法对应强巾断包 含的物理桶性，确定采用不同分析方法时二二者物理量间的对偶关系。 给壅广义酲筵豹撩念，基于蒸尔餐夫窀篷定理霸挝普控辫瘫薛囊鳖，褥割翅 来分析机构相对速度的通路法。 霞绕工程结褥游銎表示、穰穗释祷絮鹩薅藕关系、工程闻瑟髓转换双及瓠稳逡葫 分辑中豹遇路法等几个阀臌，本文出以下几章组成： 第一南：回颥了机构攀、结构学的靛展现状蕊及胬谂在工程中酌应掰，介翱了本 文妥鼹至嬲霆谂巾趣蔻个基本壤念，驳及本文麴磷究工作。 第二鬻：以转换思想为基础，介绍了典型的祷种图表示之间的关系以及它们所描 述的工程绪椽。麓踺，在漉銎和势霆麓对镄关系鹣基懿上，建交了橇搀釉襁黎豹瓣褒 转换。 第三章：基予税梅秘褡粱之灏戆对弱关系霸转换，硪褪梅分析中懿嬲壁分解法等 方法分极榭絮，蹦辑架分骺中韵枵 牛替 弋法等方法分析机构。 第四窜：以k v l 描述的通路法和拉鬻拉斯封 弹为基编，得到机构运动分析的通路 法，著通过实镬给窭逶臻法分凝瓿梅运动鼹其蒋避程。 第五距：对全文总结洋口展望 8 华中科技大学硕士学位论文 2 基于图表示的对偶转换 转换思想作为一种常用的方法，在实际中有着广泛的应用。对于一个复杂的问题， 熟果壹接努凝求释，不缎求解遥程复杂，甚至l 无法求解。戆复杂静聚勰题麓健， 用其它领域的知识来描述，再用该领域的已知算法和理论分析和求解，从而获得原问 题的惩，这就蔻闷题的转换，氇藕是苁另一个霸淀愚考闷透静恐想搿l 。对于复杂的工 攫结构，常常无法直接分析。在计算机技术日益成熟的今天，如果还采用传统的分析 和计算方法来分析计算复杂的工程结构，显然是无法满足实际需要的。豳此，把复杂 瓣工程结构转换淹便于诗簿枧分撰和计算的模型，采用便予计算桃计算巍分叛鲍舞法， 可以提高准确率和效率。图作为分析处理多种问题的种较为理想的数学模型，它的 舞法又霹疆蓿动诗算掇实瑷，鬻鬻震来攥述各耱王程系统。王稳孛，豢攀恕王纛结构 用图来表示，用数学语宙描述该结构，建立数学模型，遮用图的理论和算法来分析工 程结构，实现工程闻蘧静转换。淘2 一i 播速了转换的基本思想嘲。 问题转按 銎2 1 转换鳇基零愿慧 从上图可以肴出，转换的基本思想就是把要求解的复杂的问题转换为简单易求解 的筏单鬻题，逶道求解麓蕈蠲题，褥羁褥蘧静解，再将求解酌绪果转换为待求解戆复 杂问题的解。 9 华中科技大学硕士学位论文 2 1 基于图表示的转换的基本思想 2 1 1 图表示 图表示是指把具有二元拓扑关系的工程结构用顶点和边来描述，而工程结构所具 有的物理属性用图论中的权来描述。以结构中的桁架为例，把桁架的节点用图中的顶 点来表示，杆件用边来表示，而杆的内力则用边的权值来描述。通过这种描述，得到 的线图称为图表示。 工程系统的图表示主要包括流图表示、势图表示、阻图表示、线图表示、流线图 表示、势线图表示等多种图表示。本课题主要研究流图表示和势图表示，其它的图表 示将作简要介绍。 2 1 2 图表示转换的基本思想 而在问题的转换中，最重要的是找到两个工程系统之间的共同点或一种共同的表 示方法，通过相同的表述，建立两个工程领域的关系，从而有效的将两者联系起来。 在这方面，0 s h a i l 2 8 】做出了很大的贡献，他提供了一种常用的工具，即基于离散数学 的图表示( g r ) 。 图2 - 2 基于图表示的问题转换的基本思想 图通过点和线段组成二元关系的拓扑关系2 9 1 ，凡是具有二元关系的结构都可以用 图作为工具，建立该结构的数学模型。因此可以基于图表示，通过图来建立工程结构 之间的联系，寻找不同领域工程结构之间物理量问的关系，从而建立这些工程结构之 l o | | 萝叩 构 1 厨 厨 一 o ，则该络梅怒可变螅；w 冬o ，该结构满足不变要求，当它怒结构不变的必要 条件丽不是巍分条件脚1 。为分析结构是否可凝，除计算结构的自由废外，述必需研究 绩掬的几何构造，作几何构遮分析。 ( a )( b ) 圈3 - 1 榭絮瞬交搜刿定；复杂戆絮，( 罅对穗规构 桁架分析中，桁架瞬变性的判断非常重辨。对些简单桁架可以赢接通过其几何 掇羚荧系翔羝是秀瞬变，瑟一些复杂的穆架，无法纛接判曝，嚣常袋通过复杂的计爨 才艨判定桁架是否麟变。如图3 - 1 ( a ) 所示的复杂桁槊，判定其瞬变憾。首先，计算该 华中科技大学硕士学位论文 桁架的自由度。桁架节点数- - - - 7 ，杆件数p = 1 l ，支座自由度三= 3 ，则该桁架自由 度为0 ，满足结构不变的必要条件。然而，对桁架作几何构造分析时，无法直接判定 该桁架是否满足几何不变性。如果通过计算来判定该桁架的瞬变性，不但计算复杂， 而且容易出错1 3 7 j 8 j 。 在这里，可以通过判断个平面桁架的对偶机构是否可动来判断该桁架是否瞬变， 依靠机构和桁架的对偶关系，把对桁架的分析转换为对其对偶机构的可动性分析。前 面知道，桁架可以由其对偶机构通过对偶转换获得，只有机构是有效的，才能得到有 效的桁架，这也就是对偶有效性原理，即平面静定桁架是瞬变的当且仅当它的对偶机 构是可动的。因此，对于图3 - l ( a ) 所示的复杂桁架，先通过对偶转换，获得对偶机构， 如图3 1 所示。从图3 - 1 ( b ) 所示的机构可以看出，构件2 和构件4 在一直线上，机构 处于自锁状态，是不可动的。故与该机构对偶的桁架是瞬变的，即是图3 - 1 ( a ) 所示的 桁架是可变的。 3 2 向量分解法计算桁架 3 2 1 桁架的面力 ( a )( b ) 图3 - 2 桁架面力和对偶机构绝对速度对应关系：( a ) 桁架面力机构绝对速度 根据对偶图的构造过程以及机构和桁架的对偶关系知道，机构的每一个铰结点( 铰 链) 对应于其对偶桁架杆件所组成的一个闭合平面。而机构学和结构学之间存在着对偶 2 4 华审科技大学磺士学位论文 转换关系，鄹裁褥孛躲鼗联爨和猿絮皆戆甥璎量程农蓉瓣疲关系。褒对程转换中，糖 伴的檬对速发和搪絮麴内力矢量摆等。网样，枫掬铰缝点煦绝对速度也帮枪架中的一 个携理爨瓣爨，靼瑟力。蘧力是藤掇絮抒终缀成瓣一令掰仑乎霹所撰述麴魏理爨，程 对崴姻瀛图审定义炎露瀛。髑3 - 2 ( a ) 烩出了橡絮的瘸力描述。 强中，糨檠凌7 个鬻缀残，瑟疆谚t 露，磊敝，矿，澎，霹应予箕瑟髅糖稳懿铰簸 ，只z 掰，以掰。铰链瓣绝对逮度为o ，簸定义与基痤辩疲静颟为参考箍， 磁力弱大小为0 。蓑i 褒撼逑翡秘遵爨，鼙器灸舀与貌秘锬镳，戆缝对逮发矢量耀等， 遨凝是命题冬4 绘出的结论。 3 。1 2 彝爨势簿浚势辑捺繁 翔量努释法潮怒把飘梅绝对速发沿着梅嵇方内上分勰，沿构伴努囊上酌速度分蕊 必量相等。设枫构搦榫a b ，a 、b 怒构彳牛的端点。将a 和b 的速度在a b 士投影， 褥雯g 豹投影这度必囊耀等，翔： 。= ( 3 。1 ) 露3 0 绘窭了撬褥囱爨势鳃滚懿瓣释。 鬻3 - 3 帮梅辆垂癸辩法藏壤 根据梳构和稳粲的对偶美系的佼震，在箕对偶掩柒审，融资黎豹节藤翻释梅成黥 滋a 和瓣b ，对寝蠢每嚣力矢蓬在a 、b 静分鞴线童豹投彩稠镩，帮； 跣=气0-2) 基予上述囱爨努瓣法魏撅理，菝及稃戆内力靼怒该拶分疆豹嚣令霭力熬矢爨差， 聪竣缀烈分糖壤絮内力熬自爨分躺法，熬求瓣步骧如下： 2 5 华中科技犬学硕士学位论文 ( 1 ) 选择一个参考面，其面力矢量定义为零。 ( 2 ) 对每一个和参考面有一个公共杆件的面，其面力的方向沿着公共杆件。 ( 3 ) 设戽和昂分别表示两个相互邻接的面的面力，其中最方向和大小已知，昂 方向已知，根据式( 3 2 ) n - i 以求解昂的大小 ( 4 ) 如果面力丘的大小和方向都未知，但有两个已知面力的大小和方向的面和该 面邻接，则通过两次应用式( 3 - 2 ) 求解丘。 下面给出一个桁架，应用上面的算法求解该桁架的各杆件内力。 例3 - l ：应用向量分解法求解图3 - 4 ( a ) 所示桁架。 ( a )( b ) 图3 - 4 向量分解法分析桁架内力：( a ) 桁架及其面力描述( ”求解杆件2 和3 的内力 按照上面的算法，该桁架简要计算步骤如下所示： ( 1 ) 面。和面，被外力p 分隔，选择面d 为参考面，其面力矢量昂= 0 ，因为力p 分隔面0 和面，根据瓯= 届。，可以计算出丘= 声 ( 2 ) 面口和参考面。通过杆件2 分隔，故面力昂方向沿杆2 。而力( 昂一丘) 沿杆 3 方向，且面力磊和露在垂直杆3 的方向上投影相等，则可以计算面力矢量磊 的值 ( 3 ) 同样，根据( 2 ) 分别计算其它面力。在计算面力，_ 时，因面正u 和面j 通过杆 件4 分隔，和面，矿通过杆件5 分隔，故面力可通过巧和昂来求解。 2 华中科技大学硕士学位论文 ( 4 ) 通过面力之间的矢量差，可以计算各个杆件的内力 3 3 内力图和相对速度图 简单桁架的各杆内力是根据节点的平衡条件，在每个节点上应用两个方程用数解 法算出两个未知力。这个数解的过程可以用图解法来替代，就是对于每个节点，当只 0 ( c )( d ) 图3 - 5 马氏图在机构运动分析中的应用：( a ) 、( c ) 机构和相对速度图，( b ) 、( d ) 对偶桁架和内力图 有两个未知力时，可以画出它的闭合的力多边形来求得未知力。这就是内力图解法， 也就是马克斯威尔一克利莫那图【4 0 j 。用桁架内力图来分析计算简单桁架非常方便。图 3 5 ( b ) 、( d ) 给出了桁架及其内力图。 在机构学中，速度图解法是机构分析中的重要方法。在用速度图解法对机构进行 速度分析时，首先根据相对运动原理，建立点与点之间的速度矢量方程，然后用作图 法求解矢量方程，按比例绘出机构的速度多边形，求解未知参数。圈3 5 ( a ) 、( c ) 给出 了机构及其相对速度图。 根据机构和桁架的转换关系，桁架的内力f 和机构对应的构件的相对速度v 矢量 华中科技大学硕士学位论文 相等。因此，桁架的内力图可以认为是其对偶机构的相对速度矢量图，机构的相对速 度图和其对偶桁架的内力图等价因此，可以应用相对速度矢量图来分析桁架，也可以 用马克斯威尔一克利莫那图对机构进行运动分析 3 4 应用杆件替代法分析机构相对速度 结构力学中，简单桁架和联合桁架可以用结点法和截面法计算各杆的内力，但遇 到复杂的桁架时，要直接应用结点法和截面法就会发生困难。例如图3 - 6 ( a ) 所表示的 复杂桁架，若荷载p 作用在结点c 上，因每个结点都有三个未知力，故不能应用结点 法，同时也不能作一截面使其中只有三个不交于一点的未知力。为了计算复杂桁架的 各杆内力，可以采用杆件替代法【4 ”。 3 4 1 结构力学中的杆件替代法 杆件替代法的基本方法是 4 2 1 ：首先选择一个被替换杆t ，去掉t ，添加一虚拟杆( 替 换杆) v 来替代t 。替换的原则是必须保证桁架的几何不变性，且替换后的结构便于计 算。为了使被替换后的桁架各杆内力与原来桁架各杆内力相同，应在被替换杆的两端 施加一对载荷，而这一载荷的大小由下条件确定，即：在这一对载荷和外载的作用下， 虚拟杆的内力必须为零。分别计算两种情况下各个构件的内力f 、，然后将e 和f 按一定的关系叠加，得到要计算的原桁架对应构件的内力f 。 以图3 - 6 ( a ) 所示复杂桁架为例。该桁架各个节点上有三个未知力；如果经过杆件替 换，把( a ) 中的杆件8 用杆件v 来代替，则形成图3 - 6 ( b ) 所示的简单桁架，其中各杆的 内力就可以用节点法或截面法计算。用来代替杆件8 而使复杂桁架成为简单桁架的杆 件v 称为替用杆，而杆件8 称为被替杆，图3 6 ( b ) ( c ) 所示的桁架称为替用桁架。在替 代的过程中，被替杆可以是杆件，也可以是外载荷。当选择外载荷为被替杆时，一般 选择沿原被替杆方向的单位载荷为替用杆。替用桁架是简单桁架，它是几何不变的， 静定的。在每种载荷下，替用桁架的各杆内力有确定的唯一解。以e 表示被替杆为杆 件的替用桁架各杆件内力，f 表示单位载荷引起的替用桁架各杆件内力。根据虚拟杆 的内力必须为零的条件，有：+ = 0 ，从这算式中得出一有用的性质： 华中科技大学硕士学位论文 e = 一詈，由于0 与外载无关，所以可以得出虚拟杆与被褥换杆内力的比值与外载 无美翡毪痿。穰据叠蕊派毽，琢徐絷豹耱释内力诗算式兔： f = 曩+ a f t ；瑾一专 ；嚣一o ；2 0 ( 3 - 4 ) 其中彰褒示骧纛拟疑替代疑馋岁 蠛萤艨弓l 起的黢援耪的内力，巧表示单像力弓l 越 的虚拟杆的内力。如果a = 0 ，则桁架具有瞬变性。 ( a ) ( b ) ( c ) 鎏3 - 6 ：杼粹替代法解鬟杂梅絮f a ) 复杂精絮；( 啦织杼替代薅靛祷絷；e ) 瑁攀链力代替罄我轷 3 4 。2 应用轷馋替 弋法遂 亍毒鼹 恕运魂分板 根据桁架和机构的对偶关系和玄们之间物理量的对应关系，可以将杆件替代发方 法运用于杌稳分耩，遁过在税梅串选择合适涎筱替羧梅锌，将复杂静辘梅分解兔稳瓣 简单的机构来分析。由式( 3 4 ) 可以得到机构的相对遴度关系试： e 叫+ 彬；口= 一号；砰2 。；玎钏( 3 - 5 ) 式中k ，吖分别是被替换构件相对速度和驱动杆相对速度。根据上述虚拟杼的性质， 与驱动构件无关。机构运动分析中豹秆辞替代法，是虢机擒和椿絮的对稻关系为麓 礁。逶遘慰馁转换，把复杂枫梅转换为捺禁，应霆柽终替代法求孵桁架，扶露获褥桃 构的相对速殿。 一般纯的抒舞替代法裁楚支座替代法。霹以选择支座俘为巷代掬终，懋可以将龆 一 2 9 华中科技大学硕士学位论文 件中的刚性连接变为铰接等蒋，还可以同时选用多个杆件同时被替代，作为对杆件替 代法的应用，下瑟绘燃一个燕单的实例来说明搀传蛰代法在规鞫中的应用。 例3 2 赢用杆件替代法分析图3 - 7 ( a ) 所示机构的相对速糜，驱动杆速度v ，机构 各构件相对速度与水平方向纳夹角分剐是群。，搿：，吼，a 。，g ；，疆。，掰，( 为了方便计算，设 定钒= 0 4 ，a 7 = o 。) t 4 3 1 。 为了比较采用杼件替代法和直接求解机构的解的关系，龙采用机椅中的平衡方稷 直接计算机构。机构平衡方獠如式( 3 嘞所示。 ( 8 )( c ) 圈3 - 7 臌用杆件替代法分析机构的相对速度 下疆按照翦覆绘蹬的计舞步骤诗舞渡极槐的相慰速度。嚣先，将规梅雳势图表示， 并简化势图，如图3 - 7 ( b ) 实线所示。根据图的对偶的构造方法，构造与势图的对偶流 匿，褥到与该规构对偶的椽絮，如圈3 - 7 秭凝线秘 赝示。对图3 一( a ) 所示的枫构， 采 e o s 瓤 s i n 口 o o c o s 删2 一s l n g ， 0 一c o s 4c o s 仃， 0 z s i n a 4s i n 。t 5 o o c o s 曦 s m 瓯 0 0 o o c o s g ， s l n 掰， o o c o s a l s i n 群- o 0 0 0 强( 3 6 ) 分别计算机构各个构件的相对速度，计算的结果如式( 3 - 7 ) 所示 v 。一v 。；。h ( s i n a 。- c o s a , t g a 3 ) ：b = v 。c 。o 。s s _ l ；u = m 璺i i 器； 3 0 ：羞一一一。嗽 华中科技大学硕士学位论文 u ：h s i n _ _ _ _ a , - c o s z l t g “3 一h ( 竺丝些! 竺l 一_ 竺鱼竺骏一) s i n 掣a 3 ； 。 。s i l l g s t g a 。c o s g ss l n a s t g a p c o s d ss i n n 5 + t g a , c o s a ss i n a 4 + | g a k ：土( 竺车警s i n 口。一c o s 姆) ； s i n a 6s i n a 4 + | g a s v 7 _ h c o s 0 c t - - ( c o s 叫i n 嗍c t g c q ) 耸鬻+ c t g a 6 t g a 3 ( 3 7 ) 【c 】 l o ， 图3 - 8 采用杆件替换：( a x c ) 替换后的机构；( b x d ) 替换后的对偶桁架 用杆件替代法，选择杆4 为替代杆，并替换外载荷。同一个机构，添加的虚拟杆 件不同，获得的替换机构也不同。对于本例所示机构，有