（机械设计及理论专业论文）基于多重网格技术的线接触热弹流润滑数值分析.pdf

太髓瞅学硕士研究生学位论文 y7 8 8 5 b 幺 基于多重网格技术的线接触 热弹流润滑数值分析 摘要 现代机械传动部件的设计要求越来越高，其润滑问题就显 得越来越重要。润滑失效主要是由于润滑油膜过薄、接触区温 度过高等因素造成的。这就要通过改进工作参数和控制润滑条 件来提高润滑性能，以降低摩擦磨损，提高机器使用寿命。 本文基于全膜弹流润滑假设，在考虑温度效应和流体非牛 顿特性的前提下，建立了相应的数学模型，论述了多重网格方 法的基本原理，并采用多重网格法来解润滑方程组。通过数值 计算得出了无量纲载荷参数旷、速度参数可、材料参数g 和滑 滚比s 对二次压力峰大小和位置、颈缩处最小油膜厚度及润滑剂 最大温度的重要影响。研究结果表明：二次压力峰大小和润滑 油膜最大温度随载荷增加而增加，而最小油膜厚度随载荷增加 而减小。当速度参数变大时，二次压力峰、最小油膜厚度和润 滑剂最大温升都随之增加，尤其最小油膜厚度的增加幅度更为 突出。而材料参数对于最大温升影响明显。相对于二次压力峰 太原理t 大学硕士研究生学位论文 大小和最小油膜厚度而言，滑滚比对最大温升的影响较大。 由于时间所限，本文在建立数学模型中基于了稳态假设， 同时也没有考虑表面粗糙度效应。考虑更多的因素开展热弹流 润滑研究，正是本文今后进步研究的方向。 关键词：非牛顿流体，弹流润滑，热效应，多重网格法 太原理工大学硕士研究生学位论文 n u m e r i c a la n a l y s i s0 fl i n ec o n t a c t t h 匝r m a le h lb a s e do n m u l t i l e v e lt e c h n i q u e a b s t r a c t t h ed e s i g n i n gr e q u i r e m e n to ft h em o d e mm e c h a n i c a ld r i v e p a r si sh i g h e ra n dh i g h e r , i t sl u b r i c a t e dp r o b l e ms e e m sp a r t i c u l a r l y i m p o r t a n t l u b r i c a t i o nf a i l u r ed u et oe x c e s st h i nl u b r i c a n tf i l ma n d e x c e s st e m p e r a t u r eo fc o n t a c tz o n e t h i sw i l li m p r o v el u b r i c a t e d p e r f o r m a n c e st h r o u g ht h ei m p r o v e m e n tp a r a m e t e r s a n dc o n t r o l l u b r i c a t e dc o n d i t i o ni no r d e rt or e d u c ef r i c t i o n a lw e a r , t oi m p r o v e m a c h i n es e r v i c el i r e t h em a t h e m a t i c sm o d e lo ft h ep a p e rb a s eo nc o n s i d e r i n gt h ee f f e c t o ft e m p e r a t u r ea n d c h a r a c t e r so fn o n - n e w t o n i a nf l u i di s e s t a b l i s h e da s s u m e dw h o l el u b r i c a n tf i l m t h ep a p e rh a v e d i s s e r t a t e dt h eb a s i cp r i n c i p l eo fm e t h o d ，a n da d o p tt h em u l t i l e v e l m e t h o dt os o l v et h el u b r i c a t e d e q u a t i o n s i n t h e p r e s e n t n u m e r i c a la n a l y s i s ，r e s u l t sh a v eb e e no b t a i n e df o rt h ei m p o r t a n t 1 1 1 太原理i 。人学硕十研究生学位论文 e f f e c to fd i m e n s i o n l e s sl o a dp a r a m e t e r 旷t h es p e e dp a r a m e t e r 可 t h em a t e r i a lp a r a m e t e rg ，a n ds l i po nd i m e n s i o n l e s sa m p l i t u d eo f p r e s s u r es p i k e ，d i m e n s i o n l e s sm i n i m u m f i l mt h i c k n e s s ，a n d m a x i m u ml u b r i c a n t t e m p e r a t u r e t h e r e s u l t ss h o w nt h a tt h e a m p l i t u d eo f p r e s s u r es p i k ea n dt h em a x i m u ml u b r i c a n tt e m p e r a t u r e i n c r e a s ea st h el o a di si n c r e a s e d ，b u tt h em i n i m u mf i l mt h i c k n e s s d e c r e a s e d t h ea m p l i t u d eo fp r e s s u r es p i k e ，t h em a x i m u ml u b r i c a n t t e m p e r a t u r ea n dt h em i n i m u mf i l mt h i c k n e s si n c r e a s ea ss p e e di s i n c r e a s e d ，e s p e c i a l l y e f f e c to nm i n i m u mf i l mt h i c k n e s si s s i g n i f i c a n t t h em a t e r i a lp a r a m e t e rh a se f f e c to na l lp e r f o r m a n c e p a r a m e t e r s ，e s p e c i a l l ye f f e c to nm a x i m u ml u b r i c a n tt e m p e r a t u r e f o rt h ea m p l i t u d eo fp r e s s u r es p i k ea n dm i n i m u mf i l mt h i c k n e s s ， s l i ph a sas i g n i f i c a n te f f e c to nt h em a x i m u ml u b r i c a n tt e m p e r a t u r e b e c a u s et i m er e s t r i c t s ，t h em a t h e m a t i c sm o d e lo ft h ep a p e r b a s e do nt h es t a b l e a s s u m p t i o n a n d1 3 0 r o u g h n e s s e f f e c t c o n s i d e r i n gm o r ef a c t o r so nt h er e s e a r c hf o rt h e r m a le h li s t h e d i r e c t i o nf u r t h e ri n v e s t i g a t e dt ot h ep a p e r k e yw o r d s ：n o n = n e w t o n i a nf l u i d ，h e a te f f e c t ，e h l ， m u l t i l e v e lt e c h n i q u e 太原理j 一大学硕十研究生学位论文 e e l 、e 2 v i 、y 2 s p ( s ) r 瓦 主要符号 油膜厚度( m ) 等效粘度( m s ) 润滑油密度( 姆m 3 ) 润滑油粘度( p a j ) 油膜压力( p a ) 油膜剪应力( p a ) r e e e y r i n g 流体的特征剪切应力( p a ) 分别为两表面的切向速度( m s ) 当量曲率半径三r = 击+ 击( 协) 综合弹性模量专鼍1 警+ 警，c 助， 分别为两物体的弹性模量( p a ) 分别为两物体的泊松比 所假定x 轴上的附加坐标 载荷分布函数 润滑剂在环境温度和压力条件下的粘度 温度晖) 入r 3 区温度( 眉) w、 。q p 呷 p f q r 太原理工大学硕士研究生学位论文 p o j 9 l 、p 2 c 1 、c 2 k 1 、k 2 “1 、“2 工m 、x 。叫 z p p h h _ r p g u 环境密度( 堙m 3 ) 两固体的密度( 堙m3 ) 两固体的比热容( j k g k ) 两固体热传导系数( w m k ) 两接触表面沿x 方向的速度( m j ) 分荆为计算明超点和饔点 x 轴坐标参数；= 言 z 轴坐标参数；= 考 无量纲压力参数；= 旦 p ” 最大赫兹接触应力胪等 无量纲油膜厚度参数：五：百h r ， b 。 无量纲温度参数：亍= 寺； 无量纲粘度参数：再：旦 叩。 无量纲密度参数：；：旦； 风 材料参数：g = 姐。 无量纲速度参数：百= 簧； 太原理工大学硕士研究生学位论文 1 1 前言 第一章绪论 摩擦是人类有史以来就遇到的问题，在人类文明发展史中起着极为重 要的作用。人类之所以能步行，也正是由于存在适当的摩擦。没有摩擦， 或者没有“作相对运动的相互作用表面”，也就是没有相互滚动的表面、 相互滑动的表面和相互摩擦的表面，人类就不可能生存。但真正从科学的 角度对摩擦现象进行研究仅仅是百年的事情。而直到二十世纪六十年代， 摩擦学才作为- - f - j 独立的学科出现，形成标志为1 9 6 6 年2 月英国教育科 研部关于摩擦学教育研究的报告，即著名的j o s t 报告，该报告首次提出了 摩擦学( t r i b o l o g y ) 一词并对其进行了定义： “摩擦学是研究作相对运动的相互作用表面及其有关理论和实践的一 门科学技术。” “摩擦学一词包括摩擦、润滑和磨损等课题。” “摩擦学的研究对于国民经济具有重要意义。据估计，全世界大约有 三分之一到二分之一的能源以各种形式消耗在摩擦上”j 。”据j o s t 报告估 计，由于较好地应用了摩擦学的原理和实践，英国工业每年能节约五亿一 千五百万英镑( 按1 9 6 5 年估算) 。“由于摩擦学对工农业生产和人民生活 的巨大影响，因而引起世界各国的普遍重视成为近三十年来迅速发展的 技术学科，并得到日益广泛的应用。” 随着研究的深入开展，人们认识到为了有效地发挥摩擦学在生产中的 潜在效应，在研究模式上的发展趋势将是由宏观进入微观，由定性进入定 量，由静态进入动态，由单学科的局部分析进入多学科的综合研究。摩 太原理工大学硕士研究生学位论文 擦学问题中各种因素往往错综复杂，涉及到流体力学、固体力学、流变学、 热物理、应用数学、材料科学、物理化学以及化学和物理学等多门学科， 因此多学科的综合分析是摩擦学研究的显著特点川。 弹性流体动力润滑( e l a s t o h y d r o d y n a m i cl u b r i c a t i o n ) ，简称弹流润滑 ( e h l 或e h d ) 是摩擦学半个世纪来发展的重要领域，它的研究对象是点、 线接触等高接触应力的零件，诸如齿轮的齿面、滚动轴承的滚动体和滚道， 凸轮和挺杆副等。可以认为，弹性流体动力润滑理论的出现，是自1 8 8 6 年英国学者r e y n o l d s t 2 1 建立流体动力润滑理论以来，润滑力学领域中一项 最重要的突破。从其形成至今的半个世纪中发展极为迅速，完成了从最初 的经典弹流润滑( e h l ) 理论向现代弹流理论如热弹流理论( t h e r m a le h l 或t e h l ) 、微弹流理论( m i c r oe h l 或m e h l ) 、非稳态弹流理论( t r a n s i e n t e h l ) 等的飞跃。 弹流润滑问题，从数学本质上讲，需联立求解流体润滑方程( r e y n o l d s 方程) ，固体表面弹性变形方程，油膜几何方程，润、滑剂粘度方程和密度 方程，对于热弹流润滑问题，还要加上能量方程和固体热传导方程。这样 一组方程构成了极为复杂的数学系统。 1 9 1 6 年，m a r t i n 3 1 首先将r e y n o l d s 润滑理论应用于分析线接触问题， 求很在油润滑条件下两个剐性圆柱体对滚时油膜压力分布、油膜厚度与速 度、载荷的关系。1 9 4 9 年，g r u b i n f l l 将r e y n o l d s 润滑理论和h e r t z 接触理 论联系起来处理线接触润滑问题，提出了第一个弹流润滑膜厚公式。二十 世纪5 0 年代末至二十世纪6 0 年代初，是线接触弹流理论迅猛发展的时期， 期间最有影响力的是英国l e e d s 大学的d o w s o n 和h i g g i n s o n t 舢，他们提出 了全新的逆解法，求得了线接触弹流问题的完全数值解。到了二十世纪7 0 太原理i ：大学硕+ 研究生学位论文 年代，主要是h a m r o c k 和d o w s o n 5 1 关于点接触问题的研究。二十世纪8 0 年代热弹流理论的研究得到了迅速的发展，研究对象为点线接触摩擦副润 滑中的热现象和热效应。进入二十世纪9 0 年代以来，弹流润滑研究的一 个分支转向纳米级薄膜润滑。 1 2 润滑效应研究概述 在弹流润滑研究中，所讨论的流体大多是牛顿流体，即流体的运动规 律符合牛顿的推断：粘性剪切应力与剪切应变率成正比。这种关系，对于 绝大多数以矿物油为基础的润滑油是适用的。但就广义的润滑剂而言，非 牛顿流体则是更为普遍的存在形式。在弹流动力润滑中，润滑剂在常规的 压力、温度、剪切率和作用时间的条件下表现为牛顿的性质，而在弹流润 滑的情况下，由于受到高压和大剪切率的作用及温度的急剧变化，却能表 现出某些非牛顿特征；同时为了改善使用性能，现代润滑油通常都含有由 许多高分子材料组成的添加剂，以及合成润滑剂的大量使用，都致使它们 都呈现出强烈的非牛顿性质，从而使得润滑剂的流变行为成为润滑设计中 不可忽视的重要因素。随着弹流理论研究的不断深入和弹流应用推广的逐 渐扩大，基于非牛顿流体的弹流润滑研究e 1 益受到人们的关注。 像轴承、齿轮和凸轮及其从动件等类型的滚动或滑动机械零件，经常 是在重载、高速和大滑滚比的工况下工作的。许多研究工作都是研究上述 工作条件下诸如重载下的弹流润滑( e l a s t o h y d r o d y n a m i cl u b r i c a t i o n ，e h l ) 的。然而为数不少的e h l 分析都忽略了温度效应，即在研究过程中假设 流体润滑是等温过程。理论和试验都证实，这种等温的假设，对于较低的 滚动速度和无滑动或滑动较小的情况是可行的。当高速滚动或者滚动伴有 滑动时，就不能采用等温假设，而要考虑热效应了。这时，在弹流问题的 太原理工大学硕士研究生学位论文 分析计算中，除了考虑等温问题中的基本方程外，还要引入能量方程，此 时润滑剂的粘度和密度不仅是压力的函数而且还会随温度发生变化。 s t e r n l i c h t 【6 1 等首先提出了在e h d 润滑中要考虑温度效应。c h e n g 7 1 则提出了热弹流润滑的数值解法，但是在他的解法中，载荷被考虑的很低， 并且研究结果显示最小油膜厚度几乎没有发生变化。m u r c h 和w i l s o ne 8 1 的 研究表明温度对油膜厚度有明显的影响，特别是在高速的情况下效果更加 显著。在重载滑滚接触中，载荷参数、速度参数、滑滚比和材料参数等无 量纲参数均会显著影响润滑性能参数。s a d e g h i 和s u i i 9 1 研究了工作参数对 润滑性能参数的影响，诸如：二次压力峰的大小和位置，最小油膜厚度及 最大温度等。并认为热效应是明显的，不可忽略。 g r u b i n 和v i n o g r a d o v a 1 0 1 研究了重载接触下最小油膜厚度的近似方 程。d o w s o n 和h i g g i n s o n 1 则推导出了用上述无量纲参数表示的油膜厚度 的理论公式。s i b l e y i ”1 和o r c u t t 的实验结论基本上验证了上述理论公式。 而c r o o k t ”1 实验值与理论结果更加吻合。p a n 和h a m r o c k t “1 推导了用无量 纲的载荷、速度、材料参数表示的二次压力峰位置和大小、中心油膜厚度 和最小油膜厚度及中心压力的公式。但是，他们的公式中均未考虑温度和 滑滚比对润滑性能的重要影响。 1 3 热弹流润滑的求解方法概述 从总体来看，热弹流问题的求解方法主要有以下几种f 6 j ( 1 ) g r u b i n ”1 入口区分析解 这是一种简化的分析方法，特点是只在入口区进行热分析，确定入 4 太原理工大学硕士研究生学位论文 口区膜厚的大小。这种方法虽然精度不高，但简便易行。c h e n g 忡1 ( 1 9 7 6 ) 、 d y s o n 和w i l s o n t l 7 1 ( 1 9 6 8 ) 、g r e e n w o o d 和k a u z l a r i c h l l 8 1 ( 1 9 7 3 ) 、m u r c h 和w i l s o n f ”i ( 1 9 7 5 ) 都曾对线接触热弹流问题进行了入口区的热分析，讨 论了热效应对膜厚的影响。二十世纪九十年代末，g h o s h 和p a n d e y l 2 0 1 ( 1 9 9 8 ) 也使用该方法对重载线接触热弹流进行了分析。 ( 2 ) 近似的完全数值解 在热弹流润滑分析中，能量方程含有沿油膜厚度方向的位置坐标z ， 求解时，z 方向也要进行网格的划分，给数值求解带来了困难，因此许多 文献对能量方程进行了降维处理。对于线接触问题，一种是c h e n g 和 s t e m l i c h t l 2 ”( 1 9 6 5 ) 的处理法，假设沿油膜厚度方向的温度和粘度是不变 的，通过z 方向的积分，将能量方程降为一维，然后求解。第二种是 s a l e h i z a d e h 与s a k a t 2 2 1 ( 1 9 9 1 ) 的方法，假设温度沿油膜厚度方向为抛物 线分布，同样经过z 方向的积分，将能量方程降维，该处理方法较第一种 方法要精确一些。 ( 3 ) 完全数值解 热弹流问题的完全数值解，应考虑润滑油的粘度、密度沿油膜方向的 变化。对于线接触热弹流问题，c h e n g 和s t e r n l i e h t 1 ( 1 9 6 1 ) 、d o w s o n 和w h i t a k e r l 2 4 1 ( 1 9 6 5 ) 、g h o s h 和h a m r o c k l 2 5 1 ( 1 9 8 4 ) 等都发表过完全数 值解的研究成果。他们在研究中使用了不同的数值方法。如分区迭代求解 r e y n o l d s 方程。c h e n g 等叫1 在重载区使用了n e w t o n - r a p h s o n 方法，而 d o w s o n t 2 7 1 等则采用了逆解法。对于能量方程，各文献提出的数值方法也 不尽相同，c h e n g 等玎2 8 采用步进方法求解，在逆流区反复迭代：g h o s h 和 e 太原理t ：大学硕士研究生学位论文 h a m r o c k 则采用g a u s s s e i d e l 方法进行求解；杨沛然m 提出了处理逆流区 的新方法，用来求解线接触弹流问题，收到良好的计算效果。 在弹流数值分析中，考虑热效应始于二十世纪六十年代。近二十年来， 弹流润滑理论正由经典理论向现代理论转变，在现代弹流理论研究中，所 考虑的因素从单一因素逐步向多因素发展，引入的影响因素越多，研究的 难度和复杂性就越大。现代弹流理论分析大都使用多重网格方法，特别是 对真实工况的计算机模拟，多重网格计算技术所显示出的优势是其它方法 望尘奠及的。 1 4 本文的主要研究内容 现代机械传动部件的设计要求越来越商，所要求传递的速度和载荷越 来越高，其润滑问题就显得尤为重要。传动零件的工作失效形式一般有两 种：一种是结构失效，诸如表层压溃、弯曲疲劳和折断等，这种失效通常 是由于材料缺陷、过载和机构设计不当所引起。另一种失效形式是润滑失 效，包括接触面磨损、点蚀、塑性流动和胶合等，主要是由于润滑膜过薄、 接触区温度过高等因素造成的。这就要通过改进工作参数和控制润滑条件 来提高润滑性能，以降低摩擦磨损，提高机器使用寿命。 本文在不考虑粗糙度对润滑性能的影响即假定处于全膜弹流润滑状 态、不考虑结构传动中的振动和冲击即假设载荷是稳态的情况下，基于非 牛顿流体建立了线接触数学模型。通过多重网格数值计算，获得了无量纲 载荷参数旷、速度参数驴、材料参数g 和滑滚比s 对润滑性能参数的影 响。 太原理_ _ l = 大学硕士研究生学位论文 第二章基于非牛顿流体的线接触热弹流润滑理论 如前所述，非牛顿流体或润滑剂的非牛顿特性是普遍存在的，随着弹 流润滑理论研究的不断深入，基于非牛顿流体的热弹流润滑研究日益受到 人们的关注。但由于非牛顿流体在流变状态上的差异致使它的本构方程和 r e y n o l d s 方程呈现出多样性和复杂性，因此研究起来困难较大。 基于非牛顿流体的热弹流润滑问题有两种：其一是润滑剂在通常压 力、温度、剪切率的条件下表现为牛顿流体的性质，而在弹流润滑的情况 下，由于受到高压和大剪切率的作用及温度的剧烈变化和响应时间短暂 等，流体表现出某些非牛顿特性。其二是润滑剂在常规普通环境下就具有 非牛顿特性。研究表明在诸如凸轮和齿轮等高副接触的机械零件的弹流润 滑中，润滑流体所表现的流变特性比较贴近r e e e y r i n g 流变模型。为此， 本文采用r e e e y r i n g 流变模型 3 q 来建立线接触热弹流润滑的数学模型。 2 1r e e - e y ri n g 流变模型 本文采用r e e e y r i n g 流交模型，其本构方程为： 罢= 号s m ( 2 - 1 ) 出 7l o oj 2 2r e y n o i d s 方程 由于在热弹流润滑计算中需要考虑沿油膜厚度方向的热传导和温度分 布，因此，应当采用允许润滑剂的粘度和密度沿油膜厚度方向变化的 r e y n o l d s 方程。本文基于“等效粘度”概念推导具有普遍形式的r e y n o l d s 方程 3 2 1 。 7 太原理工大学硕士研究生学位论文 线接触的运动方程1 3 3 为 塑：一o p ( 2 2 ) o z o x 其中，p 为油膜压力，x 为沿速度方向的坐标 等效粘度方程为： 上：土型! ! ! ! ! ! ( 2 3 ) 一-w-一 、】， r 玎f r o 将等效粘度方程代入式( 2 - - 1 ) ，流体本构方程变为 丝：三 ( 2 4 ) 一 将式( 2 - - 4 ) 代入运动方程( 2 - - 2 ) ，得 鲁( 玎老) = 罢( 2 - - 5 ) 将式( 2 - - 5 ) 对z 积分，并利用边界条件，即z = 0 ，u = ：z = h ，“- l y 2 ， 可得如下速度方程 “= “，+ 罢 i 事出一薏一e 嘉出 + 掣f 1 ( 2 6 ) 式中 丢h f 去2 古r 其中，h 为油膜厚度。 若忽略润滑流体的端泄量，则流量方程为 太原理工大学硕士研究生学位论文 q = f 例d z 将式( 2 - - 6 ) 代入式( 2 - - 7 ) ，整理得 式中： 睁涨) 。罢一可 ( p - - ) 。= 1 2 ( 叩。p ：q ：一p ：) 叩 p 。= 吉喊纵“：叫) + p e u l 】 p 。= i ：p 出 p ：= 古rp ( r 古出，彘 尸：= 古r 州i 出) 出 u ：昙( 甜，+ 甜：) z ( 2 7 ) ( 2 8 ) 粘性流体定常流动的连续方程为 塑：0 ( 2 9 ) 缸 整理上式可得基于r e e e y r i n g 型流变模型的稳态线接触r e y n o l d s 方程 岳略矗3 罢h z u 掣( 2 - - 1 0 ) 其边界条件为： 芝蒎篓艺， 9 太原理i 大学硕十研究生学位论文 式中叩为等效粘度( p o s ) ，p 为润滑油密度( k g m3 ) ，卵为润滑 油粘度( p a s ) ，p 为油膜压力( p a ) ，f 为油膜剪应力( p a ) ，f 。为 r e e e y r i n g 流体的特征剪切应力1 ( p o ) ，”l 、“2 分别为两表面的切向 速度s ) 。 2 3 油膜剪应力方程 o p 弘7 1 托畜g 矿焘抽阮i 丽却z 飞) 】 = ? 詈c o s h c 寺罢，如 e = i 曲c 寺出 2 4 油膜厚度方程 ( 2 1 1 ) 在线接触弹流润滑中，任点处浊膜厚度均由刚性体中心膜厚、初始 间隙量和弹流变形等三部分组成，即： m + 矗吾k 一灿( 2 - - 1 2 ， 式中，r 为当量曲率半径： 土：上+ 一1 ( m ) g r l r 2 0 太原理工大学硕士研究生学位论文 e 为综合弹性模量： ：昙( 毕+ 了l - v 2 2 ) ( 肋) e 2 、e e 。+ e 、e ：、u 、v ：分别为两物体的弹性模量和泊松比，s 为所假定x 轴上的附加坐标，它表示任意线载荷p ( s ) d s 与坐标圆点的距离，p ( s ) 为载 荷分布函数。 2 5 粘度方程 业已指出在热弹流研究中，须把润滑油粘度同时作为压力和温度的函 数。润滑油粘度随温度和压力的变化关系有多种，一般常用的有如下几种 c h e n g ”1 粘压温关系： 吁= 玎。e x p ( a 夕+ 争一；詈+ 了y p ) g a r u s 粘压温关系： r = i oe x p q o b ( t t o ) 1 r o e l a n d s 粘压温关系： 嗍。e x p ( 1 nr o + 9 6 7 ) ( 1 + 5 “ 翻2c 两t - 1 3 8 产一 ) ( 2 - - 1 3 ) t 。为润滑剂在环境温度和压力条件下的粘度，p 为压力，t 为温度 ( k ) ，兀为初始温度，s 。、z 、卢、口分别为实验测定参数，其中： s o = ( t o 一1 3 8 ) ( 1 n1 7 0 + 9 6 7 ) z = g 1 5 。1 1 0 ( i nr 。+ 9 。6 7 ) j 第一种关系式中有三个实验参数，其数值确定比较麻烦，致使应用起 太原理工大学硕士研究生学位论文 来不甚方便；第二个关系中所含参数测定容易，形式简单，在轻、中载荷 弹流润滑研究中应用广泛，然而在重载条件下使用会带来较大误差。第三 个关系式相对来说较为准确，一般来说，粘度越高，弹流润滑的油膜厚度 越大，过高的粘度值会引起弹流润滑数值计算过程的不稳定，所以无论从 符合实际情况和保证使用安全，还是从提高数值计算稳定性来说，选择 r o e l a n d s 粘度关系式都是比较合适的，鉴此，本文在如下研究中将采用这 一关系式。 2 6 润滑剂密度方程 数据表明：在通常压力下，润滑油密度是压力的弱函数，是温度的强 函数。但是在弹流润滑中，接触区的压力很高，所以润滑油密度随压力的 变化还是比较大的，为了反映密度随压力和温度的双重变化，本文采用如 下密度方程： p = p o 【l + c l p ( 1 + c ：p ) 一c ，( f 一兀) 】( 2 - - 1 4 ) 式中，p 。为环境密度( k g m 3 ) ，且一般取 q = 0 6 x 1 0 4 ( p a 一1 ) 、c 2 = 1 7 x 1 0 。9 ( p a 一1 ) 岛= 0 0 0 0 6 5 ( k 。1 ) 、 2 7 能量方程 齿轮、轴承等接触副在运动过程中一般均存在着相对滑动，这样便会 产生较多的热量，使得润滑剂的温度、粘度和密度发生明显变化。所以在 数值计算中需要计入形如下式的能量方程： 太原理工大学硕七研究生学位论文 pr c ，”罢= k 害一吾+ 等“詈+ 叩+ c 2 ( 2 - - 1 5 ) 2 8 热界面方程 譬室k 鬟，o t i 二参d 3 沪 i 丁驴丽：缈：弘一后+ 死 2 9 载荷方程 本文所考虑的线接触弹流润滑为全膜润滑，即作用在接触体的外载荷 完全由油膜承担，这样在整个接触区内对油膜压力的积分结果必定与外载 荷完全相等： 矿= j 删 f p d x x 。、z 。分别为计算的起点和终点 ( 2 1 7 ) 太原理1 人学硕十研究生学位论文 压力边界条件：p l ，。2 0 p f 。2 塞l 。，= o 2 1 0 摩擦力方程 为： 摩擦力是润滑油膜与接触体界面上剪切应力的总和胛1 ，其数学表达式 ，：一= j t ：一西r = jc ；，一+ r 。，s t n n c ，d r ( 2 一1 8 ) 舯c ：坐必霾霉皿 巧= 聘c o s h 丢。 e = i 詈矗n h c 专一塞冲 2 1 1 摩擦系数方程 ：粤 ( 2 1 9 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 3 1 引言 第三章多重网格法求解润滑问题 在数值分析中，解偏微分方程最常用的数值方法之一是有限差分法。 应用有限差分法时，首先要剖分求解域，然后将偏微分方程进行离散，以 导出一组线性或非线性代数方程组。在上述过程中，选择合适的网格常常 是困难的，使用稀疏网格得到的解精度太低，而且对于非线性问题常得不 到收敛的解；而采用稠密网格则会导致代数方程组太大，收敛速度缓慢， 计算时间过长。6 0 年代初，f e d o r e n k o l 3 6 1 提出了一种求解代数方程组的高 效率迭代方法多重网格法，可以特别有效地解决上述困难。7 0 年代初， b r a n d t i 州进一步总结和发展了多重网格方法。然而多重网格方法应用于弹 流润滑数值分析始于二十世纪8 0 年代末，其中荷兰t w e n t e 大学的l u b r e c h t 和v e r m e r i ”1 等最在这方面做了开拓性的工作。 多重网格方法有效地利用了方程组迭代求解过程对不同频率的误差 分量豹光滑特性，在稠密程度相异的网格上求解同一问题。该方法已从理 论上被证明至少对线性椭圆型问题是一种最优的数值方法，计算工作量仅 与网格节点数的一次方成正比，而收敛速度与两格尺寸大，j 、无关。弹性流 体动力润滑中数值计算的多重网格方法一般包括两个方面：一个是求解 r e y n o l d s 方程的多重网格方法( m u l t i g r i dm e t h o d 简称m g 方法) ，另一个 为弹性变形计算的多重网格积分法( m u l t i l e v e lm u l t i i n t e g r a t i o nm e t h o d 简 称m l m i 方法) ，它们克服了方程求解中因严重非线性性所带来的收敛困 难，从而有效减少了弹性变形数值积分的计算工作量。 太原理工大学硕十研究生学位论文 3 2 多重网格法的基本原理 多重网格法是针对迭代方法求解大型代数方程组而提出的。用迭代方 法解代数方程组时，近似解与精确解之间的偏差可以分解为多种频率的偏 差分量，其中高频分量在稠密的网格上可以很快地消除，而低频分量只有 在稀疏的网格上才能消除。多重网格法的基本思想就是对于同问题，轮 流在稠密网格和稀疏网格上进行迭代，从而使高频偏差分量和低频偏差分 量都很快地消除，以最大限度地减少数值运算的工作量。 以一维问题为例，使用三层网格且最稠密设置1 7 个等距节点，中间 网格设置9 个等距节点，而最稀疏的网格应设置5 个等距节点，其结构如 图3 1 所示： 第三层 第二层 t - _ 一 第一层 p - - - - p - 图3 一i 一维多重网格结构 f i g 3 1 t h em u l t i l e v e ls t r u c t u r eo f o n ed i m e n s i o n 约定节点最少的网格为第一层，它上面的网格依次类推。约定最高一 层为第m 层，若聍为每一层节点数，一般可取m = 2 ”+ l ，这样可使得网格 划分和数值计算变的相对容易。应用多重网格法时以等距网格为宜。 当求解域为q 时，求解方程一般可写为： l u = f ( 3 1 ) 式中，三为算子，可以是微分、积分或其他算子；“是需求解的未知函数； ，为右端项，它一般是已知的。 当用某种数值方法求解方程( 3 1 ) 时，需先将q 划分为某种网格， 1 6 太原理工大学颐士研究生学位论文 然后在此网格上将式( 3 1 ) 离散为 须在每层网格上均对上式进行离散。 l 。“。= f 。 式中 一个代数方程组。应用多重网格法时， 在第k 层网格上离散算式记为 ( 32 ) “= “) = ( “：，“：，“。k 一1 ) f = ， = ( ；，疗，或一) 应用多重网格法时，一般是选用迭代法求解式( 3 2 ) 所示的代数方 程组的近似值。迭代过程一般是在一层网格上进行数次迭代后，然后把结 果转移到另一层网格上，且在最粗的一层网格上进行较多次数的迭代。由 于粗网格的节点数较少，所以整个迭代时间较短。在相邻两层网格之间， 把结果从较稠密的网格转移到较稀疏的网格上的操作叫做限制，通过限制 算子实现。反之则称为延拓，通过插值算子实现。 3 2 1 多重网格算法的f a s 格式 多重网格算法中有两种基本格式，即粗网格修正格式c s ( c o r r e c t i o n s c h e m e ) 和全近似格式f a s ( f u l la p p r o x i m a t i o ns c h e m e ) 1 3 9 1 。以这两种 基本格式为出发点，可构造出不同的多重网格算法。 c s 格式适于求解线性问题。对非线性问题，必须使用全近似格式 f a s 。因为在润滑理论上有必要动用多重网格的问题几乎都是非线性问题， 所以下文将着重讨论f a s 格式的实施。应当指出，f a s 格式对线性问题当 然也是适用的。 应用f a s 格式，任何非线性问题在第层网格上的代数方程也可写成 式( 3 - - 2 ) 的形式 1 7 太原理j 一人学硕十研究生学位论文 如果k 1 ，则以玎为初值对上式进行v ，次松弛迭代，得到近似解, f f 后 应用限制算子露。可把打转移到下一层网格上作为初值，即 玎“1 = 口1 茁 ( 3 3 ) 在第k 一1 层网格上，代数方程组为 + = f “ ( 3 4 ) 如何确定式( 3 - - 4 ) 中的f “。是f a s 的关键。因为解方程组( 3 4 ) 之目 的是修正从方程组( 3 - - 2 ) 得到的近似解订，所以对厂“1 的分析必须从式 ( 3 2 ) 和掰2 着手。 从式( 3 - - 2 ) 的两端均减去r 百，得 l k u t d 矗k = f k d 砬k 式中，等号左端表示近似解产生的运算亏损量，将其记为，显然有 r=，8一r万(3-5) 因为第k 一1 层网格上的运算是为了在第k 层网格上计算而服务的，所 以在将限制到下一层的网格上的同时，应将矿造成的亏损量r 。也限制 下去。因此，在第k 一1 层网格上应该有如下的运算关系 三七一材七一一r - 1 ( 露 1 订) = 露一， 上式对线性问题是严格成立的，对非线性闯题也是近似成立的。将( 3 5 ) 式代入上式，得 r 一1 甜“= r + 1 ( ，：一石) + ：。( 一r 访) ( 3 6 ) 太原理工大学硕士研究生学位论文 比较式( 3 2 ) 和式( 3 6 ) 可知，在式( 3 - - 6 ) 式中，右端函数应为 f 。= l 。( ，：。茚) + ，：。( 一万) ( 3 7 ) 从( 3 - - 7 ) 式不难看出，只有当k = m ，即在最稠密的一层网格上， 数值计算方程组的右端项才可直接由原方程的右端函数得到，而在以下各 层网格上，方程组的右端项均含有上一层网格上的近似解引起的运算亏损 量。 应用( 3 7 ) 式得到方程组( 3 - - 4 ) 中的，“1 后，在第k 一1 层网格上 的代数方程组就已经确定了。接下来可以令k = k 一1 ，将运算位置从上一 层网格转移到已经确定了代数方程组的网格上。并进行v ( 如果k 1 ) 次 或v 。( 如果七= 1 ) 次松弛迭代。 如果在第k 层网上经过光滑已得到了石。欲使用它去修正上一层网格 上的近似解，并非将石经插值直接转移到上一层网格上，丽是将本层光滑 后得到的修正量通过插值转移到上一层，使其与茸“迭加，迭加的结果用 来作为在第k + l 层网格上进行v ：次松弛迭代的初始值。上述过程可用算式 表示为 订“1 = 丽“+ 露“( 玎一露莳“) 3 2 2v 循环和w 循环 多重网格法解题的过程实际上就是以限制和插值为手段，轮流在各层 网格上对方程组( 3 - - 2 ) 进行光滑，即有限次松弛迭代的过程。v 循环和 w 循环是对上述过程的形象描述。 1 9 太原理t 大学硕士研究生学位论文 图3 2m = 4 时的一个v 循环 f i g 3 - 2 v - l o o p a tm ：4 图3 3m = 4 时的一个w 循环 f i g 3 - 3w - l o o pa t ，”= 4 图3 2 表示为聊= 4 时的v 循环过程，图3 3 表示为脚= 4 时的w 循环过程。在图3 2 和图3 3 中，指向斜下方的箭头表示限制，指向斜 上方的箭头表示插值，圆圈表示光滑。此外，v 表示限制前的松弛次数， v ：表示插值后的松弛次数，而v 。为在最下层网格上的松弛次数。 v 循环和w 循环都是所谓，循环的特例。当应用f a s 格式求解式( 3 1 ) 所给的问题时，对应的，循环的流程如图4 4 所示。其中c ( k ) 是一 个开关变量，用以控制流程走向，而参数，用以控制循环的方式。 2 0 太蒙理j ：大学硕士研究生学位论文 困3 - 4 f i g 3 _ 4 ) ，循环 y l o o p ，= 1 时即为v 循环，= 2 时即为w 循环。容易验证，当y = 1 并且埘= 4 太原理上火学硕士研究生学位论文 时，图3 - - 4 给出的过程即图3 - - 2 所示的v 循环。而当y = 2 且m = 4 时 图3 4 给出的过程即图3 3 所示的w 循环。一般取y = 1 或y = 2 ，当，= 2 时( w 循环) ，方程求解的收敛率和稳定性优于，= 1 时( v 循环) ，但计 算量大。当y 3 时，收敛率并无多大的改观，所以并不实用。对于非线性 很强的问题，如弹流润滑问题，一般应使用w 循环。 3 2 3 多重网格积分算法m l m 多重网格数值技术不但可用来求解微分方程，而且也可用以计算数值 积分。事实上多重网格法计算速度快的主要原因就是引入了多重网格积分 法。这样计算膜厚方程的积分工作量可大大减少，从而提高了弹流润滑数 值计算的效率。 多重网格积分法是针对积分运算 w ( p ) = f k ( p ，p ) “( p ) d q ( 3 8 ) 矗 由b r a n d t 等人提出和发展的，式中p 和p 分别为积分域中q 的点， k ( p ，p ) 称为积分核，并设定k ( p ，p7 ) 为光滑函数或奇异光滑函数( 即在q 虑，k ( p ，p ) 存在奇异点，远离奇异点外，k ( p ，p ) 光滑) 。将q 以网格尺 度格式g 划分为打个节点，在此尺度格式下记盖= “( p 。) ，以分段多项式 u g ( p ) 逼近函数( p ) ，可得出下式 咆) “咳= 胁，咖z ( p ) 施= n 酸弗咳 s ：1 。2 ，3 。，n( 3 9 ) 太原理下大学硕士研究生学位论文 第四章线接触热弹流润滑问题的数值分析 4 1 弹流润滑方程组的无量纲处理 无量纲化是指由几个相关的物理量组成无量纲参数，引入这些无量纲 参数可使方程组所含的变量减少，从而使其得到简化。同时还可改善计算 过程的数值稳定性。 定义一个无量纲最方