（计算数学专业论文）多元混合切触有理插值.pdf

多元混合切触有理插值 摘要 本文主要讨论了多元混合切触有理插值问题，其主要内容包括二元分叉连 分式切触有理插值、n e w t o n - h e r m i t e - t h i e l e 型切触有理插值以及t h i e l e w e m e r 型切触有理插值。 在连分式理论的框架下，本文采用一元t h i e l e 型连分式切触有理插值的思 想，利用分叉连分式的方法，将t h i e l e 型二元分叉连分式推广到了二元切触有 理插值中，构造了一种矩形网格上的t h i e l e t h i e l e 型二元分叉连分式切触有理 插值公式，给出了系数算法，讨论了这种切触有理插值的有理性质及其对偶定 理。 在多元混合连分式有理插值思想的基础上，本文将一元n e w t o n - h e r m i t e 插 值多项式与一元t h i e l e 型切触有理插值结合起来，构造了一种矩形网格上的二 元混合有理插值公式，给出了系数算法和差商表，讨论了这种插值的误差，数 值例子显示出了该公式的逼近效果。 将推广的n e w t o n 插值多项式与t h i e l e w e m e r 型有理插值相结合，构造了矩 形网格上的二元混合t h i e l e w e r n e r 型切触有理插值公式，通过特征性定理定性 的给出了该公式中分子、分母的次数估计，同时给出了系数算法，误差估计和 数值例子。 关键词：n e w t o n 插值，分叉连分式，混合有理插值，混合切触有理插值，系 数算法，误差估计 i i i m u l t i v a r i a t eb l e n d i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a n t s a b s t r a c t t h es u m m a r i e so ft h i st h e s i sa r et h er e s e a r c h e so nt h em u l t i v a r i a t eb l e n d i n g o s c u l a t o r y r a t i o n a l i n t e r p o l a n t s ，w h i c hi n e l u d e b i v a r i a t eb r a n c h e dc o n t i n u e d f r a c t i o no s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，n e w t o n - h e r m i t e t h i c l e so s c u l a t o r y r a t i o n a li n t e r p o l a t i o na n dt h i e l e - w e r n e r so s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n b yt h em e t h o d so fb r a n c h e dc o n t i n u e df r a c t i o na n du n i v a r i a t et h i e l e - t y p e o s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，w eg e n e r a l i z et h et h i e l e - t y p eb r a n c h e dc o n t i n u e d f r a c t i o nt ot h eb i v a r i a t eo s c u l a t o r yr a t i o n a ii n t e r p o l a t i o n w ec o n s t r u c tt h e t h i e l e - t h i e l et y p eb i v a r i a t eb r a n c h e dc o n t i n u e df r a c t i o no s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o nf o r m u l ao v e rr e c t a n g u l a rg r i d s t h ec o e f f i c i e n ta l g o r i t h mf o rt h e c o n s t r u c e df o r m u l ah a sb e e np r e s e n t e d t h er a t i o n a la n dd u a l i t yp r o p e r t i e so ft h e c o n s t r u c t e df o r m u l aa r ed i s c u s s e d n e w t o n - h e r m i t e si n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a l sa n dt h i e l e so s c u l a t o r yr a t i o n a l i n t e r p o l a t i n gc o n t i n u e df r a c t i o n sa r ei n c o r p o r a t e dt oc o n s t r u c tak i n do fb i v a r i a t e b l e n d i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o no nt h eb a s i so f t h em u l t i v a r i a t eb l e n d i n g c o n t i n u e df r a c t i o nr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n t h ec o e f f i c i e n tr e c u r s i o na l g o r i t h mf o r t h ec o n s t r u c t e df o r m u l ai sg i v e ni nd e t a i l s f u r t h e r m o r e ，t h et a b l eo fd i v i d e d d i f f e r e n c e sa n dt h ee r r o re s t i m a t i o na r ep r e s e n t e d n u m e r i c a le x a m p l ei l l u s t r a t e s t h a tt h eb l e n d i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o nh a v eg o o da p p r o x i m a t ee f f e c t s w h i c hi n t e r p o l a t eas e r i e so fg i v e nd a t a b o t ht h ee x p a n s i v en e w t o n si n t e r p o l a t i o np o l y n o m i a l sa n dt h et h i e l e - w e r n e r t y p er a t i o n a li n t e r p o l a t i o n a r eu s e dt oc o n s t r u c tak i n do fb i v a r i a t eb l e n d i n g t h i e l e w e r n e rt y p eo s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o no v e rr e c t a n g u l a rg r i d s a r e c u r s i v ea l g o r i t h ma n dc h a r a c t e r i s t i ct h e o r e ma r eg i v e n f u r t h e r m o r e ，t h ee r r o r e s t i m a t i o ni so b t a i n e da n dn u m e r i c a ie x a m p l ei si l l u s t r a t e d k e y w o r d s ：n e w t o ni n t e r p o l a t i o n ，b r a n c h e dc o n t i n u e df r a c t i o n ，b l e n d i n gr a t i o n a l i n t e r p o l a t i o n ，b l e n d i n go s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ，c o e f f i c i e n t a l g o r i t h m ，e r r o re s t i m a t i o n 插图清单 图2 1 被插函数f ( x ，j ，) = y e 7 + t n c ( 3 - x ) 2 + 力2 1 图2 2 插值函数刀( 工，力2 1 图2 3 f ( x ，) ，) = y e 7 + t n ( ( 3 - x ) 2 + y ) 与7 7 ( x , y ) 的误差函数“2 2 图2 4 y ) = y e 7 + 】1 1 ( ( 3 一力2 + 力与二元多项式插值函数的误差函数一2 2 图3 1 被插函数f ( x ，y ) = y s i n x + t a n ( o 3 一y ) 2 9 图3 2 插值函数删z ，( 工，力2 9 图3 3 厂( 五y ) = y s i n x + t a n ( o 3 一y ) 与阍l l ( x ，y ) 的误差函数2 9 图3 4 f ( x ，y ) = y s i n x + t a n ( o 3 一j ，) 与二元多项式插值函数的误差函数2 9 图4 1 被插函数f ( x ，力= p ( 一+ 3 ( ，“) j 3 9 图4 2 插值函数r ( x ，j ，) 3 9 图4 3 似力= f ( 3 v ( ，“) 与插值函数且( 五力的误差函数3 9 图4 4 f ( x ，y ) = p ( 3 ) ( ，“) 与二元多项式插值函数的误差函数3 9 v i l l 表格清单 表2 1 函数f ( x ，y ) = y e + i n ( ( 3 一功2 + 力的数值表2 1 表3 1 二元差商表2 5 表3 2 函数f ( x ，y ) = y s i n x + t a n ( o 3 - y ) 的数值表2 8 表3 3 函数厂o ，y ) = y s i n x + t a n ( o 3 - y ) 的差商表一2 8 表4 1 函数f ( x , y ) = e ( x z ”v 扩“) 的数值表3 7 表4 2 多项式p o ( x ，y ) 需满足的插值条件表“3 8 表4 3 多项式a ( z ，y ) 需满足的插值条件表“3 8 i x 独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是本人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成果。据我所 知，除了文中特别加以标志和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表或撰写过的研究成果， 也不包含为获得金胆兰些太堂 或其他教育机构的学位或证书而使用过的材料。与我一同工作 的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并表示谢意， 学位论文作者签字：漂耗l 签字日期：弘叼年月夕日 学位论文版权使用授权书 本学位论文作者完全了解盒目g 兰些盍堂有关保留、使用学位论文的规定，有权保留并向 国家有关部门或机构送交论文的复印件和磁盘，允许论文被查阅或借阅。本人授权盒匿王些盔 堂可以将学位论文的全部或部分论文内容编入有关数据库进行检索，可以采用影印、缩印或扫 描等复制手段保存、汇编学位论文。 ( 保密的学位论文在解密后适用本授权书) 学位论文者签名：渌 乞 导师签名： 签字日期：卅年6 月7 日 学位论文作者毕业后去向： 工作单位： 通讯地址： 、 您天辱 签字脚刁年占月? 日 电话： 邮编； i i 致谢 时光飞逝，转瞬已到毕业之际。回顾这三年的生活，往事历历在目。在老 师和同学们的帮助下，自己顺利度过了紧张、忙碌而又快乐的三年研究生生活， 同时，在学习和为人处事方面，自己也取得了一定的进步。这三年的生活，将 是我人生中的宝贵财富，在此，我要向所有帮助过我的人表示由衷的谢意! 首先我要向我的导师唐烁教授致以最衷心的感谢。他不仅学识渊博，治学 态度严谨，更有着博大的胸怀，在做学问、做人和生活上都给予了我很大的帮 助。三年里，他不断的鼓励给了我信心。在他的亲切的指导下，我顺利地完成 了论文的写作，并在此过程中受益匪浅，深刻体会到了学习的乐趣。 我要感谢系里的老师们，他们不仅教会了我很多知识，同时他们的治学态 度、教学作风和高尚的品德都是我学习的楷模；我要感谢2 0 0 4 级研究生7 班的 同学们，相逢是缘，和他们一起学习一起生活的日子是快乐的，将成为我记忆 中的风景；我要感谢我的师姐盛敏及苏本跃老师，还有9 0 7 机房的全体老师们， 在学习期间，他们都给了我很多帮助。 感谢我的父母，二十多年来，他们无私的关爱、支持和鼓励，让我安心学 习，顺利完成学业。 感谢各位评审专家在百忙中抽出时间对论文给予的批评指正和宝贵意见。 v 粱艳 2 0 0 7 年4 月 第一章绪论 插值方法是函数逼近的一种方法，利用它可以通过函数在有限个点处的取 值状况估算该函数在其他点处的值。此外，插值法还是导出其他许多数值方法 的依据。多项式插值理论与方法已经在理论和实践方面得到了广泛的认可，但 它也有很大的局限性，如对于有极点的函数，即厂( x ) 在某点附近无界，或者 当x _ 。o 时，厂( x ) 趋于某一个定值，采用多项式作为逼近工具都是不合适的。 有理函数具有既可以描述函数的渐变性也可以描述函数的突变性的特点，它不 但可以在极点附近取得很好的逼近效果，而且又保证当工- 4 o o 时，有理函数趋 于某一定值，所以选取有理函数为某类函数的插值函数的研究是十分有意义的。 国际上关于有理逼近的研究成果十分丰富，国内的一些著名学者也取得了一系 列有价值的研究成果“”。但对于事先任意给定的插值条件，可能会使有理插 值函数出现不可达点的情况，即有理插值函数并不总是存在的。而这种情况在 多项式插值中不可能出现。对于其他诸如唯一性、算法、误差分析等问题，在 叙述其结论时也总是假定所讨论的有理插值函数是存在的，因而有理函数插值 比多项式插值要复杂得多，也困难得多。 连分式是有理逼近的一种有效方法，荷兰数学家和天文学家c h r i s t i a a n h u y g e n s ( 1 6 2 9 - 1 6 9 5 ) 首次提出将连分式用于解决有理逼近问题。随着科学技术 的发展，连分式理论的应用范围不断扩大，如r o b e r t m c o r l e s s 用连分式研究混 沌理论“。二十世纪六十年代后，俄罗斯数学家v s k o r o b o g a t k o 将分支思想应 用于连分式理论，开创了连分式理论和方法研究的新纪元。比利时学者a c u y t ”“通过定义多元逆差商和多元偏倒差商构造了一种对称型的二元分叉 连分式展开和逼近；波兰学者w s i e m a s z k o ”提出了不同类型的二元分叉 连分式插值格式。向量有理插值是由p w y r m 1 于6 0 年代率先提出的。连分式在 由数量形式推广到向量形式及矩阵形式的研究中出现的大量结果，为研究各种 形式的有理逼近提供了有效的工具。上世纪八十年代初，p r g r a v e s m o r r i s 。 c d j e n k i n s ，d e r o b e r t s 等在对机械振动数据进行分析的过程中开始利用向量 s a m e l s o n 逆对向量有理插值与逼近进行了研究，在一元向量有理插值和逼近方 面做了许多开拓性工作，得到了许多重要的结果2 0 1 2 2 1 2 3 “心1 【3 2 1 从1 9 9 0 年开 始，朱功勤、檀结庆和顾传青等人在基于连分式的有理插值与逼近方面开展了 一系列的研究工作。檀结庆等提出了二元t h i e l e 型向量连分式有理插值方法， 建立了多元分叉连分式的特征性定理、唯一性定理、边界插值定理和对偶定理 等咖6 删【3 8 l “1 捌；檀结庆、唐烁等对n e w t o n 插值多项式和t h i e l e 型插值连分式巧 妙地进行糅性加工得到了几种混合有理插值格式，通过引进混合差商的概念， 解决了混合有理插值的有效计算问题p “叫p “。在此基础上，檀结庆等还针对病 态数据构造了一种复合型的多元连分式插值框架并且考虑了对于数据缺失而产 生的“有洞，情形枷”“4 3 1 。近二十年来，连分式理论不仅在插值领域，同时在加 速收敛及数字图像的重建与压缩等方面产生了丰富成果捌1 1 ”1 。 1 1 连分式的基本理论1 0 1 连分式是一个古老的数学分支，随着科学技术的发展，它的应用不断扩大， 特剐是在以连分式为工具的数值逼近方面已经引起人们的关注。本节对连分式 的一些基本性质进行了介绍。 1 1 1 连分式的足义 连分式的一般形式为 + 寻+ 专+ 毒+ ， ( l l ) 其中口。b t 称为连分式元素，或部分分子和部分分母，通常为实数、复数或函数。 称 6 0 + 等+ 考+ 专+ 毒， c l l 萄 为连分式( 1 1 1 ) 的第栉阶渐近分式，记为岛，即 厶2 + 詈+ 尝+ 毒+ 专 ( l l ， 显然渐近分式序列为 岛吨q 却詈= 警， 凸凸 嘲+ 号+ 专2 紫， m ， 巳：昱：墨( 弛墨立盥。 “( tq ( 6 l ，6 ，岛，以，疋) 若。l i m c = c 存在，则称连分式( 1 1 1 ) 是收敛的，c 称为连分式( 1 1 1 ) 的值； 否则称连分式( 1 1 1 ) 是发散的。 1 i 2 连分式的基本性质 性质l ；设。= 1 ，昂= 6 0 ，o - ，= o ，幺= 1 ，则对片l 有： 1 只= 吒o i + a f i - 2 q = q 一。+ 靠： 2 ( 1 1 5 ) 性质2 ：若对1 s i ”时，有q 0 ，则 q = + 扣) l + 1 酱。 ( 1 1 6 ) 性质3 ：连分式k ( a b ) 和置( 矿b ) 是等价的，当且仅当存在一个非零常数序列 征 使得 西= r j r , 一l a j ，耳= 鸠，i f f i l ，2 ， 性质4 ：设对所有的i = o ，1 ，2 ，3 ，有a j o ，包 o ，岛q ，则连分式( 1 1 1 ) 收敛。 性质5 ：茬= l b , l - l a , i + 1 ，( f 1 ) ，则连分式鲁+ 尝+ 百a 3 + 收敛，且对于第n 阶渐近分 式“，有i c n i 1 ，q 1 ) 。 1 2 有理函数插值 1 2 1 有理函数插值的一般提法 设，乃) ，o = 0 ，l ，聊+ 胛) 是与y = ( 功有关的m + n + 1 个型值点，其中 毛，( f = o ，1 ，m + 行) 互异，乃= ，( 薯) ，q = o ，l ，r e + n ) ；p ( 工) = q 一，q ( x ) = b , x ， 所谓有理插值问题，就是寻找有理分式函数 u 加舞= 嚣搿， ( 1 2 m 使之满足 毛鹏) - 器( 讪产o ，l 朋蜘 ( 1 2 2 ) 此时，称x o ，毛，+ 。为插值节点，y l = ，( 葺) ，( f = 0 ，1 ，m + ”) 为型值，( 1 2 2 ) 式为插值条件，毛。( x ) 称为插值函数，厂 ) 称为被插函数，( x ) = 厂( x ) 一如，( z ) 称 为插值余项。 对于有理插值问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的解，人们往往通过求解下列线性方程组 得到： a o + q + + 薯朋一y , ( b o + 6 i 毛+ + 吃薯”) = 0 ，o = o ，1 ，m + r t ) 。 ( 1 2 3 ) 然而，有理插值问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的解不一定总是存在的，而且满足( 1 2 3 ) 的解不一定满足插值条件( 1 2 2 ) 。大量的文献对于有理插值问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 解的存在唯一性给予了研究：如n m a c o n 和d e d u p r e e 在 1 0 】中研究了有理 插值问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的解的存在唯一性；在文献 1 0 】中利用n e w t o n 插值多项 式，给出判别有理插值问题( 1 2 1 ) ，( 1 2 2 ) 的解是否存在的另一个方法。 1 2 2 一元t h i e l e 型插值连分式 由1 2 1 节的介绍可知，要想得到有理插值函数的显示表示，需要对于每个具 体问题解一个齐次线性方程组。下面介绍一种有理插值函数算法t h i e l e 型 3 连分式插值算法，作为一种有效的有理插值算法，它被广泛地应用于数值逼近 1 0 l 、图像处理8 1 “。 定义1 2 1 称下述形式的连分式 6 0 + 千+ 寻孚+ ( 1 _ 2 棚 为t i f f e l e 型连分式们。 定义1 2 2 设z = 而i f i n 是复平面上一点集，( x ) 是定义在g ( g 3 z ) 上的函 数。令 妒【薯】= f ( 而) ，i = 0 12 ， 【l - 2 ，) t ? x p ，】2 丽x q - - x p ， ( 1 2 6 ) 妒，矿，毛】2 瓦i 五i x k - - 而x k _ 1 磊而，( 1 2 7 ) 称由上述公式确定的研，而，x k 为函数厂o ) 在点x o ，而，而，屯处的七阶逆差 商。 定理1 2 1 设 删哪寻+ 寻+ + 学2 器， 2 固 贝l jd e g = 孚 ，d e g q = 卧其中d e g 表示多项式的最高次数咖】表示不超过 定理1 2 2 设 r ( x ) 。妒 】+ 丽x - x o + 赫+ + ；i i x j 一而x n _ i ，( 1 2 9 ) 其中伊k ，黾，黾】o ，哆( _ j = o ，1 ，”) 为， ) 在而，_ ，以处的七阶逆差商，则有 r ( 墨) = “) ，i = o l ，1 州。 定义1 2 3 如果连分式 删却寻+ 寻一孚， 满足心( ) = ，“) ，o = 。，1 ， ) ，则称该连分式为函数( z ) 的 _ n + 厂l j n 型矗i e i e 插值连分式。 定理1 - 2 3 函数，( x ) 的 孚司型t h i e l e 插值连分式是唯一的。 4 定理1 2 4 设 x 0 ，x i , - - , 毛 c a , b cr ，八力在k 6 】上有直到n + l g t 的导数，若 酶) 却千+ 寻+ + 争= 舞， 满足r “) = ，“) ，i = 0 ，i ，片，则、7 x e a ，6 】，均3 f e s ( x 0 ，而，矗，x ) ，此处 s ( x o ，x l , - - , ，x ) 表示包含，x l , - - , 毛及x 的最小开区间，使得 删一删= 繁 其中呒+ 。o ) = o 一而) o 一毛) o x n ) 。 1 2 3 t h i e i e w e r n e r 型有理插值2 1 1 艚1 崤铲l 0 + 1 ) !i w e r n e r ( 1 9 7 9 ) 提出了一种有效、可靠的有理插值方法，即将n e w t o n 插值思 想和t h i e l e 型连分式结合起来，构造出了灵活而稳定的t h i e l e w e m e r 型有理插 值公式。 给定一个实的或复的插值点集x = ，而9 1 19 毛 以及插值函数值集合 j ，= f ( x o ) ，f “) w 1 9 ，( 矗) ) ，其中，五，互不相同。将z 分为t + 1 个子集 ，+ ， ， h ，。， ，需要时可先将点重新排序后再划分子集。显 然有罗( 屯一吃+ 1 ) = 栉+ 1 。w e r n e r 考虑了推广了的t h i e l e 型连分式，即 磊 彤 ) - p o ( x ) + 4 鬻+ 篇+ + 锗， ( 1 2 1 0 ) t 这里致o ) = 兀。一) ，s = o ，1 ，t - 1 ，由插值点，。，k 构成；p a x ) 是在插值 - - 屯 点h ，+ l ，上插值于尸 ) 的n e w t o n 插值多项式。设糟( 为) = 厂( ) ，上面 连分式的迭代构造中每一步所需数据定义如下： ，“( 而) 2 尹瓦a l a 两x , ) 丽。( 1 2 1 1 ) 可以看出，这种t h i e l e w e r n e r 型有理插值公式在构造具体的插值函数时非 常灵活。插值点有不同的分划，w a x ) 就可以任意构建，r 和曰( z ) ( 0 f t ) 随插值 点不同的分划而变化。不难得到，t h i e l e 型插值连分式形式也被包含在 t h i e l e w e m e r 型有理插值公式中，此时只要令q ( x ) = o t ) ，= 0 ，1 ，一一1 ，但 t h i e l e w e r n e r 型有理插值公式不仅仅是t h i e l e 型插值连分式的简单推广，它可 以克服构造t h i e l e 型连分式化成有理分式时可能无解的缺点，如果插值问题本 身是有解的，则利用它总能构造出稳定的插值函数。 1 2 4 切触有理插值 切触有理插值问题最早是由h e r b e r te s a l z e r 删于1 9 6 2 年在“n o t eo n o s c u l a t o r yr a t i o n a li n t e r p o l a t i o n ”一文中提出的a 近些年来，切触有理插值， 5 包括有理样条得到了人们的重视m ”“。在 9 】中较系统的介绍了解决一元切 触有理插值和样条问题的各种算法，包括s a l z e r 算法，e u l e r m i n d i n g 公式， w u y t a c k 算法等。切触有理插值是类似于多项式插值中的h e r m i t e 插值的一种 插值，即设己知 为 ， z = ， k = o ，l ，毛一1 ，f = o ，l ，工 所谓切触有理插值问题就是寻求有理分式函数黑r ( m ，胛) ，使得： 2 u j ( 烈舞l 钟，脚 矿l ，工n 2 加， 其中埘+ 栉= x s t - 1 。将( 1 2 1 2 ) 线性化得到： p ( 而) = ( 厂( d q ( x ) ) 耻( ) ，k = o ，1 ，一1 ，f = o ，1 ，_ ，( 1 2 1 3 ) 设p ( 力= q 一，) = 包x 。，则( 1 2 1 3 ) 式是一个由m + n + 1 个方程组成的，含有 r e + n + 2 个未知数的齐次线性方程组，故必有非平凡解。 定理1 2 5 删若切触有理插值问题( 1 2 1 2 ) - 于r ( 研，疗) 有一解，则此解必唯一且等 于的( 鸭功切触有理分式尼。( 劝。 h e s a l z e r 、l w u y t a c k 4 9 1 和g c l a e s s e n s 叫1 分别用下列三种连分式来解决 切触有理插值问题( 1 2 1 2 ) ： i 6 i 。+ x - x , 兰玉兰玉x - - x 2 兰兰x - - x 2 x - - x n _ ! 叫 岛，l + + b l ，i - l + 6 2 o + 6 2 1 + 十6 i i + 岛 o + +“一 盟x - x + 玩。l + + 一l c i + c i ( x y o ) + + q ( x y o ) ( x 一儿一- ) + 三b 兰二2 鱼掣+ ! 掣 鱼! 垡二毖2 1 +1+ 1 1 i 岛+ c i p 训+ ( x 训( z 嘞) + 型垫掣+ 爷 ! ! 二盛：丝兰二塾2 2 三二墨芷 薪“+ “+ 其中连分式i i ，n l 是取其渐近分式作为有理插值公式。 对于连分式i ，给出满足插值条件r 。 k ( 薯) = 厂( 毛) ，k = o ，1 ，蜀一l ，f - i ，2 ，玎 的系数6 ，。，的算法【1 0 1 ： 第一步：计算b l k = o ，1 ，一1 ，记d = ， 6 令 仍o ( x ) = ，( 功，岛o = 馈m ( 而) ，仍。( 功= ( z 矿o ) ) ，6 l i = 吼i ( x o ， 当k 2 。 岛 = 七( d 仍 。l ( 毛) ) ，仍j ) = 岛j + 仍j i ( 工) 第二步：计算b 2 ，t 。k = o ，l ，屯一1 ， 鼢若+ 杀哥+ 而x - 丽x i ，+ 6 2 。o = 致p ( 屯) ，仍j ( 工) = ( ，o ( 工) ) 一，6 2 j = 仍1 ( 而) ， 当k 2 2 如 = 毒( d 经纠( 而) ) 一，仍j ( 力= 岛j + 鲠j 一2 ( 力 第，步：计算6 “，k = 0 , 1 ，岛一1 ， 3 ，筇， 吣) 2 j x i x i _ i + j x - - i x l _ ! 一与等若百x - x m + 焉弓希， 6 ，_ = 卿m ( 而) ，仍。1 0 ) = ( d 卿p ( x ) ) 一，岛j = 卿1 ( 而) ， 仍 ( 功= 6 + 仍j i ( 力，6 ，j = k ( d q 口t 一i ( x d ) - l , ( 七22 ) 上述系数算法具有连分式所特有的循环，递归的性质，适合在计算机上进 行计算。 1 3 基于连分式的多元有理函数插值 多元有理函数插值问题是一元有理函数插值问题的自然推广，但由于点集 的复杂性，且多元多项式的次数定义不统一使得多元有理插值问题比一元情形 复杂的多。 设似，y ) 为定义在平面有界区域d 上的连续函数， x o ，x l ， 和 y o ，y l ， 为 实数或复数点列( 不必互异) 。所谓二元有理插值问题，乃是求二元有理分式函 数： 脚加嬲， ( 1 3 - 1 ) 其中( 善，力，膨如力或如力& ，m c x , y ) p 毛磊，使之满足插值条件： 她堋= 粼= ，( 砌) ，l = 0 ，l ，m 刎，l ，胁 下面介绍几种建立在连分式基础之上的多元有理插值格式。 1 3 1 二元t h i e l e 型分叉连分式插值 这里介绍一种纯非线性的多元有理插值格式，即二元t h i e l e 型分叉连分式 插值。令n ：；c a c r 2 是矩形域上的矩形网格，f ( x ，_ y ) 是定义在矩形域上的 实函数，记厂( 五，乃) = 五，i = 0 ，l ，m l9 万，y = o ，i ，m a 7 定义1 3 1 3 6 1 如；咒) 2 左， 翰。( 为，弓；以) 2 瓦忑i 瓦等云忑i 历 + - 一( h ， 而，_ ；儿2 ；i i i j _ j ：j i 瓦 * 了t - - i “嚣1 j ；：_ i i 而。1 蛳，h ；几，乃卜石瓦i i 券薏瓦i 丽， 纯。l ，靠；，n ，乃) = 二皂二当二- 一，( ，1 ) ， 仍，( ，j ，x p ；y m ，儿) 一纪，( 靠，x p ；y , ，y t ) 。 若对于 ，b ，屯) c i - i ：和 y q o ， c n ；，仍，( ，x p ；y 。o ，) 存在， 则称为f ( x ，_ y ) 的第( f ，) 次偏逆差商。 w s i e m a s z k o 在文【3 6 】中构造了如下形式的二元t h i e l e 型分叉连分式 u 训) = 嬲= 6 0 + 赫一锗，( 1 s 2 ) 其中 6 j ( y ) = 仍。( ，墨；) + 瓦忑石j y _ - i y o 而+ + 瓦i i _ y i - - i y 5 m - i i 丽，f = o ，疗 1 3 2 混合型有理插值 当二元被逼近函数对一个变量有线性特征而对另一个变量有非线性特征 时，二元混合有理插值比纯线性的二元n e w t o n 插值和纯非线性的二元t h i e l e 型分叉连分式插值有更好的逼近效果。在文献 3 9 4 1 4 2 4 3 】中，得到了 n e w t o n t h i e l e 型、t h i e l e - n e w t o n 型混合型连分式插值格式，并给出了相应的 插值算法和误差估计。这里只介绍n e w t o n t h i e l e 型有理插值的构造思想。 记 瓦= ，弓，而 亡【圾6 】c r ，j 二- - y o ，乃，儿 c f g j 】c r ， 兀。，= k 】：1 2 ( 弓，乃) j 而z ：，乃，i = o ，1 ，加；_ ，= o ，1 ，月 ， 并设f ( x ，y ) 为给定的在【口，6 】【c ，d 】上有定义的函数。 定义1 3 2 称 n t ( x ，y ) = 瓦( y ) + 五( y ) ( x 一) + 五( y ) ( x x o ) ( x 一而) + + 已o ) 一) 一一i ) 为n e w t o n t h i e l e 型插值公式，其中 3 z ( y ) = 诃而，五；】+ ：_ y i ：- i y 丽o q l x o , 4-p：。lxo_,i姜yl,y：j+(i33) ，五；，咒j，而；儿， + 、 了上监b ，( f = 0 , i ，m ) ， 纠，乃】= 厂( 薯，y j ) ，k ，e k ， 研葺；，乃，乃卜面瓦i 石万y j - - 丽y j - 磊ii 而， 。，研，而- 2 ，t ；y ，卜研，薯- 2 ，札i ；y ，】 伊l ，薯；y ，j 2 一， 。一而1 ( 1 3 。4 ) 饥，而；，乃卜丽石_ 了i 瓦j _ 巧：歹y 丁j - - i y 函j - i i _ i 五i _ 了厕， 称( 1 3 4 ) 式中的烈而，x ，；y o ，乃】o = 0 , 1 ，m ；= o ，1 ，珂) 为f ( x ，力在 x o ，x 6 y o ，y ， 上的n e w t o n - t h i e l e 型二元逆差商。 定理1 3 1 由( 1 3 3 ) 和( 1 3 4 ) 式定义的n e w t o n - t h i e l e 型有理插值公式满足 插值条件 a f t “，乃) = ( ，y j ) ， a = 0 ，l ，m ；，= o ，i ，玎) 。 注：具体的证明过程及其它性质可参考文献 3 9 1 、【4 1 】。 1 4 本文的主要内容 在已有成果的基础上，本文提出了几种基于连分式的二元混合切触有理插 值方法。全文内容安排如下，其中从第二章开始是作者的主要研究结果。 第一章对连分式的基本理论、一元有理函数插值、一元切触有理插值、多 元有理函数插值以及多元混合有理插值问题进行了综述。 第二章在连分式理论的框架下，采用分叉连分式的方法，根据文章中定义 的二元切触有理插值的定义，利用一元t h i e l e 型连分式切触有理插值 的思想，分别在x 轴和j ，轴方向采用t h i e l e 型连分式，将t h i e l e 型二元 分叉连分式推广到二元切触有理插值中，构造了一种矩形网格上的 t h i e l e t h i e l e 型二元分叉连分式切触有理插值公式，给出了系数算法， 讨论了所构造公式的有理性质及其对偶定理，最后给出数值例子说明 这种方法的逼近效果。 第三章在多元混合连分式有理插值思想的基础上，将一元n e w t o n h e r m i t e 插值多项式与一元t h i e l e 型切触有理插值结合起来，构造了一种矩形 网格上的二元混合切触有理插值公式，并给出相应的系数算法和差商 表，讨论了这种插值的误差估计，数值例子显示出了构造公式的逼近 效果。 9 第四章 第五章 推广的n e w t o n 插值多项式与t h i e l e w e m c r 型有理插值相结合，构 造了一种在矩形网格上的二元混合t h i e l e - w e r n e r 型切触有理插值公 式，给出了系数算法，并对其插值性质给予了证明。研究了二元混合 t h i e l e w e r n e r 型切触有理插值的特征性定理，对所构造的切触插值 公式做了误差估计，给出了数值例子。 对全文做总结，并对今后的研究工作提出了浅显的想法。 1 0 第二章t h i e l e t h i e l e 型二元分叉连分式切触有理插值1 2 1引言 波兰学者w s i e m a s z k o 圳”1 p 6 1 提出了不同类型的二元分叉连分式插值格 式；根据给定的型值点及相应的导数值，s a l z e r l 3 3 1 构造了一元t h i e l e 型切触有 理插值公式。本章在上述研究的基础上将二元分叉连分式的思想与t h i e l e 型切 触有理插值公式相结合，构造出了t h i e l e t h i e l e 型二元分叉连分式切触有理插 值公式，并给出系数算法、对偶定理和数值例子m 】。 2 2t h i e l e - t h i e l e 型二元分叉连分式切触有理插值的构造 令以= ，而， c 【口，明c r ，】：，= y o ，弗， c p ，卅c r ，兀翟= k x e ， f ( x , y ) 是定义在d = 【a ，加【c ，明上的二元函数。我们的目的是构造一个有理函数 使其在插值点处插值于函数厂q ，y ) 的函数值及偏导数值。首先对于二元混合切 触有理插值给出如下定义： 定义2 2 1 m 1 令足( 马y ) = 并篆等， q 1n ( x ，力和m ，j ，) 是多项式函数 若有 地圳= 嬲- ，( 协 丝燮b)-()飘o(n(x,川y)爪llaxg ( x枷晰j ，) - 舭m ( 2 2 i )l ( x ，y ) = ( 薯，y ，) 良k，y ) 爪x ，力= “，j ，) “” 。 塑笋b ) _ ( ) = 茜( 案m ( x 非吨圳叫枷 砂 i ( x ，y ) = ( ，乃) 砂i，y ) j l ( x ，y ) = ( 而，y ，) 。7 ”7 v ( 五，) ，) y i 。n l j i ，则称r ( x ，y ) 为二元混合切触有理插值函数。 定义2 2 2 对于给定的工，令 i x ，x ；力= 正0 ，力，v u ，力e 历 腑删2 面丽y q - - y p ( 2 2 2 ) 他硼，y ，蒯2 不瓦忑差差而而， 其中o p k ，p , k 是非负整数。则称m ，x ；y o ，y p ，儿】为函数正( 工，j ，) 在i - l 孑上 关于y 的t h i e l e 型逆差商。 下面将构造具有如下形式的t h i e l e t h i e l e 型二元切触有理插值公式