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硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 摘要 汇率目标区域是2 0 世纪9 0 年代以来，国际金融界最受重视与争议的汇率课题之一。 本文将汇率目标区域下的扩散模型应用到中国，探讨人民币对美元的汇率满足的扩散方 程。 首先，选择两种目标区域下的汇率扩散模型，并给出这两种模型的统计特征，为后 面的参数估计和实证分析作准备。 其次，对上述提到的两种模型分别用鞅估计方法和基于条件矩的g m m 方法对模型 进行参数估计。通过数值模拟得出，基于条件矩的g m m 方法要优于鞅估计方法的结果。 然后选用人民币对美元的汇率数据在两种模型下进行参数估计和拟合。由于第二种模型 估计出的人民币和美元的相关系数失真，从而第一种模型更适合我国的短期汇率市场。 最后，我们研究两种模型下的外汇期权定价。对于期权的定价一般采用鞅方法，本 文采用套期保值的方法给出了两种模型的欧式不支付红利、欧式支付红利以及强路径依 赖的亚式外汇期权满足的偏微分方程。并初步研究了波动率服从c i r 模型的目标区域下 的汇率扩散模型的欧式外汇期权定价。 关键字：汇率目标区域，汇率扩散模型，中心汇率，g m m 方法，鞅估计方法，外汇期 权定价 硕士论文 a b s t r a c t a b s t r a c t s i n c et h e9 0 si i lt h e2 0 t hc e n t u r y , t h ee x c h a n g er a t ei nat a r g e tz o n e w a so n eo ft h em o s t i r n d o n a m 鲫dc o n t r o v e r s i a li s s u ea b o u tt h ee x c h a n g er a t e i nt h ei n t e r n a t i o n a lf l n a n c l a l c o m m 咖j 够i nt h i sp a p e r , d i f f u s i o nm o d e l sf o re x c h a n g er a t ei na t a r g e tz o n ea r ea p p l l e dt o c h i 眠mo r d e rt oe x p l o r ew h i c hd i f f u s i o nm o d e lt h ee x c h a n g er a t eo fr m b a g a i n s tu s d o l l a rt os a t i s f y f i r s to fa 1 1 w es e l e c tt w od i f f u s i o nm o d e l sf o re x c h a n g er a t ei nat a r g e tz o n e ，a n ds t u d y t h es t a t i s t i c a lc h a r a c t e r i s t i c so ft h e mt om a k ep r e p a r a t i o nf o rt h ep a r a m e t e re s t i m a t l o na n d e m p i r i c a la n a l y s i s s e c o n d l 恤a b o v e - m e n t i o n e dt w om o d e l sw e r ee s t i m a t e du s i n gm a r t i n g a l ee s t i m a t i o n 脒加da n dt h eg m mb a s e do nt h ec o n d i t i o n a lm o m e n t s t h r o u g hn u m e r i c a ls i m u l a t i o n ，啪 e d u c e 1 a tt h eg m m b a s e do nt h ec o n d i t i o n a lm o m e n t si s b e t t e rt h a nt h em a r r i n g a l e e s t i m a t i o nm 甜l o d t h e nw ec h o o s et h ee x c h a n g er a t ed a t ao fr m b a g a i n s tt h eu s d o l l a rt o e s t i m a ：t ed a r a i n 酏e r sa n dd r a wt h ef i t t i n gp i c t u r e s a sar e s u l to ft h ec o r r e l a t i o nc o e f f i c i e n t e s t i m a t e di i lt h es e e o n dm o d e li so u to fd i s t o r t i o n ，s ot h ef i r s tm o d e l i sm o r es u i t a b l ef o rt h e c h i n e s es h o r t - t e r me x c h a n g er a t em a r k e t f i 舱1 1 y ，w es t u d yt h ef o r e i g nc u r r e n c yo p t i o np r i c i n ga b o u tt h e t w oa b o v e - m e n t i o n e d m o d e l s ( k n e r a l l y ，t h eo p t i o n i sp r i c e du s i n gt h em a r t i n g a l em e t h o d i nt h i sp a p e r ， n o n - p a y m e n to fd i v i d e n do fe u r o p e a no p t i o n s 、e u r o p e a no p t i o n t op a yd i v l d 髓da n ds t r o n g p a md e p e n d e n c eo ft h ea s i a nf o r e i g ne x c h a n g eo p t i o n sa r ep r i c e d u s i n gt h em e t h o do f h e d g i n g ht h ee n d ，w ed e r i v et h ep a r t i a ld i f f e r e n t i a le q u a t i o n t os a t i s f ya b o u t 也e m a n d 玳 p r e l i m i n a 巧s t u d yt h ep r i c i n go f t h ee u r o p e a nf o r e i g ne x c h a n g eo p t i o ni nt h ed l f l u s l o nm o d e i f o re x c h a l l g er a t ei nat a r g e tz o n ew h i c h t h ev o l a t i l i t ym e e t st h ec i rm o d e l k e yw o r d s ：e x c h a n g e r a t et a r g e t t h ec e n t r a lp a r i t y ，g m mm e t h o d ， f o r e i g nc u r r e n c yo p t i o np r i c i n g z o n e s ，d i f f u s i o nm o d e lf o re x c h a n g er a t e ， m a r t i n g a l ee s t i m a t i o nm e t h o d ， 声明尸明 本学位论文是我在导师的指导下取得的研究成果，尽我所知，在 本学位论文中，除了加以标注和致谢的部分外，不包含其他人已经发 表或公布过的研究成果，也不包含我为获得任何教育机构的学位或学 历而使用过的材料。与我一同工作的同事对本学位论文做出的贡献均 已在论文中作了明确的说明。 研究生签名：蛀 吵年多月形日 学位论文使用授权声明 南京理工大学有权保存本学位论文的电子和纸质文档，可以借阅 或上网公布本学位论文的部分或全部内容，可以向有关部门或机构送 交并授权其保存、借阅或上网公布本学位论文的部分或全部内容。对 于保密论文，按保密的有关规定和程序处理。 研究生签名：盏延硷 。j 年6 舄7 尾 硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 1 绪论 1 1 论文的研究背景 2 0 世纪7 0 年代布雷顿森林体系崩溃后，西方国家都开始实行浮动汇率制度。其后 的十几年间，主要货币之间的汇率波动剧烈，不仅影响了正常的国际贸易，也引起了全 球汇市动荡。因而很多学者对于浮动汇率制度产生质疑的态度，其中西方学者以 f r a n k e l t l 0 1 和g o l d s t e i n 1 2 1 3 1 为代表，我国以雷志卫【4 5 1 为代表。在这种背景下，针对浮动 汇率制度所存在的弊端而创立的汇率目标区域理论逐渐引起广大学者的注意。 汇率目标区域 2 , 2 6 , 3 5 - 3 9 1 是2 0 世纪8 0 年代以来，国际金融界最受重视与争议的汇率理 论课题之一。简单的说，汇率目标区是指一国允许其汇率在一个特定的区间内进行波动， 一旦汇率波动超出这个区间，货币当局也就是中央银行就要进行干预。汇率目标区制度 兼顾了固定汇率制的稳定性和浮动汇率制的灵活性，而且从欧洲货币体系( 典型的汇率 目标区) 基本上成功运行可以看出汇率目标区在现实中也具有可行性。汇率目标区域有 广义与狭义的两种含义。广义的汇率目标区是指一种界于固定汇率制与浮动汇率制之间 的一种汇率制度，它将汇率浮动限制在一定区域内。狭义的汇率目标区是指美国学者威 廉姆森1 2 副于2 0 世纪8 0 年代初提出了以限制汇率波动范围为核心的一整套的国际政策的 协调方案。 随着我国经济的逐步市场化，1 9 9 4 年以来我国在外汇管理采取了积极的改革措施。 1 9 9 4 年1 月1 日，我国汇率并轨，采取了强制结售汇制，人民币汇率由银行间外汇市场的 供求决定，实现了经常项目下有条件的可自由兑换。1 9 9 4 年人民币略有升值，但是波动 幅度相当的有限。2 0 0 2 年以来，由于目前人民币汇率水平过于刚性，加上我国拥有的 外汇储备持续增加，世界各国要求人民币升值。2 0 0 5 年以来人民币相对美元升值的幅度 不断增大，因此有关人民币汇率制度的探讨也在一直进行。为了保证人民币稳定的升值， 我国有必要借鉴欧洲货币体系的汇率目标区域，使得人民币外汇能够在合理的目标区域 内运行。 在经济进一步开放的中国，研究汇率目标区制度是否可行以及实行后可能给中国经 济稳定发展带来的影响具有很重要的现实意义。 此外，关于外汇期权的定价研究一直是金融数学中的中心课题。所以我们很有必要 给出标的资产服从目标区域下的汇率扩散模型的外汇期权的定价模型。 1 2 国内外研究的现状 关于汇率的模型主要有三套理论：一是购买力平价理论，二是均衡汇率决定模型， l 绪论硕士论文 三就是随机的汇率模型。 购买力平价理论是一种最古老的汇率理论，早在1 6 世纪就出现了该思想的萌芽。 1 8 0 2 年，英国经济学家桑顿最早提出购买力平价思想。1 9 1 6 年，瑞典经济学家卡塞尔【2 7 】 将它系统化正式提出了购买力平价学说。该学说采用一国货币的国内购买力来确定各种 货币之间比价问题，其核心要点是：汇率由两国货币的购买力决定，取决于本国价格和 外国价格水平的比率：汇率的变化率由本国通货膨胀率和外国的通货膨胀率之差决定： 一国货币对内贬值必然意味着对外贬值，对外贬值也同时意味着对内贬值。 购买力平价理论的基础是一价定律，而价定律要求同一种物品在任何国家的价 格按照汇率换算后都是相同的，而这与实际非常不符。并且在实证研究中，购买力平价 理论并不能完全、准确地解释汇率变动。 为了克服一价定律的限制，1 9 3 5 年k e y n e s t l 4 1 首次明确提出均衡汇率的概念。罗伯 特鲁斯卡【3 , 2 1 于1 9 8 2 年提出了一般的均衡的汇率决定模型。 进入9 0 年代，以鲁斯卡为首的一些经济学家又在一般均衡模型的基础上引入现金预 付约束，形成了汇率决定的流动性模型。 而现实的经济活动中，每个经济变量都具有一定的随机性。1 9 9 1 年克鲁格曼利用随 机过程转换方法研究汇率问题，开创了随机方法应用于汇率研究的先河。近年来，随着 随机分析理论的逐步成熟与发展，随机方法越来越广泛地应用于金融经济学的诸多研究 领域。克鲁格曼【l8 】在1 9 9 1 年给出下列汇率模型： q = k ( f ) + a e a e , it p ( t ) i 】衍 d k ( t ) = r d r + c r d w t 其中p ，代表汇率，e 是期望算子，k ( t ) 为基础变量，妒( ，) 为信息集，a 是国内货币供应 量对利率的半弹性，7 是常数表示基础变量可预期的变动，仃2 为一常数，表示单位时间 内k ( t ) 增长的方差。 1 9 9 4 年c h e u n g 和y e u l l g 【6 】进一步基于购买力给出了一种汇率模型： d p ( t ) ：r ( f ) d t p ( f ) 搬( f ) = - a r ( t ) - f l 1 n p ( t ) - l n p ( r ) 】 衍+ c r d w ( t ) 其中p ( t ) 表示实际汇率，p ( f ) 是相对购买力，r ( t ) 为投资者所获得的超值回报率，其 余为常数。 2 0 0 0 年王树禾和侯定丕【4 2 】考虑到进出1 ：3 贸易和实际利率，并假设汇率与两国的实际 利率差成指数关系，得到了下面的汇率模型： 2 硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 d e , = 够+ 允 d ( q ) 一s ( e , ) d t + e r e , d e 其中q 代表汇率，s ( q ) 代表t 时刻外汇的供给，d ( q ) 代表t 时刻外汇的需求，彬是标准 的布朗运动，r 是实际连续利率差，a 是需求和供给的差对汇率的影响因子，是一个正 常数。 在上述模型的基础上，考虑到实际中两国货币的无风险利率或通货膨胀率具有不确 定性，同时，国民经济增长率也是一个影响汇率的重要指标，从而假设利率r 是一个随 机过程识，0 ， 0 ， z 0 ，仃 0 。当五 m 时，漂移项是负的，那么z 就有向下运动的趋势；当置 0 ， z 0 ，仃 0 ，两种货币的相关系数y ( - 1 ，1 ) 。在这种模型下，汇率的对数的长期水平 不再是中心汇率的对数m ，而是朋+ y z 。因此当置 m + y z 时，漂移项是负的，那么z 就有向下运动的趋势；当置 m + y z 的时候，漂移项就是正的，那么墨就有向上运动 的趋势；而当五= m + y z 的时候，漂移项为零，说明置具有保持不变的趋势。这也说 明了在该模型下汇率的对数同样具有均值回复的特征，只是最终回复到m + y z 。p 代表 均值回复的速度，p 越大，那么x t 在偏离聊+ t z 后的回复速度就越快。而扩散系数 o x z 2 - ( x , - m ) 2 保证了汇率的对数是在目标区域下运行的。而在该模型下由于加入了 参数，使得该过程并不是一个对称的过程。 定理2 2 1 设置服从( 2 2 1 ) ，记r = 五- m ，从而方程变为： 矗z = 一p ( z - y z ) m + 仃4 z 一( r ) 2 d 彬 则在市场概率测度下，对给定的r ，z + 。的条件期望、方差和三阶中心矩分别为： e ( z + ) = e - , , h v , + 】，z y z 匆一肋( 2 2 2 ) ( = e - a 2 h - 1 沪6 r 2 “1 _ e _ ( 0 2 + 2 p ) h c r 2 z z 2 万 3 ) 蚴t , ) = e - 3 ( ，1 2 h - 1 矿气3 + _ _ e - ( 3 v 2 + 2 p ) h 矿飞舞 ( 2 2 4 ) + 1 - - e - 0 ，2 + 2 0 ) h r 2 虿3 p 历y z 证明：利用i t o 公式可以得到： 9 2 目标区域下的汇率扩散模型的统计性质硕士论文 d e 艺= p e 艘y d u + e 线 ：p e p “y , d u + p p “( 一j d ( e y z ) d t + c r 扛研呒) = p t z e p ”如+ e p c r 正面睨 在( f ，t + h 】上积分可以得到： f + h 一 z + 。- - e - a h y t + ，p 一肋仃z 2 一( 艺) 2 d 呒+ y z - y z e 一肿 从而可以得到： e ( r + ) = e - p h r , + y z 一，z 匆一肋 t + h f a r , o ；+ 。) = e s 乙= e - 2 p h o r 2 ，p 2 肿o - 2 z 2 一互( 艺) 2 ) d 睨 令( 西) - e 2 卵r a r , ( r , + 。) ，联合上述方程可以得到： 去m ) = 可2 m ) + o r 2 e 2 p h z 2 誓) 们) = o 所蝴炉 e - a 2 h - - 1 啪e 2 p h _ e - a 2 h ) = e - a 2 h - - 1 孵一篇w 肋叫而0 - 2 2 2 代i x f ( h ) = e 2 p h v a ，；( y e + 。) 可以计算得到： ( = e - a 2 h - - 1 炉6 r 2 “1 _ e _ ( o 2 + 2 p ) h o 2 2 2 2 万 由i t o 公式得 d ( e 肚艺) 3 = 3 ( g 刖艺) 2 d ( p p “艺) + 3 仃2 e 3 k ( z 2 一野) 如 l o = 3 ( p 肚k ) 2 ( p z z e 肚咖+ e p u o - 止歹面w , ) + 3 c r 2 e 3 p y ( z 2 一彳) 砌 = 3 艺2 c 3 p u 仃扛丽呒+ ( 3 2 3 p u 艺( z 2 一y 。2 ) + 3 ：v z e 3 艘坪) d u 睨 d 、，、l ， 匕 ， 隐一 2 y 卜 烈 五 p一 2 z ，- k ， 仃 咛 扣 烈 2 p 岫rj， 2 仃 p 之 p = 硕士论文 目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 令g ( 办) = e 3 p h e t ( y t 3 + ) 对上面的式子两边关于h 求导得 导g ( 厅) = 3 a 2 e 2 肿z 2 e - g ( h ) + 3 p y z e 2 舢z 2 口挖 = 3 p r z e 2 肿z 2 + 3 仃2 e 2 肋z 2 r 一3 仃2 9 ( 办) 从而 鲋) = 糍e - 3 盯z h + ( 3 墒伽y z r , 2 矿3 以等 又因为戳( r + 。) = 巨 ( z + 。一e ( r + 。) ) 3 】 从而 踯j = e - 3 a 2 h - - 1 冉 1 - e - ( 3 0 2 + 2 p ) h ) p - 肿z 鼍+ l _ e - ( 3 a 2 + 2 p ) h 矿肿】：2 而3 p $ z 定理证完。 引理2 2 2 ( 文献【1 7 】) 在扩散模型( 2 2 1 ) 下，当且仅当南；p ( 1 - y ) t r 2 1 和 镌= p ( 1 + 7 ) c r 2 1 同时满足的时候，扩散过程才具有各态历经性，并且置在 ( m z ，m + z ) 区域上满足参数为毛和如的b e t a 分布密度函数是： p ( x ) = ( z + 聊一x ) 南- 1 ( z 一所+ x ) ( k 2 - 1 ) ( 2 z ) 1 - 南一乞b ( 局，砭) ( 2 2 5 ) x ( 明一z ，m + z ) 其中b 是b e t a 函数。 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析硕士论文 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析 3 1 参数估计方法介绍 3 1 1 广义矩估计 广义矩估计( g m m ) 是基于模型实际参数满足的一些矩条件而形成的一种参数估 计方法，是矩估计的一般化。如果模型的设定是正确的，总能找到该模型实际参数满足 的若干个矩条件而采用g m m 。g m m 估计方法的思想就是选择参数估计尽可能接近理 论上的关系，把理论上的关系用样本近似值代替，并且估计量的选择就是要最小化理论 值和实际值之间的加权距离。 g m m 估计是一个稳健的估计方法，因为该方法不要求扰动项的准确分布信息，并 且允许随机误差项存在异方差和序列相关，所以所得到的参数估计量比最t j 、- - 乘法、工 具变量法、极大似然法更合乎实际。 设样本r 个矩为x n ，f = 1 9 * * o ，对应总体r 个矩为m ( 卢) ，f - 1 ，m ( p ) 为待 估总体参数卢的函数，且r 大于等于待估总体参数的个数，则最小二乘法参数估计量实 际上是使得欧式距离函数q ( 卢) = ( x n m n ( 卢) ) 2 达到最小的参数估计量卢。但是不 l - - i 同的矩起不同的作用，如果希望某些矩的作用大一些，这就想到加权最4 , - - 乘法、广义 最小二乘法，从函数空间距离角度，就是应用m a h a l a n o b i s 距离，写成向量形式，记 x = ( x 1 、，x 7 ) m = ( m ，m 7 ) ，则马氏距离定义为：q ( p ) = ( x m ) s “( x m ) 其中s 是关于( x m ) 的协方差矩阵，参数卢的g m m 估计就是使得q ( 卢) 达到最小的卢。 一般地，g m m 估计方法就是使得矩条件e q h ( 卢) 】_ 0 通过极小化目标函数 q ( 罗) = 胧( 多) 形- 1 r e ( p ) 其中权重矩阵w 为某正定矩阵，易一，是工具变量。 1 9 9 6 年m e d d a h i 和r e n a u l t 2 1 1 给出了条件异方差模型下的广义矩估计方法的理论。 在该理论中他们选取的矩向量为残差矩向量。q = z - e , 一。( z ) 就是残差。残差的矩向量 构造就是第n 行的值取为残差的n 次方与n 阶条件中心距的差值。为了得到参数口的表 达式，只要得出矩条件e 【吼一。鸭( 卢) 】= 0 的表达式就可以，从而离散形式就变成 1 2 硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 留h m ，( 卢) = 0 t = t ( 3 1 1 ) 这样当我们计算得到残差矩向量就只要确定鼻一。阶可测的工具变量g ，一。就可以得到参数 的估计方程。g o d a m b e 3 们和n e w e y 3 1 1 给出了残差矩向量对应的最优的工具变量吼一。的值， 即为 g f - 。珥。( ( 时1 其中v a t , 一。是协方差矩阵。 3 1 2 鞅估计方法 设扩散过程满足 五e = 6 ( 墨；臼) 衍+ 莎( e ；臼) d 形x o = x o ；t 0 ( 3 1 2 ) 这里的置和彬均为一维过程，b 和a 是光滑函数，参数9 是待估参数。定义忍为过程 五的概率，f = 仃( 墨is f ) 为标准的流域，定义局= bi 互为乞在c 的限制，如果扩 散系数仃( a ，x ) 中不含参数口且仃( p ，x ) 不为0 时，局；，和p o i ：，是等价的。此时，可以引进 似然函数 f f t t , o l = d p o _ , ；t ， 并且过程霹a 是一鞅。 给定过程五在【o ，丁】时段内的连续观察值工，f o ，刀，则似然过程鬈q 在t 时刻， q = 0 时，有 矿瑚咖e 坤t r 糌必一三j c r 鬻出， 为简便起见，对上式两边取对数，可以得到对数似然函数 m 堋) = f 鬻一i 1r 篱出 寻找使得l i l 岛 ) 最大的9 就缛到了所谓的极大似然估计。 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析 硕士论文 但是在离散情形的参数估计中，通过上述似然函数估计得到的参数0 不具有相容性。 从而选择对离散化的核函数做一个修正，使之成为一个零均值的忍一鞅。这个鞅可以看 作估计函数，也就是所谓的鞅估计函数，利用鞅的极限定理可以得出估计量具有相容性 和渐进正态性。 参看文献【4 1 】取修正值为： 窆t = l 岛 f f ( 日) “( p ) if - l 】= 喜端【f ( 置, - 1 ) a , 0 ) 一五i - 1 ) a - - a b ( 五i - 1 ) a , 0 ) 】 其中( 8 ) 是离散化的核函数，6 ，( 五8 ) 是6 ( 五8 ) 关于8 的一阶导数，并且 ，( 五f - 1 ) ，0 ) 暑毛 置al 誓，- 1 ) a 】 则得到一个零均值的鞅估计函数： 童= 喜糍卷艮姒i - 1 ) a , 0 ) 】 ( 3 ， 更一般地，考虑零均值尼一鞅估计函数族 q ( p ) = g h ( 五i - i ) ap ) 【如一f ( 五“) ，p ) 】 ( 3 1 4 ) 其中蜀一，是互一，可测的并且关于9 连续可微。在b i b b y 和s o r e n s e n b l 给出的观察值是 离散的扩散过程的鞅估计方法中已经给出了最优估计函数，就是 = 喜甏酱艮吼雌川， ， 其中f ( x ，0 ) 是f ( x ，0 ) 关于0 的一阶导数， 妒( 五t - i ) ap ) = 岛【( 五一，( 五) ，p ) ) 2i 墨“) = 1 ，2 ，玎 由最优估计函数q + ( p ) 得到的估计量在( 3 1 4 ) 中具有最小的方差。 对于多维情形，假设日为p 维的， 置) 和6 ( 置，口) 是d 维，仃是j 聊维矩阵并且r 正定的，布朗运动 彬) 是i n 维的，贝up x l 维鞅估计函数q ( p ) 和最优鞅估计函数q ( a ) 由 下面的形式： 1 4 q ( 臼) = 6 ( 五“) ，a ) r 阿( 五i - 1 ) ap ) p ( 五) 厶，9 ) ) 7 】_ 【如一，( 五“) ，口) 】 ( 3 1 6 ) ，= 】 硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 q ( a ) = f ( 五j - i ) a , p ) ，( 五i - 1 ) , xd ) - 1 墨a 一，( 五i - 1 ) ap ) 】 ( 3 1 7 ) i = l 在鞅估计方法中，当待估参数是多维的，并且待估参数的一部分只出现在扩散系数 中，那么上述的鞅估计方法产生的鞅估计函数导出韵方程个数就比待估参数要少。在这 种情况下，扩散系数中出现的待估参数就不能用鞅估计方法估计出来。在文献4 “1 1 中提 出，可以用更高阶的条件矩所生成的鞅估计函数进行估计。但是，考虑到目标区域下的 汇率扩散模型比较复杂，对于三阶以上的矩不容易计算。因此，我们将借鉴扩散系数的 非参数估计方法，对扩散系数中的波动率进行非参数估计。 3 1 3 扩散系数的非参数估计 方程满足 戤= 6 ( 工；o ) a t + c r ( x , ；p ) d 彬 设五，x , i ，k 是墨在【o ，邛时段内的观察值，但是我们要对扩散系数进行估计， 而观察值，五，。并不是扩散系数的样本。为了得到扩散系数的样本，我们首先利 用g i r s a n o v 定理做等价概率测度变换，将漂移系数消除。e 表示由 形，0 s f ) 生成的 仃代数流，p 是互在f 上导出的测度，取 呱) = 器 则徊( z ) ) 是f 的适过程。令 形2j j 臼( 五胁+ 形 z , = e x p 一f p ( 咒矽呒一吾f p 2 ( 五协) 多( 么) = 工a z , a e v a 巧 那么在等价概率测度p 下，扩散方程变为： a x , = 6 ( z ) d r + c r ( x , ) ( d 形- o ( x , ) a t ) = o r ( 置) d 彬 ( 3 1 8 ) 下面构造扩散系数c l r 2 ( 置) 的样本，将上式离散化后变为： 利用i t o 公式得到： i + l 气一五。= f 仃( 置谚 f = l ，2 ，刀 1 5 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析硕士论文 i + ls + l 疗( + 一) 2 = 力f 仃2 ( 置渺+ 2 ，z f ( 工一妙( 置矽彬 记s ，= 2 胛v ( x , -因为e ，= o ，因此我们在根据聆( + 一五) 2 估计 以f 仃2 ( 五渺的时候，就可以看做是白噪声。现在我们将问题转化为非参数的回归问 题 聆( “一置) 2 = ，z f 仃2 ( z 渺+ s ， ( 3 1 9 ) 定义 l ，f 4 - - -1 e ( z - ) = ，z 【”仃2 ( 丘) a u 一仃2 ( 墨) f 是f 停时，根据文献 3 3 中的方法，记 则( 3 1 8 ) 式就可以写作 】；= ，2 ( j 气一t ) 2 ，i = o ，1 ，刀一1 z = 仃2 ( k ) + 巳( t ) + s ，i - - o ，l ，, 一1 ( 3 1 1 0 ) 式中巳 ) 当作系统误差。从而问题就转化为，根据二维随机变量( x ，】，) 的观察数据 ( x 1 ，z ) ，扛o ，1 ，n - 1 ，对回归模型( 3 1 9 ) 中的回归函数仃2 ( x ) 的非参数问题，以上 参看文献 3 3 ，3 4 。 3 2 汇率扩散模型的参数估计结果 3 2 1g m m 方法的估计结果 1 、考虑f d w 模型 戤= 一p ( z m ) d t + c r 扛莉形 令r ：置一聊，从而方程变为：够= 一p y , d t + 仃= 歹面形 根据定理2 1 1 ，我们有： e ( z + 。) = p 叫z 1 6 硕士论文 目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 ( = e - 口z h - 1 冉 1 - p 巾2 伽1 毫 j = e - 3 0 z h - 1 矿3 肿娜 2 舭矿砂r 罴 所以非条件中心距是：e ( z ) = 。 v a r ( y , ) = 孑o - 2 z 万2 从而可以看出汇率对数的离散观察值满足a r ( 1 ) a r c h ( 1 ) 模型： 巨( r + ) = p ，= v a r ，( e + ) = a z 2 + 吃 其中成础叫 1 铲 e - 口2 h - - 1 。 在这种情况下我们可以利用a r a r c h 模型的广义矩估计方法。 记“= e 一。( z ) 曩= 形q 一。( z )s t = 互一，( z 一“) 3令，= r 一鸬 由( 3 1 1 ) 和( 3 1 2 ) 下面我们构造参数8 = ( p ，仃2 ) 7 的估计函数。 啦磅 = ( ：2 纠 一喜c 等鲁n 秀等m t r - 1 u 口u 口 二惕 怪 1 7 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析 硕士论文 通过计算可以得到工具变量为： 最终的估计方程为： 2 、考虑k s 模型 根据定理2 2 1 r ，忽 形一。= 1 0 1 3 砰 0 3 贸、 2 砰 o l 0 1 5 劈j g f - ，铒，( 等) ( 盯1 =一罄i1一os,石1，一oh,雨1000 02 h , 0 02 h , ，堡0 0 去6 h , ) ， 、 死 芬盟专一丽o s t 耳 t + 万o h , 垃2 h + ，) - o , 2 o s t8 3-st000 0 6 h , 岔彳、 啊 a 82 啊2a p 3 7 越= 一j d ( 五一( m + y z ) ) d t + c r 扛i 而彬 e ( z + ) = e - , h r , + y z 一 ，韶一曲 ( = e - a 2 h - 1 髟2 + 巾2 + 2 p ) 6 ) 而c r 2 2 2 。= e - 3 a 2 h - 1 班 1 - e - ( 3 0 2 + 2 p ) h 矿加z 蒜+ l _ e - ( 3 j 2 + 2 p ) h 矿加r 2 虿3 p 面t z 我们同样可以得出非条件中心距是：e ( z ) = y z v a r ( y t ) = ：丢岛所以k s 目标区 域下的汇率扩散模型中汇率对数的离散观察值也满足a r ( 1 ) a r c h ( 1 ) 模型： e ( z + ) = p r + y z y z 台一p y 和( 】= ：+ ) = 口 r 2 + c o h 其中以= e 一肿 赫 1 ) a p 一雎】 ”1 和”“一1 扣2 西2 - 1 ) + 1 一p - 一+ 2 们a 三争j 兰乏 1 9 魄s q 一 一 2 r 3 f 占 s 3 目标区域下的汇率扩散模型的参数估计和实证分析 硕士论文 由q ( p ) = 0 可以得到参数p 的估计量： 刍= 去h 喜害赫嘻悬i z 2 2 胪五1 1 1 备谚专磊噜焉 2 、考虑k s 模型 越= 一j d ( z 一( 聊+ ，z ) ) 衍+ 仃扛i 丽彬 根据定理2 2 1 ，计算得到鞅估计方法中的f ( y ，0 ) 和妒( y ，0 ) ， f ( y ，p ) = 岛【瓦i k = y 】= y e 一砖+ y z y z 匆一砖 妒( y ，p ) = 岛 ( 虼一目【坛iy o = y 】) 2r o = y 】 = e - * 2 a - 1 ) e - 2 p a y 2 + 1 _ e _ ( e 2 + 2 p ) a 0 2 2 2 2 万 在该模型下参数是多维的，代入( 3 1 6 ) 和( 3 1 7 ) 就能够计算出估计函数： q ( 9 ) = 最优估计函数方程 q + ( 8 ) = 智仃- - ：( y z ( , - ：1 ) 一a + 誓王：y 。z ) 万圪一y ( , _ 1 ) a e - a a - y z + y 历一面】 善 孑西z p z 丽琢一y u _ i ) a e - a a - y z + y 历一肚】 = 0 吲：_ 埘a y v 2 _ 1 ) a e _ p a ，+ a y z e - 砖万 圪一, _ t ) a e - 砖- y z + 7 乙一雎】 4 1 p 一。弘一1 ) p 。2 肚：墙+ 1 - e - ( e 2 + 2 p ) n ；_ = 手三万 喜丝生可盱y u _ t ) a e - p a - 7 z + y 】 “1 e - 0 2 , s _ 1 一t - 2 0 厶v 2 + 1 _ e - ( e 2 + 2 p ) 6 盯盯- + l z - 孑 3 3 目标区域下的汇率扩散模型统计推断的数值模拟 = 0 上节给出了目标区域下的汇率扩散模型的两种估计方法。由于估计量形式比较复杂 或是估计量没有显示表达式，所以我们不容易在理论上考察估计量的优良性。下面我们 通过数值模拟考察f d w 目标区域下的汇率扩散模型估计方法的优劣。 2 0 硕士论文目标区域下的汇率扩散模型及其期权定价 首先，将f d w 目标区域下的汇率扩散模型e u l e r 离散化为 “一置= 一p ( 置一撇) f + 仃z 2 一( 一聊) 2 q 石e s ：，i i d ( o ，1 ) 通过模拟产生一条样本轨道。模拟参数设为p = o 0 5 ，仃2 = 0 0 2 ，z = 0 0 2 5 ，为了计算 简单我们先选取m = 0 ，则z = o 0 2 4 6 9 3 设定初始值五= 0 0 0 1 ，步长- - 0 0 0 1 ，根据下面 的递推公式我们就可以产生汇率对数过程驾的模拟值 鼍，i = 1 ，2 ，5 0 0 ) 。 x i i + i = 五一o 0 5 ( 一o ) 幸0 0