（应用数学专业论文）一类带有边界反馈的timoshenko梁方程的有限差分格式.pdf

摘要 随着空间技术及柔性机器人等高技术的迅速发展，近年来大型柔性结构振动控 制成为控制界关注的一个重要的研究领域，并取得了一系列重要的研究成果当 弹性梁的横截面与其长度相比可以忽略时，梁的横向振动可以由e u l e r b e r n o u l l i 梁方程来描述当梁的横截面与其长度相比不能忽略时，必须考虑旋转惯量的影 响；而当剪切引起的位移也不能忽略时，就要利用更精确的所谓t i m o s h e n k o 梁 振动模型： ，学一kf 警一掣札 。， 如宅笋一e i 可护“z “2 一kf 掣刊刊刊碱o 删，川 其中p 屉梁的线密度，l 和e 1 分别为横截面的质量惯量矩和刚度系数，而 为弹性剪切摸量，l 是梁的长度，”( z ，t ) 是梁相对其平衡位置的横向偏差，而 咿( z t ) 表示梁在x 处总偏转角一般地，t i m o s h e n k o 梁比较复杂，但是更加精 确由于其复杂的边界条件，它的分析解很难求出，本文应用降阶法对这样个 带有边界反馈的双曲耦合方程组建立三层线性化差分格式，并用离散的能量方法 证明了其唯一可解性，稳定性和在l o 。范数下的二阶收敛性最后给出的数值例 子验证了理论分析结果 关键词：t i m o s h e n k o 梁；有限差分；收敛性；稳定性；可解性 a b s t r a c t i nr e c e n ty e a r s ，t h eb o u n d a r yc o n t r o lp r o b l e mo ff l e x i b l es t r u c t u r eh a sa t t r a c t e d m u c ha t t e n t i o nw i t ht i l er a p i dd e v e l o p m e n to fh i g t lt e c h n o l o g ys u c ha ss p a c es c i e n c e a n df l e x i b l er o b o t s a n das e r i e so fi m p o r t a n tr e s u l t sl l a v eb e e no b t a i n e d i ti sw e l l k n o w nt h a tl h et r a n s v e r s a lv i b r a t i o no fn i le l a s t i cb e a mt a i lb ed e s c r i b e db yt h ee u l e r b e r n o u l l ib e a me q u a t i o ni ft h ec r o s s - s e c t i o nd i m e n s i o no ft h eb e a mi sn e g l i g i b l ei n c o m p a r i s o nw i t hi t sl e n g t h i ft h ec r o s s s e c t i o nd i m e n s i o ni sn o tn e g l i g i b l e ，t h e ni t i s n e c e s s a r yt oc o n s i d e rt h ee f f e c to ft h er o t a t o r yi n e r t i a ，a n di ft h ed e f l e c t i o nd u et o s h e a ri sn o tn e g l i g i b l ee i t h e r ，t h e nt h et r a n s v e r s a lv i b r a t i o nr r i u s tb ed e s c r i b e db yt h e s o - c a l l e dt i m o s h e n k ob e a me q u a t i o n ： 一拶2 w ( z ，t ) p 面r 一 ，毋2 妒t ) 1 p 矿 e 氅 口z ； 掣 = ，l 味 汕 k 【掣刊刊叫州m 删 w h e r ep ，l ，e i ，k 1a r en l a a sd e n s i t y , n l o n w , n to fn l a s si n e r t i a ，r i g i d i t yc o e f f i c i e n t , ) s h e a r m o d u l u so fe l a s t i c i t y ，a n dl e n g t ho ft h eb e a m ，r e s p e c t i v e l yw ec o n s i d e rt h eg e n e r a l c a s ea n dd e n o t eb y 铆扛，t ) a n d 妒知，) t h et r a n s v a r s a ld i s p i a e e m e n ta n dr o t a t i o n m a n g l eo ft h eb e a m ，r e s p e c t i v e l y i ng e n e r a l ，t h et i n m s h e n k ob e a mm o d e li sm o r e c o m p l i c a t e d ，b u tm o r ep r e c i s e t h ea n a l y t i cs o l u t i o no ft h et i m o s h e n k ob e a me q u a t i o n c a nb ed i f f i c u l tt oo b t a i ni ng e n e r a ld u et ot h ec o m p l i c a t e db o u n d a r yc o n d i t i o n si n t i f f sp a p e r ，w ep r e s e n taf i n i t ed i f f c r e n e es c h e m ef o rt h et i m o s h e n k ob e a mb yt h e m e t h o do fr e d u c t i o no fo r d e ra n dp r o v et h eu n i q u es o l v a b i l i t y ，u n c o n d i t i o n a ls t a b i l i t y a n ds e c o n do r d e rc o n v e r g e n c ei nl e on o r mb yt h ed i s c r e t ee n e r g ym e t h o dn u m e r i c a l r e s u l t sd e m o n s t r a t et h et h e o r e t i c a lr e s u l t s k e y w o r d s ：t i m o s h e n k ob e a m ；f i n i t ed i f f e r e n c e ；s o l v a b i l i t y ；c o n v e r g e n c e ；s t a b i l i t y 警 f k 东南大学学位论文 独创性声明及使用授权的说明 一、学位论文独创性声明 本人声明所呈交的学位论文是我个人在导师指导下进行的研究工作及取得的研究成 果尽我所知，除了文审特别加以标明和致谢的地方外，论文中不包含其他人已经发表 或撰写过的研究成果，也不包含为获得东南大学或其它教育机构的学位或证书而使用过 的材料与我一同工作的同志对本研究所做的任何贡献均已在论文中作了明确的说明并 表示了谢意 二、关于学位论文使用授权的说明 签名： 奎塑玉 专褊覃 日期：2 0 0 5 年0 2 月2 5 日 东南大学、中国科学技术信息研究所、国家图书馆有权保留本人所送交学位论文的 复印件和电子文档，可以采用影印、缩印或其他复制手段保存论文本人电子文档的内 容和纸质论文的内容相一致除在保密期内的保密论文外，允许论文被查阅和借阅，可 以公布( 包括刊登) 论文的全部或部分内容。论文的公布( 包括刊登) 授权东南大学研究生 院办理 签名； 垩塑堡导师签名t逊查皇 日期：一2 1 1 1 生! ! 旦堑旦 李翘吾一 ? 3 r 渺 5 1 引言 1 引言 随着空间技术及柔性机器人等高技术的发展，近年来大型柔性结构振动控制成为控 制界关注的一个重要的研究领域，并取得了一系列重要的研究成果工程上考虑这类问题 大多采用有限维近似模型方法为了抑制弹性梁的振动，采用边界控制方法的优点，在于 它不必基于有限维近似模型，容易实现，而且也可避免观测溢出和控制溢出等的麻烦，因 此受到许多作者的重视当弹性梁的横截面与其长度相比可以忽略时，梁的横向振动可 以由e u l e r - b e r n o u l l i 梁方程来描述当梁的横截面与其长度相比不能忽略时，必须考虑旋 转惯量的影响；而当剪切引起的位移也不能忽略时，就要利用更精确的所谓t i m o s h e n k o 梁振动模型下面给出的t i m o s h e n k o 梁模型( 假设无因次变量) ： 一百0 2 0 ( z ) + 扑一掣卜哑- 一1 f掣一掣1刮巩o。虬d2ia za z 2l 。一 e ( o ) = 日( 1 ) = ( 0 ) = ( 1 ) = 0 ， ( 1l ) ( 12 ) ( 1 3 ) 其中d 表示梁的厚度，p ( z ) 表示梁的垂直旋转角，w ( x ) 是沿梁的中心线的垂直位移( 与 ( g ( x ) ) 有关) ，已经有了一些数值方面的工作t i m o s h e n k o 在【1 】中对这个模型做了一些 研究，由于考虑了剪切模量的影响，因此这个模型可看作是对e u l e r b e r n o u l i 梁模型的改 进，l i 2 】用有限元方法对( 11 ) 一( 1 3 ) 进行了离散，得到了与梁的厚度d 无关的解的最优 误差估计j a n 3 】用混合有限元方法对( 1 1 ) 一( 1 ，3 ) 作了离散，得到了在日1 范数下与梁的 厚度d 无关的解的超收敛性 s e m p e r 4 】，f e n g 、x i e 和x i o n g i 目考虑了下面对时间依赖的t i m o s h e n k o 梁方程组： 等+ a 掣一壶l 宅笋一百o o p , t ) l 刮训， 0 x 1 ，0 t t ( 14 ) 可0 2 0 ( z , t ) + 6 百o o ( z t ) 一掣一万1f 百o w ( x , t ) 叫叫) i 【= 0 18 t 2 ”1 9 亡 0 2 2d 28 z”、“。7 i 一。1 0 o 1 ，0 t t t “( 0 ，t ) = 1 ( 1 ，) = o ( o ，t ) = 0 ( i ，t ) = 0 ，0 t 曼t ， ( ，0 ) = w 。( 。) ，o w 矿( z , o ) = l 如) ，o z 1 ， 吣川= 帅) ，掣锄( 乩o sz 0 ，( 1 儿) 掣刊“) _ - n 掣怕，掣卅掣地，( 1 1 2 ) w ( z ，o ) = 9 3 ( z ) ，旦竺；堕= 吼 ) ，妒婶，o ) = 9 5 ) ，旦里i ；堕= 9 e ( z ) ，。z f ，( 1 1 3 ) 其中t 是时间变量，z 是梁沿其平衡位置( t “= 0 ) 的空间坐标，p 是梁的线密度，和 e 分别为横截面的质量惯量矩和刚度系数，而为弹性剪切模量，l 是梁的长度，n 口 为给定的正的反馈常数，w ( zt ) 是梁相对其平衡位置的横向偏差，而妒( z ，t ) 表示梁在x 处总偏转角1 7 卜x u 和f e n g 在【6 】中考虑了上述模型的广义特征向量的黎兹基( r i e s z b a s i s ) 性质方程( 1 9 ) ( 11 3 ) 与方程( 1 4 ) ( 18 ) 相比较，其复杂之处在于端点处的时间依 赖性本文对双曲耦合方程组( 1 9 ) 一( 1 1 3 ) 的解作数值逼近，应用降阶法【1 0 】 1 3 1 对其建立 三层差分格式，并用能量法证明差分格式的唯一可解性，稳定性和在l o 。范数下的二阶 收敛性 我们假定相容性条件：9 3 ( 0 ) = 0 和9 5 ( o ) = 0 成立，且问题( l ，9 ) 一( 1 1 3 ) 存在光滑解 伽( z ，) ，妒( z ，t ) ，满足： e 拶( ；”，券，雾吲矧嵝a 其中 q t = i o ，l 】1 0 ，丁】 取步长h2i m ，r = t n ，m 和为正整数令n = q 1 = i h ，0 i m 1 n r = t k i t k = k t ，0 七n ) ，y t h ，= n r2 ，设= n 10 i m ，0 南n 为n h 上的离 散函数引进如下记号： u o = 兰垒量笪，屯u 耸 ：兰釜i 二生也“：+ ：兰： 生 。i ：半k + l 罅- 1 ，d i u ? ：掣，一瓣：壁攀， rm1 女一rm i i u 2 | | = i “( u l ) 2 i ，i l 如u l i = l ( 如u 墨 ) 2 i o jlt = i j 其? ? i 是u 在点( x i ，t k ) 和( x i + 1 , t k ) 处的平均值，如n 鼻 是“在这两点处的差商； 氏u ：+ 是“在点( ) 和( t + 1 ) 处的差商；u i 是在点( t k 1 ) 和( “+ 1 ) 处的平 2 差分格式的建立 均值，d i u ：是u 在这两点处的差商；睡2 u ：是u 关于( t k - 1 ) ( k ) ，( t 女+ l ) 的二阶差 商；1 l u | | 和1 1 5 x u 1 l 是当u 6 = 0 时的 的工2 范数 对于问题( 1 g ) ，( 1 1 3 ) 建立如下差分格式： ；( 酵吐 斗酵u i ) 一ki 鹾w i 一；( 如妒l + 如妒i ) = ；( ，) i + ( ，- ) 墨 1 ， ( 砖f 墨 + 6 麓 ) 一删新一i k 阻u 鼻 地m 墨 ) 嘶l + 妒i ) 1 2 ；j ( ，2 ) 兰 + ( ，2 ) j ，1 m 一1 ，1s 女一1 ， ( 1 1 5 ) w 5 = 0 ，妒g = 0 ，1 n ， ( 1 1 6 ) 如t ，器一 一妒l = 一“d ，一面h 【矗妒乜 + 磁t r ，乞一 一( ) 勃一 l + ( 卯) 2 ， 1 n 一1 ， ( 11 7 ) 岛妒l 一 。一_ 3 d 妒勃一刍【7 一壤2 妒一 k ( 疋”一妒一 ) 一( ，2 ) 一 l 十( 9 。) 1 女n 一1 ， ( 11 8 ) w ? = ( 9 3 ) t ，t 以= ( 9 3 ) ；+ r ( 9 t ) t + 丢阵( ( 9 ：) ，一( 9 + ( ，) ? ，o i m ，( 11 9 ) 妒? = ( 9 s x ， 妒；= ( 鳊) + r ( 甄) ，+ 甄7 - ；z e j ( 菇) ，+ ( ( 晶) ，一 如) 。) + ( 南) 羽 其中撇表示对空间变量z 的导数， ( ，1 ) i = ，1 ( 苎! 等“，“) ，( 9 t ) = 9 1 ( ) ，( 9 3 ) ，= 卯( 戤) ， ( ，2 ) l l ，( 卯) 2 ，( 9 4 ) 。) 。( 9 6 ) 有类似的定义 2 本章剩余部分安排如下， l2 利用降阶法对问题( 19 ) 一( 1 1 3 ) 建立一个三层差分格 式，1 3 证明了差分格式( 1 1 4 ) - ( 12 0 ) 的唯一可解性，在三。范数下的二阶收敛性和稳定 性，1 4 给出一些数值例子以验证所得结果 2 差分格式的建立 令”= 碧，妒= 舞，则方程( 19 ) ( 1 1 3 ) 等价于下列方程组： ，掣 掣叫刮硝味“ u(州)一掣：o，ozo，ox 昂掣一日掣一耳卜沪哪) 妒( 。，t ) 一o r 万( x - , t ) ：0 ，0 z 0 ， ”( f 沪) = 一“掣切，州) = 一口掣+ 9 2 ， ”( z ，o ) = 9 。( 。) ，百a w ( z , o ) = 9 4 ( z ) ，妒( z ，o ) = 9 5 ( z ) ，旦竺3 ；旦2 = 9 6 ( z ) 0 z f 定义网格函数 4 ( 25 ) ( 26 ) ( 2 7 ) w = 叫( 魏，t k ) ，k = 口( 。”t k ) ，壬? = f ( 以，“) ，皿? = 妒( 研，“) ，0s i m ，o 七兰n 利用泰勒展式，有 p 6 w 兰 一( 如k ! 一i ) = ( f 1 ) 墨 + ( e 1 ) 置 ，1 兰z m is 曼_ v k ! 一屯w 墨 2 ( e 2 ) i - l i 曼m ，0 k t ， r 6 ；雪生 一e 1 8 。皿；一 一( 啦 一心l 1 - ：= ( 先) l + ( 。一kl ， l j ( m ，l 七 n 一1 量一k 壬墨 2 ( e 4 ) ；k 一 ，l t 茎m t0 w 咨= 0 ，西6 = 0 ，1 n ， v 嚣一心= 一a d 荔+ ( 9 1 ) 。+ ( e 5 ) 2 ， 1s 南n i 由解的光滑性，存在常数c 。使得 ) ；一( 晁) 。) + ( ，) 别+ ( e ，) i ( e 1 ) 生li c l ( r 2 + h 2 ) 1 i m ， l 七n l i ( e 2 ) 生ll 墨c 17 产，l i m ，0 k n ， l ( e 3 ) 蔓i c l ( r 2 + 是2 ) ， 1 ；且彳， 1s 惫曼n 一1 l ( e 4 ) 生il c t 2 ，l 曼i m ，0 k n ， l ( e 5 ) l c l f 2 ，1 sn 一1 ， j ( 8 6 ) j c 1 r 2 ，ls n j ， ( e 7 ) ，i 。1 r 3 ，0 t m ， j ( e 8 ) 。| c l t 3 ，0sz m ， l ，( 28 ) ( 2 9 ) 1 0 l l 1 2 1 3 1 4 ( 2 1 7 ) ( 2 1 8 ) ( 21 ( 22 0 ) ( 2 2 1 ) f 2 2 2 ) ( 2 2 3 ) ( 2 2 4 ) 一 一 0 产一印 啦 叫 + + 曲 0 啦 = = 吸 m 脚 + = 略畔 5 6 伫h 心 印 + 钉 止 + 、l， 9 地m m (一一 ， k o ( 一 r 一 o o o 5 9 rf ! + 9 + 9 = 壬 g = 0， 圣 弘差分格式的建立 1 墨i m 1 i m 5 ( 22 5 ) ( 22 6 ) 对( 2 2 5 ) 和( 22 6 ) 说明如下：由带积分余项的泰勒展式并利用微分方程( 19 ) 一( 1i o ) ，容易 得到 啡r k = 垃半虹= 刍瓜 = ；i f ( r 叫2 糍掣出 吲e 8 ) 一= 继毒出去小刊2 f 鼍掣 d 3 w ( x 一l8 ) o t 3 盟坠o t 31 ：蚍d s = ；小叫2 糍妞 其中已，琅( q 一1 ，瓢) ，此即( 22 s ) 和( 2 2 6 ) 忽略方程( 28 ) 一( 21 6 ) 中的小量项，对方程( 21 ) ( 27 ) 可建立如下差分格式： p 酵t l ，墨 一k ( 矗叫： 一妒三 ) = ( ，j ) 墨 ， 15is ，ls 一1 ， 吐 一如 墨 2 0 ，ls ，0 s v ， 田2 妒，k e 疋吐a k ( t 点 吐) = ( ，2 ) 生 ， 1si m ，1 sn 一1 ， 嚷；一如笠 = 0 ，l is m ，0 1k ， w s = 0 ，秸= 0 ，i 曼女n ， u 勃妒勃= 一。d # 岛+ ( 9 1 ) 2 ， ls 七1 ， 妒乜+ 卢d f 妒= ( 9 2 ) ，l 七s 一1 ， ? = ( 卯) ；，”j = ( 卯) ；十r ( 出) t + 荔f ( ( 菇) t 一( 孟) 。) + ( ) ? ，o i 兰吖 ? = ( 9 5 ) l ，妒= ( 船) z + r ( 9 6 ) t + 麦 e ，( 9 ：) 。+ ( ( 晶) 。( 9 5 ) 。) + ( ，2 ) ? 0 i m 在第( + 1 ) 时间层，我们可以将( 2 e 7 ) ( 2 3 5 ) 视为关于未知量 ”? + 1 ，妒? + 1 ，”? + 1 ，妒? + 1 ，0 z m 1 3 3 t r l l c c 一 一 li一2 一 一 7 b e e z z 6 占 掣掣 曲一 盟卵 苎 ， 删 冽删叫跚删 嘲 心 心偿0仁皿像 幢 2 差分格式的建立 的一个线性代数方程组 对于上述差分格式有如下定理成立： 宠j 璧1 差分格式f 22 7 ) 一f 23 5 ) 等价tf j 1 ) f 12 0 ) 如 6 ”i 26 。”i 一”：一l 2 6 2 1 ”；一 l i m ， ( 2 - 3 6 ) 衅一；2d 。妒卫 ，吐 2 氏吐 ，l i m ， ( 23 7 ) v i 她t u i 一互h 卜：+ + 豁”i 一去( ，1 ) i l ， 0 ism 一1 ，1s 七sn 1 f 23 8 ) ，矗= 跏m 一 + ：b 乞一 + 瓦p5 。2 “乞一 一去( ，1 ) 一 i ，ls s “( 2 3 9 ) 咖= 吐妒基 + 面hl k ( 5 z u 鼻 一以) 一如“- 2 屹k + + ( ，2 ) 1 ，o t 一1 ，1 七茎一1 ， ( 24 0 ) 砂勃= 如芦一 一南i ( 疋w 乜一 一妒 ) 一如吼- 2 妒m k 一 + ( ，2 ) 备一 j ， 证明( 2 2 8 ) 等价于( 2 3 6 ) 和 啦 = 品 ， lsi m ，lsk 茎一l ( 2 3 0 ) 等价于( 2 , 3 7 ) 和 妒i = 瓦妒i 1 i m ， ls 七一l ( 2 4 2 ) ( 24 3 ) 将( 2 2 7 ) 变形可得： 瓦”l = 讪曼 + 耳i ( p 砰哇 一( ) i ) ， 1 i m 1 南一l ( 24 4 ) 在方程( 2 4 4 ) 两边同时乘以 h ，所得结果与方程( 2 4 2 ) 相加，并利用( 2 4 3 ) ，我们可以得 到 在方程( 2 4 4 ) 两边同时乘以 ，所得结果与方程( 2 4 2 ) 相减，可得 ”l = 瓦”i 一； 瓦妒i + 耳1 ( 一6 ”l 一( ，) 曼女) ，- t m ，- m 一， 蛎一 一 一 。瞄。 m 一 一 m 琏 p ，、 k + k 卜 妒 一一 一2 + p 瓦 = 一啦 5 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 ( ，1 ) l6 ) ) o ) 此即( 1 - 1 4 ) 不难检验( 22 7 ) 和( 22 s ) 等价于( 2 3 6 ) ，( 23 8 ) 和( 1 1 4 ) ，( 23 2 ) 等价于( 23 9 ) 类似地，有( 22 9 ) 和( 23 0 ) 等价于( 23 7 ) ，( 24 0 ) 和( 5 ) ，( 23 a ) 等价于( 2 4 1 ) 另外， ( 2 ，3 4 ) 和( 2 3 5 ) 即( 1 1 9 ) 和( 12 0 ) ( 23 1 ) 即( 1 1 6 ) 定理证毕 e 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 在这一节我们讨论差分格式( 11 4 ) 一( 1 2 0 ) 的可解性、收敛性和稳定性 引理l 若9 = 皿j0 3s m 为的网格函数，且满足卯：0 ，则有下面结论成 证明由 可得 进而有 又 因此有 吲i 。、川g 1 1 9 1 1 南l 限9 9 i 2 ( 乃一9 2 - 1 ) = l t 吐毋一； j = 1 j = 1 ( 虫) 2 三( 1 2 ) ( 娩川瓦圳2 1 z m 圳o 。川j 矗圳 如易 1 2 一l 乳一 2 “( i 矗吼一 + d z 9 j 一 ) ( 31 ) 7 蛎z n ( 一 驯有 冉墨时 g ， 一 d r o 衍 外 ，一 ， _ r： m e 件 曼 以 谜 ，p0 一2 l 一 当 j i 一咯 蛳 矗 心 | | 和 砖 的 程 即 方 亦 由 l 一2 l 一2 卜 k h 略酵 p p ，、 ，k一 l 一2 k 卜 e 妒 妒 k r k r h一2一2 + 一 1i一2 r 三_ f 件 w 圳 z z r d r d _ 如 ；：夏 r，l m h l i 一玑 5 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 8 c ，。一；，2 n c ；，2 + 薹，2 一妾c a 。易一；，2 曼n c t i 3 ，i i a 。，j 1 2 由上式可得 毒耻扩姘 坐掣一。a _ m 卜矧雌却儿圳。、 即 兰麦慨9 ” vo 引理2 假设 ”，妒? ，”? ，钟) 是方程 p 匪2 ”，k 一 ( 屯 l 一曲墨 ) = ( p 1 ) i ，l i m ，】l ， ( 32 ) 啦 一如 l = ( p 2 ) l ， l i m ，0 兰k 曼， ( 33 ) 啦2 妒卜k e ，岛吐 一( ”；i - 一1 一妒l ) = ( 乃) 墨 ，ls zsm ，1s 后s v l 、( 3 4 ) 讪 一a ：v c + 。( p 4 ) l ，1 z m ，0 ks ， ( 3 5 ) 6 = 0 ，妒3 = 0 ，1 f 36 1 1 ，一妒勃= 一n d ；t + ( 。p 5 ) “， 1 盘sn 一1 、 ( 37 1 妒+ 卢d i 妒勃= ( 屁) 2 ，1 k n 一1 ，( 38 ) ? = 0 叫；= ( p 7 ) ，0 t m ， f 3 9 ) 妒? = 0 ，妒j = ( p 8 ) ，0 i mf 3 1 0 1 f ( ) = p l l a t w 1 1 2 + i p t l 6 t v p + 邪+ 娶( 桫+ 1 1 1 2 十渺1 1 2 ) + 铷1 一1 1 1 2 + i i 扩一曲n o s s 1 则我们有 m - q 3 小时；r 查g 押， 1 一k 一 n - 1 其中 g ( 啦孤”1 1 2 + 扣酬2 + - 等- i i ( p a ) 2 十篆川2 + 等懈川。 + 2 k f l d d p 2 ) ”1 1 2 + 2 e i i d f ( p 4 ) ”俨 5 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 证明由( 3 3 ) 一( 35 ) ，有 d 1 墨i = j 9 如。k i i + d f ( p 2 ) 置 ， 1 z m ，1 路一i d i 母墨 = d d z 妒l + d ；( p 4 ) l 、 1 z m ，l 七一1 在( 3 ，2 ) 两边同时乘以2 h d g w ：_ 后，对。从l 到m 求和，可得 m 2 如d i t 啦 d ；哇； z = 1 m 卅6 善d w l ( 畦 在( 31 1 ) 两边同时乘以2 k h ( ”是 一妒i ) 后，对z 从l 到m 求和，可得 m 2 k h ( 啦； g ( 3 1 1 ) ( 3 1 2 ) f 3 1 3 ) 妒兰 ) 仇( b ) 墨 ， 1s 女一1 ( 3 1 4 ) 篓竺地羹4 ) 和( 3 1 2 ) 两边分别同时乘以2 d f 妒i 和2 e ( 妒l ) 后，对z 从l 到埘 求和，可得 2 6 i = i d f 生 鳄妒笠 一2 e i h 吾d i 妒l 如世 。2 肌蚤即曩( ”墨 一妒笠 ) 蚴娄如l ( p 3 ) l 。( 3 j 5 ) 。e n 吾m 旺 。e 咖墨 一。删一萎m 妒l 。也妒乞 ：z e 肌萎m 妒1 d i ( p 4 ) l ， 1 ksn 一1 ( 31 6 ) 移动( 3 1 3 ) ( 31 6 ) 中的某些项至右边，然后对其左右两边分别相加，可得 m m 2 加蚤。i 曼6 m ；+ 2 如 1 # d f p l ；j 张 兰ir m “苫( u 生 妒玲d i ( v l 一罐+ 2 e i h ， 厂m m 到肼( 薹面妒l + “p 妒墨 ；) 卜 l 女卜 一 严 d 一 滢谢蛐 2 女卜 妒 一 l 一2 # p m h k2 1 2 e 卜 ” m h2 5 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 l o 们k 卜薹即l ( 跏l 一砂l 蚤( w l 一妒掣m 畦刘 + 2 “萎d f w 墨 ( n ) l + 2 “d f 妒墨 ( 乃) 笠 + 2 e 1 1 。萎咖l d i ( p 4 ) k m 4 2 k h ( 。z - ：、一妒l ；) d f ( p 2 ) i ；， 1 曼女s n l ( 3 1 7 ) ( 31 7 ) 的左端项可转化为 2 p d # w 笠 匪2 w ，k = ；( 1 慨 + 1 1 2 一i j 函1 u k - 1 。ij 2 ) l t 一】， ( 31 8 ) 2 i p h d # 妒墨 酵l = 誓( i j 以妒+ 5 ij 2 一f i 以妒 i j 2 ) ，l 兰七s 一l ， ( 3 1 9 ) m 2 “( ”墨 一妒l ) - d ( u 墨 一妒墨 ) = 等( 肛+ 1 一+ 1 j 1 2 一胁一妒k - 1 1 2 ) ， l ksn 一1 ，( 3 2 0 ) 2 胁芝妒l ；咿? f 釉州卜l l 咖k - 胪兰一 ( 3 2 1 ) 对于( 3 1 7 ) 右端第一项，利用( 36 ) ，( 38 ) 和不等式2 ( b 一。) n b 2 ，有 mm 、 2e7【妒ld如妒墨十d妒i如妒旦)1g z = l 。 2 = 2 e i ( 咖d ic z “m 一罐d f 妒6 ) = 2 e l ( p 6 ) 一卢d 妒讣d i ：1 等 2 ( 3 z 。) ( 31 7 j 石珥莳弟二项，利片j ( 3 5 ) 丰【37 ) ，司得 2 k “蚤即l u 墨；一妒l 蚤( u 量 一哆冷呐u 墨刽 = 2 “i = 1l 矗( u l 一妒i ) d i v u l + ( u l 一c ，i ) d 如w l 1 m 删“蚤仇妒i 一妒即? 一 = 2 k ( ”勃一妒) 。f ”一( ”6 一妒j ) 。# 。5 一2 m ( 。生 ) ( p 4 ) i 女 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 = 2 k ( 枷旃+ ( p 5 ) 2 ) 。i 叫勃一2 k 蚤m ( 。f 吐 ) ( p 4 ) l 芸隅门2 + 知均n1 1 4 w k - | | 2 ) + 警舭删2 ( 3 1 7 ) 右端的后四项，有 2 h 耋。；”墨 ( r ) l i 茎n 薹；( 。；t “墨 ) 2 + ；( ( p 1 ) l ) 2 d f ”墨 ( p 1 ) l ；i 茎 l ；( d t “墨；) 2 + j ( ( p 1 ) l ；) i i = 1 l = 1lj ：( i 陋t ”k 十 i 2 + i 瓯”e 一 1 1 2 ) + 。2 - t l ( 尸- ) 。【1 2 ， 2 h 薹。；l ( p 3 ) l l 薹 1 p ( d i v ：_ ) 。+ 去( ( p 3 ) l ) 2 d f l ( p 3 ) l l 1) 2 + ( ( p 3 ) l ) l t 2 1i 7 j s 鲁州函妒钏2 + 忪c 矿一钏2 ) + 去眦尸3 ) 2 ， i差妒生；di2eiac r ，l ；【e ，n 叁 ；c 讪曼；，2 + 。( 。ec r ，l ；) 2 妒生( p 4 ) l 【e l ；( 讪曼 ) 2 + 2 ( d ( p 4 ) l ) l 瓢2 + i l c k - 1 。1 1 2 ) + 2 e i i i d 肥r 2 蒌( ”卫 一妒l ) d ( p 2 ) l 兰h 姜f ；( 啦 一妒i ) 。+ 2 ( 。( p 2 垮2 “圣( ”墨 一妒量 ) d ( p 2 ) l 兰“li ( 吐 一妒l ) 2 + 2 ( d ( p 2 ) ： 等( 1 i 女+ l 一妒 + 1 1 1 2 + i 。k 一1 一妒k 一11 1 2 ) + 2 k i i d i ( p 2 ) 1 1 2 将( 31 8 ) 一( 3 2 7 j 代八到( 31 7 j ，9 j 得 知以。t + 1 1 。一慨。t 一耶) + 鱼( 慨扩+ 1 1 。一慨一邪) + 百e j l ( 1 i 妒2 + 1 1 1 2 一l l 啪一1 1 1 2 ) + 芸( | | 1 产+ l 一妒k + 1 | | 2 一】u k l 一妒一1 1 1 2 ) ：( 1 i 乱似+ 1 1 2 + i i 如2 5 1 1 2 ) + 鲁( 1 1 5 妒+ i 1i 2 + i i 函妒一 1 1 2 ) + 旱( i l 砂k + 1 1 1 2 + i l 妒2 1 | | 2 ) + k ( i i ”k + i 一+ 1 | | 2 + l j 。k 一1 一妒一1 1 1 2 ) 每删2 + 扣硼2 十等队硼2 + 等删卜等榭1 2 + 2 k i i d f ( p 2 ) 1 1 2 + 2 e t i i d ( r ) 1 1 2 ， 1 曼n l 记 f ( ) = p l l 以w k 十 1 1 2 十r a 6 j + i1 1 2 + 譬( 1 l w + 1 1 2 + 1 1 妒。1 1 2 ) + 铷一1 - 1 i t 2 + 帅。一洲n ，o 一1 f 39 3 f 3 2 5 1 f 32 6 ；) 2 f 32 7 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 则有 其中 2 1 ) j5j 1 【f ( ) + f ( k 一1 ) j + g ( k ) ， ( 32 8 ) ) = 如h n 扣绷2 + - i i ( p 4 ) 2 十芸附n 鲁榭i 2 + 2 k i i d i ( p 2 ) 1 j 2 + 2 e i i i d i ( p 4 ) 1 1 2 ，1 玉n 一1 由( 32 8 ) ，当r ；时，有 f ) ( 1 十；r ) f 一1 ) + ；r g ( ) 1 s 一l 由g r o n w a l l 不等式，可得 删 ( 1 + 耖卜) + j 3 r 薹k ) _ - m s - 日l 理证毕 定理2 差分格式r j 1 4 ) 一“2 0 ) 是唯一可解的 证明根据定理l ，只要证明( 2 2 7 ) ( 23 5 ) 有唯一解即可利用数学归纳法进行证明 假设( ( ”；，咿? ，啦饼) 10stsm ) 和 ( w k 一。，妒：，u ：，掰。) 10 i 曼m ) 已知，我们利 用( 2 2 7 ) 一( 23 5 ) 来确定 ( w ：“，妒；“，”? “，游“) 10 。m ) 既然( 2 2 7 ) 一( 23 5 ) 是一个关 于 ( ”? “，妒：“，”? ”，妒，1 ) f0 i m ) 的代数方程组，我们只需要证明它的齐次方程组 善( w 遗) 一等( 瓦”一嘣) = 。，t ! m ”罐一瓦w ：k 一+ l = 0 ，1 。m ， 抛k 习+ l 一拳母 ”k ；k f + l 妒遗) = o ，螂m 妒罐一如妒罐2 o ，l m ， 铲1 = 0 ，妒6 “= 0 瞄1 一妒钫1 = 一一0 1 w 。k 。+ 1 ， 讪钫t + ! 妒锗，：o ( 32 9 ) ( 33 0 ) ( 33 1 ) ( 3 3 2 ) ( 33 3 ) ( 3 ，3 4 ) ( 33 5 ) 有唯一零解 在( 3 瑚) ，( 3 3 0 ) ，( 33 1 ) ，( 3 舶) 两边分别乘以2 h 连，k h ( ”一妒。k 一+ l ) ，2 。k 一+ l 和 e ， 妒，k + ；l ，然后对i 从1 到m 求和，可得 警薹( ”叫k - t - 1 ) 2 + 2 f h 1 p 刍妒? 1 ) 2 + k n 蚤m ( 啦； 2 1 2 卜 廿 m 渊 hr目 + 2 2 卜 妒 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 mr “薹弦净u ；k 一+ 1 一妒遗) 地( 矿i - 善 删。f f 一i - + ! d - z w ；k 一+ ；+ 如妒爿妒2 ；) = o 、 或， 丝t 2 姜 ，( ”鼍，2 + ( # 遗) 2 + 一蚤m ( + _ 3 e _ l ( 妒豺1 ) “k r a y ( 钫1 ) 2 = o 为了得到( 3 3 6 ) ，用到了( 3 3 3 ) 一( 3 3 5 ) 从而有 ”曩 t 篡 由( 3 3 7 ) 和( 3 3 3 ) ，我们有 由( 33 4 ) 和( 3 3 5 ) 得 l u ：+ 1 = 0 妒：+ 1 = 0 ，0 z 墨m t 嚣。0 妒锗1 0 由( 3 3 8 ) ，有 世+ 1 = 0 ，讪? + 1 = 0 ，0 i m 妒钫1 = 0 f 3 3 6 1 ( 33 7 ) f 33 8 1 定理证毕 定理3 差分格式r 圳r j 2 圳的解 w ，妒；) 在工。范数下收敛于i - i 题r 圳一，j i s ) 的 解( 眦，中； ，且收敛阶为o ( r 2 + 2 ) 证明根据定理l ，我们只要证明差分格式( 22 7 ) 。( 23 5 ) 的解在l 。范数下收敛到问 题( 2 1 ) ( 27 ) 的解，且收敛阶为o ( r 2 + h 2 ) 即可令 t 西；= 仉曹一w i ，帚；一v 产一、，；，( 芦；= 唾? 一c p i ，书? = 山；一+ 咖；0 s t 兰m ，0 盘茎 将( 2 8 ) ( 2 1 6 ) 和( 2 2 7 ) 一( 23 5 ) 左右两边分别相减，可得误差方程 6 ；乒生 一e 瓦乒墨 一( i 三一乒生 ) = ( e 3 ) 墨 1 n 一1 ，( 3 3 9 ) ( 34 0 1 2 2 2 k p p m 爿 f + 2 2 p 妒 i i m m t m 一 一 lk 划 叭嘣 i 【 “- 。吼 旌f 0 露 0 一 s k l 曼o i o 卜m q 一 ： = 一 ，= f 一 r 卜 2；h 沁 扣 | | 防、； ，p 一 一 一 ；d k 卜 一 面 1 2 御啦 5 3 差分格式的可解性、收敛性和稳定性分析 由