（光学专业论文）量子纠缠的判定与度量.pdf

摘。要 量子力学的发现，使人类在物理世界发现了一系列奇异的现象。1 9 3 5 年， e i n s m i n ，p o d o l s k y 和r o s e n 等人发现了纠缠的非常奇异的非经典性质，这一关 乎量子力学基础的概念与现象让物理学家进行了半个多世纪的研究，诞生 了b e l l 不等式、波姆理论等许多有趣的工作。但关于纠缠与可分的明确定义直 到1 9 8 9 年才由w e m e r 给出。在最近的二十年里，随着量子信息这门交叉学科的 快速发展，人们开始越来越清楚的意识到纠缠还是一种非常有用的量子资源， 它可以用在量子计算与量子通信等方面，不仅如此物理学家还发现纠缠在其他 物理现象比如量子相变中扮演了重要的角色，并且最近几年人们又意识到纠缠 在有效模拟多体量子系统中的作用。因此，为了更好的了解纠缠，如何判定纠 缠及度量纠缠就成为了量子信息理论中的一个基础性问题。一方面，许多判定 纠缠的充分条件条件被提了出来。另一方面，人们同时还提出了大量的纠缠度 量用来刻画纠缠态的纠缠大小。然而，尽管人们在这二十几年来做了大量的努 力，到目前为止纠缠都始终没有被完全的理解。这表现在，判定任意一个给定 量子态是否为纠缠态这个问题仍然是一个非常有挑战性并且至今未解决的问 题，同时如果它是纠缠态，如何度量其中纠缠的大小也是一个问题。 在这篇论文中，我们主要讨论离散变量系统中量子纠缠的判定和度量问 题，以及连续变量系统中量子纠缠的判定问题。这篇论文的主要结果可以分为 下面的三个部分： i 近些年来，许多判定纠缠的充分条件被提了出来，例n p e r e s h o r o d e c k i 的 部分转置正定判据，可计算交叉范数定理或称之为重排定理，局域不确定关系 定理，方差矩阵定理，b l o c h 表示定理。部分转置正定定理对2x2 和2x3 系统 为可分态的充分必要条件，而对更高维的两体系统它仅仅是可分态的必要条 件。在第二章中，我们同样提出了几个离散变量系统中的可分态的必要条件。 它们可以看作是对部分转置正定定理的补充，因为它们都能够判断许多束缚 纠缠态，而这些束缚纠缠态是部分转置正定定理不能判定的。在2 2 节中，我 们最优化了由0 g f i h n e 等人在2 0 0 6 年提出来的非线性的纠缠目击者，这个纠缠 目击者算符是基于局域正交观测量来构造的。并且最优化之后的非线性纠缠 目击者始终完全的强于没有经过最优化的非线性纠缠目击者。2 3 节提出了一 量子纠缠的判定与度量中国科学技术大学博士学位论文 种有效的并且计算简单的纠缠判据。并且我们还证明了它完全的强于重排定 理和b l o c h 表示定理。在2 4 节中，我们还介绍了加强型的局域不确定关系定理。 当a 和b 子系统都选定了任意的一组局域观测量集合 a 七) 和 鼠) 之后，加强型 的局域不确定关系定理始终要优于原始的不确定关系定理。 对于纠缠态中含有纠缠的多少，物理学家还提出了大量的离散系统 的纠缠度量，比女i w o o t t e r s 就推导出了两q u b i t 系统的一个相当完美的纠缠度 量，称之为c o n c u r r e n c e 。不久之后，针对两体高维系统推广了的c o n c u r r e n c e 比 如i c o n c u r r e n c e 也被提了出来。不幸的是，i - c o n c u r r e n c e 的混态定义是基于凸 扩张即在所有可能的纯态分解中寻找最小的平均纠缠度量。因此，混态的i c o n c u r r e n c e 通常是非常难计算的。最近，混态i c o n c u r r e n c e 的上界和下界引起 了人们的兴趣，因为它们相比i c o n c u r r e n c e 本身而言更容易得到。在3 2 节中， 我们得到了一个两体高维i c o n c u r r e n c e 的下界。我们同样还在3 3 节中得到了可 观测的i c o n c u r r e n c e 的上界，这个上界可以看作是m i n t e r t 齐l b u c h l e i t n e r 两人提出 的可观测的i c o n c u r r e n c e 下界的对偶上界。在3 4 节中，我们还尝试的定义了一 个可分态的可分度量。 i 对于连续变量系统，物理学家也提出了许多纠缠判定条件，不过其中 有不少的条件可以看作是部分转置正定定理的推论或者是跟部分转置正定定理 等价。因此，跟部分转置正定定理等价或者就是其推论的这些条件都不能用来 判定束缚纠缠态。我们在第四章中提出了两个判定连续变量系统纠缠的充分 条件。这两个条件都完全的强于段路明等人提出的连续变量纠缠判定条件。因 此，这两个条件同样也是两模高斯态纠缠的充分必要判据。更进一步，我们还 发现其中的一个条件可以用来判定束缚纠缠高斯态，从而说明这个条件并不是 部分转置正定定理的推论。 关键词：可分态，纠缠态，纠缠判定，纠缠度量，离散变量，连续变量 a b s t r a c t a f t e raf u n d a m e n t a ln o n c l a s s i c a la s p e c to fe n t a n g l e m e n tw a s r e c o g n i z e db ye i n s t e i n ，p o d o l s l o j ，a n dr o s e ni n1 9 3 5 ，w e r n e rp r o p o s e dt h ea c c u r a t ed e f i n i t i o n so fs e p a r a b i l i t ya n de n t a n g l e m e n ti n1 9 8 9 i nr e c e n ty e a r s ，w i t ht h er a p i dp r o g r e s si nq u a n - t u mi n f o r m a t i o ns c i e n c e ，i th a sb e c o m em o r ea n dm o r ec l e a rt h a te n t a n g l e m e n ti sa v a l u a b l eq u a n t u mr e s o u r c ea n da c t sa sa ni m p o r t a n tr o l ei nm a n yo t h e rp h y s i c a lp h e - n o m e n o ns u c ha sq u a n t u mp h a s et r a n s i t i o na n de f f i c i e n ts i m u l a t i o no fm a n yb o d y s y s t e m s t h e r e f o r e ，t h ed e t e c t i o na n dq u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n tb e c a m ef u n - d a m e n t a lp r o b l e m si nq u a n t u mi n f o r m a t i o nt h e o r y o nt h eo n eh a n d ，s e v e r a ls u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd e t e c t i o no fe n t a n g l e m e n th a v eb e e nf o u n d o nt h eo t h e rh a n d ，a c o n s i d e r a b l ea m o u n to fe f f o r to nq u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n th a sa l s ob e e nm a d e h o w e v e le n t a n g l e m e n ti sn o ty e tf u l l yu n d e r s t o o d d e s p i t eag r e a td e a lo fe f f o r ti n t h ep a s ty e a r s ，i ti sa c h a n e n g i n gt a s ka n dr e m a i n sa no p e nq u e s t i o nt od e c i d ew h e t h e r a g i v e ns t a t ei se n t a n g l e do rn o ta n di fi ti se n t a n g l e dh o wt oq u a n t i f yi t i nt h i sd i s s e r t a t i o n ，w em a i n l yd i s c u s st h ed e t e c t i o na n d q u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n ti nd i s c r e t ev a r i a b l es y s t e m sa n dt h ee n t a n g l e m e n td e t e c t i o ni nc o n t i n u o u s v a r i a b l es y s t e m s t h et h e s i sf o c u s e so nt h ef o l l o w i n gt h r e ep a r t s i a sm e n t i o n e da b o v e ，m a n ys u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd e t e c t i o no fe n t a n g l e m e n t h a v e b e e nf o u n d ，s u c ha st h ep e r e s - h o r o d c c k ip o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s e ( p p t ) c r i t e - r i o n ，t h ec o m p u t a b l ec r o s sn o r mo rr e a l i g n m e n t ( c c n r ) c r i t e r i o n ，l o c a lu n c e r t a i n t y r e l a t i o n s ( l u 风) ，c o v a r i a n c em a t r i xc r i t e r i o n ，t h ec r i t e r i o nb a s e do nb l o c hr e p r e s e n t a t i o n s p p tc r i t e r i o ni san e c e s s a r ya n ds u f f i c i e n tc o n d i t i o nf o r2 2a n d2x3 s y s t e m s ，b u to n l yn e c e s s a r yf o rh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e s w ep r o p o s es e v e r a ln e c e s s a r yc o n d i t i o n sf o rs e p a r a b l es t a t e si nd i s c r e t ev a r i a b l es y s t e m s i ti sb e l i e v e dt h a t t h e s ec o n d i t i o n sc o m p l e m e n t sp p tc r i t e r i o ns i n c ei tc a nd e t e c tm a n yb o u n d e n t a n g l e d s t a t e sw h i c hp p tc r i t e r i o nc a n n o td e t e c t i ns e c t i o n2 2 ，w eo p t i m i z et h en o n l i n e a r e n t a n g l e m e n tw i t n e s s e s ( n e w s ) b a s e do nl o c a lo r t h o g o n a lo b s e r v a b l e s ，w h i c ha r e i n t r o d u c e db yo g t i h n ee la l t h eo p t i m i z e dn e w sa r ea l w a y ss t r i c t l ys t r o n g e rt h a n t h eo r i g i n a ln e w s s e c t i o n2 3i n t r o d u c e sap o w e r f u la n dc o m p u t a t i o n a l l ys i m p l e 量子纠缠的判定与度量中国科学技术大学博士学位论文 s e p a r a b i l i t yc r i t e r i o nb a s e do nt h ee x t e n s i o n so ft h er e a l i g n m e n tm a p t h ec r i t e r i o ni s s t r i c t l ys t r o n g e rt h a nt h ec c n r c r i t e r i o na n dt h ec r i t e r i o nb a s e do nb l o c hr e p r e s e n t a t i o n s f u r t h e r m o r e ，w ea l s op r o p o s eat i g h t e rl u rc r i t e r i o ni ns e c t i o n2 4 u s i n g a r b i t r a r i l yc h o s e no p e r a t o r s 凡) a n d 【鼠) o fs u b s y s t e m sa a n db ，t h et i g h t e rl u r c r i t e r i o nc a nd e t e c tm o r ee n t a n g l e ds t a t e st h a nt h eo r i g i n a ll u rc r i t e r i o n ac o n s i d e r a b l ea m o u n to fe f f o r to nq u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n ti nd i s c r e t e v a r i a b l es y s t e m sh a sb e e nm a d e f o ri n s t a n c e ，w o o t t e r sh a sa n a l y t i c a l l yd e r i v e da p e r f e c tm e a s u r eo ft w oq u b i t s ，w h i c hi ss o c a l l e dc o n c u r r e n c e f u r t h e r m o r e ，g e n e r - a l i z e dc o n c u r r e n c ei nb i p a r t i t eh i g h e rd i m e n s i o n a lc a s e s ，s u c ha si - c o n c u r r e n c e ，h a s b e e np o i n t e do u ta sw e l l u n f o r t u n a t e l y , t h ei - c o n c u r r e n c eo fm i x e ds t a t e si sg i v e na s ac o n v e xr o o ff o ra l lp o s s i b l ee n s e m b l er e a l i z a t i o n t h e r e f o r e ，i ti sg e n e r a l l yd i f f i c u l t t ob ec a l c u l a t e d r e c e n t l y ，l o w e ra n du p p e rb o u n d so ni - c o n c u r r e n c eh a v ea t t r a c t e d m u c hi n t e r e s t ，w h i c ha r er e l a t i v e l ye a s i e rt h a ni - c o n c u r r e n c ei t s e l ft og e t i ns e c t i o n 3 2 ，w eo b t a i n eal o w e rb o u n do nt h ei - c o n c u r r e n c ei nb i p a r t i t es y s t e m s w ea l s o o b t a i n eo b s e r v a b l eu p p e rb o u n d sf o rt h es q u a r e dc o n c u r r e n c ei ns e c t i o n3 3 ，w h i c h a r et h ed u a li n e q u a l i t i e so ft h eo b s e r v a b l el o w e rb o u n d si n t r o d u c e db ym i n t e r ta n d b u c h l e i t n e r i ns e c t i o n3 4 ，w ed e f i n ea s e p a r a b i l i t ym e a s u r e f o rs e p a r a b l es t a t e s 1 i i t h e r ea r eal o to fc o n d i t i o n sf o rd e t e c t i o no fe n t a n g l e m e n ti nc o n t i n u o u s v a r i a b l es y s t e m s ，a n dm a n yo ft h e ma r ec o r o l l a r i e so f ( o re q u i v a l e n tt o ) p f l rc r i t e r i o n t h e r e f o r e t h ec o r o l l a r i e sa n de q u i v a l e n c e so fp p tc r i t e r i o nc a n n o tb eu s e dt od e t e c t b o u n de n t a n g l e ds t a t e s i ns e c t i o n4 ，w ep r o p o s et w os u f f i c i e n tc o n d i t i o n sf o rd e t e c t i o no fe n t a n g l e m e n ti nc o n t i n u o u sv a r i a b l es y s t e m s a l lo ft h e ma r es t r i c t l ys t r o n g e r t h a nt h ec o n d i t i o np r o p o s e db yd u a ne la 1 t h u s ，t h e ya r ea l s on e c e s s a r ya n ds u f - f i c i e n tc o n d i t i o nf o rs e p a r a b i l i t yo ft w o m o d eg a u s s i a ns t a t e s f u r t h e r m o r e ，o n eo f o u rs u f f i c i e n tc o n d i t i o n sc a nb eu s e dt od e t e c tb o u n de n t a n g l e dg a u s s i a ns t a t e s ，w h i c h c a n n o tb ed e t e c t e db yt h ep o s i t i v ep a r t i a lt r a n s p o s ec r i t e r i o n 。 k e y w o r d s ：s e p a r a b l es t a t e s ，e n t a n g l e ds t a t e s ，d e t e c t i o no fe n t a n g l e m e n t ，q u a n t i f i c a t i o no fe n t a n g l e m e n t ，d i s c r e t ev a r i a b l e s ，c o n t i n u o u sv a r i a b l e s 中国科学技术大学学位论文原创性和授权使用声明 本人声明所呈交的学位论文，是本人在导师指导下进行研究工 作所取得的成果。除已特别加以标注和致谢的地方外，论文中不包 含任何他人已经发表或撰写过的研究成果。与我一同工作的同志对 本研究所做的贡献均已在论文中作了明确的说明。 本人授权中国科学技术大学拥有学位论文的部分使用权，即： 学校有权按有关规定向国家有关部门或机构送交论文的复印件和电 子版，允许论文被查阅和借阅，可以将学位论文编入有关数据库进 行检索，可以采用影印、缩印或扫描等复制手段保存、汇编学位论 文。 保密的学位论文在解密后也遵守此规定。 作者签名：壅越盎 地f e 年b 月1 日 1 1概述 第一章量子信息理论的基本知识 二十世纪初诞生的两大物理理论：量子理论和相对论使人类极大的提 高了对自然界的认识。其中，由于量子力学所展示的不同于经典力学的某 些奇特微观世界图景，更是引发了当时一大批物理学家之间的学术大论 战。1 9 3 5 年e i n s t e i n ，p o d o l s k y 并l ：i r o s e n 等人发现了纠缠的非常奇异的非经典性 质【1 】。这种性质意味着存在一类复合系统的整体态，这类态不能写成各个 子系统态的直积和形式。这种现象就称之为纠缠，s c h r 6 d i n g e r 最开始称它为 “v e r s c h r i i n k u n g ”【2 】。 1 9 6 4 年，b e l l 提出了著名的b e l l 不等式 3 】。他按照e i n s t e i n 等人的局域实在 论出发，推导出了这个不等式，如果某个态的实验测量结果违背b e l l 不等式就 说明存在局域实在论的预言与实验结果不符的态。并且他还按照量子理论预 言了某些纠缠态的测量结果确实是违背这个不等式的。这就说明纠缠其实就 是量子理论的非经典性质。将纠缠从假想实验到真正的实验室实现起源于2 0 世 纪6 0 年代 4 ，5 】。不过，真正第一个验证违背b e l l 不等式的实验是i 扫a s p e c t 等人 做出来的 6 】，随后又有不少实验 7 1 0 】来验证量子理论和局域实在论两者到 底哪个更符合实验观测结果，这些实验都一致的证实了量子理论的预言。 随着量子信息科学的发展，人们开始意识到纠缠不仅仅是哲学辩论的话 题，还是一种全新的量子资源，使用纠缠能实现一些经典资源所不能实现 的任务。例如人们可以用纠缠进行量子通信和量子计算。量子计算和量子计 算机的概念起源于著名物理学家f e y n m a n 。1 9 8 2 年，f e y n m a n 1 1 】在研究物理 系统的计算机模拟时，论证了用经典计算机模拟量子力学系统，随输入( 粒 子数、自由度) 增大，计算资源( 时间和空间) 的消耗将指数增大，并由此启 发了用量子力学性质工作的计算机( 量子计算机) 可能避免这一困难的思想。 1 9 8 5 年，d e n t s c h 【1 2 1 提出了第一个量子计算机的设计蓝图、量子计算机的网 络模型，定义了量子t u r i n g 机，预言了量子计算机的潜在能力。在9 0 年代初， d e u t s c h 和b e r t h i a n m e 等人就开始寻找量子计算机可以比经典计算机更有效求解 问题的量子算法。1 9 9 4 年，s h o r 1 3 设计了一个具体的量子算法，可以在量子 l 量子纠缠的判定与度量 中国科学技术大学博士学位论文 计算机上以输入的多项式时间分解大数质因子。分解大数质因子在经典算法 复杂性理论中认为是个“难解问题”，现在广泛使用的公开钥密码系统r s a 就 是这个问题的难解为基础的，s h o r 算法的发现，使量子计算机研究有了实用背 景，因此也获得了新的推动力。1 9 9 4 年以后，量子计算和量子计算机研究出现 了迅猛发展的势头。从最初仅是学术上感兴趣的对象，变成了对计算机科学、 密码学、通讯技术以及国家安全和商业应用都有潜在重大影响的领域。 本文主要研究量子通信及量子计算所需要的主要资源一量子纠缠，主要研 究对任意量子态如何判断它是否含有量子纠缠；如果含有，其大小将如何度量 等。第二章中我们将讨论离散变量系统中量子纠缠判定问题。而离散变量系统 中量子纠缠的度量问题将在第三章中讨论，此外，我们还在第三章中讨论了可 分性的度量问题及其在量子相变中的应用。除了离散变量系统之外，实际物理 系统中还会遇到连续变量系统，因此第四章我们将讨论连续变量系统中量子纠 缠的判定问题。 1 2 基本概念 在这一节中，我们将简要介绍下后面章节中将用到的量子信息理论的一些 基础知识和量子纠缠的基本概念。这里仅介绍跟本文相关的基础知识和基本概 念，如果想要全面的了解整个量子信息和量子计算理论，可参考【1 4 ，1 5 。 1 2 1量子力学基本公设 这一小节中，我们简要介绍一下量子力学的4 条基本公设，它可以被视为 整个量子力学的公理化的假定。 i 量子态：它是h i l b e r t 空间模为l 的态矢量。h i l b e r t 空间是一个定义在复数 域f 上的矢量空间：对于空间中的任意一对矢量i 妒) 和l 咖) ，定义值域为c 的内积 满足：i 正定性( 妒i 妒) 0 ，i i 线性性( 妒i ( n l 毋1 ) + b 1 咖2 ) ) = n ( 妒i 咖1 ) + 6 ( 妒l 砂2 ) ，u 1 反对称性( 妒i 多) = ( 咖l 妒) ；h i l b e r t 空间中态矢量模定义为：垆) i i = ( 妒i 妒) ，它 满足下列不等式：1 1 1 妒) 1 i 木1 1 1 ) 1 i l ( 妒l ) l ，1 1 1 妒) 1 i + 1 1 1 咖) 1 i q o ) + l ) l l o 力学量由算符表示。可观测力学量对应的算符是定义在h i l b e r t 空间上的 自共轭算符：a = a t 。算符a 的作用是对态矢量产生一个映射。 2 中国科学技术大学博士学位论文第一章量子信息理论的基本知识 m 态的演化：孤立系统的态的演化服从薛定谔方程： t 危掣：h i e ) ， ( 1 1 ) u l 其中危为普朗克常数。这种演化是种保内积的演化。 测量公设：i 如果用a 来对系统进行测量，则测量结果必为a 的本征 值之一o ，并且测量之后的态矢量塌缩为相应的本征态a ) ；i i 测量态i ) = e ；o t i i ) ，测量后态矢量塌缩为l i ) 的几率为l0 f t l 2 ( 其中伸) ) 为一组正交完备 基) ；i i i 如果对i ) 的系综进行测量，并且我们不记录测量的结果，那么测量后 的系统为：p = e ；l o t i l 2 i i ) ( 主i 。 1 2 2 纯态、混态g l ：i b i o c h 球表示 在量子力学系统中，纯态由h i l b e r t 空间中的态矢量来描述。与经典系统不 同的是同一量子系统中两个不同的纯态是可以相干叠加的。如果i 妒】) 和l 妒2 ) 是 给定系统的两个不同的纯态，那么l 砂) = l 矽。) + i 妒2 ) ( 未归一化) 同样也是这个 系统的量子态。这就是所谓的态叠加原理，它意味着如果i 讥) 和i 也) 通过态叠 加变成l 妒) = l 妒1 ) + i 如) ，那么在某种意义上说这两个态相互关联起来。值得 注意的是仅仅考虑单个态的时候，i 矽1 ) 和未归一化的a l e 】) 都是指同一个态，但 是i 矽7 ) = a 1 妒1 ) + j 矽2 ) 和l 矽) = l 妒1 ) + l 妒2 ) 就是不同的态了。这说明纯态叠加时， 每个态的相位和幅度都很重要。 如果所考虑的单个系统的维度为，那么系统中的纯态l 矽) 都可以用该系统 的一组正交完备基f 墨，) 来展开， ) = 吼h ( 1 2 ) t = 1 其中o t 为态矢量i i ) 的系数，它由公式锄= ( t i ) 给出。 系统的混态通常由密度矩阵p 来表示。它能写成一套各自具有确定几率的 纯态 鼽，m ) ) 的线性组合，即 p = a i 识) ( 讥i ， ( 1 3 ) i 其中i 他) 相互之间并不要求正交，所有的轨都满足a o 并且e ；p i = 1 。它 表示p 由一系列的纯态) 按a 的几率混合而成。值得注意的是，给定密度矩 3 量子纠缠的判定与度量 中国科学技术大学博士学位论文 阵p 之后，它类似于( 1 3 ) 式的纯态分解有无穷多种，我们将在后面详细讨论。 密度矩阵p 通常具有下面的几条性质： 1 p 是自共轭算符，也就是说p = p t 。 2 p 是半正定算符，即对同一h i l b e n 空间中的任意的纯态l 妒) ，都有( 妒妒) o 成立。 3 通常还规定密度算符p 是归一化的，最p t r p = 1 。 从上面的性质可以看出，p 存在一套本征分解，p = a “九) ( 入；l ，其中队) 为p 的本征态，对应的本征值为入j 。 队) ) 为一套正交完备基底，所以它们之间 相互正交。由p 是半正定算符可知，丸0 ，又由p 是归一化的可知，i 九= 1 。 由此可见，纯态j 矽) 写成密度矩阵形式即为i 妒) 似i ，它的唯一非零本征值的本征 态即为i 妒) 本身。判断给定的量子态到底是纯态还是混态，这个问题利用密度 矩阵很容易解决：如果t r p 2 = 1 则p 为纯态，如果t r p 2 和 劬，l 吩) 两套不同的分解( 其中a 和劬都为几率系数，胁) 和j 均) 都 为归一化了的纯态) ，即 p = p t ( 胁l = 劬i 吩) ( 吼 ( 1 4 ) i j 我们将几率系数鼽和劬都分别吸收到纯态慨) 和l 吩) 之中，使得) 和i 吩) 不再归 一化，定义j 厦) = 屈h ) ，i 巧) = 再i 吩) ，那么( 1 4 ) 式就化成为： p = l 反) ( 压l = i 巧) ( 巧i ( 1 5 ) i j 假设i 巧) 和i 厦) 通过变换矩阵u 来连接， 巧) = 吲区) ， t 4 ( 1 6 ) 中国科学技术大学博士学位论文 第一章 量子信息理论的基本知识 利用( 1 6 ) 式，就子巨导出 p = i 巧) ( 巧i = 吲反) ( 面i ， = 荨 墨，中的纯态个 数。 值得注意的是，变换矩阵是r 的矩阵，条件f 【c 厂h i = 九，说明u 是 半酉矩阵，只有当n = r 时，矩阵u 才是一个方阵和酉矩阵。 定理1 1 实际上提供了获得密度矩阵p 的所有纯态分解方式的方法。比如， 可以就选择p 的本征分解p = ；队) ( 入一为初始分解( ) = 瓶队) ) ，其他的 任何分解可以根据定理1 1 给出。 单体有限维纯态和混态除了用密度矩阵来表达外，还有一种更为直观的表 达方式，b 1 b l o c h 球表示。下面，首先介绍q u b i t 系统的b l o c h 球表示【1 5 ，1 9 】。 5 量子纠缠的判定与度量中国科学技术大学博士学位论文 一般而言，普通的自共轭的2 2 矩阵拥有4 个实参数，并且它能用算符空 间的正交完备基底 0 ( 1 1 2 ) 知，混态时户2 1 ，即混态都处在单位球的内部。 单q u b i t 纯态f 妒) 可以用两个实参数目和妒来表达【1 5 】， 妒) ：e 却2 c o s 抽+ e 叫2 s i n 抽， ( 1 1 3 ) 由此可以直接计算出对应的密度矩阵为， p = f 妒) 仰i = ：1 ( 1 l 呈) + 三( e 却c o s s ；n 0 p e一-ii】fc,。ssin日p) = 言( ，+ 我孑) ， ( 1 1 4 ) 其中亢= ( s i n 0 c 0 8 妒，s i n o s i n 妒，c o s p ) ，由此可以看出实参数p 和妒实际上就是纯 态b l o c h 球的球坐标9 - ，p ，妒) 表示( 其中r = 1 ) 。 单体两维量子态的b l o c h 球表示非常的完美，而类似的单体高维量子 态的b l o c h 球表示也有不少人研究过，例如文献 2 0 - - 2 6 。不过跟q u b i t 系统 的b l o c h 球表示相比，高维系统的b l o c h 球表示还不是很完美。 6 中国科学技术大学博士学位论文第一章量子信息理论的基本知识 1 2 3纠缠态的定义及s c h m i d t 分解定理 在这一小节中，我们将介绍纠缠态的定义以及两体纯态的s c h m i d t 定理。 纠缠态是由可分态定义的相反定义给出的，它们都是在1 9 8 9 年由r e w e r n e r 在 文献【2 7 中给出。下面我们来详细介绍纠缠态和可分态的定义。 定义1 1 在体量子系统中，密度矩阵p 是可分态的充分必要条件是p 能写成下 面的形式， p = a 一 考圆p y ， ( 1 1 5 ) t 其中砖为第七个子系统的第i 份几率为鼽的纯态表示，鼽o 爿：f i ；p t = 1 。如果 密度矩阵p 不能写成( 1 1 5 ) 式的形式，那么p 就是纠缠态。 我们首先来讨论两体量子系统纯态时的简单情形，按照定义1 1 ，两体纯 态i 妒) 是可分态的充分必要条件是它能写成 l 妒) ( 妒i = i 1 ) ( t l 固l 2 ) ( 2 i ( 1 1 6 ) 的形式，其中l 焱) 是第i 个子系统的纯态。判断两体纯态是否为可分态可以用下 面的两体纯态的s c h m i d t 分解定理来完成。 定理1 2 假设i 妒) 是a b 复合系统的一个纯态，那么子系纵和b 中肯定分别存在 正交态集合 h ) ) 和正交态集合 b ) ，使得 i 妒) = 九l i a ) l i b ) ( 1 1 7 ) i 成立，其中a i 为非负的实数，满足条件i a ；= 1 。，它被称为鼢m 胁系数。 定理l 。2 可以用奇异值分解定理很直接的证明 1 4 1 。假设 i 歹) ) 和 i 七) ) 分别 是a 子系统和b 子系统的正交完备基底，那么纯态j 妒) 可以在此正交完备基底下 写成为 i 妒) = a j 七i j ) l k ) ( 1 1 8 ) j 七 我们可以将系数a 让组成矩阵a ，然后将矩阵q 进行奇异值分解，a = u d v ，其 中d 是含有非负对角元的对角矩阵，乱和v 是酉矩阵。因此， 矽) = 坳d t i v i k i j ) l k ) ( 1 1 9 ) 幻七 7 量子纠缠的判定与度量中国科学技术大学博士学位论文 定义h ) - - _ _ - jz , j , l j ) ，l i b ) 三七七f 七) 和丸三如，那么( 1 1 9 ) 式就化成为 矽) = 冲a ) ( 1 2 0 ) t 很容易验证 h ) ) 和 l i b ) ) 都为正交态集合。 s c h m i d t 分解定理可以用来判断两体纯态l 妒) 是否为纠缠态，在对i 妒) 进 行s c h m i d t 分解之后，如果它的s c h m i d t 系数久的个数超过l ，那么l 砂) 就是纠缠 的，如果a l 的个数只有一个那么j 矽) 就是可分态。 对于两体混态时，我们只能通过密度矩阵p 是否能写成p = 。矶p 于 p 尹的 形式，判断p 是否为可分态；多体混态时，用密度矩阵p 是否能写成( 1 1 5 ) 式 的形式来判断p 是否为可分态。而这一任务到目前为止离完全解决还比较遥远， 我们将在第二章中详细的介绍。 1 3 几个常用的数学定理 在这一节中，我们将介绍几个可能会经常用到的定理。由于篇幅有限，每 个定理我们都只详细介绍定理的内容。至于定理的证明过程可参考相应的文 献。 首先，我们来介绍一下矩阵的奇异值分解定理。这个定理其实已经在上一 小节关于s c h m i d t 分解定理中已经用过了。它的具体内容如下： 定理1 3 ( 奇异值分解定理) 假设a n 是一个给定的矩阵，那么一定存在 酉矩阵v 和w m n ，以及对角元全为非负数的对角矩阵，使得 a 三v e w t ( 1 2 1 ) 成立，其中对角矩阵的对角元就称为矩阵a g 奇异值。 酉矩阵y 和w 可以通过求a a i 和a t a 本征分解求出，而a 的奇异值即为a 或 者a t a 的本征值的平方根。这是由于如果矩阵a 写成a = v e w t 的形式，那 么a a t ：v e w t w z t v t 。又因为y 和为酉矩阵，为对角矩阵且对角元非负， 所以= t 并且 a a t = v e w t w e t v t = v e 2 v t ( 1 2 2 ) 8 中国科学技术大学博士学位论文第章量子信息理论的基本知识 类似的，可以得到 a t a = w e t v t v e w t = w e 2 w t ( 1 2 3 ) 所以，矩阵a 的奇异值就可以通过求a a t ( 或者a * a ) 的本征值得出，其奇异 值分解所需的酉矩阵v , o w 可以通过求a a t 和a t a 本征分解求出。定理1 3 的详 细证明可以参考文献【2 8 中的定理7 3 5 。利用奇异值分解定理，还能得到名 为t a k a g i 分解定理的推论，它的详细证明可参考文献【2 8 】中的推论4 4 4 。 推论1 4 ( t a k a g i 分解定理) 假设a 螈是对称矩阵，即a = a t ，那么一定 存在酉矩阵u 坂和实非负对角元的对角矩阵= d i a g ( a l ，) ，使得 a = u 旷 ( 1 2 4 ) 成立。其中u 的各列向量是a a + 的本征态集合，并且对应的的对角元为a a 的 各本征值的非负平方根。 下面我们再来介绍一个跟奇异值分解相关的定理，这个定理将在第二章中 用到。它的证明可以参考文献【2 8 】中的定理7 4 9 。 定理1 5 假设矩阵a 螈是一个给定的方阵，并且a = y w t 是矩阵月的奇异 值分解。那么问题m a x r et r a u ：u i su n i t a r y 的解为u = w v t ，并且 对应的最大值是a l ( a ) + 十a n ( a ) ，其中( 吼( a ) ) 是矩阵a 的奇异值集合。 下面的这个t h o m p s o n 定理也跟奇异值有一定的关系，它研究的对象是复 对称矩阵，这个定理在求c o n c u r r e n c e 及高维c o n c u r r e n c e 下界时经常会用到。 定理1 6 ( t h o m p s o n 定理) 假设d 1 ，如是一组复数，8 1 ，是一组非负 实数，并且它们满足条件l 磊i l 南l 和s l & 。一个； 2 d x ，矗为 其对角元，以s 1 ，s n 为其奇异值的复对称矩阵a 存在的充分必要条件是 詹 i = 1 吼，1 k 佗， ( 1 2 5 ) 噱s t 卜妯2 6 ， s t s 一3 死 ( 1 2 7 ) 9 忱 厶 n：f卜 一 。 训 h ：l 小如 一 恢 瞄耐 量子纠缠的判定与度量中国科学技术大学博士学位论文 定理1 6 最开始是由r c t h o m p s o n 在1 9 7 9 年的文献【2 9 中给出。后来，k a u d e n a e r t ，ev e r s t r a e t e 和b d em o o r 将t h o m p s o n 定理应用到计算c o n c u r r e n c e 的 过程中 3 0 】。 下面我们来介绍正定但非完全正定映射跟纠缠